© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
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   The Non Alternating Knot 10155   

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Acknowledgement

10.155
KnotPlot

PD Presentation: X1627 X7,16,8,17 X3,11,4,10 X15,3,16,2 X5,15,6,14 X11,5,12,4 X9,18,10,19 X20,14,1,13 X17,8,18,9 X12,20,13,19

Gauss Code: {-1, 4, -3, 6, -5, 1, -2, 9, -7, 3, -6, -10, 8, 5, -4, 2, -9, 7, 10, -8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 10 14 16 18 4 -20 2 8 -12

Minimum Braid Representative:


Length is 10, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 2 3 3 / NotAvailable 2

Alexander Polynomial: - t-3 + 3t-2 - 5t-1 + 7 - 5t + 3t2 - t3

Conway Polynomial: 1 - 2z2 - 3z4 - z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {89, K11n37, ...}

Determinant and Signature: {25, 0}

Jones Polynomial: q-2 - 2q-1 + 4 - 4q + 4q2 - 4q3 + 3q4 - 2q5 + q6

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {10137, K11n37, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: q-6 + 2q-2 + 1 - 2q6 - q10 + q14 + q18

HOMFLY-PT Polynomial: 2a-4 + 3a-4z2 + a-4z4 - 4a-2 - 8a-2z2 - 5a-2z4 - a-2z6 + 3 + 3z2 + z4

Kauffman Polynomial: 4a-6z2 - 4a-6z4 + a-6z6 - 2a-5z + 8a-5z3 - 8a-5z5 + 2a-5z7 + 2a-4 - a-4z2 - a-4z4 - 2a-4z6 + a-4z8 - 2a-3z + 6a-3z3 - 9a-3z5 + 3a-3z7 + 4a-2 - 11a-2z2 + 7a-2z4 - 3a-2z6 + a-2z8 - a-1z5 + a-1z7 + 3 - 5z2 + 4z4 + 2az3 + a2z2

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-2, -2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 10155. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = -2r = -1r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6
j = 13        1
j = 11       1 
j = 9      21 
j = 7     21  
j = 5    22   
j = 3   22    
j = 1  22     
j = -1 13      
j = -3 1       
j = -51        

