The Alternating Knot 9₈

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X₃₈₄₉ X_5,14,6,15 X_9,1,10,18 X_11,17,12,16 X_15,13,16,12 X_17,11,18,10 X_13,6,14,7 X₇₂₈₃

Gauss Code: {-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 7, -5, 6, -8, 3, -6, 5, -7, 4}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 14 2 18 16 6 12 10

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 2 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial: - 2t^-2 + 8t^-1 - 11 + 8t - 2t²

Conway Polynomial: 1 - 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {8₁₄, 10₁₃₁, ...}

Determinant and Signature: {31, -2}

Jones Polynomial: - q^-6 + 2q^-5 - 3q^-4 + 5q^-3 - 5q^-2 + 5q^-1 - 4 + 3q - 2q² + q³

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n60, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-20 - q^-18 + q^-16 + q^-12 + 2q^-10 + q^-6 - q^-4 - q² + q⁴ + q¹⁰

HOMFLY-PT Polynomial: a^-2 + a^-2z² - 1 - 2z² - z⁴ - a²z² - a²z⁴ + 2a⁴ + 2a⁴z² - a⁶

Kauffman Polynomial: - a^-2 + 4a^-2z² - 4a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - 2a^-1z + 8a^-1z³ - 8a^-1z⁵ + 2a^-1z⁷ - 1 + 7z² - 6z⁴ - z⁶ + z⁸ - 3az + 11az³ - 13az⁵ + 4az⁷ + 2a²z² - 4a²z⁴ + a²z⁸ - a³z + 2a³z³ - 3a³z⁵ + 2a³z⁷ + 2a⁴ - 3a⁴z² + 2a⁴z⁶ - a⁵z + 2a⁵z⁵ + a⁶ - 2a⁶z² + 2a⁶z⁴ - a⁷z + a⁷z³

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, -2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 9₈. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 7 1

j = 5 1

j = 3 2 1

j = 1 2 1

j = -1 3 2

j = -3 3 3

j = -5 2 2

j = -7 1 3

j = -9 1 2

j = -11 1

j = -13 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-17 - 2q^-16 + 4q^-14 - 6q^-13 + 2q^-12 + 7q^-11 - 13q^-10 + 6q^-9 + 11q^-8 - 20q^-7 + 8q^-6 + 15q^-5 - 22q^-4 + 5q^-3 + 17q^-2 - 19q^-1 + 1 + 16q - 13q² - 3q³ + 12q⁴ - 6q⁵ - 4q⁶ + 6q⁷ - q⁸ - 2q⁹ + q¹⁰

3 - q^-33 + 2q^-32 - q^-30 - 3q^-29 + 4q^-28 + 2q^-27 - 3q^-26 - 3q^-25 + 3q^-24 + 2q^-23 - 3q^-22 + 2q^-21 + q^-20 - 6q^-19 - 2q^-18 + 15q^-17 - q^-16 - 17q^-15 - 7q^-14 + 27q^-13 + 6q^-12 - 24q^-11 - 14q^-10 + 26q^-9 + 15q^-8 - 19q^-7 - 21q^-6 + 16q^-5 + 22q^-4 - 9q^-3 - 25q^-2 + 4q^-1 + 26 + 3q - 26q² - 8q³ + 24q⁴ + 13q⁵ - 20q⁶ - 17q⁷ + 14q⁸ + 19q⁹ - 9q¹⁰ - 16q¹¹ + 2q¹² + 14q¹³ + q¹⁴ - 9q¹⁵ - 3q¹⁶ + 5q¹⁷ + 2q¹⁸ - q¹⁹ - 2q²⁰ + q²¹

4 q^-54 - 2q^-53 + q^-51 + 5q^-49 - 8q^-48 + q^-46 + 16q^-44 - 16q^-43 - 2q^-42 - 5q^-41 - 2q^-40 + 37q^-39 - 18q^-38 - 7q^-37 - 24q^-36 - 12q^-35 + 70q^-34 - 4q^-33 - 9q^-32 - 60q^-31 - 41q^-30 + 108q^-29 + 31q^-28 + 4q^-27 - 102q^-26 - 87q^-25 + 129q^-24 + 65q^-23 + 35q^-22 - 119q^-21 - 130q^-20 + 122q^-19 + 75q^-18 + 64q^-17 - 107q^-16 - 144q^-15 + 106q^-14 + 56q^-13 + 75q^-12 - 79q^-11 - 133q^-10 + 88q^-9 + 28q^-8 + 74q^-7 - 48q^-6 - 111q^-5 + 66q^-4 - 3q^-3 + 69q^-2 - 14q^-1 - 82 + 42q - 34q² + 55q³ + 15q⁴ - 44q⁵ + 29q⁶ - 60q⁷ + 28q⁸ + 27q⁹ - 7q¹⁰ + 34q¹¹ - 64q¹² - 3q¹³ + 14q¹⁴ + 12q¹⁵ + 46q¹⁶ - 43q¹⁷ - 18q¹⁸ - 7q¹⁹ + 6q²⁰ + 43q²¹ - 13q²² - 11q²³ - 15q²⁴ - 6q²⁵ + 24q²⁶ + q²⁷ - 7q²⁹ - 7q³⁰ + 6q³¹ + q³² + 2q³³ - q³⁴ - 2q³⁵ + q³⁶

