The Alternating Knot 9₁₉

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,10,6,11 X₃₉₄₈ X_9,3,10,2 X_13,16,14,17 X_7,15,8,14 X_15,7,16,6 X_11,18,12,1 X_17,12,18,13

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, 7, -6, 3, -4, 2, -8, 9, -5, 6, -7, 5, -9, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 10 14 2 18 16 6 12

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial: 2t^-2 - 10t^-1 + 17 - 10t + 2t²

Conway Polynomial: 1 - 2z² + 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {41, 0}

Jones Polynomial: - q^-5 + 3q^-4 - 4q^-3 + 6q^-2 - 7q^-1 + 7 - 6q + 4q² - 2q³ + q⁴

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-16 + q^-14 + q^-12 - q^-10 + 2q^-8 + q^-2 - 1 + q² - 2q⁴ + q⁸ - q¹⁰ + q¹² + q¹⁴

HOMFLY-PT Polynomial: a^-4 - a^-2 - 2a^-2z² + z⁴ + a² + a²z² + a²z⁴ - a⁴z²

Kauffman Polynomial: a^-4 - 2a^-4z² + a^-4z⁴ + a^-3z - 3a^-3z³ + 2a^-3z⁵ + a^-2 - 3a^-2z² + 2a^-2z⁶ - a^-1z + a^-1z³ - a^-1z⁵ + 2a^-1z⁷ + 3z² - 4z⁴ + 2z⁶ + z⁸ - 3az + 10az³ - 11az⁵ + 5az⁷ - a² + 8a²z² - 11a²z⁴ + 3a²z⁶ + a²z⁸ - a³z + 4a³z³ - 7a³z⁵ + 3a³z⁷ + 4a⁴z² - 8a⁴z⁴ + 3a⁴z⁶ - 2a⁵z³ + a⁵z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-2, -1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 9₁₉. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 9 1

j = 7 1

j = 5 3 1

j = 3 3 1

j = 1 4 3

j = -1 4 4

j = -3 2 3

j = -5 2 4

j = -7 1 2

j = -9 2

j = -11 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-15 - 3q^-14 + 9q^-12 - 10q^-11 - 6q^-10 + 23q^-9 - 14q^-8 - 19q^-7 + 38q^-6 - 13q^-5 - 33q^-4 + 47q^-3 - 9q^-2 - 40q^-1 + 45 - 3q - 35q² + 31q³ + q⁴ - 21q⁵ + 15q⁶ + q⁷ - 8q⁸ + 5q⁹ - 2q¹¹ + q¹²

3 - q^-30 + 3q^-29 - 5q^-27 - 4q^-26 + 10q^-25 + 12q^-24 - 16q^-23 - 22q^-22 + 16q^-21 + 39q^-20 - 13q^-19 - 55q^-18 - q^-17 + 75q^-16 + 14q^-15 - 83q^-14 - 41q^-13 + 97q^-12 + 61q^-11 - 97q^-10 - 88q^-9 + 100q^-8 + 106q^-7 - 95q^-6 - 124q^-5 + 89q^-4 + 135q^-3 - 79q^-2 - 139q^-1 + 66 + 135q - 49q² - 123q³ + 32q⁴ + 106q⁵ - 19q⁶ - 82q⁷ + 8q⁸ + 58q⁹ - q¹⁰ - 40q¹¹ + 2q¹² + 22q¹³ - 14q¹⁵ + 3q¹⁶ + 6q¹⁷ - q¹⁸ - 5q¹⁹ + 3q²⁰ + q²¹ - 2q²³ + q²⁴

4 q^-50 - 3q^-49 + 5q^-47 + 4q^-45 - 17q^-44 - 5q^-43 + 17q^-42 + 8q^-41 + 28q^-40 - 47q^-39 - 36q^-38 + 19q^-37 + 23q^-36 + 98q^-35 - 60q^-34 - 87q^-33 - 30q^-32 - 2q^-31 + 210q^-30 - 6q^-29 - 102q^-28 - 125q^-27 - 115q^-26 + 295q^-25 + 107q^-24 - 20q^-23 - 206q^-22 - 306q^-21 + 299q^-20 + 219q^-19 + 141q^-18 - 225q^-17 - 507q^-16 + 231q^-15 + 287q^-14 + 319q^-13 - 191q^-12 - 663q^-11 + 138q^-10 + 310q^-9 + 460q^-8 - 133q^-7 - 748q^-6 + 42q^-5 + 294q^-4 + 546q^-3 - 60q^-2 - 746q^-1 - 49 + 225q + 555q² + 35q³ - 635q⁴ - 119q⁵ + 104q⁶ + 470q⁷ + 119q⁸ - 436q⁹ - 125q¹⁰ - 18q¹¹ + 305q¹² + 142q¹³ - 225q¹⁴ - 70q¹⁵ - 76q¹⁶ + 141q¹⁷ + 99q¹⁸ - 88q¹⁹ - 7q²⁰ - 63q²¹ + 43q²² + 42q²³ - 32q²⁴ + 19q²⁵ - 29q²⁶ + 9q²⁷ + 10q²⁸ - 15q²⁹ + 16q³⁰ - 8q³¹ + 2q³² + q³³ - 7q³⁴ + 6q³⁵ - q³⁶ + q³⁷ - 2q³⁹ + q⁴⁰

