The Alternating Knot 9₂₄

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X₃₈₄₉ X_5,14,6,15 X_9,17,10,16 X_11,1,12,18 X_17,11,18,10 X_15,13,16,12 X_13,6,14,7 X₇₂₈₃

Gauss Code: {-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 6, -5, 7, -8, 3, -7, 4, -6, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 14 2 16 18 6 12 10

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 3 3 / 4--6 1

Alexander Polynomial: - t^-3 + 5t^-2 - 10t^-1 + 13 - 10t + 5t² - t³

Conway Polynomial: 1 + z² - z⁴ - z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {8₁₈, K11n85, K11n164, ...}

Determinant and Signature: {45, 0}

Jones Polynomial: - q^-5 + 2q^-4 - 4q^-3 + 7q^-2 - 7q^-1 + 8 - 7q + 5q² - 3q³ + q⁴

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-16 - q^-14 - q^-10 + 3q^-8 + 2q^-6 + q^-4 + 2q^-2 - 2 + q² - 2q⁴ + q⁸ - q¹⁰ + q¹²

HOMFLY-PT Polynomial: a^-2 + 2a^-2z² + a^-2z⁴ - 3 - 6z² - 4z⁴ - z⁶ + 5a² + 6a²z² + 2a²z⁴ - 2a⁴ - a⁴z²

Kauffman Polynomial: - a^-4z² + a^-4z⁴ + a^-3z - 4a^-3z³ + 3a^-3z⁵ - a^-2 + 2a^-2z² - 5a^-2z⁴ + 4a^-2z⁶ + 2a^-1z - 3a^-1z³ - a^-1z⁵ + 3a^-1z⁷ - 3 + 9z² - 11z⁴ + 5z⁶ + z⁸ + 2az + az³ - 7az⁵ + 5az⁷ - 5a² + 10a²z² - 10a²z⁴ + 3a²z⁶ + a²z⁸ + 3a³z - 3a³z³ - 2a³z⁵ + 2a³z⁷ - 2a⁴ + 4a⁴z² - 5a⁴z⁴ + 2a⁴z⁶ + 2a⁵z - 3a⁵z³ + a⁵z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {1, -2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 9₂₄. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 9 1

j = 7 2

j = 5 3 1

j = 3 4 2

j = 1 4 3

j = -1 4 5

j = -3 3 3

j = -5 1 4

j = -7 1 3

j = -9 1

j = -11 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-15 - 2q^-14 + 6q^-12 - 9q^-11 - 3q^-10 + 21q^-9 - 19q^-8 - 14q^-7 + 44q^-6 - 25q^-5 - 31q^-4 + 61q^-3 - 23q^-2 - 43q^-1 + 64 - 16q - 43q² + 49q³ - 6q⁴ - 31q⁵ + 26q⁶ + q⁷ - 14q⁸ + 8q⁹ + q¹⁰ - 3q¹¹ + q¹²

3 - q^-30 + 2q^-29 - 2q^-27 - 3q^-26 + 8q^-25 + 4q^-24 - 12q^-23 - 13q^-22 + 22q^-21 + 24q^-20 - 28q^-19 - 48q^-18 + 35q^-17 + 75q^-16 - 32q^-15 - 108q^-14 + 17q^-13 + 149q^-12 - 4q^-11 - 173q^-10 - 31q^-9 + 207q^-8 + 52q^-7 - 216q^-6 - 89q^-5 + 235q^-4 + 104q^-3 - 225q^-2 - 130q^-1 + 221 + 137q - 196q² - 145q³ + 168q⁴ + 141q⁵ - 132q⁶ - 128q⁷ + 92q⁸ + 112q⁹ - 60q¹⁰ - 87q¹¹ + 32q¹² + 62q¹³ - 14q¹⁴ - 39q¹⁵ + 4q¹⁶ + 23q¹⁷ - 2q¹⁸ - 11q¹⁹ + q²⁰ + 4q²¹ + q²² - 3q²³ + q²⁴

4 q^-50 - 2q^-49 + 2q^-47 - q^-46 + 4q^-45 - 10q^-44 + 12q^-42 - q^-41 + 12q^-40 - 36q^-39 - 11q^-38 + 36q^-37 + 17q^-36 + 45q^-35 - 94q^-34 - 66q^-33 + 50q^-32 + 71q^-31 + 160q^-30 - 154q^-29 - 194q^-28 - 21q^-27 + 117q^-26 + 400q^-25 - 120q^-24 - 342q^-23 - 232q^-22 + 50q^-21 + 706q^-20 + 62q^-19 - 403q^-18 - 519q^-17 - 166q^-16 + 948q^-15 + 330q^-14 - 329q^-13 - 773q^-12 - 451q^-11 + 1068q^-10 + 574q^-9 - 182q^-8 - 928q^-7 - 696q^-6 + 1069q^-5 + 732q^-4 - 17q^-3 - 967q^-2 - 858q^-1 + 961 + 786q + 148q² - 875q³ - 920q⁴ + 731q⁵ + 719q⁶ + 299q⁷ - 649q⁸ - 855q⁹ + 425q¹⁰ + 523q¹¹ + 376q¹² - 345q¹³ - 652q¹⁴ + 154q¹⁵ + 264q¹⁶ + 328q¹⁷ - 97q¹⁸ - 380q¹⁹ + 20q²⁰ + 64q²¹ + 191q²² + 13q²³ - 159q²⁴ - q²⁵ - 12q²⁶ + 73q²⁷ + 19q²⁸ - 51q²⁹ + 7q³⁰ - 12q³¹ + 19q³² + 6q³³ - 14q³⁴ + 4q³⁵ - 3q³⁶ + 4q³⁷ + q³⁸ - 3q³⁹ + q⁴⁰

