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920 922

KnotPlot

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KnotPlot

PD Presentation:

X1425 X9,12,10,13 X3,11,4,10 X11,3,12,2 X13,1,14,18 X5,15,6,14 X17,7,18,6 X7,17,8,16 X15,9,16,8

Gauss Code:

{-1, 4, -3, 1, -6, 7, -8, 9, -2, 3, -4, 2, -5, 6, -9, 8, -7, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code:

4 10 14 16 12 2 18 8 6

Minimum Braid Representative: Length is 10, width is 5 Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index Reversible 1 2 2 / 4--7 1

Alexander Polynomial:

- 2t-2 + 11t-1 - 17 + 11t - 2t2

Conway Polynomial:

1 + 3z2 - 2z4

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial:

{...}

Determinant and Signature:

{43, 2}

Jones Polynomial:

q-1 - 3 + 5q - 6q2 + 8q3 - 7q4 + 6q5 - 4q6 + 2q7 - q8

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial:

{K11n129, ...}

A2 (sl(3)) Invariant:

q-4 - q-2 - 1 + 2q2 - q4 + 2q6 + q8 + q12 - q14 + 2q16 - q20 + q22 - q24 - q26

HOMFLY-PT Polynomial:

- a-8 + a-6 + 2a-6z2 - a-4z4 + a-2 - a-2z4 + z2

Kauffman Polynomial:

2a-9z - 3a-9z3 + a-9z5 - a-8 + 3a-8z2 - 5a-8z4 + 2a-8z6 - 3a-7z5 + 2a-7z7 - a-6 + 5a-6z2 - 7a-6z4 + 2a-6z6 + a-6z8 - 3a-5z + 9a-5z3 - 10a-5z5 + 5a-5z7 + 6a-4z2 - 9a-4z4 + 4a-4z6 + a-4z8 - a-3z + 2a-3z3 - 3a-3z5 + 3a-3z7 - a-2 + 3a-2z2 - 6a-2z4 + 4a-2z6 - 4a-1z3 + 3a-1z5 - z2 + z4

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants:

{3, 6}

Khovanov Homology: (The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 921. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

trqj r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6 r = 7 j = 17                   1 j = 15                 1   j = 13               3 1   j = 11             3 1     j = 9           4 3       j = 7         4 3         j = 5       2 4           j = 3     3 4             j = 1   1 3               j = -1   2                 j = -3 1