5 - q^-75 + 3q^-74 - 5q^-72 + 3q^-69 + 10q^-68 + 5q^-67 - 17q^-66 - 18q^-65 - 5q^-64 + 12q^-63 + 36q^-62 + 32q^-61 - 13q^-60 - 65q^-59 - 59q^-58 - 3q^-57 + 69q^-56 + 114q^-55 + 58q^-54 - 73q^-53 - 165q^-52 - 126q^-51 + 19q^-50 + 183q^-49 + 240q^-48 + 82q^-47 - 172q^-46 - 322q^-45 - 238q^-44 + 62q^-43 + 388q^-42 + 429q^-41 + 104q^-40 - 351q^-39 - 618q^-38 - 381q^-37 + 264q^-36 + 757q^-35 + 667q^-34 - 25q^-33 - 843q^-32 - 1011q^-31 - 232q^-30 + 837q^-29 + 1278q^-28 + 604q^-27 - 761q^-26 - 1558q^-25 - 931q^-24 + 622q^-23 + 1732q^-22 + 1293q^-21 - 449q^-20 - 1891q^-19 - 1584q^-18 + 264q^-17 + 1973q^-16 + 1859q^-15 - 88q^-14 - 2032q^-13 - 2067q^-12 - 87q^-11 + 2053q^-10 + 2243q^-9 + 241q^-8 - 2035q^-7 - 2367q^-6 - 402q^-5 + 1971q^-4 + 2453q^-3 + 564q^-2 - 1857q^-1 - 2472 - 734q + 1667q² + 2429q³ + 902q⁴ - 1411q⁵ - 2310q⁶ - 1034q⁷ + 1100q⁸ + 2086q⁹ + 1127q¹⁰ - 752q¹¹ - 1794q¹² - 1148q¹³ + 431q¹⁴ + 1431q¹⁵ + 1080q¹⁶ - 143q¹⁷ - 1053q¹⁸ - 947q¹⁹ - 67q²⁰ + 718q²¹ + 752q²² + 174q²³ - 412q²⁴ - 555q²⁵ - 224q²⁶ + 217q²⁷ + 370q²⁸ + 191q²⁹ - 71q³⁰ - 222q³¹ - 160q³² + 16q³³ + 116q³⁴ + 100q³⁵ + 25q³⁶ - 56q³⁷ - 68q³⁸ - 14q³⁹ + 15q⁴⁰ + 27q⁴¹ + 28q⁴² - 5q⁴³ - 21q⁴⁴ - 4q⁴⁵ - 5q⁴⁶ - 2q⁴⁷ + 14q⁴⁸ + 4q⁴⁹ - 6q⁵⁰ + 2q⁵¹ - 3q⁵² - 5q⁵³ + 4q⁵⁴ + 2q⁵⁵ - q⁵⁶ + q⁵⁷ - 2q⁵⁹ + q⁶⁰