5 - q^-75 + 2q^-74 - 2q^-72 + q^-71 - 2q^-69 + 6q^-68 + q^-67 - 11q^-66 - 2q^-65 + 5q^-64 + 4q^-63 + 18q^-62 + 4q^-61 - 33q^-60 - 31q^-59 + q^-58 + 34q^-57 + 70q^-56 + 39q^-55 - 69q^-54 - 126q^-53 - 85q^-52 + 54q^-51 + 209q^-50 + 208q^-49 - 24q^-48 - 287q^-47 - 368q^-46 - 123q^-45 + 342q^-44 + 601q^-43 + 342q^-42 - 290q^-41 - 823q^-40 - 714q^-39 + 102q^-38 + 1018q^-37 + 1159q^-36 + 249q^-35 - 1071q^-34 - 1639q^-33 - 795q^-32 + 960q^-31 + 2125q^-30 + 1424q^-29 - 683q^-28 - 2427q^-27 - 2169q^-26 + 194q^-25 + 2698q^-24 + 2853q^-23 + 332q^-22 - 2696q^-21 - 3503q^-20 - 1010q^-19 + 2714q^-18 + 4008q^-17 + 1565q^-16 - 2494q^-15 - 4438q^-14 - 2168q^-13 + 2366q^-12 + 4709q^-11 + 2595q^-10 - 2065q^-9 - 4920q^-8 - 3041q^-7 + 1886q^-6 + 4988q^-5 + 3323q^-4 - 1545q^-3 - 4996q^-2 - 3622q^-1 + 1275 + 4865q + 3781q² - 860q³ - 4619q⁴ - 3921q⁵ + 454q⁶ + 4223q⁷ + 3915q⁸ + 18q⁹ - 3678q¹⁰ - 3792q¹¹ - 483q¹² + 3018q¹³ + 3522q¹⁴ + 863q¹⁵ - 2271q¹⁶ - 3086q¹⁷ - 1151q¹⁸ + 1527q¹⁹ + 2551q²⁰ + 1265q²¹ - 870q²² - 1931q²³ - 1232q²⁴ + 354q²⁵ + 1340q²⁶ + 1053q²⁷ - 7q²⁸ - 831q²⁹ - 809q³⁰ - 158q³¹ + 449q³² + 538q³³ + 208q³⁴ - 196q³⁵ - 333q³⁶ - 168q³⁷ + 69q³⁸ + 172q³⁹ + 107q⁴⁰ - 7q⁴¹ - 79q⁴² - 66q⁴³ - q⁴⁴ + 39q⁴⁵ + 24q⁴⁶ - 2q⁴⁷ - 6q⁴⁸ - 14q⁴⁹ - 5q⁵⁰ + 14q⁵¹ + 2q⁵² - 6q⁵³ + q⁵⁴ - 3q⁵⁶ + 4q⁵⁷ + q⁵⁸ - 3q⁵⁹ + q⁶⁰

