The Alternating Knot 9₂₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₄₂₅₁ X_10,6,11,5 X₈₃₉₄ X_2,9,3,10 X_16,12,17,11 X_14,7,15,8 X_6,15,7,16 X_18,14,1,13 X_12,18,13,17

Gauss Code: {1, -4, 3, -1, 2, -7, 6, -3, 4, -2, 5, -9, 8, -6, 7, -5, 9, -8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 10 14 2 16 18 6 12

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 3 3 / 4--7 1

Alexander Polynomial: t^-3 - 5t^-2 + 10t^-1 - 11 + 10t - 5t² + t³

Conway Polynomial: 1 - z² + z⁴ + z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n128, ...}

Determinant and Signature: {43, 2}

Jones Polynomial: q^-3 - 2q^-2 + 4q^-1 - 6 + 7q - 7q² + 7q³ - 5q⁴ + 3q⁵ - q⁶

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n3, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-10 + q^-8 + q^-4 - 2q^-2 - 1 - q⁴ + 3q⁶ + 2q¹⁰ - q¹⁴ + q¹⁶ - q¹⁸

HOMFLY-PT Polynomial: - a^-4 - 2a^-4z² - a^-4z⁴ + 4a^-2 + 6a^-2z² + 4a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - 4 - 6z² - 2z⁴ + 2a² + a²z²

Kauffman Polynomial: a^-7z³ - a^-6z² + 3a^-6z⁴ + a^-5z - 4a^-5z³ + 5a^-5z⁵ - a^-4 + 5a^-4z² - 9a^-4z⁴ + 6a^-4z⁶ + a^-3z - 2a^-3z³ - 4a^-3z⁵ + 4a^-3z⁷ - 4a^-2 + 17a^-2z² - 23a^-2z⁴ + 7a^-2z⁶ + a^-2z⁸ - 2a^-1z + 10a^-1z³ - 16a^-1z⁵ + 6a^-1z⁷ - 4 + 16z² - 15z⁴ + 2z⁶ + z⁸ - 2az + 7az³ - 7az⁵ + 2az⁷ - 2a² + 5a²z² - 4a²z⁴ + a²z⁶

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-1, 1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 9₂₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5

j = 13 1

j = 11 2

j = 9 3 1

j = 7 4 2

j = 5 3 3

j = 3 4 4

j = 1 3 4

j = -1 1 3

j = -3 1 3

j = -5 1

j = -7 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-10 - 2q^-9 - q^-8 + 7q^-7 - 6q^-6 - 8q^-5 + 20q^-4 - 7q^-3 - 23q^-2 + 33q^-1 - 1 - 40q + 39q² + 9q³ - 50q⁴ + 36q⁵ + 17q⁶ - 48q⁷ + 26q⁸ + 17q⁹ - 33q¹⁰ + 14q¹¹ + 10q¹² - 14q¹³ + 5q¹⁴ + 2q¹⁵ - 3q¹⁶ + q¹⁷

3 q^-21 - 2q^-20 - q^-19 + 2q^-18 + 6q^-17 - 5q^-16 - 11q^-15 + 3q^-14 + 23q^-13 - 33q^-11 - 14q^-10 + 47q^-9 + 29q^-8 - 50q^-7 - 55q^-6 + 51q^-5 + 79q^-4 - 42q^-3 - 102q^-2 + 26q^-1 + 122 - 5q - 137q² - 17q³ + 145q⁴ + 42q⁵ - 149q⁶ - 64q⁷ + 146q⁸ + 86q⁹ - 141q¹⁰ - 97q¹¹ + 123q¹² + 108q¹³ - 108q¹⁴ - 102q¹⁵ + 81q¹⁶ + 95q¹⁷ - 62q¹⁸ - 73q¹⁹ + 39q²⁰ + 54q²¹ - 25q²² - 33q²³ + 14q²⁴ + 19q²⁵ - 10q²⁶ - 7q²⁷ + 5q²⁸ + 2q²⁹ - 2q³⁰ - 2q³¹ + 3q³² - q³³

4 q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 2q^-33 + q^-32 + 7q^-31 - 9q^-30 - 9q^-29 + 2q^-28 + 4q^-27 + 34q^-26 - 13q^-25 - 32q^-24 - 21q^-23 - 9q^-22 + 94q^-21 + 19q^-20 - 39q^-19 - 78q^-18 - 91q^-17 + 143q^-16 + 97q^-15 + 37q^-14 - 108q^-13 - 248q^-12 + 101q^-11 + 144q^-10 + 200q^-9 - 25q^-8 - 390q^-7 - 35q^-6 + 73q^-5 + 357q^-4 + 167q^-3 - 424q^-2 - 186q^-1 - 108 + 432q + 385q² - 351q³ - 288q⁴ - 327q⁵ + 425q⁶ + 570q⁷ - 220q⁸ - 346q⁹ - 531q¹⁰ + 375q¹¹ + 706q¹² - 71q¹³ - 365q¹⁴ - 689q¹⁵ + 282q¹⁶ + 768q¹⁷ + 85q¹⁸ - 320q¹⁹ - 762q²⁰ + 142q²¹ + 707q²² + 203q²³ - 190q²⁴ - 691q²⁵ - 4q²⁶ + 511q²⁷ + 222q²⁸ - 34q²⁹ - 483q³⁰ - 74q³¹ + 269q³² + 138q³³ + 55q³⁴ - 246q³⁵ - 57q³⁶ + 102q³⁷ + 40q³⁸ + 54q³⁹ - 91q⁴⁰ - 16q⁴¹ + 31q⁴² - 6q⁴³ + 26q⁴⁴ - 25q⁴⁵ + 9q⁴⁷ - 8q⁴⁸ + 7q⁴⁹ - 5q⁵⁰ + 2q⁵¹ + 2q⁵² - 3q⁵³ + q⁵⁴

