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914 916

KnotPlot

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KnotPlot

PD Presentation:

X1425 X7,10,8,11 X3948 X9,3,10,2 X13,17,14,16 X5,15,6,14 X15,7,16,6 X11,1,12,18 X17,13,18,12

Gauss Code:

{-1, 4, -3, 1, -6, 7, -2, 3, -4, 2, -8, 9, -5, 6, -7, 5, -9, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code:

4 8 14 10 2 18 16 6 12

Minimum Braid Representative: Length is 10, width is 5 Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index Reversible 2 2 2 / 4--5 1

Alexander Polynomial:

- 2t-2 + 10t-1 - 15 + 10t - 2t2

Conway Polynomial:

1 + 2z2 - 2z4

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial:

{10165, K11n63, K11n101, ...}

Determinant and Signature:

{39, 2}

Jones Polynomial:

q-1 - 2 + 4q - 6q2 + 7q3 - 6q4 + 6q5 - 4q6 + 2q7 - q8

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial:

{...}

A2 (sl(3)) Invariant:

q-4 + 2q2 - 2q4 + 2q12 + 2q16 - q20 + q22 - q24 - q26

HOMFLY-PT Polynomial:

- a-8 + a-6 + 2a-6z2 + a-4 - a-4z4 - a-2 - a-2z2 - a-2z4 + 1 + z2

Kauffman Polynomial:

2a-9z - 3a-9z3 + a-9z5 - a-8 + 3a-8z2 - 5a-8z4 + 2a-8z6 + a-7z - a-7z3 - 3a-7z5 + 2a-7z7 - a-6 + 2a-6z2 - 4a-6z4 + a-6z6 + a-6z8 - a-5z + 5a-5z3 - 7a-5z5 + 4a-5z7 + a-4 - 2a-4z2 + a-4z6 + a-4z8 + a-3z - a-3z5 + 2a-3z7 + a-2 - 3a-2z2 + 2a-2z6 + a-1z - 3a-1z3 + 2a-1z5 + 1 - 2z2 + z4

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants:

{2, 5}

Khovanov Homology: (The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 915. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

trqj r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6 r = 7 j = 17                   1 j = 15                 1   j = 13               3 1   j = 11             3 1     j = 9           3 3       j = 7         4 3         j = 5       2 3           j = 3     2 4             j = 1   1 3               j = -1   1                 j = -3 1

