The Alternating Knot 9₂₅

Visit 9₂₅'s page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!)

Visit 9₂₅'s page at Knotilus!

Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X₃₈₄₉ X_5,12,6,13 X_9,17,10,16 X_13,18,14,1 X_17,14,18,15 X_15,11,16,10 X_11,6,12,7 X₇₂₈₃

Gauss Code: {-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 7, -8, 3, -5, 6, -7, 4, -6, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 12 2 16 6 18 10 14

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 2 3 / 4--7 1

Alexander Polynomial: - 3t^-2 + 12t^-1 - 17 + 12t - 3t²

Conway Polynomial: 1 - 3z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n134, ...}

Determinant and Signature: {47, -2}

Jones Polynomial: - q^-8 + 3q^-7 - 5q^-6 + 7q^-5 - 8q^-4 + 8q^-3 - 7q^-2 + 5q^-1 - 2 + q

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n25, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-26 - q^-24 + 2q^-22 + q^-18 + 2q^-16 - 2q^-14 - 2q^-10 + q^-6 - q^-4 + 3q^-2 + q⁴

HOMFLY-PT Polynomial: 1 + z² + a² - a²z⁴ - 3a⁴ - 4a⁴z² - 2a⁴z⁴ + 3a⁶ + 3a⁶z² - a⁸

Kauffman Polynomial: 1 - 2z² + z⁴ - 2az³ + 2az⁵ - a² + 2a²z² - 3a²z⁴ + 3a²z⁶ - a³z + 3a³z³ - 3a³z⁵ + 3a³z⁷ - 3a⁴ + 13a⁴z² - 15a⁴z⁴ + 6a⁴z⁶ + a⁴z⁸ - a⁵z + 5a⁵z³ - 10a⁵z⁵ + 6a⁵z⁷ - 3a⁶ + 13a⁶z² - 18a⁶z⁴ + 6a⁶z⁶ + a⁶z⁸ + a⁷z - 2a⁷z³ - 4a⁷z⁵ + 3a⁷z⁷ - a⁸ + 4a⁸z² - 7a⁸z⁴ + 3a⁸z⁶ + a⁹z - 2a⁹z³ + a⁹z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, -1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 9₂₅. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -7 r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 3 1

j = 1 1

j = -1 4 1

j = -3 4 2

j = -5 4 3

j = -7 4 4

j = -9 3 4

j = -11 2 4

j = -13 1 3

j = -15 2

j = -17 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-23 - 3q^-22 + 10q^-20 - 12q^-19 - 7q^-18 + 30q^-17 - 20q^-16 - 25q^-15 + 52q^-14 - 19q^-13 - 45q^-12 + 65q^-11 - 12q^-10 - 56q^-9 + 62q^-8 - 3q^-7 - 50q^-6 + 43q^-5 + 4q^-4 - 31q^-3 + 19q^-2 + 4q^-1 - 11 + 5q + q² - 2q³ + q⁴

3 - q^-45 + 3q^-44 - 5q^-42 - 5q^-41 + 12q^-40 + 14q^-39 - 20q^-38 - 29q^-37 + 23q^-36 + 55q^-35 - 20q^-34 - 87q^-33 + 6q^-32 + 120q^-31 + 20q^-30 - 148q^-29 - 60q^-28 + 173q^-27 + 101q^-26 - 184q^-25 - 145q^-24 + 188q^-23 + 185q^-22 - 184q^-21 - 218q^-20 + 173q^-19 + 240q^-18 - 155q^-17 - 251q^-16 + 130q^-15 + 248q^-14 - 98q^-13 - 234q^-12 + 67q^-11 + 204q^-10 - 34q^-9 - 167q^-8 + 11q^-7 + 121q^-6 + 10q^-5 - 87q^-4 - 8q^-3 + 46q^-2 + 14q^-1 - 28 - 5q + 11q² + 4q³ - 7q⁴ + q⁵ + q⁶ + q⁷ - 2q⁸ + q⁹

4 q^-74 - 3q^-73 + 5q^-71 + 5q^-69 - 19q^-68 - 7q^-67 + 20q^-66 + 12q^-65 + 35q^-64 - 61q^-63 - 53q^-62 + 23q^-61 + 46q^-60 + 146q^-59 - 90q^-58 - 158q^-57 - 67q^-56 + 40q^-55 + 373q^-54 + 2q^-53 - 243q^-52 - 293q^-51 - 134q^-50 + 615q^-49 + 266q^-48 - 155q^-47 - 559q^-46 - 516q^-45 + 712q^-44 + 597q^-43 + 140q^-42 - 715q^-41 - 977q^-40 + 617q^-39 + 850q^-38 + 526q^-37 - 725q^-36 - 1361q^-35 + 421q^-34 + 974q^-33 + 861q^-32 - 637q^-31 - 1587q^-30 + 198q^-29 + 974q^-28 + 1088q^-27 - 477q^-26 - 1631q^-25 - 32q^-24 + 837q^-23 + 1174q^-22 - 235q^-21 - 1456q^-20 - 244q^-19 + 553q^-18 + 1077q^-17 + 38q^-16 - 1067q^-15 - 347q^-14 + 204q^-13 + 784q^-12 + 216q^-11 - 588q^-10 - 287q^-9 - 43q^-8 + 416q^-7 + 215q^-6 - 223q^-5 - 133q^-4 - 104q^-3 + 145q^-2 + 113q^-1 - 57 - 23q - 59q² + 33q³ + 33q⁴ - 17q⁵ + 8q⁶ - 17q⁷ + 6q⁸ + 6q⁹ - 7q¹⁰ + 5q¹¹ - 3q¹² + q¹³ + q¹⁴ - 2q¹⁵ + q¹⁶

