The Non Alternating Knot 10₁₃₈

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₄₂₅₁ X_10,6,11,5 X₈₃₉₄ X_2,9,3,10 X_16,12,17,11 X_7,15,8,14 X_15,7,16,6 X_20,18,1,17 X_18,13,19,14 X_12,19,13,20

Gauss Code: {1, -4, 3, -1, 2, 7, -6, -3, 4, -2, 5, -10, 9, 6, -7, -5, 8, -9, 10, -8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 10 -14 2 16 18 -6 20 12

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: t^-3 - 5t^-2 + 8t^-1 - 7 + 8t - 5t² + t³

Conway Polynomial: 1 - 3z² + z⁴ + z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {35, 2}

Jones Polynomial: q^-3 - 2q^-2 + 4q^-1 - 5 + 6q - 6q² + 5q³ - 4q⁴ + 2q⁵

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n117, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-10 + q^-8 + q^-4 - q^-2 - q⁴ + 2q⁶ - q⁸ + q¹⁰ - q¹² - q¹⁴ + q¹⁶ + q²⁰

HOMFLY-PT Polynomial: a^-6 - 2a^-4 - 3a^-4z² - a^-4z⁴ + 3a^-2 + 5a^-2z² + 4a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - 3 - 6z² - 2z⁴ + 2a² + a²z²

Kauffman Polynomial: - a^-6 + 3a^-6z² - 2a^-5z + 3a^-5z³ + a^-5z⁵ - 2a^-4 + 6a^-4z² - 5a^-4z⁴ + 3a^-4z⁶ - 2a^-3z + 5a^-3z³ - 6a^-3z⁵ + 3a^-3z⁷ - 3a^-2 + 10a^-2z² - 13a^-2z⁴ + 3a^-2z⁶ + a^-2z⁸ - a^-1z + 8a^-1z³ - 14a^-1z⁵ + 5a^-1z⁷ - 3 + 12z² - 12z⁴ + z⁶ + z⁸ - az + 6az³ - 7az⁵ + 2az⁷ - 2a² + 5a²z² - 4a²z⁴ + a²z⁶

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-3, -2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 10₁₃₈. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 11 2

j = 9 2

j = 7 3 2

j = 5 3 2

j = 3 3 3

j = 1 3 4

j = -1 1 2

j = -3 1 3

j = -5 1

j = -7 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-10 - 2q^-9 - q^-8 + 7q^-7 - 5q^-6 - 8q^-5 + 17q^-4 - 4q^-3 - 20q^-2 + 23q^-1 + 4 - 30q + 22q² + 13q³ - 34q⁴ + 16q⁵ + 19q⁶ - 29q⁷ + 8q⁸ + 16q⁹ - 17q¹⁰ + 2q¹¹ + 7q¹² - 5q¹³ + q¹⁵

3 q^-21 - 2q^-20 - q^-19 + 2q^-18 + 6q^-17 - 4q^-16 - 11q^-15 + q^-14 + 20q^-13 + 4q^-12 - 25q^-11 - 18q^-10 + 31q^-9 + 29q^-8 - 23q^-7 - 47q^-6 + 15q^-5 + 56q^-4 + 4q^-3 - 65q^-2 - 22q^-1 + 64 + 45q - 63q² - 61q³ + 54q⁴ + 81q⁵ - 46q⁶ - 95q⁷ + 36q⁸ + 104q⁹ - 23q¹⁰ - 110q¹¹ + 11q¹² + 105q¹³ + 4q¹⁴ - 96q¹⁵ - 12q¹⁶ + 76q¹⁷ + 19q¹⁸ - 55q¹⁹ - 19q²⁰ + 34q²¹ + 16q²² - 17q²³ - 12q²⁴ + 10q²⁵ + 2q²⁶ - 4q²⁸ + 2q²⁹

4 q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 2q^-33 + q^-32 + 7q^-31 - 8q^-30 - 9q^-29 + 2q^-27 + 32q^-26 - 6q^-25 - 23q^-24 - 22q^-23 - 21q^-22 + 68q^-21 + 26q^-20 - 3q^-19 - 46q^-18 - 96q^-17 + 59q^-16 + 56q^-15 + 78q^-14 - 170q^-12 - 25q^-11 + 2q^-10 + 159q^-9 + 136q^-8 - 156q^-7 - 117q^-6 - 145q^-5 + 153q^-4 + 285q^-3 - 40q^-2 - 140q^-1 - 315 + 57q + 378q² + 114q³ - 96q⁴ - 448q⁵ - 72q⁶ + 413q⁷ + 257q⁸ - 31q⁹ - 538q¹⁰ - 193q¹¹ + 414q¹² + 376q¹³ + 38q¹⁴ - 582q¹⁵ - 302q¹⁶ + 371q¹⁷ + 456q¹⁸ + 120q¹⁹ - 547q²⁰ - 376q²¹ + 259q²² + 440q²³ + 200q²⁴ - 400q²⁵ - 367q²⁶ + 107q²⁷ + 311q²⁸ + 215q²⁹ - 201q³⁰ - 253q³¹ + 4q³² + 140q³³ + 145q³⁴ - 58q³⁵ - 113q³⁶ - 17q³⁷ + 34q³⁸ + 56q³⁹ - 7q⁴⁰ - 29q⁴¹ - 6q⁴² + 3q⁴³ + 11q⁴⁴ - 5q⁴⁶ + q⁴⁸