5 - q^-80 + 2q^-79 - q^-77 - 2q^-75 - q^-74 + 6q^-73 + 2q^-72 - 4q^-71 - q^-70 - 8q^-69 - 2q^-68 + 14q^-67 + 10q^-66 - 3q^-65 - 10q^-64 - 20q^-63 - 8q^-62 + 25q^-61 + 34q^-60 + 7q^-59 - 30q^-58 - 52q^-57 - 21q^-56 + 44q^-55 + 83q^-54 + 38q^-53 - 66q^-52 - 122q^-51 - 61q^-50 + 83q^-49 + 177q^-48 + 102q^-47 - 107q^-46 - 245q^-45 - 148q^-44 + 114q^-43 + 320q^-42 + 222q^-41 - 127q^-40 - 382q^-39 - 292q^-38 + 96q^-37 + 445q^-36 + 379q^-35 - 83q^-34 - 472q^-33 - 428q^-32 + 17q^-31 + 485q^-30 + 493q^-29 + 4q^-28 - 471q^-27 - 496q^-26 - 60q^-25 + 443q^-24 + 517q^-23 + 70q^-22 - 413q^-21 - 485q^-20 - 101q^-19 + 375q^-18 + 475q^-17 + 103q^-16 - 338q^-15 - 439q^-14 - 123q^-13 + 298q^-12 + 417q^-11 + 131q^-10 - 253q^-9 - 381q^-8 - 152q^-7 + 205q^-6 + 350q^-5 + 161q^-4 - 149q^-3 - 304q^-2 - 176q^-1 + 94 + 256q + 176q² - 42q³ - 195q⁴ - 166q⁵ - 6q⁶ + 136q⁷ + 142q⁸ + 36q⁹ - 76q¹⁰ - 104q¹¹ - 51q¹² + 26q¹³ + 59q¹⁴ + 48q¹⁵ + 10q¹⁶ - 21q¹⁷ - 25q¹⁸ - 23q¹⁹ - 18q²⁰ + 23q²² + 32q²³ + 25q²⁴ - q²⁵ - 38q²⁶ - 42q²⁷ - 15q²⁸ + 23q²⁹ + 45q³⁰ + 31q³¹ - 6q³² - 35q³³ - 36q³⁴ - 12q³⁵ + 23q³⁶ + 32q³⁷ + 15q³⁸ - 4q³⁹ - 21q⁴⁰ - 20q⁴¹ - 2q⁴² + 13q⁴³ + 10q⁴⁴ + 5q⁴⁵ - 9q⁴⁷ - 5q⁴⁸ + 2q⁴⁹ + 2q⁵⁰ + q⁵¹ + 2q⁵² - q⁵³ - 2q⁵⁴ + q⁵⁵

