© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
9.2
92 		9.4
94
    9.3
KnotPlot 		This page is passe. Go here instead!

   The Alternating Knot 93   

Visit 93's page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!)

Visit 93's page at Knotilus!

Acknowledgement

9.3
KnotPlot

PD Presentation: X8291 X12,4,13,3 X18,10,1,9 X10,18,11,17 X14,6,15,5 X16,8,17,7 X2,12,3,11 X4,14,5,13 X6,16,7,15

Gauss Code: {1, -7, 2, -8, 5, -9, 6, -1, 3, -4, 7, -2, 8, -5, 9, -6, 4, -3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 8 12 14 16 18 2 4 6 10

Minimum Braid Representative:


Length is 10, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 3 3 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial: 2t-3 - 3t-2 + 3t-1 - 3 + 3t - 3t2 + 2t3

Conway Polynomial: 1 + 9z2 + 9z4 + 2z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {19, 6}

Jones Polynomial: q3 - q4 + 2q5 - 2q6 + 3q7 - 3q8 + 3q9 - 2q10 + q11 - q12

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q10 + q14 + q18 + q20 + q22 + 2q24 - q30 - q32 - q34 - q36

HOMFLY-PT Polynomial: - 3a-10 - 4a-10z2 - a-10z4 + 3a-8 + 7a-8z2 + 5a-8z4 + a-8z6 + a-6 + 6a-6z2 + 5a-6z4 + a-6z6

Kauffman Polynomial: - 2a-15z + a-15z3 - a-14z2 + a-14z4 + a-13z - a-13z3 + a-13z5 + 3a-12z2 - 2a-12z4 + a-12z6 - a-11z + 4a-11z3 - 3a-11z5 + a-11z7 + 3a-10 - 11a-10z2 + 11a-10z4 - 5a-10z6 + a-10z8 - 4a-9z + 9a-9z3 - 8a-9z5 + 2a-9z7 + 3a-8 - 9a-8z2 + 9a-8z4 - 5a-8z6 + a-8z8 + 3a-7z3 - 4a-7z5 + a-7z7 - a-6 + 6a-6z2 - 5a-6z4 + a-6z6

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {9, 26}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=6 is the signature of 93. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6r = 7r = 8r = 9
j = 25         1
j = 23          
j = 21       21 
j = 19      1   
j = 17     22   
j = 15    11    
j = 13   12     
j = 11  11      
j = 9  1       
j = 711        
j = 51         