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q-6 - q-5 + q-4 - 5q-2 + 7q-1 + 1 - 11q + 11q2 + 3q3 - 15q4 + 9q5 + 8q6 - 15q7 + 5q8 + 11q9 - 13q10 + 10q12 - 7q13 - 3q14 + 6q15 - q16 - 2q17 + q18
3 2q-12 - 2q-11 - q-10 - 2q-9 + 5q-8 + 4q-7 - 4q-6 - 12q-5 + 2q-4 + 18q-3 + 7q-2 - 28q-1 - 11 + 28q + 24q2 - 30q3 - 27q4 + 24q5 + 31q6 - 20q7 - 30q8 + 14q9 + 27q10 - 6q11 - 26q12 + 22q14 + 8q15 - 19q16 - 14q17 + 13q18 + 20q19 - 7q20 - 22q21 + 20q23 + 8q24 - 16q25 - 11q26 + 8q27 + 12q28 - 2q29 - 9q30 - 2q31 + 5q32 + 2q33 - q34 - 2q35 + q36
4 q-21 + q-20 - 4q-19 + q-17 + 5q-16 + 5q-15 - 15q-14 - 9q-13 + q-12 + 28q-11 + 30q-10 - 33q-9 - 51q-8 - 27q-7 + 61q-6 + 100q-5 - 19q-4 - 106q-3 - 101q-2 + 60q-1 + 178 + 35q - 119q2 - 169q3 + 17q4 + 204q5 + 81q6 - 92q7 - 185q8 - 22q9 + 188q10 + 88q11 - 58q12 - 163q13 - 43q14 + 158q15 + 77q16 - 26q17 - 134q18 - 60q19 + 120q20 + 66q21 + 14q22 - 97q23 - 81q24 + 67q25 + 50q26 + 56q27 - 43q28 - 85q29 + 8q30 + 9q31 + 73q32 + 18q33 - 51q34 - 23q35 - 41q36 + 44q37 + 45q38 + q39 - 5q40 - 57q41 - 2q42 + 22q43 + 19q44 + 25q45 - 28q46 - 15q47 - 7q48 + 3q49 + 23q50 - 2q51 - 2q52 - 7q53 - 6q54 + 6q55 + q56 + 2q57 - q58 - 2q59 + q60
5 q-32 - 4q-29 + 2q-28 + 2q-27 - 4q-24 - 8q-23 + 12q-22 + 20q-21 + 4q-20 - 22q-19 - 44q-18 - 34q-17 + 40q-16 + 110q-15 + 78q-14 - 46q-13 - 181q-12 - 180q-11 + 18q-10 + 270q-9 + 312q-8 + 54q-7 - 327q-6 - 472q-5 - 166q-4 + 344q-3 + 600q-2 + 320q-1 - 311 - 706q - 445q2 + 242q3 + 734q4 + 560q5 - 152q6 - 740q7 - 616q8 + 84q9 + 690q10 + 638q11 - 22q12 - 648q13 - 626q14 - 6q15 + 594q16 + 600q17 + 29q18 - 546q19 - 573q20 - 50q21 + 500q22 + 548q23 + 78q24 - 444q25 - 530q26 - 122q27 + 382q28 + 506q29 + 175q30 - 298q31 - 479q32 - 230q33 + 201q34 + 428q35 + 280q36 - 88q37 - 356q38 - 310q39 - 19q40 + 252q41 + 306q42 + 120q43 - 139q44 - 262q45 - 181q46 + 20q47 + 180q48 + 198q49 + 78q50 - 80q51 - 168q52 - 128q53 - 15q54 + 94q55 + 135q56 + 82q57 - 20q58 - 94q59 - 100q60 - 44q61 + 34q62 + 82q63 + 70q64 + 16q65 - 40q66 - 60q67 - 41q68 - 2q69 + 33q70 + 42q71 + 21q72 - 8q73 - 20q74 - 24q75 - 11q76 + 8q77 + 15q78 + 8q79 + 3q80 - 2q81 - 9q82 - 4q83 + 2q84 + 2q85 + q86 + 2q87 - q88 - 2q89 + q90
6 q-45 + q-44 - 2q-43 - q-42 - 3q-41 + 3q-40 + 7q-37 - 2q-36 + q-35 - 7q-34 + 5q-33 - 13q-32 - 20q-31 + 7q-30 + 15q-29 + 45q-28 + 44q-27 + 36q-26 - 78q-25 - 164q-24 - 125q-23 - 14q-22 + 192q-21 + 341q-20 + 330q-19 - 58q-18 - 498q-17 - 662q-16 - 444q-15 + 203q-14 + 900q-13 + 1173q-12 + 491q-11 - 639q-10 - 1472q-9 - 1484q-8 - 419q-7 + 1167q-6 + 2218q-5 + 1635q-4 - 92q-3 - 1857q-2 - 2566q-1 - 1549 + 708q + 2681q2 + 2657q3 + 861q4 - 1506q5 - 2967q6 - 2420q7 - 60q8 + 2427q9 + 2977q10 + 1493q11 - 924q12 - 2743q13 - 2628q14 - 515q15 + 1993q16 + 2790q17 + 1597q18 - 597q19 - 2398q20 - 2457q21 - 609q22 + 1717q23 + 2527q24 + 1501q25 - 458q26 - 2147q27 - 2279q28 - 664q29 + 1486q30 + 2325q31 + 1498q32 - 224q33 - 1869q34 - 2183q35 - 896q36 + 1086q37 + 2080q38 + 1618q39 + 235q40 - 1399q41 - 2046q42 - 1268q43 + 436q44 + 1624q45 + 1689q46 + 830q47 - 661q48 - 1656q49 - 1549q50 - 352q51 + 857q52 + 1439q53 + 1277q54 + 218q55 - 880q56 - 1407q57 - 939q58 - 71q59 + 723q60 + 1201q61 + 835q62 + 71q63 - 721q64 - 913q65 - 678q66 - 158q67 + 534q68 + 768q69 + 628q70 + 95q71 - 294q72 - 562q73 - 573q74 - 186q75 + 165q76 + 453q77 + 384q78 + 273q79 - 16q80 - 307q81 - 338q82 - 262q83 - 16q84 + 94q85 + 276q86 + 250q87 + 86q88 - 50q89 - 172q90 - 148q91 - 165q92 + 5q93 + 98q94 + 122q95 + 101q96 + 35q97 - 109q99 - 68q100 - 42q101 + q102 + 27q103 + 43q104 + 60q105 - 7q106 - 6q107 - 23q108 - 19q109 - 19q110 - 3q111 + 21q112 + 3q113 + 10q114 + 2q115 + q116 - 9q117 - 6q118 + 4q119 - 2q120 + 2q121 + q122 + 2q123 - q124 - 2q125 + q126