6 q^-111 - 2q^-110 + q^-108 + 2q^-106 - 2q^-105 + 3q^-104 - 8q^-103 + q^-102 + 5q^-101 - q^-100 + 8q^-99 - 4q^-98 + 4q^-97 - 24q^-96 + 2q^-95 + 13q^-94 + 21q^-92 - 2q^-91 + 2q^-90 - 55q^-89 + q^-88 + 23q^-87 + 7q^-86 + 46q^-85 + 4q^-84 - 9q^-83 - 106q^-82 - q^-81 + 48q^-80 + 31q^-79 + 85q^-78 - 2q^-77 - 59q^-76 - 190q^-75 + 2q^-74 + 125q^-73 + 118q^-72 + 151q^-71 - 46q^-70 - 207q^-69 - 361q^-68 + q^-67 + 296q^-66 + 343q^-65 + 307q^-64 - 119q^-63 - 496q^-62 - 695q^-61 - 82q^-60 + 526q^-59 + 727q^-58 + 635q^-57 - 108q^-56 - 847q^-55 - 1185q^-54 - 342q^-53 + 653q^-52 + 1136q^-51 + 1105q^-50 + 99q^-49 - 1048q^-48 - 1654q^-47 - 737q^-46 + 556q^-45 + 1347q^-44 + 1519q^-43 + 428q^-42 - 992q^-41 - 1883q^-40 - 1063q^-39 + 325q^-38 + 1297q^-37 + 1690q^-36 + 682q^-35 - 792q^-34 - 1854q^-33 - 1179q^-32 + 135q^-31 + 1118q^-30 + 1639q^-29 + 772q^-28 - 591q^-27 - 1701q^-26 - 1150q^-25 + 22q^-24 + 926q^-23 + 1508q^-22 + 789q^-21 - 405q^-20 - 1519q^-19 - 1098q^-18 - 101q^-17 + 721q^-16 + 1370q^-15 + 830q^-14 - 171q^-13 - 1303q^-12 - 1064q^-11 - 285q^-10 + 455q^-9 + 1200q^-8 + 895q^-7 + 126q^-6 - 1007q^-5 - 993q^-4 - 493q^-3 + 123q^-2 + 938q^-1 + 904 + 431q - 624q² - 805q³ - 622q⁴ - 215q⁵ + 569q⁶ + 765q⁷ + 629q⁸ - 223q⁹ - 483q¹⁰ - 571q¹¹ - 432q¹² + 170q¹³ + 465q¹⁴ + 614q¹⁵ + 55q¹⁶ - 121q¹⁷ - 337q¹⁸ - 423q¹⁹ - 99q²⁰ + 125q²¹ + 401q²² + 102q²³ + 105q²⁴ - 62q²⁵ - 225q²⁶ - 138q²⁷ - 69q²⁸ + 156q²⁹ - 21q³⁰ + 108q³¹ + 66q³² - 23q³³ - 29q³⁴ - 56q³⁵ + 53q³⁶ - 125q³⁷ + q³⁸ + 23q³⁹ + 31q⁴⁰ + 44q⁴¹ + 28q⁴² + 82q⁴³ - 98q⁴⁴ - 48q⁴⁵ - 46q⁴⁶ - 15q⁴⁷ + 13q⁴⁸ + 44q⁴⁹ + 102q⁵⁰ - 20q⁵¹ - 12q⁵² - 43q⁵³ - 35q⁵⁴ - 31q⁵⁵ + 4q⁵⁶ + 63q⁵⁷ + 9q⁵⁸ + 17q⁵⁹ - 7q⁶⁰ - 13q⁶¹ - 27q⁶² - 14q⁶³ + 18q⁶⁴ + 2q⁶⁵ + 11q⁶⁶ + 4q⁶⁷ + 3q⁶⁸ - 9q⁶⁹ - 7q⁷⁰ + 4q⁷¹ - 2q⁷² + 2q⁷³ + q⁷⁴ + 2q⁷⁵ - q⁷⁶ - 2q⁷⁷ + q⁷⁸