6 q^-105 - 2q^-104 + 2q^-102 - q^-101 - 2q^-99 + 6q^-98 - 7q^-97 - 2q^-96 + 13q^-95 - 2q^-94 - 4q^-93 - 15q^-92 + 14q^-91 - 15q^-90 - 4q^-89 + 48q^-88 + 11q^-87 - 11q^-86 - 62q^-85 + 5q^-84 - 54q^-83 - 10q^-82 + 145q^-81 + 98q^-80 + 34q^-79 - 154q^-78 - 78q^-77 - 238q^-76 - 124q^-75 + 295q^-74 + 378q^-73 + 337q^-72 - 111q^-71 - 188q^-70 - 757q^-69 - 683q^-68 + 157q^-67 + 750q^-66 + 1151q^-65 + 595q^-64 + 255q^-63 - 1390q^-62 - 1998q^-61 - 1054q^-60 + 348q^-59 + 2036q^-58 + 2309q^-57 + 2304q^-56 - 896q^-55 - 3349q^-54 - 3676q^-53 - 2113q^-52 + 1342q^-51 + 4001q^-50 + 6189q^-49 + 2197q^-48 - 2739q^-47 - 6341q^-46 - 6675q^-45 - 2472q^-44 + 3436q^-43 + 10190q^-42 + 7705q^-41 + 1289q^-40 - 6693q^-39 - 11356q^-38 - 8900q^-37 - 611q^-36 + 11899q^-35 + 13444q^-34 + 7912q^-33 - 3759q^-32 - 13882q^-31 - 15602q^-30 - 6988q^-29 + 10578q^-28 + 17254q^-27 + 14726q^-26 + 1184q^-25 - 13752q^-24 - 20537q^-23 - 13340q^-22 + 7474q^-21 + 18710q^-20 + 19884q^-19 + 6069q^-18 - 12085q^-17 - 23290q^-16 - 18113q^-15 + 4229q^-14 + 18658q^-13 + 23057q^-12 + 9789q^-11 - 10067q^-10 - 24457q^-9 - 21188q^-8 + 1461q^-7 + 17851q^-6 + 24741q^-5 + 12518q^-4 - 7896q^-3 - 24468q^-2 - 23090q^-1 - 1272 + 16161q + 25188q² + 14828q³ - 4949q⁴ - 22954q⁵ - 23940q⁶ - 4544q⁷ + 12843q⁸ + 23858q⁹ + 16666q¹⁰ - 756q¹¹ - 19097q¹² - 22977q¹³ - 8007q¹⁴ + 7571q¹⁵ + 19867q¹⁶ + 16960q¹⁷ + 3969q¹⁸ - 12791q¹⁹ - 19221q²⁰ - 10137q²¹ + 1504q²² + 13314q²³ + 14508q²⁴ + 7256q²⁵ - 5661q²⁶ - 12930q²⁷ - 9446q²⁸ - 2964q²⁹ + 6158q³⁰ + 9593q³¹ + 7486q³² - 381q³³ - 6260q³⁴ - 6238q³⁵ - 4217q³⁶ + 1092q³⁷ + 4384q³⁸ + 5148q³⁹ + 1621q⁴⁰ - 1728q⁴¹ - 2645q⁴² - 2971q⁴³ - 834q⁴⁴ + 1063q⁴⁵ + 2386q⁴⁶ + 1292q⁴⁷ + 26q⁴⁸ - 510q⁴⁹ - 1276q⁵⁰ - 761q⁵¹ - 88q⁵² + 747q⁵³ + 480q⁵⁴ + 196q⁵⁵ + 118q⁵⁶ - 343q⁵⁷ - 293q⁵⁸ - 163q⁵⁹ + 181q⁶⁰ + 83q⁶¹ + 45q⁶² + 110q⁶³ - 60q⁶⁴ - 65q⁶⁵ - 59q⁶⁶ + 54q⁶⁷ - 2q⁶⁸ - 9q⁶⁹ + 36q⁷⁰ - 11q⁷¹ - 8q⁷² - 15q⁷³ + 21q⁷⁴ - 3q⁷⁵ - 10q⁷⁶ + 9q⁷⁷ - 3q⁷⁸ - 3q⁸⁰ + 4q⁸¹ + q⁸² - 3q⁸³ + q⁸⁴