5 - q^-110 + 3q^-109 - 5q^-107 + 2q^-104 + 12q^-103 + 7q^-102 - 20q^-101 - 21q^-100 - 9q^-99 + 12q^-98 + 50q^-97 + 49q^-96 - 16q^-95 - 94q^-94 - 98q^-93 - 19q^-92 + 119q^-91 + 209q^-90 + 115q^-89 - 134q^-88 - 340q^-87 - 283q^-86 + 53q^-85 + 457q^-84 + 564q^-83 + 157q^-82 - 515q^-81 - 895q^-80 - 532q^-79 + 402q^-78 + 1215q^-77 + 1094q^-76 - 79q^-75 - 1427q^-74 - 1754q^-73 - 512q^-72 + 1442q^-71 + 2422q^-70 + 1331q^-69 - 1176q^-68 - 3008q^-67 - 2310q^-66 + 662q^-65 + 3398q^-64 + 3314q^-63 + 116q^-62 - 3580q^-61 - 4285q^-60 - 1002q^-59 + 3543q^-58 + 5103q^-57 + 1944q^-56 - 3320q^-55 - 5780q^-54 - 2837q^-53 + 3003q^-52 + 6267q^-51 + 3640q^-50 - 2625q^-49 - 6602q^-48 - 4328q^-47 + 2224q^-46 + 6809q^-45 + 4896q^-44 - 1814q^-43 - 6884q^-42 - 5355q^-41 + 1369q^-40 + 6824q^-39 + 5728q^-38 - 884q^-37 - 6615q^-36 - 5975q^-35 + 325q^-34 + 6206q^-33 + 6106q^-32 + 289q^-31 - 5602q^-30 - 6046q^-29 - 920q^-28 + 4773q^-27 + 5784q^-26 + 1500q^-25 - 3790q^-24 - 5262q^-23 - 1967q^-22 + 2724q^-21 + 4540q^-20 + 2213q^-19 - 1711q^-18 - 3608q^-17 - 2245q^-16 + 801q^-15 + 2710q^-14 + 2009q^-13 - 188q^-12 - 1763q^-11 - 1645q^-10 - 245q^-9 + 1083q^-8 + 1199q^-7 + 347q^-6 - 504q^-5 - 782q^-4 - 379q^-3 + 221q^-2 + 448q^-1 + 261 - 33q - 226q² - 182q³ + 3q⁴ + 91q⁵ + 81q⁶ + 34q⁷ - 39q⁸ - 48q⁹ - 3q¹⁰ + 9q¹¹ + 4q¹² + 18q¹³ - 3q¹⁴ - 12q¹⁵ + 4q¹⁶ + q¹⁷ - 5q¹⁸ + 5q¹⁹ + q²⁰ - 3q²¹ + q²² + q²³ - 2q²⁴ + q²⁵

