The Alternating Knot 9₁₇

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,12,6,13 X_3,11,4,10 X_11,3,12,2 X_7,14,8,15 X_13,6,14,7 X_15,18,16,1 X_9,17,10,16 X_17,9,18,8

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, 6, -5, 9, -8, 3, -4, 2, -6, 5, -7, 8, -9, 7}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 12 14 16 2 6 18 8

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 2 / 4--7 1

Alexander Polynomial: t^-3 - 5t^-2 + 9t^-1 - 9 + 9t - 5t² + t³

Conway Polynomial: 1 - 2z² + z⁴ + z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {39, -2}

Jones Polynomial: - q^-6 + 3q^-5 - 4q^-4 + 6q^-3 - 7q^-2 + 6q^-1 - 5 + 4q - 2q² + q³

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-18 + q^-16 + q^-12 + 2q^-10 - q^-8 + q^-6 - 2q^-4 - q² + q⁴ + q⁸ + q¹⁰

HOMFLY-PT Polynomial: 2a^-2 + a^-2z² - 3 - 6z² - 2z⁴ + 2a² + 5a²z² + 4a²z⁴ + a²z⁶ - 2a⁴z² - a⁴z⁴

Kauffman Polynomial: - 2a^-2 + 5a^-2z² - 4a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - a^-1z + 6a^-1z³ - 7a^-1z⁵ + 2a^-1z⁷ - 3 + 13z² - 12z⁴ + z⁶ + z⁸ + az + 6az³ - 13az⁵ + 5az⁷ - 2a² + 9a²z² - 14a²z⁴ + 4a²z⁶ + a²z⁸ + 3a³z - 4a³z³ - 2a³z⁵ + 3a³z⁷ - a⁴z² - 3a⁴z⁴ + 4a⁴z⁶ + a⁵z - 3a⁵z³ + 4a⁵z⁵ - 2a⁶z² + 3a⁶z⁴ + a⁷z³

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-2, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 9₁₇. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 7 1

j = 5 1

j = 3 3 1

j = 1 2 1

j = -1 4 3

j = -3 4 3

j = -5 2 3

j = -7 2 4

j = -9 1 2

j = -11 2

j = -13 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-17 - 3q^-16 + q^-15 + 6q^-14 - 11q^-13 + 6q^-12 + 12q^-11 - 25q^-10 + 12q^-9 + 20q^-8 - 37q^-7 + 13q^-6 + 28q^-5 - 39q^-4 + 8q^-3 + 30q^-2 - 32q^-1 + 1 + 26q - 20q² - 5q³ + 17q⁴ - 8q⁵ - 5q⁶ + 7q⁷ - q⁸ - 2q⁹ + q¹⁰

3 - q^-33 + 3q^-32 - q^-31 - 3q^-30 - q^-29 + 6q^-28 - 10q^-26 + 7q^-25 + 10q^-24 - 10q^-23 - 19q^-22 + 26q^-21 + 20q^-20 - 35q^-19 - 33q^-18 + 52q^-17 + 40q^-16 - 59q^-15 - 55q^-14 + 66q^-13 + 66q^-12 - 65q^-11 - 73q^-10 + 55q^-9 + 83q^-8 - 47q^-7 - 84q^-6 + 32q^-5 + 86q^-4 - 19q^-3 - 83q^-2 + 5q^-1 + 76 + 11q - 70q² - 19q³ + 55q⁴ + 30q⁵ - 43q⁶ - 31q⁷ + 25q⁸ + 34q⁹ - 16q¹⁰ - 25q¹¹ + 3q¹² + 20q¹³ + q¹⁴ - 11q¹⁵ - 4q¹⁶ + 6q¹⁷ + 2q¹⁸ - q¹⁹ - 2q²⁰ + q²¹

4 q^-54 - 3q^-53 + q^-52 + 3q^-51 - 2q^-50 + 6q^-49 - 12q^-48 + 4q^-47 + 4q^-46 - 11q^-45 + 24q^-44 - 21q^-43 + 13q^-42 - 4q^-41 - 40q^-40 + 53q^-39 - 10q^-38 + 37q^-37 - 31q^-36 - 109q^-35 + 83q^-34 + 37q^-33 + 96q^-32 - 68q^-31 - 228q^-30 + 89q^-29 + 105q^-28 + 198q^-27 - 84q^-26 - 358q^-25 + 53q^-24 + 136q^-23 + 309q^-22 - 47q^-21 - 437q^-20 - 5q^-19 + 105q^-18 + 370q^-17 + 18q^-16 - 431q^-15 - 43q^-14 + 30q^-13 + 362q^-12 + 83q^-11 - 362q^-10 - 60q^-9 - 53q^-8 + 312q^-7 + 134q^-6 - 262q^-5 - 65q^-4 - 131q^-3 + 239q^-2 + 168q^-1 - 147 - 52q - 190q² + 143q³ + 168q⁴ - 35q⁵ - 10q⁶ - 208q⁷ + 40q⁸ + 122q⁹ + 38q¹⁰ + 48q¹¹ - 163q¹² - 32q¹³ + 45q¹⁴ + 50q¹⁵ + 84q¹⁶ - 83q¹⁷ - 46q¹⁸ - 12q¹⁹ + 19q²⁰ + 70q²¹ - 19q²² - 20q²³ - 23q²⁴ - 7q²⁵ + 32q²⁶ + 2q²⁷ - 9q²⁹ - 8q³⁰ + 7q³¹ + q³² + 2q³³ - q³⁴ - 2q³⁵ + q³⁶