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q6 - q7 + 3q9 - 2q10 - 2q11 + 5q12 - 2q13 - 4q14 + 6q15 - q16 - 5q17 + 6q18 - 6q20 + 5q21 + q22 - 6q23 + 5q24 - 4q26 + 3q27 - q28 - 2q29 + 2q30 - q32 + q33
3 q9 - q10 + q12 + 2q13 - 2q14 - 2q15 + q16 + 5q17 - 2q18 - 4q19 - q20 + 7q21 - 5q23 - 3q24 + 7q25 + q26 - 4q27 - 3q28 + 6q29 - 3q31 - q32 + 4q33 - 2q34 - 2q35 + q36 + 2q37 - 3q38 + 2q40 + q41 - 4q42 + 2q44 + 3q45 - 4q46 - 3q47 + 3q48 + 3q49 - q50 - 5q51 + 2q52 + 3q53 + q54 - 4q55 + q56 + q57 + 2q58 - 2q59 + q62 - q63
4 q12 - q13 + q15 + 2q17 - 3q18 - q19 + 2q20 + 6q22 - 5q23 - 4q24 + q25 - q26 + 11q27 - 4q28 - 5q29 - q30 - 5q31 + 14q32 - 2q33 - 4q34 - q35 - 8q36 + 15q37 - 3q38 - 4q39 + q40 - 8q41 + 17q42 - 6q43 - 8q44 + 2q45 - 5q46 + 21q47 - 8q48 - 14q49 + 2q50 - 2q51 + 26q52 - 9q53 - 20q54 + q55 + q56 + 29q57 - 9q58 - 24q59 + q60 + 3q61 + 30q62 - 9q63 - 27q64 + q65 + 5q66 + 31q67 - 9q68 - 27q69 - q70 + 3q71 + 32q72 - 5q73 - 23q74 - 4q75 - q76 + 26q77 - q78 - 14q79 - 4q80 - 5q81 + 17q82 + 2q83 - 7q84 - 2q85 - 6q86 + 10q87 + q88 - 2q89 - q90 - 5q91 + 5q92 - 3q96 + 2q97 - q101 + q102
5 q15 - q16 + q18 + q21 - 2q22 - q23 + 2q24 + 2q25 + 2q27 - 4q28 - 4q29 + 4q31 + 3q32 + 5q33 - 3q34 - 7q35 - 4q36 + q37 + 4q38 + 9q39 - 5q41 - 6q42 - 3q43 + q44 + 10q45 + 3q46 - 4q47 - 5q48 - 3q49 + 10q51 + 3q52 - 7q53 - 7q54 - 3q55 + 4q56 + 15q57 + 4q58 - 11q59 - 14q60 - 8q61 + 8q62 + 24q63 + 10q64 - 13q65 - 22q66 - 16q67 + 7q68 + 31q69 + 20q70 - 10q71 - 28q72 - 24q73 + 2q74 + 34q75 + 28q76 - 4q77 - 31q78 - 32q79 - 2q80 + 34q81 + 35q82 + 2q83 - 32q84 - 37q85 - 6q86 + 35q87 + 39q88 + 4q89 - 32q90 - 42q91 - 7q92 + 38q93 + 41q94 + 4q95 - 33q96 - 44q97 - 8q98 + 38q99 + 43q100 + 6q101 - 31q102 - 42q103 - 12q104 + 31q105 + 40q106 + 10q107 - 24q108 - 34q109 - 10q110 + 17q111 + 29q112 + 9q113 - 14q114 - 22q115 - 4q116 + 7q117 + 16q118 + 6q119 - 9q120 - 11q121 - q122 + 2q123 + 9q124 + 4q125 - 6q126 - 5q127 - q129 + 4q130 + 5q131 - 4q132 - 2q133 - 2q135 + q136 + 4q137 - 2q138 - q141 + 2q143 - q144 + q149 - q150
6 q18 - q19 + q21 - q24 + 2q25 - 2q26 - q27 + 3q28 + q29 + q30 - 3q31 + 3q32 - 5q33 - 4q34 + 4q35 + 3q36 + 5q37 - 3q38 + 7q39 - 8q40 - 10q41 + q42 + q43 + 8q44 - q45 + 15q46 - 6q47 - 12q48 - 3q49 - 4q50 + 5q51 - 4q52 + 22q53 - 2q54 - 8q55 - 3q56 - 7q57 + 3q58 - 9q59 + 24q60 - 2q61 - 6q62 - 4q63 - 8q64 + 5q65 - 9q66 + 29q67 - q68 - 7q69 - 12q70 - 16q71 + 5q72 - 7q73 + 40q74 + 9q75 - 2q76 - 20q77 - 30q78 - 5q79 - 12q80 + 49q81 + 24q82 + 12q83 - 19q84 - 40q85 - 17q86 - 27q87 + 47q88 + 33q89 + 28q90 - 8q91 - 39q92 - 22q93 - 44q94 + 34q95 + 32q96 + 38q97 + 6q98 - 28q99 - 18q100 - 57q101 + 17q102 + 23q103 + 42q104 + 18q105 - 15q106 - 8q107 - 66q108 + q109 + 14q110 + 44q111 + 27q112 - 5q113 + q114 - 72q115 - 13q116 + 8q117 + 46q118 + 33q119 + q120 + 5q121 - 76q122 - 21q123 + 8q124 + 50q125 + 35q126 + 2q127 + 5q128 - 79q129 - 24q130 + 8q131 + 53q132 + 38q133 + 3q134 + 5q135 - 81q136 - 25q137 + 3q138 + 49q139 + 39q140 + 8q141 + 11q142 - 73q143 - 22q144 - 6q145 + 34q146 + 30q147 + 9q148 + 18q149 - 51q150 - 9q151 - 9q152 + 17q153 + 10q154 + 17q156 - 29q157 + 9q158 - 2q159 + 8q160 - 4q161 - 11q162 + 11q163 - 18q164 + 16q165 + 5q166 + 8q167 - 7q168 - 12q169 + 5q170 - 15q171 + 13q172 + 4q173 + 8q174 - 3q175 - 6q176 + 2q177 - 12q178 + 7q179 + 6q181 - q183 + 2q184 - 8q185 + 4q186 - 3q187 + 3q188 + q190 + 2q191 - 4q192 + 3q193 - 3q194 + q195 + q198 - 2q199 + 2q200 - q201 - q206 + q207

