The Alternating Knot 9₂₈

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X₃₈₄₉ X_11,15,12,14 X_5,13,6,12 X_13,7,14,6 X_15,18,16,1 X_9,16,10,17 X_17,10,18,11 X₇₂₈₃

Gauss Code: {-1, 9, -2, 1, -4, 5, -9, 2, -7, 8, -3, 4, -5, 3, -6, 7, -8, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 12 2 16 14 6 18 10

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 3 3 / 4--6 1

Alexander Polynomial: t^-3 - 5t^-2 + 12t^-1 - 15 + 12t - 5t² + t³

Conway Polynomial: 1 + z² + z⁴ + z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {9₂₉, 10₁₆₃, K11n87, ...}

Determinant and Signature: {51, -2}

Jones Polynomial: q^-7 - 3q^-6 + 5q^-5 - 8q^-4 + 9q^-3 - 8q^-2 + 8q^-1 - 5 + 3q - q²

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-22 - q^-18 + q^-16 - 3q^-14 - q^-12 + 4q^-6 + 3q^-2 - q² + q⁴ - q⁶

HOMFLY-PT Polynomial: - 1 - 2z² - z⁴ + 5a² + 7a²z² + 4a²z⁴ + a²z⁶ - 4a⁴ - 5a⁴z² - 2a⁴z⁴ + a⁶ + a⁶z²

Kauffman Polynomial: a^-1z - 2a^-1z³ + a^-1z⁵ - 1 + 5z² - 7z⁴ + 3z⁶ + 3az - 4az³ - 3az⁵ + 3az⁷ - 5a² + 14a²z² - 19a²z⁴ + 7a²z⁶ + a²z⁸ + 6a³z - 7a³z³ - 5a³z⁵ + 6a³z⁷ - 4a⁴ + 12a⁴z² - 17a⁴z⁴ + 8a⁴z⁶ + a⁴z⁸ + 6a⁵z - 9a⁵z³ + 2a⁵z⁵ + 3a⁵z⁷ - a⁶ + 2a⁶z² - 4a⁶z⁴ + 4a⁶z⁶ + 2a⁷z - 4a⁷z³ + 3a⁷z⁵ - a⁸z² + a⁸z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {1, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 9₂₈. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3

j = 5 1

j = 3 2

j = 1 3 1

j = -1 5 2

j = -3 4 4

j = -5 5 4

j = -7 3 4

j = -9 2 5

j = -11 1 3

j = -13 2

j = -15 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-20 - 3q^-19 + q^-18 + 8q^-17 - 15q^-16 + 3q^-15 + 27q^-14 - 38q^-13 + 56q^-11 - 59q^-10 - 10q^-9 + 77q^-8 - 63q^-7 - 20q^-6 + 78q^-5 - 49q^-4 - 26q^-3 + 61q^-2 - 26q^-1 - 23 + 33q - 7q² - 13q³ + 10q⁴ - 3q⁶ + q⁷

3 q^-39 - 3q^-38 + q^-37 + 4q^-36 + q^-35 - 12q^-34 + 25q^-32 - q^-31 - 44q^-30 - 5q^-29 + 77q^-28 + 13q^-27 - 116q^-26 - 35q^-25 + 166q^-24 + 62q^-23 - 206q^-22 - 110q^-21 + 252q^-20 + 150q^-19 - 274q^-18 - 196q^-17 + 284q^-16 + 235q^-15 - 282q^-14 - 258q^-13 + 256q^-12 + 282q^-11 - 234q^-10 - 276q^-9 + 181q^-8 + 281q^-7 - 144q^-6 - 253q^-5 + 85q^-4 + 235q^-3 - 49q^-2 - 187q^-1 + 4 + 149q + 17q² - 102q³ - 29q⁴ + 63q⁵ + 29q⁶ - 32q⁷ - 23q⁸ + 14q⁹ + 13q¹⁰ - 5q¹¹ - 5q¹² + 3q¹⁴ - q¹⁵

4 q^-64 - 3q^-63 + q^-62 + 4q^-61 - 3q^-60 + 4q^-59 - 15q^-58 + 8q^-57 + 21q^-56 - 16q^-55 + 4q^-54 - 54q^-53 + 33q^-52 + 85q^-51 - 34q^-50 - 24q^-49 - 170q^-48 + 76q^-47 + 256q^-46 - 2q^-45 - 95q^-44 - 453q^-43 + 76q^-42 + 570q^-41 + 187q^-40 - 146q^-39 - 939q^-38 - 85q^-37 + 930q^-36 + 579q^-35 - 44q^-34 - 1498q^-33 - 441q^-32 + 1155q^-31 + 1036q^-30 + 236q^-29 - 1895q^-28 - 850q^-27 + 1142q^-26 + 1355q^-25 + 586q^-24 - 2007q^-23 - 1151q^-22 + 940q^-21 + 1453q^-20 + 882q^-19 - 1854q^-18 - 1282q^-17 + 616q^-16 + 1350q^-15 + 1093q^-14 - 1492q^-13 - 1261q^-12 + 223q^-11 + 1080q^-10 + 1195q^-9 - 978q^-8 - 1087q^-7 - 158q^-6 + 681q^-5 + 1127q^-4 - 438q^-3 - 758q^-2 - 384q^-1 + 253 + 850q - 42q² - 362q³ - 376q⁴ - 43q⁵ + 470q⁶ + 101q⁷ - 71q⁸ - 211q⁹ - 124q¹⁰ + 168q¹¹ + 69q¹² + 33q¹³ - 63q¹⁴ - 73q¹⁵ + 35q¹⁶ + 15q¹⁷ + 23q¹⁸ - 7q¹⁹ - 20q²⁰ + 5q²¹ + 5q²³ - 3q²⁵ + q²⁶