7 - q^-140 + 2q^-139 - 2q^-137 + q^-136 + 2q^-134 - 2q^-133 - 5q^-132 + 8q^-131 - 9q^-129 + 2q^-128 + 2q^-127 + 14q^-126 + q^-125 - 21q^-124 + 13q^-123 - 5q^-122 - 27q^-121 - q^-120 + 4q^-119 + 60q^-118 + 38q^-117 - 38q^-116 + 3q^-115 - 48q^-114 - 97q^-113 - 40q^-112 - 16q^-111 + 172q^-110 + 208q^-109 + 50q^-108 + 44q^-107 - 172q^-106 - 346q^-105 - 296q^-104 - 237q^-103 + 267q^-102 + 625q^-101 + 559q^-100 + 543q^-99 - 83q^-98 - 782q^-97 - 1099q^-96 - 1288q^-95 - 342q^-94 + 851q^-93 + 1615q^-92 + 2297q^-91 + 1431q^-90 - 293q^-89 - 1983q^-88 - 3682q^-87 - 3181q^-86 - 1117q^-85 + 1542q^-84 + 4915q^-83 + 5689q^-82 + 3845q^-81 + 153q^-80 - 5364q^-79 - 8324q^-78 - 7862q^-77 - 3942q^-76 + 4065q^-75 + 10460q^-74 + 12797q^-73 + 9806q^-72 - 194q^-71 - 10597q^-70 - 17580q^-69 - 17714q^-68 - 6956q^-67 + 7799q^-66 + 21009q^-65 + 26466q^-64 + 17056q^-63 - 1049q^-62 - 21292q^-61 - 34702q^-60 - 29576q^-59 - 9884q^-58 + 17656q^-57 + 40895q^-56 + 42753q^-55 + 24128q^-54 - 9314q^-53 - 43277q^-52 - 55196q^-51 - 40863q^-50 - 3220q^-49 + 41743q^-48 + 65265q^-47 + 57750q^-46 + 18850q^-45 - 35554q^-44 - 71793q^-43 - 74054q^-42 - 36303q^-41 + 26325q^-40 + 74888q^-39 + 87585q^-38 + 53509q^-37 - 14326q^-36 - 74307q^-35 - 98629q^-34 - 69811q^-33 + 1936q^-32 + 71494q^-31 + 106145q^-30 + 83603q^-29 + 10615q^-28 - 66761q^-27 - 111441q^-26 - 95151q^-25 - 21528q^-24 + 61680q^-23 + 114155q^-22 + 103934q^-21 + 31289q^-20 - 56394q^-19 - 115841q^-18 - 110840q^-17 - 38925q^-16 + 51725q^-15 + 116152q^-14 + 115863q^-13 + 45652q^-12 - 47264q^-11 - 116286q^-10 - 119959q^-9 - 51048q^-8 + 43195q^-7 + 115435q^-6 + 123025q^-5 + 56492q^-4 - 38579q^-3 - 114184q^-2 - 125691q^-1 - 61653 + 33314q + 111375q² + 127324q³ + 67443q⁴ - 26389q⁵ - 106970q⁶ - 127958q⁷ - 73296q⁸ + 17883q⁹ + 99926q¹⁰ + 126507q¹¹ + 79102q¹² - 7438q¹³ - 89954q¹⁴ - 122499q¹⁵ - 83961q¹⁶ - 4269q¹⁷ + 76927q¹⁸ + 115077q¹⁹ + 86756q²⁰ + 16431q²¹ - 61115q²² - 103909q²³ - 86691q²⁴ - 27768q²⁵ + 43774q²⁶ + 89294q²⁷ + 82781q²⁸ + 36687q²⁹ - 26135q³⁰ - 71983q³¹ - 75024q³² - 42189q³³ + 10102q³⁴ + 53648q³⁵ + 63855q³⁶ + 43450q³⁷ + 2765q³⁸ - 35873q³⁹ - 50508q⁴⁰ - 40702q⁴¹ - 11524q⁴² + 20480q⁴³ + 36681q⁴⁴ + 34749q⁴⁵ + 15902q⁴⁶ - 8676q⁴⁷ - 23947q⁴⁸ - 26995q⁴⁹ - 16442q⁵⁰ + 831q⁵¹ + 13506q⁵² + 19031q⁵³ + 14408q⁵⁴ + 3303q⁵⁵ - 6169q⁵⁶ - 11983q⁵⁷ - 10927q⁵⁸ - 4636q⁵⁹ + 1553q⁶⁰ + 6604q⁶¹ + 7457q⁶² + 4273q⁶³ + 618q⁶⁴ - 3118q⁶⁵ - 4428q⁶⁶ - 3110q⁶⁷ - 1362q⁶⁸ + 1079q⁶⁹ + 2345q⁷⁰ + 1989q⁷¹ + 1281q⁷² - 203q⁷³ - 1120q⁷⁴ - 1031q⁷⁵ - 875q⁷⁶ - 137q⁷⁷ + 407q⁷⁸ + 477q⁷⁹ + 590q⁸⁰ + 155q⁸¹ - 188q⁸² - 181q⁸³ - 259q⁸⁴ - 91q⁸⁵ + 16q⁸⁶ + 24q⁸⁷ + 168q⁸⁸ + 72q⁸⁹ - 40q⁹⁰ - 14q⁹¹ - 48q⁹² - 2q⁹⁴ - 32q⁹⁵ + 37q⁹⁶ + 19q⁹⁷ - 12q⁹⁸ - 2q⁹⁹ - 9q¹⁰⁰ + 11q¹⁰¹ + 4q¹⁰² - 15q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 5q¹⁰⁵ - 3q¹⁰⁶ - 3q¹⁰⁸ + 4q¹⁰⁹ + q¹¹⁰ - 3q¹¹¹ + q¹¹²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 24]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[5, 14, 6, 15], X[9, 17, 10, 16], > X[11, 1, 12, 18], X[17, 11, 18, 10], X[15, 13, 16, 12], X[13, 6, 14, 7], > X[7, 2, 8, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 24]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 6, -5, 7, -8, 3, -7, 4, -6, 5]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 24]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 14, 2, 16, 18, 6, 12, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 24]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, 2, -1, -3, 2, 2, 2, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 24]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 24]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 24]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 3, 3, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 24]][t]

Out[10]=
-3 5 10 2 3 13 - t + -- - -- - 10 t + 5 t - t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 24]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + z - z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 18], Knot[9, 24], Knot[11, NonAlternating, 85], > Knot[11, NonAlternating, 164]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 24]], KnotSignature[Knot[9, 24]]}

Out[13]=
{45, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 24]][q]

Out[14]=
-5 2 4 7 7 2 3 4 8 - q + -- - -- + -- - - - 7 q + 5 q - 3 q + q 4 3 2 q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 24]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 24]][q]

Out[16]=
-16 -14 -10 3 2 -4 2 2 4 8 10 12 -2 - q - q - q + -- + -- + q + -- + q - 2 q + q - q + q 8 6 2 q q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 24]][a, z]

Out[17]=
2 4 -2 2 4 2 2 z 2 2 4 2 4 z 2 4 -3 + a + 5 a - 2 a - 6 z + ---- + 6 a z - a z - 4 z + -- + 2 a z - 2 2 a a 6 > z

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 24]][a, z]

