The Alternating Knot 9₂₇

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,10,4,11 X_11,1,12,18 X_5,13,6,12 X_13,17,14,16 X_7,14,8,15 X_15,6,16,7 X_17,9,18,8 X_9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 9, -2, 1, -4, 7, -6, 8, -9, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 5, -8, 3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 12 14 2 18 16 6 8

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 3 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial: - t^-3 + 5t^-2 - 11t^-1 + 15 - 11t + 5t² - t³

Conway Polynomial: 1 - z⁴ - z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n4, K11n21, K11n172, ...}

Determinant and Signature: {49, 0}

Jones Polynomial: - q^-5 + 3q^-4 - 5q^-3 + 7q^-2 - 8q^-1 + 9 - 7q + 5q² - 3q³ + q⁴

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n83, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-16 + q^-12 - q^-10 + 2q^-8 + 2q^-2 - 1 + 2q² - 2q⁴ + q⁸ - q¹⁰ + q¹²

HOMFLY-PT Polynomial: a^-2 + 2a^-2z² + a^-2z⁴ - 2 - 6z² - 4z⁴ - z⁶ + 3a² + 5a²z² + 2a²z⁴ - a⁴ - a⁴z²

Kauffman Polynomial: - a^-4z² + a^-4z⁴ + a^-3z - 4a^-3z³ + 3a^-3z⁵ - a^-2 + 3a^-2z² - 5a^-2z⁴ + 4a^-2z⁶ + 2a^-1z - 4a^-1z³ + 3a^-1z⁷ - 2 + 12z² - 16z⁴ + 7z⁶ + z⁸ + 2az - 8az⁵ + 6az⁷ - 3a² + 12a²z² - 17a²z⁴ + 6a²z⁶ + a²z⁸ + 2a³z - 2a³z³ - 4a³z⁵ + 3a³z⁷ - a⁴ + 4a⁴z² - 7a⁴z⁴ + 3a⁴z⁶ + a⁵z - 2a⁵z³ + a⁵z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, -1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 9₂₇. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 9 1

j = 7 2

j = 5 3 1

j = 3 4 2

j = 1 5 3

j = -1 4 5

j = -3 3 4

j = -5 2 4

j = -7 1 3

j = -9 2

j = -11 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-15 - 3q^-14 + 10q^-12 - 12q^-11 - 7q^-10 + 30q^-9 - 21q^-8 - 24q^-7 + 54q^-6 - 23q^-5 - 44q^-4 + 70q^-3 - 18q^-2 - 56q^-1 + 70 - 9q - 52q² + 50q³ - q⁴ - 34q⁵ + 25q⁶ + 2q⁷ - 14q⁸ + 8q⁹ + q¹⁰ - 3q¹¹ + q¹²

3 - q^-30 + 3q^-29 - 5q^-27 - 5q^-26 + 12q^-25 + 14q^-24 - 20q^-23 - 29q^-22 + 24q^-21 + 54q^-20 - 23q^-19 - 86q^-18 + 13q^-17 + 122q^-16 + 6q^-15 - 154q^-14 - 39q^-13 + 186q^-12 + 74q^-11 - 207q^-10 - 116q^-9 + 224q^-8 + 151q^-7 - 225q^-6 - 189q^-5 + 227q^-4 + 209q^-3 - 208q^-2 - 232q^-1 + 195 + 227q - 156q² - 224q³ + 126q⁴ + 199q⁵ - 88q⁶ - 169q⁷ + 56q⁸ + 132q⁹ - 31q¹⁰ - 95q¹¹ + 14q¹² + 64q¹³ - 6q¹⁴ - 38q¹⁵ + q¹⁶ + 22q¹⁷ - q¹⁸ - 11q¹⁹ + q²⁰ + 4q²¹ + q²² - 3q²³ + q²⁴

4 q^-50 - 3q^-49 + 5q^-47 + 5q^-45 - 19q^-44 - 7q^-43 + 20q^-42 + 12q^-41 + 35q^-40 - 62q^-39 - 52q^-38 + 26q^-37 + 46q^-36 + 142q^-35 - 100q^-34 - 156q^-33 - 49q^-32 + 55q^-31 + 367q^-30 - 44q^-29 - 267q^-28 - 252q^-27 - 63q^-26 + 642q^-25 + 163q^-24 - 260q^-23 - 528q^-22 - 363q^-21 + 840q^-20 + 467q^-19 - 83q^-18 - 761q^-17 - 768q^-16 + 890q^-15 + 752q^-14 + 205q^-13 - 884q^-12 - 1153q^-11 + 819q^-10 + 944q^-9 + 499q^-8 - 895q^-7 - 1425q^-6 + 669q^-5 + 1017q^-4 + 734q^-3 - 800q^-2 - 1532q^-1 + 457 + 944q + 870q² - 585q³ - 1432q⁴ + 201q⁵ + 714q⁶ + 866q⁷ - 297q⁸ - 1129q⁹ - 3q¹⁰ + 392q¹¹ + 694q¹² - 48q¹³ - 714q¹⁴ - 81q¹⁵ + 115q¹⁶ + 429q¹⁷ + 66q¹⁸ - 353q¹⁹ - 53q²⁰ - 17q²¹ + 197q²² + 63q²³ - 139q²⁴ - 8q²⁵ - 33q²⁶ + 68q²⁷ + 27q²⁸ - 47q²⁹ + 8q³⁰ - 15q³¹ + 18q³² + 7q³³ - 14q³⁴ + 4q³⁵ - 3q³⁶ + 4q³⁷ + q³⁸ - 3q³⁹ + q⁴⁰