5 q^-95 - 3q^-94 + q^-93 + 4q^-92 - 3q^-91 + q^-89 - 7q^-88 + 4q^-87 + 16q^-86 - 9q^-85 - 16q^-84 - 7q^-83 + 34q^-81 + 45q^-80 - 17q^-79 - 89q^-78 - 80q^-77 + 27q^-76 + 161q^-75 + 182q^-74 - 14q^-73 - 302q^-72 - 374q^-71 - 21q^-70 + 497q^-69 + 664q^-68 + 180q^-67 - 727q^-66 - 1166q^-65 - 466q^-64 + 971q^-63 + 1809q^-62 + 1003q^-61 - 1115q^-60 - 2657q^-59 - 1787q^-58 + 1109q^-57 + 3532q^-56 + 2895q^-55 - 854q^-54 - 4437q^-53 - 4144q^-52 + 313q^-51 + 5112q^-50 + 5562q^-49 + 506q^-48 - 5651q^-47 - 6836q^-46 - 1483q^-45 + 5788q^-44 + 8004q^-43 + 2556q^-42 - 5726q^-41 - 8863q^-40 - 3553q^-39 + 5392q^-38 + 9408q^-37 + 4460q^-36 - 4894q^-35 - 9694q^-34 - 5186q^-33 + 4343q^-32 + 9649q^-31 + 5737q^-30 - 3621q^-29 - 9479q^-28 - 6159q^-27 + 2976q^-26 + 8998q^-25 + 6423q^-24 - 2104q^-23 - 8470q^-22 - 6618q^-21 + 1345q^-20 + 7623q^-19 + 6650q^-18 - 339q^-17 - 6752q^-16 - 6579q^-15 - 482q^-14 + 5552q^-13 + 6292q^-12 + 1444q^-11 - 4379q^-10 - 5826q^-9 - 2081q^-8 + 3015q^-7 + 5078q^-6 + 2675q^-5 - 1806q^-4 - 4201q^-3 - 2816q^-2 + 661q^-1 + 3150 + 2771q + 178q² - 2143q³ - 2382q⁴ - 733q⁵ + 1217q⁶ + 1871q⁷ + 947q⁸ - 503q⁹ - 1284q¹⁰ - 928q¹¹ + 47q¹² + 767q¹³ + 734q¹⁴ + 176q¹⁵ - 360q¹⁶ - 502q¹⁷ - 234q¹⁸ + 124q¹⁹ + 289q²⁰ + 185q²¹ - 8q²² - 127q²³ - 126q²⁴ - 32q²⁵ + 57q²⁶ + 64q²⁷ + 18q²⁸ - 9q²⁹ - 24q³⁰ - 23q³¹ + 7q³² + 13q³³ + 2q³⁴ - 5q³⁷ + 3q³⁹ - q⁴⁰

