The Non Alternating Knot 10₁₃₆

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,10,6,11 X₃₉₄₈ X_9,3,10,2 X_14,8,15,7 X_18,12,19,11 X_20,15,1,16 X_16,19,17,20 X_12,18,13,17 X_6,14,7,13

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, -10, 5, 3, -4, 2, 6, -9, 10, -5, 7, -8, 9, -6, 8, -7}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 10 -14 2 -18 -6 -20 -12 -16

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: - t^-2 + 4t^-1 - 5 + 4t - t²

Conway Polynomial: 1 - z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {8₂₁, ...}

Determinant and Signature: {15, 2}

Jones Polynomial: q^-3 - 2q^-2 + 2q^-1 - 2 + 3q - 2q² + 2q³ - q⁴

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n92, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-10 - q^-2 + q⁴ + 2q⁶ + q⁸ + q¹⁰ - q¹² - q¹⁴

HOMFLY-PT Polynomial: - a^-4 + 3a^-2 + 2a^-2z² - 2 - 3z² - z⁴ + a² + a²z²

Kauffman Polynomial: - a^-4 + a^-4z² - 2a^-3z + 7a^-3z³ - 5a^-3z⁵ + a^-3z⁷ - 3a^-2 + 4a^-2z² + 2a^-2z⁴ - 4a^-2z⁶ + a^-2z⁸ - 4a^-1z + 16a^-1z³ - 14a^-1z⁵ + 3a^-1z⁷ - 2 + 6z² - 2z⁴ - 3z⁶ + z⁸ - 2az + 9az³ - 9az⁵ + 2az⁷ - a² + 3a²z² - 4a²z⁴ + a²z⁶

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, 1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 10₁₃₆. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3

j = 9 1

j = 7 1

j = 5 1 1

j = 3 2 1

j = 1 1 2

j = -1 1 2 1

j = -3 1 1

j = -5 1

j = -7 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-10 - 2q^-9 - q^-8 + 5q^-7 - 3q^-6 - 3q^-5 + 6q^-4 - 2q^-3 - 3q^-2 + 3q^-1 - q + q³ + q⁴ - 3q⁵ + 2q⁶ + 3q⁷ - 4q⁸ + 3q¹⁰ - 2q¹¹ - q¹² + q¹³

3 q^-21 - 2q^-20 - q^-19 + 2q^-18 + 4q^-17 - 2q^-16 - 7q^-15 + 2q^-14 + 7q^-13 - 7q^-11 + 5q^-9 - 2q^-8 - 2q^-7 + 5q^-6 + q^-5 - 10q^-4 + 14q^-2 + 2q^-1 - 19 - 2q + 21q² + 6q³ - 26q⁴ - 5q⁵ + 26q⁶ + 8q⁷ - 30q⁸ - 6q⁹ + 29q¹⁰ + 8q¹¹ - 29q¹² - 8q¹³ + 25q¹⁴ + 11q¹⁵ - 21q¹⁶ - 10q¹⁷ + 13q¹⁸ + 8q¹⁹ - 6q²⁰ - 7q²¹ + 3q²² + 3q²³ - q²⁵

4 q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 2q^-33 + q^-32 + 5q^-31 - 6q^-30 - 5q^-29 + q^-27 + 15q^-26 - 6q^-25 - 7q^-24 - 3q^-23 - 3q^-22 + 16q^-21 - 7q^-20 - 4q^-19 + 4q^-18 + 11q^-16 - 17q^-15 - 14q^-14 + 13q^-13 + 17q^-12 + 18q^-11 - 23q^-10 - 37q^-9 + 6q^-8 + 27q^-7 + 36q^-6 - 9q^-5 - 54q^-4 - 13q^-3 + 20q^-2 + 50q^-1 + 17 - 58q - 29q² + 4q³ + 53q⁴ + 41q⁵ - 55q⁶ - 39q⁷ - 9q⁸ + 52q⁹ + 57q¹⁰ - 54q¹¹ - 45q¹² - 16q¹³ + 51q¹⁴ + 67q¹⁵ - 51q¹⁶ - 48q¹⁷ - 22q¹⁸ + 45q¹⁹ + 71q²⁰ - 36q²¹ - 42q²² - 33q²³ + 26q²⁴ + 62q²⁵ - 13q²⁶ - 22q²⁷ - 31q²⁸ + 2q²⁹ + 33q³⁰ + 2q³¹ + q³² - 15q³³ - 7q³⁴ + 8q³⁵ + q³⁶ + 5q³⁷ - 2q³⁸ - 2q³⁹ - q⁴¹ + q⁴²