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[10, 155]]
Out[2]=   
PD[X[1, 6, 2, 7], X[7, 16, 8, 17], X[3, 11, 4, 10], X[15, 3, 16, 2], 
 
>   X[5, 15, 6, 14], X[11, 5, 12, 4], X[9, 18, 10, 19], X[20, 14, 1, 13], 
 
>   X[17, 8, 18, 9], X[12, 20, 13, 19]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 155]]
Out[3]=   
GaussCode[-1, 4, -3, 6, -5, 1, -2, 9, -7, 3, -6, -10, 8, 5, -4, 2, -9, 7, 10, 
 
>   -8]
In[4]:=
DTCode[Knot[10, 155]]
Out[4]=   
DTCode[6, 10, 14, 16, 18, 4, -20, 2, 8, -12]
In[5]:=
br = BR[Knot[10, 155]]
Out[5]=   
BR[3, {1, 1, 1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{3, 10}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 155]]
Out[7]=   
3
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 155]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[10, 155]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 2, 3, 3, NotAvailable, 2}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 155]][t]
Out[10]=   
     -3   3    5            2    3
7 - t   + -- - - - 5 t + 3 t  - t
           2   t
          t
In[11]:=
Conway[Knot[10, 155]][z]
Out[11]=   
       2      4    6
1 - 2 z  - 3 z  - z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[8, 9], Knot[10, 155], Knot[11, NonAlternating, 37]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 155]], KnotSignature[Knot[10, 155]]}
Out[13]=   
{25, 0}
In[14]:=
Jones[Knot[10, 155]][q]
Out[14]=   
     -2   2            2      3      4      5    6
4 + q   - - - 4 q + 4 q  - 4 q  + 3 q  - 2 q  + q
          q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[10, 137], Knot[10, 155], Knot[11, NonAlternating, 37]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 155]][q]
Out[16]=   
     -6   2       6    10    14    18
1 + q   + -- - 2 q  - q   + q   + q
           2
          q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 155]][a, z]
Out[17]=   
                        2      2         4      4    6
    2    4       2   3 z    8 z     4   z    5 z    z
3 + -- - -- + 3 z  + ---- - ---- + z  + -- - ---- - --
     4    2            4      2          4     2     2
    a    a            a      a          a     a     a
In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 155]][a, z]
Out[18]=   
                                    2    2       2              3      3
    2    4    2 z   2 z      2   4 z    z    11 z     2  2   8 z    6 z
3 + -- + -- - --- - --- - 5 z  + ---- - -- - ----- + a  z  + ---- + ---- + 
     4    2    5     3             6     4     2               5      3
    a    a    a     a             a     a     a               a      a
 
                       4    4      4      5      5    5    6      6      6
         3      4   4 z    z    7 z    8 z    9 z    z    z    2 z    3 z
>   2 a z  + 4 z  - ---- - -- + ---- - ---- - ---- - -- + -- - ---- - ---- + 
                      6     4     2      5      3    a     6     4      2
                     a     a     a      a      a          a     a      a
 
       7      7    7    8    8
    2 z    3 z    z    z    z
>   ---- + ---- + -- + -- + --
      5      3    a     4    2
     a      a          a    a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 155]], Vassiliev[3][Knot[10, 155]]}
Out[19]=   
{-2, -2}
In[20]:=
Kh[Knot[10, 155]][q, t]
Out[20]=   
3           1      1      1               3        3  2      5  2      5  3
- + 2 q + ----- + ---- + --- + 2 q t + 2 q  t + 2 q  t  + 2 q  t  + 2 q  t  + 
q          5  2    3     q t
          q  t    q  t
 
       7  3    7  4      9  4    9  5    11  5    13  6
>   2 q  t  + q  t  + 2 q  t  + q  t  + q   t  + q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 155], 2][q]
Out[21]=   
     -6    -5    -4   5    7              2      3       4      5      6
1 + q   - q   + q   - -- + - - 11 q + 11 q  + 3 q  - 15 q  + 9 q  + 8 q  - 
                       2   q
                      q
 
        7      8       9       10       12      13      14      15    16
>   15 q  + 5 q  + 11 q  - 13 q   + 10 q   - 7 q   - 3 q   + 6 q   - q   - 
 
       17    18
>   2 q   + q

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