5 - q^-80 + 3q^-79 - q^-78 - 3q^-77 + 2q^-76 - 3q^-75 + 8q^-73 + 2q^-72 - 6q^-71 + q^-70 - 11q^-69 - 7q^-68 + 12q^-67 + 19q^-66 + 13q^-65 - 10q^-64 - 36q^-63 - 38q^-62 + 6q^-61 + 75q^-60 + 81q^-59 - 17q^-58 - 114q^-57 - 134q^-56 - 19q^-55 + 190q^-54 + 253q^-53 + 18q^-52 - 271q^-51 - 365q^-50 - 104q^-49 + 372q^-48 + 568q^-47 + 172q^-46 - 467q^-45 - 752q^-44 - 335q^-43 + 540q^-42 + 994q^-41 + 488q^-40 - 558q^-39 - 1185q^-38 - 712q^-37 + 538q^-36 + 1357q^-35 + 898q^-34 - 457q^-33 - 1439q^-32 - 1086q^-31 + 341q^-30 + 1472q^-29 + 1212q^-28 - 217q^-27 - 1431q^-26 - 1274q^-25 + 81q^-24 + 1344q^-23 + 1304q^-22 + 19q^-21 - 1235q^-20 - 1262q^-19 - 120q^-18 + 1089q^-17 + 1228q^-16 + 199q^-15 - 960q^-14 - 1144q^-13 - 279q^-12 + 796q^-11 + 1077q^-10 + 359q^-9 - 641q^-8 - 987q^-7 - 428q^-6 + 467q^-5 + 874q^-4 + 501q^-3 - 284q^-2 - 758q^-1 - 540 + 112q + 594q² + 554q³ + 65q⁴ - 437q⁵ - 519q⁶ - 188q⁷ + 239q⁸ + 449q⁹ + 287q¹⁰ - 82q¹¹ - 329q¹² - 307q¹³ - 82q¹⁴ + 200q¹⁵ + 300q¹⁶ + 153q¹⁷ - 58q¹⁸ - 213q¹⁹ - 216q²⁰ - 47q²¹ + 137q²² + 185q²³ + 112q²⁴ - 25q²⁵ - 151q²⁶ - 136q²⁷ - 28q²⁸ + 74q²⁹ + 119q³⁰ + 72q³¹ - 25q³² - 80q³³ - 70q³⁴ - 19q³⁵ + 43q³⁶ + 59q³⁷ + 23q³⁸ - 9q³⁹ - 31q⁴⁰ - 30q⁴¹ - 3q⁴² + 19q⁴³ + 13q⁴⁴ + 6q⁴⁵ - 11q⁴⁷ - 6q⁴⁸ + 3q⁴⁹ + 2q⁵⁰ + q⁵¹ + 2q⁵² - q⁵³ - 2q⁵⁴ + q⁵⁵