5 q^-55 - 2q^-54 - q^-53 + 2q^-52 + q^-51 + 2q^-50 + q^-49 - 4q^-48 - 7q^-47 + 4q^-45 + 8q^-44 + 6q^-43 - 2q^-42 - 10q^-41 - 12q^-40 + 2q^-39 + 10q^-38 + 8q^-37 + 2q^-36 - 6q^-35 - 10q^-34 + 4q^-33 + 11q^-32 - 10q^-30 - 16q^-29 - 5q^-28 + 20q^-27 + 32q^-26 + 13q^-25 - 23q^-24 - 45q^-23 - 31q^-22 + 14q^-21 + 51q^-20 + 51q^-19 + 4q^-18 - 46q^-17 - 58q^-16 - 30q^-15 + 24q^-14 + 61q^-13 + 48q^-12 + 3q^-11 - 40q^-10 - 61q^-9 - 37q^-8 + 19q^-7 + 54q^-6 + 60q^-5 + 22q^-4 - 44q^-3 - 80q^-2 - 52q^-1 + 21 + 87q + 86q² + 4q³ - 92q⁴ - 110q⁵ - 28q⁶ + 92q⁷ + 131q⁸ + 49q⁹ - 89q¹⁰ - 149q¹¹ - 64q¹² + 90q¹³ + 159q¹⁴ + 75q¹⁵ - 90q¹⁶ - 171q¹⁷ - 81q¹⁸ + 94q¹⁹ + 176q²⁰ + 86q²¹ - 94q²² - 184q²³ - 93q²⁴ + 95q²⁵ + 188q²⁶ + 103q²⁷ - 87q²⁸ - 191q²⁹ - 113q³⁰ + 69q³¹ + 184q³² + 126q³³ - 43q³⁴ - 165q³⁵ - 130q³⁶ + 12q³⁷ + 128q³⁸ + 124q³⁹ + 19q⁴⁰ - 86q⁴¹ - 106q⁴² - 37q⁴³ + 45q⁴⁴ + 73q⁴⁵ + 45q⁴⁶ - 12q⁴⁷ - 44q⁴⁸ - 37q⁴⁹ - 4q⁵⁰ + 19q⁵¹ + 22q⁵² + 10q⁵³ - 4q⁵⁴ - 11q⁵⁵ - 7q⁵⁶ + 2q⁵⁸ + 3q⁵⁹ + q⁶⁰ - q⁶²