6 q^-105 - 3q^-104 + 5q^-102 - 7q^-99 + 4q^-98 - 10q^-97 - 5q^-96 + 26q^-95 + 9q^-94 + 6q^-93 - 26q^-92 - q^-91 - 43q^-90 - 28q^-89 + 64q^-88 + 52q^-87 + 56q^-86 - 38q^-85 + 7q^-84 - 140q^-83 - 139q^-82 + 58q^-81 + 107q^-80 + 196q^-79 + 49q^-78 + 143q^-77 - 224q^-76 - 365q^-75 - 152q^-74 - 15q^-73 + 268q^-72 + 228q^-71 + 601q^-70 + 6q^-69 - 415q^-68 - 498q^-67 - 525q^-66 - 157q^-65 + 60q^-64 + 1182q^-63 + 767q^-62 + 262q^-61 - 366q^-60 - 1073q^-59 - 1268q^-58 - 1078q^-57 + 1079q^-56 + 1543q^-55 + 1773q^-54 + 933q^-53 - 712q^-52 - 2394q^-51 - 3171q^-50 - 405q^-49 + 1297q^-48 + 3298q^-47 + 3279q^-46 + 1183q^-45 - 2470q^-44 - 5286q^-43 - 3019q^-42 - 491q^-41 + 3790q^-40 + 5691q^-39 + 4217q^-38 - 1100q^-37 - 6442q^-36 - 5756q^-35 - 3310q^-34 + 2976q^-33 + 7270q^-32 + 7355q^-31 + 1157q^-30 - 6448q^-29 - 7790q^-28 - 6164q^-27 + 1419q^-26 + 7871q^-25 + 9815q^-24 + 3411q^-23 - 5790q^-22 - 8972q^-21 - 8380q^-20 - 143q^-19 + 7868q^-18 + 11426q^-17 + 5152q^-16 - 4989q^-15 - 9555q^-14 - 9859q^-13 - 1401q^-12 + 7589q^-11 + 12358q^-10 + 6408q^-9 - 4130q^-8 - 9712q^-7 - 10799q^-6 - 2533q^-5 + 6961q^-4 + 12695q^-3 + 7437q^-2 - 2914q^-1 - 9251 - 11252q - 3831q² + 5616q³ + 12163q⁴ + 8234q⁵ - 1079q⁶ - 7759q⁷ - 10853q⁸ - 5164q⁹ + 3355q¹⁰ + 10321q¹¹ + 8292q¹² + 1061q¹³ - 5123q¹⁴ - 9126q¹⁵ - 5842q¹⁶ + 693q¹⁷ + 7201q¹⁸ + 7062q¹⁹ + 2590q²⁰ - 2076q²¹ - 6201q²² - 5230q²³ - 1278q²⁴ + 3756q²⁵ + 4727q²⁶ + 2796q²⁷ + 165q²⁸ - 3125q²⁹ - 3543q³⁰ - 1859q³¹ + 1243q³² + 2314q³³ + 1922q³⁴ + 999q³⁵ - 1019q³⁶ - 1763q³⁷ - 1384q³⁸ + 116q³⁹ + 752q⁴⁰ + 874q⁴¹ + 844q⁴² - 120q⁴³ - 637q⁴⁴ - 697q⁴⁵ - 103q⁴⁶ + 118q⁴⁷ + 246q⁴⁸ + 454q⁴⁹ + 67q⁵⁰ - 168q⁵¹ - 269q⁵² - 51q⁵³ - 23q⁵⁴ + 17q⁵⁵ + 196q⁵⁶ + 49q⁵⁷ - 31q⁵⁸ - 89q⁵⁹ - 7q⁶⁰ - 25q⁶¹ - 27q⁶² + 74q⁶³ + 20q⁶⁴ + q⁶⁵ - 27q⁶⁶ + 5q⁶⁷ - 12q⁶⁸ - 21q⁶⁹ + 24q⁷⁰ + 5q⁷¹ + 5q⁷² - 7q⁷³ + 4q⁷⁴ - 3q⁷⁵ - 9q⁷⁶ + 6q⁷⁷ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰ + q⁸¹ - 2q⁸³ + q⁸⁴