7 - q^-147 + 2q^-146 - q^-144 - 2q^-142 + 2q^-141 - q^-139 + 5q^-138 - 2q^-137 - 3q^-136 + q^-135 - 8q^-134 + 4q^-133 + 4q^-132 + 2q^-131 + 14q^-130 - 9q^-129 - 8q^-128 - 20q^-126 + 3q^-125 + 10q^-124 + 13q^-123 + 34q^-122 - 13q^-121 - 19q^-120 - 5q^-119 - 42q^-118 - q^-117 + 12q^-116 + 20q^-115 + 65q^-114 - 6q^-113 - 22q^-112 - 11q^-111 - 59q^-110 + 3q^-109 + 6q^-108 - 2q^-107 + 62q^-106 - 15q^-105 - 14q^-104 + 26q^-103 - 12q^-102 + 72q^-101 + 13q^-100 - 92q^-99 - 78q^-98 - 161q^-97 - 44q^-96 + 156q^-95 + 242q^-94 + 358q^-93 + 136q^-92 - 258q^-91 - 498q^-90 - 659q^-89 - 303q^-88 + 339q^-87 + 816q^-86 + 1104q^-85 + 616q^-84 - 357q^-83 - 1208q^-82 - 1693q^-81 - 1070q^-80 + 275q^-79 + 1579q^-78 + 2370q^-77 + 1705q^-76 - 39q^-75 - 1872q^-74 - 3070q^-73 - 2460q^-72 - 391q^-71 + 2007q^-70 + 3730q^-69 + 3259q^-68 + 945q^-67 - 1941q^-66 - 4185q^-65 - 4014q^-64 - 1637q^-63 + 1682q^-62 + 4470q^-61 + 4638q^-60 + 2267q^-59 - 1295q^-58 - 4488q^-57 - 5022q^-56 - 2844q^-55 + 816q^-54 + 4359q^-53 + 5228q^-52 + 3238q^-51 - 422q^-50 - 4102q^-49 - 5191q^-48 - 3449q^-47 + 52q^-46 + 3800q^-45 + 5082q^-44 + 3524q^-43 + 154q^-42 - 3538q^-41 - 4848q^-40 - 3462q^-39 - 328q^-38 + 3272q^-37 + 4638q^-36 + 3389q^-35 + 419q^-34 - 3058q^-33 - 4403q^-32 - 3284q^-31 - 538q^-30 + 2816q^-29 + 4189q^-28 + 3226q^-27 + 684q^-26 - 2553q^-25 - 3968q^-24 - 3187q^-23 - 889q^-22 + 2229q^-21 + 3717q^-20 + 3174q^-19 + 1156q^-18 - 1833q^-17 - 3425q^-16 - 3167q^-15 - 1466q^-14 + 1371q^-13 + 3072q^-12 + 3125q^-11 + 1789q^-10 - 832q^-9 - 2635q^-8 - 3031q^-7 - 2121q^-6 + 271q^-5 + 2130q^-4 + 2843q^-3 + 2369q^-2 + 315q^-1 - 1529 - 2550q - 2540q² - 861q³ + 897q⁴ + 2137q⁵ + 2554q⁶ + 1313q⁷ - 248q⁸ - 1596q⁹ - 2413q¹⁰ - 1635q¹¹ - 356q¹² + 1008q¹³ + 2101q¹⁴ + 1754q¹⁵ + 837q¹⁶ - 385q¹⁷ - 1640q¹⁸ - 1689q¹⁹ - 1154q²⁰ - 168q²¹ + 1110q²² + 1432q²³ + 1262q²⁴ + 584q²⁵ - 577q²⁶ - 1039q²⁷ - 1166q²⁸ - 826q²⁹ + 119q³⁰ + 616q³¹ + 926q³² + 857q³³ + 169q³⁴ - 217q³⁵ - 585q³⁶ - 739q³⁷ - 308q³⁸ - 60q³⁹ + 280q⁴⁰ + 518q⁴¹ + 276q⁴² + 189q⁴³ - 37q⁴⁴ - 282q⁴⁵ - 160q⁴⁶ - 194q⁴⁷ - 87q⁴⁸ + 113q⁴⁹ + 24q⁵⁰ + 111q⁵¹ + 89q⁵² - 21q⁵³ + 86q⁵⁴ - 9q⁵⁵ - 47q⁵⁶ + 8q⁵⁷ - 106q⁵⁸ - 55q⁵⁹ - 30q⁶⁰ - 60q⁶¹ + 92q⁶² + 87q⁶³ + 66q⁶⁴ + 88q⁶⁵ - 37q⁶⁶ - 47q⁶⁷ - 68q⁶⁸ - 120q⁶⁹ - 21q⁷⁰ + 22q⁷¹ + 51q⁷² + 98q⁷³ + 33q⁷⁴ + 20q⁷⁵ - 2q⁷⁶ - 74q⁷⁷ - 47q⁷⁸ - 34q⁷⁹ - 6q⁸⁰ + 41q⁸¹ + 21q⁸² + 25q⁸³ + 27q⁸⁴ - 9q⁸⁵ - 16q⁸⁶ - 23q⁸⁷ - 18q⁸⁸ + 9q⁸⁹ + 4q⁹¹ + 13q⁹² + 4q⁹³ + 2q⁹⁴ - 6q⁹⁵ - 7q⁹⁶ + 2q⁹⁷ - 2q⁹⁹ + 2q¹⁰⁰ + q¹⁰¹ + 2q¹⁰² - q¹⁰³ - 2q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 8]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[5, 14, 6, 15], X[9, 1, 10, 18], > X[11, 17, 12, 16], X[15, 13, 16, 12], X[17, 11, 18, 10], X[13, 6, 14, 7], > X[7, 2, 8, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 8]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 7, -5, 6, -8, 3, -6, 5, -7, 4]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 8]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 14, 2, 18, 16, 6, 12, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 8]]

Out[5]=
BR[5, {-1, -1, 2, -1, 2, 3, -2, -4, 3, -4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 8]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 8]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 8]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 2, 2, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 8]][t]

Out[10]=
2 8 2 -11 - -- + - + 8 t - 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 8]][z]

Out[11]=
4 1 - 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 14], Knot[9, 8], Knot[10, 131]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 8]], KnotSignature[Knot[9, 8]]}

Out[13]=
{31, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 8]][q]

Out[14]=
-6 2 3 5 5 5 2 3 -4 - q + -- - -- + -- - -- + - + 3 q - 2 q + q 5 4 3 2 q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 8], Knot[11, NonAlternating, 60]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 8]][q]

Out[16]=
-20 -18 -16 -12 2 -6 -4 2 4 10 -q - q + q + q + --- + q - q - q + q + q 10 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 8]][a, z]

Out[17]=
2 -2 4 6 2 z 2 2 4 2 4 2 4 -1 + a + 2 a - a - 2 z + -- - a z + 2 a z - z - a z 2 a

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 8]][a, z]

Out[18]=
2 -2 4 6 2 z 3 5 7 2 4 z -1 - a + 2 a + a - --- - 3 a z - a z - a z - a z + 7 z + ---- + a 2 a 3 2 2 4 2 6 2 8 z 3 3 3 7 3 4 > 2 a z - 3 a z - 2 a z + ---- + 11 a z + 2 a z + a z - 6 z - a 4 5 6 4 z 2 4 6 4 8 z 5 3 5 5 5 6 z > ---- - 4 a z + 2 a z - ---- - 13 a z - 3 a z + 2 a z - z + -- + 2 a 2 a a 7 4 6 2 z 7 3 7 8 2 8 > 2 a z + ---- + 4 a z + 2 a z + z + a z a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 8]], Vassiliev[3][Knot[9, 8]]}