5 q^-55 - 2q^-54 - q^-53 + 2q^-52 + q^-51 + 2q^-50 + 3q^-49 - 7q^-48 - 11q^-47 + 2q^-46 + 8q^-45 + 14q^-44 + 18q^-43 - 10q^-42 - 40q^-41 - 31q^-40 + 2q^-39 + 45q^-38 + 78q^-37 + 36q^-36 - 61q^-35 - 120q^-34 - 98q^-33 + 19q^-32 + 167q^-31 + 198q^-30 + 56q^-29 - 156q^-28 - 300q^-27 - 216q^-26 + 94q^-25 + 367q^-24 + 384q^-23 + 94q^-22 - 348q^-21 - 579q^-20 - 331q^-19 + 217q^-18 + 661q^-17 + 637q^-16 + 57q^-15 - 662q^-14 - 898q^-13 - 411q^-12 + 482q^-11 + 1080q^-10 + 828q^-9 - 178q^-8 - 1133q^-7 - 1215q^-6 - 238q^-5 + 1042q^-4 + 1533q^-3 + 711q^-2 - 823q^-1 - 1761 - 1184q + 521q² + 1881q³ + 1621q⁴ - 153q⁵ - 1933q⁶ - 2015q⁷ - 204q⁸ + 1919q⁹ + 2349q¹⁰ + 563q¹¹ - 1879q¹² - 2651q¹³ - 888q¹⁴ + 1827q¹⁵ + 2902q¹⁶ + 1209q¹⁷ - 1757q¹⁸ - 3140q¹⁹ - 1502q²⁰ + 1659q²¹ + 3309q²² + 1814q²³ - 1502q²⁴ - 3446q²⁵ - 2076q²⁶ + 1277q²⁷ + 3426q²⁸ + 2349q²⁹ - 962q³⁰ - 3327q³¹ - 2499q³² + 600q³³ + 3010q³⁴ + 2573q³⁵ - 195q³⁶ - 2613q³⁷ - 2463q³⁸ - 144q³⁹ + 2060q⁴⁰ + 2232q⁴¹ + 410q⁴² - 1524q⁴³ - 1851q⁴⁴ - 547q⁴⁵ + 1005q⁴⁶ + 1434q⁴⁷ + 557q⁴⁸ - 606q⁴⁹ - 998q⁵⁰ - 481q⁵¹ + 307q⁵² + 656q⁵³ + 354q⁵⁴ - 149q⁵⁵ - 373q⁵⁶ - 227q⁵⁷ + 48q⁵⁸ + 201q⁵⁹ + 138q⁶⁰ - 24q⁶¹ - 96q⁶² - 64q⁶³ + 7q⁶⁴ + 37q⁶⁵ + 30q⁶⁶ + 4q⁶⁷ - 23q⁶⁸ - 12q⁶⁹ + 9q⁷⁰ + q⁷² + 6q⁷³ - 4q⁷⁴ - 4q⁷⁵ + 5q⁷⁶ - 2q⁷⁷ - 2q⁷⁸ + 3q⁷⁹ - q⁸⁰

