The Alternating Knot 9₂₀

Visit 9₂₀'s page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!)

Visit 9₂₀'s page at Knotilus!

Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,10,4,11 X_5,14,6,15 X_7,16,8,17 X_11,1,12,18 X_15,6,16,7 X_17,13,18,12 X_13,8,14,9 X_9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 9, -2, 1, -3, 6, -4, 8, -9, 2, -5, 7, -8, 3, -6, 4, -7, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 14 16 2 18 8 6 12

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial: - t^-3 + 5t^-2 - 9t^-1 + 11 - 9t + 5t² - t³

Conway Polynomial: 1 + 2z² - z⁴ - z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₄₉, K11n26, ...}

Determinant and Signature: {41, -4}

Jones Polynomial: - q^-9 + 3q^-8 - 5q^-7 + 6q^-6 - 7q^-5 + 7q^-4 - 5q^-3 + 4q^-2 - 2q^-1 + 1

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n90, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-28 + q^-24 - q^-22 + q^-20 - q^-18 + q^-14 - q^-12 + 2q^-10 - q^-8 + q^-6 + q^-4 + 1

HOMFLY-PT Polynomial: 2a² + 3a²z² + a²z⁴ - 2a⁴ - 5a⁴z² - 4a⁴z⁴ - a⁴z⁶ + 2a⁶ + 5a⁶z² + 2a⁶z⁴ - a⁸ - a⁸z²

Kauffman Polynomial: - 2a² + 5a²z² - 4a²z⁴ + a²z⁶ + 6a³z³ - 7a³z⁵ + 2a³z⁷ - 2a⁴ + 11a⁴z² - 11a⁴z⁴ + a⁴z⁶ + a⁴z⁸ + 5a⁵z³ - 12a⁵z⁵ + 5a⁵z⁷ - 2a⁶ + 10a⁶z² - 16a⁶z⁴ + 5a⁶z⁶ + a⁶z⁸ + 2a⁷z - 7a⁷z³ + 3a⁷z⁷ - a⁸ + 3a⁸z² - 6a⁸z⁴ + 5a⁸z⁶ + 2a⁹z - 5a⁹z³ + 5a⁹z⁵ - a¹⁰z² + 3a¹⁰z⁴ + a¹¹z³

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {2, -4}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-4 is the signature of 9₂₀. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -7 r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 1 1

j = -1 1

j = -3 3 1

j = -5 3 2

j = -7 4 2

j = -9 3 3

j = -11 3 4

j = -13 2 3

j = -15 1 3

j = -17 2

j = -19 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-25 - 3q^-24 + 2q^-23 + 6q^-22 - 14q^-21 + 7q^-20 + 15q^-19 - 30q^-18 + 14q^-17 + 25q^-16 - 43q^-15 + 14q^-14 + 33q^-13 - 45q^-12 + 7q^-11 + 35q^-10 - 36q^-9 + 29q^-7 - 21q^-6 - 5q^-5 + 18q^-4 - 8q^-3 - 5q^-2 + 7q^-1 - 1 - 2q + q²

3 - q^-48 + 3q^-47 - 2q^-46 - 3q^-45 + 2q^-44 + 8q^-43 - 5q^-42 - 15q^-41 + 12q^-40 + 21q^-39 - 20q^-38 - 31q^-37 + 32q^-36 + 44q^-35 - 47q^-34 - 57q^-33 + 58q^-32 + 76q^-31 - 70q^-30 - 90q^-29 + 71q^-28 + 105q^-27 - 67q^-26 - 115q^-25 + 57q^-24 + 120q^-23 - 41q^-22 - 123q^-21 + 28q^-20 + 114q^-19 - 6q^-18 - 113q^-17 - 4q^-16 + 96q^-15 + 23q^-14 - 87q^-13 - 28q^-12 + 65q^-11 + 39q^-10 - 50q^-9 - 37q^-8 + 29q^-7 + 38q^-6 - 17q^-5 - 27q^-4 + 3q^-3 + 21q^-2 + q^-1 - 11 - 4q + 6q² + 2q³ - q⁴ - 2q⁵ + q⁶