5 - q^-75 + 3q^-74 - 5q^-72 + 2q^-69 + 12q^-68 + 7q^-67 - 20q^-66 - 21q^-65 - 9q^-64 + 12q^-63 + 51q^-62 + 48q^-61 - 19q^-60 - 94q^-59 - 95q^-58 - 12q^-57 + 125q^-56 + 203q^-55 + 93q^-54 - 153q^-53 - 334q^-52 - 243q^-51 + 108q^-50 + 470q^-49 + 500q^-48 + 40q^-47 - 584q^-46 - 818q^-45 - 330q^-44 + 583q^-43 + 1171q^-42 + 789q^-41 - 432q^-40 - 1486q^-39 - 1370q^-38 + 64q^-37 + 1703q^-36 + 2018q^-35 + 502q^-34 - 1725q^-33 - 2685q^-32 - 1246q^-31 + 1578q^-30 + 3261q^-29 + 2075q^-28 - 1198q^-27 - 3728q^-26 - 2966q^-25 + 713q^-24 + 4034q^-23 + 3789q^-22 - 92q^-21 - 4205q^-20 - 4563q^-19 - 519q^-18 + 4245q^-17 + 5184q^-16 + 1173q^-15 - 4206q^-14 - 5728q^-13 - 1711q^-12 + 4060q^-11 + 6096q^-10 + 2288q^-9 - 3884q^-8 - 6399q^-7 - 2702q^-6 + 3588q^-5 + 6486q^-4 + 3191q^-3 - 3235q^-2 - 6523q^-1 - 3480 + 2743q + 6272q² + 3834q³ - 2174q⁴ - 5930q⁵ - 3963q⁶ + 1523q⁷ + 5300q⁸ + 4026q⁹ - 846q¹⁰ - 4563q¹¹ - 3853q¹² + 210q¹³ + 3676q¹⁴ + 3524q¹⁵ + 305q¹⁶ - 2764q¹⁷ - 3026q¹⁸ - 659q¹⁹ + 1903q²⁰ + 2440q²¹ + 823q²² - 1180q²³ - 1825q²⁴ - 825q²⁵ + 638q²⁶ + 1255q²⁷ + 720q²⁸ - 278q²⁹ - 808q³⁰ - 543q³¹ + 84q³² + 459q³³ + 376q³⁴ + 15q³⁵ - 254q³⁶ - 231q³⁷ - 30q³⁸ + 121q³⁹ + 123q⁴⁰ + 32q⁴¹ - 51q⁴² - 68q⁴³ - 19q⁴⁴ + 30q⁴⁵ + 25q⁴⁶ + 2q⁴⁷ - 2q⁴⁸ - 13q⁴⁹ - 8q⁵⁰ + 13q⁵¹ + 3q⁵² - 6q⁵³ + q⁵⁴ - 3q⁵⁶ + 4q⁵⁷ + q⁵⁸ - 3q⁵⁹ + q⁶⁰

