The Non Alternating Knot 10₁₃₇

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,10,6,11 X₃₉₄₈ X_9,3,10,2 X_16,12,17,11 X_14,7,15,8 X_6,15,7,16 X_20,18,1,17 X_18,13,19,14 X_12,19,13,20

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, -7, 6, 3, -4, 2, 5, -10, 9, -6, 7, -5, 8, -9, 10, -8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 10 -14 2 -16 -18 -6 -20 -12

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: t^-2 - 6t^-1 + 11 - 6t + t²

Conway Polynomial: 1 - 2z² + z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {25, 0}

Jones Polynomial: q^-6 - 2q^-5 + 3q^-4 - 4q^-3 + 4q^-2 - 4q^-1 + 4 - 2q + q²

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {10₁₅₅, K11n37, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-20 + q^-18 - q^-16 - q^-12 - q^-10 + q^-8 + q^-4 + q² - q⁴ + q⁶ + q⁸

HOMFLY-PT Polynomial: a^-2 - 1 - 2z² + 2a² + 2a²z² + a²z⁴ - 2a⁴ - 2a⁴z² + a⁶

Kauffman Polynomial: - a^-2 + a^-2z² - a^-1z + 2a^-1z³ - 1 + 4z² - 2z⁴ + z⁶ - 3az + 9az³ - 7az⁵ + 2az⁷ - 2a² + 7a²z² - 5a²z⁴ - a²z⁶ + a²z⁸ - 5a³z + 15a³z³ - 15a³z⁵ + 4a³z⁷ - 2a⁴ + 8a⁴z² - 7a⁴z⁴ - a⁴z⁶ + a⁴z⁸ - 3a⁵z + 8a⁵z³ - 8a⁵z⁵ + 2a⁵z⁷ - a⁶ + 4a⁶z² - 4a⁶z⁴ + a⁶z⁶

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-2, 2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 10₁₃₇. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 5 1

j = 3 1

j = 1 3 1

j = -1 2 2

j = -3 2 2

j = -5 2 2

j = -7 1 2

j = -9 1 2

j = -11 1

j = -13 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-18 - 2q^-17 - q^-16 + 6q^-15 - 4q^-14 - 6q^-13 + 11q^-12 - 2q^-11 - 11q^-10 + 11q^-9 + 3q^-8 - 13q^-7 + 7q^-6 + 8q^-5 - 13q^-4 + 2q^-3 + 10q^-2 - 9q^-1 - 1 + 7q - 3q² - 2q³ + 2q⁴

3 q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 2q^-33 + 5q^-32 - 3q^-31 - 9q^-30 + q^-29 + 13q^-28 + 3q^-27 - 14q^-26 - 9q^-25 + 13q^-24 + 12q^-23 - 6q^-22 - 14q^-21 - 2q^-20 + 12q^-19 + 9q^-18 - 5q^-17 - 18q^-16 - q^-15 + 23q^-14 + 10q^-13 - 28q^-12 - 17q^-11 + 31q^-10 + 25q^-9 - 34q^-8 - 32q^-7 + 36q^-6 + 36q^-5 - 33q^-4 - 42q^-3 + 31q^-2 + 40q^-1 - 19 - 41q + 15q² + 30q³ - 4q⁴ - 23q⁵ + 13q⁷ + 3q⁸ - 7q⁹ - q¹⁰ + q¹¹ + 2q¹² - q¹³

4 q^-60 - 2q^-59 - q^-58 + 2q^-57 + q^-56 + 6q^-55 - 7q^-54 - 7q^-53 + q^-51 + 23q^-50 - 5q^-49 - 13q^-48 - 11q^-47 - 14q^-46 + 35q^-45 + 6q^-44 + 2q^-43 - 7q^-42 - 38q^-41 + 18q^-40 - 5q^-39 + 21q^-38 + 32q^-37 - 28q^-36 - 4q^-35 - 53q^-34 + 74q^-32 + 24q^-31 + 11q^-30 - 99q^-29 - 65q^-28 + 77q^-27 + 82q^-26 + 62q^-25 - 111q^-24 - 136q^-23 + 45q^-22 + 118q^-21 + 119q^-20 - 96q^-19 - 190q^-18 + 5q^-17 + 140q^-16 + 162q^-15 - 79q^-14 - 228q^-13 - 27q^-12 + 154q^-11 + 193q^-10 - 59q^-9 - 253q^-8 - 58q^-7 + 150q^-6 + 210q^-5 - 22q^-4 - 241q^-3 - 89q^-2 + 105q^-1 + 192 + 29q - 174q² - 94q³ + 37q⁴ + 124q⁵ + 53q⁶ - 81q⁷ - 58q⁸ - 7q⁹ + 48q¹⁰ + 36q¹¹ - 22q¹² - 17q¹³ - 10q¹⁴ + 9q¹⁵ + 11q¹⁶ - 4q¹⁷ - q¹⁸ - 3q¹⁹ + q²⁰ + 2q²¹ - q²²