6 q^-78 - 2q^-77 - q^-76 + 2q^-75 + q^-74 + 2q^-73 - 2q^-72 + 5q^-71 - 9q^-70 - 11q^-69 + 5q^-68 + 7q^-67 + 15q^-66 + q^-65 + 22q^-64 - 25q^-63 - 48q^-62 - 19q^-61 + 2q^-60 + 47q^-59 + 36q^-58 + 110q^-57 - 10q^-56 - 109q^-55 - 126q^-54 - 108q^-53 + 9q^-52 + 65q^-51 + 340q^-50 + 195q^-49 - 10q^-48 - 224q^-47 - 378q^-46 - 331q^-45 - 222q^-44 + 486q^-43 + 589q^-42 + 549q^-41 + 151q^-40 - 376q^-39 - 848q^-38 - 1132q^-37 - 97q^-36 + 485q^-35 + 1215q^-34 + 1233q^-33 + 696q^-32 - 556q^-31 - 1986q^-30 - 1493q^-29 - 980q^-28 + 699q^-27 + 1967q^-26 + 2652q^-25 + 1390q^-24 - 1239q^-23 - 2272q^-22 - 3270q^-21 - 1735q^-20 + 667q^-19 + 3710q^-18 + 4096q^-17 + 1641q^-16 - 724q^-15 - 4343q^-14 - 4862q^-13 - 2922q^-12 + 2215q^-11 + 5400q^-10 + 5174q^-9 + 3124q^-8 - 2724q^-7 - 6524q^-6 - 7131q^-5 - 1572q^-4 + 4068q^-3 + 7321q^-2 + 7547q^-1 + 1096 - 5760q - 10084q² - 5958q³ + 755q⁴ + 7376q⁵ + 10899q⁶ + 5476q⁷ - 3325q⁸ - 11259q⁹ - 9519q¹⁰ - 3022q¹¹ + 6111q¹² + 12821q¹³ + 9173q¹⁴ - 578q¹⁵ - 11359q¹⁶ - 11990q¹⁷ - 6221q¹⁸ + 4662q¹⁹ + 13921q²⁰ + 11987q²¹ + 1687q²² - 11249q²³ - 13869q²⁴ - 8770q²⁵ + 3509q²⁶ + 14794q²⁷ + 14349q²⁸ + 3634q²⁹ - 11055q³⁰ - 15521q³¹ - 11149q³² + 2167q³³ + 15219q³⁴ + 16471q³⁵ + 5922q³⁶ - 9964q³⁷ - 16448q³⁸ - 13507q³⁹ - 185q⁴⁰ + 14128q⁴¹ + 17616q⁴² + 8624q⁴³ - 7086q⁴⁴ - 15386q⁴⁵ - 14891q⁴⁶ - 3445q⁴⁷ + 10695q⁴⁸ + 16389q⁴⁹ + 10506q⁵⁰ - 2849q⁵¹ - 11655q⁵² - 13807q⁵³ - 6027q⁵⁴ + 5755q⁵⁵ + 12336q⁵⁶ + 9980q⁵⁷ + 787q⁵⁸ - 6488q⁵⁹ - 10064q⁶⁰ - 6289q⁶¹ + 1559q⁶² + 7070q⁶³ + 7078q⁶⁴ + 2177q⁶⁵ - 2268q⁶⁶ - 5493q⁶⁷ - 4448q⁶⁸ - 391q⁶⁹ + 2956q⁷⁰ + 3649q⁷¹ + 1653q⁷² - 236q⁷³ - 2180q⁷⁴ - 2210q⁷⁵ - 572q⁷⁶ + 895q⁷⁷ + 1358q⁷⁸ + 689q⁷⁹ + 211q⁸⁰ - 626q⁸¹ - 806q⁸² - 239q⁸³ + 216q⁸⁴ + 370q⁸⁵ + 148q⁸⁶ + 138q⁸⁷ - 130q⁸⁸ - 234q⁸⁹ - 43q⁹⁰ + 55q⁹¹ + 79q⁹² - 5q⁹³ + 51q⁹⁴ - 21q⁹⁵ - 59q⁹⁶ + 5q⁹⁷ + 13q⁹⁸ + 17q⁹⁹ - 17q¹⁰⁰ + 16q¹⁰¹ - q¹⁰² - 16q¹⁰³ + 6q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵ + 4q¹⁰⁶ - 5q¹⁰⁷ + 2q¹⁰⁸ + 2q¹⁰⁹ - 3q¹¹⁰ + q¹¹¹