6 q^-105 - 3q^-104 + 5q^-102 - 7q^-99 + 5q^-98 - 12q^-97 - 7q^-96 + 29q^-95 + 12q^-94 + 9q^-93 - 29q^-92 - q^-91 - 58q^-90 - 44q^-89 + 79q^-88 + 80q^-87 + 89q^-86 - 37q^-85 - 227q^-83 - 238q^-82 + 65q^-81 + 208q^-80 + 380q^-79 + 167q^-78 + 203q^-77 - 496q^-76 - 797q^-75 - 392q^-74 + 80q^-73 + 799q^-72 + 870q^-71 + 1202q^-70 - 326q^-69 - 1520q^-68 - 1693q^-67 - 1130q^-66 + 487q^-65 + 1696q^-64 + 3455q^-63 + 1418q^-62 - 1163q^-61 - 3236q^-60 - 3888q^-59 - 2007q^-58 + 1013q^-57 + 6032q^-56 + 5182q^-55 + 1982q^-54 - 2991q^-53 - 6939q^-52 - 7051q^-51 - 3018q^-50 + 6546q^-49 + 9410q^-48 + 8115q^-47 + 946q^-46 - 7710q^-45 - 12819q^-44 - 10332q^-43 + 3148q^-42 + 11451q^-41 + 15172q^-40 + 8272q^-39 - 4583q^-38 - 16662q^-37 - 18663q^-36 - 3615q^-35 + 9923q^-34 + 20570q^-33 + 16648q^-32 + 1624q^-31 - 17374q^-30 - 25504q^-29 - 11405q^-28 + 5727q^-27 + 23215q^-26 + 23742q^-25 + 8657q^-24 - 15749q^-23 - 29822q^-22 - 18128q^-21 + 801q^-20 + 23696q^-19 + 28621q^-18 + 14740q^-17 - 13222q^-16 - 31967q^-15 - 23043q^-14 - 3607q^-13 + 22950q^-12 + 31516q^-11 + 19418q^-10 - 10430q^-9 - 32451q^-8 - 26411q^-7 - 7491q^-6 + 21116q^-5 + 32709q^-4 + 23051q^-3 - 6955q^-2 - 31040q^-1 - 28381 - 11382q + 17494q² + 31734q³ + 25655q⁴ - 2200q⁵ - 26869q⁶ - 28245q⁷ - 15114q⁸ + 11576q⁹ + 27600q¹⁰ + 26221q¹¹ + 3325q¹² - 19617q¹³ - 24815q¹⁴ - 17280q¹⁵ + 4318q¹⁶ + 20147q¹⁷ + 23398q¹⁸ + 7676q¹⁹ - 10774q²⁰ - 18033q²¹ - 16228q²² - 1796q²³ + 11236q²⁴ + 17250q²⁵ + 8867q²⁶ - 3275q²⁷ - 9990q²⁸ - 11996q²⁹ - 4578q³⁰ + 3935q³¹ + 10003q³² + 6888q³³ + 708q³⁴ - 3643q³⁵ - 6737q³⁶ - 4115q³⁷ + 103q³⁸ + 4381q³⁹ + 3757q⁴⁰ + 1474q⁴¹ - 428q⁴² - 2782q⁴³ - 2346q⁴⁴ - 839q⁴⁵ + 1430q⁴⁶ + 1420q⁴⁷ + 873q⁴⁸ + 414q⁴⁹ - 826q⁵⁰ - 932q⁵¹ - 586q⁵² + 381q⁵³ + 350q⁵⁴ + 284q⁵⁵ + 330q⁵⁶ - 176q⁵⁷ - 269q⁵⁸ - 242q⁵⁹ + 114q⁶⁰ + 43q⁶¹ + 38q⁶² + 139q⁶³ - 29q⁶⁴ - 57q⁶⁵ - 73q⁶⁶ + 48q⁶⁷ - 5q⁶⁸ - 12q⁶⁹ + 40q⁷⁰ - 7q⁷¹ - 7q⁷² - 18q⁷³ + 20q⁷⁴ - 2q⁷⁵ - 10q⁷⁶ + 9q⁷⁷ - 3q⁷⁸ - 3q⁸⁰ + 4q⁸¹ + q⁸² - 3q⁸³ + q⁸⁴