6 q^-153 - 3q^-152 + 5q^-150 - 7q^-147 + 5q^-146 - 12q^-145 - 7q^-144 + 29q^-143 + 12q^-142 + 9q^-141 - 29q^-140 - q^-139 - 57q^-138 - 45q^-137 + 76q^-136 + 80q^-135 + 92q^-134 - 31q^-133 + 3q^-132 - 225q^-131 - 248q^-130 + 39q^-129 + 194q^-128 + 391q^-127 + 207q^-126 + 252q^-125 - 452q^-124 - 820q^-123 - 510q^-122 - 54q^-121 + 732q^-120 + 950q^-119 + 1418q^-118 - 17q^-117 - 1366q^-116 - 1905q^-115 - 1619q^-114 - 58q^-113 + 1480q^-112 + 3804q^-111 + 2389q^-110 - 165q^-109 - 2986q^-108 - 4667q^-107 - 3620q^-106 - 498q^-105 + 5644q^-104 + 6712q^-103 + 4656q^-102 - 880q^-101 - 6822q^-100 - 9567q^-99 - 6897q^-98 + 3585q^-97 + 10001q^-96 + 12251q^-95 + 6245q^-94 - 4504q^-93 - 14471q^-92 - 16341q^-91 - 3934q^-90 + 8669q^-89 + 18845q^-88 + 16539q^-87 + 3352q^-86 - 14902q^-85 - 24835q^-84 - 14620q^-83 + 2141q^-82 + 21279q^-81 + 25993q^-80 + 14058q^-79 - 10684q^-78 - 29514q^-77 - 24549q^-76 - 6779q^-75 + 19627q^-74 + 32060q^-73 + 23891q^-72 - 4448q^-71 - 30505q^-70 - 31473q^-69 - 14860q^-68 + 16129q^-67 + 34848q^-66 + 30969q^-65 + 1281q^-64 - 29521q^-63 - 35488q^-62 - 20802q^-61 + 12527q^-60 + 35603q^-59 + 35503q^-58 + 5901q^-57 - 27577q^-56 - 37536q^-55 - 25138q^-54 + 8783q^-53 + 34815q^-52 + 38309q^-51 + 10297q^-50 - 24145q^-49 - 37739q^-48 - 28659q^-47 + 3769q^-46 + 31596q^-45 + 39209q^-44 + 15180q^-43 - 17980q^-42 - 34893q^-41 - 30850q^-40 - 2982q^-39 + 24647q^-38 + 36660q^-37 + 19526q^-36 - 8996q^-35 - 27651q^-34 - 29726q^-33 - 9763q^-32 + 14325q^-31 + 29289q^-30 + 20740q^-29 + 302q^-28 - 16818q^-27 - 23788q^-26 - 13313q^-25 + 3858q^-24 + 18345q^-23 + 17110q^-22 + 6068q^-21 - 6166q^-20 - 14534q^-19 - 11812q^-18 - 2671q^-17 + 7942q^-16 + 10268q^-15 + 6591q^-14 + 341q^-13 - 6048q^-12 - 7111q^-11 - 3997q^-10 + 1692q^-9 + 4080q^-8 + 3948q^-7 + 2022q^-6 - 1280q^-5 - 2814q^-4 - 2463q^-3 - 286q^-2 + 843q^-1 + 1406 + 1296q + 129q² - 671q³ - 904q⁴ - 281q⁵ - 36q⁶ + 248q⁷ + 468q⁸ + 166q⁹ - 82q¹⁰ - 220q¹¹ - 52q¹² - 69q¹³ - 15q¹⁴ + 119q¹⁵ + 51q¹⁶ - 4q¹⁷ - 46q¹⁸ + 13q¹⁹ - 19q²⁰ - 24q²¹ + 28q²² + 9q²³ + q²⁴ - 13q²⁵ + 9q²⁶ - q²⁷ - 10q²⁸ + 7q²⁹ + q³⁰ + q³¹ - 3q³² + q³³ + q³⁴ - 2q³⁵ + q³⁶