5 q^-55 - 2q^-54 - q^-53 + 2q^-52 + q^-51 + 2q^-50 + 3q^-49 - 6q^-48 - 11q^-47 + 6q^-45 + 13q^-44 + 19q^-43 - 2q^-42 - 30q^-41 - 33q^-40 - 11q^-39 + 22q^-38 + 60q^-37 + 51q^-36 - 9q^-35 - 71q^-34 - 93q^-33 - 49q^-32 + 53q^-31 + 133q^-30 + 123q^-29 + 23q^-28 - 127q^-27 - 213q^-26 - 133q^-25 + 48q^-24 + 237q^-23 + 295q^-22 + 113q^-21 - 207q^-20 - 402q^-19 - 328q^-18 + 29q^-17 + 458q^-16 + 569q^-15 + 209q^-14 - 375q^-13 - 745q^-12 - 542q^-11 + 180q^-10 + 845q^-9 + 853q^-8 + 128q^-7 - 811q^-6 - 1144q^-5 - 484q^-4 + 675q^-3 + 1334q^-2 + 865q^-1 - 441 - 1465q - 1204q² + 173q³ + 1487q⁴ + 1520q⁵ + 117q⁶ - 1486q⁷ - 1769q⁸ - 384q⁹ + 1437q¹⁰ + 1983q¹¹ + 639q¹² - 1398q¹³ - 2166q¹⁴ - 856q¹⁵ + 1350q¹⁶ + 2326q¹⁷ + 1064q¹⁸ - 1292q¹⁹ - 2476q²⁰ - 1262q²¹ + 1219q²² + 2577q²³ + 1461q²⁴ - 1082q²⁵ - 2628q²⁶ - 1660q²⁷ + 893q²⁸ + 2580q²⁹ + 1817q³⁰ - 619q³¹ - 2422q³² - 1915q³³ + 318q³⁴ + 2127q³⁵ + 1904q³⁶ - q³⁷ - 1743q³⁸ - 1769q³⁹ - 244q⁴⁰ + 1294q⁴¹ + 1507q⁴² + 414q⁴³ - 861q⁴⁴ - 1189q⁴⁵ - 451q⁴⁶ + 502q⁴⁷ + 833q⁴⁸ + 404q⁴⁹ - 235q⁵⁰ - 530q⁵¹ - 316q⁵² + 100q⁵³ + 299q⁵⁴ + 187q⁵⁵ - 16q⁵⁶ - 140q⁵⁷ - 123q⁵⁸ + 6q⁵⁹ + 73q⁶⁰ + 38q⁶¹ + 8q⁶² - 20q⁶³ - 28q⁶⁴ + 2q⁶⁵ + 12q⁶⁶ + 2q⁶⁷ - 4q⁷⁰ + 2q⁷¹

