© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:

10138 10140

KnotPlot

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KnotPlot

PD Presentation:

X4251 X10,4,11,3 X11,19,12,18 X5,15,6,14 X7,17,8,16 X15,7,16,6 X17,9,18,8 X13,1,14,20 X19,13,20,12 X2,10,3,9

Gauss Code:

{1, -10, 2, -1, -4, 6, -5, 7, 10, -2, -3, 9, -8, 4, -6, 5, -7, 3, -9, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code:

4 10 -14 -16 2 -18 -20 -6 -8 -12

Minimum Braid Representative: Length is 10, width is 3 Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index Reversible 4 4 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial:

t-4 - t-3 + 2t-1 - 3 + 2t - t3 + t4

Conway Polynomial:

1 + 9z2 + 14z4 + 7z6 + z8

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial:

{...}

Determinant and Signature:

{3, 6}

Jones Polynomial:

q4 + q6 - q8 + q9 - q10 + q11 - q12

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial:

{...}

A2 (sl(3)) Invariant:

q14 + q16 + 2q18 + 2q20 + q22 - q28 - q32 - q34 - q36 - q38 + q40

HOMFLY-PT Polynomial:

a-12 + a-12z2 - 6a-10 - 13a-10z2 - 7a-10z4 - a-10z6 + 6a-8 + 21a-8z2 + 21a-8z4 + 8a-8z6 + a-8z8

Kauffman Polynomial:

- 2a-15z + a-15z3 - 2a-14z2 + a-14z4 - a-13z + a-13z3 + a-12 - 5a-11z + 13a-11z3 - 7a-11z5 + a-11z7 + 6a-10 - 19a-10z2 + 20a-10z4 - 8a-10z6 + a-10z8 - 6a-9z + 13a-9z3 - 7a-9z5 + a-9z7 + 6a-8 - 21a-8z2 + 21a-8z4 - 8a-8z6 + a-8z8

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants:

{9, 25}

Khovanov Homology: (The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=6 is the signature of 10139. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

trqj r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6 r = 7 r = 8 r = 9 j = 25                   1 j = 23                     j = 21               1 1   j = 19           1 1       j = 17           1 1       j = 15       1 1 1         j = 13         1           j = 11     1               j = 9 1                   j = 7 1