4 q^-78 - 3q^-77 + 2q^-76 + 3q^-75 - 5q^-74 + 4q^-73 - 10q^-72 + 11q^-71 + 9q^-70 - 22q^-69 + 14q^-68 - 22q^-67 + 32q^-66 + 16q^-65 - 65q^-64 + 29q^-63 - 21q^-62 + 81q^-61 + 13q^-60 - 155q^-59 + 36q^-58 + 10q^-57 + 175q^-56 + 13q^-55 - 294q^-54 + 3q^-53 + 52q^-52 + 312q^-51 + 49q^-50 - 431q^-49 - 74q^-48 + 47q^-47 + 439q^-46 + 130q^-45 - 494q^-44 - 150q^-43 - 21q^-42 + 490q^-41 + 214q^-40 - 455q^-39 - 178q^-38 - 122q^-37 + 454q^-36 + 273q^-35 - 354q^-34 - 166q^-33 - 212q^-32 + 366q^-31 + 298q^-30 - 226q^-29 - 134q^-28 - 280q^-27 + 252q^-26 + 296q^-25 - 90q^-24 - 86q^-23 - 314q^-22 + 124q^-21 + 252q^-20 + 27q^-19 - 13q^-18 - 292q^-17 + 6q^-16 + 160q^-15 + 87q^-14 + 65q^-13 - 204q^-12 - 62q^-11 + 51q^-10 + 74q^-9 + 101q^-8 - 94q^-7 - 59q^-6 - 16q^-5 + 24q^-4 + 77q^-3 - 19q^-2 - 22q^-1 - 25 - 7q + 33q² + 2q³ - 9q⁵ - 8q⁶ + 7q⁷ + q⁸ + 2q⁹ - q¹⁰ - 2q¹¹ + q¹²

5 - q^-115 + 3q^-114 - 2q^-113 - 3q^-112 + 5q^-111 - q^-110 - 2q^-109 + 4q^-108 - 5q^-107 - 5q^-106 + 11q^-105 + 3q^-104 - 9q^-103 - 3q^-102 - 2q^-101 + 10q^-100 + 16q^-99 - 4q^-98 - 35q^-97 - 31q^-96 + 29q^-95 + 75q^-94 + 47q^-93 - 53q^-92 - 144q^-91 - 101q^-90 + 103q^-89 + 262q^-88 + 169q^-87 - 156q^-86 - 414q^-85 - 290q^-84 + 197q^-83 + 613q^-82 + 470q^-81 - 226q^-80 - 832q^-79 - 682q^-78 + 193q^-77 + 1031q^-76 + 959q^-75 - 113q^-74 - 1212q^-73 - 1211q^-72 - 27q^-71 + 1298q^-70 + 1463q^-69 + 203q^-68 - 1326q^-67 - 1634q^-66 - 392q^-65 + 1264q^-64 + 1745q^-63 + 556q^-62 - 1149q^-61 - 1762q^-60 - 698q^-59 + 1004q^-58 + 1711q^-57 + 794q^-56 - 834q^-55 - 1623q^-54 - 847q^-53 + 667q^-52 + 1482q^-51 + 894q^-50 - 486q^-49 - 1361q^-48 - 908q^-47 + 330q^-46 + 1175q^-45 + 939q^-44 - 131q^-43 - 1043q^-42 - 935q^-41 - 22q^-40 + 816q^-39 + 934q^-38 + 234q^-37 - 649q^-36 - 887q^-35 - 365q^-34 + 387q^-33 + 808q^-32 + 526q^-31 - 189q^-30 - 676q^-29 - 579q^-28 - 55q^-27 + 506q^-26 + 614q^-25 + 211q^-24 - 307q^-23 - 536q^-22 - 359q^-21 + 118q^-20 + 444q^-19 + 380q^-18 + 55q^-17 - 277q^-16 - 384q^-15 - 163q^-14 + 148q^-13 + 289q^-12 + 211q^-11 - 4q^-10 - 206q^-9 - 204q^-8 - 58q^-7 + 94q^-6 + 158q^-5 + 99q^-4 - 28q^-3 - 98q^-2 - 85q^-1 - 24 + 49q + 67q² + 26q³ - 10q⁴ - 33q⁵ - 32q⁶ - 3q⁷ + 20q⁸ + 13q⁹ + 6q¹⁰ - 11q¹² - 6q¹³ + 3q¹⁴ + 2q¹⁵ + q¹⁶ + 2q¹⁷ - q¹⁸ - 2q¹⁹ + q²⁰