5 q^-90 - 2q^-89 - q^-88 + 2q^-87 + q^-86 + 2q^-85 + 2q^-84 - 5q^-83 - 9q^-82 + 5q^-80 + 10q^-79 + 12q^-78 - q^-77 - 18q^-76 - 21q^-75 - 5q^-74 + 12q^-73 + 26q^-72 + 23q^-71 - q^-70 - 25q^-69 - 28q^-68 - 16q^-67 + q^-66 + 22q^-65 + 29q^-64 + 27q^-63 + 10q^-62 - 20q^-61 - 49q^-60 - 59q^-59 - 24q^-58 + 50q^-57 + 108q^-56 + 89q^-55 - 8q^-54 - 129q^-53 - 171q^-52 - 70q^-51 + 113q^-50 + 234q^-49 + 170q^-48 - 47q^-47 - 259q^-46 - 279q^-45 - 54q^-44 + 243q^-43 + 361q^-42 + 176q^-41 - 177q^-40 - 415q^-39 - 302q^-38 + 88q^-37 + 428q^-36 + 412q^-35 + 23q^-34 - 415q^-33 - 503q^-32 - 131q^-31 + 385q^-30 + 567q^-29 + 233q^-28 - 344q^-27 - 622q^-26 - 316q^-25 + 308q^-24 + 660q^-23 + 386q^-22 - 276q^-21 - 699q^-20 - 445q^-19 + 259q^-18 + 729q^-17 + 496q^-16 - 234q^-15 - 761q^-14 - 550q^-13 + 212q^-12 + 777q^-11 + 595q^-10 - 158q^-9 - 769q^-8 - 652q^-7 + 94q^-6 + 733q^-5 + 669q^-4 + 3q^-3 - 640q^-2 - 679q^-1 - 95 + 524q + 619q² + 176q³ - 365q⁴ - 534q⁵ - 218q⁶ + 220q⁷ + 402q⁸ + 223q⁹ - 100q¹⁰ - 269q¹¹ - 184q¹² + 20q¹³ + 150q¹⁴ + 133q¹⁵ + 18q¹⁶ - 75q¹⁷ - 73q¹⁸ - 23q¹⁹ + 23q²⁰ + 36q²¹ + 20q²² - 10q²³ - 13q²⁴ - 6q²⁵ - q²⁶ + 4q²⁷ + 4q²⁸ - q²⁹ - q³⁰