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q-4 - 3q-3 + q-2 + 8q-1 - 13 + 24q2 - 27q3 - 6q4 + 44q5 - 37q6 - 15q7 + 57q8 - 38q9 - 21q10 + 54q11 - 27q12 - 22q13 + 38q14 - 13q15 - 17q16 + 19q17 - 3q18 - 8q19 + 6q20 - 2q22 + q23
3	q-9 - 3q-8 + q-7 + 4q-6 + q-5 - 10q-4 - 3q-3 + 20q-2 + 6q-1 - 32 - 15q + 48q2 + 31q3 - 67q4 - 52q5 + 83q6 + 82q7 - 99q8 - 107q9 + 102q10 + 142q11 - 111q12 - 158q13 + 99q14 + 183q15 - 99q16 - 181q17 + 76q18 + 188q19 - 63q20 - 175q21 + 38q22 + 162q23 - 19q24 - 139q25 - 3q26 + 115q27 + 17q28 - 88q29 - 25q30 + 60q31 + 29q32 - 40q33 - 22q34 + 20q35 + 19q36 - 12q37 - 10q38 + 4q39 + 7q40 - 3q41 - 2q42 + 2q44 - q45
4	q-16 - 3q-15 + q-14 + 4q-13 - 3q-12 + 4q-11 - 13q-10 + 5q-9 + 16q-8 - 11q-7 + 12q-6 - 44q-5 + 11q-4 + 54q-3 - 12q-2 + 20q-1 - 123 + 2q + 129q2 + 34q3 + 55q4 - 274q5 - 79q6 + 213q7 + 164q8 + 167q9 - 459q10 - 253q11 + 237q12 + 336q13 + 370q14 - 598q15 - 463q16 + 176q17 + 464q18 + 594q19 - 643q20 - 618q21 + 67q22 + 503q23 + 759q24 - 602q25 - 675q26 - 44q27 + 458q28 + 825q29 - 487q30 - 638q31 - 153q32 + 346q33 + 806q34 - 314q35 - 523q36 - 246q37 + 183q38 + 702q39 - 118q40 - 343q41 - 289q42 + 6q43 + 520q44 + 31q45 - 145q46 - 244q47 - 112q48 + 300q49 + 78q50 - 2q51 - 139q52 - 127q53 + 125q54 + 47q55 + 44q56 - 47q57 - 78q58 + 38q59 + 10q60 + 30q61 - 8q62 - 31q63 + 12q64 - 2q65 + 10q66 - 9q68 + 4q69 - q70 + 2q71 - 2q73 + q74
5	q-25 - 3q-24 + q-23 + 4q-22 - 3q-21 + q-19 - 5q-18 + q-17 + 11q-16 - 4q-15 - 10q-14 - q-13 - 2q-12 + 12q-11 + 23q-10 + 2q-9 - 37q-8 - 44q-7 - 7q-6 + 53q-5 + 95q-4 + 49q-3 - 81q-2 - 184q-1 - 127 + 94q + 293q2 + 276q3 - 45q4 - 437q5 - 507q6 - 69q7 + 568q8 + 803q9 + 294q10 - 641q11 - 1169q12 - 626q13 + 659q14 + 1521q15 + 1038q16 - 539q17 - 1865q18 - 1517q19 + 378q20 + 2098q21 + 1974q22 - 77q23 - 2288q24 - 2405q25 - 177q26 + 2318q27 + 2730q28 + 532q29 - 2341q30 - 2992q31 - 739q32 + 2212q33 + 3114q34 + 1045q35 - 2131q36 - 3198q37 - 1164q38 + 1917q39 + 3158q40 + 1382q41 - 1742q42 - 3105q43 - 1463q44 + 1468q45 + 2940q46 + 1621q47 - 1195q48 - 2749q49 - 1687q50 + 842q51 + 2467q52 + 1770q53 - 487q54 - 2131q55 - 1758q56 + 100q57 + 1724q58 + 1708q59 + 231q60 - 1283q61 - 1548q62 - 506q63 + 830q64 + 1319q65 + 682q66 - 429q67 - 1031q68 - 726q69 + 97q70 + 708q71 + 692q72 + 127q73 - 440q74 - 552q75 - 232q76 + 187q77 + 409q78 + 264q79 - 59q80 - 245q81 - 216q82 - 42q83 + 138q84 + 161q85 + 50q86 - 51q87 - 95q88 - 61q89 + 24q90 + 53q91 + 28q92 + 5q93 - 23q94 - 27q95 + 2q96 + 14q97 + 2q98 + 5q99 - q100 - 9q101 + q102 + 5q103 - 2q104 + q106 - 2q107 + 2q109 - q110
6	q-36 - 3q-35 + q-34 + 4q-33 - 3q-32 - 3q-30 + 9q-29 - 9q-28 - 4q-27 + 18q-26 - 14q-25 - 4q-24 - 7q-23 + 34q-22 - 13q-21 - 11q-20 + 42q-19 - 46q-18 - 35q-17 - 35q-16 + 97q-15 + 3q-14 + 19q-13 + 126q-12 - 105q-11 - 149q-10 - 191q-9 + 128q-8 + 44q-7 + 191q-6 + 448q-5 - 44q-4 - 356q-3 - 670q-2 - 164q-1 - 136 + 522q + 1306q2 + 600q3 - 297q4 - 1489q5 - 1203q6 - 1187q7 + 525q8 + 2690q9 + 2376q10 + 860q11 - 2008q12 - 2957q13 - 3722q14 - 754q15 + 3793q16 + 5140q17 + 3722q18 - 1153q19 - 4482q20 - 7419q21 - 3817q22 + 3485q23 + 7748q24 + 7737q25 + 1467q26 - 4636q27 - 10923q28 - 7898q29 + 1493q30 + 9006q31 + 11417q32 + 4967q33 - 3237q34 - 13007q35 - 11490q36 - 1279q37 + 8730q38 + 13616q39 + 7974q40 - 1121q41 - 13488q42 - 13634q43 - 3686q44 + 7601q45 + 14251q46 + 9790q47 + 804q48 - 12922q49 - 14366q50 - 5291q51 + 6259q52 + 13842q53 + 10589q54 + 2300q55 - 11759q56 - 14165q57 - 6367q58 + 4755q59 + 12730q60 + 10823q61 + 3692q62 - 9958q63 - 13269q64 - 7292q65 + 2762q66 + 10808q67 + 10601q68 + 5260q69 - 7246q70 - 11495q71 - 7986q72 + 172q73 + 7832q74 + 9565q75 + 6702q76 - 3712q77 - 8568q78 - 7843q79 - 2419q80 + 4009q81 + 7295q82 + 7174q83 - 209q84 - 4749q85 - 6293q86 - 3910q87 + 347q88 + 4038q89 + 6025q90 + 2000q91 - 1140q92 - 3609q93 - 3616q94 - 1858q95 + 947q96 + 3647q97 + 2286q98 + 990q99 - 1012q100 - 2047q101 - 2139q102 - 779q103 + 1343q104 + 1291q105 + 1340q106 + 387q107 - 499q108 - 1279q109 - 1003q110 + 108q111 + 268q112 + 754q113 + 571q114 + 213q115 - 432q116 - 548q117 - 148q118 - 147q119 + 212q120 + 283q121 + 257q122 - 67q123 - 175q124 - 54q125 - 140q126 + 10q127 + 70q128 + 123q129 - 40q131 + 11q132 - 55q133 - 13q134 + 5q135 + 40q136 - 2q137 - 12q138 + 15q139 - 13q140 - 4q141 - 3q142 + 11q143 - 2q144 - 6q145 + 6q146 - 2q147 - q149 + 2q150 - 2q152 + q153