Out[19]=
{0, -2}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 8]][q, t]

Out[20]=
3 3 1 1 1 2 1 3 2 2 -- + - + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + 3 q 13 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 5 2 5 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 2 t 2 3 2 3 3 5 3 7 4 > ---- + --- + 2 q t + q t + 2 q t + q t + q t + q t 3 q q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 8], 2][q]

Out[21]=
-17 2 4 6 2 7 13 6 11 20 8 15 22 1 + q - --- + --- - --- + --- + --- - --- + -- + -- - -- + -- + -- - -- + 16 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 q q q q q q q q q q q q 5 17 19 2 3 4 5 6 7 8 > -- + -- - -- + 16 q - 13 q - 3 q + 12 q - 6 q - 4 q + 6 q - q - 3 2 q q q 9 10 > 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₈

9₇
9₉

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-17 - 2q^-16 + 4q^-14 - 6q^-13 + 2q^-12 + 7q^-11 - 13q^-10 + 6q^-9 + 11q^-8 - 20q^-7 + 8q^-6 + 15q^-5 - 22q^-4 + 5q^-3 + 17q^-2 - 19q^-1 + 1 + 16q - 13q² - 3q³ + 12q⁴ - 6q⁵ - 4q⁶ + 6q⁷ - q⁸ - 2q⁹ + q¹⁰
3	- q^-33 + 2q^-32 - q^-30 - 3q^-29 + 4q^-28 + 2q^-27 - 3q^-26 - 3q^-25 + 3q^-24 + 2q^-23 - 3q^-22 + 2q^-21 + q^-20 - 6q^-19 - 2q^-18 + 15q^-17 - q^-16 - 17q^-15 - 7q^-14 + 27q^-13 + 6q^-12 - 24q^-11 - 14q^-10 + 26q^-9 + 15q^-8 - 19q^-7 - 21q^-6 + 16q^-5 + 22q^-4 - 9q^-3 - 25q^-2 + 4q^-1 + 26 + 3q - 26q² - 8q³ + 24q⁴ + 13q⁵ - 20q⁶ - 17q⁷ + 14q⁸ + 19q⁹ - 9q¹⁰ - 16q¹¹ + 2q¹² + 14q¹³ + q¹⁴ - 9q¹⁵ - 3q¹⁶ + 5q¹⁷ + 2q¹⁸ - q¹⁹ - 2q²⁰ + q²¹
4	q^-54 - 2q^-53 + q^-51 + 5q^-49 - 8q^-48 + q^-46 + 16q^-44 - 16q^-43 - 2q^-42 - 5q^-41 - 2q^-40 + 37q^-39 - 18q^-38 - 7q^-37 - 24q^-36 - 12q^-35 + 70q^-34 - 4q^-33 - 9q^-32 - 60q^-31 - 41q^-30 + 108q^-29 + 31q^-28 + 4q^-27 - 102q^-26 - 87q^-25 + 129q^-24 + 65q^-23 + 35q^-22 - 119q^-21 - 130q^-20 + 122q^-19 + 75q^-18 + 64q^-17 - 107q^-16 - 144q^-15 + 106q^-14 + 56q^-13 + 75q^-12 - 79q^-11 - 133q^-10 + 88q^-9 + 28q^-8 + 74q^-7 - 48q^-6 - 111q^-5 + 66q^-4 - 3q^-3 + 69q^-2 - 14q^-1 - 82 + 42q - 34q² + 55q³ + 15q⁴ - 44q⁵ + 29q⁶ - 60q⁷ + 28q⁸ + 27q⁹ - 7q¹⁰ + 34q¹¹ - 64q¹² - 3q¹³ + 14q¹⁴ + 12q¹⁵ + 46q¹⁶ - 43q¹⁷ - 18q¹⁸ - 7q¹⁹ + 6q²⁰ + 43q²¹ - 13q²² - 11q²³ - 15q²⁴ - 6q²⁵ + 24q²⁶ + q²⁷ - 7q²⁹ - 7q³⁰ + 6q³¹ + q³² + 2q³³ - q³⁴ - 2q³⁵ + q³⁶
5	- q^-80 + 2q^-79 - q^-77 - 2q^-75 - q^-74 + 6q^-73 + 2q^-72 - 4q^-71 - q^-70 - 8q^-69 - 2q^-68 + 14q^-67 + 10q^-66 - 3q^-65 - 10q^-64 - 20q^-63 - 8q^-62 + 25q^-61 + 34q^-60 + 7q^-59 - 30q^-58 - 52q^-57 - 21q^-56 + 44q^-55 + 83q^-54 + 38q^-53 - 66q^-52 - 122q^-51 - 61q^-50 + 83q^-49 + 177q^-48 + 102q^-47 - 107q^-46 - 245q^-45 - 148q^-44 + 114q^-43 + 320q^-42 + 222q^-41 - 127q^-40 - 382q^-39 - 292q^-38 + 96q^-37 + 445q^-36 + 379q^-35 - 83q^-34 - 472q^-33 - 428q^-32 + 17q^-31 + 485q^-30 + 493q^-29 + 4q^-28 - 471q^-27 - 496q^-26 - 60q^-25 + 443q^-24 + 517q^-23 + 70q^-22 - 413q^-21 - 485q^-20 - 101q^-19 + 375q^-18 + 475q^-17 + 103q^-16 - 338q^-15 - 439q^-14 - 123q^-13 + 298q^-12 + 417q^-11 + 131q^-10 - 253q^-9 - 381q^-8 - 152q^-7 + 205q^-6 + 350q^-5 + 161q^-4 - 149q^-3 - 304q^-2 - 176q^-1 + 94 + 256q + 176q² - 42q³ - 195q⁴ - 166q⁵ - 6q⁶ + 136q⁷ + 142q⁸ + 36q⁹ - 76q¹⁰ - 104q¹¹ - 51q¹² + 26q¹³ + 59q¹⁴ + 48q¹⁵ + 10q¹⁶ - 21q¹⁷ - 25q¹⁸ - 23q¹⁹ - 18q²⁰ + 23q²² + 32q²³ + 25q²⁴ - q²⁵ - 38q²⁶ - 42q²⁷ - 15q²⁸ + 23q²⁹ + 45q³⁰ + 31q³¹ - 6q³² - 35q³³ - 36q³⁴ - 12q³⁵ + 23q³⁶ + 32q³⁷ + 15q³⁸ - 4q³⁹ - 21q⁴⁰ - 20q⁴¹ - 2q⁴² + 13q⁴³ + 10q⁴⁴ + 5q⁴⁵ - 9q⁴⁷ - 5q⁴⁸ + 2q⁴⁹ + 2q⁵⁰ + q⁵¹ + 2q⁵² - q⁵³ - 2q⁵⁴ + q⁵⁵
6	q^-111 - 2q^-110 + q^-108 + 2q^-106 - 2q^-105 + 3q^-104 - 8q^-103 + q^-102 + 5q^-101 - q^-100 + 8q^-99 - 4q^-98 + 4q^-97 - 24q^-96 + 2q^-95 + 13q^-94 + 21q^-92 - 2q^-91 + 2q^-90 - 55q^-89 + q^-88 + 23q^-87 + 7q^-86 + 46q^-85 + 4q^-84 - 9q^-83 - 106q^-82 - q^-81 + 48q^-80 + 31q^-79 + 85q^-78 - 2q^-77 - 59q^-76 - 190q^-75 + 2q^-74 + 125q^-73 + 118q^-72 + 151q^-71 - 46q^-70 - 207q^-69 - 361q^-68 + q^-67 + 296q^-66 + 343q^-65 + 307q^-64 - 119q^-63 - 496q^-62 - 695q^-61 - 82q^-60 + 526q^-59 + 727q^-58 + 635q^-57 - 108q^-56 - 847q^-55 - 1185q^-54 - 342q^-53 + 653q^-52 + 1136q^-51 + 1105q^-50 + 99q^-49 - 1048q^-48 - 1654q^-47 - 737q^-46 + 556q^-45 + 1347q^-44 + 1519q^-43 + 428q^-42 - 992q^-41 - 1883q^-40 - 1063q^-39 + 325q^-38 + 1297q^-37 + 1690q^-36 + 682q^-35 - 792q^-34 - 1854q^-33 - 1179q^-32 + 135q^-31 + 1118q^-30 + 1639q^-29 + 772q^-28 - 591q^-27 - 1701q^-26 - 1150q^-25 + 22q^-24 + 926q^-23 + 1508q^-22 + 789q^-21 - 405q^-20 - 1519q^-19 - 1098q^-18 - 101q^-17 + 721q^-16 + 1370q^-15 + 830q^-14 - 171q^-13 - 1303q^-12 - 1064q^-11 - 285q^-10 + 455q^-9 + 1200q^-8 + 895q^-7 + 126q^-6 - 1007q^-5 - 993q^-4 - 493q^-3 + 123q^-2 + 938q^-1 + 904 + 431q - 624q² - 805q³ - 622q⁴ - 215q⁵ + 569q⁶ + 765q⁷ + 629q⁸ - 223q⁹ - 483q¹⁰ - 571q¹¹ - 432q¹² + 170q¹³ + 465q¹⁴ + 614q¹⁵ + 55q¹⁶ - 121q¹⁷ - 337q¹⁸ - 423q¹⁹ - 99q²⁰ + 125q²¹ + 401q²² + 102q²³ + 105q²⁴ - 62q²⁵ - 225q²⁶ - 138q²⁷ - 69q²⁸ + 156q²⁹ - 21q³⁰ + 108q³¹ + 66q³² - 23q³³ - 29q³⁴ - 56q³⁵ + 53q³⁶ - 125q³⁷ + q³⁸ + 23q³⁹ + 31q⁴⁰ + 44q⁴¹ + 28q⁴² + 82q⁴³ - 98q⁴⁴ - 48q⁴⁵ - 46q⁴⁶ - 15q⁴⁷ + 13q⁴⁸ + 44q⁴⁹ + 102q⁵⁰ - 20q⁵¹ - 12q⁵² - 43q⁵³ - 35q⁵⁴ - 31q⁵⁵ + 4q⁵⁶ + 63q⁵⁷ + 9q⁵⁸ + 17q⁵⁹ - 7q⁶⁰ - 13q⁶¹ - 27q⁶² - 14q⁶³ + 18q⁶⁴ + 2q⁶⁵ + 11q⁶⁶ + 4q⁶⁷ + 3q⁶⁸ - 9q⁶⁹ - 7q⁷⁰ + 4q⁷¹ - 2q⁷² + 2q⁷³ + q⁷⁴ + 2q⁷⁵ - q⁷⁶ - 2q⁷⁷ + q⁷⁸