6 q^-132 - 3q^-131 + q^-130 + 4q^-129 - 3q^-128 - 3q^-126 + 9q^-125 - 11q^-124 - q^-123 + 23q^-122 - 19q^-121 - 10q^-120 - 11q^-119 + 40q^-118 - 11q^-117 + 2q^-116 + 65q^-115 - 78q^-114 - 78q^-113 - 53q^-112 + 138q^-111 + 55q^-110 + 84q^-109 + 176q^-108 - 268q^-107 - 361q^-106 - 288q^-105 + 321q^-104 + 379q^-103 + 537q^-102 + 603q^-101 - 667q^-100 - 1271q^-99 - 1264q^-98 + 295q^-97 + 1183q^-96 + 2111q^-95 + 2196q^-94 - 904q^-93 - 3291q^-92 - 4205q^-91 - 1141q^-90 + 2030q^-89 + 5643q^-88 + 6698q^-87 + 652q^-86 - 5932q^-85 - 10291q^-84 - 6267q^-83 + 841q^-82 + 10541q^-81 + 15478q^-80 + 6751q^-79 - 6635q^-78 - 18597q^-77 - 16493q^-76 - 5476q^-75 + 13711q^-74 + 27045q^-73 + 18586q^-72 - 2067q^-71 - 25326q^-70 - 29660q^-69 - 17701q^-68 + 11602q^-67 + 36870q^-66 + 33253q^-65 + 8214q^-64 - 26670q^-63 - 40782q^-62 - 32331q^-61 + 4005q^-60 + 41019q^-59 + 45495q^-58 + 20573q^-57 - 22440q^-56 - 46153q^-55 - 44279q^-54 - 5668q^-53 + 39362q^-52 + 52020q^-51 + 30618q^-50 - 15587q^-49 - 45889q^-48 - 50924q^-47 - 13892q^-46 + 34408q^-45 + 53162q^-44 + 36600q^-43 - 8743q^-42 - 42170q^-41 - 52910q^-40 - 19698q^-39 + 28108q^-38 + 50779q^-37 + 39425q^-36 - 2294q^-35 - 36388q^-34 - 51840q^-33 - 24123q^-32 + 20514q^-31 + 45815q^-30 + 40377q^-29 + 4690q^-28 - 28343q^-27 - 48207q^-26 - 27986q^-25 + 10925q^-24 + 37834q^-23 + 39359q^-22 + 12345q^-21 - 17520q^-20 - 41162q^-19 - 30369q^-18 - 113q^-17 + 26341q^-16 + 34868q^-15 + 18792q^-14 - 4947q^-13 - 30012q^-12 - 28956q^-11 - 9865q^-10 + 12673q^-9 + 25831q^-8 + 20900q^-7 + 6070q^-6 - 16287q^-5 - 22321q^-4 - 14619q^-3 + 573q^-2 + 13880q^-1 + 17056 + 11604q - 4092q² - 12319q³ - 12847q⁴ - 5935q⁵ + 3327q⁶ + 9438q⁷ + 10526q⁸ + 2593q⁹ - 3450q¹⁰ - 7151q¹¹ - 6111q¹² - 2128q¹³ + 2618q¹⁴ + 5874q¹⁵ + 3462q¹⁶ + 945q¹⁷ - 2042q¹⁸ - 3156q¹⁹ - 2659q²⁰ - 541q²¹ + 1867q²² + 1713q²³ + 1417q²⁴ + 163q²⁵ - 729q²⁶ - 1298q²⁷ - 814q²⁸ + 199q²⁹ + 332q³⁰ + 613q³¹ + 354q³² + 84q³³ - 330q³⁴ - 328q³⁵ - 50q³⁶ - 45q³⁷ + 120q³⁸ + 117q³⁹ + 102q⁴⁰ - 47q⁴¹ - 69q⁴² - 9q⁴³ - 35q⁴⁴ + 9q⁴⁵ + 15q⁴⁶ + 32q⁴⁷ - 7q⁴⁸ - 13q⁴⁹ + 5q⁵⁰ - 7q⁵¹ + 5q⁵⁴ - 3q⁵⁶ + q⁵⁷