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q8 + q11 + q14 - 2q15 + 2q17 - 2q18 - q19 + 3q20 - 3q22 + 2q23 + q24 - 4q25 + 2q26 + q27 - 3q28 + q29 + 2q30 - q31 - q32 + q33
3	q12 + q16 + q20 - 2q22 + q24 + q25 - 2q26 + q29 - q30 + 2q31 - q33 - 3q34 + 3q35 + 3q36 - 3q37 - 5q38 + q39 + 7q40 - 2q41 - 7q42 + q43 + 8q44 - q45 - 8q46 + q47 + 8q48 - q49 - 8q50 + q51 + 7q52 - 5q54 - q55 + 4q56 + 2q57 - 2q58 - 2q59 + q61 + q62 - q63
4	q16 + q21 + q26 - 2q29 + q31 + q33 - 2q34 + q36 - q37 + q38 - 2q39 + q40 + 3q41 - q42 + q43 - 4q44 - q45 + 3q46 + 4q48 - 4q49 - 3q50 + q51 - 3q52 + 5q53 + q56 - 8q57 + 2q58 + 2q59 + 5q60 + 4q61 - 9q62 - 5q63 + q64 + 9q65 + 7q66 - 10q67 - 10q68 + 2q69 + 11q70 + 8q71 - 10q72 - 11q73 + 2q74 + 12q75 + 8q76 - 10q77 - 11q78 + 2q79 + 11q80 + 8q81 - 9q82 - 11q83 + q84 + 9q85 + 7q86 - 4q87 - 9q88 - 2q89 + 3q90 + 6q91 + 3q92 - 5q93 - 3q94 - q95 + q96 + 3q97 - q100 - q101 + q102
5	q20 + q26 + q32 - 2q36 + q38 + q41 - 2q42 + q44 - q46 + q47 - 2q48 + 2q50 + 2q51 - q52 + q53 - 2q54 - 2q55 + 2q57 - q58 + 2q59 + q60 - 2q61 - 3q64 - q65 + q66 - q67 + 4q68 + 3q69 - q70 - 3q71 - 4q72 - 5q73 + 3q74 + 7q75 + 4q76 + 2q77 - 2q78 - 10q79 - 5q80 + 2q81 + 6q82 + 9q83 + 5q84 - 6q85 - 12q86 - 8q87 + q88 + 13q89 + 11q90 + 4q91 - 11q92 - 18q93 - 5q94 + 12q95 + 19q96 + 10q97 - 11q98 - 23q99 - 11q100 + 12q101 + 24q102 + 12q103 - 12q104 - 25q105 - 12q106 + 12q107 + 25q108 + 12q109 - 12q110 - 25q111 - 12q112 + 12q113 + 25q114 + 12q115 - 12q116 - 24q117 - 12q118 + 10q119 + 23q120 + 13q121 - 9q122 - 21q123 - 14q124 + 5q125 + 17q126 + 14q127 - 12q129 - 12q130 - 5q131 + 6q132 + 11q133 + 5q134 + q135 - 5q136 - 8q137 - 3q138 + 3q139 + 3q140 + 3q141 + 2q142 - 2q143 - 2q144 - q145 + q148 + q149 - q150
6	q24 + q31 + q38 - 2q43 + q45 + q49 - 2q50 + q52 - q55 + q56 - 2q57 + q59 + q60 + 2q61 - q62 + q63 - 2q64 - q66 - q67 + 2q68 - q69 + q70 - q71 + 3q72 - q73 - q74 + 2q75 - 3q76 - q77 - 4q78 + 3q79 - q80 + 6q82 + q84 - 4q85 + q86 - 6q87 - 4q88 + 4q89 + q90 + 5q91 + q92 + 6q93 - 2q94 - 6q95 - q96 - 7q97 - q98 - q99 + 9q100 + 7q101 + 3q102 + 5q103 - 8q104 - 9q105 - 14q106 + 5q108 + 8q109 + 19q110 + 6q111 - 2q112 - 21q113 - 15q114 - 8q115 - q116 + 24q117 + 23q118 + 17q119 - 15q120 - 23q121 - 24q122 - 16q123 + 15q124 + 32q125 + 37q126 - 4q127 - 23q128 - 34q129 - 31q130 + 5q131 + 37q132 + 51q133 + 6q134 - 23q135 - 39q136 - 40q137 - 2q138 + 41q139 + 58q140 + 10q141 - 24q142 - 42q143 - 42q144 - 3q145 + 42q146 + 59q147 + 10q148 - 24q149 - 43q150 - 42q151 - 3q152 + 42q153 + 59q154 + 10q155 - 24q156 - 42q157 - 42q158 - 3q159 + 41q160 + 58q161 + 11q162 - 22q163 - 39q164 - 41q165 - 7q166 + 35q167 + 52q168 + 16q169 - 12q170 - 30q171 - 37q172 - 18q173 + 19q174 + 39q175 + 20q176 + 5q177 - 10q178 - 26q179 - 24q180 - 3q181 + 16q182 + 14q183 + 12q184 + 8q185 - 5q186 - 15q187 - 9q188 - 3q189 + 5q191 + 8q192 + 6q193 - 2q194 - 2q195 - 3q196 - 3q197 - 2q198 + q199 + 3q200 + q202 - q205 - q206 + q207
7	q28 + q36 + q44 - 2q50 + q52 + q57 - 2q58 + q60 - q64 + q65 - 2q66 + q68 + q70 + 2q71 - q72 + q73 - 2q74 + q76 - 2q77 - q78 + 2q79 - q80 + q81 - 2q82 + q83 + 4q84 - 2q85 - q86 + 2q87 - q88 - q89 - 4q90 - 2q91 + 4q92 - 2q93 - q94 + 3q95 + 3q96 + 2q97 - 2q98 - 2q99 + 4q100 - 4q101 - 6q102 - q103 + q104 + 2q105 - q106 + 2q107 + 9q108 + q109 - 2q110 - q111 - q112 - 3q113 - 9q114 - 4q115 + 6q116 + 3q118 + 8q119 + 8q120 + 5q121 - 8q122 - 6q123 - 4q124 - 13q125 - 7q126 + 2q127 + 7q128 + 16q129 + 6q130 + 10q131 + 7q132 - 13q133 - 16q134 - 16q135 - 11q136 + 2q137 + 3q138 + 20q139 + 31q140 + 10q141 + q142 - 14q143 - 27q144 - 21q145 - 25q146 + q147 + 31q148 + 30q149 + 34q150 + 14q151 - 16q152 - 28q153 - 51q154 - 37q155 + 6q156 + 24q157 + 58q158 + 51q159 + 14q160 - 16q161 - 60q162 - 66q163 - 31q164 + 4q165 + 63q166 + 80q167 + 42q168 + 5q169 - 59q170 - 88q171 - 57q172 - 15q173 + 62q174 + 94q175 + 64q176 + 20q177 - 60q178 - 99q179 - 71q180 - 23q181 + 60q182 + 102q183 + 73q184 + 25q185 - 61q186 - 104q187 - 74q188 - 25q189 + 61q190 + 105q191 + 74q192 + 25q193 - 61q194 - 105q195 - 74q196 - 25q197 + 61q198 + 105q199 + 74q200 + 25q201 - 61q202 - 105q203 - 74q204 - 25q205 + 61q206 + 104q207 + 74q208 + 25q209 - 59q210 - 102q211 - 75q212 - 26q213 + 57q214 + 100q215 + 74q216 + 28q217 - 49q218 - 94q219 - 74q220 - 33q221 + 39q222 + 84q223 + 71q224 + 41q225 - 23q226 - 68q227 - 68q228 - 47q229 + 3q230 + 48q231 + 56q232 + 50q233 + 17q234 - 25q235 - 42q236 - 46q237 - 24q238 + 2q239 + 18q240 + 35q241 + 32q242 + 10q243 - 7q244 - 15q245 - 21q246 - 16q247 - 10q248 + 4q249 + 15q250 + 10q251 + 8q252 + 5q253 - 5q255 - 9q256 - 7q257 + q258 + q260 + 4q261 + 3q262 + 2q263 - q264 - 2q265 - q266 - q268 + q271 + q272 - q273

