© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:

925 927

KnotPlot

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KnotPlot

PD Presentation:

X1425 X5,12,6,13 X3,11,4,10 X11,3,12,2 X13,18,14,1 X7,15,8,14 X17,7,18,6 X9,17,10,16 X15,9,16,8

Gauss Code:

{-1, 4, -3, 1, -2, 7, -6, 9, -8, 3, -4, 2, -5, 6, -9, 8, -7, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code:

4 10 12 14 16 2 18 8 6

Minimum Braid Representative: Length is 9, width is 4 Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index Reversible 1 3 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial:

t-3 - 5t-2 + 11t-1 - 13 + 11t - 5t2 + t3

Conway Polynomial:

1 + z4 + z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial:

{K11n25, ...}

Determinant and Signature:

{47, 2}

Jones Polynomial:

- q-2 + 3q-1 - 4 + 7q - 8q2 + 8q3 - 7q4 + 5q5 - 3q6 + q7

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial:

{...}

A2 (sl(3)) Invariant:

- q-6 + q-4 + 1 + 3q2 - q4 + 2q6 - q8 - 2q14 + q16 - q18 + q22

HOMFLY-PT Polynomial:

a-6 + a-6z2 - 3a-4 - 5a-4z2 - 2a-4z4 + 3a-2 + 6a-2z2 + 4a-2z4 + a-2z6 - 2z2 - z4

Kauffman Polynomial:

- a-8z2 + a-8z4 + a-7z - 4a-7z3 + 3a-7z5 - a-6 + 2a-6z2 - 5a-6z4 + 4a-6z6 + a-5z - 2a-5z3 - a-5z5 + 3a-5z7 - 3a-4 + 11a-4z2 - 14a-4z4 + 6a-4z6 + a-4z8 - a-3z + 7a-3z3 - 11a-3z5 + 6a-3z7 - 3a-2 + 13a-2z2 - 16a-2z4 + 5a-2z6 + a-2z8 - a-1z + 3a-1z3 - 6a-1z5 + 3a-1z7 + 5z2 - 8z4 + 3z6 - 2az3 + az5

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants:

{0, -1}

Khovanov Homology: (The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 926. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

trqj r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6 j = 15                   1 j = 13                 2   j = 11               3 1   j = 9             4 2     j = 7           4 3       j = 5         4 4         j = 3       3 4           j = 1     2 5             j = -1   1 2               j = -3   2                 j = -5 1