6 q^-78 - 2q^-77 - q^-76 + 2q^-75 + q^-74 + 2q^-73 - 2q^-72 + 5q^-71 - 8q^-70 - 11q^-69 + 3q^-68 + 5q^-67 + 14q^-66 + 3q^-65 + 24q^-64 - 16q^-63 - 39q^-62 - 24q^-61 - 13q^-60 + 24q^-59 + 21q^-58 + 102q^-57 + 26q^-56 - 40q^-55 - 77q^-54 - 105q^-53 - 62q^-52 - 49q^-51 + 188q^-50 + 168q^-49 + 135q^-48 + 25q^-47 - 127q^-46 - 249q^-45 - 382q^-44 - 21q^-43 + 118q^-42 + 379q^-41 + 442q^-40 + 337q^-39 - 45q^-38 - 665q^-37 - 600q^-36 - 604q^-35 - 26q^-34 + 582q^-33 + 1156q^-32 + 1024q^-31 + 27q^-30 - 641q^-29 - 1556q^-28 - 1432q^-27 - 601q^-26 + 1081q^-25 + 2148q^-24 + 1813q^-23 + 916q^-22 - 1220q^-21 - 2648q^-20 - 2896q^-19 - 857q^-18 + 1655q^-17 + 3167q^-16 + 3515q^-15 + 1169q^-14 - 1980q^-13 - 4539q^-12 - 3787q^-11 - 950q^-10 + 2493q^-9 + 5297q^-8 + 4481q^-7 + 780q^-6 - 4121q^-5 - 5880q^-4 - 4390q^-3 - 154q^-2 + 5123q^-1 + 7006 + 4286q - 1911q² - 6256q³ - 7140q⁴ - 3442q⁵ + 3427q⁶ + 8087q⁷ + 7204q⁸ + 830q⁹ - 5424q¹⁰ - 8719q¹¹ - 6217q¹² + 1363q¹³ + 8220q¹⁴ + 9158q¹⁵ + 3130q¹⁶ - 4371q¹⁷ - 9566q¹⁸ - 8186q¹⁹ - 286q²⁰ + 8180q²¹ + 10513q²² + 4811q²³ - 3638q²⁴ - 10261q²⁵ - 9694q²⁶ - 1516q²⁷ + 8245q²⁸ + 11702q²⁹ + 6298q³⁰ - 2970q³¹ - 10849q³² - 11135q³³ - 2919q³⁴ + 7896q³⁵ + 12603q³⁶ + 8003q³⁷ - 1587q³⁸ - 10591q³⁹ - 12255q⁴⁰ - 4911q⁴¹ + 6222q⁴² + 12299q⁴³ + 9496q⁴⁴ + 850q⁴⁵ - 8532q⁴⁶ - 11955q⁴⁷ - 6812q⁴⁸ + 3090q⁴⁹ + 9864q⁵⁰ + 9467q⁵¹ + 3324q⁵² - 4840q⁵³ - 9375q⁵⁴ - 7123q⁵⁵ - 106q⁵⁶ + 5816q⁵⁷ + 7192q⁵⁸ + 4189q⁵⁹ - 1267q⁶⁰ - 5388q⁶¹ - 5303q⁶² - 1635q⁶³ + 2149q⁶⁴ + 3836q⁶⁵ + 3106q⁶⁶ + 516q⁶⁷ - 2062q⁶⁸ - 2689q⁶⁹ - 1360q⁷⁰ + 304q⁷¹ + 1313q⁷² + 1434q⁷³ + 628q⁷⁴ - 468q⁷⁵ - 895q⁷⁶ - 560q⁷⁷ - 79q⁷⁸ + 252q⁷⁹ + 407q⁸⁰ + 257q⁸¹ - 62q⁸² - 195q⁸³ - 122q⁸⁴ - 31q⁸⁵ + 20q⁸⁶ + 67q⁸⁷ + 59q⁸⁸ - 10q⁸⁹ - 33q⁹⁰ - 10q⁹¹ - q⁹² + 4q⁹⁴ + 7q⁹⁵ - 5q⁹⁷ + q⁹⁹

