© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:

931 933

KnotPlot

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KnotPlot

PD Presentation:

X1425 X13,18,14,1 X3948 X9,3,10,2 X7,15,8,14 X15,11,16,10 X5,12,6,13 X11,17,12,16 X17,7,18,6

Gauss Code:

{-1, 4, -3, 1, -7, 9, -5, 3, -4, 6, -8, 7, -2, 5, -6, 8, -9, 2}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code:

4 8 12 14 2 16 18 10 6

Minimum Braid Representative: Length is 9, width is 4 Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index Chiral 2 3 3 / 4--6 1

Alexander Polynomial:

t-3 - 6t-2 + 14t-1 - 17 + 14t - 6t2 + t3

Conway Polynomial:

1 - z2 + z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial:

{K11n52, K11n124, ...}

Determinant and Signature:

{59, 2}

Jones Polynomial:

- q-2 + 4q-1 - 6 + 9q - 10q2 + 10q3 - 9q4 + 6q5 - 3q6 + q7

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial:

{...}

A2 (sl(3)) Invariant:

- q-6 + 2q-4 + 1 + 3q2 - 2q4 + 2q6 - 2q8 - 2q14 + 2q16 - q18 + q22

HOMFLY-PT Polynomial:

a-6 + a-6z2 - 2a-4 - 4a-4z2 - 2a-4z4 + a-2 + 3a-2z2 + 3a-2z4 + a-2z6 + 1 - z2 - z4

Kauffman Polynomial:

- a-8z2 + a-8z4 + a-7z - 3a-7z3 + 3a-7z5 - a-6 + 4a-6z2 - 6a-6z4 + 5a-6z6 + 2a-5z3 - 5a-5z5 + 5a-5z7 - 2a-4 + 12a-4z2 - 18a-4z4 + 7a-4z6 + 2a-4z8 - 2a-3z + 9a-3z3 - 18a-3z5 + 10a-3z7 - a-2 + 10a-2z2 - 19a-2z4 + 6a-2z6 + 2a-2z8 - a-1z + 3a-1z3 - 9a-1z5 + 5a-1z7 + 1 + 3z2 - 8z4 + 4z6 - az3 + az5

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants:

{-1, -2}

Khovanov Homology: (The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 932. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

trqj r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6 j = 15                   1 j = 13                 2   j = 11               4 1   j = 9             5 2     j = 7           5 4       j = 5         5 5         j = 3       4 5           j = 1     3 6             j = -1   1 3               j = -3   3                 j = -5 1