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q-7 - 3q-6 + 9q-4 - 11q-3 - 5q-2 + 26q-1 - 19 - 19q + 48q2 - 23q3 - 37q4 + 64q5 - 20q6 - 49q7 + 64q8 - 12q9 - 46q10 + 48q11 - 3q12 - 31q13 + 25q14 + q15 - 14q16 + 8q17 + q18 - 3q19 + q20
3	- q-15 + 3q-14 - 5q-12 - 4q-11 + 11q-10 + 11q-9 - 19q-8 - 22q-7 + 24q-6 + 43q-5 - 29q-4 - 65q-3 + 20q-2 + 101q-1 - 14 - 123q - 15q2 + 161q3 + 33q4 - 175q5 - 73q6 + 200q7 + 98q8 - 206q9 - 130q10 + 210q11 + 151q12 - 201q13 - 168q14 + 186q15 + 174q16 - 162q17 - 169q18 + 130q19 + 158q20 - 99q21 - 135q22 + 66q23 + 111q24 - 42q25 - 82q26 + 22q27 + 57q28 - 11q29 - 36q30 + 4q31 + 22q32 - 2q33 - 11q34 + q35 + 4q36 + q37 - 3q38 + q39
4	q-26 - 3q-25 + 5q-23 + 4q-21 - 18q-20 - 4q-19 + 20q-18 + 8q-17 + 25q-16 - 58q-15 - 36q-14 + 38q-13 + 39q-12 + 98q-11 - 110q-10 - 120q-9 + 8q-8 + 71q-7 + 266q-6 - 106q-5 - 233q-4 - 128q-3 + 28q-2 + 502q-1 + 17 - 281q - 349q2 - 158q3 + 711q4 + 238q5 - 201q6 - 565q7 - 453q8 + 820q9 + 475q10 - 22q11 - 712q12 - 757q13 + 830q14 + 657q15 + 180q16 - 772q17 - 986q18 + 754q19 + 754q20 + 363q21 - 740q22 - 1101q23 + 602q24 + 739q25 + 495q26 - 596q27 - 1070q28 + 383q29 + 593q30 + 548q31 - 363q32 - 885q33 + 166q34 + 355q35 + 483q36 - 130q37 - 594q38 + 33q39 + 128q40 + 325q41 + 5q42 - 313q43 + q44 + 3q45 + 162q46 + 34q47 - 132q48 + 8q49 - 22q50 + 62q51 + 18q52 - 48q53 + 10q54 - 12q55 + 18q56 + 6q57 - 14q58 + 4q59 - 3q60 + 4q61 + q62 - 3q63 + q64
5	- q-40 + 3q-39 - 5q-37 + 3q-34 + 11q-33 + 4q-32 - 20q-31 - 18q-30 - 2q-29 + 18q-28 + 43q-27 + 28q-26 - 36q-25 - 84q-24 - 56q-23 + 35q-22 + 125q-21 + 134q-20 - 3q-19 - 191q-18 - 240q-17 - 64q-16 + 215q-15 + 373q-14 + 232q-13 - 198q-12 - 535q-11 - 437q-10 + 67q-9 + 629q-8 + 757q-7 + 170q-6 - 673q-5 - 1033q-4 - 559q-3 + 526q-2 + 1366q-1 + 1017 - 287q - 1492q2 - 1574q3 - 191q4 + 1626q5 + 2080q6 + 689q7 - 1467q8 - 2574q9 - 1366q10 + 1330q11 + 2948q12 + 1936q13 - 959q14 - 3243q15 - 2580q16 + 659q17 + 3424q18 + 3069q19 - 251q20 - 3535q21 - 3539q22 - 81q23 + 3566q24 + 3883q25 + 443q26 - 3549q27 - 4165q28 - 750q29 + 3443q30 + 4350q31 + 1069q32 - 3264q33 - 4450q34 - 1363q35 + 2986q36 + 4423q37 + 1651q38 - 2598q39 - 4270q40 - 1911q41 + 2124q42 + 3979q43 + 2075q44 - 1566q45 - 3527q46 - 2173q47 + 1007q48 + 2980q49 + 2106q50 - 483q51 - 2334q52 - 1939q53 + 61q54 + 1709q55 + 1640q56 + 224q57 - 1126q58 - 1295q59 - 364q60 + 666q61 + 928q62 + 392q63 - 335q64 - 620q65 - 330q66 + 139q67 + 362q68 + 248q69 - 32q70 - 206q71 - 157q72 + 102q74 + 84q75 + 13q76 - 46q77 - 49q78 - 6q79 + 28q80 + 17q81 - 3q82 - 3q83 - 11q84 - 5q85 + 13q86 + 2q87 - 6q88 + q89 - 3q91 + 4q92 + q93 - 3q94 + q95
6	q-57 - 3q-56 + 5q-54 - 7q-51 + 4q-50 - 11q-49 - 4q-48 + 29q-47 + 9q-46 + 3q-45 - 32q-44 - 3q-43 - 46q-42 - 20q-41 + 91q-40 + 66q-39 + 47q-38 - 79q-37 - 37q-36 - 183q-35 - 124q-34 + 178q-33 + 235q-32 + 259q-31 - 40q-30 - 50q-29 - 511q-28 - 517q-27 + 65q-26 + 435q-25 + 760q-24 + 386q-23 + 326q-22 - 849q-21 - 1322q-20 - 710q-19 + 109q-18 + 1203q-17 + 1319q-16 + 1704q-15 - 383q-14 - 1966q-13 - 2226q-12 - 1498q-11 + 469q-10 + 1940q-9 + 4049q-8 + 1772q-7 - 1043q-6 - 3375q-5 - 4211q-4 - 2421q-3 + 637q-2 + 5972q-1 + 5274 + 2408q - 2386q2 - 6427q3 - 6936q4 - 3440q5 + 5645q6 + 8378q7 + 7634q8 + 1428q9 - 6390q10 - 11221q11 - 9316q12 + 2570q13 + 9457q14 + 12722q15 + 6926q16 - 3837q17 - 13741q18 - 15052q19 - 2039q20 + 8380q21 + 16248q22 + 12256q23 - 17q24 - 14379q25 - 19309q26 - 6516q27 + 6230q28 + 18070q29 + 16275q30 + 3641q31 - 13939q32 - 21903q33 - 9996q34 + 4025q35 + 18744q36 + 