Out[18]=
2 -2 2 4 z 2 z 3 5 2 z -3 - a - 5 a - 2 a + -- + --- + 2 a z + 3 a z + 2 a z + 9 z - -- + 3 a 4 a a 2 3 3 2 z 2 2 4 2 4 z 3 z 3 3 3 5 3 > ---- + 10 a z + 4 a z - ---- - ---- + a z - 3 a z - 3 a z - 2 3 a a a 4 4 5 5 4 z 5 z 2 4 4 4 3 z z 5 3 5 > 11 z + -- - ---- - 10 a z - 5 a z + ---- - -- - 7 a z - 2 a z + 4 2 3 a a a a 6 7 5 5 6 4 z 2 6 4 6 3 z 7 3 7 8 > a z + 5 z + ---- + 3 a z + 2 a z + ---- + 5 a z + 2 a z + z + 2 a a 2 8 > a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 24]], Vassiliev[3][Knot[9, 24]]}

Out[19]=
{1, -2}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 24]][q, t]

Out[20]=
5 1 1 1 3 1 4 3 3 4 - + 4 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > 3 q t + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 24], 2][q]

Out[21]=
-15 2 6 9 3 21 19 14 44 25 31 61 23 64 + q - --- + --- - --- - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 43 2 3 4 5 6 7 8 9 > -- - 16 q - 43 q + 49 q - 6 q - 31 q + 26 q + q - 14 q + 8 q + q 10 11 12 > q - 3 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₂₄