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[9, 3]]
Out[2]=   
PD[X[8, 2, 9, 1], X[12, 4, 13, 3], X[18, 10, 1, 9], X[10, 18, 11, 17], 
 
>   X[14, 6, 15, 5], X[16, 8, 17, 7], X[2, 12, 3, 11], X[4, 14, 5, 13], 
 
>   X[6, 16, 7, 15]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 3]]
Out[3]=   
GaussCode[1, -7, 2, -8, 5, -9, 6, -1, 3, -4, 7, -2, 8, -5, 9, -6, 4, -3]
In[4]:=
DTCode[Knot[9, 3]]
Out[4]=   
DTCode[8, 12, 14, 16, 18, 2, 4, 6, 10]
In[5]:=
br = BR[Knot[9, 3]]
Out[5]=   
BR[3, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -1, 2}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{3, 10}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 3]]
Out[7]=   
3
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 3]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[9, 3]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 3, 3, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 3]][t]
Out[10]=   
     2    3    3            2      3
-3 + -- - -- + - + 3 t - 3 t  + 2 t
      3    2   t
     t    t
In[11]:=
Conway[Knot[9, 3]][z]
Out[11]=   
       2      4      6
1 + 9 z  + 9 z  + 2 z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[9, 3]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 3]], KnotSignature[Knot[9, 3]]}
Out[13]=   
{19, 6}
In[14]:=
Jones[Knot[9, 3]][q]
Out[14]=   
 3    4      5      6      7      8      9      10    11    12
q  - q  + 2 q  - 2 q  + 3 q  - 3 q  + 3 q  - 2 q   + q   - q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[9, 3]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 3]][q]
Out[16]=   
 10    14    18    20    22      24    30    32    34    36
q   + q   + q   + q   + q   + 2 q   - q   - q   - q   - q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 3]][a, z]
Out[17]=   
                    2      2      2    4       4      4    6    6
-3    3     -6   4 z    7 z    6 z    z     5 z    5 z    z    z
--- + -- + a   - ---- + ---- + ---- - --- + ---- + ---- + -- + --
 10    8          10      8      6     10     8      6     8    6
a     a          a       a      a     a      a      a     a    a
In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 3]][a, z]
Out[18]=   
                                          2       2       2      2      2
 3    3     -6   2 z    z     z    4 z   z     3 z    11 z    9 z    6 z
--- + -- - a   - --- + --- - --- - --- - --- + ---- - ----- - ---- + ---- + 
 10    8          15    13    11    9     14    12      10      8      6
a     a          a     a     a     a     a     a       a       a      a
 
     3     3       3      3      3    4       4       4      4      4    5
    z     z     4 z    9 z    3 z    z     2 z    11 z    9 z    5 z    z
>   --- - --- + ---- + ---- + ---- + --- - ---- + ----- + ---- - ---- + --- - 
     15    13    11      9      7     14    12      10      8      6     13
    a     a     a       a      a     a     a       a       a      a     a
 
       5      5      5    6       6      6    6    7       7    7    8     8
    3 z    8 z    4 z    z     5 z    5 z    z    z     2 z    z    z     z
>   ---- - ---- - ---- + --- - ---- - ---- + -- + --- + ---- + -- + --- + --
     11      9      7     12    10      8     6    11     9     7    10    8
    a       a      a     a     a       a     a    a      a     a    a     a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 3]], Vassiliev[3][Knot[9, 3]]}
Out[19]=   
{9, 26}
In[20]:=
Kh[Knot[9, 3]][q, t]
Out[20]=   
 5    7    7      9  2    11  2    11  3    13  3      13  4    15  4
q  + q  + q  t + q  t  + q   t  + q   t  + q   t  + 2 q   t  + q   t  + 
 
     15  5      17  5      17  6    19  6      21  7    21  8    25  9
>   q   t  + 2 q   t  + 2 q   t  + q   t  + 2 q   t  + q   t  + q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 3], 2][q]
Out[21]=   
 6    7      9      10      11      12      13      14      15    16      17
q  - q  + 3 q  - 2 q   - 2 q   + 5 q   - 2 q   - 4 q   + 6 q   - q   - 5 q   + 
 
       18      20      21    22      23      24      26      27    28      29
>   6 q   - 6 q   + 5 q   + q   - 6 q   + 5 q   - 4 q   + 3 q   - q   - 2 q   + 
 
       30    32    33
>   2 q   - q   + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 93
9.2
92 		9.4
94