7 - q^-140 + 3q^-139 - 5q^-137 + 7q^-134 - 4q^-132 + 10q^-131 - 4q^-130 - 17q^-129 - 9q^-128 - 6q^-127 + 25q^-126 + 26q^-125 - 3q^-124 + 28q^-123 - 12q^-122 - 50q^-121 - 47q^-120 - 65q^-119 + 41q^-118 + 91q^-117 + 55q^-116 + 110q^-115 + 21q^-114 - 86q^-113 - 122q^-112 - 260q^-111 - 88q^-110 + 105q^-109 + 137q^-108 + 349q^-107 + 242q^-106 + 77q^-105 - 64q^-104 - 517q^-103 - 485q^-102 - 264q^-101 - 136q^-100 + 447q^-99 + 618q^-98 + 643q^-97 + 659q^-96 - 187q^-95 - 644q^-94 - 945q^-93 - 1255q^-92 - 484q^-91 + 142q^-90 + 958q^-89 + 1994q^-88 + 1549q^-87 + 844q^-86 - 432q^-85 - 2354q^-84 - 2688q^-83 - 2529q^-82 - 1038q^-81 + 2037q^-80 + 3714q^-79 + 4603q^-78 + 3349q^-77 - 595q^-76 - 3880q^-75 - 6670q^-74 - 6607q^-73 - 2143q^-72 + 2916q^-71 + 8141q^-70 + 10143q^-69 + 6155q^-68 - 263q^-67 - 8487q^-66 - 13576q^-65 - 11017q^-64 - 3882q^-63 + 7132q^-62 + 16060q^-61 + 16312q^-60 + 9515q^-59 - 4126q^-58 - 17348q^-57 - 21155q^-56 - 15869q^-55 - 625q^-54 + 16844q^-53 + 25292q^-52 + 22647q^-51 + 6456q^-50 - 14950q^-49 - 28087q^-48 - 28889q^-47 - 13068q^-46 + 11556q^-45 + 29637q^-44 + 34560q^-43 + 19703q^-42 - 7486q^-41 - 29920q^-40 - 39041q^-39 - 25974q^-38 + 2862q^-37 + 29294q^-36 + 42587q^-35 + 31519q^-34 + 1588q^-33 - 28062q^-32 - 45063q^-31 - 36200q^-30 - 5721q^-29 + 26559q^-28 + 46799q^-27 + 39963q^-26 + 9292q^-25 - 25002q^-24 - 47959q^-23 - 42961q^-22 - 12258q^-21 + 23585q^-20 + 48678q^-19 + 45278q^-18 + 14779q^-17 - 22238q^-16 - 49153q^-15 - 47183q^-14 - 16936q^-13 + 20961q^-12 + 49321q^-11 + 48723q^-10 + 18995q^-9 - 19460q^-8 - 49152q^-7 - 50051q^-6 - 21149q^-5 + 17596q^-4 + 48493q^-3 + 51043q^-2 + 23460q^-1 - 15071 - 46997q - 51586q² - 26022q³ + 11758q⁴ + 44492q⁵ + 51410q⁶ + 28531q⁷ - 7636q⁸ - 40694q⁹ - 50085q¹⁰ - 30755q¹¹ + 2811q¹² + 35554q¹³ + 47435q¹⁴ + 32266q¹⁵ + 2194q¹⁶ - 29277q¹⁷ - 43182q¹⁸ - 32519q¹⁹ - 6984q²⁰ + 22153q²¹ + 37534q²² + 31380q²³ + 10894q²⁴ - 15023q²⁵ - 30788q²⁶ - 28609q²⁷ - 13428q²⁸ + 8369q²⁹ + 23543q³⁰ + 24606q³¹ + 14414q³² - 2931q³³ - 16639q³⁴ - 19766q³⁵ - 13795q³⁶ - 900q³⁷ + 10528q³⁸ + 14679q³⁹ + 12096q⁴⁰ + 3173q⁴¹ - 5829q⁴² - 10112q⁴³ - 9630q⁴⁴ - 3931q⁴⁵ + 2521q⁴⁶ + 6256q⁴⁷ + 7082q⁴⁸ + 3816q⁴⁹ - 588q⁵⁰ - 3517q⁵¹ - 4786q⁵² - 3062q⁵³ - 351q⁵⁴ + 1670q⁵⁵ + 2998q⁵⁶ + 2222q⁵⁷ + 632q⁵⁸ - 661q⁵⁹ - 1736q⁶⁰ - 1430q⁶¹ - 599q⁶² + 139q⁶³ + 980q⁶⁴ + 869q⁶⁵ + 402q⁶⁶ + 34q⁶⁷ - 495q⁶⁸ - 463q⁶⁹ - 286q⁷⁰ - 112q⁷¹ + 308q⁷² + 276q⁷³ + 122q⁷⁴ + 62q⁷⁵ - 139q⁷⁶ - 111q⁷⁷ - 96q⁷⁸ - 91q⁷⁹ + 115q⁸⁰ + 96q⁸¹ + 27q⁸² + 25q⁸³ - 51q⁸⁴ - 16q⁸⁵ - 29q⁸⁶ - 56q⁸⁷ + 41q⁸⁸ + 38q⁸⁹ + 9q⁹⁰ + 12q⁹¹ - 19q⁹² + 2q⁹³ - 7q⁹⁴ - 28q⁹⁵ + 11q⁹⁶ + 11q⁹⁷ + 3q⁹⁸ + 7q⁹⁹ - 6q¹⁰⁰ + 3q¹⁰¹ - q¹⁰² - 9q¹⁰³ + 2q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁵ + 2q¹⁰⁷ - q¹⁰⁸ + q¹⁰⁹ - 2q¹¹¹ + q¹¹²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 19]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[13, 16, 14, 17], X[7, 15, 8, 14], X[15, 7, 16, 6], X[11, 18, 12, 1], > X[17, 12, 18, 13]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 19]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 7, -6, 3, -4, 2, -8, 9, -5, 6, -7, 5, -9, 8]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 19]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 10, 14, 2, 18, 16, 6, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 19]]

Out[5]=
BR[5, {1, -2, 1, -2, -2, -3, 2, 4, -3, 4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 19]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 19]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 19]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 2, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 19]][t]

Out[10]=
2 10 2 17 + -- - -- - 10 t + 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 19]][z]

Out[11]=
2 4 1 - 2 z + 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 19]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 19]], KnotSignature[Knot[9, 19]]}

Out[13]=
{41, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 19]][q]

Out[14]=
-5 3 4 6 7 2 3 4 7 - q + -- - -- + -- - - - 6 q + 4 q - 2 q + q 4 3 2 q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 19]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 19]][q]

Out[16]=
-16 -14 -12 -10 2 -2 2 4 8 10 12 14 -1 - q + q + q - q + -- + q + q - 2 q + q - q + q + q 8 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 19]][a, z]

Out[17]=
2 -4 -2 2 2 z 2 2 4 2 4 2 4 a - a + a - ---- + a z - a z + z + a z 2 a

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 19]][a, z]