7 - q^-203 + 3q^-202 - 5q^-200 + 7q^-197 - 5q^-195 + 12q^-194 - 2q^-193 - 20q^-192 - 12q^-191 - 9q^-190 + 29q^-189 + 29q^-188 - 3q^-187 + 42q^-186 - 4q^-185 - 62q^-184 - 75q^-183 - 100q^-182 + 37q^-181 + 115q^-180 + 94q^-179 + 198q^-178 + 92q^-177 - 99q^-176 - 237q^-175 - 484q^-174 - 258q^-173 + 71q^-172 + 279q^-171 + 757q^-170 + 717q^-169 + 368q^-168 - 177q^-167 - 1226q^-166 - 1465q^-165 - 1079q^-164 - 374q^-163 + 1311q^-162 + 2323q^-161 + 2551q^-160 + 1866q^-159 - 820q^-158 - 3090q^-157 - 4446q^-156 - 4371q^-155 - 1113q^-154 + 2770q^-153 + 6327q^-152 + 8191q^-151 + 5046q^-150 - 564q^-149 - 7209q^-148 - 12491q^-147 - 11038q^-146 - 4743q^-145 + 5406q^-144 + 16002q^-143 + 18824q^-142 + 13644q^-141 + 373q^-140 - 16839q^-139 - 26572q^-138 - 25676q^-137 - 11470q^-136 + 12759q^-135 + 32200q^-134 + 39557q^-133 + 27660q^-132 - 2300q^-131 - 33026q^-130 - 52635q^-129 - 47756q^-128 - 15169q^-127 + 26964q^-126 + 62059q^-125 + 69413q^-124 + 38731q^-123 - 12985q^-122 - 65447q^-121 - 89559q^-120 - 66080q^-119 - 8534q^-118 + 61050q^-117 + 105401q^-116 + 94658q^-115 + 35809q^-114 - 49018q^-113 - 115123q^-112 - 121194q^-111 - 66111q^-110 + 30299q^-109 + 117833q^-108 + 143639q^-107 + 96865q^-106 - 7281q^-105 - 114329q^-104 - 160638q^-103 - 125246q^-102 - 17597q^-101 + 105726q^-100 + 172010q^-99 + 149911q^-98 + 42096q^-97 - 94293q^-96 - 178470q^-95 - 169860q^-94 - 64344q^-93 + 81626q^-92 + 181081q^-91 + 185321q^-90 + 83491q^-89 - 69252q^-88 - 181260q^-87 - 196848q^-86 - 99274q^-85 + 58062q^-84 + 180019q^-83 + 205276q^-82 + 112108q^-81 - 48156q^-80 - 178042q^-79 - 211642q^-78 - 122795q^-77 + 39315q^-76 + 175603q^-75 + 216507q^-74 + 132140q^-73 - 30665q^-72 - 172291q^-71 - 220251q^-70 - 141101q^-69 + 21258q^-68 + 167515q^-67 + 222740q^-66 + 150009q^-65 - 10179q^-64 - 160099q^-63 - 223169q^-62 - 159021q^-61 - 3390q^-60 + 149010q^-59 + 220610q^-58 + 167410q^-57 + 19431q^-56 - 133252q^-55 - 213557q^-54 - 173938q^-53 - 37527q^-52 + 112483q^-51 + 200831q^-50 + 176989q^-49 + 56185q^-48 - 87249q^-47 - 181702q^-46 - 174769q^-45 - 73228q^-44 + 58993q^-43 + 156317q^-42 + 165930q^-41 + 86429q^-40 - 30131q^-39 - 126202q^-38 - 150173q^-37 - 93581q^-36 + 3851q^-35 + 93677q^-34 + 128109q^-33 + 93437q^-32 + 17521q^-31 - 61840q^-30 - 102321q^-29 - 86279q^-28 - 31469q^-27 + 34149q^-26 + 74995q^-25 + 73166q^-24 + 38102q^-23 - 12323q^-22 - 49960q^-21 - 57242q^-20 - 37526q^-19 - 1848q^-18 + 28983q^-17 + 40381q^-16 + 32412q^-15 + 9592q^-14 - 13868q^-13 - 25884q^-12 - 24697q^-11 - 11540q^-10 + 4244q^-9 + 14375q^-8 + 16861q^-7 + 10484q^-6 + 623q^-5 - 6877q^-4 - 10214q^-3 - 7721q^-2 - 2370q^-1 + 2388 + 5548q + 5012q² + 2316q³ - 380q⁴ - 2573q⁵ - 2768q⁶ - 1739q⁷ - 402q⁸ + 1109q⁹ + 1430q¹⁰ + 954q¹¹ + 414q¹² - 327q¹³ - 567q¹⁴ - 540q¹⁵ - 377q¹⁶ + 144q¹⁷ + 277q¹⁸ + 191q¹⁹ + 152q²⁰ - 9q²¹ - 36q²² - 96q²³ - 143q²⁴ + 23q²⁵ + 58q²⁶ + 17q²⁷ + 23q²⁸ - 8q²⁹ + 20q³⁰ - 4q³¹ - 47q³² + 8q³³ + 15q³⁴ + 2q³⁵ + 2q³⁶ - 9q³⁷ + 8q³⁸ + 4q³⁹ - 12q⁴⁰ + 2q⁴¹ + 3q⁴² + q⁴³ + q⁴⁴ - 3q⁴⁵ + q⁴⁶ + q⁴⁷ - 2q⁴⁸ + q⁴⁹

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 25]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[5, 12, 6, 13], X[9, 17, 10, 16], > X[13, 18, 14, 1], X[17, 14, 18, 15], X[15, 11, 16, 10], X[11, 6, 12, 7], > X[7, 2, 8, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 25]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 7, -8, 3, -5, 6, -7, 4, -6, 5]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 25]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 12, 2, 16, 6, 18, 10, 14]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 25]]

Out[5]=
BR[5, {-1, -1, 2, -1, -3, -2, -2, 4, -3, 4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 25]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 25]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 25]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 2, 3, {4, 7}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 25]][t]

Out[10]=
3 12 2 -17 - -- + -- + 12 t - 3 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 25]][z]

Out[11]=
4 1 - 3 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 25], Knot[11, NonAlternating, 134]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 25]], KnotSignature[Knot[9, 25]]}

Out[13]=
{47, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 25]][q]

Out[14]=
-8 3 5 7 8 8 7 5 -2 - q + -- - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 25], Knot[11, NonAlternating, 25]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 25]][q]

Out[16]=
-26 -24 2 -18 2 2 2 -6 -4 3 4 -q - q + --- + q + --- - --- - --- + q - q + -- + q 22 16 14 10 2 q q q q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 25]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 8 2 4 2 6 2 2 4 4 4 1 + a - 3 a + 3 a - a + z - 4 a z + 3 a z - a z - 2 a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 25]][a, z]

Out[18]=
2 4 6 8 3 5 7 9 2 2 2 1 - a - 3 a - 3 a - a - a z - a z + a z + a z - 2 z + 2 a z + 4 2 6 2 8 2 3 3 3 5 3 7 3 > 13 a z + 13 a z + 4 a z - 2 a z + 3 a z + 5 a z - 2 a z - 9 3 4 2 4 4 4 6 4 8 4 5 3 5 > 2 a z + z - 3 a z - 15 a z - 18 a z - 7 a z + 2 a z - 3 a z - 5 5 7 5 9 5 2 6 4 6 6 6 8 6 > 10 a z - 4 a z + a z + 3 a z + 6 a z + 6 a z + 3 a z + 3 7 5 7 7 7 4 8 6 8 > 3 a z + 6 a z + 3 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 25]], Vassiliev[3][Knot[9, 25]]}