7 q^-175 - 3q^-174 + q^-173 + 4q^-172 - 3q^-171 - 3q^-169 + 5q^-168 + 5q^-167 - 16q^-166 + 6q^-165 + 13q^-164 - 13q^-163 - 4q^-162 - 12q^-161 + 24q^-160 + 37q^-159 - 40q^-158 + 7q^-157 + 8q^-156 - 58q^-155 - 22q^-154 - 39q^-153 + 93q^-152 + 175q^-151 - 13q^-150 + 3q^-149 - 102q^-148 - 284q^-147 - 153q^-146 - 112q^-145 + 311q^-144 + 692q^-143 + 357q^-142 + 149q^-141 - 520q^-140 - 1200q^-139 - 963q^-138 - 574q^-137 + 838q^-136 + 2319q^-135 + 2176q^-134 + 1349q^-133 - 1160q^-132 - 3912q^-131 - 4318q^-130 - 3226q^-129 + 1000q^-128 + 6185q^-127 + 8148q^-126 + 6883q^-125 + 39q^-124 - 8967q^-123 - 13772q^-122 - 13181q^-121 - 3443q^-120 + 11359q^-119 + 21687q^-118 + 23492q^-117 + 10356q^-116 - 12426q^-115 - 31149q^-114 - 38092q^-113 - 22693q^-112 + 9779q^-111 + 41122q^-110 + 57380q^-109 + 41674q^-108 - 1678q^-107 - 49284q^-106 - 79898q^-105 - 67912q^-104 - 14169q^-103 + 53101q^-102 + 103690q^-101 + 100353q^-100 + 38658q^-99 - 49806q^-98 - 125449q^-97 - 137113q^-96 - 71539q^-95 + 38068q^-94 + 142131q^-93 + 174334q^-92 + 110527q^-91 - 16897q^-90 - 150896q^-89 - 208950q^-88 - 152801q^-87 - 11527q^-86 + 151020q^-85 + 236775q^-84 + 193919q^-83 + 45353q^-82 - 142071q^-81 - 256636q^-80 - 231033q^-79 - 80406q^-78 + 126626q^-77 + 267199q^-76 + 260755q^-75 + 113998q^-74 - 106496q^-73 - 269630q^-72 - 282689q^-71 - 143322q^-70 + 84992q^-69 + 265617q^-68 + 296421q^-67 + 166889q^-66 - 63871q^-65 - 256959q^-64 - 303315q^-63 - 184961q^-62 + 44594q^-61 + 246035q^-60 + 304994q^-59 + 197579q^-58 - 27729q^-57 - 233293q^-56 - 302683q^-55 - 206785q^-54 + 12336q^-53 + 220128q^-52 + 298140q^-51 + 213003q^-50 + 1790q^-49 - 205389q^-48 - 291142q^-47 - 218279q^-46 - 16678q^-45 + 189379q^-44 + 282653q^-43 + 222248q^-42 + 32240q^-41 - 170188q^-40 - 271062q^-39 - 225958q^-38 - 50093q^-37 + 148013q^-36 + 256635q^-35 + 227690q^-34 + 68997q^-33 - 121219q^-32 - 237242q^-31 - 227473q^-30 - 89270q^-29 + 91190q^-28 + 213190q^-27 + 222542q^-26 + 108176q^-25 - 57485q^-24 - 183037q^-23 - 212770q^-22 - 124698q^-21 + 23194q^-20 + 148502q^-19 + 195649q^-18 + 135374q^-17 + 10404q^-16 - 109851q^-15 - 172112q^-14 - 139390q^-13 - 39263q^-12 + 70799q^-11 + 142082q^-10 + 134199q^-9 + 61444q^-8 - 33227q^-7 - 108325q^-6 - 121116q^-5 - 74387q^-4 + 1668q^-3 + 73445q^-2 + 100568q^-1 + 77588 + 22305q - 41156q² - 76194q³ - 71811q⁴ - 36503q⁵ + 14529q⁶ + 50828q⁷ + 59441q⁸ + 41509q⁹ + 4392q¹⁰ - 28150q¹¹ - 43597q¹² - 38842q¹³ - 15230q¹⁴ + 10541q¹⁵ + 27719q¹⁶ + 31318q¹⁷ + 18712q¹⁸ + 967q¹⁹ - 14196q²⁰ - 21869q²¹ - 17245q²² - 6746q²³ + 4750q²⁴ + 13048q²⁵ + 13005q²⁶ + 8024q²⁷ + 747q²⁸ - 6202q²⁹ - 8261q³⁰ - 6867q³¹ - 2974q³² + 2038q³³ + 4352q³⁴ + 4635q³⁵ + 3047q³⁶ + 104q³⁷ - 1670q³⁸ - 2630q³⁹ - 2361q⁴⁰ - 758q⁴¹ + 412q⁴² + 1204q⁴³ + 1362q⁴⁴ + 674q⁴⁵ + 200q⁴⁶ - 378q⁴⁷ - 749q⁴⁸ - 472q⁴⁹ - 218q⁵⁰ + 108q⁵¹ + 291q⁵² + 183q⁵³ + 181q⁵⁴ + 62q⁵⁵ - 123q⁵⁶ - 112q⁵⁷ - 93q⁵⁸ - 12q⁵⁹ + 48q⁶⁰ + 3q⁶¹ + 37q⁶² + 35q⁶³ - 9q⁶⁴ - 15q⁶⁵ - 23q⁶⁶ - 2q⁶⁷ + 13q⁶⁸ - 5q⁶⁹ + 7q⁷¹ - 5q⁷⁴ + 3q⁷⁶ - q⁷⁷

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 28]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[11, 15, 12, 14], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 7, 14, 6], X[15, 18, 16, 1], X[9, 16, 10, 17], X[17, 10, 18, 11], > X[7, 2, 8, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 28]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 9, -2, 1, -4, 5, -9, 2, -7, 8, -3, 4, -5, 3, -6, 7, -8, 6]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 28]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 12, 2, 16, 14, 6, 18, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 28]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, 2, -1, -3, 2, 2, -3, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 28]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 28]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 28]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 3, 3, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 28]][t]

Out[10]=
-3 5 12 2 3 -15 + t - -- + -- + 12 t - 5 t + t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 28]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + z + z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 28], Knot[9, 29], Knot[10, 163], Knot[11, NonAlternating, 87]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 28]], KnotSignature[Knot[9, 28]]}

Out[13]=
{51, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 28]][q]

Out[14]=
-7 3 5 8 9 8 8 2 -5 + q - -- + -- - -- + -- - -- + - + 3 q - q 6 5 4 3 2 q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 28]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 28]][q]

Out[16]=
-22 -18 -16 3 -12 4 3 2 4 6 q - q + q - --- - q + -- + -- - q + q - q 14 6 2 q q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 28]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 2 2 2 4 2 6 2 4 2 4 -1 + 5 a - 4 a + a - 2 z + 7 a z - 5 a z + a z - z + 4 a z - 4 4 2 6 > 2 a z + a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 28]][a, z]