6 q^-78 - 2q^-77 - q^-76 + 2q^-75 + q^-74 + 2q^-73 - 2q^-72 + 3q^-71 - 6q^-70 - 7q^-69 + 3q^-68 + 3q^-67 + 8q^-66 + 2q^-65 + 11q^-64 - 12q^-63 - 15q^-62 - 5q^-61 - 2q^-60 + 9q^-59 + 5q^-58 + 28q^-57 - 11q^-56 - 14q^-55 - 6q^-54 - 6q^-53 + 7q^-52 + 24q^-50 - 22q^-49 - 18q^-48 - q^-47 + 7q^-46 + 30q^-45 + 22q^-44 + 25q^-43 - 45q^-42 - 53q^-41 - 34q^-40 - 16q^-39 + 50q^-38 + 69q^-37 + 73q^-36 - 10q^-35 - 51q^-34 - 65q^-33 - 90q^-32 - 2q^-31 + 42q^-30 + 86q^-29 + 52q^-28 + 33q^-27 + 8q^-26 - 92q^-25 - 47q^-24 - 63q^-23 - 21q^-22 + 4q^-21 + 77q^-20 + 132q^-19 + 35q^-18 + 48q^-17 - 93q^-16 - 150q^-15 - 166q^-14 - 33q^-13 + 142q^-12 + 166q^-11 + 253q^-10 + 31q^-9 - 155q^-8 - 315q^-7 - 233q^-6 - 4q^-5 + 177q^-4 + 427q^-3 + 231q^-2 - 28q^-1 - 352 - 398q - 210q² + 81q³ + 503q⁴ + 402q⁵ + 141q⁶ - 307q⁷ - 487q⁸ - 384q⁹ - 37q¹⁰ + 516q¹¹ + 511q¹² + 273q¹³ - 251q¹⁴ - 527q¹⁵ - 497q¹⁶ - 119q¹⁷ + 516q¹⁸ + 571q¹⁹ + 347q²⁰ - 221q²¹ - 548q²² - 557q²³ - 151q²⁴ + 523q²⁵ + 599q²⁶ + 378q²⁷ - 214q²⁸ - 566q²⁹ - 588q³⁰ - 159q³¹ + 528q³² + 620q³³ + 403q³⁴ - 196q³⁵ - 574q³⁶ - 625q³⁷ - 193q³⁸ + 489q³⁹ + 633q⁴⁰ + 461q⁴¹ - 113q⁴² - 522q⁴³ - 649q⁴⁴ - 284q⁴⁵ + 341q⁴⁶ + 562q⁴⁷ + 506q⁴⁸ + 53q⁴⁹ - 339q⁵⁰ - 560q⁵¹ - 358q⁵² + 98q⁵³ + 346q⁵⁴ + 422q⁵⁵ + 187q⁵⁶ - 83q⁵⁷ - 322q⁵⁸ - 290q⁵⁹ - 80q⁶⁰ + 90q⁶¹ + 213q⁶² + 167q⁶³ + 64q⁶⁴ - 88q⁶⁵ - 123q⁶⁶ - 86q⁶⁷ - 30q⁶⁸ + 41q⁶⁹ + 61q⁷⁰ + 54q⁷¹ + 4q⁷² - 14q⁷³ - 25q⁷⁴ - 22q⁷⁵ - 6q⁷⁶ + 5q⁷⁷ + 10q⁷⁸ + 4q⁷⁹ + 5q⁸⁰ - q⁸¹ - 2q⁸² - 2q⁸³ - q⁸⁶ + q⁸⁷