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q-7 - 4q-6 + q-5 + 14q-4 - 19q-3 - 9q-2 + 46q-1 - 32 - 37q + 82q2 - 32q3 - 69q4 + 102q5 - 20q6 - 87q7 + 97q8 - 4q9 - 80q10 + 67q11 + 8q12 - 50q13 + 29q14 + 8q15 - 18q16 + 7q17 + 2q18 - 3q19 + q20
3	- q-15 + 4q-14 - q-13 - 9q-12 - 4q-11 + 22q-10 + 21q-9 - 44q-8 - 47q-7 + 52q-6 + 105q-5 - 56q-4 - 168q-3 + 26q-2 + 248q-1 + 18 - 306q - 103q2 + 368q3 + 180q4 - 389q5 - 276q6 + 405q7 + 353q8 - 392q9 - 425q10 + 371q11 + 472q12 - 331q13 - 499q14 + 275q15 + 503q16 - 210q17 - 475q18 + 134q19 + 426q20 - 69q21 - 344q22 + 8q23 + 259q24 + 25q25 - 175q26 - 34q27 + 101q28 + 32q29 - 53q30 - 20q31 + 25q32 + 9q33 - 11q34 - 2q35 + 3q36 + 2q37 - 3q38 + q39
4	q-26 - 4q-25 + q-24 + 9q-23 - q-22 + q-21 - 34q-20 - 6q-19 + 51q-18 + 33q-17 + 39q-16 - 146q-15 - 116q-14 + 87q-13 + 171q-12 + 286q-11 - 258q-10 - 441q-9 - 137q-8 + 270q-7 + 900q-6 - 31q-5 - 782q-4 - 805q-3 - 76q-2 + 1619q-1 + 728 - 667q - 1637q2 - 1032q3 + 1947q4 + 1710q5 + 51q6 - 2162q7 - 2243q8 + 1725q9 + 2467q10 + 1045q11 - 2243q12 - 3257q13 + 1195q14 + 2842q15 + 1935q16 - 2023q17 - 3875q18 + 575q19 + 2870q20 + 2584q21 - 1581q22 - 4058q23 - 92q24 + 2518q25 + 2926q26 - 876q27 - 3700q28 - 744q29 + 1724q30 + 2802q31 - 33q32 - 2744q33 - 1097q34 + 696q35 + 2099q36 + 552q37 - 1487q38 - 931q39 - 64q40 + 1115q41 + 593q42 - 516q43 - 455q44 - 268q45 + 377q46 + 310q47 - 102q48 - 105q49 - 150q50 + 79q51 + 87q52 - 22q53 + q54 - 40q55 + 14q56 + 15q57 - 10q58 + 5q59 - 6q60 + 3q61 + 2q62 - 3q63 + q64
5	- q-40 + 4q-39 - q-38 - 9q-37 + q-36 + 4q-35 + 11q-34 + 19q-33 - q-32 - 54q-31 - 52q-30 + 3q-29 + 81q-28 + 144q-27 + 81q-26 - 123q-25 - 331q-24 - 262q-23 + 99q-22 + 522q-21 + 656q-20 + 189q-19 - 720q-18 - 1269q-17 - 754q-16 + 607q-15 + 1903q-14 + 1886q-13 - 10q-12 - 2453q-11 - 3277q-10 - 1320q-9 + 2365q-8 + 4880q-7 + 3414q-6 - 1530q-5 - 6075q-4 - 6065q-3 - 448q-2 + 6687q-1 + 8853 + 3275q - 6139q2 - 11406q3 - 6881q4 + 4705q5 + 13250q6 + 10566q7 - 2159q8 - 14289q9 - 14220q10 - 768q11 + 14444q12 + 17236q13 + 4052q14 - 13903q15 - 19764q16 - 7094q17 + 12916q18 + 21529q19 + 9928q20 - 11685q21 - 22814q22 - 12308q23 + 10339q24 + 23593q25 + 14376q26 - 8927q27 - 23994q28 - 16121q29 + 7369q30 + 23966q31 + 17645q32 - 5581q33 - 23432q34 - 18914q35 + 3477q36 + 22257q37 + 19787q38 - 1026q39 - 20281q40 - 20169q41 - 1572q42 + 17518q43 + 19690q44 + 4127q45 - 13982q46 - 18374q47 - 6238q48 + 10142q49 + 16014q50 + 7577q51 - 6252q52 - 12993q53 - 7951q54 + 2926q55 + 9628q56 + 7327q57 - 458q58 - 6374q59 - 6020q60 - 1007q61 + 3700q62 + 4399q63 + 1513q64 - 1766q65 - 2825q66 - 1439q67 + 624q68 + 1597q69 + 1058q70 - 93q71 - 776q72 - 641q73 - 76q74 + 313q75 + 331q76 + 96q77 - 121q78 - 147q79 - 40q80 + 31q81 + 42q82 + 35q83 - 12q84 - 27q85 + 4q86 + 4q87 - 4q88 + 6q89 + q90 - 6q91 + 3q92 + 2q93 - 3q94 + q95
6	q-57 - 4q-56 + q-55 + 9q-54 - q-53 - 4q-52 - 16q-51 + 4q-50 - 12q-49 + 4q-48 + 73q-47 + 27q-46 - 10q-45 - 110q-44 - 77q-43 - 118q-42 - 11q-41 + 324q-40 + 334q-39 + 233q-38 - 245q-37 - 437q-36 - 888q-35 - 660q-34 + 512q-33 + 1315q-32 + 1798q-31 + 799q-30 - 291q-29 - 2765q-28 - 3733q-27 - 1819q-26 + 1259q-25 + 4916q-24 + 5656q-23 + 4520q-22 - 2333q-21 - 8666q-20 - 10190q-19 - 6096q-18 + 3608q-17 + 12261q-16 + 17942q-15 + 9095q-14 - 6222q-13 - 20201q-12 - 24431q-11 - 13086q-10 + 7842q-9 + 32323q-8 + 34152q-7 + 16165q-6 - 15598q-5 - 42500q-4 - 45896q-3 - 20644q-2 + 28574q-1 + 58074 + 56492q + 16095q2 - 39655q3 - 77020q4 - 68014q5 - 4087q6 + 59951q7 + 94702q8 + 66676q9 - 7813q10 - 86365q11 - 112907q12 - 54804q13 + 34544q14 + 112292q15 + 114625q16 + 40159q17 - 71117q18 - 138786q19 - 102796q20 - 4583q21 + 108204q22 + 145596q23 + 85033q24 - 44187q25 - 145520q26 - 135979q27 - 40914q28 + 93712q29 + 159998q30 + 117220q31 - 18612q32 - 142225q33 - 155281q34 - 67952q35 + 78198q36 + 165053q37 + 138590q38 + 2412q39 - 135004q40 - 166670q41 - 89099q42 + 61828q43 + 164354q44 + 154579q45 + 23969q46 - 121540q47 - 171876q48 - 109645q49 + 38125q50 + 153502q51 + 165275q52 + 51048q53 - 94293q54 - 164451q55 - 127781q56 + 2940q57 + 124029q58 + 161902q59 + 79231q60 - 50512q61 - 134970q62 - 131885q63 - 35893q64 + 74956q65 + 134097q66 + 93434q67 - 1980q68 - 84404q69 - 110550q70 - 59742q71 + 21832q72 + 84964q73 + 81352q74 + 29748q75 - 31404q76 - 68728q77 - 56251q78 - 12472q79 + 35307q80 + 49646q81 + 33577q82 + 1648q83 - 27884q84 - 34059q85 - 19619q86 + 5530q87 + 19301q88 + 20073q89 + 9892q90 - 5042q91 - 12929q92 - 11755q93 - 2908q94 + 3609q95 + 7019q96 + 5982q97 + 1130q98 - 2719q99 - 4001q100 - 1953q101 - 320q102 + 1288q103 + 1910q104 + 889q105 - 198q106 - 838q107 - 451q108 - 325q109 + 45q110 + 387q111 + 227q112 + 21q113 - 136q114 - 17q115 - 75q116 - 36q117 + 65q118 + 31q119 + 4q120 - 30q121 + 17q122 - 6q123 - 15q124 + 12q125 + 2q126 + q127 - 6q128 + 3q129 + 2q130 - 3q131 + q132
7	- q-77 + 4q-76 - q-75 - 9q-74 + q-73 + 4q-72 + 16q-71 + q-70 - 11q-69 + 9q-68 - 23q-67 - 48q-66 - 20q-65 + 22q-64 + 115q-63 + 115q-62 + 17q-61 + 9q-60 - 175q-59 - 325q-58 - 297q-57 - 146q-56 + 403q-55 + 771q-54 + 753q-53 + 602q-52 - 242q-51 - 1286q-50 - 1942q-49 - 2123q-48 - 545q-47 + 1738q-46 + 3582q-45 + 4792q-44 + 3232q-43 - 389q-42 - 4946q-41 - 9313q-40 - 9107q-39 - 4078q-38 + 4079q-37 + 13731q-36 + 18046q-35 + 14636q-34 + 3251q-33 - 15014q-32 - 29028q-31 - 31954q-30 - 20034q-29 + 7106q-28 + 35681q-27 + 53589q-26 + 49846q-25 + 16850q-24 - 30554q-23 - 73055q-22 - 89229q-21 - 60293q-20 + 2657q-19 + 77577q-18 + 130419q-17 + 123208q-16 + 54368q-15 - 54934q-14 - 158264q-13 - 194768q-12 - 141472q-11 - 7231q-10 + 155997q-9 + 259807q-8 + 249742q-7 + 110713q-6 - 108674q-5 - 297100q-4 - 362267q-3 - 249838q-2 + 10048q-1 + 289913 + 456726q + 407418q2 + 136576q3 - 227070q4 - 514084q5 - 562486q6 - 315866q7 + 110089q8 + 519701q9 + 692548q10 + 508938q11 + 51082q12 - 471908q13 - 783220q14 - 692579q15 - 237132q16 + 376048q17 + 826008q18 + 850811q19 + 429692q20 - 247638q21 - 824806q22 - 972385q23 - 609132q24 + 102804q25 + 786917q26 + 1055734q27 + 765105q28 + 41884q29 - 726912q30 - 1104431q31 - 890498q32 - 174596q33 + 656067q34 + 1126789q35 + 986871q36 + 288357q37 - 585697q38 - 1131910q39 - 1057824q40 - 381833q41 + 521580q42 + 1128133q43 + 1110493q44 + 457494q45 - 466067q46 - 1120943q47 - 1151735q48 - 521047q49 + 417185q50 + 1113068q51 + 1187340q52 + 579062q53 - 369907q54 - 1103145q55 - 1220714q56 - 638364q57 + 317114q58 + 1086812q59 + 1252009q60 + 703612q61 - 251190q62 - 1056639q63 - 1277125q64 - 776310q65 + 165485q66 + 1003430q67 + 1288481q68 + 853575q69 - 56996q70 - 919017q71 - 1275408q72 - 926425q73 - 72075q74 + 797405q75 + 1226367q76 + 983011q77 + 213254q78 - 640204q79 - 1133393q80 - 1007602q81 - 350667q82 + 454830q83 + 993376q84 + 988216q85 + 466948q86 - 258583q87 - 814225q88 - 917388q89 - 543085q90 + 72472q91 + 610234q92 + 798380q93 + 568344q94 + 81887q95 - 404663q96 - 644240q97 - 539814q98 - 188080q99 + 220283q100 + 474676q101 + 466810q102 + 240410q103 - 75419q104 - 313090q105 - 366766q106 - 243093q107 - 20488q108 + 177698q109 + 259411q110 + 210456q111 + 69749q112 - 79204q113 - 163410q114 - 159932q115 - 81855q116 + 18600q117 + 89212q118 + 107217q119 + 71544q120 + 11067q121 - 40070q122 - 63534q123 - 51986q124 - 19664q125 + 12676q126 + 32798q127 + 32371q128 + 17614q129 - 342q130 - 14436q131 - 17673q132 - 12095q133 - 3214q134 + 5285q135 + 8395q136 + 6743q137 + 3115q138 - 1292q139 - 3455q140 - 3397q141 - 2076q142 + 214q143 + 1318q144 + 1347q145 + 1000q146 + 145q147 - 334q148 - 553q149 - 557q150 - 44q151 + 179q152 + 148q153 + 151q154 + 25q155 + 18q156 - 44q157 - 122q158 + 39q160 + 13q161 + 10q162 - 14q163 + 14q164 + 7q165 - 25q166 + q167 + 8q168 + 2q169 + q170 - 6q171 + 3q172 + 2q173 - 3q174 + q175