6 q^-111 - 3q^-110 + q^-109 + 3q^-108 - 2q^-107 + 3q^-106 - 3q^-105 + 4q^-104 - 14q^-103 + 16q^-101 - 8q^-100 + 15q^-99 + 7q^-97 - 49q^-96 - 11q^-95 + 37q^-94 - 9q^-93 + 52q^-92 + 24q^-91 + 4q^-90 - 141q^-89 - 55q^-88 + 70q^-87 + 25q^-86 + 162q^-85 + 91q^-84 - 42q^-83 - 356q^-82 - 194q^-81 + 132q^-80 + 175q^-79 + 452q^-78 + 246q^-77 - 202q^-76 - 825q^-75 - 565q^-74 + 203q^-73 + 573q^-72 + 1112q^-71 + 630q^-70 - 483q^-69 - 1719q^-68 - 1398q^-67 + 114q^-66 + 1232q^-65 + 2333q^-64 + 1502q^-63 - 661q^-62 - 2983q^-61 - 2869q^-60 - 469q^-59 + 1809q^-58 + 3959q^-57 + 3028q^-56 - 303q^-55 - 4120q^-54 - 4702q^-53 - 1720q^-52 + 1762q^-51 + 5341q^-50 + 4842q^-49 + 771q^-48 - 4501q^-47 - 6149q^-46 - 3233q^-45 + 941q^-44 + 5837q^-43 + 6172q^-42 + 2108q^-41 - 4019q^-40 - 6629q^-39 - 4292q^-38 - 169q^-37 + 5428q^-36 + 6557q^-35 + 3069q^-34 - 3156q^-33 - 6235q^-32 - 4589q^-31 - 1024q^-30 + 4596q^-29 + 6189q^-28 + 3485q^-27 - 2336q^-26 - 5450q^-25 - 4399q^-24 - 1559q^-23 + 3697q^-22 + 5526q^-21 + 3631q^-20 - 1573q^-19 - 4553q^-18 - 4101q^-17 - 2030q^-16 + 2724q^-15 + 4771q^-14 + 3770q^-13 - 685q^-12 - 3511q^-11 - 3766q^-10 - 2571q^-9 + 1550q^-8 + 3830q^-7 + 3838q^-6 + 349q^-5 - 2203q^-4 - 3198q^-3 - 3010q^-2 + 213q^-1 + 2555 + 3551q + 1264q² - 702q³ - 2193q⁴ - 2990q⁵ - 965q⁶ + 1030q⁷ + 2680q⁸ + 1642q⁹ + 615q¹⁰ - 848q¹¹ - 2269q¹² - 1523q¹³ - 319q¹⁴ + 1369q¹⁵ + 1241q¹⁶ + 1248q¹⁷ + 349q¹⁸ - 1058q¹⁹ - 1230q²⁰ - 959q²¹ + 181q²² + 335q²³ + 1007q²⁴ + 852q²⁵ + 5q²⁶ - 436q²⁷ - 750q²⁸ - 331q²⁹ - 406q³⁰ + 315q³¹ + 591q³² + 397q³³ + 177q³⁴ - 175q³⁵ - 172q³⁶ - 544q³⁷ - 162q³⁸ + 93q³⁹ + 216q⁴⁰ + 264q⁴¹ + 158q⁴² + 131q⁴³ - 267q⁴⁴ - 190q⁴⁵ - 136q⁴⁶ - 29q⁴⁷ + 68q⁴⁸ + 133q⁴⁹ + 197q⁵⁰ - 31q⁵¹ - 39q⁵² - 90q⁵³ - 73q⁵⁴ - 49q⁵⁵ + 17q⁵⁶ + 100q⁵⁷ + 19q⁵⁸ + 25q⁵⁹ - 11q⁶⁰ - 22q⁶¹ - 39q⁶² - 17q⁶³ + 24q⁶⁴ + 3q⁶⁵ + 14q⁶⁶ + 5q⁶⁷ + 3q⁶⁸ - 11q⁶⁹ - 8q⁷⁰ + 5q⁷¹ - 2q⁷² + 2q⁷³ + q⁷⁴ + 2q⁷⁵ - q⁷⁶ - 2q⁷⁷ + q⁷⁸