7 q^-105 - 2q^-104 - q^-103 + 2q^-102 + q^-101 + 2q^-100 - 2q^-99 + q^-97 - 6q^-96 - 4q^-95 + 2q^-94 + 3q^-93 + 10q^-92 + 3q^-91 + 4q^-89 - 14q^-88 - 12q^-87 - 8q^-86 - 4q^-85 + 16q^-84 + 15q^-83 + 10q^-82 + 13q^-81 - 12q^-80 - 13q^-79 - 12q^-78 - 24q^-77 + 10q^-76 + 17q^-75 + 11q^-74 + 12q^-73 - 16q^-72 - 12q^-71 - q^-70 - 14q^-69 + 23q^-68 + 36q^-67 + 18q^-66 + 5q^-65 - 50q^-64 - 59q^-63 - 35q^-62 - 23q^-61 + 38q^-60 + 86q^-59 + 82q^-58 + 66q^-57 - 18q^-56 - 88q^-55 - 99q^-54 - 104q^-53 - 40q^-52 + 37q^-51 + 85q^-50 + 123q^-49 + 91q^-48 + 20q^-47 - 18q^-46 - 71q^-45 - 92q^-44 - 75q^-43 - 73q^-42 - 26q^-41 + 21q^-40 + 60q^-39 + 124q^-38 + 150q^-37 + 117q^-36 + 46q^-35 - 100q^-34 - 228q^-33 - 265q^-32 - 223q^-31 - 35q^-30 + 200q^-29 + 370q^-28 + 417q^-27 + 255q^-26 - 59q^-25 - 359q^-24 - 556q^-23 - 508q^-22 - 184q^-21 + 220q^-20 + 591q^-19 + 709q^-18 + 478q^-17 + 34q^-16 - 492q^-15 - 825q^-14 - 745q^-13 - 345q^-12 + 263q^-11 + 815q^-10 + 952q^-9 + 672q^-8 + 30q^-7 - 692q^-6 - 1049q^-5 - 962q^-4 - 368q^-3 + 489q^-2 + 1068q^-1 + 1174 + 689q - 232q² - 1001q³ - 1338q⁴ - 978q⁵ - 11q⁶ + 897q⁷ + 1418q⁸ + 1210q⁹ + 265q¹⁰ - 772q¹¹ - 1488q¹² - 1400q¹³ - 447q¹⁴ + 666q¹⁵ + 1490q¹⁶ + 1538q¹⁷ + 630q¹⁸ - 564q¹⁹ - 1534q²⁰ - 1652q²¹ - 719q²² + 504q²³ + 1518q²⁴ + 1720q²⁵ + 830q²⁶ - 452q²⁷ - 1560q²⁸ - 1783q²⁹ - 852q³⁰ + 440q³¹ + 1544q³² + 1811q³³ + 907q³⁴ - 422q³⁵ - 1583q³⁶ - 1850q³⁷ - 907q³⁸ + 430q³⁹ + 1580q⁴⁰ + 1875q⁴¹ + 951q⁴² - 415q⁴³ - 1614q⁴⁴ - 1922q⁴⁵ - 988q⁴⁶ + 387q⁴⁷ + 1607q⁴⁸ + 1972q⁴⁹ + 1087q⁵⁰ - 312q⁵¹ - 1585q⁵² - 2016q⁵³ - 1195q⁵⁴ + 169q⁵⁵ + 1470q⁵⁶ + 2021q⁵⁷ + 1340q⁵⁸ + 46q⁵⁹ - 1286q⁶⁰ - 1937q⁶¹ - 1434q⁶² - 298q⁶³ + 965q⁶⁴ + 1729q⁶⁵ + 1476q⁶⁶ + 552q⁶⁷ - 601q⁶⁸ - 1414q⁶⁹ - 1362q⁷⁰ - 728q⁷¹ + 211q⁷² + 994q⁷³ + 1145q⁷⁴ + 791q⁷⁵ + 103q⁷⁶ - 577q⁷⁷ - 840q⁷⁸ - 708q⁷⁹ - 284q⁸⁰ + 225q⁸¹ + 497q⁸² + 539q⁸³ + 346q⁸⁴ - 235q⁸⁶ - 336q⁸⁷ - 272q⁸⁸ - 99q⁸⁹ + 46q⁹⁰ + 154q⁹¹ + 184q⁹² + 109q⁹³ + 22q⁹⁴ - 48q⁹⁵ - 82q⁹⁶ - 64q⁹⁷ - 45q⁹⁸ - 5q⁹⁹ + 29q¹⁰⁰ + 32q¹⁰¹ + 23q¹⁰² + 12q¹⁰³ - 2q¹⁰⁴ - 6q¹⁰⁵ - 10q¹⁰⁶ - 9q¹⁰⁷ - q¹⁰⁸ + 2q¹¹⁰ + 2q¹¹¹ + q¹¹² + q¹¹³ - q¹¹⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 136]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[14, 8, 15, 7], X[18, 12, 19, 11], X[20, 15, 1, 16], X[16, 19, 17, 20], > X[12, 18, 13, 17], X[6, 14, 7, 13]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 136]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, -10, 5, 3, -4, 2, 6, -9, 10, -5, 7, -8, 9, -6, 8, > -7]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 136]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 10, -14, 2, -18, -6, -20, -12, -16]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 136]]

Out[5]=
BR[5, {1, -2, 1, -2, -3, 2, 2, 4, -3, 4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 136]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 136]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 136]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 3, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 136]][t]

Out[10]=
-2 4 2 -5 - t + - + 4 t - t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 136]][z]

Out[11]=
4 1 - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 21], Knot[10, 136]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 136]], KnotSignature[Knot[10, 136]]}

Out[13]=
{15, 2}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 136]][q]

Out[14]=
-3 2 2 2 3 4 -2 + q - -- + - + 3 q - 2 q + 2 q - q 2 q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 136], Knot[11, NonAlternating, 92]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 136]][q]

Out[16]=
-10 -2 4 6 8 10 12 14 q - q + q + 2 q + q + q - q - q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 136]][a, z]

Out[17]=
2 -4 3 2 2 2 z 2 2 4 -2 - a + -- + a - 3 z + ---- + a z - z 2 2 a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 136]][a, z]

Out[18]=
2 2 3 -4 3 2 2 z 4 z 2 z 4 z 2 2 7 z -2 - a - -- - a - --- - --- - 2 a z + 6 z + -- + ---- + 3 a z + ---- + 2 3 a 4 2 3 a a a a a 3 4 5 5 16 z 3 4 2 z 2 4 5 z 14 z 5 6 > ----- + 9 a z - 2 z + ---- - 4 a z - ---- - ----- - 9 a z - 3 z - a 2 3 a a a 6 7 7 8 4 z 2 6 z 3 z 7 8 z > ---- + a z + -- + ---- + 2 a z + z + -- 2 3 a 2 a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 136]], Vassiliev[3][Knot[10, 136]]}