Out[18]=
2 2 -4 -2 2 z z 3 2 2 z 3 z 2 2 a + a - a + -- - - - 3 a z - a z + 3 z - ---- - ---- + 8 a z + 3 a 4 2 a a a 3 3 4 4 2 3 z z 3 3 3 5 3 4 z 2 4 > 4 a z - ---- + -- + 10 a z + 4 a z - 2 a z - 4 z + -- - 11 a z - 3 a 4 a a 5 5 6 4 4 2 z z 5 3 5 5 5 6 2 z 2 6 > 8 a z + ---- - -- - 11 a z - 7 a z + a z + 2 z + ---- + 3 a z + 3 a 2 a a 7 4 6 2 z 7 3 7 8 2 8 > 3 a z + ---- + 5 a z + 3 a z + z + a z a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 19]], Vassiliev[3][Knot[9, 19]]}

Out[19]=
{-2, -1}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 19]][q, t]

Out[20]=
4 1 2 1 2 2 4 2 3 4 - + 4 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 19], 2][q]

Out[21]=
-15 3 9 10 6 23 14 19 38 13 33 47 9 45 + q - --- + --- - --- - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 40 2 3 4 5 6 7 8 9 11 > -- - 3 q - 35 q + 31 q + q - 21 q + 15 q + q - 8 q + 5 q - 2 q + q 12 > q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₁₉