6 q^-159 - 3q^-158 + 2q^-157 + 3q^-156 - 5q^-155 + q^-154 - q^-153 + 8q^-152 - 10q^-151 + q^-150 + 16q^-149 - 22q^-148 + 4q^-147 + 5q^-146 + 19q^-145 - 30q^-144 - 9q^-143 + 42q^-142 - 45q^-141 + 25q^-140 + 32q^-139 + 32q^-138 - 108q^-137 - 63q^-136 + 86q^-135 - 41q^-134 + 139q^-133 + 123q^-132 + 20q^-131 - 337q^-130 - 275q^-129 + 118q^-128 + 74q^-127 + 509q^-126 + 421q^-125 - 27q^-124 - 878q^-123 - 878q^-122 - 12q^-121 + 365q^-120 + 1372q^-119 + 1200q^-118 + 37q^-117 - 1811q^-116 - 2152q^-115 - 632q^-114 + 655q^-113 + 2797q^-112 + 2741q^-111 + 604q^-110 - 2838q^-109 - 4086q^-108 - 2061q^-107 + 434q^-106 + 4330q^-105 + 4932q^-104 + 2024q^-103 - 3274q^-102 - 6036q^-101 - 4123q^-100 - 696q^-99 + 5132q^-98 + 6995q^-97 + 4049q^-96 - 2684q^-95 - 7076q^-94 - 5975q^-93 - 2421q^-92 + 4789q^-91 + 8017q^-90 + 5798q^-89 - 1426q^-88 - 6858q^-87 - 6802q^-86 - 3898q^-85 + 3705q^-84 + 7795q^-83 + 6595q^-82 - 262q^-81 - 5846q^-80 - 6563q^-79 - 4613q^-78 + 2552q^-77 + 6838q^-76 + 6536q^-75 + 475q^-74 - 4645q^-73 - 5802q^-72 - 4761q^-71 + 1565q^-70 + 5677q^-69 + 6136q^-68 + 1016q^-67 - 3433q^-66 - 4945q^-65 - 4773q^-64 + 550q^-63 + 4418q^-62 + 5676q^-61 + 1658q^-60 - 2053q^-59 - 3983q^-58 - 4768q^-57 - 651q^-56 + 2900q^-55 + 5003q^-54 + 2345q^-53 - 431q^-52 - 2685q^-51 - 4466q^-50 - 1848q^-49 + 1083q^-48 + 3815q^-47 + 2661q^-46 + 1158q^-45 - 996q^-44 - 3509q^-43 - 2542q^-42 - 690q^-41 + 2082q^-40 + 2187q^-39 + 2133q^-38 + 688q^-37 - 1890q^-36 - 2289q^-35 - 1778q^-34 + 289q^-33 + 949q^-32 + 2041q^-31 + 1676q^-30 - 186q^-29 - 1183q^-28 - 1744q^-27 - 804q^-26 - 397q^-25 + 1062q^-24 + 1568q^-23 + 803q^-22 + 33q^-21 - 865q^-20 - 838q^-19 - 1053q^-18 + 5q^-17 + 731q^-16 + 793q^-15 + 593q^-14 + 18q^-13 - 249q^-12 - 849q^-11 - 430q^-10 - 9q^-9 + 283q^-8 + 435q^-7 + 320q^-6 + 204q^-5 - 325q^-4 - 287q^-3 - 217q^-2 - 62q^-1 + 88 + 184q + 243q² - 22q³ - 49q⁴ - 109q⁵ - 90q⁶ - 57q⁷ + 22q⁸ + 109q⁹ + 23q¹⁰ + 27q¹¹ - 12q¹² - 24q¹³ - 41q¹⁴ - 17q¹⁵ + 25q¹⁶ + 3q¹⁷ + 14q¹⁸ + 5q¹⁹ + 3q²⁰ - 11q²¹ - 8q²² + 5q²³ - 2q²⁴ + 2q²⁵ + q²⁶ + 2q²⁷ - q²⁸ - 2q²⁹ + q³⁰