18902q37 + 6577q38 - 13017q39 - 23209q40 - 12567q41 + 1925q42 + 18536q43 + 20480q44 + 9082q45 - 11424q46 - 23301q47 - 14584q48 - 562q49 + 17032q50 + 20960q51 + 11510q52 - 8541q53 - 21632q54 - 15842q55 - 3723q56 + 13584q57 + 19636q58 + 13448q59 - 4251q60 - 17574q61 - 15408q62 - 6842q63 + 8319q64 + 15848q65 + 13706q66 + 327q67 - 11525q68 - 12527q69 - 8395q70 + 2758q71 + 10163q72 + 11463q73 + 3329q74 - 5339q75 - 7860q76 - 7462q77 - 1014q78 + 4564q79 + 7474q80 + 3776q81 - 1133q82 - 3362q83 - 4826q84 - 2142q85 + 961q86 + 3640q87 + 2494q88 + 477q89 - 642q90 - 2228q91 - 1560q92 - 352q93 + 1292q94 + 1049q95 + 508q96 + 260q97 - 715q98 - 692q99 - 404q100 + 359q101 + 259q102 + 184q103 + 271q104 - 160q105 - 202q106 - 185q107 + 110q108 + 21q109 + 13q110 + 120q111 - 29q112 - 41q113 - 56q114 + 48q115 - 9q116 - 16q117 + 35q118 - 8q119 - 5q120 - 15q121 + 20q122 - 3q123 - 10q124 + 9q125 - 3q126 - 3q128 + 4q129 + q130 - 3q131 + q132
7	- q-77 + 3q-76 - 5q-74 + 7q-71 - 4q-69 + 11q-68 - 5q-67 - 20q-66 - 9q-65 - 3q-64 + 31q-63 + 28q-62 - 5q-61 + 27q-60 - 24q-59 - 72q-58 - 56q-57 - 51q-56 + 88q-55 + 138q-54 + 75q-53 + 107q-52 - 53q-51 - 217q-50 - 241q-49 - 287q-48 + 60q-47 + 372q-46 + 401q-45 + 520q-44 + 123q-43 - 368q-42 - 680q-41 - 1055q-40 - 511q-39 + 334q-38 + 918q-37 + 1622q-36 + 1209q-35 + 201q-34 - 861q-33 - 2380q-32 - 2342q-31 - 1181q-30 + 376q-29 + 2797q-28 + 3557q-27 + 2876q-26 + 1132q-25 - 2533q-24 - 4758q-23 - 5085q-22 - 3583q-21 + 1075q-20 + 4985q-19 + 7281q-18 + 7236q-17 + 2120q-16 - 3797q-15 - 8874q-14 - 11303q-13 - 6930q-12 + 251q-11 + 8625q-10 + 15234q-9 + 13249q-8 + 5636q-7 - 5931q-6 - 17539q-5 - 19912q-4 - 14067q-3 - 74q-2 + 17594q-1 + 26028 + 23754q + 9077q2 - 13954q3 - 30061q4 - 34232q5 - 20876q6 + 7164q7 + 31400q8 + 43390q9 + 33994q10 + 3342q11 - 29078q12 - 51047q13 - 47752q14 - 15745q15 + 23803q16 + 55565q17 + 60242q18 + 29857q19 - 15435q20 - 57635q21 - 71394q22 - 43635q23 + 5750q24 + 56737q25 + 79873q26 + 56812q27 + 5066q28 - 54154q29 - 86413q30 - 68123q31 - 15322q32 + 50115q33 + 90575q34 + 77726q35 + 24934q36 - 45740q37 - 93303q38 - 85283q39 - 33105q40 + 41244q41 + 94774q42 + 91288q43 + 40027q44 - 37197q45 - 95516q46 - 95872q47 - 45807q48 + 33410q49 + 95724q50 + 99604q51 + 50781q52 - 29849q53 - 95408q54 - 102562q55 - 55370q56 + 25954q57 + 94376q58 + 104969q59 + 59967q60 - 21426q61 - 92286q62 - 106546q63 - 64638q64 + 15723q65 + 88485q66 + 107020q67 + 69412q68 - 8634q69 - 82631q70 - 105780q71 - 73763q72 + 242q73 + 74261q74 + 102096q75 + 77112q76 + 9165q77 - 63379q78 - 95665q79 - 78644q80 - 18532q81 + 50450q82 + 86020q83 + 77469q84 + 27132q85 - 36224q86 - 73745q87 - 73308q88 - 33574q89 + 22152q90 + 59393q91 + 65925q92 + 37217q93 - 9338q94 - 44371q95 - 56110q96 - 37563q97 - 850q98 + 30029q99 + 44718q100 + 34850q101 + 7839q102 - 17630q103 - 33120q104 - 29839q105 - 11485q106 + 8039q107 + 22543q108 + 23582q109 + 12246q110 - 1577q111 - 13826q112 - 17113q113 - 11013q114 - 2142q115 + 7410q116 + 11480q117 + 8727q118 + 3536q119 - 3237q120 - 6934q121 - 6152q122 - 3669q123 + 831q124 + 3859q125 + 3962q126 + 2976q127 + 209q128 - 1867q129 - 2238q130 - 2133q131 - 589q132 + 775q133 + 1170q134 + 1397q135 + 523q136 - 299q137 - 496q138 - 777q139 - 382q140 + 29q141 + 166q142 + 475q143 + 234q144 - 29q145 - 43q146 - 196q147 - 97q148 - 32q149 - 40q150 + 128q151 + 72q152 - 18q153 + 8q154 - 38q155 + 2q156 - 4q157 - 39q158 + 30q159 + 18q160 - 9q161 + q162 - 9q163 + 10q164 + 4q165 - 15q166 + 5q167 + 5q168 - 3q169 - 3q171 + 4q172 + q173 - 3q174 + q175