Out[19]=
{0, 1}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 136]][q, t]

Out[20]=
1 3 1 1 1 1 1 2 q 3 5 - + 2 q + 2 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + - + q t + q t + q 7 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t 5 2 7 2 9 3 > q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 136], 2][q]

Out[21]=
-10 2 -8 5 3 3 6 2 3 3 3 4 5 6 q - -- - q + -- - -- - -- + -- - -- - -- + - - q + q + q - 3 q + 2 q + 9 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 7 8 10 11 12 13 > 3 q - 4 q + 3 q - 2 q - q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₁₃₆

10₁₃₅
10₁₃₇

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-10 - 2q^-9 - q^-8 + 5q^-7 - 3q^-6 - 3q^-5 + 6q^-4 - 2q^-3 - 3q^-2 + 3q^-1 - q + q³ + q⁴ - 3q⁵ + 2q⁶ + 3q⁷ - 4q⁸ + 3q¹⁰ - 2q¹¹ - q¹² + q¹³
3	q^-21 - 2q^-20 - q^-19 + 2q^-18 + 4q^-17 - 2q^-16 - 7q^-15 + 2q^-14 + 7q^-13 - 7q^-11 + 5q^-9 - 2q^-8 - 2q^-7 + 5q^-6 + q^-5 - 10q^-4 + 14q^-2 + 2q^-1 - 19 - 2q + 21q² + 6q³ - 26q⁴ - 5q⁵ + 26q⁶ + 8q⁷ - 30q⁸ - 6q⁹ + 29q¹⁰ + 8q¹¹ - 29q¹² - 8q¹³ + 25q¹⁴ + 11q¹⁵ - 21q¹⁶ - 10q¹⁷ + 13q¹⁸ + 8q¹⁹ - 6q²⁰ - 7q²¹ + 3q²² + 3q²³ - q²⁵
4	q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 2q^-33 + q^-32 + 5q^-31 - 6q^-30 - 5q^-29 + q^-27 + 15q^-26 - 6q^-25 - 7q^-24 - 3q^-23 - 3q^-22 + 16q^-21 - 7q^-20 - 4q^-19 + 4q^-18 + 11q^-16 - 17q^-15 - 14q^-14 + 13q^-13 + 17q^-12 + 18q^-11 - 23q^-10 - 37q^-9 + 6q^-8 + 27q^-7 + 36q^-6 - 9q^-5 - 54q^-4 - 13q^-3 + 20q^-2 + 50q^-1 + 17 - 58q - 29q² + 4q³ + 53q⁴ + 41q⁵ - 55q⁶ - 39q⁷ - 9q⁸ + 52q⁹ + 57q¹⁰ - 54q¹¹ - 45q¹² - 16q¹³ + 51q¹⁴ + 67q¹⁵ - 51q¹⁶ - 48q¹⁷ - 22q¹⁸ + 45q¹⁹ + 71q²⁰ - 36q²¹ - 42q²² - 33q²³ + 26q²⁴ + 62q²⁵ - 13q²⁶ - 22q²⁷ - 31q²⁸ + 2q²⁹ + 33q³⁰ + 2q³¹ + q³² - 15q³³ - 7q³⁴ + 8q³⁵ + q³⁶ + 5q³⁷ - 2q³⁸ - 2q³⁹ - q⁴¹ + q⁴²
5	q^-55 - 2q^-54 - q^-53 + 2q^-52 + q^-51 + 2q^-50 + q^-49 - 4q^-48 - 7q^-47 + 4q^-45 + 8q^-44 + 6q^-43 - 2q^-42 - 10q^-41 - 12q^-40 + 2q^-39 + 10q^-38 + 8q^-37 + 2q^-36 - 6q^-35 - 10q^-34 + 4q^-33 + 11q^-32 - 10q^-30 - 16q^-29 - 5q^-28 + 20q^-27 + 32q^-26 + 13q^-25 - 23q^-24 - 45q^-23 - 31q^-22 + 14q^-21 + 51q^-20 + 51q^-19 + 4q^-18 - 46q^-17 - 58q^-16 - 30q^-15 + 24q^-14 + 61q^-13 + 48q^-12 + 3q^-11 - 40q^-10 - 61q^-9 - 37q^-8 + 19q^-7 + 54q^-6 + 60q^-5 + 22q^-4 - 44q^-3 - 80q^-2 - 52q^-1 + 21 + 87q + 86q² + 4q³ - 92q⁴ - 110q⁵ - 28q⁶ + 92q⁷ + 131q⁸ + 49q⁹ - 89q¹⁰ - 149q¹¹ - 64q¹² + 90q¹³ + 159q¹⁴ + 75q¹⁵ - 90q¹⁶ - 171q¹⁷ - 81q¹⁸ + 94q¹⁹ + 176q²⁰ + 86q²¹ - 94q²² - 184q²³ - 93q²⁴ + 95q²⁵ + 188q²⁶ + 103q²⁷ - 87q²⁸ - 191q²⁹ - 113q³⁰ + 69q³¹ + 184q³² + 126q³³ - 43q³⁴ - 165q³⁵ - 130q³⁶ + 12q³⁷ + 128q³⁸ + 124q³⁹ + 19q⁴⁰ - 86q⁴¹ - 106q⁴² - 37q⁴³ + 45q⁴⁴ + 73q⁴⁵ + 45q⁴⁶ - 12q⁴⁷ - 44q⁴⁸ - 37q⁴⁹ - 4q⁵⁰ + 19q⁵¹ + 22q⁵² + 10q⁵³ - 4q⁵⁴ - 11q⁵⁵ - 7q⁵⁶ + 2q⁵⁸ + 3q⁵⁹ + q⁶⁰ - q⁶²
6	q^-78 - 2q^-77 - q^-76 + 2q^-75 + q^-74 + 2q^-73 - 2q^-72 + 3q^-71 - 6q^-70 - 7q^-69 + 3q^-68 + 3q^-67 + 8q^-66 + 2q^-65 + 11q^-64 - 12q^-63 - 15q^-62 - 5q^-61 - 2q^-60 + 9q^-59 + 5q^-58 + 28q^-57 - 11q^-56 - 14q^-55 - 6q^-54 - 6q^-53 + 7q^-52 + 24q^-50 - 22q^-49 - 18q^-48 - q^-47 + 7q^-46 + 30q^-45 + 22q^-44 + 25q^-43 - 45q^-42 - 53q^-41 - 34q^-40 - 16q^-39 + 50q^-38 + 69q^-37 + 73q^-36 - 10q^-35 - 51q^-34 - 65q^-33 - 90q^-32 - 2q^-31 + 42q^-30 + 86q^-29 + 52q^-28 + 33q^-27 + 8q^-26 - 92q^-25 - 47q^-24 - 63q^-23 - 21q^-22 + 4q^-21 + 77q^-20 + 132q^-19 + 35q^-18 + 48q^-17 - 93q^-16 - 150q^-15 - 166q^-14 - 33q^-13 + 142q^-12 + 166q^-11 + 253q^-10 + 31q^-9 - 155q^-8 - 315q^-7 - 233q^-6 - 4q^-5 + 177q^-4 + 427q^-3 + 231q^-2 - 28q^-1 - 352 - 398q - 210q² + 81q³ + 503q⁴ + 402q⁵ + 141q⁶ - 307q⁷ - 487q⁸ - 384q⁹ - 37q¹⁰ + 516q¹¹ + 511q¹² + 273q¹³ - 251q¹⁴ - 527q¹⁵ - 497q¹⁶ - 119q¹⁷ + 516q¹⁸ + 571q¹⁹ + 347q²⁰ - 221q²¹ - 548q²² - 557q²³ - 151q²⁴ + 523q²⁵ + 599q²⁶ + 378q²⁷ - 214q²⁸ - 566q²⁹ - 588q³⁰ - 159q³¹ + 528q³² + 620q³³ + 403q³⁴ - 196q³⁵ - 574q³⁶ - 625q³⁷ - 193q³⁸ + 489q³⁹ + 633q⁴⁰ + 461q⁴¹ - 113q⁴² - 522q⁴³ - 649q⁴⁴ - 284q⁴⁵ + 341q⁴⁶ + 562q⁴⁷ + 506q⁴⁸ + 53q⁴⁹ - 339q⁵⁰ - 560q⁵¹ - 358q⁵² + 98q⁵³ + 346q⁵⁴ + 422q⁵⁵ + 187q⁵⁶ - 83q⁵⁷ - 322q⁵⁸ - 290q⁵⁹ - 80q⁶⁰ + 90q⁶¹ + 213q⁶² + 167q⁶³ + 64q⁶⁴ - 88q⁶⁵ - 123q⁶⁶ - 86q⁶⁷ - 30q⁶⁸ + 41q⁶⁹ + 61q⁷⁰ + 54q⁷¹ + 4q⁷² - 14q⁷³ - 25q⁷⁴ - 22q⁷⁵ - 6q⁷⁶ + 5q⁷⁷ + 10q⁷⁸ + 4q⁷⁹ + 5q⁸⁰ - q⁸¹ - 2q⁸² - 2q⁸³ - q⁸⁶ + q⁸⁷