7 - q^-210 + 3q^-209 - 2q^-208 - 3q^-207 + 5q^-206 - q^-205 + q^-204 - 5q^-203 - 2q^-202 + 14q^-201 - 12q^-200 - 5q^-199 + 15q^-198 - 6q^-197 + 3q^-196 - 12q^-195 - q^-194 + 38q^-193 - 29q^-192 - 17q^-191 + 17q^-190 - 29q^-189 + 24q^-188 + 2q^-187 + 22q^-186 + 92q^-185 - 68q^-184 - 82q^-183 - 56q^-182 - 110q^-181 + 109q^-180 + 147q^-179 + 170q^-178 + 225q^-177 - 191q^-176 - 363q^-175 - 407q^-174 - 354q^-173 + 358q^-172 + 701q^-171 + 775q^-170 + 610q^-169 - 526q^-168 - 1265q^-167 - 1513q^-166 - 1064q^-165 + 843q^-164 + 2169q^-163 + 2570q^-162 + 1769q^-161 - 1084q^-160 - 3373q^-159 - 4253q^-158 - 3000q^-157 + 1293q^-156 + 5001q^-155 + 6555q^-154 + 4803q^-153 - 1223q^-152 - 6816q^-151 - 9521q^-150 - 7446q^-149 + 584q^-148 + 8685q^-147 + 13142q^-146 + 10941q^-145 + 730q^-144 - 10261q^-143 - 16953q^-142 - 15200q^-141 - 3086q^-140 + 11104q^-139 + 20748q^-138 + 20052q^-137 + 6306q^-136 - 11045q^-135 - 23885q^-134 - 24876q^-133 - 10333q^-132 + 9756q^-131 + 26036q^-130 + 29362q^-129 + 14704q^-128 - 7552q^-127 - 26913q^-126 - 32827q^-125 - 18913q^-124 + 4549q^-123 + 26516q^-122 + 35116q^-121 + 22486q^-120 - 1340q^-119 - 25085q^-118 - 36023q^-117 - 25097q^-116 - 1698q^-115 + 23007q^-114 + 35774q^-113 + 26566q^-112 + 4190q^-111 - 20609q^-110 - 34654q^-109 - 27075q^-108 - 6020q^-107 + 18333q^-106 + 33006q^-105 + 26777q^-104 + 7241q^-103 - 16233q^-102 - 31165q^-101 - 26076q^-100 - 8002q^-99 + 14367q^-98 + 29289q^-97 + 25234q^-96 + 8611q^-95 - 12663q^-94 - 27500q^-93 - 24359q^-92 - 9234q^-91 + 10835q^-90 + 25666q^-89 + 23703q^-88 + 10107q^-87 - 8926q^-86 - 23780q^-85 - 23000q^-84 - 11132q^-83 + 6560q^-82 + 21542q^-81 + 22377q^-80 + 12473q^-79 - 3977q^-78 - 19067q^-77 - 21411q^-76 - 13680q^-75 + 969q^-74 + 15948q^-73 + 20144q^-72 + 14934q^-71 + 2095q^-70 - 12589q^-69 - 18237q^-68 - 15529q^-67 - 5173q^-66 + 8624q^-65 + 15733q^-64 + 15709q^-63 + 7866q^-62 - 4718q^-61 - 12558q^-60 - 14829q^-59 - 9928q^-58 + 726q^-57 + 8885q^-56 + 13216q^-55 + 11066q^-54 + 2639q^-53 - 4985q^-52 - 10603q^-51 - 11107q^-50 - 5317q^-49 + 1237q^-48 + 7477q^-47 + 10027q^-46 + 6786q^-45 + 1983q^-44 - 4017q^-43 - 8021q^-42 - 7151q^-41 - 4237q^-40 + 877q^-39 + 5374q^-38 + 6267q^-37 + 5395q^-36 + 1750q^-35 - 2643q^-34 - 4701q^-33 - 5354q^-32 - 3270q^-31 + 225q^-30 + 2558q^-29 + 4430q^-28 + 3901q^-27 + 1477q^-26 - 678q^-25 - 2945q^-24 - 3469q^-23 - 2302q^-22 - 880q^-21 + 1350q^-20 + 2576q^-19 + 2346q^-18 + 1661q^-17 - 67q^-16 - 1400q^-15 - 1795q^-14 - 1855q^-13 - 740q^-12 + 407q^-11 + 1042q^-10 + 1527q^-9 + 1027q^-8 + 262q^-7 - 343q^-6 - 1003q^-5 - 909q^-4 - 528q^-3 - 158q^-2 + 471q^-1 + 633 + 536q + 347q² - 127q³ - 296q⁴ - 348q⁵ - 371q⁶ - 98q⁷ + 88q⁸ + 202q⁹ + 267q¹⁰ + 104q¹¹ + 31q¹² - 32q¹³ - 153q¹⁴ - 112q¹⁵ - 69q¹⁶ + 78q¹⁸ + 42q¹⁹ + 41q²⁰ + 40q²¹ - 14q²² - 27q²³ - 36q²⁴ - 23q²⁵ + 14q²⁶ + q²⁷ + 5q²⁸ + 16q²⁹ + 5q³⁰ + 2q³¹ - 8q³² - 8q³³ + 3q³⁴ - 2q³⁶ + 2q³⁷ + q³⁸ + 2q³⁹ - q⁴⁰ - 2q⁴¹ + q⁴²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 20]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[5, 14, 6, 15], X[7, 16, 8, 17], > X[11, 1, 12, 18], X[15, 6, 16, 7], X[17, 13, 18, 12], X[13, 8, 14, 9], > X[9, 2, 10, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 20]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 6, -4, 8, -9, 2, -5, 7, -8, 3, -6, 4, -7, 5]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 20]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 14, 16, 2, 18, 8, 6, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 20]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, -1, 2, -1, -3, 2, -3, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 20]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 20]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 20]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 2, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 20]][t]

Out[10]=
-3 5 9 2 3 11 - t + -- - - - 9 t + 5 t - t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 20]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + 2 z - z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 20], Knot[10, 149], Knot[11, NonAlternating, 26]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 20]], KnotSignature[Knot[9, 20]]}

Out[13]=
{41, -4}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 20]][q]

Out[14]=
-9 3 5 6 7 7 5 4 2 1 - q + -- - -- + -- - -- + -- - -- + -- - - 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 20], Knot[11, NonAlternating, 90]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 20]][q]

Out[16]=
-28 -24 -22 -20 -18 -14 -12 2 -8 -6 -4 1 - q + q - q + q - q + q - q + --- - q + q + q 10 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 20]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 8 2 2 4 2 6 2 8 2 2 4 2 a - 2 a + 2 a - a + 3 a z - 5 a z + 5 a z - a z + a z - 4 4 6 4 4 6 > 4 a z + 2 a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 20]][a, z]