7 - q^-147 + 3q^-146 - q^-145 - 3q^-144 + 2q^-143 - 3q^-142 + 3q^-141 - q^-140 + 2q^-139 + 12q^-138 - 10q^-137 - 9q^-136 + 4q^-135 - 14q^-134 + 5q^-133 + 5q^-132 + 13q^-131 + 41q^-130 - 27q^-129 - 26q^-128 - 8q^-127 - 46q^-126 + 13q^-125 + 28q^-124 + 49q^-123 + 99q^-122 - 51q^-121 - 85q^-120 - 66q^-119 - 116q^-118 + 69q^-117 + 130q^-116 + 139q^-115 + 180q^-114 - 143q^-113 - 272q^-112 - 261q^-111 - 207q^-110 + 306q^-109 + 497q^-108 + 425q^-107 + 235q^-106 - 524q^-105 - 889q^-104 - 792q^-103 - 301q^-102 + 1000q^-101 + 1583q^-100 + 1291q^-99 + 327q^-98 - 1575q^-97 - 2544q^-96 - 2220q^-95 - 581q^-94 + 2435q^-93 + 4074q^-92 + 3542q^-91 + 951q^-90 - 3371q^-89 - 5933q^-88 - 5491q^-87 - 1887q^-86 + 4310q^-85 + 8324q^-84 + 8091q^-83 + 3279q^-82 - 4997q^-81 - 10798q^-80 - 11273q^-79 - 5491q^-78 + 5144q^-77 + 13296q^-76 + 14823q^-75 + 8329q^-74 - 4551q^-73 - 15254q^-72 - 18449q^-71 - 11778q^-70 + 3183q^-69 + 16509q^-68 + 21658q^-67 + 15380q^-66 - 1005q^-65 - 16777q^-64 - 24203q^-63 - 18846q^-62 - 1574q^-61 + 16178q^-60 + 25700q^-59 + 21694q^-58 + 4299q^-57 - 14777q^-56 - 26211q^-55 - 23769q^-54 - 6760q^-53 + 13009q^-52 + 25852q^-51 + 24854q^-50 + 8682q^-49 - 11094q^-48 - 24782q^-47 - 25156q^-46 - 10065q^-45 + 9340q^-44 + 23452q^-43 + 24815q^-42 + 10781q^-41 - 7831q^-40 - 21880q^-39 - 24079q^-38 - 11219q^-37 + 6522q^-36 + 20426q^-35 + 23229q^-34 + 11376q^-33 - 5408q^-32 - 18922q^-31 - 22293q^-30 - 11593q^-29 + 4192q^-28 + 17463q^-27 + 21484q^-26 + 11890q^-25 - 2930q^-24 - 15887q^-23 - 20591q^-22 - 12339q^-21 + 1349q^-20 + 14102q^-19 + 19706q^-18 + 12923q^-17 + 411q^-16 - 12072q^-15 - 18579q^-14 - 13477q^-13 - 2401q^-12 + 9672q^-11 + 17159q^-10 + 13940q^-9 + 4495q^-8 - 7019q^-7 - 15370q^-6 - 14025q^-5 - 6474q^-4 + 4086q^-3 + 13062q^-2 + 13694q^-1 + 8236 - 1134q - 10385q² - 12709q³ - 9431q⁴ - 1728q⁵ + 7335q⁶ + 11106q⁷ + 9981q⁸ + 4155q⁹ - 4215q¹⁰ - 8868q¹¹ - 9686q¹² - 5947q¹³ + 1220q¹⁴ + 6257q¹⁵ + 8590q¹⁶ + 6854q¹⁷ + 1263q¹⁸ - 3467q¹⁹ - 6771q²⁰ - 6888q²¹ - 3046q²² + 949q²³ + 4607q²⁴ + 5999q²⁵ + 3862q²⁶ + 1094q²⁷ - 2308q²⁸ - 4558q²⁹ - 3897q³⁰ - 2300q³¹ + 427q³² + 2807q³³ + 3090q³⁴ + 2731q³⁵ + 992q³⁶ - 1187q³⁷ - 2017q³⁸ - 2446q³⁹ - 1577q⁴⁰ - 41q⁴¹ + 788q⁴² + 1699q⁴³ + 1635q⁴⁴ + 738q⁴⁵ + 115q⁴⁶ - 849q⁴⁷ - 1205q⁴⁸ - 874q⁴⁹ - 670q⁵⁰ + 114q⁵¹ + 635q⁵² + 676q⁵³ + 799q⁵⁴ + 322q⁵⁵ - 123q⁵⁶ - 324q⁵⁷ - 643q⁵⁸ - 453q⁵⁹ - 184q⁶⁰ - 25q⁶¹ + 367q⁶² + 399q⁶³ + 294q⁶⁴ + 198q⁶⁵ - 133q⁶⁶ - 208q⁶⁷ - 229q⁶⁸ - 267q⁶⁹ - 50q⁷⁰ + 74q⁷¹ + 150q⁷² + 209q⁷³ + 75q⁷⁴ + 24q⁷⁵ - 23q⁷⁶ - 132q⁷⁷ - 93q⁷⁸ - 59q⁷⁹ - 2q⁸⁰ + 70q⁸¹ + 37q⁸² + 38q⁸³ + 38q⁸⁴ - 13q⁸⁵ - 25q⁸⁶ - 34q⁸⁷ - 23q⁸⁸ + 13q⁸⁹ + q⁹⁰ + 5q⁹¹ + 16q⁹² + 5q⁹³ + 2q⁹⁴ - 8q⁹⁵ - 8q⁹⁶ + 3q⁹⁷ - 2q⁹⁹ + 2q¹⁰⁰ + q¹⁰¹ + 2q¹⁰² - q¹⁰³ - 2q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 17]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[7, 14, 8, 15], X[13, 6, 14, 7], X[15, 18, 16, 1], X[9, 17, 10, 16], > X[17, 9, 18, 8]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 17]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 6, -5, 9, -8, 3, -4, 2, -6, 5, -7, 8, -9, 7]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 17]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 12, 14, 16, 2, 6, 18, 8]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 17]]

Out[5]=
BR[4, {1, -2, 1, -2, -2, -2, 3, -2, 3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 17]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 17]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 17]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 2, {4, 7}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 17]][t]

Out[10]=
-3 5 9 2 3 -9 + t - -- + - + 9 t - 5 t + t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 17]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 - 2 z + z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 17]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 17]], KnotSignature[Knot[9, 17]]}

Out[13]=
{39, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 17]][q]

Out[14]=
-6 3 4 6 7 6 2 3 -5 - q + -- - -- + -- - -- + - + 4 q - 2 q + q 5 4 3 2 q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 17]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 17]][q]

Out[16]=
-18 -16 -12 2 -8 -6 2 2 4 8 10 -q + q + q + --- - q + q - -- - q + q + q + q 10 4 q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 17]][a, z]

Out[17]=
2 2 2 2 z 2 2 4 2 4 2 4 4 4 2 6 -3 + -- + 2 a - 6 z + -- + 5 a z - 2 a z - 2 z + 4 a z - a z + a z 2 2 a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 17]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 z 3 5 2 5 z 2 2 4 2 -3 - -- - 2 a - - + a z + 3 a z + a z + 13 z + ---- + 9 a z - a z - 2 a 2 a a 3 4 6 2 6 z 3 3 3 5 3 7 3 4 4 z > 2 a z + ---- + 6 a z - 4 a z - 3 a z + a z - 12 z - ---- - a 2 a 5 2 4 4 4 6 4 7 z 5 3 5 5 5 6 > 14 a z - 3 a z + 3 a z - ---- - 13 a z - 2 a z + 4 a z + z + a 6 7 z 2 6 4 6 2 z 7 3 7 8 2 8 > -- + 4 a z + 4 a z + ---- + 5 a z + 3 a z + z + a z 2 a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 17]], Vassiliev[3][Knot[9, 17]]}