7 q^-105 - 2q^-104 - q^-103 + 2q^-102 + q^-101 + 2q^-100 - 2q^-99 + 3q^-97 - 9q^-96 - 8q^-95 + 4q^-94 + 7q^-93 + 17q^-92 + 3q^-91 - 2q^-90 + 10q^-89 - 30q^-88 - 40q^-87 - 20q^-86 + 2q^-85 + 62q^-84 + 53q^-83 + 40q^-82 + 59q^-81 - 47q^-80 - 124q^-79 - 145q^-78 - 137q^-77 + 47q^-76 + 143q^-75 + 210q^-74 + 321q^-73 + 141q^-72 - 90q^-71 - 341q^-70 - 584q^-69 - 387q^-68 - 125q^-67 + 232q^-66 + 795q^-65 + 856q^-64 + 659q^-63 + 103q^-62 - 849q^-61 - 1246q^-60 - 1363q^-59 - 939q^-58 + 360q^-57 + 1365q^-56 + 2148q^-55 + 2154q^-54 + 744q^-53 - 758q^-52 - 2469q^-51 - 3480q^-50 - 2521q^-49 - 820q^-48 + 1836q^-47 + 4272q^-46 + 4533q^-45 + 3414q^-44 + 182q^-43 - 3895q^-42 - 5987q^-41 - 6417q^-40 - 3635q^-39 + 1579q^-38 + 5977q^-37 + 9113q^-36 + 7993q^-35 + 2545q^-34 - 3738q^-33 - 10059q^-32 - 12166q^-31 - 8295q^-30 - 1119q^-29 + 8606q^-28 + 14978q^-27 + 14268q^-26 + 8009q^-25 - 3962q^-24 - 15020q^-23 - 19327q^-22 - 16144q^-21 - 3461q^-20 + 11861q^-19 + 21982q^-18 + 23874q^-17 + 12850q^-16 - 5224q^-15 - 21349q^-14 - 30013q^-13 - 22958q^-12 - 4072q^-11 + 17267q^-10 + 33373q^-9 + 32305q^-8 + 14992q^-7 - 9964q^-6 - 33501q^-5 - 39906q^-4 - 26306q^-3 + 395q^-2 + 30590q^-1 + 45006 + 36815q + 10375q² - 25050q³ - 47466q⁴ - 45901q⁵ - 21368q⁶ + 17915q⁷ + 47681q⁸ + 53001q⁹ + 31642q¹⁰ - 9919q¹¹ - 46079q¹² - 58308q¹³ - 40817q¹⁴ + 2025q¹⁵ + 43492q¹⁶ + 62011q¹⁷ + 48518q¹⁸ + 5296q¹⁹ - 40506q²⁰ - 64609q²¹ - 54911q²² - 11653q²³ + 37742q²⁴ + 66589q²⁵ + 60183q²⁶ + 16944q²⁷ - 35479q²⁸ - 68373q²⁹ - 64741q³⁰ - 21376q³¹ + 33847q³² + 70322q³³ + 68923q³⁴ + 25279q³⁵ - 32606q³⁶ - 72451q³⁷ - 73186q³⁸ - 29178q³⁹ + 31433q⁴⁰ + 74601q⁴¹ + 77532q⁴² + 33541q⁴³ - 29468q⁴⁴ - 76257q⁴⁵ - 82094q⁴⁶ - 38744q⁴⁷ + 26316q⁴⁸ + 76696q⁴⁹ + 86065q⁵⁰ + 44775q⁵¹ - 21070q⁵² - 75006q⁵³ - 89026q⁵⁴ - 51320q⁵⁵ + 13971q⁵⁶ + 70609q⁵⁷ + 89586q⁵⁸ + 57312q⁵⁹ - 4978q⁶⁰ - 62947q⁶¹ - 87234q⁶² - 61892q⁶³ - 4618q⁶⁴ + 52649q⁶⁵ + 81127q⁶⁶ + 63582q⁶⁷ + 13813q⁶⁸ - 40304q⁶⁹ - 71665q⁷⁰ - 61992q⁷¹ - 21019q⁷² + 27610q⁷³ + 59556q⁷⁴ + 56781q⁷⁵ + 25355q⁷⁶ - 15913q⁷⁷ - 46300q⁷⁸ - 48697q⁷⁹ - 26403q⁸⁰ + 6506q⁸¹ + 33387q⁸² + 39027q⁸³ + 24548q⁸⁴ - 134q⁸⁵ - 22218q⁸⁶ - 29035q⁸⁷ - 20589q⁸⁸ - 3445q⁸⁹ + 13474q⁹⁰ + 20120q⁹¹ + 15832q⁹² + 4628q⁹³ - 7506q⁹⁴ - 12903q⁹⁵ - 11066q⁹⁶ - 4322q⁹⁷ + 3690q⁹⁸ + 7661q⁹⁹ + 7198q¹⁰⁰ + 3385q¹⁰¹ - 1697q¹⁰² - 4291q¹⁰³ - 4243q¹⁰⁴ - 2240q¹⁰⁵ + 688q¹⁰⁶ + 2165q¹⁰⁷ + 2345q¹⁰⁸ + 1401q¹⁰⁹ - 286q¹¹⁰ - 1078q¹¹¹ - 1208q¹¹² - 737q¹¹³ + 158q¹¹⁴ + 472q¹¹⁵ + 542q¹¹⁶ + 376q¹¹⁷ - 63q¹¹⁸ - 197q¹¹⁹ - 268q¹²⁰ - 189q¹²¹ + 92q¹²² + 91q¹²³ + 73q¹²⁴ + 62q¹²⁵ - 28q¹²⁶ - 8q¹²⁷ - 51q¹²⁸ - 49q¹²⁹ + 46q¹³⁰ + 20q¹³¹ - q¹³² + 2q¹³³ - 13q¹³⁴ + 12q¹³⁵ - 8q¹³⁶ - 15q¹³⁷ + 16q¹³⁸ + 4q¹³⁹ - 3q¹⁴⁰ - q¹⁴¹ - 4q¹⁴² + 5q¹⁴³ - 2q¹⁴⁴ - 2q¹⁴⁵ + 3q¹⁴⁶ - q¹⁴⁷

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 22]]

Out[2]=
PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 6, 11, 5], X[8, 3, 9, 4], X[2, 9, 3, 10], > X[16, 12, 17, 11], X[14, 7, 15, 8], X[6, 15, 7, 16], X[18, 14, 1, 13], > X[12, 18, 13, 17]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 22]]

Out[3]=
GaussCode[1, -4, 3, -1, 2, -7, 6, -3, 4, -2, 5, -9, 8, -6, 7, -5, 9, -8]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 22]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 10, 14, 2, 16, 18, 6, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 22]]

Out[5]=
BR[4, {-1, 2, -1, 2, -3, 2, 2, 2, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 22]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 22]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 22]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 3, 3, {4, 7}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 22]][t]

Out[10]=
-3 5 10 2 3 -11 + t - -- + -- + 10 t - 5 t + t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 22]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 - z + z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 22], Knot[11, NonAlternating, 128]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 22]], KnotSignature[Knot[9, 22]]}

Out[13]=
{43, 2}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 22]][q]

Out[14]=
-3 2 4 2 3 4 5 6 -6 + q - -- + - + 7 q - 7 q + 7 q - 5 q + 3 q - q 2 q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 22], Knot[11, NonAlternating, 3]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 22]][q]

Out[16]=
-10 -8 -4 2 4 6 10 14 16 18 -1 + q + q + q - -- - q + 3 q + 2 q - q + q - q 2 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 22]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 4 6 -4 4 2 2 2 z 6 z 2 2 4 z 4 z z -4 - a + -- + 2 a - 6 z - ---- + ---- + a z - 2 z - -- + ---- + -- 2 4 2 4 2 2 a a a a a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 22]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 -4 4 2 z z 2 z 2 z 5 z 17 z -4 - a - -- - 2 a + -- + -- - --- - 2 a z + 16 z - -- + ---- + ----- + 2 5 3 a 6 4 2 a a a a a a 3 3 3 3 4 4 4 2 2 z 4 z 2 z 10 z 3 4 3 z 9 z 23 z > 5 a z + -- - ---- - ---- + ----- + 7 a z - 15 z + ---- - ---- - ----- - 7 5 3 a 6 4 2 a a a a a a 5 5 5 6 6 2 4 5 z 4 z 16 z 5 6 6 z 7 z 2 6 > 4 a z + ---- - ---- - ----- - 7 a z + 2 z + ---- + ---- + a z + 5 3 a 4 2 a a a a 7 7 8 4 z 6 z 7 8 z > ---- + ---- + 2 a z + z + -- 3 a 2 a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 22]], Vassiliev[3][Knot[9, 22]]}

