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915 917

KnotPlot

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KnotPlot

PD Presentation:

X4251 X12,4,13,3 X16,6,17,5 X18,8,1,7 X6,18,7,17 X10,16,11,15 X14,10,15,9 X8,14,9,13 X2,12,3,11

Gauss Code:

{1, -9, 2, -1, 3, -5, 4, -8, 7, -6, 9, -2, 8, -7, 6, -3, 5, -4}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code:

4 12 16 18 14 2 8 10 6

Minimum Braid Representative: Length is 10, width is 3 Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index Reversible 3 3 3 / 4--7 1

Alexander Polynomial:

2t-3 - 5t-2 + 8t-1 - 9 + 8t - 5t2 + 2t3

Conway Polynomial:

1 + 6z2 + 7z4 + 2z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial:

{...}

Determinant and Signature:

{39, 6}

Jones Polynomial:

q3 - q4 + 4q5 - 5q6 + 6q7 - 7q8 + 6q9 - 5q10 + 3q11 - q12

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial:

{...}

A2 (sl(3)) Invariant:

q10 + 3q14 + q16 + 2q18 + q20 - 2q22 - 3q26 + q34 - q36

HOMFLY-PT Polynomial:

- 2a-10z2 - a-10z4 - 3a-8 + 3a-8z4 + a-8z6 + 4a-6 + 8a-6z2 + 5a-6z4 + a-6z6

Kauffman Polynomial:

a-15z3 - a-14z2 + 3a-14z4 + 2a-13z - 5a-13z3 + 5a-13z5 + 2a-12z2 - 6a-12z4 + 5a-12z6 + 2a-11z - 5a-11z3 - a-11z5 + 3a-11z7 + a-10z2 - 8a-10z4 + 3a-10z6 + a-10z8 + 4a-9z - a-9z3 - 8a-9z5 + 4a-9z7 - 3a-8 + 6a-8z2 - 4a-8z4 - a-8z6 + a-8z8 + 4a-7z - 2a-7z3 - 2a-7z5 + a-7z7 - 4a-6 + 8a-6z2 - 5a-6z4 + a-6z6

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants:

{6, 14}

Khovanov Homology: (The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=6 is the signature of 916. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

trqj r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6 r = 7 r = 8 r = 9 j = 25                   1 j = 23                 2   j = 21               3 1   j = 19             3 2     j = 17           4 3       j = 15         2 3         j = 13       3 4           j = 11     1 2             j = 9     3               j = 7 1 1                 j = 5 1