7	q^-105 - 2q^-104 - q^-103 + 2q^-102 + q^-101 + 2q^-100 - 2q^-99 + q^-97 - 6q^-96 - 4q^-95 + 2q^-94 + 3q^-93 + 10q^-92 + 3q^-91 + 4q^-89 - 14q^-88 - 12q^-87 - 8q^-86 - 4q^-85 + 16q^-84 + 15q^-83 + 10q^-82 + 13q^-81 - 12q^-80 - 13q^-79 - 12q^-78 - 24q^-77 + 10q^-76 + 17q^-75 + 11q^-74 + 12q^-73 - 16q^-72 - 12q^-71 - q^-70 - 14q^-69 + 23q^-68 + 36q^-67 + 18q^-66 + 5q^-65 - 50q^-64 - 59q^-63 - 35q^-62 - 23q^-61 + 38q^-60 + 86q^-59 + 82q^-58 + 66q^-57 - 18q^-56 - 88q^-55 - 99q^-54 - 104q^-53 - 40q^-52 + 37q^-51 + 85q^-50 + 123q^-49 + 91q^-48 + 20q^-47 - 18q^-46 - 71q^-45 - 92q^-44 - 75q^-43 - 73q^-42 - 26q^-41 + 21q^-40 + 60q^-39 + 124q^-38 + 150q^-37 + 117q^-36 + 46q^-35 - 100q^-34 - 228q^-33 - 265q^-32 - 223q^-31 - 35q^-30 + 200q^-29 + 370q^-28 + 417q^-27 + 255q^-26 - 59q^-25 - 359q^-24 - 556q^-23 - 508q^-22 - 184q^-21 + 220q^-20 + 591q^-19 + 709q^-18 + 478q^-17 + 34q^-16 - 492q^-15 - 825q^-14 - 745q^-13 - 345q^-12 + 263q^-11 + 815q^-10 + 952q^-9 + 672q^-8 + 30q^-7 - 692q^-6 - 1049q^-5 - 962q^-4 - 368q^-3 + 489q^-2 + 1068q^-1 + 1174 + 689q - 232q² - 1001q³ - 1338q⁴ - 978q⁵ - 11q⁶ + 897q⁷ + 1418q⁸ + 1210q⁹ + 265q¹⁰ - 772q¹¹ - 1488q¹² - 1400q¹³ - 447q¹⁴ + 666q¹⁵ + 1490q¹⁶ + 1538q¹⁷ + 630q¹⁸ - 564q¹⁹ - 1534q²⁰ - 1652q²¹ - 719q²² + 504q²³ + 1518q²⁴ + 1720q²⁵ + 830q²⁶ - 452q²⁷ - 1560q²⁸ - 1783q²⁹ - 852q³⁰ + 440q³¹ + 1544q³² + 1811q³³ + 907q³⁴ - 422q³⁵ - 1583q³⁶ - 1850q³⁷ - 907q³⁸ + 430q³⁹ + 1580q⁴⁰ + 1875q⁴¹ + 951q⁴² - 415q⁴³ - 1614q⁴⁴ - 1922q⁴⁵ - 988q⁴⁶ + 387q⁴⁷ + 1607q⁴⁸ + 1972q⁴⁹ + 1087q⁵⁰ - 312q⁵¹ - 1585q⁵² - 2016q⁵³ - 1195q⁵⁴ + 169q⁵⁵ + 1470q⁵⁶ + 2021q⁵⁷ + 1340q⁵⁸ + 46q⁵⁹ - 1286q⁶⁰ - 1937q⁶¹ - 1434q⁶² - 298q⁶³ + 965q⁶⁴ + 1729q⁶⁵ + 1476q⁶⁶ + 552q⁶⁷ - 601q⁶⁸ - 1414q⁶⁹ - 1362q⁷⁰ - 728q⁷¹ + 211q⁷² + 994q⁷³ + 1145q⁷⁴ + 791q⁷⁵ + 103q⁷⁶ - 577q⁷⁷ - 840q⁷⁸ - 708q⁷⁹ - 284q⁸⁰ + 225q⁸¹ + 497q⁸² + 539q⁸³ + 346q⁸⁴ - 235q⁸⁶ - 336q⁸⁷ - 272q⁸⁸ - 99q⁸⁹ + 46q⁹⁰ + 154q⁹¹ + 184q⁹² + 109q⁹³ + 22q⁹⁴ - 48q⁹⁵ - 82q⁹⁶ - 64q⁹⁷ - 45q⁹⁸ - 5q⁹⁹ + 29q¹⁰⁰ + 32q¹⁰¹ + 23q¹⁰² + 12q¹⁰³ - 2q¹⁰⁴ - 6q¹⁰⁵ - 10q¹⁰⁶ - 9q¹⁰⁷ - q¹⁰⁸ + 2q¹¹⁰ + 2q¹¹¹ + q¹¹² + q¹¹³ - q¹¹⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 136]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[14, 8, 15, 7], X[18, 12, 19, 11], X[20, 15, 1, 16], X[16, 19, 17, 20], > X[12, 18, 13, 17], X[6, 14, 7, 13]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 136]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, -10, 5, 3, -4, 2, 6, -9, 10, -5, 7, -8, 9, -6, 8, > -7]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 136]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 10, -14, 2, -18, -6, -20, -12, -16]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 136]]