7	- q^-147 + 2q^-146 - q^-144 - 2q^-142 + 2q^-141 - q^-139 + 5q^-138 - 2q^-137 - 3q^-136 + q^-135 - 8q^-134 + 4q^-133 + 4q^-132 + 2q^-131 + 14q^-130 - 9q^-129 - 8q^-128 - 20q^-126 + 3q^-125 + 10q^-124 + 13q^-123 + 34q^-122 - 13q^-121 - 19q^-120 - 5q^-119 - 42q^-118 - q^-117 + 12q^-116 + 20q^-115 + 65q^-114 - 6q^-113 - 22q^-112 - 11q^-111 - 59q^-110 + 3q^-109 + 6q^-108 - 2q^-107 + 62q^-106 - 15q^-105 - 14q^-104 + 26q^-103 - 12q^-102 + 72q^-101 + 13q^-100 - 92q^-99 - 78q^-98 - 161q^-97 - 44q^-96 + 156q^-95 + 242q^-94 + 358q^-93 + 136q^-92 - 258q^-91 - 498q^-90 - 659q^-89 - 303q^-88 + 339q^-87 + 816q^-86 + 1104q^-85 + 616q^-84 - 357q^-83 - 1208q^-82 - 1693q^-81 - 1070q^-80 + 275q^-79 + 1579q^-78 + 2370q^-77 + 1705q^-76 - 39q^-75 - 1872q^-74 - 3070q^-73 - 2460q^-72 - 391q^-71 + 2007q^-70 + 3730q^-69 + 3259q^-68 + 945q^-67 - 1941q^-66 - 4185q^-65 - 4014q^-64 - 1637q^-63 + 1682q^-62 + 4470q^-61 + 4638q^-60 + 2267q^-59 - 1295q^-58 - 4488q^-57 - 5022q^-56 - 2844q^-55 + 816q^-54 + 4359q^-53 + 5228q^-52 + 3238q^-51 - 422q^-50 - 4102q^-49 - 5191q^-48 - 3449q^-47 + 52q^-46 + 3800q^-45 + 5082q^-44 + 3524q^-43 + 154q^-42 - 3538q^-41 - 4848q^-40 - 3462q^-39 - 328q^-38 + 3272q^-37 + 4638q^-36 + 3389q^-35 + 419q^-34 - 3058q^-33 - 4403q^-32 - 3284q^-31 - 538q^-30 + 2816q^-29 + 4189q^-28 + 3226q^-27 + 684q^-26 - 2553q^-25 - 3968q^-24 - 3187q^-23 - 889q^-22 + 2229q^-21 + 3717q^-20 + 3174q^-19 + 1156q^-18 - 1833q^-17 - 3425q^-16 - 3167q^-15 - 1466q^-14 + 1371q^-13 + 3072q^-12 + 3125q^-11 + 1789q^-10 - 832q^-9 - 2635q^-8 - 3031q^-7 - 2121q^-6 + 271q^-5 + 2130q^-4 + 2843q^-3 + 2369q^-2 + 315q^-1 - 1529 - 2550q - 2540q² - 861q³ + 897q⁴ + 2137q⁵ + 2554q⁶ + 1313q⁷ - 248q⁸ - 1596q⁹ - 2413q¹⁰ - 1635q¹¹ - 356q¹² + 1008q¹³ + 2101q¹⁴ + 1754q¹⁵ + 837q¹⁶ - 385q¹⁷ - 1640q¹⁸ - 1689q¹⁹ - 1154q²⁰ - 168q²¹ + 1110q²² + 1432q²³ + 1262q²⁴ + 584q²⁵ - 577q²⁶ - 1039q²⁷ - 1166q²⁸ - 826q²⁹ + 119q³⁰ + 616q³¹ + 926q³² + 857q³³ + 169q³⁴ - 217q³⁵ - 585q³⁶ - 739q³⁷ - 308q³⁸ - 60q³⁹ + 280q⁴⁰ + 518q⁴¹ + 276q⁴² + 189q⁴³ - 37q⁴⁴ - 282q⁴⁵ - 160q⁴⁶ - 194q⁴⁷ - 87q⁴⁸ + 113q⁴⁹ + 24q⁵⁰ + 111q⁵¹ + 89q⁵² - 21q⁵³ + 86q⁵⁴ - 9q⁵⁵ - 47q⁵⁶ + 8q⁵⁷ - 106q⁵⁸ - 55q⁵⁹ - 30q⁶⁰ - 60q⁶¹ + 92q⁶² + 87q⁶³ + 66q⁶⁴ + 88q⁶⁵ - 37q⁶⁶ - 47q⁶⁷ - 68q⁶⁸ - 120q⁶⁹ - 21q⁷⁰ + 22q⁷¹ + 51q⁷² + 98q⁷³ + 33q⁷⁴ + 20q⁷⁵ - 2q⁷⁶ - 74q⁷⁷ - 47q⁷⁸ - 34q⁷⁹ - 6q⁸⁰ + 41q⁸¹ + 21q⁸² + 25q⁸³ + 27q⁸⁴ - 9q⁸⁵ - 16q⁸⁶ - 23q⁸⁷ - 18q⁸⁸ + 9q⁸⁹ + 4q⁹¹ + 13q⁹² + 4q⁹³ + 2q⁹⁴ - 6q⁹⁵ - 7q⁹⁶ + 2q⁹⁷ - 2q⁹⁹ + 2q¹⁰⁰ + q¹⁰¹ + 2q¹⁰² - q¹⁰³ - 2q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 8]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[5, 14, 6, 15], X[9, 1, 10, 18], > X[11, 17, 12, 16], X[15, 13, 16, 12], X[17, 11, 18, 10], X[13, 6, 14, 7], > X[7, 2, 8, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 8]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 7, -5, 6, -8, 3, -6, 5, -7, 4]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 8]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 14, 2, 18, 16, 6, 12, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 8]]