9₁₈
9₂₀

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-15 - 3q^-14 + 9q^-12 - 10q^-11 - 6q^-10 + 23q^-9 - 14q^-8 - 19q^-7 + 38q^-6 - 13q^-5 - 33q^-4 + 47q^-3 - 9q^-2 - 40q^-1 + 45 - 3q - 35q² + 31q³ + q⁴ - 21q⁵ + 15q⁶ + q⁷ - 8q⁸ + 5q⁹ - 2q¹¹ + q¹²
3	- q^-30 + 3q^-29 - 5q^-27 - 4q^-26 + 10q^-25 + 12q^-24 - 16q^-23 - 22q^-22 + 16q^-21 + 39q^-20 - 13q^-19 - 55q^-18 - q^-17 + 75q^-16 + 14q^-15 - 83q^-14 - 41q^-13 + 97q^-12 + 61q^-11 - 97q^-10 - 88q^-9 + 100q^-8 + 106q^-7 - 95q^-6 - 124q^-5 + 89q^-4 + 135q^-3 - 79q^-2 - 139q^-1 + 66 + 135q - 49q² - 123q³ + 32q⁴ + 106q⁵ - 19q⁶ - 82q⁷ + 8q⁸ + 58q⁹ - q¹⁰ - 40q¹¹ + 2q¹² + 22q¹³ - 14q¹⁵ + 3q¹⁶ + 6q¹⁷ - q¹⁸ - 5q¹⁹ + 3q²⁰ + q²¹ - 2q²³ + q²⁴
4	q^-50 - 3q^-49 + 5q^-47 + 4q^-45 - 17q^-44 - 5q^-43 + 17q^-42 + 8q^-41 + 28q^-40 - 47q^-39 - 36q^-38 + 19q^-37 + 23q^-36 + 98q^-35 - 60q^-34 - 87q^-33 - 30q^-32 - 2q^-31 + 210q^-30 - 6q^-29 - 102q^-28 - 125q^-27 - 115q^-26 + 295q^-25 + 107q^-24 - 20q^-23 - 206q^-22 - 306q^-21 + 299q^-20 + 219q^-19 + 141q^-18 - 225q^-17 - 507q^-16 + 231q^-15 + 287q^-14 + 319q^-13 - 191q^-12 - 663q^-11 + 138q^-10 + 310q^-9 + 460q^-8 - 133q^-7 - 748q^-6 + 42q^-5 + 294q^-4 + 546q^-3 - 60q^-2 - 746q^-1 - 49 + 225q + 555q² + 35q³ - 635q⁴ - 119q⁵ + 104q⁶ + 470q⁷ + 119q⁸ - 436q⁹ - 125q¹⁰ - 18q¹¹ + 305q¹² + 142q¹³ - 225q¹⁴ - 70q¹⁵ - 76q¹⁶ + 141q¹⁷ + 99q¹⁸ - 88q¹⁹ - 7q²⁰ - 63q²¹ + 43q²² + 42q²³ - 32q²⁴ + 19q²⁵ - 29q²⁶ + 9q²⁷ + 10q²⁸ - 15q²⁹ + 16q³⁰ - 8q³¹ + 2q³² + q³³ - 7q³⁴ + 6q³⁵ - q³⁶ + q³⁷ - 2q³⁹ + q⁴⁰
5	- q^-75 + 3q^-74 - 5q^-72 + 3q^-69 + 10q^-68 + 5q^-67 - 17q^-66 - 18q^-65 - 5q^-64 + 12q^-63 + 36q^-62 + 32q^-61 - 13q^-60 - 65q^-59 - 59q^-58 - 3q^-57 + 69q^-56 + 114q^-55 + 58q^-54 - 73q^-53 - 165q^-52 - 126q^-51 + 19q^-50 + 183q^-49 + 240q^-48 + 82q^-47 - 172q^-46 - 322q^-45 - 238q^-44 + 62q^-43 + 388q^-42 + 429q^-41 + 104q^-40 - 351q^-39 - 618q^-38 - 381q^-37 + 264q^-36 + 757q^-35 + 667q^-34 - 25q^-33 - 843q^-32 - 1011q^-31 - 232q^-30 + 837q^-29 + 1278q^-28 + 604q^-27 - 761q^-26 - 1558q^-25 - 931q^-24 + 622q^-23 + 1732q^-22 + 1293q^-21 - 449q^-20 - 1891q^-19 - 1584q^-18 + 264q^-17 + 1973q^-16 + 1859q^-15 - 88q^-14 - 2032q^-13 - 2067q^-12 - 87q^-11 + 2053q^-10 + 2243q^-9 + 241q^-8 - 2035q^-7 - 2367q^-6 - 402q^-5 + 1971q^-4 + 2453q^-3 + 564q^-2 - 1857q^-1 - 2472 - 734q + 1667q² + 2429q³ + 902q⁴ - 1411q⁵ - 2310q⁶ - 1034q⁷ + 1100q⁸ + 2086q⁹ + 1127q¹⁰ - 752q¹¹ - 1794q¹² - 1148q¹³ + 431q¹⁴ + 1431q¹⁵ + 1080q¹⁶ - 143q¹⁷ - 1053q¹⁸ - 947q¹⁹ - 67q²⁰ + 718q²¹ + 752q²² + 174q²³ - 412q²⁴ - 555q²⁵ - 224q²⁶ + 217q²⁷ + 370q²⁸ + 191q²⁹ - 71q³⁰ - 222q³¹ - 160q³² + 16q³³ + 116q³⁴ + 100q³⁵ + 25q³⁶ - 56q³⁷ - 68q³⁸ - 14q³⁹ + 15q⁴⁰ + 27q⁴¹ + 28q⁴² - 5q⁴³ - 21q⁴⁴ - 4q⁴⁵ - 5q⁴⁶ - 2q⁴⁷ + 14q⁴⁸ + 4q⁴⁹ - 6q⁵⁰ + 2q⁵¹ - 3q⁵² - 5q⁵³ + 4q⁵⁴ + 2q⁵⁵ - q⁵⁶ + q⁵⁷ - 2q⁵⁹ + q⁶⁰
6	q^-105 - 3q^-104 + 5q^-102 - 7q^-99 + 4q^-98 - 10q^-97 - 5q^-96 + 26q^-95 + 9q^-94 + 6q^-93 - 26q^-92 - q^-91 - 43q^-90 - 28q^-89 + 64q^-88 + 52q^-87 + 56q^-86 - 38q^-85 + 7q^-84 - 140q^-83 - 139q^-82 + 58q^-81 + 107q^-80 + 196q^-79 + 49q^-78 + 143q^-77 - 224q^-76 - 365q^-75 - 152q^-74 - 15q^-73 + 268q^-72 + 228q^-71 + 601q^-70 + 6q^-69 - 415q^-68 - 498q^-67 - 525q^-66 - 157q^-65 + 60q^-64 + 1182q^-63 + 767q^-62 + 262q^-61 - 366q^-60 - 1073q^-59 - 1268q^-58 - 1078q^-57 + 1079q^-56 + 1543q^-55 + 1773q^-54 + 933q^-53 - 712q^-52 - 2394q^-51 - 3171q^-50 - 405q^-49 + 