Out[19]=
{-2, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 17]][q, t]

Out[20]=
3 4 1 2 1 2 2 4 2 3 -- + - + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + 3 q 13 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 5 2 5 q q t q t q t q t q t q t q t q t 4 3 t 2 3 2 3 3 5 3 7 4 > ---- + --- + 2 q t + q t + 3 q t + q t + q t + q t 3 q q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 17], 2][q]

Out[21]=
-17 3 -15 6 11 6 12 25 12 20 37 13 28 1 + q - --- + q + --- - --- + --- + --- - --- + -- + -- - -- + -- + -- - 16 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 q q q q q q q q q q q 39 8 30 32 2 3 4 5 6 7 8 > -- + -- + -- - -- + 26 q - 20 q - 5 q + 17 q - 8 q - 5 q + 7 q - q - 4 3 2 q q q q 9 10 > 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₁₇

9₁₆
9₁₈

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-17 - 3q^-16 + q^-15 + 6q^-14 - 11q^-13 + 6q^-12 + 12q^-11 - 25q^-10 + 12q^-9 + 20q^-8 - 37q^-7 + 13q^-6 + 28q^-5 - 39q^-4 + 8q^-3 + 30q^-2 - 32q^-1 + 1 + 26q - 20q² - 5q³ + 17q⁴ - 8q⁵ - 5q⁶ + 7q⁷ - q⁸ - 2q⁹ + q¹⁰
3	- q^-33 + 3q^-32 - q^-31 - 3q^-30 - q^-29 + 6q^-28 - 10q^-26 + 7q^-25 + 10q^-24 - 10q^-23 - 19q^-22 + 26q^-21 + 20q^-20 - 35q^-19 - 33q^-18 + 52q^-17 + 40q^-16 - 59q^-15 - 55q^-14 + 66q^-13 + 66q^-12 - 65q^-11 - 73q^-10 + 55q^-9 + 83q^-8 - 47q^-7 - 84q^-6 + 32q^-5 + 86q^-4 - 19q^-3 - 83q^-2 + 5q^-1 + 76 + 11q - 70q² - 19q³ + 55q⁴ + 30q⁵ - 43q⁶ - 31q⁷ + 25q⁸ + 34q⁹ - 16q¹⁰ - 25q¹¹ + 3q¹² + 20q¹³ + q¹⁴ - 11q¹⁵ - 4q¹⁶ + 6q¹⁷ + 2q¹⁸ - q¹⁹ - 2q²⁰ + q²¹
4	q^-54 - 3q^-53 + q^-52 + 3q^-51 - 2q^-50 + 6q^-49 - 12q^-48 + 4q^-47 + 4q^-46 - 11q^-45 + 24q^-44 - 21q^-43 + 13q^-42 - 4q^-41 - 40q^-40 + 53q^-39 - 10q^-38 + 37q^-37 - 31q^-36 - 109q^-35 + 83q^-34 + 37q^-33 + 96q^-32 - 68q^-31 - 228q^-30 + 89q^-29 + 105q^-28 + 198q^-27 - 84q^-26 - 358q^-25 + 53q^-24 + 136q^-23 + 309q^-22 - 47q^-21 - 437q^-20 - 5q^-19 + 105q^-18 + 370q^-17 + 18q^-16 - 431q^-15 - 43q^-14 + 30q^-13 + 362q^-12 + 83q^-11 - 362q^-10 - 60q^-9 - 53q^-8 + 312q^-7 + 134q^-6 - 262q^-5 - 65q^-4 - 131q^-3 + 239q^-2 + 168q^-1 - 147 - 52q - 190q² + 143q³ + 168q⁴ - 35q⁵ - 10q⁶ - 208q⁷ + 40q⁸ + 122q⁹ + 38q¹⁰ + 48q¹¹ - 163q¹² - 32q¹³ + 45q¹⁴ + 50q¹⁵ + 84q¹⁶ - 83q¹⁷ - 46q¹⁸ - 12q¹⁹ + 19q²⁰ + 70q²¹ - 19q²² - 20q²³ - 23q²⁴ - 7q²⁵ + 32q²⁶ + 2q²⁷ - 9q²⁹ - 8q³⁰ + 7q³¹ + q³² + 2q³³ - q³⁴ - 2q³⁵ + q³⁶
5	- q^-80 + 3q^-79 - q^-78 - 3q^-77 + 2q^-76 - 3q^-75 + 8q^-73 + 2q^-72 - 6q^-71 + q^-70 - 11q^-69 - 7q^-68 + 12q^-67 + 19q^-66 + 13q^-65 - 10q^-64 - 36q^-63 - 38q^-62 + 6q^-61 + 75q^-60 + 81q^-59 - 17q^-58 - 114q^-57 - 134q^-56 - 19q^-55 + 190q^-54 + 253q^-53 + 18q^-52 - 271q^-51 - 365q^-50 - 104q^-49 + 372q^-48 + 568q^-47 + 172q^-46 - 467q^-45 - 752q^-44 - 335q^-43 + 540q^-42 + 994q^-41 + 488q^-40 - 558q^-39 - 1185q^-38 - 712q^-37 + 538q^-36 + 1357q^-35 + 898q^-34 - 457q^-33 - 1439q^-32 - 