Out[18]=
2 4 6 8 7 9 2 2 4 2 6 2 -2 a - 2 a - 2 a - a + 2 a z + 2 a z + 5 a z + 11 a z + 10 a z + 8 2 10 2 3 3 5 3 7 3 9 3 11 3 > 3 a z - a z + 6 a z + 5 a z - 7 a z - 5 a z + a z - 2 4 4 4 6 4 8 4 10 4 3 5 5 5 > 4 a z - 11 a z - 16 a z - 6 a z + 3 a z - 7 a z - 12 a z + 9 5 2 6 4 6 6 6 8 6 3 7 5 7 7 7 > 5 a z + a z + a z + 5 a z + 5 a z + 2 a z + 5 a z + 3 a z + 4 8 6 8 > a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 20]], Vassiliev[3][Knot[9, 20]]}

Out[19]=
{2, -4}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 20]][q, t]

Out[20]=
2 3 1 2 1 3 2 3 3 -- + -- + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + 5 3 19 7 17 6 15 6 15 5 13 5 13 4 11 4 q q q t q t q t q t q t q t q t 4 3 3 4 2 3 t t 2 > ------ + ----- + ----- + ----- + ---- + ---- + -- + - + q t 11 3 9 3 9 2 7 2 7 5 3 q q t q t q t q t q t q t q

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 20], 2][q]

Out[21]=
-25 3 2 6 14 7 15 30 14 25 43 14 -1 + q - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 q q q q q q q q q q q 33 45 7 35 36 29 21 5 18 8 5 7 2 > --- - --- + --- + --- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + - - 2 q + q 13 12 11 10 9 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₂₀