1297q^-48 + 3298q^-47 + 3279q^-46 + 1183q^-45 - 2470q^-44 - 5286q^-43 - 3019q^-42 - 491q^-41 + 3790q^-40 + 5691q^-39 + 4217q^-38 - 1100q^-37 - 6442q^-36 - 5756q^-35 - 3310q^-34 + 2976q^-33 + 7270q^-32 + 7355q^-31 + 1157q^-30 - 6448q^-29 - 7790q^-28 - 6164q^-27 + 1419q^-26 + 7871q^-25 + 9815q^-24 + 3411q^-23 - 5790q^-22 - 8972q^-21 - 8380q^-20 - 143q^-19 + 7868q^-18 + 11426q^-17 + 5152q^-16 - 4989q^-15 - 9555q^-14 - 9859q^-13 - 1401q^-12 + 7589q^-11 + 12358q^-10 + 6408q^-9 - 4130q^-8 - 9712q^-7 - 10799q^-6 - 2533q^-5 + 6961q^-4 + 12695q^-3 + 7437q^-2 - 2914q^-1 - 9251 - 11252q - 3831q² + 5616q³ + 12163q⁴ + 8234q⁵ - 1079q⁶ - 7759q⁷ - 10853q⁸ - 5164q⁹ + 3355q¹⁰ + 10321q¹¹ + 8292q¹² + 1061q¹³ - 5123q¹⁴ - 9126q¹⁵ - 5842q¹⁶ + 693q¹⁷ + 7201q¹⁸ + 7062q¹⁹ + 2590q²⁰ - 2076q²¹ - 6201q²² - 5230q²³ - 1278q²⁴ + 3756q²⁵ + 4727q²⁶ + 2796q²⁷ + 165q²⁸ - 3125q²⁹ - 3543q³⁰ - 1859q³¹ + 1243q³² + 2314q³³ + 1922q³⁴ + 999q³⁵ - 1019q³⁶ - 1763q³⁷ - 1384q³⁸ + 116q³⁹ + 752q⁴⁰ + 874q⁴¹ + 844q⁴² - 120q⁴³ - 637q⁴⁴ - 697q⁴⁵ - 103q⁴⁶ + 118q⁴⁷ + 246q⁴⁸ + 454q⁴⁹ + 67q⁵⁰ - 168q⁵¹ - 269q⁵² - 51q⁵³ - 23q⁵⁴ + 17q⁵⁵ + 196q⁵⁶ + 49q⁵⁷ - 31q⁵⁸ - 89q⁵⁹ - 7q⁶⁰ - 25q⁶¹ - 27q⁶² + 74q⁶³ + 20q⁶⁴ + q⁶⁵ - 27q⁶⁶ + 5q⁶⁷ - 12q⁶⁸ - 21q⁶⁹ + 24q⁷⁰ + 5q⁷¹ + 5q⁷² - 7q⁷³ + 4q⁷⁴ - 3q⁷⁵ - 9q⁷⁶ + 6q⁷⁷ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰ + q⁸¹ - 2q⁸³ + q⁸⁴
7	- q^-140 + 3q^-139 - 5q^-137 + 7q^-134 - 4q^-132 + 10q^-131 - 4q^-130 - 17q^-129 - 9q^-128 - 6q^-127 + 25q^-126 + 26q^-125 - 3q^-124 + 28q^-123 - 12q^-122 - 50q^-121 - 47q^-120 - 65q^-119 + 41q^-118 + 91q^-117 + 55q^-116 + 110q^-115 + 21q^-114 - 86q^-113 - 122q^-112 - 260q^-111 - 88q^-110 + 105q^-109 + 137q^-108 + 349q^-107 + 242q^-106 + 77q^-105 - 64q^-104 - 517q^-103 - 485q^-102 - 264q^-101 - 136q^-100 + 447q^-99 + 618q^-98 + 643q^-97 + 659q^-96 - 187q^-95 - 644q^-94 - 945q^-93 - 1255q^-92 - 484q^-91 + 142q^-90 + 958q^-89 + 1994q^-88 + 1549q^-87 + 844q^-86 - 432q^-85 - 2354q^-84 - 2688q^-83 - 2529q^-82 - 1038q^-81 + 2037q^-80 + 3714q^-79 + 4603q^-78 + 3349q^-77 - 595q^-76 - 3880q^-75 - 6670q^-74 - 6607q^-73 - 2143q^-72 + 2916q^-71 + 8141q^-70 + 10143q^-69 + 6155q^-68 - 263q^-67 - 8487q^-66 - 13576q^-65 - 11017q^-64 - 3882q^-63 + 7132q^-62 + 16060q^-61 + 16312q^-60 + 9515q^-59 - 4126q^-58 - 17348q^-57 - 21155q^-56 - 15869q^-55 - 625q^-54 + 16844q^-53 + 25292q^-52 + 22647q^-51 + 6456q^-50 - 14950q^-49 - 28087q^-48 - 28889q^-47 - 13068q^-46 + 11556q^-45 + 29637q^-44 + 34560q^-43 + 19703q^-42 - 7486q^-41 - 29920q^-40 - 39041q^-39 - 25974q^-38 + 2862q^-37 + 29294q^-36 + 42587q^-35 + 31519q^-34 + 1588q^-33 - 28062q^-32 - 45063q^-31 - 36200q^-30 - 5721q^-29 + 26559q^-28 + 46799q^-27 + 39963q^-26 + 9292q^-25 - 25002q^-24 - 47959q^-23 - 42961q^-22 - 12258q^-21 + 23585q^-20 + 48678q^-19 + 45278q^-18 + 14779q^-17 - 22238q^-16 - 49153q^-15 - 47183q^-14 - 16936q^-13 + 20961q^-12 + 49321q^-11 + 48723q^-10 + 18995q^-9 - 19460q^-8 - 49152q^-7 - 50051q^-6 - 21149q^-5 + 17596q^-4 + 48493q^-3 + 51043q^-2 + 23460q^-1 - 15071 - 46997q - 51586q² - 26022q³ + 11758q⁴ + 44492q⁵ + 51410q⁶ + 28531q⁷ - 7636q⁸ - 40694q⁹ - 50085q¹⁰ - 30755q¹¹ + 2811q¹² + 35554q¹³ + 47435q¹⁴ + 32266q¹⁵ + 2194q¹⁶ - 29277q¹⁷ - 43182q¹⁸ - 32519q¹⁹ - 6984q²⁰ + 22153q²¹ + 37534q²² + 31380q²³ + 10894q²⁴ - 15023q²⁵ - 30788q²⁶ - 28609q²⁷ - 13428q²⁸ + 8369q²⁹ + 23543q³⁰ + 24606q³¹ + 14414q³² - 2931q³³ - 16639q³⁴ - 19766q³⁵ - 13795q³⁶ - 900q³⁷ + 10528q³⁸ + 14679q³⁹ + 12096q⁴⁰ + 3173q⁴¹ - 5829q⁴² - 10112q⁴³ - 9630q⁴⁴ - 3931q⁴⁵ + 2521q⁴⁶ + 6256q⁴⁷ + 7082q⁴⁸ + 3816q⁴⁹ - 588q⁵⁰ - 3517q⁵¹ - 4786q⁵² - 3062q⁵³ - 351q⁵⁴ + 1670q⁵⁵ + 2998q⁵⁶ + 2222q⁵⁷ + 632q⁵⁸ - 661q⁵⁹ - 1736q⁶⁰ - 1430q⁶¹ - 599q⁶² + 139q⁶³ + 980q⁶⁴ + 869q⁶⁵ + 402q⁶⁶ + 34q⁶⁷ - 495q⁶⁸ - 463q⁶⁹ - 286q⁷⁰ - 112q⁷¹ + 308q⁷² + 276q⁷³ + 122q⁷⁴ + 62q⁷⁵ - 139q⁷⁶ - 111q⁷⁷ - 96q⁷⁸ - 91q⁷⁹ + 115q⁸⁰ + 96q⁸¹ + 27q⁸² + 25q⁸³ - 51q⁸⁴ - 16q⁸⁵ - 29q⁸⁶ - 56q⁸⁷ + 41q⁸⁸ + 38q⁸⁹ + 9q⁹⁰ + 12q⁹¹ - 19q⁹² + 2q⁹³ - 7q⁹⁴ - 28q⁹⁵ + 11q⁹⁶ + 11q⁹⁷ + 3q⁹⁸ + 7q⁹⁹ - 6q¹⁰⁰ + 3q¹⁰¹ - q¹⁰² - 9q¹⁰³ + 2q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁵ + 2q¹⁰⁷ - q¹⁰⁸ + q¹⁰⁹ - 2q¹¹¹ + q¹¹²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 19]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[13, 16, 14, 17], X[7, 15, 8, 14], X[15, 7, 16, 6], X[11, 18, 12, 1], > X[17, 12, 18, 13]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 19]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 7, -6, 3, -4, 2, -8, 9, -5, 6, -7, 5, -9, 8]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 19]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 10, 14, 2, 18, 16, 6, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 19]]
Out[5]=	BR[5, {1, -2, 1, -2, -2, -3, 2, 4, -3, 4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 19]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 19]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 19]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 19]][t]
Out[10]=	2 10 2 17 + -- - -- - 10 t + 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 19]][z]
Out[11]=	2 4 1 - 2 z + 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 19]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 19]], KnotSignature[Knot[9, 19]]}
Out[13]=	{41, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 19]][q]
Out[14]=	-5 3 4 6 7 2 3 4 7 - q + -- - -- + -- - - - 6 q + 4 q - 2 q + q 4 3 2 q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 19]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 19]][q]
Out[16]=	-16 -14 -12 -10 2 -2 2 4 8 10 12 14 -1 - q + q + q - q + -- + q + q - 2 q + q - q + q + q 8 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 19]][a, z]
Out[17]=	2 -4 -2 2 2 z 2 2 4 2 4 2 4 a - a + a - ---- + a z - a z + z + a z 2 a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 19]][a, z]
Out[18]=	2 2 -4 -2 2 z z 3 2 2 z 3 z 2 2 a + a - a + -- - - - 3 a z - a z + 3 z - ---- - ---- + 8 a z + 3 a 4 2 a a a 3 3 4 4 2 3 z z 3 3 3 5 3 4 z 2 4 > 4 a z - ---- + -- + 10 a z + 4 a z - 2 a z - 4 z + -- - 11 a z - 3 a 4 a a 5 5 6 4 4 2 z z 5 3 5 5 5 6 2 z 2 6 > 8 a z + ---- - -- - 11 a z - 7 a z + a z + 2 z + ---- + 3 a z + 3 a 2 a a 7 4 6 2 z 7 3 7 8 2 8 > 3 a z + ---- + 5 a z + 3 a z + z + a z a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 19]], Vassiliev[3][Knot[9, 19]]}
Out[19]=	{-2, -1}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 19]][q, t]
Out[20]=	4 1 2 1 2 2 4 2 3 4 - + 4 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 19], 2][q]
Out[21]=	-15 3 9 10 6 23 14 19 38 13 33 47 9 45 + q - --- + --- - --- - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 40 2 3 4 5 6 7 8 9 11 > -- - 3 q - 35 q + 31 q + q - 21 q + 15 q + q - 8 q + 5 q - 2 q + q 12 > q

The Alternating Knot 919

The Alternating Knot 9₁₉