Out[5]=	BR[5, {-1, -1, 2, -1, 2, 3, -2, -4, 3, -4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 8]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 8]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 8]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 8]][t]
Out[10]=	2 8 2 -11 - -- + - + 8 t - 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 8]][z]
Out[11]=	4 1 - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 14], Knot[9, 8], Knot[10, 131]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 8]], KnotSignature[Knot[9, 8]]}
Out[13]=	{31, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 8]][q]
Out[14]=	-6 2 3 5 5 5 2 3 -4 - q + -- - -- + -- - -- + - + 3 q - 2 q + q 5 4 3 2 q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 8], Knot[11, NonAlternating, 60]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 8]][q]
Out[16]=	-20 -18 -16 -12 2 -6 -4 2 4 10 -q - q + q + q + --- + q - q - q + q + q 10 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 8]][a, z]
Out[17]=	2 -2 4 6 2 z 2 2 4 2 4 2 4 -1 + a + 2 a - a - 2 z + -- - a z + 2 a z - z - a z 2 a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 8]][a, z]
Out[18]=	2 -2 4 6 2 z 3 5 7 2 4 z -1 - a + 2 a + a - --- - 3 a z - a z - a z - a z + 7 z + ---- + a 2 a 3 2 2 4 2 6 2 8 z 3 3 3 7 3 4 > 2 a z - 3 a z - 2 a z + ---- + 11 a z + 2 a z + a z - 6 z - a 4 5 6 4 z 2 4 6 4 8 z 5 3 5 5 5 6 z > ---- - 4 a z + 2 a z - ---- - 13 a z - 3 a z + 2 a z - z + -- + 2 a 2 a a 7 4 6 2 z 7 3 7 8 2 8 > 2 a z + ---- + 4 a z + 2 a z + z + a z a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 8]], Vassiliev[3][Knot[9, 8]]}
Out[19]=	{0, -2}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 8]][q, t]
Out[20]=	3 3 1 1 1 2 1 3 2 2 -- + - + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + 3 q 13 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 5 2 5 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 2 t 2 3 2 3 3 5 3 7 4 > ---- + --- + 2 q t + q t + 2 q t + q t + q t + q t 3 q q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 8], 2][q]
Out[21]=	-17 2 4 6 2 7 13 6 11 20 8 15 22 1 + q - --- + --- - --- + --- + --- - --- + -- + -- - -- + -- + -- - -- + 16 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 q q q q q q q q q q q q 5 17 19 2 3 4 5 6 7 8 > -- + -- - -- + 16 q - 13 q - 3 q + 12 q - 6 q - 4 q + 6 q - q - 3 2 q q q 9 10 > 2 q + q

The Alternating Knot 98

The Alternating Knot 9₈