Out[18]=
2 4 6 z 3 5 7 2 -1 - 5 a - 4 a - a + - + 3 a z + 6 a z + 6 a z + 2 a z + 5 z + a 3 2 2 4 2 6 2 8 2 2 z 3 3 3 5 3 > 14 a z + 12 a z + 2 a z - a z - ---- - 4 a z - 7 a z - 9 a z - a 5 7 3 4 2 4 4 4 6 4 8 4 z 5 > 4 a z - 7 z - 19 a z - 17 a z - 4 a z + a z + -- - 3 a z - a 3 5 5 5 7 5 6 2 6 4 6 6 6 7 > 5 a z + 2 a z + 3 a z + 3 z + 7 a z + 8 a z + 4 a z + 3 a z + 3 7 5 7 2 8 4 8 > 6 a z + 3 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 28]], Vassiliev[3][Knot[9, 28]]}

Out[19]=
{1, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 28]][q, t]

Out[20]=
4 5 1 2 1 3 2 5 3 4 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 5 4 4 2 t 2 3 2 5 3 > ----- + ---- + ---- + --- + 3 q t + q t + 2 q t + q t 5 2 5 3 q q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 28], 2][q]

Out[21]=
-20 3 -18 8 15 3 27 38 56 59 10 77 -23 + q - --- + q + --- - --- + --- + --- - --- + --- - --- - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 11 10 9 8 q q q q q q q q q q 63 20 78 49 26 61 26 2 3 4 6 7 > -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- + 33 q - 7 q - 13 q + 10 q - 3 q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₂₈