6 q^-126 - 2q^-125 - q^-124 + 2q^-123 + q^-122 + 2q^-121 - 2q^-120 + 4q^-119 - 7q^-118 - 9q^-117 + 3q^-116 + 4q^-115 + 11q^-114 + 2q^-113 + 17q^-112 - 13q^-111 - 25q^-110 - 13q^-109 - 8q^-108 + 14q^-107 + 8q^-106 + 57q^-105 + 6q^-104 - 18q^-103 - 25q^-102 - 38q^-101 - 19q^-100 - 34q^-99 + 63q^-98 + 26q^-97 + 33q^-96 + 30q^-95 + 8q^-94 - 11q^-93 - 95q^-92 - 23q^-91 - 80q^-90 - 16q^-89 + 54q^-88 + 132q^-87 + 170q^-86 + 32q^-85 - 4q^-84 - 217q^-83 - 254q^-82 - 192q^-81 + 28q^-80 + 305q^-79 + 337q^-78 + 342q^-77 - 2q^-76 - 320q^-75 - 556q^-74 - 456q^-73 - 17q^-72 + 334q^-71 + 709q^-70 + 598q^-69 + 169q^-68 - 478q^-67 - 867q^-66 - 684q^-65 - 286q^-64 + 519q^-63 + 1025q^-62 + 966q^-61 + 238q^-60 - 661q^-59 - 1093q^-58 - 1165q^-57 - 300q^-56 + 810q^-55 + 1470q^-54 + 1167q^-53 + 131q^-52 - 885q^-51 - 1748q^-50 - 1293q^-49 + 73q^-48 + 1422q^-47 + 1826q^-46 + 1065q^-45 - 244q^-44 - 1864q^-43 - 2050q^-42 - 769q^-41 + 1029q^-40 + 2109q^-39 + 1799q^-38 + 450q^-37 - 1720q^-36 - 2495q^-35 - 1423q^-34 + 615q^-33 + 2192q^-32 + 2268q^-31 + 955q^-30 - 1574q^-29 - 2759q^-28 - 1835q^-27 + 360q^-26 + 2265q^-25 + 2574q^-24 + 1251q^-23 - 1537q^-22 - 2984q^-21 - 2118q^-20 + 223q^-19 + 2379q^-18 + 2850q^-17 + 1503q^-16 - 1493q^-15 - 3187q^-14 - 2441q^-13 - 28q^-12 + 2364q^-11 + 3101q^-10 + 1899q^-9 - 1158q^-8 - 3140q^-7 - 2772q^-6 - 580q^-5 + 1903q^-4 + 3042q^-3 + 2325q^-2 - 396q^-1 - 2508 - 2730q - 1207q² + 940q³ + 2334q⁴ + 2310q⁵ + 433q⁶ - 1358q⁷ - 2008q⁸ - 1366q⁹ - 19q¹⁰ + 1181q¹¹ + 1625q¹² + 746q¹³ - 318q¹⁴ - 952q¹⁵ - 916q¹⁶ - 401q¹⁷ + 270q¹⁸ + 730q¹⁹ + 495q²⁰ + 104q²¹ - 222q²² - 341q²³ - 274q²⁴ - 51q²⁵ + 187q²⁶ + 161q²⁷ + 88q²⁸ + 2q²⁹ - 54q³⁰ - 84q³¹ - 45q³² + 28q³³ + 21q³⁴ + 19q³⁵ + 10q³⁶ + 2q³⁷ - 14q³⁸ - 11q³⁹ + 6q⁴⁰ + q⁴² + q⁴³ + 2q⁴⁴ - q⁴⁵ - 2q⁴⁶ + q⁴⁷

7 q^-168 - 2q^-167 - q^-166 + 2q^-165 + q^-164 + 2q^-163 - 2q^-162 + 2q^-160 - 7q^-159 - 6q^-158 + 2q^-157 + 4q^-156 + 13q^-155 + 4q^-154 + 8q^-152 - 17q^-151 - 21q^-150 - 16q^-149 - 10q^-148 + 24q^-147 + 24q^-146 + 20q^-145 + 37q^-144 - 2q^-143 - 22q^-142 - 37q^-141 - 69q^-140 - 13q^-139 + 6q^-138 + 14q^-137 + 65q^-136 + 45q^-135 + 49q^-134 + 34q^-133 - 56q^-132 - 37q^-131 - 50q^-130 - 93q^-129 - 40q^-128 - 53q^-127 + 28q^-126 + 135q^-125 + 109q^-124 + 166q^-123 + 132q^-122 - 29q^-121 - 126q^-120 - 318q^-119 - 350q^-118 - 172q^-117 - 32q^-116 + 296q^-115 + 530q^-114 + 508q^-113 + 390q^-112 - 65q^-111 - 535q^-110 - 750q^-109 - 835q^-108 - 441q^-107 + 196q^-106 + 731q^-105 + 1200q^-104 + 1075q^-103 + 472q^-102 - 304q^-101 - 1215q^-100 - 1587q^-99 - 1304q^-98 - 559q^-97 + 695q^-96 + 1709q^-95 + 2053q^-94 + 1662q^-93 + 310q^-92 - 1223q^-91 - 2345q^-90 - 2692q^-89 - 1703q^-88 + 110q^-87 + 2023q^-86 + 3336q^-85 + 3101q^-84 + 1440q^-83 - 979q^-82 - 3323q^-81 - 4198q^-80 - 3184q^-79 - 626q^-78 + 2606q^-77 + 4746q^-76 + 4757q^-75 + 2520q^-74 - 1234q^-73 - 4609q^-72 - 5923q^-71 - 4471q^-70 - 556q^-69 + 3871q^-68 + 6557q^-67 + 6174q^-66 + 2511q^-65 - 2632q^-64 - 6644q^-63 - 7524q^-62 - 4450q^-61 + 1147q^-60 + 6312q^-59 + 8457q^-58 + 6158q^-57 + 418q^-56 - 5653q^-55 - 9036q^-54 - 7614q^-53 - 1899q^-52 + 4896q^-51 + 9326q^-50 + 8744q^-49 + 3213q^-48 - 4111q^-47 - 9446q^-46 - 9642q^-45 - 4273q^-44 + 3436q^-43 + 9466q^-42 + 10301q^-41 + 5114q^-40 - 2896q^-39 - 9500q^-38 - 10806q^-37 - 5713q^-36 + 2537q^-35 + 9546q^-34 + 11209q^-33 + 6162q^-32 - 2335q^-31 - 9683q^-30 - 11579q^-29 - 6488q^-28 + 2241q^-27 + 9874q^-26 + 11968q^-25 + 6826q^-24 - 2157q^-23 - 10106q^-22 - 12424q^-21 - 7261q^-20 + 1973q^-19 + 10277q^-18 + 12914q^-17 + 7866q^-16 - 1525q^-15 - 10222q^-14 - 13368q^-13 - 8687q^-12 + 719q^-11 + 9820q^-10 + 13611q^-9 + 9547q^-8 + 461q^-7 - 8824q^-6 - 13394q^-5 - 10356q^-4 - 1972q^-3 + 7327q^-2 + 12593q^-1 + 10717 + 3459q - 5274q² - 11014q³ - 10520q⁴ - 4769q⁵ + 3064q⁶ + 8929q⁷ + 9541q⁸ + 5444q⁹ - 970q¹⁰ - 6433q¹¹ - 7943q¹² - 5495q¹³ - 635q¹⁴ + 4054q¹⁵ + 5982q¹⁶ + 4835q¹⁷ + 1569q¹⁸ - 2063q¹⁹ - 3981q²⁰ - 3765q²¹ - 1856q²² + 690q²³ + 2298q²⁴ + 2583q²⁵ + 1636q²⁶ + 54q²⁷ - 1104q²⁸ - 1526q²⁹ - 1177q³⁰ - 325q³¹ + 386q³² + 766q³³ + 736q³⁴ + 314q³⁵ - 77q³⁶ - 327q³⁷ - 361q³⁸ - 196q³⁹ - 46q⁴⁰ + 96q⁴¹ + 171q⁴² + 113q⁴³ + 32q⁴⁴ - 31q⁴⁵ - 57q⁴⁶ - 32q⁴⁷ - 26q⁴⁸ - 7q⁴⁹ + 24q⁵⁰ + 18q⁵¹ + 9q⁵² - 4q⁵³ - 7q⁵⁴ + q⁵⁵ - 2q⁵⁶ - 4q⁵⁷ + 2q⁵⁸ + 2q⁵⁹ + 2q⁶⁰ - q⁶¹ - 2q⁶² + q⁶³