Out[19]=
{0, -1}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 25]][q, t]

Out[20]=
2 4 1 2 1 3 2 4 3 4 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + 3 q 17 7 15 6 13 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 q q t q t q t q t q t q t q t q t 4 4 4 3 4 t 3 2 > ----- + ----- + ----- + ---- + ---- + - + q t + q t 7 3 7 2 5 2 5 3 q q t q t q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 25], 2][q]

Out[21]=
-23 3 10 12 7 30 20 25 52 19 45 65 -11 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - 22 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 q q q q q q q q q q q 12 56 62 3 50 43 4 31 19 4 2 3 4 > --- - -- + -- - -- - -- + -- + -- - -- + -- + - + 5 q + q - 2 q + q 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₂₅

9₂₄
9₂₆

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-23 - 3q^-22 + 10q^-20 - 12q^-19 - 7q^-18 + 30q^-17 - 20q^-16 - 25q^-15 + 52q^-14 - 19q^-13 - 45q^-12 + 65q^-11 - 12q^-10 - 56q^-9 + 62q^-8 - 3q^-7 - 50q^-6 + 43q^-5 + 4q^-4 - 31q^-3 + 19q^-2 + 4q^-1 - 11 + 5q + q² - 2q³ + q⁴
3	- q^-45 + 3q^-44 - 5q^-42 - 5q^-41 + 12q^-40 + 14q^-39 - 20q^-38 - 29q^-37 + 23q^-36 + 55q^-35 - 20q^-34 - 87q^-33 + 6q^-32 + 120q^-31 + 20q^-30 - 148q^-29 - 60q^-28 + 173q^-27 + 101q^-26 - 184q^-25 - 145q^-24 + 188q^-23 + 185q^-22 - 184q^-21 - 218q^-20 + 173q^-19 + 240q^-18 - 155q^-17 - 251q^-16 + 130q^-15 + 248q^-14 - 98q^-13 - 234q^-12 + 67q^-11 + 204q^-10 - 34q^-9 - 167q^-8 + 11q^-7 + 121q^-6 + 10q^-5 - 87q^-4 - 8q^-3 + 46q^-2 + 14q^-1 - 28 - 5q + 11q² + 4q³ - 7q⁴ + q⁵ + q⁶ + q⁷ - 2q⁸ + q⁹
4	q^-74 - 3q^-73 + 5q^-71 + 5q^-69 - 19q^-68 - 7q^-67 + 20q^-66 + 12q^-65 + 35q^-64 - 61q^-63 - 53q^-62 + 23q^-61 + 46q^-60 + 146q^-59 - 90q^-58 - 158q^-57 - 67q^-56 + 40q^-55 + 373q^-54 + 2q^-53 - 243q^-52 - 293q^-51 - 134q^-50 + 615q^-49 + 266q^-48 - 155q^-47 - 559q^-46 - 516q^-45 + 712q^-44 + 597q^-43 + 140q^-42 - 715q^-41 - 977q^-40 + 617q^-39 + 850q^-38 + 526q^-37 - 725q^-36 - 1361q^-35 + 421q^-34 + 974q^-33 + 861q^-32 - 637q^-31 - 1587q^-30 + 198q^-29 + 974q^-28 + 1088q^-27 - 477q^-26 - 1631q^-25 - 32q^-24 + 837q^-23 + 1174q^-22 - 235q^-21 - 1456q^-20 - 244q^-19 + 553q^-18 + 1077q^-17 + 38q^-16 - 1067q^-15 - 347q^-14 + 204q^-13 + 784q^-12 + 216q^-11 - 588q^-10 - 287q^-9 - 43q^-8 + 416q^-7 + 215q^-6 - 223q^-5 - 133q^-4 - 104q^-3 + 145q^-2 + 113q^-1 - 57 - 23q - 59q² + 33q³ + 33q⁴ - 17q⁵ + 8q⁶ - 17q⁷ + 6q⁸ + 6q⁹ - 7q¹⁰ + 5q¹¹ - 3q¹² + q¹³ + q¹⁴ - 2q¹⁵ + q¹⁶
5	- q^-110 + 3q^-109 - 5q^-107 + 2q^-104 + 12q^-103 + 7q^-102 - 20q^-101 - 21q^-100 - 9q^-99 + 12q^-98 + 50q^-97 + 49q^-96 - 16q^-95 - 94q^-94 - 98q^-93 - 19q^-92 + 119q^-91 + 209q^-90 + 115q^-89 - 134q^-88 - 340q^-87 - 283q^-86 + 53q^-85 + 457q^-84 + 564q^-83 + 157q^-82 - 515q^-81 - 895q^-80 - 532q^-79 + 402q^-78 + 1215q^-77 + 1094q^-76 - 79q^-75 - 1427q^-74 - 1754q^-73 - 512q^-72 + 1442q^-71 + 2422q^-70 + 1331q^-69 - 1176q^-68 - 3008q^-67 - 2310q^-66 + 662q^-65 + 3398q^-64 + 3314q^-63 + 116q^-62 - 3580q^-61 - 4285q^-60 - 1002q^-59 + 3543q^-58 + 5103q^-57 + 1944q^-56 - 3320q^-55 - 5780q^-54 - 2837q^-53 + 3003q^-52 + 6267q^-51 + 3640q^-50 - 2625q^-49 - 6602q^-48 - 4328q^-47 + 2224q^-46 + 6809q^-45 + 4896q^-44 - 1814q^-43 - 6884q^-42 - 5355q^-41 + 1369q^-40 + 6824q^-39 + 5728q^-38 - 884q^-37 - 6615q^-36 - 5975q^-35 + 325q^-34 + 6206q^-33 + 6106q^-32 + 289q^-31 - 5602q^-30 - 6046q^-29 - 920q^-28 + 4773q^-27 + 5784q^-26 + 1500q^-25 - 3790q^-24 - 5262q^-23 - 1967q^-22 + 2724q^-21 + 4540q^-20 + 2213q^-19 - 1711q^-18 - 3608q^-17 - 2245q^-16 + 801q^-15 + 2710q^-14 + 2009q^-13 - 188q^-12 - 1763q^-11 - 1645q^-10 - 245q^-9 + 1083q^-8 + 1199q^-7 + 347q^-6 - 504q^-5 - 782q^-4 - 379q^-3 + 221q^-2 + 448q^-1 + 261 - 33q - 226q² - 182q³ + 3q⁴ + 91q⁵ + 81q⁶ + 34q⁷ - 39q⁸ - 48q⁹ - 3q¹⁰ + 9q¹¹ + 4q¹² + 18q¹³ - 3q¹⁴ - 12q¹⁵ + 4q¹⁶ + q¹⁷ - 5q¹⁸ + 5q¹⁹ + q²⁰ - 3q²¹ + q²² + q²³ - 2q²⁴ + q²⁵
6	q^-153 - 3q^-152 + 5q^-150 - 7q^-147 + 5q^-146 - 12q^-145 - 7q^-144 + 29q^-143 + 12q^-142 + 9q^-141 - 29q^-140 - q^-139 - 57q^-138 - 45q^-137 + 76q^-136 + 80q^-135 + 92q^-134 - 31q^-133 + 3q^-132 - 225q^-131 - 248q^-130 + 39q^-129 + 194q^-128 + 391q^-127 + 207q^-126 + 252q^-125 - 452q^-124 - 820q^-123 - 510q^-122 - 54q^-121 + 732q^-120 + 950q^-119 + 1418q^-118 - 17q^-117 - 1366q^-116 - 1905q^-115 - 1619q^-114 - 58q^-113 + 1480q^-112 + 3804q^-111 + 2389q^-110 - 165q^-109 - 2986q^-108 - 4667q^-107 - 3620q^-106 - 498q^-105 + 5644q^-104 + 6712q^-103 + 4656q^-102 - 880q^-101 - 6822q^-100 - 9567q^-99 - 6897q^-98 + 3585q^-97 + 10001q^-96 + 12251q^-95 + 6245q^-94 - 4504q^-93 - 14471q^-92 - 16341q^-91 - 3934q^-90 + 8669q^-89 + 18845q^-88 + 16539q^-87 + 3352q^-86 - 14902q^-85 - 24835q^-84 - 14620q^-83 + 2141q^-82 + 21279q^-81 + 25993q^-80 + 14058q^-79 - 10684q^-78 - 29514q^-77 - 24549q^-76 - 6779q^-75 + 19627q^-74 + 32060q^-73 + 23891q^-72 - 4448q^-71 - 30505q^-70 - 31473q^-69 - 14860q^-68 + 16129q^-67 + 34848q^-66 + 30969q^-65 + 1281q^-64 - 29521q^-63 - 35488q^-62 - 20802q^-61 + 12527q^-60 + 35603q^-59 + 35503q^-58 + 5901q^-57 - 27577q^-56 - 37536q^-55 - 25138q^-54 + 8783q^-53 + 34815q^-52 + 38309q^-51 + 10297q^-50 - 24145q^-49 - 37739q^-48 - 28659q^-47 + 3769q^-46 + 31596q^-45 + 39209q^-44 + 15180q^-43 - 17980q^-42 - 34893q^-41 - 30850q^-40 - 2982q^-39 + 24647q^-38 + 36660q^-37 + 19526q^-36 - 8996q^-35 - 27651q^-34 - 29726q^-33 - 9763q^-32 + 14325q^-31 + 29289q^-30 + 20740q^-29 + 302q^-28 - 16818q^-27 - 23788q^-26 - 13313q^-25 + 3858q^-24 + 18345q^-23 + 17110q^-22 + 6068q^-21 - 6166q^-20 - 14534q^-19 - 11812q^-18 - 2671q^-17 + 7942q^-16 + 10268q^-15 + 6591q^-14 + 341q^-13 - 6048q^-12 - 7111q^-11 - 3997q^-10 + 1692q^-9 + 4080q^-8 + 3948q^-7 + 2022q^-6 - 1280q^-5 - 2814q^-4 - 2463q^-3 - 286q^-2 + 843q^-1 + 1406 + 1296q + 129q² - 671q³ - 904q⁴ - 281q⁵ - 36q⁶ + 248q⁷ + 468q⁸ + 166q⁹ - 82q¹⁰ - 220q¹¹ - 52q¹² - 69q¹³ - 15q¹⁴ + 119q¹⁵ + 51q¹⁶ - 4q¹⁷ - 46q¹⁸ + 13q¹⁹ - 19q²⁰ - 24q²¹ + 28q²² + 9q²³ + q²⁴ - 13q²⁵ + 9q²⁶ - q²⁷ - 10q²⁸ + 7q²⁹ + q³⁰ + q³¹ - 3q³² + q³³ + q³⁴ - 2q³⁵ + q³⁶