9₂₃
9₂₅

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-15 - 2q^-14 + 6q^-12 - 9q^-11 - 3q^-10 + 21q^-9 - 19q^-8 - 14q^-7 + 44q^-6 - 25q^-5 - 31q^-4 + 61q^-3 - 23q^-2 - 43q^-1 + 64 - 16q - 43q² + 49q³ - 6q⁴ - 31q⁵ + 26q⁶ + q⁷ - 14q⁸ + 8q⁹ + q¹⁰ - 3q¹¹ + q¹²
3	- q^-30 + 2q^-29 - 2q^-27 - 3q^-26 + 8q^-25 + 4q^-24 - 12q^-23 - 13q^-22 + 22q^-21 + 24q^-20 - 28q^-19 - 48q^-18 + 35q^-17 + 75q^-16 - 32q^-15 - 108q^-14 + 17q^-13 + 149q^-12 - 4q^-11 - 173q^-10 - 31q^-9 + 207q^-8 + 52q^-7 - 216q^-6 - 89q^-5 + 235q^-4 + 104q^-3 - 225q^-2 - 130q^-1 + 221 + 137q - 196q² - 145q³ + 168q⁴ + 141q⁵ - 132q⁶ - 128q⁷ + 92q⁸ + 112q⁹ - 60q¹⁰ - 87q¹¹ + 32q¹² + 62q¹³ - 14q¹⁴ - 39q¹⁵ + 4q¹⁶ + 23q¹⁷ - 2q¹⁸ - 11q¹⁹ + q²⁰ + 4q²¹ + q²² - 3q²³ + q²⁴
4	q^-50 - 2q^-49 + 2q^-47 - q^-46 + 4q^-45 - 10q^-44 + 12q^-42 - q^-41 + 12q^-40 - 36q^-39 - 11q^-38 + 36q^-37 + 17q^-36 + 45q^-35 - 94q^-34 - 66q^-33 + 50q^-32 + 71q^-31 + 160q^-30 - 154q^-29 - 194q^-28 - 21q^-27 + 117q^-26 + 400q^-25 - 120q^-24 - 342q^-23 - 232q^-22 + 50q^-21 + 706q^-20 + 62q^-19 - 403q^-18 - 519q^-17 - 166q^-16 + 948q^-15 + 330q^-14 - 329q^-13 - 773q^-12 - 451q^-11 + 1068q^-10 + 574q^-9 - 182q^-8 - 928q^-7 - 696q^-6 + 1069q^-5 + 732q^-4 - 17q^-3 - 967q^-2 - 858q^-1 + 961 + 786q + 148q² - 875q³ - 920q⁴ + 731q⁵ + 719q⁶ + 299q⁷ - 649q⁸ - 855q⁹ + 425q¹⁰ + 523q¹¹ + 376q¹² - 345q¹³ - 652q¹⁴ + 154q¹⁵ + 264q¹⁶ + 328q¹⁷ - 97q¹⁸ - 380q¹⁹ + 20q²⁰ + 64q²¹ + 191q²² + 13q²³ - 159q²⁴ - q²⁵ - 12q²⁶ + 73q²⁷ + 19q²⁸ - 51q²⁹ + 7q³⁰ - 12q³¹ + 19q³² + 6q³³ - 14q³⁴ + 4q³⁵ - 3q³⁶ + 4q³⁷ + q³⁸ - 3q³⁹ + q⁴⁰
5	- q^-75 + 2q^-74 - 2q^-72 + q^-71 - 2q^-69 + 6q^-68 + q^-67 - 11q^-66 - 2q^-65 + 5q^-64 + 4q^-63 + 18q^-62 + 4q^-61 - 33q^-60 - 31q^-59 + q^-58 + 34q^-57 + 70q^-56 + 39q^-55 - 69q^-54 - 126q^-53 - 85q^-52 + 54q^-51 + 209q^-50 + 208q^-49 - 24q^-48 - 287q^-47 - 368q^-46 - 123q^-45 + 342q^-44 + 601q^-43 + 342q^-42 - 290q^-41 - 823q^-40 - 714q^-39 + 102q^-38 + 1018q^-37 + 1159q^-36 + 249q^-35 - 1071q^-34 - 1639q^-33 - 795q^-32 + 960q^-31 + 2125q^-30 + 1424q^-29 - 683q^-28 - 2427q^-27 - 2169q^-26 + 194q^-25 + 2698q^-24 + 2853q^-23 + 332q^-22 - 2696q^-21 - 3503q^-20 - 1010q^-19 + 2714q^-18 + 4008q^-17 + 1565q^-16 - 2494q^-15 - 4438q^-14 - 2168q^-13 + 2366q^-12 + 4709q^-11 + 2595q^-10 - 2065q^-9 - 4920q^-8 - 3041q^-7 + 1886q^-6 + 4988q^-5 + 3323q^-4 - 1545q^-3 - 4996q^-2 - 3622q^-1 + 1275 + 4865q + 3781q² - 860q³ - 4619q⁴ - 3921q⁵ + 454q⁶ + 4223q⁷ + 3915q⁸ + 18q⁹ - 3678q¹⁰ - 3792q¹¹ - 483q¹² + 3018q¹³ + 3522q¹⁴ + 863q¹⁵ - 2271q¹⁶ - 3086q¹⁷ - 1151q¹⁸ + 1527q¹⁹ + 2551q²⁰ + 1265q²¹ - 870q²² - 1931q²³ - 1232q²⁴ + 354q²⁵ + 1340q²⁶ + 1053q²⁷ - 7q²⁸ - 831q²⁹ - 809q³⁰ - 158q³¹ + 449q³² + 538q³³ + 208q³⁴ - 196q³⁵ - 333q³⁶ - 168q³⁷ + 69q³⁸ + 172q³⁹ + 107q⁴⁰ - 7q⁴¹ - 79q⁴² - 66q⁴³ - q⁴⁴ + 39q⁴⁵ + 24q⁴⁶ - 2q⁴⁷ - 6q⁴⁸ - 14q⁴⁹ - 5q⁵⁰ + 14q⁵¹ + 2q⁵² - 6q⁵³ + q⁵⁴ - 3q⁵⁶ + 4q⁵⁷ + q⁵⁸ - 3q⁵⁹ + q⁶⁰
6	q^-105 - 2q^-104 + 2q^-102 - q^-101 - 2q^-99 + 6q^-98 - 7q^-97 - 2q^-96 + 13q^-95 - 2q^-94 - 4q^-93 - 15q^-92 + 14q^-91 - 15q^-90 - 4q^-89 + 48q^-88 + 11q^-87 - 11q^-86 - 62q^-85 + 5q^-84 - 54q^-83 - 10q^-82 + 145q^-81 + 98q^-80 + 34q^-79 - 154q^-78 - 78q^-77 - 238q^-76 - 124q^-75 + 295q^-74 + 378q^-73 + 337q^-72 - 111q^-71 - 188q^-70 - 757q^-69 - 683q^-68 + 157q^-67 + 750q^-66 + 1151q^-65 + 595q^-64 + 255q^-63 - 1390q^-62 - 1998q^-61 - 1054q^-60 + 348q^-59 + 2036q^-58 + 2309q^-57 + 2304q^-56 - 896q^-55 - 3349q^-54 - 3676q^-53 - 2113q^-52 + 1342q^-51 + 4001q^-50 + 6189q^-49 + 2197q^-48 - 2739q^-47 - 6341q^-46 - 6675q^-45 - 2472q^-44 + 3436q^-43 + 10190q^-42 + 7705q^-41 + 1289q^-40 - 6693q^-39 - 11356q^-38 - 8900q^-37 - 611q^-36 + 11899q^-35 + 13444q^-34 + 7912q^-33 - 3759q^-32 - 13882q^-31 - 15602q^-30 - 6988q^-29 + 10578q^-28 + 17254q^-27 + 14726q^-26 + 1184q^-25 - 13752q^-24 - 20537q^-23 - 13340q^-22 + 7474q^-21 + 18710q^-20 + 19884q^-19 + 6069q^-18 - 12085q^-17 - 23290q^-16 - 18113q^-15 + 4229q^-14 + 18658q^-13 + 23057q^-12 + 9789q^-11 - 10067q^-10 - 24457q^-9 - 21188q^-8 + 1461q^-7 + 17851q^-6 + 24741q^-5 + 12518q^-4 - 7896q^-3 - 24468q^-2 - 23090q^-1 - 1272 + 16161q + 25188q² + 14828q³ - 4949q⁴ - 22954q⁵ - 23940q⁶ - 4544q⁷ + 12843q⁸ + 23858q⁹ + 16666q¹⁰ - 756q¹¹ - 19097q¹² - 22977q¹³ - 8007q¹⁴ + 7571q¹⁵ + 19867q¹⁶ + 16960q¹⁷ + 3969q¹⁸ - 12791q¹⁹ - 19221q²⁰ - 10137q²¹ + 1504q²² + 13314q²³ + 14508q²⁴ + 7256q²⁵ - 5661q²⁶ - 12930q²⁷ - 9446q²⁸ - 2964q²⁹ + 6158q³⁰ + 9593q³¹ + 7486q³² - 381q³³ - 6260q³⁴ - 6238q³⁵ - 4217q³⁶ + 1092q³⁷ + 4384q³⁸ + 5148q³⁹ + 1621q⁴⁰ - 1728q⁴¹ - 2645q⁴² - 2971q⁴³ - 834q⁴⁴ + 1063q⁴⁵ + 2386q⁴⁶ + 1292q⁴⁷ + 26q⁴⁸ - 510q⁴⁹ - 1276q⁵⁰ - 761q⁵¹ - 88q⁵² + 747q⁵³ + 480q⁵⁴ + 196q⁵⁵ + 118q⁵⁶ - 343q⁵⁷ - 293q⁵⁸ - 163q⁵⁹ + 181q⁶⁰ + 83q⁶¹ + 45q⁶² + 110q⁶³ - 60q⁶⁴ - 65q⁶⁵ - 59q⁶⁶ + 54q⁶⁷ - 2q⁶⁸ - 9q⁶⁹ + 36q⁷⁰ - 11q⁷¹ - 8q⁷² - 15q⁷³ + 21q⁷⁴ - 3q⁷⁵ - 10q⁷⁶ + 9q⁷⁷ - 3q⁷⁸ - 3q⁸⁰ + 4q⁸¹ + q⁸² - 3q⁸³ + q⁸⁴
7	- q^-140 + 2q^-139 - 2q^-137 + q^-136 + 2q^-134 - 2q^-133 - 5q^-132 + 8q^-131 - 9q^-129 + 2q^-128 + 2q^-127 + 14q^-126 + q^-125 - 21q^-124 + 13q^-123 - 5q^-122 - 27q^-121 - q^-120 + 4q^-119 + 60q^-118 + 38q^-117 - 38q^-116 + 3q^-115 - 48q^-114 - 97q^-113 - 40q^-112 - 16q^-111 + 172q^-110 + 208q^-109 + 50q^-108 + 44q^-107 - 172q^-106 - 346q^-105 - 296q^-104 - 237q^-103 + 267q^-102 + 625q^-101 + 559q^-100 + 543q^-99 - 83q^-98 - 782q^-97 - 1099q^-96 - 1288q^-95 - 342q^-94 + 851q^-93 + 1615q^-92 + 2297q^-91 + 1431q^-90 - 293q^-89 - 1983q^-88 - 3682q^-87 - 3181q^-86 - 1117q^-85 + 1542q^-84 + 4915q^-83 + 5689q^-82 + 3845q^-81 + 153q^-80 - 5364q^-79 - 8324q^-78 - 7862q^-77 - 3942q^-76 + 4065q^-75 + 10460q^-74 + 12797q^-73 + 9806q^-72 - 194q^-71 - 10597q^-70 - 17580q^-69 - 17714q^-68 - 6956q^-67 + 7799q^-66 + 21009q^-65 + 26466q^-64 + 17056q^-63 - 1049q^-62 - 21292q^-61 - 34702q^-60 - 29576q^-59 - 9884q^-58 + 17656q^-57 + 40895q^-56 + 42753q^-55 + 24128q^-54 - 9314q^-53 - 43277q^-52 - 55196q^-51 - 40863q^-50 - 3220q^-49 + 41743q^-48 + 65265q^-47 + 57750q^-46 + 18850q^-45 - 35554q^-44 - 71793q^-43 - 74054q^-42 - 36303q^-41 + 26325q^-40 + 74888q^-39 + 87585q^-38 + 53509q^-37 - 14326q^-36 - 74307q^-35 - 98629q^-34 - 69811q^-33 + 1936q^-32 + 71494q^-31 + 106145q^-30 + 83603q^-29 + 10615q^-28 - 66761q^-27 - 111441q^-26 - 95151q^-25 - 21528q^-24 + 61680q^-23 + 114155q^-22 + 103934q^-21 + 31289q^-20 - 56394q^-19 - 115841q^-18 - 110840q^-17 - 38925q^-16 + 51725q^-15 + 116152q^-14 + 115863q^-13 + 45652q^-12 - 47264q^-11 - 116286q^-10 - 119959q^-9 - 51048q^-8 + 43195q^-7 + 115435q^-6 + 123025q^-5 + 56492q^-4 - 38579q^-3 - 114184q^-2 - 125691q^-1 - 61653 + 33314q + 111375q² + 127324q³ + 67443q⁴ - 26389q⁵ - 106970q⁶ - 127958q⁷ - 73296q⁸ + 17883q⁹ + 99926q¹⁰ + 126507q¹¹ + 79102q¹² - 7438q¹³ - 89954q¹⁴ - 122499q¹⁵ - 83961q¹⁶ - 4269q¹⁷ + 76927q¹⁸ + 115077q¹⁹ + 86756q²⁰ + 16431q²¹ - 61115q²² - 103909q²³ - 86691q²⁴ - 27768q²⁵ + 43774q²⁶ + 89294q²⁷ + 82781q²⁸ + 36687q²⁹ - 26135q³⁰ - 71983q³¹ - 75024q³² - 42189q³³ + 10102q³⁴ + 53648q³⁵ + 63855q³⁶ + 43450q³⁷ + 2765q³⁸ - 35873q³⁹ - 50508q⁴⁰ - 40702q⁴¹ - 11524q⁴² + 20480q⁴³ + 36681q⁴⁴ + 34749q⁴⁵ + 15902q⁴⁶ - 8676q⁴⁷ - 23947q⁴⁸ - 26995q⁴⁹ - 16442q⁵⁰ + 831q⁵¹ + 13506q⁵² + 19031q⁵³ + 14408q⁵⁴ + 3303q⁵⁵ - 6169q⁵⁶ - 