1086q^-31 + 341q^-30 + 1472q^-29 + 1212q^-28 - 217q^-27 - 1431q^-26 - 1274q^-25 + 81q^-24 + 1344q^-23 + 1304q^-22 + 19q^-21 - 1235q^-20 - 1262q^-19 - 120q^-18 + 1089q^-17 + 1228q^-16 + 199q^-15 - 960q^-14 - 1144q^-13 - 279q^-12 + 796q^-11 + 1077q^-10 + 359q^-9 - 641q^-8 - 987q^-7 - 428q^-6 + 467q^-5 + 874q^-4 + 501q^-3 - 284q^-2 - 758q^-1 - 540 + 112q + 594q² + 554q³ + 65q⁴ - 437q⁵ - 519q⁶ - 188q⁷ + 239q⁸ + 449q⁹ + 287q¹⁰ - 82q¹¹ - 329q¹² - 307q¹³ - 82q¹⁴ + 200q¹⁵ + 300q¹⁶ + 153q¹⁷ - 58q¹⁸ - 213q¹⁹ - 216q²⁰ - 47q²¹ + 137q²² + 185q²³ + 112q²⁴ - 25q²⁵ - 151q²⁶ - 136q²⁷ - 28q²⁸ + 74q²⁹ + 119q³⁰ + 72q³¹ - 25q³² - 80q³³ - 70q³⁴ - 19q³⁵ + 43q³⁶ + 59q³⁷ + 23q³⁸ - 9q³⁹ - 31q⁴⁰ - 30q⁴¹ - 3q⁴² + 19q⁴³ + 13q⁴⁴ + 6q⁴⁵ - 11q⁴⁷ - 6q⁴⁸ + 3q⁴⁹ + 2q⁵⁰ + q⁵¹ + 2q⁵² - q⁵³ - 2q⁵⁴ + q⁵⁵
6	q^-111 - 3q^-110 + q^-109 + 3q^-108 - 2q^-107 + 3q^-106 - 3q^-105 + 4q^-104 - 14q^-103 + 16q^-101 - 8q^-100 + 15q^-99 + 7q^-97 - 49q^-96 - 11q^-95 + 37q^-94 - 9q^-93 + 52q^-92 + 24q^-91 + 4q^-90 - 141q^-89 - 55q^-88 + 70q^-87 + 25q^-86 + 162q^-85 + 91q^-84 - 42q^-83 - 356q^-82 - 194q^-81 + 132q^-80 + 175q^-79 + 452q^-78 + 246q^-77 - 202q^-76 - 825q^-75 - 565q^-74 + 203q^-73 + 573q^-72 + 1112q^-71 + 630q^-70 - 483q^-69 - 1719q^-68 - 1398q^-67 + 114q^-66 + 1232q^-65 + 2333q^-64 + 1502q^-63 - 661q^-62 - 2983q^-61 - 2869q^-60 - 469q^-59 + 1809q^-58 + 3959q^-57 + 3028q^-56 - 303q^-55 - 4120q^-54 - 4702q^-53 - 1720q^-52 + 1762q^-51 + 5341q^-50 + 4842q^-49 + 771q^-48 - 4501q^-47 - 6149q^-46 - 3233q^-45 + 941q^-44 + 5837q^-43 + 6172q^-42 + 2108q^-41 - 4019q^-40 - 6629q^-39 - 4292q^-38 - 169q^-37 + 5428q^-36 + 6557q^-35 + 3069q^-34 - 3156q^-33 - 6235q^-32 - 4589q^-31 - 1024q^-30 + 4596q^-29 + 6189q^-28 + 3485q^-27 - 2336q^-26 - 5450q^-25 - 4399q^-24 - 1559q^-23 + 3697q^-22 + 5526q^-21 + 3631q^-20 - 1573q^-19 - 4553q^-18 - 4101q^-17 - 2030q^-16 + 2724q^-15 + 4771q^-14 + 3770q^-13 - 685q^-12 - 3511q^-11 - 3766q^-10 - 2571q^-9 + 1550q^-8 + 3830q^-7 + 3838q^-6 + 349q^-5 - 2203q^-4 - 3198q^-3 - 3010q^-2 + 213q^-1 + 2555 + 3551q + 1264q² - 702q³ - 2193q⁴ - 2990q⁵ - 965q⁶ + 1030q⁷ + 2680q⁸ + 1642q⁹ + 615q¹⁰ - 848q¹¹ - 2269q¹² - 1523q¹³ - 319q¹⁴ + 1369q¹⁵ + 1241q¹⁶ + 1248q¹⁷ + 349q¹⁸ - 1058q¹⁹ - 1230q²⁰ - 959q²¹ + 181q²² + 335q²³ + 1007q²⁴ + 852q²⁵ + 5q²⁶ - 436q²⁷ - 750q²⁸ - 331q²⁹ - 406q³⁰ + 315q³¹ + 591q³² + 397q³³ + 177q³⁴ - 175q³⁵ - 172q³⁶ - 544q³⁷ - 162q³⁸ + 93q³⁹ + 216q⁴⁰ + 264q⁴¹ + 158q⁴² + 131q⁴³ - 267q⁴⁴ - 190q⁴⁵ - 136q⁴⁶ - 29q⁴⁷ + 68q⁴⁸ + 133q⁴⁹ + 197q⁵⁰ - 31q⁵¹ - 39q⁵² - 90q⁵³ - 73q⁵⁴ - 49q⁵⁵ + 17q⁵⁶ + 100q⁵⁷ + 19q⁵⁸ + 25q⁵⁹ - 11q⁶⁰ - 22q⁶¹ - 39q⁶² - 17q⁶³ + 24q⁶⁴ + 3q⁶⁵ + 14q⁶⁶ + 5q⁶⁷ + 3q⁶⁸ - 11q⁶⁹ - 8q⁷⁰ + 5q⁷¹ - 2q⁷² + 2q⁷³ + q⁷⁴ + 2q⁷⁵ - q⁷⁶ - 2q⁷⁷ + q⁷⁸