7 q^-105 - 2q^-104 - q^-103 + 2q^-102 + q^-101 + 2q^-100 - 2q^-99 + 3q^-97 - 8q^-96 - 8q^-95 + 2q^-94 + 5q^-93 + 16q^-92 + 5q^-91 + q^-90 + 13q^-89 - 22q^-88 - 34q^-87 - 27q^-86 - 15q^-85 + 37q^-84 + 40q^-83 + 40q^-82 + 73q^-81 + 6q^-80 - 53q^-79 - 99q^-78 - 149q^-77 - 48q^-76 + 9q^-75 + 72q^-74 + 222q^-73 + 203q^-72 + 146q^-71 + 2q^-70 - 270q^-69 - 312q^-68 - 339q^-67 - 282q^-66 + 83q^-65 + 327q^-64 + 603q^-63 + 691q^-62 + 299q^-61 - 48q^-60 - 580q^-59 - 1080q^-58 - 979q^-57 - 678q^-56 + 141q^-55 + 1179q^-54 + 1595q^-53 + 1729q^-52 + 966q^-51 - 543q^-50 - 1757q^-49 - 2798q^-48 - 2621q^-47 - 1012q^-46 + 957q^-45 + 3255q^-44 + 4322q^-43 + 3337q^-42 + 1154q^-41 - 2389q^-40 - 5309q^-39 - 5942q^-38 - 4413q^-37 - 93q^-36 + 4766q^-35 + 7715q^-34 + 8104q^-33 + 4272q^-32 - 2056q^-31 - 7856q^-30 - 11298q^-29 - 9241q^-28 - 2628q^-27 + 5489q^-26 + 12633q^-25 + 14043q^-24 + 8867q^-23 - 640q^-22 - 11524q^-21 - 17356q^-20 - 15283q^-19 - 6217q^-18 + 7466q^-17 + 18220q^-16 + 20880q^-15 + 14079q^-14 - 1023q^-13 - 16263q^-12 - 24446q^-11 - 21699q^-10 - 7124q^-9 + 11601q^-8 + 25535q^-7 + 28117q^-6 + 15793q^-5 - 4890q^-4 - 24040q^-3 - 32665q^-2 - 24086q^-1 - 2969 + 20477q + 35068q² + 31224q³ + 11148q⁴ - 15403q⁵ - 35645q⁶ - 36959q⁷ - 18807q⁸ + 9706q⁹ + 34720q¹⁰ + 41104q¹¹ + 25631q¹² - 3902q¹³ - 32974q¹⁴ - 44046q¹⁵ - 31309q¹⁶ - 1327q¹⁷ + 30851q¹⁸ + 45981q¹⁹ + 35879q²⁰ + 5877q²¹ - 28846q²² - 47428q²³ - 39537q²⁴ - 9483q²⁵ + 27295q²⁶ + 48603q²⁷ + 42479q²⁸ + 12340q²⁹ - 26220q³⁰ - 49896q³¹ - 45126q³² - 14603q³³ + 25669q³⁴ + 51393q³⁵ + 47676q³⁶ + 16697q³⁷ - 25281q³⁸ - 53065q³⁹ - 50470q⁴⁰ - 19075q⁴¹ + 24672q⁴² + 54696q⁴³ + 53549q⁴⁴ + 22058q⁴⁵ - 23237q⁴⁶ - 55711q⁴⁷ - 56715q⁴⁸ - 25991q⁴⁹ + 20410q⁵⁰ + 55554q⁵¹ + 59505q⁵² + 30643q⁵³ - 15874q⁵⁴ - 53422q⁵⁵ - 61109q⁵⁶ - 35597q⁵⁷ + 9628q⁵⁸ + 48891q⁵⁹ + 60703q⁶⁰ + 39922q⁶¹ - 2210q⁶² - 41859q⁶³ - 57642q⁶⁴ - 42614q⁶⁵ - 5362q⁶⁶ + 32875q⁶⁷ + 51651q⁶⁸ + 42776q⁶⁹ + 11993q⁷⁰ - 22929q⁷¹ - 43282q⁷² - 40128q⁷³ - 16471q⁷⁴ + 13450q⁷⁵ + 33434q⁷⁶ + 34791q⁷⁷ + 18330q⁷⁸ - 5459q⁷⁹ - 23558q⁸⁰ - 27866q⁸¹ - 17596q⁸² + 11q⁸³ + 14871q⁸⁴ + 20312q⁸⁵ + 14879q⁸⁶ + 3039q⁸⁷ - 8126q⁸⁸ - 13524q⁸⁹ - 11278q⁹⁰ - 3940q⁹¹ + 3737q⁹² + 8110q⁹³ + 7564q⁹⁴ + 3502q⁹⁵ - 1200q⁹⁶ - 4296q⁹⁷ - 4616q⁹⁸ - 2584q⁹⁹ + 138q¹⁰⁰ + 2111q¹⁰¹ + 2463q¹⁰² + 1498q¹⁰³ + 220q¹⁰⁴ - 828q¹⁰⁵ - 1194q¹⁰⁶ - 861q¹⁰⁷ - 196q¹⁰⁸ + 367q¹⁰⁹ + 519q¹¹⁰ + 332q¹¹¹ + 110q¹¹² - 82q¹¹³ - 201q¹¹⁴ - 161q¹¹⁵ - 55q¹¹⁶ + 53q¹¹⁷ + 78q¹¹⁸ + 34q¹¹⁹ + 12q¹²⁰ - 4q¹²¹ - 22q¹²² - 16q¹²³ - 4q¹²⁴ + 4q¹²⁵ + 10q¹²⁶ - 4q¹³⁰ + 2q¹³¹

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 138]]

Out[2]=
PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 6, 11, 5], X[8, 3, 9, 4], X[2, 9, 3, 10], > X[16, 12, 17, 11], X[7, 15, 8, 14], X[15, 7, 16, 6], X[20, 18, 1, 17], > X[18, 13, 19, 14], X[12, 19, 13, 20]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 138]]

Out[3]=
GaussCode[1, -4, 3, -1, 2, 7, -6, -3, 4, -2, 5, -10, 9, 6, -7, -5, 8, -9, 10, > -8]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 138]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 10, -14, 2, 16, 18, -6, 20, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 138]]

Out[5]=
BR[5, {-1, 2, -1, 2, 3, 2, 2, -4, 3, -4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 138]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 138]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 138]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 3, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 138]][t]

Out[10]=
-3 5 8 2 3 -7 + t - -- + - + 8 t - 5 t + t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 138]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 - 3 z + z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 138]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 138]], KnotSignature[Knot[10, 138]]}

Out[13]=
{35, 2}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 138]][q]

Out[14]=
-3 2 4 2 3 4 5 -5 + q - -- + - + 6 q - 6 q + 5 q - 4 q + 2 q 2 q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 138], Knot[11, NonAlternating, 117]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 138]][q]

Out[16]=
-10 -8 -4 -2 4 6 8 10 12 14 16 20 q + q + q - q - q + 2 q - q + q - q - q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 138]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 4 6 -6 2 3 2 2 3 z 5 z 2 2 4 z 4 z z -3 + a - -- + -- + 2 a - 6 z - ---- + ---- + a z - 2 z - -- + ---- + -- 4 2 4 2 4 2 2 a a a a a a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 138]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 -6 2 3 2 2 z 2 z z 2 3 z 6 z 10 z -3 - a - -- - -- - 2 a - --- - --- - - - a z + 12 z + ---- + ---- + ----- + 4 2 5 3 a 6 4 2 a a a a a a a 3 3 3 4 4 2 2 3 z 5 z 8 z 3 4 5 z 13 z 2 4 > 5 a z + ---- + ---- + ---- + 6 a z - 12 z - ---- - ----- - 4 a z + 5 3 a 4 2 a a a a 5 5 5 6 6 7 7 z 6 z 14 z 5 6 3 z 3 z 2 6 3 z 5 z > -- - ---- - ----- - 7 a z + z + ---- + ---- + a z + ---- + ---- + 5 3 a 4 2 3 a a a a a a 8 7 8 z > 2 a z + z + -- 2 a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 138]], Vassiliev[3][Knot[10, 138]]}