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q6 - q7 + 5q9 - 4q10 - 5q11 + 15q12 - 7q13 - 17q14 + 27q15 - 4q16 - 32q17 + 35q18 + 3q19 - 42q20 + 35q21 + 10q22 - 42q23 + 28q24 + 12q25 - 31q26 + 16q27 + 7q28 - 14q29 + 6q30 + 2q31 - 3q32 + q33
3	q9 - q10 + q12 + 4q13 - 4q14 - 4q15 + 2q16 + 15q17 - 5q18 - 19q19 - 7q20 + 37q21 + 9q22 - 37q23 - 35q24 + 51q25 + 46q26 - 44q27 - 74q28 + 45q29 + 87q30 - 30q31 - 109q32 + 20q33 + 120q34 - 4q35 - 128q36 - 14q37 + 137q38 + 26q39 - 133q40 - 43q41 + 131q42 + 48q43 - 115q44 - 56q45 + 101q46 + 51q47 - 78q48 - 45q49 + 58q50 + 33q51 - 38q52 - 22q53 + 24q54 + 13q55 - 16q56 - 5q57 + 8q58 + 2q59 - 3q60 - 2q61 + 3q62 - q63
4	q12 - q13 + q15 + 4q17 - 5q18 - 3q19 + 4q20 + q21 + 16q22 - 12q23 - 17q24 - 3q25 + q26 + 53q27 - 4q28 - 36q29 - 40q30 - 33q31 + 109q32 + 44q33 - 15q34 - 89q35 - 135q36 + 127q37 + 109q38 + 81q39 - 88q40 - 273q41 + 72q42 + 124q43 + 215q44 - 3q45 - 371q46 - 32q47 + 59q48 + 330q49 + 132q50 - 401q51 - 134q52 - 57q53 + 400q54 + 272q55 - 378q56 - 219q57 - 184q58 + 434q59 + 394q60 - 324q61 - 285q62 - 296q63 + 426q64 + 479q65 - 238q66 - 307q67 - 377q68 + 360q69 + 490q70 - 130q71 - 252q72 - 390q73 + 236q74 + 401q75 - 41q76 - 138q77 - 311q78 + 114q79 + 247q80 - 12q81 - 32q82 - 180q83 + 44q84 + 111q85 - 19q86 + 10q87 - 75q88 + 22q89 + 38q90 - 21q91 + 11q92 - 23q93 + 10q94 + 11q95 - 10q96 + 4q97 - 5q98 + 3q99 + 2q100 - 3q101 + q102
5	q15 - q16 + q18 + 3q21 - 4q22 - 3q23 + 4q24 + 4q25 + q26 + 8q27 - 11q28 - 17q29 - 2q30 + 12q31 + 17q32 + 34q33 - 9q34 - 48q35 - 46q36 - 15q37 + 36q38 + 109q39 + 62q40 - 44q41 - 120q42 - 140q43 - 44q44 + 171q45 + 225q46 + 109q47 - 92q48 - 300q49 - 298q50 + 36q51 + 334q52 + 391q53 + 180q54 - 277q55 - 573q56 - 343q57 + 160q58 + 573q59 + 600q60 + 64q61 - 600q62 - 751q63 - 304q64 + 436q65 + 914q66 + 586q67 - 289q68 - 943q69 - 833q70 + 17q71 + 962q72 + 1065q73 + 208q74 - 877q75 - 1246q76 - 486q77 + 799q78 + 1400q79 + 721q80 - 693q81 - 1520q82 - 945q83 + 575q84 + 1629q85 + 1166q86 - 481q87 - 1723q88 - 1340q89 + 348q90 + 1788q91 + 1547q92 - 240q93 - 1828q94 - 1679q95 + 70q96 + 1797q97 + 1826q98 + 88q99 - 1710q100 - 1862q101 - 293q102 + 1528q103 + 1865q104 + 449q105 - 1281q106 - 1732q107 - 600q108 + 992q109 + 1538q110 + 651q111 - 696q112 - 1248q113 - 648q114 + 427q115 + 959q116 + 558q117 - 232q118 - 660q119 - 435q120 + 99q121 + 419q122 + 307q123 - 37q124 - 248q125 - 181q126 + 13q127 + 125q128 + 99q129 - q130 - 70q131 - 44q132 + 10q133 + 30q134 + 13q135 - 7q136 - 8q137 - 10q138 + 6q139 + 12q140 - 6q141 - 5q142 + 4q143 - 2q144 - q145 + 5q146 - 3q147 - 2q148 + 3q149 - q150
6	q18 - q19 + q21 - q24 + 4q25 - 4q26 - 3q27 + 5q28 + 3q29 + 3q30 - 6q31 + 9q32 - 12q33 - 17q34 + 6q35 + 13q36 + 21q37 - 2q38 + 30q39 - 28q40 - 61q41 - 30q42 + 53q44 + 38q45 + 131q46 + 11q47 - 105q48 - 144q49 - 133q50 - 24q51 + 38q52 + 345q53 + 239q54 + 57q55 - 181q56 - 366q57 - 382q58 - 306q59 + 397q60 + 551q61 + 591q62 + 248q63 - 255q64 - 780q65 - 1111q66 - 183q67 + 354q68 + 1074q69 + 1143q70 + 698q71 - 471q72 - 1740q73 - 1252q74 - 815q75 + 638q76 + 1669q77 + 2164q78 + 933q79 - 1255q80 - 1830q81 - 2437q82 - 989q83 + 900q84 + 3042q85 + 2764q86 + 495q87 - 1063q88 - 3384q89 - 3027q90 - 1153q91 + 2566q92 + 3919q93 + 2673q94 + 919q95 - 3031q96 - 4465q97 - 3617q98 + 959q99 + 3912q100 + 4375q101 + 3273q102 - 1685q103 - 4955q104 - 5677q105 - 988q106 + 3092q107 + 5338q108 + 5299q109 - 74q110 - 4838q111 - 7128q112 - 2692q113 + 2104q114 + 5872q115 + 6829q116 + 1315q117 - 4620q118 - 8208q119 - 4056q120 + 1292q121 + 6330q122 + 8063q123 + 2476q124 - 4452q125 - 9131q126 - 5301q127 + 506q128 + 6665q129 + 9141q130 + 3697q131 - 3987q132 - 9681q133 - 6541q134 - 663q135 + 6359q136 + 9749q137 + 5074q138 - 2737q139 - 9231q140 - 7362q141 - 2256q142 + 4909q143 + 9195q144 + 6062q145 - 783q146 - 7347q147 - 6995q148 - 3554q149 + 2582q150 + 7137q151 + 5831q152 + 966q153 - 4535q154 - 5203q155 - 3678q156 + 477q157 + 4290q158 + 4268q159 + 1601q160 - 2034q161 - 2832q162 - 2629q163 - 522q164 + 1918q165 + 2297q166 + 1196q167 - 654q168 - 1037q169 - 1305q170 - 544q171 + 648q172 + 890q173 + 539q174 - 199q175 - 200q176 - 446q177 - 272q178 + 198q179 + 247q180 + 147q181 - 98q182 + 21q183 - 99q184 - 93q185 + 68q186 + 51q187 + 19q188 - 54q189 + 35q190 - 13q191 - 26q192 + 24q193 + 6q194 + q195 - 23q196 + 17q197 + q198 - 10q199 + 8q200 - q201 + q202 - 5q203 + 3q204 + 2q205 - 3q206 + q207