7 - q^-140 + 3q^-139 - 5q^-137 + 7q^-134 - 5q^-132 + 12q^-131 - 2q^-130 - 20q^-129 - 12q^-128 - 9q^-127 + 29q^-126 + 29q^-125 - 3q^-124 + 43q^-123 - 5q^-122 - 65q^-121 - 75q^-120 - 97q^-119 + 43q^-118 + 117q^-117 + 93q^-116 + 196q^-115 + 78q^-114 - 120q^-113 - 246q^-112 - 468q^-111 - 213q^-110 + 120q^-109 + 306q^-108 + 754q^-107 + 640q^-106 + 231q^-105 - 306q^-104 - 1265q^-103 - 1330q^-102 - 810q^-101 - 61q^-100 + 1532q^-99 + 2246q^-98 + 2100q^-97 + 1172q^-96 - 1477q^-95 - 3265q^-94 - 3898q^-93 - 3173q^-92 + 353q^-91 + 3688q^-90 + 6056q^-89 + 6480q^-88 + 2343q^-87 - 2965q^-86 - 7935q^-85 - 10683q^-84 - 6901q^-83 + 7q^-82 + 8382q^-81 + 15164q^-80 + 13504q^-79 + 5811q^-78 - 6407q^-77 - 18685q^-76 - 21232q^-75 - 14663q^-74 + 628q^-73 + 19680q^-72 + 29011q^-71 + 26200q^-70 + 9320q^-69 - 16789q^-68 - 34988q^-67 - 39145q^-66 - 23359q^-65 + 8960q^-64 + 37531q^-63 + 51752q^-62 + 40538q^-61 + 4051q^-60 - 35356q^-59 - 62302q^-58 - 59219q^-57 - 21387q^-56 + 27826q^-55 + 69026q^-54 + 77551q^-53 + 42006q^-52 - 15247q^-51 - 71343q^-50 - 93870q^-49 - 63810q^-48 - 1236q^-47 + 68749q^-46 + 106842q^-45 + 85363q^-44 + 20326q^-43 - 62182q^-42 - 116130q^-41 - 104949q^-40 - 40112q^-39 + 52501q^-38 + 121506q^-37 + 121883q^-36 + 59434q^-35 - 41201q^-34 - 123865q^-33 - 135600q^-32 - 76916q^-31 + 29301q^-30 + 123742q^-29 + 146427q^-28 + 92245q^-27 - 18015q^-26 - 122222q^-25 - 154443q^-24 - 105075q^-23 + 7502q^-22 + 119763q^-21 + 160641q^-20 + 115820q^-19 + 1602q^-18 - 116950q^-17 - 164926q^-16 - 124683q^-15 - 10181q^-14 + 113539q^-13 + 168325q^-12 + 132477q^-11 + 17979q^-10 - 109677q^-9 - 170054q^-8 - 139098q^-7 - 26401q^-6 + 104201q^-5 + 170719q^-4 + 145379q^-3 + 35059q^-2 - 97203q^-1 - 168875 - 150246q - 45095q² + 87139q³ + 164612q⁴ + 154039q⁵ + 55602q⁶ - 74618q⁷ - 156376q⁸ - 154976q⁹ - 66536q¹⁰ + 58779q¹¹ + 144158q¹² + 152853q¹³ + 76399q¹⁴ - 41030q¹⁵ - 127548q¹⁶ - 146119q¹⁷ - 84114q¹⁸ + 22113q¹⁹ + 107278q²⁰ + 134783q²¹ + 88237q²² - 4031q²³ - 84539q²⁴ - 118947q²⁵ - 87846q²⁶ - 11558q²⁷ + 61251q²⁸ + 99660q²⁹ + 82637q³⁰ + 23183q³¹ - 39407q³² - 78632q³³ - 73286q³⁴ - 29940q³⁵ + 20902q³⁶ + 57869q³⁷ + 60924q³⁸ + 31862q³⁹ - 6809q⁴⁰ - 39195q⁴¹ - 47360q⁴² - 29861q⁴³ - 2397q⁴⁴ + 24009q⁴⁵ + 34266q⁴⁶ + 25168q⁴⁷ + 7179q⁴⁸ - 12804q⁴⁹ - 22895q⁵⁰ - 19328q⁵¹ - 8715q⁵² + 5467q⁵³ + 14172q⁵⁴ + 13612q⁵⁵ + 7965q⁵⁶ - 1353q⁵⁷ - 7897q⁵⁸ - 8732q⁵⁹ - 6374q⁶⁰ - 629q⁶¹ + 4045q⁶² + 5209q⁶³ + 4477q⁶⁴ + 1140q⁶⁵ - 1804q⁶⁶ - 2758q⁶⁷ - 2892q⁶⁸ - 1120q⁶⁹ + 671q⁷⁰ + 1377q⁷¹ + 1766q⁷² + 792q⁷³ - 243q⁷⁴ - 585q⁷⁵ - 943q⁷⁶ - 497q⁷⁷ + q⁷⁸ + 197q⁷⁹ + 560q⁸⁰ + 301q⁸¹ - 27q⁸² - 75q⁸³ - 239q⁸⁴ - 116q⁸⁵ - 30q⁸⁶ - 35q⁸⁷ + 152q⁸⁸ + 92q⁸⁹ - 17q⁹⁰ - 4q⁹¹ - 52q⁹² - 2q⁹³ - 2q⁹⁴ - 39q⁹⁵ + 34q⁹⁶ + 23q⁹⁷ - 8q⁹⁸ - q⁹⁹ - 12q¹⁰⁰ + 10q¹⁰¹ + 5q¹⁰² - 15q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 5q¹⁰⁵ - 3q¹⁰⁶ - 3q¹⁰⁸ + 4q¹⁰⁹ + q¹¹⁰ - 3q¹¹¹ + q¹¹²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 27]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[11, 1, 12, 18], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 17, 14, 16], X[7, 14, 8, 15], X[15, 6, 16, 7], X[17, 9, 18, 8], > X[9, 2, 10, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 27]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 9, -2, 1, -4, 7, -6, 8, -9, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 5, -8, 3]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 27]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 12, 14, 2, 18, 16, 6, 8]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 27]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, 2, -1, 2, 2, -3, 2, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 27]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 27]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 27]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 3, 2, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 27]][t]

Out[10]=
-3 5 11 2 3 15 - t + -- - -- - 11 t + 5 t - t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 27]][z]

Out[11]=
4 6 1 - z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 27], Knot[11, NonAlternating, 4], Knot[11, NonAlternating, 21], > Knot[11, NonAlternating, 172]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 27]], KnotSignature[Knot[9, 27]]}

Out[13]=
{49, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 27]][q]

Out[14]=
-5 3 5 7 8 2 3 4 9 - q + -- - -- + -- - - - 7 q + 5 q - 3 q + q 4 3 2 q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 27], Knot[11, NonAlternating, 83]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 27]][q]

Out[16]=
-16 -12 -10 2 2 2 4 8 10 12 -1 - q + q - q + -- + -- + 2 q - 2 q + q - q + q 8 2 q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 27]][a, z]

Out[17]=
2 4 -2 2 4 2 2 z 2 2 4 2 4 z 2 4 6 -2 + a + 3 a - a - 6 z + ---- + 5 a z - a z - 4 z + -- + 2 a z - z 2 2 a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 27]][a, z]