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 137]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[16, 12, 17, 11], X[14, 7, 15, 8], X[6, 15, 7, 16], X[20, 18, 1, 17], > X[18, 13, 19, 14], X[12, 19, 13, 20]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 137]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, -7, 6, 3, -4, 2, 5, -10, 9, -6, 7, -5, 8, -9, 10, > -8]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 137]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 10, -14, 2, -16, -18, -6, -20, -12]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 137]]

Out[5]=
BR[5, {-1, 2, -1, 2, -3, -2, -2, 4, -3, 4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 137]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 137]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 137]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 3, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 137]][t]

Out[10]=
-2 6 2 11 + t - - - 6 t + t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 137]][z]

Out[11]=
2 4 1 - 2 z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 137]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 137]], KnotSignature[Knot[10, 137]]}

Out[13]=
{25, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 137]][q]

Out[14]=
-6 2 3 4 4 4 2 4 + q - -- + -- - -- + -- - - - 2 q + q 5 4 3 2 q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 137], Knot[10, 155], Knot[11, NonAlternating, 37]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 137]][q]

Out[16]=
-20 -18 -16 -12 -10 -8 -4 2 4 6 8 q + q - q - q - q + q + q + q - q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 137]][a, z]

Out[17]=
-2 2 4 6 2 2 2 4 2 2 4 -1 + a + 2 a - 2 a + a - 2 z + 2 a z - 2 a z + a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 137]][a, z]

Out[18]=
2 -2 2 4 6 z 3 5 2 z -1 - a - 2 a - 2 a - a - - - 3 a z - 5 a z - 3 a z + 4 z + -- + a 2 a 3 2 2 4 2 6 2 2 z 3 3 3 5 3 4 > 7 a z + 8 a z + 4 a z + ---- + 9 a z + 15 a z + 8 a z - 2 z - a 2 4 4 4 6 4 5 3 5 5 5 6 2 6 > 5 a z - 7 a z - 4 a z - 7 a z - 15 a z - 8 a z + z - a z - 4 6 6 6 7 3 7 5 7 2 8 4 8 > a z + a z + 2 a z + 4 a z + 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 137]], Vassiliev[3][Knot[10, 137]]}