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 16]]
Out[2]=	PD[X[4, 2, 5, 1], X[12, 4, 13, 3], X[16, 6, 17, 5], X[18, 8, 1, 7], > X[6, 18, 7, 17], X[10, 16, 11, 15], X[14, 10, 15, 9], X[8, 14, 9, 13], > X[2, 12, 3, 11]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 16]]
Out[3]=	GaussCode[1, -9, 2, -1, 3, -5, 4, -8, 7, -6, 9, -2, 8, -7, 6, -3, 5, -4]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 16]]
Out[4]=	DTCode[4, 12, 16, 18, 14, 2, 8, 10, 6]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 16]]
Out[5]=	BR[3, {1, 1, 1, 1, 2, 2, -1, 2, 2, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 16]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 16]]]
Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 16]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 3, 3, 3, {4, 7}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 16]][t]
Out[10]=	2 5 8 2 3 -9 + -- - -- + - + 8 t - 5 t + 2 t 3 2 t t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 16]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + 6 z + 7 z + 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 16]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 16]], KnotSignature[Knot[9, 16]]}
Out[13]=	{39, 6}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 16]][q]
Out[14]=	3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 q - q + 4 q - 5 q + 6 q - 7 q + 6 q - 5 q + 3 q - q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 16]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 16]][q]
Out[16]=	10 14 16 18 20 22 26 34 36 q + 3 q + q + 2 q + q - 2 q - 3 q + q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 16]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 4 6 6 -3 4 2 z 8 z z 3 z 5 z z z -- + -- - ---- + ---- - --- + ---- + ---- + -- + -- 8 6 10 6 10 8 6 8 6 a a a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 16]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 2 3 3 -3 4 2 z 2 z 4 z 4 z z 2 z z 6 z 8 z z 5 z -- - -- + --- + --- + --- + --- - --- + ---- + --- + ---- + ---- + --- - ---- - 8 6 13 11 9 7 14 12 10 8 6 15 13 a a a a a a a a a a a a a 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 z z 2 z 3 z 6 z 8 z 4 z 5 z 5 z z 8 z > ---- - -- - ---- + ---- - ---- - ---- - ---- - ---- + ---- - --- - ---- - 11 9 7 14 12 10 8 6 13 11 9 a a a a a a a a a a a 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 2 z 5 z 3 z z z 3 z 4 z z z z > ---- + ---- + ---- - -- + -- + ---- + ---- + -- + --- + -- 7 12 10 8 6 11 9 7 10 8 a a a a a a a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 16]], Vassiliev[3][Knot[9, 16]]}
Out[19]=	{6, 14}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 16]][q, t]
Out[20]=	5 7 7 9 2 11 2 11 3 13 3 13 4 15 4 q + q + q t + 3 q t + q t + 2 q t + 3 q t + 4 q t + 2 q t + 15 5 17 5 17 6 19 6 19 7 21 7 21 8 > 3 q t + 4 q t + 3 q t + 3 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 23 8 25 9 > 2 q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 16], 2][q]
Out[21]=	6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 q - q + 5 q - 4 q - 5 q + 15 q - 7 q - 17 q + 27 q - 4 q - 17 18 19 20 21 22 23 24 > 32 q + 35 q + 3 q - 42 q + 35 q + 10 q - 42 q + 28 q + 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > 12 q - 31 q + 16 q + 7 q - 14 q + 6 q + 2 q - 3 q + q

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