9₁₉
9₂₁

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-25 - 3q^-24 + 2q^-23 + 6q^-22 - 14q^-21 + 7q^-20 + 15q^-19 - 30q^-18 + 14q^-17 + 25q^-16 - 43q^-15 + 14q^-14 + 33q^-13 - 45q^-12 + 7q^-11 + 35q^-10 - 36q^-9 + 29q^-7 - 21q^-6 - 5q^-5 + 18q^-4 - 8q^-3 - 5q^-2 + 7q^-1 - 1 - 2q + q²
3	- q^-48 + 3q^-47 - 2q^-46 - 3q^-45 + 2q^-44 + 8q^-43 - 5q^-42 - 15q^-41 + 12q^-40 + 21q^-39 - 20q^-38 - 31q^-37 + 32q^-36 + 44q^-35 - 47q^-34 - 57q^-33 + 58q^-32 + 76q^-31 - 70q^-30 - 90q^-29 + 71q^-28 + 105q^-27 - 67q^-26 - 115q^-25 + 57q^-24 + 120q^-23 - 41q^-22 - 123q^-21 + 28q^-20 + 114q^-19 - 6q^-18 - 113q^-17 - 4q^-16 + 96q^-15 + 23q^-14 - 87q^-13 - 28q^-12 + 65q^-11 + 39q^-10 - 50q^-9 - 37q^-8 + 29q^-7 + 38q^-6 - 17q^-5 - 27q^-4 + 3q^-3 + 21q^-2 + q^-1 - 11 - 4q + 6q² + 2q³ - q⁴ - 2q⁵ + q⁶
4	q^-78 - 3q^-77 + 2q^-76 + 3q^-75 - 5q^-74 + 4q^-73 - 10q^-72 + 11q^-71 + 9q^-70 - 22q^-69 + 14q^-68 - 22q^-67 + 32q^-66 + 16q^-65 - 65q^-64 + 29q^-63 - 21q^-62 + 81q^-61 + 13q^-60 - 155q^-59 + 36q^-58 + 10q^-57 + 175q^-56 + 13q^-55 - 294q^-54 + 3q^-53 + 52q^-52 + 312q^-51 + 49q^-50 - 431q^-49 - 74q^-48 + 47q^-47 + 439q^-46 + 130q^-45 - 494q^-44 - 150q^-43 - 21q^-42 + 490q^-41 + 214q^-40 - 455q^-39 - 178q^-38 - 122q^-37 + 454q^-36 + 273q^-35 - 354q^-34 - 166q^-33 - 212q^-32 + 366q^-31 + 298q^-30 - 226q^-29 - 134q^-28 - 280q^-27 + 252q^-26 + 296q^-25 - 90q^-24 - 86q^-23 - 314q^-22 + 124q^-21 + 252q^-20 + 27q^-19 - 13q^-18 - 292q^-17 + 6q^-16 + 160q^-15 + 87q^-14 + 65q^-13 - 204q^-12 - 62q^-11 + 51q^-10 + 74q^-9 + 101q^-8 - 94q^-7 - 59q^-6 - 16q^-5 + 24q^-4 + 77q^-3 - 19q^-2 - 22q^-1 - 25 - 7q + 33q² + 2q³ - 9q⁵ - 8q⁶ + 7q⁷ + q⁸ + 2q⁹ - q¹⁰ - 2q¹¹ + q¹²
5	- q^-115 + 3q^-114 - 2q^-113 - 3q^-112 + 5q^-111 - q^-110 - 2q^-109 + 4q^-108 - 5q^-107 - 5q^-106 + 11q^-105 + 3q^-104 - 9q^-103 - 3q^-102 - 2q^-101 + 10q^-100 + 16q^-99 - 4q^-98 - 35q^-97 - 31q^-96 + 29q^-95 + 75q^-94 + 47q^-93 - 53q^-92 - 144q^-91 - 101q^-90 + 103q^-89 + 262q^-88 + 169q^-87 - 156q^-86 - 414q^-85 - 290q^-84 + 197q^-83 + 613q^-82 + 470q^-81 - 226q^-80 - 832q^-79 - 682q^-78 + 193q^-77 + 1031q^-76 + 959q^-75 - 113q^-74 - 1212q^-73 - 1211q^-72 - 27q^-71 + 1298q^-70 + 1463q^-69 + 203q^-68 - 1326q^-67 - 1634q^-66 - 392q^-65 + 1264q^-64 + 1745q^-63 + 556q^-62 - 1149q^-61 - 1762q^-60 - 698q^-59 + 1004q^-58 + 1711q^-57 + 794q^-56 - 834q^-55 - 1623q^-54 - 847q^-53 + 667q^-52 + 1482q^-51 + 894q^-50 - 486q^-49 - 1361q^-48 - 908q^-47 + 330q^-46 + 1175q^-45 + 939q^-44 - 131q^-43 - 1043q^-42 - 935q^-41 - 22q^-40 + 816q^-39 + 934q^-38 + 234q^-37 - 649q^-36 - 887q^-35 - 365q^-34 + 387q^-33 + 808q^-32 + 526q^-31 - 189q^-30 - 676q^-29 - 579q^-28 - 55q^-27 + 506q^-26 + 614q^-25 + 211q^-24 - 307q^-23 - 536q^-22 - 359q^-21 + 118q^-20 + 444q^-19 + 380q^-18 + 55q^-17 - 277q^-16 - 384q^-15 - 163q^-14 + 148q^-13 + 289q^-12 + 211q^-11 - 4q^-10 - 206q^-9 - 204q^-8 - 58q^-7 + 94q^-6 + 158q^-5 + 99q^-4 - 28q^-3 - 98q^-2 - 85q^-1 - 24 + 49q + 67q² + 26q³ - 10q⁴ - 33q⁵ - 32q⁶ - 3q⁷ + 20q⁸ + 13q⁹ + 6q¹⁰ - 11q¹² - 6q¹³ + 3q¹⁴ + 2q¹⁵ + q¹⁶ + 2q¹⁷ - q¹⁸ - 2q¹⁹ + q²⁰
6	q^-159 - 3q^-158 + 2q^-157 + 3q^-156 - 5q^-155 + q^-154 - q^-153 + 8q^-152 - 10q^-151 + q^-150 + 16q^-149 - 22q^-148 + 4q^-147 + 5q^-146 + 19q^-145 - 30q^-144 - 9q^-143 + 42q^-142 - 45q^-141 + 25q^-140 + 32q^-139 + 32q^-138 - 108q^-137 - 63q^-136 + 86q^-135 - 41q^-134 + 139q^-133 + 123q^-132 + 20q^-131 - 337q^-130 - 275q^-129 + 118q^-128 + 74q^-127 + 509q^-126 + 421q^-125 - 27q^-124 - 878q^-123 - 878q^-122 - 12q^-121 + 365q^-120 + 1372q^-119 + 1200q^-118 + 37q^-117 - 1811q^-116 - 2152q^-115 - 632q^-114 + 655q^-113 + 2797q^-112 + 2741q^-111 + 604q^-110 - 2838q^-109 - 4086q^-108 - 2061q^-107 + 434q^-106 + 4330q^-105 + 4932q^-104 + 2024q^-103 - 3274q^-102 - 6036q^-101 - 4123q^-100 - 696q^-99 + 5132q^-98 + 6995q^-97 + 4049q^-96 - 2684q^-95 - 7076q^-94 - 5975q^-93 - 2421q^-92 + 4789q^-91 + 8017q^-90 + 5798q^-89 - 1426q^-88 - 6858q^-87 - 6802q^-86 - 3898q^-85 + 3705q^-84 + 7795q^-83 + 6595q^-82 - 262q^-81 - 5846q^-80 - 6563q^-79 - 4613q^-78 + 2552q^-77 + 6838q^-76 + 6536q^-75 + 475q^-74 - 4645q^-73 - 5802q^-72 - 4761q^-71 + 1565q^-70 + 5677q^-69 + 6136q^-68 + 1016q^-67 - 3433q^-66 - 4945q^-65 - 4773q^-64 + 550q^-63 + 4418q^-62 + 5676q^-61 + 1658q^-60 - 2053q^-59 - 3983q^-58 - 4768q^-57 - 651q^-56 + 2900q^-55 + 5003q^-54 + 2345q^-53 - 431q^-52 - 2685q^-51 - 4466q^-50 - 1848q^-49 + 1083q^-48 + 3815q^-47 + 2661q^-46 + 1158q^-45 - 996q^-44 - 3509q^-43 - 2542q^-42 - 690q^-41 + 2082q^-40 + 2187q^-39 + 2133q^-38 + 688q^-37 - 1890q^-36 - 2289q^-35 - 1778q^-34 + 289q^-33 + 949q^-32 + 2041q^-31 + 1676q^-30 - 186q^-29 - 1183q^-28 - 1744q^-27 - 804q^-26 - 397q^-25 + 1062q^-24 + 1568q^-23 + 803q^-22 + 33q^-21 - 865q^-20 - 838q^-19 - 1053q^-18 + 5q^-17 + 731q^-16 + 793q^-15 + 593q^-14 + 18q^-13 - 249q^-12 - 849q^-11 - 430q^-10 - 9q^-9 + 283q^-8 + 435q^-7 + 320q^-6 + 204q^-5 - 325q^-4 - 287q^-3 - 217q^-2 - 62q^-1 + 88 + 184q + 243q² - 22q³ - 49q⁴ - 109q⁵ - 90q⁶ - 57q⁷ + 22q⁸ + 109q⁹ + 23q¹⁰ + 27q¹¹ - 12q¹² - 24q¹³ - 41q¹⁴ - 17q¹⁵ + 25q¹⁶ + 3q¹⁷ + 14q¹⁸ + 5q¹⁹ + 3q²⁰ - 11q²¹ - 8q²² + 5q²³ - 2q²⁴ + 2q²⁵ + q²⁶ + 2q²⁷ - q²⁸ - 2q²⁹ + q³⁰
7	- q^-210 + 3q^-209 - 2q^-208 - 3q^-207 + 5q^-206 - q^-205 + q^-204 - 5q^-203 - 2q^-202 + 14q^-201 - 12q^-200 - 5q^-199 + 15q^-198 - 6q^-197 + 3q^-196 - 12q^-195 - q^-194 + 38q^-193 - 29q^-192 - 17q^-191 + 17q^-190 - 29q^-189 + 24q^-188 + 2q^-187 + 22q^-186 + 92q^-185 - 68q^-184 - 82q^-183 - 56q^-182 - 110q^-181 + 109q^-180 + 147q^-179 + 170q^-178 + 225q^-177 - 191q^-176 - 363q^-175 - 407q^-174 - 354q^-173 + 358q^-172 + 701q^-171 + 775q^-170 + 610q^-169 - 526q^-168 - 1265q^-167 - 1513q^-166 - 1064q^-165 + 843q^-164 + 2169q^-163 + 2570q^-162 + 1769q^-161 - 1084q^-160 - 3373q^-159 - 4253q^-158 - 3000q^-157 + 1293q^-156 + 5001q^-155 + 6555q^-154 + 4803q^-153 - 1223q^-152 - 6816q^-151 - 9521q^-150 - 7446q^-149 + 584q^-148 + 8685q^-147 + 13142q^-146 + 10941q^-145 + 730q^-144 - 10261q^-143 - 16953q^-142 - 15200q^-141 - 3086q^-140 + 11104q^-139 + 20748q^-138 + 20052q^-137 + 6306q^-136 - 11045q^-135 - 23885q^-134 - 24876q^-133 - 10333q^-132 + 9756q^-131 + 26036q^-130 + 29362q^-129 + 14704q^-128 - 7552q^-127 - 26913q^-126 - 32827q^-125 - 18913q^-124 + 4549q^-123 + 26516q^-122 + 35116q^-121 + 22486q^-120 - 1340q^-119 - 25085q^-118 - 36023q^-117 - 25097q^-116 - 1698q^-115 + 23007q^-114 + 35774q^-113 + 26566q^-112 + 4190q^-111 - 20609q^-110 - 34654q^-109 - 27075q^-108 - 6020q^-107 + 18333q^-106 + 33006q^-105 + 26777q^-104 + 7241q^-103 - 16233q^-102 - 31165q^-101 - 26076q^-100 - 8002q^-99 + 14367q^-98 + 29289q^-97 + 25234q^-96 + 8611q^-95 - 12663q^-94 - 27500q^-93 - 24359q^-92 - 9234q^-91 + 10835q^-90 + 25666q^-89 + 23703q^-88 + 10107q^-87 - 8926q^-86 - 23780q^-85 - 23000q^-84 - 11132q^-83 + 6560q^-82 + 21542q^-81 + 22377q^-80 + 12473q^-79 - 3977q^-78 - 19067q^-77 - 21411q^-76 - 13680q^-75 + 969q^-74 + 15948q^-73 + 20144q^-72 + 14934q^-71 + 2095q^-70 - 12589q^-69 - 18237q^-68 - 15529q^-67 - 5173q^-66 + 8624q^-65 + 15733q^-64 + 15709q^-63 + 7866q^-62 - 4718q^-61 - 12558q^-60 - 14829q^-59 - 9928q^-58 + 726q^-57 + 8885q^-56 + 13216q^-55 + 11066q^-54 + 2639q^-53 - 4985q^-52 - 10603q^-51 - 11107q^-50 - 5317q^-49 + 1237q^-48 + 7477q^-47 + 10027q^-46 + 6786q^-45 + 1983q^-44 - 4017q^-43 - 8021q^-42 - 7151q^-41 - 4237q^-40 + 877q^-39 + 5374q^-38 + 6267q^-37 + 5395q^-36 + 1750q^-35 - 2643q^-34 - 4701q^-33 - 5354q^-32 - 3270q^-31 + 225q^-30 + 2558q^-29 + 4430q^-28 + 3901q^-27 + 1477q^-26 - 678q^-25 - 2945q^-24 - 3469q^-23 - 2302q^-22 - 880q^-21 + 1350q^-20 + 2576q^-19 + 2346q^-18 + 1661q^-17 - 67q^-16 - 1400q^-15 - 1795q^-14 - 1855q^-13 - 740q^-12 + 407q^-11 + 1042q^-10 + 1527q^-9 + 1027q^-8 + 262q^-7 - 343q^-6 - 1003q^-5 - 909q^-4 - 528q^-3 - 158q^-2 + 471q^-1 + 633 + 536q + 347q² - 127q³ - 296q⁴ - 348q⁵ - 371q⁶ - 98q⁷ + 88q⁸ + 202q⁹ + 267q¹⁰ + 104q¹¹ + 31q¹² - 32q¹³ - 153q¹⁴ - 112q¹⁵ - 69q¹⁶ + 78q¹⁸ + 42q¹⁹ + 41q²⁰ + 40q²¹ - 14q²² - 27q²³ - 36q²⁴ - 23q²⁵ + 14q²⁶ + q²⁷ + 5q²⁸ + 16q²⁹ + 5q³⁰ + 2q³¹ - 8q³² - 8q³³ + 3q³⁴ - 2q³⁶ + 2q³⁷ + q³⁸ + 2q³⁹ - q⁴⁰ - 2q⁴¹ + q⁴²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 20]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[5, 14, 6, 15], X[7, 16, 8, 17], > X[11, 1, 12, 18], X[15, 6, 16, 7], X[17, 13, 18, 12], X[13, 8, 14, 9], > X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 20]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 6, -4, 8, -9, 2, -5, 7, -8, 3, -6, 4, -7, 5]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 20]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 14, 16, 2, 18, 8, 6, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 20]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, -1, 2, -1, -3, 2, -3, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 20]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 20]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 20]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 20]][t]
Out[10]=	-3 5 9 2 3 11 - t + -- - - - 9 t + 5 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 20]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + 2 z - z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 20], Knot[10, 149], Knot[11, NonAlternating, 26]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 20]], KnotSignature[Knot[9, 20]]}
Out[13]=	{41, -4}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 20]][q]
Out[14]=	-9 3 5 6 7 7 5 4 2 1 - q + -- - -- + -- - -- + -- - -- + -- - - 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 20], Knot[11, NonAlternating, 90]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 20]][q]
Out[16]=	-28 -24 -22 -20 -18 -14 -12 2 -8 -6 -4 1 - q + q - q + q - q + q - q + --- - q + q + q 10 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 20]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 8 2 2 4 2 6 2 8 2 2 4 2 a - 2 a + 2 a - a + 3 a z - 5 a z + 5 a z - a z + a z - 4 4 6 4 4 6 > 4 a z + 2 a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 20]][a, z]
Out[18]=	2 4 6 8 7 9 2 2 4 2 6 2 -2 a - 2 a - 2 a - a + 2 a z + 2 a z + 5 a z + 11 a z + 10 a z + 8 2 10 2 3 3 5 3 7 3 9 3 11 3 > 3 a z - a z + 6 a z + 5 a z - 7 a z - 5 a z + a z - 2 4 4 4 6 4 8 4 10 4 3 5 5 5 > 4 a z - 11 a z - 16 a z - 6 a z + 3 a z - 7 a z - 12 a z + 9 5 2 6 4 6 6 6 8 6 3 7 5 7 7 7 > 5 a z + a z + a z + 5 a z + 5 a z + 2 a z + 5 a z + 3 a z + 4 8 6 8 > a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 20]], Vassiliev[3][Knot[9, 20]]}
Out[19]=	{2, -4}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 20]][q, t]
Out[20]=	2 3 1 2 1 3 2 3 3 -- + -- + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + 5 3 19 7 17 6 15 6 15 5 13 5 13 4 11 4 q q q t q t q t q t q t q t q t 4 3 3 4 2 3 t t 2 > ------ + ----- + ----- + ----- + ---- + ---- + -- + - + q t 11 3 9 3 9 2 7 2 7 5 3 q q t q t q t q t q t q t q
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 20], 2][q]
Out[21]=	-25 3 2 6 14 7 15 30 14 25 43 14 -1 + q - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 q q q q q q q q q q q 33 45 7 35 36 29 21 5 18 8 5 7 2 > --- - --- + --- + --- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + - - 2 q + q 13 12 11 10 9 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q

The Alternating Knot 920

The Alternating Knot 9₂₀