Out[19]=
{-1, 1}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 22]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 3 1 3 3 q 3 4 q + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 4 q t + 7 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t 5 5 2 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 13 5 > 3 q t + 3 q t + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 22], 2][q]

Out[21]=
-10 2 -8 7 6 8 20 7 23 33 2 3 -1 + q - -- - q + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - 40 q + 39 q + 9 q - 9 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > 50 q + 36 q + 17 q - 48 q + 26 q + 17 q - 33 q + 14 q + 10 q - 13 14 15 16 17 > 14 q + 5 q + 2 q - 3 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₂₂

9₂₁
9₂₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-10 - 2q^-9 - q^-8 + 7q^-7 - 6q^-6 - 8q^-5 + 20q^-4 - 7q^-3 - 23q^-2 + 33q^-1 - 1 - 40q + 39q² + 9q³ - 50q⁴ + 36q⁵ + 17q⁶ - 48q⁷ + 26q⁸ + 17q⁹ - 33q¹⁰ + 14q¹¹ + 10q¹² - 14q¹³ + 5q¹⁴ + 2q¹⁵ - 3q¹⁶ + q¹⁷
3	q^-21 - 2q^-20 - q^-19 + 2q^-18 + 6q^-17 - 5q^-16 - 11q^-15 + 3q^-14 + 23q^-13 - 33q^-11 - 14q^-10 + 47q^-9 + 29q^-8 - 50q^-7 - 55q^-6 + 51q^-5 + 79q^-4 - 42q^-3 - 102q^-2 + 26q^-1 + 122 - 5q - 137q² - 17q³ + 145q⁴ + 42q⁵ - 149q⁶ - 64q⁷ + 146q⁸ + 86q⁹ - 141q¹⁰ - 97q¹¹ + 123q¹² + 108q¹³ - 108q¹⁴ - 102q¹⁵ + 81q¹⁶ + 95q¹⁷ - 62q¹⁸ - 73q¹⁹ + 39q²⁰ + 54q²¹ - 25q²² - 33q²³ + 14q²⁴ + 19q²⁵ - 10q²⁶ - 7q²⁷ + 5q²⁸ + 2q²⁹ - 2q³⁰ - 2q³¹ + 3q³² - q³³
4	q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 2q^-33 + q^-32 + 7q^-31 - 9q^-30 - 9q^-29 + 2q^-28 + 4q^-27 + 34q^-26 - 13q^-25 - 32q^-24 - 21q^-23 - 9q^-22 + 94q^-21 + 19q^-20 - 39q^-19 - 78q^-18 - 91q^-17 + 143q^-16 + 97q^-15 + 37q^-14 - 108q^-13 - 248q^-12 + 101q^-11 + 144q^-10 + 200q^-9 - 25q^-8 - 390q^-7 - 35q^-6 + 73q^-5 + 357q^-4 + 167q^-3 - 424q^-2 - 186q^-1 - 108 + 432q + 385q² - 351q³ - 288q⁴ - 327q⁵ + 425q⁶ + 570q⁷ - 220q⁸ - 346q⁹ - 531q¹⁰ + 375q¹¹ + 706q¹² - 71q¹³ - 365q¹⁴ - 689q¹⁵ + 282q¹⁶ + 768q¹⁷ + 85q¹⁸ - 320q¹⁹ - 762q²⁰ + 142q²¹ + 707q²² + 203q²³ - 190q²⁴ - 691q²⁵ - 4q²⁶ + 511q²⁷ + 222q²⁸ - 34q²⁹ - 483q³⁰ - 74q³¹ + 269q³² + 138q³³ + 55q³⁴ - 246q³⁵ - 57q³⁶ + 102q³⁷ + 40q³⁸ + 54q³⁹ - 91q⁴⁰ - 16q⁴¹ + 31q⁴² - 6q⁴³ + 26q⁴⁴ - 25q⁴⁵ + 9q⁴⁷ - 8q⁴⁸ + 7q⁴⁹ - 5q⁵⁰ + 2q⁵¹ + 2q⁵² - 3q⁵³ + q⁵⁴
5	q^-55 - 2q^-54 - q^-53 + 2q^-52 + q^-51 + 2q^-50 + 3q^-49 - 7q^-48 - 11q^-47 + 2q^-46 + 8q^-45 + 14q^-44 + 18q^-43 - 10q^-42 - 40q^-41 - 31q^-40 + 2q^-39 + 45q^-38 + 78q^-37 + 36q^-36 - 61q^-35 - 120q^-34 - 98q^-33 + 19q^-32 + 167q^-31 + 198q^-30 + 56q^-29 - 156q^-28 - 300q^-27 - 216q^-26 + 94q^-25 + 367q^-24 + 384q^-23 + 94q^-22 - 348q^-21 - 579q^-20 - 331q^-19 + 217q^-18 + 661q^-17 + 637q^-16 + 57q^-15 - 662q^-14 - 898q^-13 - 411q^-12 + 482q^-11 + 1080q^-10 + 828q^-9 - 178q^-8 - 1133q^-7 - 1215q^-6 - 238q^-5 + 1042q^-4 + 1533q^-3 + 711q^-2 - 823q^-1 - 1761 - 1184q + 521q² + 1881q³ + 1621q⁴ - 153q⁵ - 1933q⁶ - 2015q⁷ - 204q⁸ + 1919q⁹ + 2349q¹⁰ + 563q¹¹ - 1879q¹² - 2651q¹³ - 888q¹⁴ + 1827q¹⁵ + 2902q¹⁶ + 1209q¹⁷ - 1757q¹⁸ - 3140q¹⁹ - 1502q²⁰ + 1659q²¹ + 3309q²² + 1814q²³ - 1502q²⁴ - 3446q²⁵ - 2076q²⁶ + 1277q²⁷ + 3426q²⁸ + 2349q²⁹ - 962q³⁰ - 3327q³¹ - 2499q³² + 600q³³ + 3010q³⁴ + 2573q³⁵ - 195q³⁶ - 2613q³⁷ - 2463q³⁸ - 144q³⁹ + 2060q⁴⁰ + 2232q⁴¹ + 410q⁴² - 1524q⁴³ - 1851q⁴⁴ - 547q⁴⁵ + 1005q⁴⁶ + 1434q⁴⁷ + 557q⁴⁸ - 606q⁴⁹ - 998q⁵⁰ - 481q⁵¹ + 307q⁵² + 656q⁵³ + 354q⁵⁴ - 149q⁵⁵ - 373q⁵⁶ - 227q⁵⁷ + 48q⁵⁸ + 201q⁵⁹ + 138q⁶⁰ - 24q⁶¹ - 96q⁶² - 64q⁶³ + 7q⁶⁴ + 37q⁶⁵ + 30q⁶⁶ + 4q⁶⁷ - 23q⁶⁸ - 12q⁶⁹ + 9q⁷⁰ + q⁷² + 6q⁷³ - 4q⁷⁴ - 4q⁷⁵ + 5q⁷⁶ - 2q⁷⁷ - 2q⁷⁸ + 3q⁷⁹ - q⁸⁰
6	q^-78 - 2q^-77 - q^-76 + 2q^-75 + q^-74 + 2q^-73 - 2q^-72 + 5q^-71 - 9q^-70 - 11q^-69 + 5q^-68 + 7q^-67 + 15q^-66 + q^-65 + 22q^-64 - 25q^-63 - 48q^-62 - 19q^-61 + 2q^-60 + 47q^-59 + 36q^-58 + 110q^-57 - 10q^-56 - 109q^-55 - 126q^-54 - 108q^-53 + 9q^-52 + 65q^-51 + 340q^-50 + 195q^-49 - 10q^-48 - 224q^-47 - 378q^-46 - 331q^-45 - 222q^-44 + 486q^-43 + 589q^-42 + 549q^-41 + 151q^-40 - 376q^-39 - 848q^-38 - 1132q^-37 - 97q^-36 + 485q^-35 + 1215q^-34 + 1233q^-33 + 696q^-32 - 556q^-31 - 1986q^-30 - 1493q^-29 - 980q^-28 + 699q^-27 + 1967q^-26 + 2652q^-25 + 1390q^-24 - 1239q^-23 - 2272q^-22 - 3270q^-21 - 1735q^-20 + 667q^-19 + 3710q^-18 + 4096q^-17 + 1641q^-16 - 724q^-15 - 4343q^-14 - 4862q^-13 - 2922q^-12 + 2215q^-11 + 5400q^-10 + 5174q^-9 + 3124q^-8 - 2724q^-7 - 6524q^-6 - 7131q^-5 - 1572q^-4 + 4068q^-3 + 7321q^-2 + 7547q^-1 + 1096 - 5760q - 10084q² - 5958q³ + 755q⁴ + 7376q⁵ + 10899q⁶ + 5476q⁷ - 3325q⁸ - 11259q⁹ - 9519q¹⁰ - 3022q¹¹ + 6111q¹² + 12821q¹³ + 9173q¹⁴ - 578q¹⁵ - 11359q¹⁶ - 11990q¹⁷ - 6221q¹⁸ + 4662q¹⁹ + 13921q²⁰ + 11987q²¹ + 1687q²² - 11249q²³ - 13869q²⁴ - 8770q²⁵ + 3509q²⁶ + 14794q²⁷ + 14349q²⁸ + 3634q²⁹ - 11055q³⁰ - 15521q³¹ - 11149q³² + 2167q³³ + 15219q³⁴ + 16471q³⁵ + 5922q³⁶ - 9964q³⁷ - 16448q³⁸ - 13507q³⁹ - 185q⁴⁰ + 14128q⁴¹ + 17616q⁴² + 8624q⁴³ - 7086q⁴⁴ - 15386q⁴⁵ - 14891q⁴⁶ - 3445q⁴⁷ + 10695q⁴⁸ + 16389q⁴⁹ + 10506q⁵⁰ - 2849q⁵¹ - 11655q⁵² - 13807q⁵³ - 6027q⁵⁴ + 5755q⁵⁵ + 12336q⁵⁶ + 9980q⁵⁷ + 787q⁵⁸ - 6488q⁵⁹ - 10064q⁶⁰ - 6289q⁶¹ + 1559q⁶² + 7070q⁶³ + 7078q⁶⁴ + 2177q⁶⁵ - 2268q⁶⁶ - 5493q⁶⁷ - 4448q⁶⁸ - 391q⁶⁹ + 2956q⁷⁰ + 3649q⁷¹ + 1653q⁷² - 236q⁷³ - 2180q⁷⁴ - 2210q⁷⁵ - 572q⁷⁶ + 895q⁷⁷ + 1358q⁷⁸ + 689q⁷⁹ + 211q⁸⁰ - 626q⁸¹ - 806q⁸² - 239q⁸³ + 216q⁸⁴ + 370q⁸⁵ + 148q⁸⁶ + 138q⁸⁷ - 130q⁸⁸ - 234q⁸⁹ - 43q⁹⁰ + 55q⁹¹ + 79q⁹² - 5q⁹³ + 51q⁹⁴ - 21q⁹⁵ - 59q⁹⁶ + 5q⁹⁷ + 13q⁹⁸ + 17q⁹⁹ - 17q¹⁰⁰ + 16q¹⁰¹ - q¹⁰² - 16q¹⁰³ + 6q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵ + 4q¹⁰⁶ - 5q¹⁰⁷ + 2q¹⁰⁸ + 2q¹⁰⁹ - 3q¹¹⁰ + q¹¹¹