Out[19]=
{-3, -2}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 138]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 3 1 2 3 q 3 4 q + 3 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 3 q t + 7 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t 5 5 2 7 2 7 3 9 3 11 4 > 3 q t + 2 q t + 3 q t + 2 q t + 2 q t + 2 q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 138], 2][q]

Out[21]=
-10 2 -8 7 5 8 17 4 20 23 2 3 4 + q - -- - q + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - 30 q + 22 q + 13 q - 9 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > 34 q + 16 q + 19 q - 29 q + 8 q + 16 q - 17 q + 2 q + 7 q - 13 15 > 5 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₁₃₈

10₁₃₇
10₁₃₉

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-10 - 2q^-9 - q^-8 + 7q^-7 - 5q^-6 - 8q^-5 + 17q^-4 - 4q^-3 - 20q^-2 + 23q^-1 + 4 - 30q + 22q² + 13q³ - 34q⁴ + 16q⁵ + 19q⁶ - 29q⁷ + 8q⁸ + 16q⁹ - 17q¹⁰ + 2q¹¹ + 7q¹² - 5q¹³ + q¹⁵
3	q^-21 - 2q^-20 - q^-19 + 2q^-18 + 6q^-17 - 4q^-16 - 11q^-15 + q^-14 + 20q^-13 + 4q^-12 - 25q^-11 - 18q^-10 + 31q^-9 + 29q^-8 - 23q^-7 - 47q^-6 + 15q^-5 + 56q^-4 + 4q^-3 - 65q^-2 - 22q^-1 + 64 + 45q - 63q² - 61q³ + 54q⁴ + 81q⁵ - 46q⁶ - 95q⁷ + 36q⁸ + 104q⁹ - 23q¹⁰ - 110q¹¹ + 11q¹² + 105q¹³ + 4q¹⁴ - 96q¹⁵ - 12q¹⁶ + 76q¹⁷ + 19q¹⁸ - 55q¹⁹ - 19q²⁰ + 34q²¹ + 16q²² - 17q²³ - 12q²⁴ + 10q²⁵ + 2q²⁶ - 4q²⁸ + 2q²⁹
4	q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 2q^-33 + q^-32 + 7q^-31 - 8q^-30 - 9q^-29 + 2q^-27 + 32q^-26 - 6q^-25 - 23q^-24 - 22q^-23 - 21q^-22 + 68q^-21 + 26q^-20 - 3q^-19 - 46q^-18 - 96q^-17 + 59q^-16 + 56q^-15 + 78q^-14 - 170q^-12 - 25q^-11 + 2q^-10 + 159q^-9 + 136q^-8 - 156q^-7 - 117q^-6 - 145q^-5 + 153q^-4 + 285q^-3 - 40q^-2 - 140q^-1 - 315 + 57q + 378q² + 114q³ - 96q⁴ - 448q⁵ - 72q⁶ + 413q⁷ + 257q⁸ - 31q⁹ - 538q¹⁰ - 193q¹¹ + 414q¹² + 376q¹³ + 38q¹⁴ - 582q¹⁵ - 302q¹⁶ + 371q¹⁷ + 456q¹⁸ + 120q¹⁹ - 547q²⁰ - 376q²¹ + 259q²² + 440q²³ + 200q²⁴ - 400q²⁵ - 367q²⁶ + 107q²⁷ + 311q²⁸ + 215q²⁹ - 201q³⁰ - 253q³¹ + 4q³² + 140q³³ + 145q³⁴ - 58q³⁵ - 113q³⁶ - 17q³⁷ + 34q³⁸ + 56q³⁹ - 7q⁴⁰ - 29q⁴¹ - 6q⁴² + 3q⁴³ + 11q⁴⁴ - 5q⁴⁶ + q⁴⁸
5	q^-55 - 2q^-54 - q^-53 + 2q^-52 + q^-51 + 2q^-50 + 3q^-49 - 6q^-48 - 11q^-47 + 6q^-45 + 13q^-44 + 19q^-43 - 2q^-42 - 30q^-41 - 33q^-40 - 11q^-39 + 22q^-38 + 60q^-37 + 51q^-36 - 9q^-35 - 71q^-34 - 93q^-33 - 49q^-32 + 53q^-31 + 133q^-30 + 123q^-29 + 23q^-28 - 127q^-27 - 213q^-26 - 133q^-25 + 48q^-24 + 237q^-23 + 295q^-22 + 113q^-21 - 207q^-20 - 402q^-19 - 328q^-18 + 29q^-17 + 458q^-16 + 569q^-15 + 209q^-14 - 375q^-13 - 745q^-12 - 542q^-11 + 180q^-10 + 845q^-9 + 853q^-8 + 128q^-7 - 811q^-6 - 1144q^-5 - 484q^-4 + 675q^-3 + 1334q^-2 + 865q^-1 - 441 - 1465q - 1204q² + 173q³ + 1487q⁴ + 1520q⁵ + 117q⁶ - 1486q⁷ - 1769q⁸ - 384q⁹ + 1437q¹⁰ + 1983q¹¹ + 639q¹² - 1398q¹³ - 2166q¹⁴ - 856q¹⁵ + 1350q¹⁶ + 2326q¹⁷ + 1064q¹⁸ - 1292q¹⁹ - 2476q²⁰ - 1262q²¹ + 1219q²² + 2577q²³ + 1461q²⁴ - 1082q²⁵ - 2628q²⁶ - 1660q²⁷ + 893q²⁸ + 2580q²⁹ + 1817q³⁰ - 619q³¹ - 2422q³² - 1915q³³ + 318q³⁴ + 2127q³⁵ + 1904q³⁶ - q³⁷ - 1743q³⁸ - 1769q³⁹ - 244q⁴⁰ + 1294q⁴¹ + 1507q⁴² + 414q⁴³ - 861q⁴⁴ - 1189q⁴⁵ - 451q⁴⁶ + 502q⁴⁷ + 833q⁴⁸ + 404q⁴⁹ - 235q⁵⁰ - 530q⁵¹ - 316q⁵² + 100q⁵³ + 299q⁵⁴ + 187q⁵⁵ - 16q⁵⁶ - 140q⁵⁷ - 123q⁵⁸ + 6q⁵⁹ + 73q⁶⁰ + 38q⁶¹ + 8q⁶² - 20q⁶³ - 28q⁶⁴ + 2q⁶⁵ + 12q⁶⁶ + 2q⁶⁷ - 4q⁷⁰ + 2q⁷¹
6	q^-78 - 2q^-77 - q^-76 + 2q^-75 + q^-74 + 2q^-73 - 2q^-72 + 5q^-71 - 8q^-70 - 11q^-69 + 3q^-68 + 5q^-67 + 14q^-66 + 3q^-65 + 24q^-64 - 16q^-63 - 39q^-62 - 24q^-61 - 13q^-60 + 24q^-59 + 21q^-58 + 102q^-57 + 26q^-56 - 40q^-55 - 77q^-54 - 105q^-53 - 62q^-52 - 49q^-51 + 188q^-50 + 168q^-49 + 135q^-48 + 25q^-47 - 127q^-46 - 249q^-45 - 382q^-44 - 21q^-43 + 118q^-42 + 379q^-41 + 442q^-40 + 337q^-39 - 45q^-38 - 665q^-37 - 600q^-36 - 604q^-35 - 26q^-34 + 582q^-33 + 1156q^-32 + 1024q^-31 + 27q^-30 - 641q^-29 - 1556q^-28 - 1432q^-27 - 601q^-26 + 1081q^-25 + 2148q^-24 + 1813q^-23 + 916q^-22 - 1220q^-21 - 2648q^-20 - 2896q^-19 - 857q^-18 + 1655q^-17 + 3167q^-16 + 3515q^-15 + 1169q^-14 - 1980q^-13 - 4539q^-12 - 3787q^-11 - 950q^-10 + 2493q^-9 + 5297q^-8 + 4481q^-7 + 780q^-6 - 4121q^-5 - 5880q^-4 - 4390q^-3 - 154q^-2 + 5123q^-1 + 7006 + 4286q - 1911q² - 6256q³ - 7140q⁴ - 3442q⁵ + 3427q⁶ + 8087q⁷ + 7204q⁸ + 830q⁹ - 5424q¹⁰ - 8719q¹¹ - 6217q¹² + 1363q¹³ + 8220q¹⁴ + 9158q¹⁵ + 3130q¹⁶ - 4371q¹⁷ - 9566q¹⁸ - 8186q¹⁹ - 286q²⁰ + 8180q²¹ + 10513q²² + 4811q²³ - 3638q²⁴ - 10261q²⁵ - 9694q²⁶ - 1516q²⁷ + 8245q²⁸ + 11702q²⁹ + 6298q³⁰ - 2970q³¹ - 10849q³² - 11135q³³ - 2919q³⁴ + 7896q³⁵ + 12603q³⁶ + 8003q³⁷ - 1587q³⁸ - 10591q³⁹ - 12255q⁴⁰ - 4911q⁴¹ + 6222q⁴² + 12299q⁴³ + 9496q⁴⁴ + 850q⁴⁵ - 8532q⁴⁶ - 11955q⁴⁷ - 6812q⁴⁸ + 3090q⁴⁹ + 9864q⁵⁰ + 9467q⁵¹ + 3324q⁵² - 4840q⁵³ - 9375q⁵⁴ - 7123q⁵⁵ - 106q⁵⁶ + 5816q⁵⁷ + 7192q⁵⁸ + 4189q⁵⁹ - 1267q⁶⁰ - 5388q⁶¹ - 5303q⁶² - 1635q⁶³ + 2149q⁶⁴ + 3836q⁶⁵ + 3106q⁶⁶ + 516q⁶⁷ - 2062q⁶⁸ - 2689q⁶⁹ - 1360q⁷⁰ + 304q⁷¹ + 1313q⁷² + 1434q⁷³ + 628q⁷⁴ - 468q⁷⁵ - 895q⁷⁶ - 560q⁷⁷ - 79q⁷⁸ + 252q⁷⁹ + 407q⁸⁰ + 257q⁸¹ - 62q⁸² - 195q⁸³ - 122q⁸⁴ - 31q⁸⁵ + 20q⁸⁶ + 67q⁸⁷ + 59q⁸⁸ - 10q⁸⁹ - 33q⁹⁰ - 10q⁹¹ - q⁹² + 4q⁹⁴ + 7q⁹⁵ - 5q⁹⁷ + q⁹⁹