Out[19]=
{-2, 2}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 137]][q, t]

Out[20]=
2 1 1 1 2 1 2 2 2 - + 3 q + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + q 13 6 11 5 9 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 q t q t q t q t q t q t q t q t 2 2 2 3 5 2 > ----- + ---- + --- + q t + q t + q t 3 2 3 q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 137], 2][q]

Out[21]=
-18 2 -16 6 4 6 11 2 11 11 3 13 -1 + q - --- - q + --- - --- - --- + --- - --- - --- + -- + -- - -- + 17 15 14 13 12 11 10 9 8 7 q q q q q q q q q q 7 8 13 2 10 9 2 3 4 > -- + -- - -- + -- + -- - - + 7 q - 3 q - 2 q + 2 q 6 5 4 3 2 q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₁₃₇

10₁₃₆
10₁₃₈

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-18 - 2q^-17 - q^-16 + 6q^-15 - 4q^-14 - 6q^-13 + 11q^-12 - 2q^-11 - 11q^-10 + 11q^-9 + 3q^-8 - 13q^-7 + 7q^-6 + 8q^-5 - 13q^-4 + 2q^-3 + 10q^-2 - 9q^-1 - 1 + 7q - 3q² - 2q³ + 2q⁴
3	q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 2q^-33 + 5q^-32 - 3q^-31 - 9q^-30 + q^-29 + 13q^-28 + 3q^-27 - 14q^-26 - 9q^-25 + 13q^-24 + 12q^-23 - 6q^-22 - 14q^-21 - 2q^-20 + 12q^-19 + 9q^-18 - 5q^-17 - 18q^-16 - q^-15 + 23q^-14 + 10q^-13 - 28q^-12 - 17q^-11 + 31q^-10 + 25q^-9 - 34q^-8 - 32q^-7 + 36q^-6 + 36q^-5 - 33q^-4 - 42q^-3 + 31q^-2 + 40q^-1 - 19 - 41q + 15q² + 30q³ - 4q⁴ - 23q⁵ + 13q⁷ + 3q⁸ - 7q⁹ - q¹⁰ + q¹¹ + 2q¹² - q¹³
4	q^-60 - 2q^-59 - q^-58 + 2q^-57 + q^-56 + 6q^-55 - 7q^-54 - 7q^-53 + q^-51 + 23q^-50 - 5q^-49 - 13q^-48 - 11q^-47 - 14q^-46 + 35q^-45 + 6q^-44 + 2q^-43 - 7q^-42 - 38q^-41 + 18q^-40 - 5q^-39 + 21q^-38 + 32q^-37 - 28q^-36 - 4q^-35 - 53q^-34 + 74q^-32 + 24q^-31 + 11q^-30 - 99q^-29 - 65q^-28 + 77q^-27 + 82q^-26 + 62q^-25 - 111q^-24 - 136q^-23 + 45q^-22 + 118q^-21 + 119q^-20 - 96q^-19 - 190q^-18 + 5q^-17 + 140q^-16 + 162q^-15 - 79q^-14 - 228q^-13 - 27q^-12 + 154q^-11 + 193q^-10 - 59q^-9 - 253q^-8 - 58q^-7 + 150q^-6 + 210q^-5 - 22q^-4 - 241q^-3 - 89q^-2 + 105q^-1 + 192 + 29q - 174q² - 94q³ + 37q⁴ + 124q⁵ + 53q⁶ - 81q⁷ - 58q⁸ - 7q⁹ + 48q¹⁰ + 36q¹¹ - 22q¹² - 17q¹³ - 10q¹⁴ + 9q¹⁵ + 11q¹⁶ - 4q¹⁷ - q¹⁸ - 3q¹⁹ + q²⁰ + 2q²¹ - q²²
5	q^-90 - 2q^-89 - q^-88 + 2q^-87 + q^-86 + 2q^-85 + 2q^-84 - 5q^-83 - 9q^-82 + 5q^-80 + 10q^-79 + 12q^-78 - q^-77 - 18q^-76 - 21q^-75 - 5q^-74 + 12q^-73 + 26q^-72 + 23q^-71 - q^-70 - 25q^-69 - 28q^-68 - 16q^-67 + q^-66 + 22q^-65 + 29q^-64 + 27q^-63 + 10q^-62 - 20q^-61 - 49q^-60 - 59q^-59 - 24q^-58 + 50q^-57 + 108q^-56 + 89q^-55 - 8q^-54 - 129q^-53 - 171q^-52 - 70q^-51 + 113q^-50 + 