11983q⁵⁷ - 10927q⁵⁸ - 4636q⁵⁹ + 1553q⁶⁰ + 6604q⁶¹ + 7457q⁶² + 4273q⁶³ + 618q⁶⁴ - 3118q⁶⁵ - 4428q⁶⁶ - 3110q⁶⁷ - 1362q⁶⁸ + 1079q⁶⁹ + 2345q⁷⁰ + 1989q⁷¹ + 1281q⁷² - 203q⁷³ - 1120q⁷⁴ - 1031q⁷⁵ - 875q⁷⁶ - 137q⁷⁷ + 407q⁷⁸ + 477q⁷⁹ + 590q⁸⁰ + 155q⁸¹ - 188q⁸² - 181q⁸³ - 259q⁸⁴ - 91q⁸⁵ + 16q⁸⁶ + 24q⁸⁷ + 168q⁸⁸ + 72q⁸⁹ - 40q⁹⁰ - 14q⁹¹ - 48q⁹² - 2q⁹⁴ - 32q⁹⁵ + 37q⁹⁶ + 19q⁹⁷ - 12q⁹⁸ - 2q⁹⁹ - 9q¹⁰⁰ + 11q¹⁰¹ + 4q¹⁰² - 15q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 5q¹⁰⁵ - 3q¹⁰⁶ - 3q¹⁰⁸ + 4q¹⁰⁹ + q¹¹⁰ - 3q¹¹¹ + q¹¹²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 24]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[5, 14, 6, 15], X[9, 17, 10, 16], > X[11, 1, 12, 18], X[17, 11, 18, 10], X[15, 13, 16, 12], X[13, 6, 14, 7], > X[7, 2, 8, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 24]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 8, -9, 2, -4, 6, -5, 7, -8, 3, -7, 4, -6, 5]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 24]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 14, 2, 16, 18, 6, 12, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 24]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, 2, -1, -3, 2, 2, 2, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 24]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 24]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 24]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 3, 3, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 24]][t]
Out[10]=	-3 5 10 2 3 13 - t + -- - -- - 10 t + 5 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 24]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + z - z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 18], Knot[9, 24], Knot[11, NonAlternating, 85], > Knot[11, NonAlternating, 164]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 24]], KnotSignature[Knot[9, 24]]}
Out[13]=	{45, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 24]][q]
Out[14]=	-5 2 4 7 7 2 3 4 8 - q + -- - -- + -- - - - 7 q + 5 q - 3 q + q 4 3 2 q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 24]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 24]][q]
Out[16]=	-16 -14 -10 3 2 -4 2 2 4 8 10 12 -2 - q - q - q + -- + -- + q + -- + q - 2 q + q - q + q 8 6 2 q q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 24]][a, z]
Out[17]=	2 4 -2 2 4 2 2 z 2 2 4 2 4 z 2 4 -3 + a + 5 a - 2 a - 6 z + ---- + 6 a z - a z - 4 z + -- + 2 a z - 2 2 a a 6 > z
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 24]][a, z]
Out[18]=	2 -2 2 4 z 2 z 3 5 2 z -3 - a - 5 a - 2 a + -- + --- + 2 a z + 3 a z + 2 a z + 9 z - -- + 3 a 4 a a 2 3 3 2 z 2 2 4 2 4 z 3 z 3 3 3 5 3 > ---- + 10 a z + 4 a z - ---- - ---- + a z - 3 a z - 3 a z - 2 3 a a a 4 4 5 5 4 z 5 z 2 4 4 4 3 z z 5 3 5 > 11 z + -- - ---- - 10 a z - 5 a z + ---- - -- - 7 a z - 2 a z + 4 2 3 a a a a 6 7 5 5 6 4 z 2 6 4 6 3 z 7 3 7 8 > a z + 5 z + ---- + 3 a z + 2 a z + ---- + 5 a z + 2 a z + z + 2 a a 2 8 > a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 24]], Vassiliev[3][Knot[9, 24]]}
Out[19]=	{1, -2}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 24]][q, t]
Out[20]=	5 1 1 1 3 1 4 3 3 4 - + 4 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > 3 q t + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 24], 2][q]
Out[21]=	-15 2 6 9 3 21 19 14 44 25 31 61 23 64 + q - --- + --- - --- - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 43 2 3 4 5 6 7 8 9 > -- - 16 q - 43 q + 49 q - 6 q - 31 q + 26 q + q - 14 q + 8 q + q 10 11 12 > q - 3 q + q

The Alternating Knot 924

The Alternating Knot 9₂₄