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 139]]
Out[2]=	PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 4, 11, 3], X[11, 19, 12, 18], X[5, 15, 6, 14], > X[7, 17, 8, 16], X[15, 7, 16, 6], X[17, 9, 18, 8], X[13, 1, 14, 20], > X[19, 13, 20, 12], X[2, 10, 3, 9]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 139]]
Out[3]=	GaussCode[1, -10, 2, -1, -4, 6, -5, 7, 10, -2, -3, 9, -8, 4, -6, 5, -7, 3, -9, > 8]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 139]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, -14, -16, 2, -18, -20, -6, -8, -12]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 139]]
Out[5]=	BR[3, {1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 139]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 139]]]
Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 139]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 4, 4, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 139]][t]
Out[10]=	-4 -3 2 3 4 -3 + t - t + - + 2 t - t + t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 139]][z]
Out[11]=	2 4 6 8 1 + 9 z + 14 z + 7 z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 139]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 139]], KnotSignature[Knot[10, 139]]}
Out[13]=	{3, 6}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 139]][q]
Out[14]=	4 6 8 9 10 11 12 q + q - q + q - q + q - q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 139]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 139]][q]
Out[16]=	14 16 18 20 22 28 32 34 36 38 40 q + q + 2 q + 2 q + q - q - q - q - q - q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 139]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 4 4 6 6 8 -12 6 6 z 13 z 21 z 7 z 21 z z 8 z z a - --- + -- + --- - ----- + ----- - ---- + ----- - --- + ---- + -- 10 8 12 10 8 10 8 10 8 8 a a a a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 139]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 3 3 -12 6 6 2 z z 5 z 6 z 2 z 19 z 21 z z z a + --- + -- - --- - --- - --- - --- - ---- - ----- - ----- + --- + --- + 10 8 15 13 11 9 14 10 8 15 13 a a a a a a a a a a a 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 13 z 13 z z 20 z 21 z 7 z 7 z 8 z 8 z z > ----- + ----- + --- + ----- + ----- - ---- - ---- - ---- - ---- + --- + 11 9 14 10 8 11 9 10 8 11 a a a a a a a a a a 7 8 8 z z z > -- + --- + -- 9 10 8 a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 139]], Vassiliev[3][Knot[10, 139]]}
Out[19]=	{9, 25}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 139]][q, t]
Out[20]=	7 9 11 2 15 3 13 4 15 4 15 5 17 5 19 5 q + q + q t + q t + q t + q t + q t + q t + q t + 17 6 19 6 21 7 21 8 25 9 > q t + q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 139], 2][q]
Out[21]=	8 11 14 15 17 18 19 20 22 23 24 q + q + q - 2 q + 2 q - 2 q - q + 3 q - 3 q + 2 q + q - 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > 4 q + 2 q + q - 3 q + q + 2 q - q - q + q

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