Out[18]=
2 2 -2 2 4 z 2 z 3 5 2 z 3 z -2 - a - 3 a - a + -- + --- + 2 a z + 2 a z + a z + 12 z - -- + ---- + 3 a 4 2 a a a 3 3 4 4 2 2 4 2 4 z 4 z 3 3 5 3 4 z 5 z > 12 a z + 4 a z - ---- - ---- - 2 a z - 2 a z - 16 z + -- - ---- - 3 a 4 2 a a a 5 6 2 4 4 4 3 z 5 3 5 5 5 6 4 z > 17 a z - 7 a z + ---- - 8 a z - 4 a z + a z + 7 z + ---- + 3 2 a a 7 2 6 4 6 3 z 7 3 7 8 2 8 > 6 a z + 3 a z + ---- + 6 a z + 3 a z + z + a z a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 27]], Vassiliev[3][Knot[9, 27]]}

Out[19]=
{0, -1}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 27]][q, t]

Out[20]=
5 1 2 1 3 2 4 3 4 4 - + 5 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > 3 q t + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 27], 2][q]

Out[21]=
-15 3 10 12 7 30 21 24 54 23 44 70 18 70 + q - --- + --- - --- - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 56 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > -- - 9 q - 52 q + 50 q - q - 34 q + 25 q + 2 q - 14 q + 8 q + q - q 11 12 > 3 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₂₇