7	q^-105 - 2q^-104 - q^-103 + 2q^-102 + q^-101 + 2q^-100 - 2q^-99 + 3q^-97 - 9q^-96 - 8q^-95 + 4q^-94 + 7q^-93 + 17q^-92 + 3q^-91 - 2q^-90 + 10q^-89 - 30q^-88 - 40q^-87 - 20q^-86 + 2q^-85 + 62q^-84 + 53q^-83 + 40q^-82 + 59q^-81 - 47q^-80 - 124q^-79 - 145q^-78 - 137q^-77 + 47q^-76 + 143q^-75 + 210q^-74 + 321q^-73 + 141q^-72 - 90q^-71 - 341q^-70 - 584q^-69 - 387q^-68 - 125q^-67 + 232q^-66 + 795q^-65 + 856q^-64 + 659q^-63 + 103q^-62 - 849q^-61 - 1246q^-60 - 1363q^-59 - 939q^-58 + 360q^-57 + 1365q^-56 + 2148q^-55 + 2154q^-54 + 744q^-53 - 758q^-52 - 2469q^-51 - 3480q^-50 - 2521q^-49 - 820q^-48 + 1836q^-47 + 4272q^-46 + 4533q^-45 + 3414q^-44 + 182q^-43 - 3895q^-42 - 5987q^-41 - 6417q^-40 - 3635q^-39 + 1579q^-38 + 5977q^-37 + 9113q^-36 + 7993q^-35 + 2545q^-34 - 3738q^-33 - 10059q^-32 - 12166q^-31 - 8295q^-30 - 1119q^-29 + 8606q^-28 + 14978q^-27 + 14268q^-26 + 8009q^-25 - 3962q^-24 - 15020q^-23 - 19327q^-22 - 16144q^-21 - 3461q^-20 + 11861q^-19 + 21982q^-18 + 23874q^-17 + 12850q^-16 - 5224q^-15 - 21349q^-14 - 30013q^-13 - 22958q^-12 - 4072q^-11 + 17267q^-10 + 33373q^-9 + 32305q^-8 + 14992q^-7 - 9964q^-6 - 33501q^-5 - 39906q^-4 - 26306q^-3 + 395q^-2 + 30590q^-1 + 45006 + 36815q + 10375q² - 25050q³ - 47466q⁴ - 45901q⁵ - 21368q⁶ + 17915q⁷ + 47681q⁸ + 53001q⁹ + 31642q¹⁰ - 9919q¹¹ - 46079q¹² - 58308q¹³ - 40817q¹⁴ + 2025q¹⁵ + 43492q¹⁶ + 62011q¹⁷ + 48518q¹⁸ + 5296q¹⁹ - 40506q²⁰ - 64609q²¹ - 54911q²² - 11653q²³ + 37742q²⁴ + 66589q²⁵ + 60183q²⁶ + 16944q²⁷ - 35479q²⁸ - 68373q²⁹ - 64741q³⁰ - 21376q³¹ + 33847q³² + 70322q³³ + 68923q³⁴ + 25279q³⁵ - 32606q³⁶ - 72451q³⁷ - 73186q³⁸ - 29178q³⁹ + 31433q⁴⁰ + 74601q⁴¹ + 77532q⁴² + 33541q⁴³ - 29468q⁴⁴ - 76257q⁴⁵ - 82094q⁴⁶ - 38744q⁴⁷ + 26316q⁴⁸ + 76696q⁴⁹ + 86065q⁵⁰ + 44775q⁵¹ - 21070q⁵² - 75006q⁵³ - 89026q⁵⁴ - 51320q⁵⁵ + 13971q⁵⁶ + 70609q⁵⁷ + 89586q⁵⁸ + 57312q⁵⁹ - 4978q⁶⁰ - 62947q⁶¹ - 87234q⁶² - 61892q⁶³ - 4618q⁶⁴ + 52649q⁶⁵ + 81127q⁶⁶ + 63582q⁶⁷ + 13813q⁶⁸ - 40304q⁶⁹ - 71665q⁷⁰ - 61992q⁷¹ - 21019q⁷² + 27610q⁷³ + 59556q⁷⁴ + 56781q⁷⁵ + 25355q⁷⁶ - 15913q⁷⁷ - 46300q⁷⁸ - 48697q⁷⁹ - 26403q⁸⁰ + 6506q⁸¹ + 33387q⁸² + 39027q⁸³ + 24548q⁸⁴ - 134q⁸⁵ - 22218q⁸⁶ - 29035q⁸⁷ - 20589q⁸⁸ - 3445q⁸⁹ + 13474q⁹⁰ + 20120q⁹¹ + 15832q⁹² + 4628q⁹³ - 7506q⁹⁴ - 12903q⁹⁵ - 11066q⁹⁶ - 4322q⁹⁷ + 3690q⁹⁸ + 7661q⁹⁹ + 7198q¹⁰⁰ + 3385q¹⁰¹ - 1697q¹⁰² - 4291q¹⁰³ - 4243q¹⁰⁴ - 2240q¹⁰⁵ + 688q¹⁰⁶ + 2165q¹⁰⁷ + 2345q¹⁰⁸ + 1401q¹⁰⁹ - 286q¹¹⁰ - 1078q¹¹¹ - 1208q¹¹² - 737q¹¹³ + 158q¹¹⁴ + 472q¹¹⁵ + 542q¹¹⁶ + 376q¹¹⁷ - 63q¹¹⁸ - 197q¹¹⁹ - 268q¹²⁰ - 189q¹²¹ + 92q¹²² + 91q¹²³ + 73q¹²⁴ + 62q¹²⁵ - 28q¹²⁶ - 8q¹²⁷ - 51q¹²⁸ - 49q¹²⁹ + 46q¹³⁰ + 20q¹³¹ - q¹³² + 2q¹³³ - 13q¹³⁴ + 12q¹³⁵ - 8q¹³⁶ - 15q¹³⁷ + 16q¹³⁸ + 4q¹³⁹ - 3q¹⁴⁰ - q¹⁴¹ - 4q¹⁴² + 5q¹⁴³ - 2q¹⁴⁴ - 2q¹⁴⁵ + 3q¹⁴⁶ - q¹⁴⁷