7	- q^-147 + 3q^-146 - q^-145 - 3q^-144 + 2q^-143 - 3q^-142 + 3q^-141 - q^-140 + 2q^-139 + 12q^-138 - 10q^-137 - 9q^-136 + 4q^-135 - 14q^-134 + 5q^-133 + 5q^-132 + 13q^-131 + 41q^-130 - 27q^-129 - 26q^-128 - 8q^-127 - 46q^-126 + 13q^-125 + 28q^-124 + 49q^-123 + 99q^-122 - 51q^-121 - 85q^-120 - 66q^-119 - 116q^-118 + 69q^-117 + 130q^-116 + 139q^-115 + 180q^-114 - 143q^-113 - 272q^-112 - 261q^-111 - 207q^-110 + 306q^-109 + 497q^-108 + 425q^-107 + 235q^-106 - 524q^-105 - 889q^-104 - 792q^-103 - 301q^-102 + 1000q^-101 + 1583q^-100 + 1291q^-99 + 327q^-98 - 1575q^-97 - 2544q^-96 - 2220q^-95 - 581q^-94 + 2435q^-93 + 4074q^-92 + 3542q^-91 + 951q^-90 - 3371q^-89 - 5933q^-88 - 5491q^-87 - 1887q^-86 + 4310q^-85 + 8324q^-84 + 8091q^-83 + 3279q^-82 - 4997q^-81 - 10798q^-80 - 11273q^-79 - 5491q^-78 + 5144q^-77 + 13296q^-76 + 14823q^-75 + 8329q^-74 - 4551q^-73 - 15254q^-72 - 18449q^-71 - 11778q^-70 + 3183q^-69 + 16509q^-68 + 21658q^-67 + 15380q^-66 - 1005q^-65 - 16777q^-64 - 24203q^-63 - 18846q^-62 - 1574q^-61 + 16178q^-60 + 25700q^-59 + 21694q^-58 + 4299q^-57 - 14777q^-56 - 26211q^-55 - 23769q^-54 - 6760q^-53 + 13009q^-52 + 25852q^-51 + 24854q^-50 + 8682q^-49 - 11094q^-48 - 24782q^-47 - 25156q^-46 - 10065q^-45 + 9340q^-44 + 23452q^-43 + 24815q^-42 + 10781q^-41 - 7831q^-40 - 21880q^-39 - 24079q^-38 - 11219q^-37 + 6522q^-36 + 20426q^-35 + 23229q^-34 + 11376q^-33 - 5408q^-32 - 18922q^-31 - 22293q^-30 - 11593q^-29 + 4192q^-28 + 17463q^-27 + 21484q^-26 + 11890q^-25 - 2930q^-24 - 15887q^-23 - 20591q^-22 - 12339q^-21 + 1349q^-20 + 14102q^-19 + 19706q^-18 + 12923q^-17 + 411q^-16 - 12072q^-15 - 18579q^-14 - 13477q^-13 - 2401q^-12 + 9672q^-11 + 17159q^-10 + 13940q^-9 + 4495q^-8 - 7019q^-7 - 15370q^-6 - 14025q^-5 - 6474q^-4 + 4086q^-3 + 13062q^-2 + 13694q^-1 + 8236 - 1134q - 10385q² - 12709q³ - 9431q⁴ - 1728q⁵ + 7335q⁶ + 11106q⁷ + 9981q⁸ + 4155q⁹ - 4215q¹⁰ - 8868q¹¹ - 9686q¹² - 5947q¹³ + 1220q¹⁴ + 6257q¹⁵ + 8590q¹⁶ + 6854q¹⁷ + 1263q¹⁸ - 3467q¹⁹ - 6771q²⁰ - 6888q²¹ - 3046q²² + 949q²³ + 4607q²⁴ + 5999q²⁵ + 3862q²⁶ + 1094q²⁷ - 2308q²⁸ - 4558q²⁹ - 3897q³⁰ - 2300q³¹ + 427q³² + 2807q³³ + 3090q³⁴ + 2731q³⁵ + 992q³⁶ - 1187q³⁷ - 2017q³⁸ - 2446q³⁹ - 1577q⁴⁰ - 41q⁴¹ + 788q⁴² + 1699q⁴³ + 1635q⁴⁴ + 738q⁴⁵ + 115q⁴⁶ - 849q⁴⁷ - 1205q⁴⁸ - 874q⁴⁹ - 670q⁵⁰ + 114q⁵¹ + 635q⁵² + 676q⁵³ + 799q⁵⁴ + 322q⁵⁵ - 123q⁵⁶ - 324q⁵⁷ - 643q⁵⁸ - 453q⁵⁹ - 184q⁶⁰ - 25q⁶¹ + 367q⁶² + 399q⁶³ + 294q⁶⁴ + 198q⁶⁵ - 133q⁶⁶ - 208q⁶⁷ - 229q⁶⁸ - 267q⁶⁹ - 50q⁷⁰ + 74q⁷¹ + 150q⁷² + 209q⁷³ + 75q⁷⁴ + 24q⁷⁵ - 23q⁷⁶ - 132q⁷⁷ - 93q⁷⁸ - 59q⁷⁹ - 2q⁸⁰ + 70q⁸¹ + 37q⁸² + 38q⁸³ + 38q⁸⁴ - 13q⁸⁵ - 25q⁸⁶ - 34q⁸⁷ - 23q⁸⁸ + 13q⁸⁹ + q⁹⁰ + 5q⁹¹ + 16q⁹² + 5q⁹³ + 2q⁹⁴ - 8q⁹⁵ - 8q⁹⁶ + 3q⁹⁷ - 2q⁹⁹ + 2q¹⁰⁰ + q¹⁰¹ + 2q¹⁰² - q¹⁰³ - 2q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 17]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[7, 14, 8, 15], X[13, 6, 14, 7], X[15, 18, 16, 1], X[9, 17, 10, 16], > X[17, 9, 18, 8]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 17]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 6, -5, 9, -8, 3, -4, 2, -6, 5, -7, 8, -9, 7]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 17]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 14, 16, 2, 6, 18, 8]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 17]]