9₂₆
9₂₈

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-15 - 3q^-14 + 10q^-12 - 12q^-11 - 7q^-10 + 30q^-9 - 21q^-8 - 24q^-7 + 54q^-6 - 23q^-5 - 44q^-4 + 70q^-3 - 18q^-2 - 56q^-1 + 70 - 9q - 52q² + 50q³ - q⁴ - 34q⁵ + 25q⁶ + 2q⁷ - 14q⁸ + 8q⁹ + q¹⁰ - 3q¹¹ + q¹²
3	- q^-30 + 3q^-29 - 5q^-27 - 5q^-26 + 12q^-25 + 14q^-24 - 20q^-23 - 29q^-22 + 24q^-21 + 54q^-20 - 23q^-19 - 86q^-18 + 13q^-17 + 122q^-16 + 6q^-15 - 154q^-14 - 39q^-13 + 186q^-12 + 74q^-11 - 207q^-10 - 116q^-9 + 224q^-8 + 151q^-7 - 225q^-6 - 189q^-5 + 227q^-4 + 209q^-3 - 208q^-2 - 232q^-1 + 195 + 227q - 156q² - 224q³ + 126q⁴ + 199q⁵ - 88q⁶ - 169q⁷ + 56q⁸ + 132q⁹ - 31q¹⁰ - 95q¹¹ + 14q¹² + 64q¹³ - 6q¹⁴ - 38q¹⁵ + q¹⁶ + 22q¹⁷ - q¹⁸ - 11q¹⁹ + q²⁰ + 4q²¹ + q²² - 3q²³ + q²⁴
4	q^-50 - 3q^-49 + 5q^-47 + 5q^-45 - 19q^-44 - 7q^-43 + 20q^-42 + 12q^-41 + 35q^-40 - 62q^-39 - 52q^-38 + 26q^-37 + 46q^-36 + 142q^-35 - 100q^-34 - 156q^-33 - 49q^-32 + 55q^-31 + 367q^-30 - 44q^-29 - 267q^-28 - 252q^-27 - 63q^-26 + 642q^-25 + 163q^-24 - 260q^-23 - 528q^-22 - 363q^-21 + 840q^-20 + 467q^-19 - 83q^-18 - 761q^-17 - 768q^-16 + 890q^-15 + 752q^-14 + 205q^-13 - 884q^-12 - 1153q^-11 + 819q^-10 + 944q^-9 + 499q^-8 - 895q^-7 - 1425q^-6 + 669q^-5 + 1017q^-4 + 734q^-3 - 800q^-2 - 1532q^-1 + 457 + 944q + 870q² - 585q³ - 1432q⁴ + 201q⁵ + 714q⁶ + 866q⁷ - 297q⁸ - 1129q⁹ - 3q¹⁰ + 392q¹¹ + 694q¹² - 48q¹³ - 714q¹⁴ - 81q¹⁵ + 115q¹⁶ + 429q¹⁷ + 66q¹⁸ - 353q¹⁹ - 53q²⁰ - 17q²¹ + 197q²² + 63q²³ - 139q²⁴ - 8q²⁵ - 33q²⁶ + 68q²⁷ + 27q²⁸ - 47q²⁹ + 8q³⁰ - 15q³¹ + 18q³² + 7q³³ - 14q³⁴ + 4q³⁵ - 3q³⁶ + 4q³⁷ + q³⁸ - 3q³⁹ + q⁴⁰
5	- q^-75 + 3q^-74 - 5q^-72 + 2q^-69 + 12q^-68 + 7q^-67 - 20q^-66 - 21q^-65 - 9q^-64 + 12q^-63 + 51q^-62 + 48q^-61 - 19q^-60 - 94q^-59 - 95q^-58 - 12q^-57 + 125q^-56 + 203q^-55 + 93q^-54 - 153q^-53 - 334q^-52 - 243q^-51 + 108q^-50 + 470q^-49 + 500q^-48 + 40q^-47 - 584q^-46 - 818q^-45 - 330q^-44 + 583q^-43 + 1171q^-42 + 789q^-41 - 432q^-40 - 1486q^-39 - 1370q^-38 + 64q^-37 + 1703q^-36 + 2018q^-35 + 502q^-34 - 1725q^-33 - 2685q^-32 - 1246q^-31 + 1578q^-30 + 3261q^-29 + 2075q^-28 - 1198q^-27 - 3728q^-26 - 2966q^-25 + 713q^-24 + 4034q^-23 + 3789q^-22 - 92q^-21 - 4205q^-20 - 4563q^-19 - 519q^-18 + 4245q^-17 + 5184q^-16 + 1173q^-15 - 4206q^-14 - 5728q^-13 - 1711q^-12 + 4060q^-11 + 6096q^-10 + 2288q^-9 - 3884q^-8 - 6399q^-7 - 2702q^-6 + 3588q^-5 + 6486q^-4 + 3191q^-3 - 3235q^-2 - 6523q^-1 - 3480 + 2743q + 6272q² + 3834q³ - 2174q⁴ - 5930q⁵ - 3963q⁶ + 1523q⁷ + 5300q⁸ + 4026q⁹ - 846q¹⁰ - 4563q¹¹ - 3853q¹² + 210q¹³ + 3676q¹⁴ + 3524q¹⁵ + 305q¹⁶ - 2764q¹⁷ - 3026q¹⁸ - 659q¹⁹ + 1903q²⁰ + 2440q²¹ + 823q²² - 1180q²³ - 1825q²⁴ - 825q²⁵ + 638q²⁶ + 1255q²⁷ + 720q²⁸ - 278q²⁹ - 808q³⁰ - 543q³¹ + 84q³² + 459q³³ + 376q³⁴ + 15q³⁵ - 254q³⁶ - 231q³⁷ - 30q³⁸ + 121q³⁹ + 123q⁴⁰ + 32q⁴¹ - 51q⁴² - 68q⁴³ - 19q⁴⁴ + 30q⁴⁵ + 25q⁴⁶ + 2q⁴⁷ - 2q⁴⁸ - 13q⁴⁹ - 8q⁵⁰ + 13q⁵¹ + 3q⁵² - 6q⁵³ + q⁵⁴ - 3q⁵⁶ + 4q⁵⁷ + q⁵⁸ - 3q⁵⁹ + q⁶⁰
6	q^-105 - 3q^-104 + 5q^-102 - 7q^-99 + 5q^-98 - 12q^-97 - 7q^-96 + 29q^-95 + 12q^-94 + 9q^-93 - 29q^-92 - q^-91 - 58q^-90 - 44q^-89 + 79q^-88 + 80q^-87 + 89q^-86 - 37q^-85 - 227q^-83 - 238q^-82 + 65q^-81 + 208q^-80 + 380q^-79 + 167q^-78 + 203q^-77 - 496q^-76 - 797q^-75 - 392q^-74 + 80q^-73 + 799q^-72 + 870q^-71 + 1202q^-70 - 326q^-69 - 1520q^-68 - 1693q^-67 - 1130q^-66 + 487q^-65 + 1696q^-64 + 3455q^-63 + 1418q^-62 - 1163q^-61 - 3236q^-60 - 3888q^-59 - 2007q^-58 + 1013q^-57 + 6032q^-56 + 5182q^-55 + 1982q^-54 - 2991q^-53 - 6939q^-52 - 7051q^-51 - 3018q^-50 + 6546q^-49 + 9410q^-48 + 8115q^-47 + 946q^-46 - 7710q^-45 - 12819q^-44 - 10332q^-43 + 3148q^-42 + 11451q^-41 + 15172q^-40 + 8272q^-39 - 