234q^-49 + 170q^-48 - 47q^-47 - 259q^-46 - 279q^-45 - 54q^-44 + 243q^-43 + 361q^-42 + 176q^-41 - 177q^-40 - 415q^-39 - 302q^-38 + 88q^-37 + 428q^-36 + 412q^-35 + 23q^-34 - 415q^-33 - 503q^-32 - 131q^-31 + 385q^-30 + 567q^-29 + 233q^-28 - 344q^-27 - 622q^-26 - 316q^-25 + 308q^-24 + 660q^-23 + 386q^-22 - 276q^-21 - 699q^-20 - 445q^-19 + 259q^-18 + 729q^-17 + 496q^-16 - 234q^-15 - 761q^-14 - 550q^-13 + 212q^-12 + 777q^-11 + 595q^-10 - 158q^-9 - 769q^-8 - 652q^-7 + 94q^-6 + 733q^-5 + 669q^-4 + 3q^-3 - 640q^-2 - 679q^-1 - 95 + 524q + 619q² + 176q³ - 365q⁴ - 534q⁵ - 218q⁶ + 220q⁷ + 402q⁸ + 223q⁹ - 100q¹⁰ - 269q¹¹ - 184q¹² + 20q¹³ + 150q¹⁴ + 133q¹⁵ + 18q¹⁶ - 75q¹⁷ - 73q¹⁸ - 23q¹⁹ + 23q²⁰ + 36q²¹ + 20q²² - 10q²³ - 13q²⁴ - 6q²⁵ - q²⁶ + 4q²⁷ + 4q²⁸ - q²⁹ - q³⁰
6	q^-126 - 2q^-125 - q^-124 + 2q^-123 + q^-122 + 2q^-121 - 2q^-120 + 4q^-119 - 7q^-118 - 9q^-117 + 3q^-116 + 4q^-115 + 11q^-114 + 2q^-113 + 17q^-112 - 13q^-111 - 25q^-110 - 13q^-109 - 8q^-108 + 14q^-107 + 8q^-106 + 57q^-105 + 6q^-104 - 18q^-103 - 25q^-102 - 38q^-101 - 19q^-100 - 34q^-99 + 63q^-98 + 26q^-97 + 33q^-96 + 30q^-95 + 8q^-94 - 11q^-93 - 95q^-92 - 23q^-91 - 80q^-90 - 16q^-89 + 54q^-88 + 132q^-87 + 170q^-86 + 32q^-85 - 4q^-84 - 217q^-83 - 254q^-82 - 192q^-81 + 28q^-80 + 305q^-79 + 337q^-78 + 342q^-77 - 2q^-76 - 320q^-75 - 556q^-74 - 456q^-73 - 17q^-72 + 334q^-71 + 709q^-70 + 598q^-69 + 169q^-68 - 478q^-67 - 867q^-66 - 684q^-65 - 286q^-64 + 519q^-63 + 1025q^-62 + 966q^-61 + 238q^-60 - 661q^-59 - 1093q^-58 - 1165q^-57 - 300q^-56 + 810q^-55 + 1470q^-54 + 1167q^-53 + 131q^-52 - 885q^-51 - 1748q^-50 - 1293q^-49 + 73q^-48 + 1422q^-47 + 1826q^-46 + 1065q^-45 - 244q^-44 - 1864q^-43 - 2050q^-42 - 769q^-41 + 1029q^-40 + 2109q^-39 + 1799q^-38 + 450q^-37 - 1720q^-36 - 2495q^-35 - 1423q^-34 + 615q^-33 + 2192q^-32 + 2268q^-31 + 955q^-30 - 1574q^-29 - 2759q^-28 - 1835q^-27 + 360q^-26 + 2265q^-25 + 2574q^-24 + 1251q^-23 - 1537q^-22 - 2984q^-21 - 2118q^-20 + 223q^-19 + 2379q^-18 + 2850q^-17 + 1503q^-16 - 1493q^-15 - 3187q^-14 - 2441q^-13 - 28q^-12 + 2364q^-11 + 3101q^-10 + 1899q^-9 - 1158q^-8 - 3140q^-7 - 2772q^-6 - 580q^-5 + 1903q^-4 + 3042q^-3 + 2325q^-2 - 396q^-1 - 2508 - 2730q - 1207q² + 940q³ + 2334q⁴ + 2310q⁵ + 433q⁶ - 1358q⁷ - 2008q⁸ - 1366q⁹ - 19q¹⁰ + 1181q¹¹ + 1625q¹² + 746q¹³ - 318q¹⁴ - 952q¹⁵ - 916q¹⁶ - 401q¹⁷ + 270q¹⁸ + 730q¹⁹ + 495q²⁰ + 104q²¹ - 222q²² - 341q²³ - 274q²⁴ - 51q²⁵ + 187q²⁶ + 161q²⁷ + 88q²⁸ + 2q²⁹ - 54q³⁰ - 84q³¹ - 45q³² + 28q³³ + 21q³⁴ + 19q³⁵ + 10q³⁶ + 2q³⁷ - 14q³⁸ - 11q³⁹ + 6q⁴⁰ + q⁴² + q⁴³ + 2q⁴⁴ - q⁴⁵ - 2q⁴⁶ + q⁴⁷