7	q^-105 - 2q^-104 - q^-103 + 2q^-102 + q^-101 + 2q^-100 - 2q^-99 + 3q^-97 - 8q^-96 - 8q^-95 + 2q^-94 + 5q^-93 + 16q^-92 + 5q^-91 + q^-90 + 13q^-89 - 22q^-88 - 34q^-87 - 27q^-86 - 15q^-85 + 37q^-84 + 40q^-83 + 40q^-82 + 73q^-81 + 6q^-80 - 53q^-79 - 99q^-78 - 149q^-77 - 48q^-76 + 9q^-75 + 72q^-74 + 222q^-73 + 203q^-72 + 146q^-71 + 2q^-70 - 270q^-69 - 312q^-68 - 339q^-67 - 282q^-66 + 83q^-65 + 327q^-64 + 603q^-63 + 691q^-62 + 299q^-61 - 48q^-60 - 580q^-59 - 1080q^-58 - 979q^-57 - 678q^-56 + 141q^-55 + 1179q^-54 + 1595q^-53 + 1729q^-52 + 966q^-51 - 543q^-50 - 1757q^-49 - 2798q^-48 - 2621q^-47 - 1012q^-46 + 957q^-45 + 3255q^-44 + 4322q^-43 + 3337q^-42 + 1154q^-41 - 2389q^-40 - 5309q^-39 - 5942q^-38 - 4413q^-37 - 93q^-36 + 4766q^-35 + 7715q^-34 + 8104q^-33 + 4272q^-32 - 2056q^-31 - 7856q^-30 - 11298q^-29 - 9241q^-28 - 2628q^-27 + 5489q^-26 + 12633q^-25 + 14043q^-24 + 8867q^-23 - 640q^-22 - 11524q^-21 - 17356q^-20 - 15283q^-19 - 6217q^-18 + 7466q^-17 + 18220q^-16 + 20880q^-15 + 14079q^-14 - 1023q^-13 - 16263q^-12 - 24446q^-11 - 21699q^-10 - 7124q^-9 + 11601q^-8 + 25535q^-7 + 28117q^-6 + 15793q^-5 - 4890q^-4 - 24040q^-3 - 32665q^-2 - 24086q^-1 - 2969 + 20477q + 35068q² + 31224q³ + 11148q⁴ - 15403q⁵ - 35645q⁶ - 36959q⁷ - 18807q⁸ + 9706q⁹ + 34720q¹⁰ + 41104q¹¹ + 25631q¹² - 3902q¹³ - 32974q¹⁴ - 44046q¹⁵ - 31309q¹⁶ - 1327q¹⁷ + 30851q¹⁸ + 45981q¹⁹ + 35879q²⁰ + 5877q²¹ - 28846q²² - 47428q²³ - 39537q²⁴ - 9483q²⁵ + 27295q²⁶ + 48603q²⁷ + 42479q²⁸ + 12340q²⁹ - 26220q³⁰ - 49896q³¹ - 45126q³² - 14603q³³ + 25669q³⁴ + 51393q³⁵ + 47676q³⁶ + 16697q³⁷ - 25281q³⁸ - 53065q³⁹ - 50470q⁴⁰ - 19075q⁴¹ + 24672q⁴² + 54696q⁴³ + 53549q⁴⁴ + 22058q⁴⁵ - 23237q⁴⁶ - 55711q⁴⁷ - 56715q⁴⁸ - 25991q⁴⁹ + 20410q⁵⁰ + 55554q⁵¹ + 59505q⁵² + 30643q⁵³ - 15874q⁵⁴ - 53422q⁵⁵ - 61109q⁵⁶ - 35597q⁵⁷ + 9628q⁵⁸ + 48891q⁵⁹ + 60703q⁶⁰ + 39922q⁶¹ - 2210q⁶² - 41859q⁶³ - 57642q⁶⁴ - 42614q⁶⁵ - 5362q⁶⁶ + 32875q⁶⁷ + 51651q⁶⁸ + 42776q⁶⁹ + 11993q⁷⁰ - 22929q⁷¹ - 43282q⁷² - 40128q⁷³ - 16471q⁷⁴ + 13450q⁷⁵ + 33434q⁷⁶ + 34791q⁷⁷ + 18330q⁷⁸ - 5459q⁷⁹ - 23558q⁸⁰ - 27866q⁸¹ - 17596q⁸² + 11q⁸³ + 14871q⁸⁴ + 20312q⁸⁵ + 14879q⁸⁶ + 3039q⁸⁷ - 8126q⁸⁸ - 13524q⁸⁹ - 11278q⁹⁰ - 3940q⁹¹ + 3737q⁹² + 8110q⁹³ + 7564q⁹⁴ + 3502q⁹⁵ - 1200q⁹⁶ - 4296q⁹⁷ - 4616q⁹⁸ - 2584q⁹⁹ + 138q¹⁰⁰ + 2111q¹⁰¹ + 2463q¹⁰² + 1498q¹⁰³ + 220q¹⁰⁴ - 828q¹⁰⁵ - 1194q¹⁰⁶ - 861q¹⁰⁷ - 196q¹⁰⁸ + 367q¹⁰⁹ + 519q¹¹⁰ + 332q¹¹¹ + 110q¹¹² - 82q¹¹³ - 201q¹¹⁴ - 161q¹¹⁵ - 55q¹¹⁶ + 53q¹¹⁷ + 78q¹¹⁸ + 34q¹¹⁹ + 12q¹²⁰ - 4q¹²¹ - 22q¹²² - 16q¹²³ - 4q¹²⁴ + 4q¹²⁵ + 10q¹²⁶ - 4q¹³⁰ + 2q¹³¹