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 32]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[13, 18, 14, 1], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[7, 15, 8, 14], X[15, 11, 16, 10], X[5, 12, 6, 13], X[11, 17, 12, 16], > X[17, 7, 18, 6]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 32]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -7, 9, -5, 3, -4, 6, -8, 7, -2, 5, -6, 8, -9, 2]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 32]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 12, 14, 2, 16, 18, 10, 6]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 32]]
Out[5]=	BR[4, {1, 1, -2, 1, -2, 1, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 32]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 32]]]
Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 32]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Chiral, 2, 3, 3, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 32]][t]
Out[10]=	-3 6 14 2 3 -17 + t - -- + -- + 14 t - 6 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 32]][z]
Out[11]=	2 6 1 - z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 32], Knot[11, NonAlternating, 52], Knot[11, NonAlternating, 124]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 32]], KnotSignature[Knot[9, 32]]}
Out[13]=	{59, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 32]][q]
Out[14]=	-2 4 2 3 4 5 6 7 -6 - q + - + 9 q - 10 q + 10 q - 9 q + 6 q - 3 q + q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 32]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 32]][q]
Out[16]=	-6 2 2 4 6 8 14 16 18 22 1 - q + -- + 3 q - 2 q + 2 q - 2 q - 2 q + 2 q - q + q 4 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 32]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 4 4 6 -6 2 -2 2 z 4 z 3 z 4 2 z 3 z z 1 + a - -- + a - z + -- - ---- + ---- - z - ---- + ---- + -- 4 6 4 2 4 2 2 a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 32]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 3 -6 2 -2 z 2 z z 2 z 4 z 12 z 10 z 3 z 1 - a - -- - a + -- - --- - - + 3 z - -- + ---- + ----- + ----- - ---- + 4 7 3 a 8 6 4 2 7 a a a a a a a a 3 3 3 4 4 4 4 5 2 z 9 z 3 z 3 4 z 6 z 18 z 19 z 3 z > ---- + ---- + ---- - a z - 8 z + -- - ---- - ----- - ----- + ---- - 5 3 a 8 6 4 2 7 a a a a a a a 5 5 5 6 6 6 7 7 5 z 18 z 9 z 5 6 5 z 7 z 6 z 5 z 10 z > ---- - ----- - ---- + a z + 4 z + ---- + ---- + ---- + ---- + ----- + 5 3 a 6 4 2 5 3 a a a a a a a 7 8 8 5 z 2 z 2 z > ---- + ---- + ---- a 4 2 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 32]], Vassiliev[3][Knot[9, 32]]}
Out[19]=	{-1, -2}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 32]][q, t]
Out[20]=	3 1 3 1 3 3 q 3 5 5 2 6 q + 4 q + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 5 q t + 5 q t + 5 q t + 5 3 3 2 2 q t t q t q t q t 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 11 5 13 5 > 5 q t + 4 q t + 5 q t + 2 q t + 4 q t + q t + 2 q t + 15 6 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 32], 2][q]
Out[21]=	-7 4 -5 14 19 9 46 2 3 4 -32 + q - -- + q + -- - -- - -- + -- - 37 q + 82 q - 32 q - 69 q + 6 4 3 2 q q q q q 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > 102 q - 20 q - 87 q + 97 q - 4 q - 80 q + 67 q + 8 q - 50 q + 14 15 16 17 18 19 20 > 29 q + 8 q - 18 q + 7 q + 2 q - 3 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 932

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