7	q^-168 - 2q^-167 - q^-166 + 2q^-165 + q^-164 + 2q^-163 - 2q^-162 + 2q^-160 - 7q^-159 - 6q^-158 + 2q^-157 + 4q^-156 + 13q^-155 + 4q^-154 + 8q^-152 - 17q^-151 - 21q^-150 - 16q^-149 - 10q^-148 + 24q^-147 + 24q^-146 + 20q^-145 + 37q^-144 - 2q^-143 - 22q^-142 - 37q^-141 - 69q^-140 - 13q^-139 + 6q^-138 + 14q^-137 + 65q^-136 + 45q^-135 + 49q^-134 + 34q^-133 - 56q^-132 - 37q^-131 - 50q^-130 - 93q^-129 - 40q^-128 - 53q^-127 + 28q^-126 + 135q^-125 + 109q^-124 + 166q^-123 + 132q^-122 - 29q^-121 - 126q^-120 - 318q^-119 - 350q^-118 - 172q^-117 - 32q^-116 + 296q^-115 + 530q^-114 + 508q^-113 + 390q^-112 - 65q^-111 - 535q^-110 - 750q^-109 - 835q^-108 - 441q^-107 + 196q^-106 + 731q^-105 + 1200q^-104 + 1075q^-103 + 472q^-102 - 304q^-101 - 1215q^-100 - 1587q^-99 - 1304q^-98 - 559q^-97 + 695q^-96 + 1709q^-95 + 2053q^-94 + 1662q^-93 + 310q^-92 - 1223q^-91 - 2345q^-90 - 2692q^-89 - 1703q^-88 + 110q^-87 + 2023q^-86 + 3336q^-85 + 3101q^-84 + 1440q^-83 - 979q^-82 - 3323q^-81 - 4198q^-80 - 3184q^-79 - 626q^-78 + 2606q^-77 + 4746q^-76 + 4757q^-75 + 2520q^-74 - 1234q^-73 - 4609q^-72 - 5923q^-71 - 4471q^-70 - 556q^-69 + 3871q^-68 + 6557q^-67 + 6174q^-66 + 2511q^-65 - 2632q^-64 - 6644q^-63 - 7524q^-62 - 4450q^-61 + 1147q^-60 + 6312q^-59 + 8457q^-58 + 6158q^-57 + 418q^-56 - 5653q^-55 - 9036q^-54 - 7614q^-53 - 1899q^-52 + 4896q^-51 + 9326q^-50 + 8744q^-49 + 3213q^-48 - 4111q^-47 - 9446q^-46 - 9642q^-45 - 4273q^-44 + 3436q^-43 + 9466q^-42 + 10301q^-41 + 5114q^-40 - 2896q^-39 - 9500q^-38 - 10806q^-37 - 5713q^-36 + 2537q^-35 + 9546q^-34 + 11209q^-33 + 6162q^-32 - 2335q^-31 - 9683q^-30 - 11579q^-29 - 6488q^-28 + 2241q^-27 + 9874q^-26 + 11968q^-25 + 6826q^-24 - 2157q^-23 - 10106q^-22 - 12424q^-21 - 7261q^-20 + 1973q^-19 + 10277q^-18 + 12914q^-17 + 7866q^-16 - 1525q^-15 - 10222q^-14 - 13368q^-13 - 8687q^-12 + 719q^-11 + 9820q^-10 + 13611q^-9 + 9547q^-8 + 461q^-7 - 8824q^-6 - 13394q^-5 - 10356q^-4 - 1972q^-3 + 7327q^-2 + 12593q^-1 + 10717 + 3459q - 5274q² - 11014q³ - 10520q⁴ - 4769q⁵ + 3064q⁶ + 8929q⁷ + 9541q⁸ + 5444q⁹ - 970q¹⁰ - 6433q¹¹ - 7943q¹² - 5495q¹³ - 635q¹⁴ + 4054q¹⁵ + 5982q¹⁶ + 4835q¹⁷ + 1569q¹⁸ - 2063q¹⁹ - 3981q²⁰ - 3765q²¹ - 1856q²² + 690q²³ + 2298q²⁴ + 2583q²⁵ + 1636q²⁶ + 54q²⁷ - 1104q²⁸ - 1526q²⁹ - 1177q³⁰ - 325q³¹ + 386q³² + 766q³³ + 736q³⁴ + 314q³⁵ - 77q³⁶ - 327q³⁷ - 361q³⁸ - 196q³⁹ - 46q⁴⁰ + 96q⁴¹ + 171q⁴² + 113q⁴³ + 32q⁴⁴ - 31q⁴⁵ - 57q⁴⁶ - 32q⁴⁷ - 26q⁴⁸ - 7q⁴⁹ + 24q⁵⁰ + 18q⁵¹ + 9q⁵² - 4q⁵³ - 7q⁵⁴ + q⁵⁵ - 2q⁵⁶ - 4q⁵⁷ + 2q⁵⁸ + 2q⁵⁹ + 2q⁶⁰ - q⁶¹ - 2q⁶² + q⁶³