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 22]]
Out[2]=	PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 6, 11, 5], X[8, 3, 9, 4], X[2, 9, 3, 10], > X[16, 12, 17, 11], X[14, 7, 15, 8], X[6, 15, 7, 16], X[18, 14, 1, 13], > X[12, 18, 13, 17]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 22]]
Out[3]=	GaussCode[1, -4, 3, -1, 2, -7, 6, -3, 4, -2, 5, -9, 8, -6, 7, -5, 9, -8]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 22]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 10, 14, 2, 16, 18, 6, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 22]]
Out[5]=	BR[4, {-1, 2, -1, 2, -3, 2, 2, 2, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 22]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 22]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 22]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 3, 3, {4, 7}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 22]][t]
Out[10]=	-3 5 10 2 3 -11 + t - -- + -- + 10 t - 5 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 22]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 - z + z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 22], Knot[11, NonAlternating, 128]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 22]], KnotSignature[Knot[9, 22]]}
Out[13]=	{43, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 22]][q]
Out[14]=	-3 2 4 2 3 4 5 6 -6 + q - -- + - + 7 q - 7 q + 7 q - 5 q + 3 q - q 2 q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 22], Knot[11, NonAlternating, 3]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 22]][q]
Out[16]=	-10 -8 -4 2 4 6 10 14 16 18 -1 + q + q + q - -- - q + 3 q + 2 q - q + q - q 2 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 22]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 6 -4 4 2 2 2 z 6 z 2 2 4 z 4 z z -4 - a + -- + 2 a - 6 z - ---- + ---- + a z - 2 z - -- + ---- + -- 2 4 2 4 2 2 a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 22]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 -4 4 2 z z 2 z 2 z 5 z 17 z -4 - a - -- - 2 a + -- + -- - --- - 2 a z + 16 z - -- + ---- + ----- + 2 5 3 a 6 4 2 a a a a a a 3 3 3 3 4 4 4 2 2 z 4 z 2 z 10 z 3 4 3 z 9 z 23 z > 5 a z + -- - ---- - ---- + ----- + 7 a z - 15 z + ---- - ---- - ----- - 7 5 3 a 6 4 2 a a a a a a 5 5 5 6 6 2 4 5 z 4 z 16 z 5 6 6 z 7 z 2 6 > 4 a z + ---- - ---- - ----- - 7 a z + 2 z + ---- + ---- + a z + 5 3 a 4 2 a a a a 7 7 8 4 z 6 z 7 8 z > ---- + ---- + 2 a z + z + -- 3 a 2 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 22]], Vassiliev[3][Knot[9, 22]]}
Out[19]=	{-1, 1}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 22]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 3 1 3 3 q 3 4 q + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 4 q t + 7 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t 5 5 2 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 13 5 > 3 q t + 3 q t + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 22], 2][q]
Out[21]=	-10 2 -8 7 6 8 20 7 23 33 2 3 -1 + q - -- - q + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - 40 q + 39 q + 9 q - 9 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > 50 q + 36 q + 17 q - 48 q + 26 q + 17 q - 33 q + 14 q + 10 q - 13 14 15 16 17 > 14 q + 5 q + 2 q - 3 q + q

The Alternating Knot 922

The Alternating Knot 9₂₂