9₂₇
9₂₉

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-20 - 3q^-19 + q^-18 + 8q^-17 - 15q^-16 + 3q^-15 + 27q^-14 - 38q^-13 + 56q^-11 - 59q^-10 - 10q^-9 + 77q^-8 - 63q^-7 - 20q^-6 + 78q^-5 - 49q^-4 - 26q^-3 + 61q^-2 - 26q^-1 - 23 + 33q - 7q² - 13q³ + 10q⁴ - 3q⁶ + q⁷
3	q^-39 - 3q^-38 + q^-37 + 4q^-36 + q^-35 - 12q^-34 + 25q^-32 - q^-31 - 44q^-30 - 5q^-29 + 77q^-28 + 13q^-27 - 116q^-26 - 35q^-25 + 166q^-24 + 62q^-23 - 206q^-22 - 110q^-21 + 252q^-20 + 150q^-19 - 274q^-18 - 196q^-17 + 284q^-16 + 235q^-15 - 282q^-14 - 258q^-13 + 256q^-12 + 282q^-11 - 234q^-10 - 276q^-9 + 181q^-8 + 281q^-7 - 144q^-6 - 253q^-5 + 85q^-4 + 235q^-3 - 49q^-2 - 187q^-1 + 4 + 149q + 17q² - 102q³ - 29q⁴ + 63q⁵ + 29q⁶ - 32q⁷ - 23q⁸ + 14q⁹ + 13q¹⁰ - 5q¹¹ - 5q¹² + 3q¹⁴ - q¹⁵
4	q^-64 - 3q^-63 + q^-62 + 4q^-61 - 3q^-60 + 4q^-59 - 15q^-58 + 8q^-57 + 21q^-56 - 16q^-55 + 4q^-54 - 54q^-53 + 33q^-52 + 85q^-51 - 34q^-50 - 24q^-49 - 170q^-48 + 76q^-47 + 256q^-46 - 2q^-45 - 95q^-44 - 453q^-43 + 76q^-42 + 570q^-41 + 187q^-40 - 146q^-39 - 939q^-38 - 85q^-37 + 930q^-36 + 579q^-35 - 44q^-34 - 1498q^-33 - 441q^-32 + 1155q^-31 + 1036q^-30 + 236q^-29 - 1895q^-28 - 850q^-27 + 1142q^-26 + 1355q^-25 + 586q^-24 - 2007q^-23 - 1151q^-22 + 940q^-21 + 1453q^-20 + 882q^-19 - 1854q^-18 - 1282q^-17 + 616q^-16 + 1350q^-15 + 1093q^-14 - 1492q^-13 - 1261q^-12 + 223q^-11 + 1080q^-10 + 1195q^-9 - 978q^-8 - 1087q^-7 - 158q^-6 + 681q^-5 + 1127q^-4 - 438q^-3 - 758q^-2 - 384q^-1 + 253 + 850q - 42q² - 362q³ - 376q⁴ - 43q⁵ + 470q⁶ + 101q⁷ - 71q⁸ - 211q⁹ - 124q¹⁰ + 168q¹¹ + 69q¹² + 33q¹³ - 63q¹⁴ - 73q¹⁵ + 35q¹⁶ + 15q¹⁷ + 23q¹⁸ - 7q¹⁹ - 20q²⁰ + 5q²¹ + 5q²³ - 3q²⁵ + q²⁶
5	q^-95 - 3q^-94 + q^-93 + 4q^-92 - 3q^-91 + q^-89 - 7q^-88 + 4q^-87 + 16q^-86 - 9q^-85 - 16q^-84 - 7q^-83 + 34q^-81 + 45q^-80 - 17q^-79 - 89q^-78 - 80q^-77 + 27q^-76 + 161q^-75 + 182q^-74 - 14q^-73 - 302q^-72 - 374q^-71 - 21q^-70 + 497q^-69 + 664q^-68 + 180q^-67 - 727q^-66 - 1166q^-65 - 466q^-64 + 971q^-63 + 1809q^-62 + 1003q^-61 - 1115q^-60 - 2657q^-59 - 1787q^-58 + 1109q^-57 + 3532q^-56 + 2895q^-55 - 854q^-54 - 4437q^-53 - 4144q^-52 + 313q^-51 + 5112q^-50 + 5562q^-49 + 506q^-48 - 5651q^-47 - 6836q^-46 - 1483q^-45 + 5788q^-44 + 8004q^-43 + 2556q^-42 - 5726q^-41 - 8863q^-40 - 3553q^-39 + 5392q^-38 + 9408q^-37 + 4460q^-36 - 4894q^-35 - 9694q^-34 - 5186q^-33 + 4343q^-32 + 9649q^-31 + 5737q^-30 - 3621q^-29 - 9479q^-28 - 6159q^-27 + 2976q^-26 + 8998q^-25 + 6423q^-24 - 2104q^-23 - 8470q^-22 - 6618q^-21 + 1345q^-20 + 7623q^-19 + 6650q^-18 - 339q^-17 - 6752q^-16 - 6579q^-15 - 482q^-14 + 5552q^-13 + 6292q^-12 + 1444q^-11 - 4379q^-10 - 5826q^-9 - 2081q^-8 + 3015q^-7 + 5078q^-6 + 2675q^-5 - 1806q^-4 - 4201q^-3 - 2816q^-2 + 661q^-1 + 3150 + 2771q + 178q² - 2143q³ - 2382q⁴ - 733q⁵ + 1217q⁶ + 1871q⁷ + 947q⁸ - 503q⁹ - 1284q¹⁰ - 928q¹¹ + 47q¹² + 767q¹³ + 734q¹⁴ + 176q¹⁵ - 360q¹⁶ - 502q¹⁷ - 234q¹⁸ + 124q¹⁹ + 289q²⁰ + 185q²¹ - 8q²² - 127q²³ - 126q²⁴ - 32q²⁵ + 57q²⁶ + 64q²⁷ + 18q²⁸ - 9q²⁹ - 24q³⁰ - 23q³¹ + 7q³² + 13q³³ + 2q³⁴ - 5q³⁷ + 3q³⁹ - q⁴⁰
6	q^-132 - 3q^-131 + q^-130 + 4q^-129 - 3q^-128 - 3q^-126 + 9q^-125 - 11q^-124 - q^-123 + 23q^-122 - 19q^-121 - 10q^-120 - 11q^-119 + 40q^-118 - 11q^-117 + 2q^-116 + 65q^-115 - 78q^-114 - 78q^-113 - 53q^-112 + 138q^-111 + 55q^-110 + 84q^-109 + 176q^-108 - 268q^-107 - 361q^-106 - 288q^-105 + 321q^-104 + 379q^-103 + 537q^-102 + 603q^-101 - 667q^-100 - 1271q^-99 - 1264q^-98 + 295q^-97 + 1183q^-96 + 2111q^-95 + 2196q^-94 - 904q^-93 - 3291q^-92 - 4205q^-91 - 1141q^-90 + 2030q^-89 + 5643q^-88 + 6698q^-87 + 652q^-86 - 5932q^-85 - 10291q^-84 - 6267q^-83 + 841q^-82 + 10541q^-81 + 15478q^-80 + 6751q^-79 - 6635q^-78 - 18597q^-77 - 16493q^-76 - 5476q^-75 + 13711q^-74 + 27045q^-73 + 18586q^-72 - 2067q^-71 - 25326q^-70 - 29660q^-69 - 17701q^-68 + 11602q^-67 + 36870q^-66 + 33253q^-65 + 8214q^-64 - 26670q^-63 - 40782q^-62 - 32331q^-61 + 4005q^-60 + 41019q^-59 + 45495q^-58 + 20573q^-57 - 22440q^-56 - 46153q^-55 - 44279q^-54 - 5668q^-53 + 39362q^-52 + 52020q^-51 + 30618q^-50 - 15587q^-49 - 45889q^-48 - 50924q^-47 - 13892q^-46 + 34408q^-45 + 53162q^-44 + 36600q^-43 - 8743q^-42 - 42170q^-41 - 52910q^-40 - 19698q^-39 + 28108q^-38 + 50779q^-37 + 39425q^-36 - 2294q^-35 - 36388q^-34 - 51840q^-33 - 24123q^-32 + 20514q^-31 + 45815q^-30 + 40377q^-29 + 4690q^-28 - 28343q^-27 - 48207q^-26 - 27986q^-25 + 10925q^-24 + 37834q^-23 + 39359q^-22 + 12345q^-21 - 17520q^-20 - 41162q^-19 - 30369q^-18 - 113q^-17 + 26341q^-16 + 34868q^-15 + 18792q^-14 - 4947q^-13 - 30012q^-12 - 28956q^-11 - 9865q^-10 + 12673q^-9 + 25831q^-8 + 20900q^-7 + 6070q^-6 - 16287q^-5 - 22321q^-4 - 14619q^-3 + 573q^-2 + 13880q^-1 + 17056 + 11604q - 4092q² - 12319q³ - 12847q⁴ - 5935q⁵ + 3327q⁶ + 9438q⁷ + 10526q⁸ + 2593q⁹ - 3450q¹⁰ - 7151q¹¹ - 6111q¹² - 2128q¹³ + 2618q¹⁴ + 5874q¹⁵ + 3462q¹⁶ + 945q¹⁷ - 2042q¹⁸ - 3156q¹⁹ - 2659q²⁰ - 541q²¹ + 1867q²² + 1713q²³ + 1417q²⁴ + 163q²⁵ - 729q²⁶ - 1298q²⁷ - 814q²⁸ + 199q²⁹ + 332q³⁰ + 613q³¹ + 354q³² + 84q³³ - 330q³⁴ - 328q³⁵ - 50q³⁶ - 45q³⁷ + 120q³⁸ + 117q³⁹ + 102q⁴⁰ - 47q⁴¹ - 69q⁴² - 9q⁴³ - 35q⁴⁴ + 9q⁴⁵ + 15q⁴⁶ + 32q⁴⁷ - 7q⁴⁸ - 13q⁴⁹ + 5q⁵⁰ - 7q⁵¹ + 5q⁵⁴ - 3q⁵⁶ + q⁵⁷
7	q^-175 - 3q^-174 + q^-173 + 4q^-172 - 3q^-171 - 3q^-169 + 5q^-168 + 5q^-167 - 16q^-166 + 6q^-165 + 13q^-164 - 13q^-163 - 4q^-162 - 12q^-161 + 24q^-160 + 37q^-159 - 40q^-158 + 7q^-157 + 8q^-156 - 58q^-155 - 22q^-154 - 39q^-153 + 93q^-152 + 175q^-151 - 13q^-150 + 3q^-149 - 102q^-148 - 284q^-147 - 153q^-146 - 112q^-145 + 311q^-144 + 692q^-143 + 357q^-142 + 149q^-141 - 520q^-140 - 1200q^-139 - 963q^-138 - 574q^-137 + 838q^-136 + 2319q^-135 + 2176q^-134 + 1349q^-133 - 1160q^-132 - 3912q^-131 - 4318q^-130 - 3226q^-129 + 1000q^-128 + 6185q^-127 + 8148q^-126 + 6883q^-125 + 39q^-124 - 8967q^-123 - 13772q^-122 - 13181q^-121 - 3443q^-120 + 11359q^-119 + 21687q^-118 + 23492q^-117 + 10356q^-116 - 12426q^-115 - 31149q^-114 - 38092q^-113 - 22693q^-112 + 9779q^-111 + 41122q^-110 + 57380q^-109 + 41674q^-108 - 1678q^-107 - 49284q^-106 - 79898q^-105 - 67912q^-104 - 14169q^-103 + 53101q^-102 + 103690q^-101 + 100353q^-100 + 38658q^-99 - 49806q^-98 - 125449q^-97 - 137113q^-96 - 71539q^-95 + 38068q^-94 + 142131q^-93 + 174334q^-92 + 110527q^-91 - 16897q^-90 - 150896q^-89 - 208950q^-88 - 152801q^-87 - 11527q^-86 + 151020q^-85 + 236775q^-84 + 193919q^-83 + 45353q^-82 - 142071q^-81 - 256636q^-80 - 231033q^-79 - 80406q^-78 + 126626q^-77 + 267199q^-76 + 260755q^-75 + 113998q^-74 - 106496q^-73 - 269630q^-72 - 282689q^-71 - 143322q^-70 + 84992q^-69 + 265617q^-68 + 296421q^-67 + 166889q^-66 - 63871q^-65 - 256959q^-64 - 303315q^-63 - 184961q^-62 + 44594q^-61 + 246035q^-60 + 304994q^-59 + 197579q^-58 - 27729q^-57 - 233293q^-56 - 302683q^-55 - 206785q^-54 + 12336q^-53 + 220128q^-52 + 298140q^-51 + 213003q^-50 + 1790q^-49 - 205389q^-48 - 291142q^-47 - 218279q^-46 - 16678q^-45 + 189379q^-44 + 282653q^-43 + 222248q^-42 + 32240q^-41 - 170188q^-40 - 271062q^-39 - 225958q^-38 - 50093q^-37 + 148013q^-36 + 256635q^-35 + 227690q^-34 + 68997q^-33 - 121219q^-32 - 237242q^-31 - 227473q^-30 - 89270q^-29 + 91190q^-28 + 213190q^-27 + 222542q^-26 + 108176q^-25 - 57485q^-24 - 183037q^-23 - 212770q^-22 - 124698q^-21 + 23194q^-20 + 148502q^-19 + 195649q^-18 + 135374q^-17 + 10404q^-16 - 109851q^-15 - 172112q^-14 - 139390q^-13 - 39263q^-12 + 70799q^-11 + 142082q^-10 + 134199q^-9 + 61444q^-8 - 33227q^-7 - 108325q^-6 - 121116q^-5 - 74387q^-4 + 1668q^-3 + 73445q^-2 + 100568q^-1 + 77588 + 22305q - 41156q² - 76194q³ - 71811q⁴ - 36503q⁵ + 14529q⁶ + 50828q⁷ + 59441q⁸ + 41509q⁹ + 4392q¹⁰ - 28150q¹¹ - 43597q¹² - 38842q¹³ - 15230q¹⁴ + 10541q¹⁵ + 27719q¹⁶ + 31318q¹⁷ + 18712q¹⁸ + 967q¹⁹ - 14196q²⁰ - 21869q²¹ - 17245q²² - 6746q²³ + 4750q²⁴ + 13048q²⁵ + 13005q²⁶ + 8024q²⁷ + 747q²⁸ - 6202q²⁹ - 8261q³⁰ - 6867q³¹ - 2974q³² + 2038q³³ + 4352q³⁴ + 4635q³⁵ + 3047q³⁶ + 104q³⁷ - 1670q³⁸ - 2630q³⁹ - 2361q⁴⁰ - 758q⁴¹ + 412q⁴² + 1204q⁴³ + 1362q⁴⁴ + 674q⁴⁵ + 200q⁴⁶ - 378q⁴⁷ - 749q⁴⁸ - 472q⁴⁹ - 218q⁵⁰ + 108q⁵¹ + 291q⁵² + 183q⁵³ + 181q⁵⁴ + 62q⁵⁵ - 123q⁵⁶ - 112q⁵⁷ - 93q⁵⁸ - 12q⁵⁹ + 48q⁶⁰ + 3q⁶¹ + 37q⁶² + 35q⁶³ - 9q⁶⁴ - 15q⁶⁵ - 23q⁶⁶ - 2q⁶⁷ + 13q⁶⁸ - 5q⁶⁹ + 7q⁷¹ - 5q⁷⁴ + 3q⁷⁶ - q⁷⁷