4583q^-38 - 16662q^-37 - 18663q^-36 - 3615q^-35 + 9923q^-34 + 20570q^-33 + 16648q^-32 + 1624q^-31 - 17374q^-30 - 25504q^-29 - 11405q^-28 + 5727q^-27 + 23215q^-26 + 23742q^-25 + 8657q^-24 - 15749q^-23 - 29822q^-22 - 18128q^-21 + 801q^-20 + 23696q^-19 + 28621q^-18 + 14740q^-17 - 13222q^-16 - 31967q^-15 - 23043q^-14 - 3607q^-13 + 22950q^-12 + 31516q^-11 + 19418q^-10 - 10430q^-9 - 32451q^-8 - 26411q^-7 - 7491q^-6 + 21116q^-5 + 32709q^-4 + 23051q^-3 - 6955q^-2 - 31040q^-1 - 28381 - 11382q + 17494q² + 31734q³ + 25655q⁴ - 2200q⁵ - 26869q⁶ - 28245q⁷ - 15114q⁸ + 11576q⁹ + 27600q¹⁰ + 26221q¹¹ + 3325q¹² - 19617q¹³ - 24815q¹⁴ - 17280q¹⁵ + 4318q¹⁶ + 20147q¹⁷ + 23398q¹⁸ + 7676q¹⁹ - 10774q²⁰ - 18033q²¹ - 16228q²² - 1796q²³ + 11236q²⁴ + 17250q²⁵ + 8867q²⁶ - 3275q²⁷ - 9990q²⁸ - 11996q²⁹ - 4578q³⁰ + 3935q³¹ + 10003q³² + 6888q³³ + 708q³⁴ - 3643q³⁵ - 6737q³⁶ - 4115q³⁷ + 103q³⁸ + 4381q³⁹ + 3757q⁴⁰ + 1474q⁴¹ - 428q⁴² - 2782q⁴³ - 2346q⁴⁴ - 839q⁴⁵ + 1430q⁴⁶ + 1420q⁴⁷ + 873q⁴⁸ + 414q⁴⁹ - 826q⁵⁰ - 932q⁵¹ - 586q⁵² + 381q⁵³ + 350q⁵⁴ + 284q⁵⁵ + 330q⁵⁶ - 176q⁵⁷ - 269q⁵⁸ - 242q⁵⁹ + 114q⁶⁰ + 43q⁶¹ + 38q⁶² + 139q⁶³ - 29q⁶⁴ - 57q⁶⁵ - 73q⁶⁶ + 48q⁶⁷ - 5q⁶⁸ - 12q⁶⁹ + 40q⁷⁰ - 7q⁷¹ - 7q⁷² - 18q⁷³ + 20q⁷⁴ - 2q⁷⁵ - 10q⁷⁶ + 9q⁷⁷ - 3q⁷⁸ - 3q⁸⁰ + 4q⁸¹ + q⁸² - 3q⁸³ + q⁸⁴
7	- q^-140 + 3q^-139 - 5q^-137 + 7q^-134 - 5q^-132 + 12q^-131 - 2q^-130 - 20q^-129 - 12q^-128 - 9q^-127 + 29q^-126 + 29q^-125 - 3q^-124 + 43q^-123 - 5q^-122 - 65q^-121 - 75q^-120 - 97q^-119 + 43q^-118 + 117q^-117 + 93q^-116 + 196q^-115 + 78q^-114 - 120q^-113 - 246q^-112 - 468q^-111 - 213q^-110 + 120q^-109 + 306q^-108 + 754q^-107 + 640q^-106 + 231q^-105 - 306q^-104 - 1265q^-103 - 1330q^-102 - 810q^-101 - 61q^-100 + 1532q^-99 + 2246q^-98 + 2100q^-97 + 1172q^-96 - 1477q^-95 - 3265q^-94 - 3898q^-93 - 3173q^-92 + 353q^-91 + 3688q^-90 + 6056q^-89 + 6480q^-88 + 2343q^-87 - 2965q^-86 - 7935q^-85 - 10683q^-84 - 6901q^-83 + 7q^-82 + 8382q^-81 + 15164q^-80 + 13504q^-79 + 5811q^-78 - 6407q^-77 - 18685q^-76 - 21232q^-75 - 14663q^-74 + 628q^-73 + 19680q^-72 + 29011q^-71 + 26200q^-70 + 9320q^-69 - 16789q^-68 - 34988q^-67 - 39145q^-66 - 23359q^-65 + 8960q^-64 + 37531q^-63 + 51752q^-62 + 40538q^-61 + 4051q^-60 - 35356q^-59 - 62302q^-58 - 59219q^-57 - 21387q^-56 + 27826q^-55 + 69026q^-54 + 77551q^-53 + 42006q^-52 - 15247q^-51 - 71343q^-50 - 93870q^-49 - 63810q^-48 - 1236q^-47 + 68749q^-46 + 106842q^-45 + 85363q^-44 + 20326q^-43 - 62182q^-42 - 116130q^-41 - 104949q^-40 - 40112q^-39 + 52501q^-38 + 121506q^-37 + 121883q^-36 + 59434q^-35 - 41201q^-34 - 123865q^-33 - 135600q^-32 - 76916q^-31 + 29301q^-30 + 123742q^-29 + 146427q^-28 + 92245q^-27 - 18015q^-26 - 122222q^-25 - 154443q^-24 - 105075q^-23 + 7502q^-22 + 119763q^-21 + 160641q^-20 + 115820q^-19 + 1602q^-18 - 116950q^-17 - 164926q^-16 - 124683q^-15 - 10181q^-14 + 113539q^-13 + 168325q^-12 + 132477q^-11 + 17979q^-10 - 109677q^-9 - 170054q^-8 - 139098q^-7 - 26401q^-6 + 104201q^-5 + 170719q^-4 + 145379q^-3 + 35059q^-2 - 97203q^-1 - 168875 - 150246q - 45095q² + 87139q³ + 164612q⁴ + 154039q⁵ + 55602q⁶ - 74618q⁷ - 156376q⁸ - 154976q⁹ - 66536q¹⁰ + 58779q¹¹ + 144158q¹² + 152853q¹³ + 76399q¹⁴ - 41030q¹⁵ - 127548q¹⁶ - 146119q¹⁷ - 84114q¹⁸ + 22113q¹⁹ + 107278q²⁰ + 134783q²¹ + 88237q²² - 4031q²³ - 84539q²⁴ - 118947q²⁵ - 87846q²⁶ - 11558q²⁷ + 61251q²⁸ + 99660q²⁹ + 82637q³⁰ + 23183q³¹ - 39407q³² - 78632q³³ - 73286q³⁴ - 29940q³⁵ + 20902q³⁶ + 57869q³⁷ + 60924q³⁸ + 31862q³⁹ - 6809q⁴⁰ - 39195q⁴¹ - 47360q⁴² - 29861q⁴³ - 2397q⁴⁴ + 24009q⁴⁵ + 34266q⁴⁶ + 25168q⁴⁷ + 7179q⁴⁸ - 12804q⁴⁹ - 22895q⁵⁰ - 19328q⁵¹ - 8715q⁵² + 5467q⁵³ + 14172q⁵⁴ + 13612q⁵⁵ + 7965q⁵⁶ - 1353q⁵⁷ - 7897q⁵⁸ - 8732q⁵⁹ - 6374q⁶⁰ - 629q⁶¹ + 4045q⁶² + 5209q⁶³ + 4477q⁶⁴ + 1140q⁶⁵ - 1804q⁶⁶ - 2758q⁶⁷ - 2892q⁶⁸ - 1120q⁶⁹ + 671q⁷⁰ + 1377q⁷¹ + 1766q⁷² + 792q⁷³ - 243q⁷⁴ - 585q⁷⁵ - 943q⁷⁶ - 497q⁷⁷ + q⁷⁸ + 197q⁷⁹ + 560q⁸⁰ + 301q⁸¹ - 27q⁸² - 75q⁸³ - 239q⁸⁴ - 116q⁸⁵ - 30q⁸⁶ - 35q⁸⁷ + 152q⁸⁸ + 92q⁸⁹ - 17q⁹⁰ - 4q⁹¹ - 52q⁹² - 2q⁹³ - 2q⁹⁴ - 39q⁹⁵ + 34q⁹⁶ + 23q⁹⁷ - 8q⁹⁸ - q⁹⁹ - 12q¹⁰⁰ + 10q¹⁰¹ + 5q¹⁰² - 15q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 5q¹⁰⁵ - 3q¹⁰⁶ - 3q¹⁰⁸ + 4q¹⁰⁹ + q¹¹⁰ - 3q¹¹¹ + q¹¹²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 27]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[11, 1, 12, 18], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 17, 14, 16], X[7, 14, 8, 15], X[15, 6, 16, 7], X[17, 9, 18, 8], > X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 27]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 9, -2, 1, -4, 7, -6, 8, -9, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 5, -8, 3]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 27]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 14, 2, 18, 16, 6, 8]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 27]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, 2, -1, 2, 2, -3, 2, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 27]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 27]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 27]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 3, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 27]][t]
Out[10]=	-3 5 11 2 3 15 - t + -- - -- - 11 t + 5 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 27]][z]
Out[11]=	4 6 1 - z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 27], Knot[11, NonAlternating, 4], Knot[11, NonAlternating, 21], > Knot[11, NonAlternating, 172]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 27]], KnotSignature[Knot[9, 27]]}
Out[13]=	{49, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 27]][q]
Out[14]=	-5 3 5 7 8 2 3 4 9 - q + -- - -- + -- - - - 7 q + 5 q - 3 q + q 4 3 2 q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 27], Knot[11, NonAlternating, 83]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 27]][q]
Out[16]=	-16 -12 -10 2 2 2 4 8 10 12 -1 - q + q - q + -- + -- + 2 q - 2 q + q - q + q 8 2 q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 27]][a, z]
Out[17]=	2 4 -2 2 4 2 2 z 2 2 4 2 4 z 2 4 6 -2 + a + 3 a - a - 6 z + ---- + 5 a z - a z - 4 z + -- + 2 a z - z 2 2 a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 27]][a, z]
Out[18]=	2 2 -2 2 4 z 2 z 3 5 2 z 3 z -2 - a - 3 a - a + -- + --- + 2 a z + 2 a z + a z + 12 z - -- + ---- + 3 a 4 2 a a a 3 3 4 4 2 2 4 2 4 z 4 z 3 3 5 3 4 z 5 z > 12 a z + 4 a z - ---- - ---- - 2 a z - 2 a z - 16 z + -- - ---- - 3 a 4 2 a a a 5 6 2 4 4 4 3 z 5 3 5 5 5 6 4 z > 17 a z - 7 a z + ---- - 8 a z - 4 a z + a z + 7 z + ---- + 3 2 a a 7 2 6 4 6 3 z 7 3 7 8 2 8 > 6 a z + 3 a z + ---- + 6 a z + 3 a z + z + a z a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 27]], Vassiliev[3][Knot[9, 27]]}
Out[19]=	{0, -1}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 27]][q, t]
Out[20]=	5 1 2 1 3 2 4 3 4 4 - + 5 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > 3 q t + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 27], 2][q]
Out[21]=	-15 3 10 12 7 30 21 24 54 23 44 70 18 70 + q - --- + --- - --- - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 56 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > -- - 9 q - 52 q + 50 q - q - 34 q + 25 q + 2 q - 14 q + 8 q + q - q 11 12 > 3 q + q

The Alternating Knot 927

The Alternating Knot 9₂₇