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 26]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[13, 18, 14, 1], X[7, 15, 8, 14], X[17, 7, 18, 6], X[9, 17, 10, 16], > X[15, 9, 16, 8]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 26]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 7, -6, 9, -8, 3, -4, 2, -5, 6, -9, 8, -7, 5]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 26]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 14, 16, 2, 18, 8, 6]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 26]]
Out[5]=	BR[4, {1, 1, 1, -2, 1, -2, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 26]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 26]]]
Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 26]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 3, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 26]][t]
Out[10]=	-3 5 11 2 3 -13 + t - -- + -- + 11 t - 5 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 26]][z]
Out[11]=	4 6 1 + z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 26], Knot[11, NonAlternating, 25]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 26]], KnotSignature[Knot[9, 26]]}
Out[13]=	{47, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 26]][q]
Out[14]=	-2 3 2 3 4 5 6 7 -4 - q + - + 7 q - 8 q + 8 q - 7 q + 5 q - 3 q + q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 26]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 26]][q]
Out[16]=	-6 -4 2 4 6 8 14 16 18 22 1 - q + q + 3 q - q + 2 q - q - 2 q + q - q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 26]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 4 4 6 -6 3 3 2 z 5 z 6 z 4 2 z 4 z z a - -- + -- - 2 z + -- - ---- + ---- - z - ---- + ---- + -- 4 2 6 4 2 4 2 2 a a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 26]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 3 -6 3 3 z z z z 2 z 2 z 11 z 13 z 4 z -a - -- - -- + -- + -- - -- - - + 5 z - -- + ---- + ----- + ----- - ---- - 4 2 7 5 3 a 8 6 4 2 7 a a a a a a a a a a 3 3 3 4 4 4 4 5 2 z 7 z 3 z 3 4 z 5 z 14 z 16 z 3 z > ---- + ---- + ---- - 2 a z - 8 z + -- - ---- - ----- - ----- + ---- - 5 3 a 8 6 4 2 7 a a a a a a a 5 5 5 6 6 6 7 7 7 z 11 z 6 z 5 6 4 z 6 z 5 z 3 z 6 z 3 z > -- - ----- - ---- + a z + 3 z + ---- + ---- + ---- + ---- + ---- + ---- + 5 3 a 6 4 2 5 3 a a a a a a a a 8 8 z z > -- + -- 4 2 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 26]], Vassiliev[3][Knot[9, 26]]}
Out[19]=	{0, -1}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 26]][q, t]
Out[20]=	3 1 2 1 2 2 q 3 5 5 2 5 q + 3 q + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 4 q t + 4 q t + 4 q t + 5 3 3 2 2 q t t q t q t q t 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 11 5 13 5 > 4 q t + 3 q t + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + 15 6 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 26], 2][q]
Out[21]=	-7 3 9 11 5 26 2 3 4 5 -19 + q - -- + -- - -- - -- + -- - 19 q + 48 q - 23 q - 37 q + 64 q - 6 4 3 2 q q q q q 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > 20 q - 49 q + 64 q - 12 q - 46 q + 48 q - 3 q - 31 q + 25 q + 15 16 17 18 19 20 > q - 14 q + 8 q + q - 3 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 926

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