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 28]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[11, 15, 12, 14], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 7, 14, 6], X[15, 18, 16, 1], X[9, 16, 10, 17], X[17, 10, 18, 11], > X[7, 2, 8, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 28]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 9, -2, 1, -4, 5, -9, 2, -7, 8, -3, 4, -5, 3, -6, 7, -8, 6]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 28]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 12, 2, 16, 14, 6, 18, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 28]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, 2, -1, -3, 2, 2, -3, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 28]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 28]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 28]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 3, 3, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 28]][t]
Out[10]=	-3 5 12 2 3 -15 + t - -- + -- + 12 t - 5 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 28]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + z + z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 28], Knot[9, 29], Knot[10, 163], Knot[11, NonAlternating, 87]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 28]], KnotSignature[Knot[9, 28]]}
Out[13]=	{51, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 28]][q]
Out[14]=	-7 3 5 8 9 8 8 2 -5 + q - -- + -- - -- + -- - -- + - + 3 q - q 6 5 4 3 2 q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 28]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 28]][q]
Out[16]=	-22 -18 -16 3 -12 4 3 2 4 6 q - q + q - --- - q + -- + -- - q + q - q 14 6 2 q q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 28]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 2 2 2 4 2 6 2 4 2 4 -1 + 5 a - 4 a + a - 2 z + 7 a z - 5 a z + a z - z + 4 a z - 4 4 2 6 > 2 a z + a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 28]][a, z]
Out[18]=	2 4 6 z 3 5 7 2 -1 - 5 a - 4 a - a + - + 3 a z + 6 a z + 6 a z + 2 a z + 5 z + a 3 2 2 4 2 6 2 8 2 2 z 3 3 3 5 3 > 14 a z + 12 a z + 2 a z - a z - ---- - 4 a z - 7 a z - 9 a z - a 5 7 3 4 2 4 4 4 6 4 8 4 z 5 > 4 a z - 7 z - 19 a z - 17 a z - 4 a z + a z + -- - 3 a z - a 3 5 5 5 7 5 6 2 6 4 6 6 6 7 > 5 a z + 2 a z + 3 a z + 3 z + 7 a z + 8 a z + 4 a z + 3 a z + 3 7 5 7 2 8 4 8 > 6 a z + 3 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 28]], Vassiliev[3][Knot[9, 28]]}
Out[19]=	{1, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 28]][q, t]
Out[20]=	4 5 1 2 1 3 2 5 3 4 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 5 4 4 2 t 2 3 2 5 3 > ----- + ---- + ---- + --- + 3 q t + q t + 2 q t + q t 5 2 5 3 q q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 28], 2][q]
Out[21]=	-20 3 -18 8 15 3 27 38 56 59 10 77 -23 + q - --- + q + --- - --- + --- + --- - --- + --- - --- - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 11 10 9 8 q q q q q q q q q q 63 20 78 49 26 61 26 2 3 4 6 7 > -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- + 33 q - 7 q - 13 q + 10 q - 3 q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

The Alternating Knot 928

The Alternating Knot 9₂₈