7	- q^-203 + 3q^-202 - 5q^-200 + 7q^-197 - 5q^-195 + 12q^-194 - 2q^-193 - 20q^-192 - 12q^-191 - 9q^-190 + 29q^-189 + 29q^-188 - 3q^-187 + 42q^-186 - 4q^-185 - 62q^-184 - 75q^-183 - 100q^-182 + 37q^-181 + 115q^-180 + 94q^-179 + 198q^-178 + 92q^-177 - 99q^-176 - 237q^-175 - 484q^-174 - 258q^-173 + 71q^-172 + 279q^-171 + 757q^-170 + 717q^-169 + 368q^-168 - 177q^-167 - 1226q^-166 - 1465q^-165 - 1079q^-164 - 374q^-163 + 1311q^-162 + 2323q^-161 + 2551q^-160 + 1866q^-159 - 820q^-158 - 3090q^-157 - 4446q^-156 - 4371q^-155 - 1113q^-154 + 2770q^-153 + 6327q^-152 + 8191q^-151 + 5046q^-150 - 564q^-149 - 7209q^-148 - 12491q^-147 - 11038q^-146 - 4743q^-145 + 5406q^-144 + 16002q^-143 + 18824q^-142 + 13644q^-141 + 373q^-140 - 16839q^-139 - 26572q^-138 - 25676q^-137 - 11470q^-136 + 12759q^-135 + 32200q^-134 + 39557q^-133 + 27660q^-132 - 2300q^-131 - 33026q^-130 - 52635q^-129 - 47756q^-128 - 15169q^-127 + 26964q^-126 + 62059q^-125 + 69413q^-124 + 38731q^-123 - 12985q^-122 - 65447q^-121 - 89559q^-120 - 66080q^-119 - 8534q^-118 + 61050q^-117 + 105401q^-116 + 94658q^-115 + 35809q^-114 - 49018q^-113 - 115123q^-112 - 121194q^-111 - 66111q^-110 + 30299q^-109 + 117833q^-108 + 143639q^-107 + 96865q^-106 - 7281q^-105 - 114329q^-104 - 160638q^-103 - 125246q^-102 - 17597q^-101 + 105726q^-100 + 172010q^-99 + 149911q^-98 + 42096q^-97 - 94293q^-96 - 178470q^-95 - 169860q^-94 - 64344q^-93 + 81626q^-92 + 181081q^-91 + 185321q^-90 + 83491q^-89 - 69252q^-88 - 181260q^-87 - 196848q^-86 - 99274q^-85 + 58062q^-84 + 180019q^-83 + 205276q^-82 + 112108q^-81 - 48156q^-80 - 178042q^-79 - 211642q^-78 - 122795q^-77 + 39315q^-76 + 175603q^-75 + 216507q^-74 + 132140q^-73 - 30665q^-72 - 172291q^-71 - 220251q^-70 - 141101q^-69 + 21258q^-68 + 167515q^-67 + 222740q^-66 + 150009q^-65 - 10179q^-64 - 160099q^-63 - 223169q^-62 - 159021q^-61 - 3390q^-60 + 149010q^-59 + 220610q^-58 + 167410q^-57 + 19431q^-56 - 133252q^-55 - 213557q^-54 - 173938q^-53 - 37527q^-52 + 112483q^-51 + 200831q^-50 + 176989q^-49 + 56185q^-48 - 87249q^-47 - 181702q^-46 - 174769q^-45 - 73228q^-44 + 58993q^-43 + 156317q^-42 + 165930q^-41 + 86429q^-40 - 30131q^-39 - 126202q^-38 - 150173q^-37 - 93581q^-36 + 3851q^-35 + 93677q^-34 + 128109q^-33 + 93437q^-32 + 17521q^-31 - 61840q^-30 - 102321q^-29 - 86279q^-28 - 31469q^-27 + 34149q^-26 + 74995q^-25 + 73166q^-24 + 38102q^-23 - 12323q^-22 - 49960q^-21 - 57242q^-20 - 37526q^-19 - 1848q^-18 + 28983q^-17 + 40381q^-16 + 32412q^-15 + 9592q^-14 - 13868q^-13 - 25884q^-12 - 24697q^-11 - 11540q^-10 + 4244q^-9 + 14375q^-8 + 16861q^-7 + 10484q^-6 + 623q^-5 - 6877q^-4 - 10214q^-3 - 7721q^-2 - 2370q^-1 + 2388 + 5548q + 5012q² + 2316q³ - 380q⁴ - 2573q⁵ - 2768q⁶ - 1739q⁷ - 402q⁸ + 1109q⁹ + 1430q¹⁰ + 954q¹¹ + 414q¹² - 327q¹³ - 567q¹⁴ - 540q¹⁵ - 377q¹⁶ + 144q¹⁷ + 277q¹⁸ + 191q¹⁹ + 152q²⁰ - 9q²¹ - 36q²² - 96q²³ - 143q²⁴ + 23q²⁵ + 58q²⁶ + 17q²⁷ + 23q²⁸ - 8q²⁹ + 20q³⁰ - 4q³¹ - 47q³² + 8q³³ + 15q³⁴ + 2q³⁵ + 2q³⁶ - 9q³⁷ + 8q³⁸ + 4q³⁹ - 12q⁴⁰ + 2q⁴¹ + 3q⁴² + q⁴³ + q⁴⁴ - 3q⁴⁵ + q⁴⁶ + q⁴⁷ - 2q⁴⁸ + q⁴⁹