Out[5]=	BR[5, {1, -2, 1, -2, -3, 2, 2, 4, -3, 4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 136]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 136]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 136]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 136]][t]
Out[10]=	-2 4 2 -5 - t + - + 4 t - t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 136]][z]
Out[11]=	4 1 - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 21], Knot[10, 136]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 136]], KnotSignature[Knot[10, 136]]}
Out[13]=	{15, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 136]][q]
Out[14]=	-3 2 2 2 3 4 -2 + q - -- + - + 3 q - 2 q + 2 q - q 2 q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 136], Knot[11, NonAlternating, 92]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 136]][q]
Out[16]=	-10 -2 4 6 8 10 12 14 q - q + q + 2 q + q + q - q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 136]][a, z]
Out[17]=	2 -4 3 2 2 2 z 2 2 4 -2 - a + -- + a - 3 z + ---- + a z - z 2 2 a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 136]][a, z]
Out[18]=	2 2 3 -4 3 2 2 z 4 z 2 z 4 z 2 2 7 z -2 - a - -- - a - --- - --- - 2 a z + 6 z + -- + ---- + 3 a z + ---- + 2 3 a 4 2 3 a a a a a 3 4 5 5 16 z 3 4 2 z 2 4 5 z 14 z 5 6 > ----- + 9 a z - 2 z + ---- - 4 a z - ---- - ----- - 9 a z - 3 z - a 2 3 a a a 6 7 7 8 4 z 2 6 z 3 z 7 8 z > ---- + a z + -- + ---- + 2 a z + z + -- 2 3 a 2 a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 136]], Vassiliev[3][Knot[10, 136]]}
Out[19]=	{0, 1}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 136]][q, t]
Out[20]=	1 3 1 1 1 1 1 2 q 3 5 - + 2 q + 2 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + - + q t + q t + q 7 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t 5 2 7 2 9 3 > q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 136], 2][q]
Out[21]=	-10 2 -8 5 3 3 6 2 3 3 3 4 5 6 q - -- - q + -- - -- - -- + -- - -- - -- + - - q + q + q - 3 q + 2 q + 9 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 7 8 10 11 12 13 > 3 q - 4 q + 3 q - 2 q - q + q

The Non Alternating Knot 10136

The Non Alternating Knot 10₁₃₆