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 138]]
Out[2]=	PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 6, 11, 5], X[8, 3, 9, 4], X[2, 9, 3, 10], > X[16, 12, 17, 11], X[7, 15, 8, 14], X[15, 7, 16, 6], X[20, 18, 1, 17], > X[18, 13, 19, 14], X[12, 19, 13, 20]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 138]]
Out[3]=	GaussCode[1, -4, 3, -1, 2, 7, -6, -3, 4, -2, 5, -10, 9, 6, -7, -5, 8, -9, 10, > -8]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 138]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 10, -14, 2, 16, 18, -6, 20, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 138]]
Out[5]=	BR[5, {-1, 2, -1, 2, 3, 2, 2, -4, 3, -4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 138]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 138]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 138]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 138]][t]
Out[10]=	-3 5 8 2 3 -7 + t - -- + - + 8 t - 5 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 138]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 - 3 z + z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 138]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 138]], KnotSignature[Knot[10, 138]]}
Out[13]=	{35, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 138]][q]
Out[14]=	-3 2 4 2 3 4 5 -5 + q - -- + - + 6 q - 6 q + 5 q - 4 q + 2 q 2 q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 138], Knot[11, NonAlternating, 117]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 138]][q]
Out[16]=	-10 -8 -4 -2 4 6 8 10 12 14 16 20 q + q + q - q - q + 2 q - q + q - q - q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 138]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 6 -6 2 3 2 2 3 z 5 z 2 2 4 z 4 z z -3 + a - -- + -- + 2 a - 6 z - ---- + ---- + a z - 2 z - -- + ---- + -- 4 2 4 2 4 2 2 a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 138]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 -6 2 3 2 2 z 2 z z 2 3 z 6 z 10 z -3 - a - -- - -- - 2 a - --- - --- - - - a z + 12 z + ---- + ---- + ----- + 4 2 5 3 a 6 4 2 a a a a a a a 3 3 3 4 4 2 2 3 z 5 z 8 z 3 4 5 z 13 z 2 4 > 5 a z + ---- + ---- + ---- + 6 a z - 12 z - ---- - ----- - 4 a z + 5 3 a 4 2 a a a a 5 5 5 6 6 7 7 z 6 z 14 z 5 6 3 z 3 z 2 6 3 z 5 z > -- - ---- - ----- - 7 a z + z + ---- + ---- + a z + ---- + ---- + 5 3 a 4 2 3 a a a a a a 8 7 8 z > 2 a z + z + -- 2 a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 138]], Vassiliev[3][Knot[10, 138]]}
Out[19]=	{-3, -2}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 138]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 3 1 2 3 q 3 4 q + 3 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 3 q t + 7 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t 5 5 2 7 2 7 3 9 3 11 4 > 3 q t + 2 q t + 3 q t + 2 q t + 2 q t + 2 q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 138], 2][q]
Out[21]=	-10 2 -8 7 5 8 17 4 20 23 2 3 4 + q - -- - q + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - 30 q + 22 q + 13 q - 9 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > 34 q + 16 q + 19 q - 29 q + 8 q + 16 q - 17 q + 2 q + 7 q - 13 15 > 5 q + q

The Non Alternating Knot 10138

The Non Alternating Knot 10₁₃₈