Out[5]=	BR[4, {1, -2, 1, -2, -2, -2, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 17]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 17]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 17]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 2, {4, 7}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 17]][t]
Out[10]=	-3 5 9 2 3 -9 + t - -- + - + 9 t - 5 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 17]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 - 2 z + z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 17]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 17]], KnotSignature[Knot[9, 17]]}
Out[13]=	{39, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 17]][q]
Out[14]=	-6 3 4 6 7 6 2 3 -5 - q + -- - -- + -- - -- + - + 4 q - 2 q + q 5 4 3 2 q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 17]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 17]][q]
Out[16]=	-18 -16 -12 2 -8 -6 2 2 4 8 10 -q + q + q + --- - q + q - -- - q + q + q + q 10 4 q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 17]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 2 z 2 2 4 2 4 2 4 4 4 2 6 -3 + -- + 2 a - 6 z + -- + 5 a z - 2 a z - 2 z + 4 a z - a z + a z 2 2 a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 17]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 z 3 5 2 5 z 2 2 4 2 -3 - -- - 2 a - - + a z + 3 a z + a z + 13 z + ---- + 9 a z - a z - 2 a 2 a a 3 4 6 2 6 z 3 3 3 5 3 7 3 4 4 z > 2 a z + ---- + 6 a z - 4 a z - 3 a z + a z - 12 z - ---- - a 2 a 5 2 4 4 4 6 4 7 z 5 3 5 5 5 6 > 14 a z - 3 a z + 3 a z - ---- - 13 a z - 2 a z + 4 a z + z + a 6 7 z 2 6 4 6 2 z 7 3 7 8 2 8 > -- + 4 a z + 4 a z + ---- + 5 a z + 3 a z + z + a z 2 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 17]], Vassiliev[3][Knot[9, 17]]}
Out[19]=	{-2, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 17]][q, t]
Out[20]=	3 4 1 2 1 2 2 4 2 3 -- + - + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + 3 q 13 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 5 2 5 q q t q t q t q t q t q t q t q t 4 3 t 2 3 2 3 3 5 3 7 4 > ---- + --- + 2 q t + q t + 3 q t + q t + q t + q t 3 q q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 17], 2][q]
Out[21]=	-17 3 -15 6 11 6 12 25 12 20 37 13 28 1 + q - --- + q + --- - --- + --- + --- - --- + -- + -- - -- + -- + -- - 16 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 q q q q q q q q q q q 39 8 30 32 2 3 4 5 6 7 8 > -- + -- + -- - -- + 26 q - 20 q - 5 q + 17 q - 8 q - 5 q + 7 q - q - 4 3 2 q q q q 9 10 > 2 q + q

The Alternating Knot 917

The Alternating Knot 9₁₇