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 21]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[9, 12, 10, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[13, 1, 14, 18], X[5, 15, 6, 14], X[17, 7, 18, 6], X[7, 17, 8, 16], > X[15, 9, 16, 8]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 21]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -6, 7, -8, 9, -2, 3, -4, 2, -5, 6, -9, 8, -7, 5]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 21]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 14, 16, 12, 2, 18, 8, 6]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 21]]
Out[5]=	BR[5, {1, 1, 2, -1, 2, -3, 2, 4, -3, 4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 21]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 21]]]
Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 21]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 2, {4, 7}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 21]][t]
Out[10]=	2 11 2 -17 - -- + -- + 11 t - 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 21]][z]
Out[11]=	2 4 1 + 3 z - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 21]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 21]], KnotSignature[Knot[9, 21]]}
Out[13]=	{43, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 21]][q]
Out[14]=	1 2 3 4 5 6 7 8 -3 + - + 5 q - 6 q + 8 q - 7 q + 6 q - 4 q + 2 q - q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 21], Knot[11, NonAlternating, 129]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 21]][q]
Out[16]=	-4 -2 2 4 6 8 12 14 16 20 22 24 -1 + q - q + 2 q - q + 2 q + q + q - q + 2 q - q + q - q - 26 > q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 21]][a, z]
Out[17]=	2 4 4 -8 -6 -2 2 2 z z z -a + a + a + z + ---- - -- - -- 6 4 2 a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 21]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 3 -8 -6 -2 2 z 3 z z 2 3 z 5 z 6 z 3 z 3 z -a - a - a + --- - --- - -- - z + ---- + ---- + ---- + ---- - ---- + 9 5 3 8 6 4 2 9 a a a a a a a a 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 9 z 2 z 4 z 4 5 z 7 z 9 z 6 z z 3 z 10 z > ---- + ---- - ---- + z - ---- - ---- - ---- - ---- + -- - ---- - ----- - 5 3 a 8 6 4 2 9 7 5 a a a a a a a a a 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 3 z 3 z 2 z 2 z 4 z 4 z 2 z 5 z 3 z z z > ---- + ---- + ---- + ---- + ---- + ---- + ---- + ---- + ---- + -- + -- 3 a 8 6 4 2 7 5 3 6 4 a a a a a a a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 21]], Vassiliev[3][Knot[9, 21]]}
Out[19]=	{3, 6}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 21]][q, t]
Out[20]=	3 1 2 q 3 5 5 2 7 2 7 3 3 q + 3 q + ----- + --- + - + 4 q t + 2 q t + 4 q t + 4 q t + 3 q t + 3 2 q t t q t 9 3 9 4 11 4 11 5 13 5 13 6 15 6 17 7 > 4 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 21], 2][q]
Out[21]=	-4 3 -2 8 2 3 4 5 6 7 -13 + q - -- + q + - + 24 q - 27 q - 6 q + 44 q - 37 q - 15 q + 3 q q 8 9 10 11 12 13 14 15 > 57 q - 38 q - 21 q + 54 q - 27 q - 22 q + 38 q - 13 q - 16 17 18 19 20 22 23 > 17 q + 19 q - 3 q - 8 q + 6 q - 2 q + q

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