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 137]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[16, 12, 17, 11], X[14, 7, 15, 8], X[6, 15, 7, 16], X[20, 18, 1, 17], > X[18, 13, 19, 14], X[12, 19, 13, 20]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 137]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, -7, 6, 3, -4, 2, 5, -10, 9, -6, 7, -5, 8, -9, 10, > -8]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 137]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 10, -14, 2, -16, -18, -6, -20, -12]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 137]]
Out[5]=	BR[5, {-1, 2, -1, 2, -3, -2, -2, 4, -3, 4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 137]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 137]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 137]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 137]][t]
Out[10]=	-2 6 2 11 + t - - - 6 t + t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 137]][z]
Out[11]=	2 4 1 - 2 z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 137]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 137]], KnotSignature[Knot[10, 137]]}
Out[13]=	{25, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 137]][q]
Out[14]=	-6 2 3 4 4 4 2 4 + q - -- + -- - -- + -- - - - 2 q + q 5 4 3 2 q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 137], Knot[10, 155], Knot[11, NonAlternating, 37]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 137]][q]
Out[16]=	-20 -18 -16 -12 -10 -8 -4 2 4 6 8 q + q - q - q - q + q + q + q - q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 137]][a, z]
Out[17]=	-2 2 4 6 2 2 2 4 2 2 4 -1 + a + 2 a - 2 a + a - 2 z + 2 a z - 2 a z + a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 137]][a, z]
Out[18]=	2 -2 2 4 6 z 3 5 2 z -1 - a - 2 a - 2 a - a - - - 3 a z - 5 a z - 3 a z + 4 z + -- + a 2 a 3 2 2 4 2 6 2 2 z 3 3 3 5 3 4 > 7 a z + 8 a z + 4 a z + ---- + 9 a z + 15 a z + 8 a z - 2 z - a 2 4 4 4 6 4 5 3 5 5 5 6 2 6 > 5 a z - 7 a z - 4 a z - 7 a z - 15 a z - 8 a z + z - a z - 4 6 6 6 7 3 7 5 7 2 8 4 8 > a z + a z + 2 a z + 4 a z + 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 137]], Vassiliev[3][Knot[10, 137]]}
Out[19]=	{-2, 2}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 137]][q, t]
Out[20]=	2 1 1 1 2 1 2 2 2 - + 3 q + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + q 13 6 11 5 9 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 q t q t q t q t q t q t q t q t 2 2 2 3 5 2 > ----- + ---- + --- + q t + q t + q t 3 2 3 q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 137], 2][q]
Out[21]=	-18 2 -16 6 4 6 11 2 11 11 3 13 -1 + q - --- - q + --- - --- - --- + --- - --- - --- + -- + -- - -- + 17 15 14 13 12 11 10 9 8 7 q q q q q q q q q q 7 8 13 2 10 9 2 3 4 > -- + -- - -- + -- + -- - - + 7 q - 3 q - 2 q + 2 q 6 5 4 3 2 q q q q q q

The Non Alternating Knot 10137

The Non Alternating Knot 10₁₃₇