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 25]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[5, 12, 6, 13], X[9, 17, 10, 16], > X[13, 18, 14, 1], X[17, 14, 18, 15], X[15, 11, 16, 10], X[11, 6, 12, 7], > X[7, 2, 8, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 25]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 7, -8, 3, -5, 6, -7, 4, -6, 5]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 25]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 12, 2, 16, 6, 18, 10, 14]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 25]]
Out[5]=	BR[5, {-1, -1, 2, -1, -3, -2, -2, 4, -3, 4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 25]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 25]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 25]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 3, {4, 7}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 25]][t]
Out[10]=	3 12 2 -17 - -- + -- + 12 t - 3 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 25]][z]
Out[11]=	4 1 - 3 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 25], Knot[11, NonAlternating, 134]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 25]], KnotSignature[Knot[9, 25]]}
Out[13]=	{47, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 25]][q]
Out[14]=	-8 3 5 7 8 8 7 5 -2 - q + -- - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 25], Knot[11, NonAlternating, 25]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 25]][q]
Out[16]=	-26 -24 2 -18 2 2 2 -6 -4 3 4 -q - q + --- + q + --- - --- - --- + q - q + -- + q 22 16 14 10 2 q q q q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 25]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 8 2 4 2 6 2 2 4 4 4 1 + a - 3 a + 3 a - a + z - 4 a z + 3 a z - a z - 2 a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 25]][a, z]
Out[18]=	2 4 6 8 3 5 7 9 2 2 2 1 - a - 3 a - 3 a - a - a z - a z + a z + a z - 2 z + 2 a z + 4 2 6 2 8 2 3 3 3 5 3 7 3 > 13 a z + 13 a z + 4 a z - 2 a z + 3 a z + 5 a z - 2 a z - 9 3 4 2 4 4 4 6 4 8 4 5 3 5 > 2 a z + z - 3 a z - 15 a z - 18 a z - 7 a z + 2 a z - 3 a z - 5 5 7 5 9 5 2 6 4 6 6 6 8 6 > 10 a z - 4 a z + a z + 3 a z + 6 a z + 6 a z + 3 a z + 3 7 5 7 7 7 4 8 6 8 > 3 a z + 6 a z + 3 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 25]], Vassiliev[3][Knot[9, 25]]}
Out[19]=	{0, -1}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 25]][q, t]
Out[20]=	2 4 1 2 1 3 2 4 3 4 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + 3 q 17 7 15 6 13 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 q q t q t q t q t q t q t q t q t 4 4 4 3 4 t 3 2 > ----- + ----- + ----- + ---- + ---- + - + q t + q t 7 3 7 2 5 2 5 3 q q t q t q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 25], 2][q]
Out[21]=	-23 3 10 12 7 30 20 25 52 19 45 65 -11 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - 22 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 q q q q q q q q q q q 12 56 62 3 50 43 4 31 19 4 2 3 4 > --- - -- + -- - -- - -- + -- + -- - -- + -- + - + 5 q + q - 2 q + q 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q

The Alternating Knot 925

The Alternating Knot 9₂₅