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q-4 - 2q-3 + 5q-1 - 8 + q + 16q2 - 21q3 - q4 + 33q5 - 33q6 - 7q7 + 45q8 - 36q9 - 12q10 + 45q11 - 28q12 - 15q13 + 35q14 - 15q15 - 14q16 + 19q17 - 4q18 - 8q19 + 6q20 - 2q22 + q23
3	q-9 - 2q-8 + q-6 + 3q-5 - 5q-4 - q-3 + 7q-2 + 3q-1 - 16 - 2q + 26q2 + 8q3 - 46q4 - 13q5 + 64q6 + 28q7 - 84q8 - 46q9 + 102q10 + 66q11 - 114q12 - 82q13 + 116q14 + 101q15 - 119q16 - 107q17 + 106q18 + 118q19 - 100q20 - 113q21 + 76q22 + 116q23 - 60q24 - 105q25 + 35q26 + 97q27 - 17q28 - 79q29 - q30 + 60q31 + 13q32 - 44q33 - 14q34 + 24q35 + 16q36 - 14q37 - 10q38 + 5q39 + 7q40 - 3q41 - 2q42 + 2q44 - q45
4	q-16 - 2q-15 + q-13 - q-12 + 6q-11 - 7q-10 + q-9 + 3q-8 - 8q-7 + 14q-6 - 17q-5 + 10q-4 + 16q-3 - 24q-2 + 13q-1 - 47 + 33q + 66q2 - 31q3 - 8q4 - 138q5 + 49q6 + 174q7 + 15q8 - 26q9 - 307q10 + 9q11 + 302q12 + 135q13 + 12q14 - 507q15 - 101q16 + 386q17 + 278q18 + 106q19 - 649q20 - 224q21 + 392q22 + 373q23 + 215q24 - 694q25 - 311q26 + 339q27 + 401q28 + 298q29 - 651q30 - 347q31 + 243q32 + 372q33 + 358q34 - 535q35 - 343q36 + 113q37 + 292q38 + 392q39 - 358q40 - 296q41 - 25q42 + 169q43 + 374q44 - 167q45 - 199q46 - 110q47 + 35q48 + 280q49 - 26q50 - 78q51 - 112q52 - 49q53 + 152q54 + 23q55 + 3q56 - 59q57 - 58q58 + 54q59 + 13q60 + 22q61 - 15q62 - 30q63 + 14q64 + 10q66 - q67 - 9q68 + 4q69 - q70 + 2q71 - 2q73 + q74
5	q-25 - 2q-24 + q-22 - q-21 + 2q-20 + 4q-19 - 5q-18 - 3q-17 + 3q-16 - 6q-15 + 2q-14 + 12q-13 - 2q-12 - 2q-11 + 2q-10 - 17q-9 - 13q-8 + 13q-7 + 19q-6 + 26q-5 + 17q-4 - 41q-3 - 71q-2 - 38q-1 + 39 + 128q + 120q2 - 32q3 - 209q4 - 228q5 - 39q6 + 291q7 + 423q8 + 144q9 - 356q10 - 632q11 - 357q12 + 368q13 + 900q14 + 630q15 - 328q16 - 1129q17 - 970q18 + 193q19 + 1338q20 + 1332q21 + q22 - 1482q23 - 1669q24 - 241q25 + 1549q26 + 1958q27 + 489q28 - 1539q29 - 2188q30 - 720q31 + 1499q32 + 2309q33 + 916q34 - 1382q35 - 2400q36 - 1078q37 + 1299q38 + 2378q39 + 1188q40 - 1124q41 - 2365q42 - 1285q43 + 1010q44 + 2242q45 + 1341q46 - 787q47 - 2136q48 - 1401q49 + 616q50 + 1924q51 + 1418q52 - 342q53 - 1719q54 - 1421q55 + 124q56 + 1410q57 + 1372q58 + 146q59 - 1109q60 - 1276q61 - 335q62 + 761q63 + 1102q64 + 505q65 - 440q66 - 898q67 - 568q68 + 162q69 + 644q70 + 552q71 + 65q72 - 406q73 - 483q74 - 177q75 + 197q76 + 343q77 + 234q78 - 35q79 - 234q80 - 203q81 - 44q82 + 104q83 + 160q84 + 80q85 - 40q86 - 92q87 - 71q88 - 11q89 + 54q90 + 50q91 + 11q92 - 12q93 - 29q94 - 20q95 + 9q96 + 16q97 + 2q98 + 3q99 - 3q100 - 9q101 + 2q102 + 5q103 - 2q104 + q106 - 2q107 + 2q109 - q110
6	q-36 - 2q-35 + q-33 - q-32 + 2q-31 + 6q-29 - 9q-28 - 3q-27 + 5q-26 - 7q-25 + 3q-24 + 3q-23 + 24q-22 - 18q-21 - 10q-20 + 10q-19 - 25q-18 - 8q-17 + 7q-16 + 69q-15 - 17q-14 - 10q-13 + 18q-12 - 79q-11 - 62q-10 - 11q-9 + 159q-8 + 41q-7 + 50q-6 + 67q-5 - 206q-4 - 254q-3 - 159q-2 + 252q-1 + 231 + 346q + 333q2 - 356q3 - 722q4 - 724q5 + 99q6 + 480q7 + 1096q8 + 1227q9 - 174q10 - 1377q11 - 2006q12 - 831q13 + 326q14 + 2182q15 + 3078q16 + 976q17 - 1647q18 - 3801q19 - 2863q20 - 933q21 + 2923q22 + 5548q23 + 3352q24 - 813q25 - 5290q26 - 5504q27 - 3415q28 + 2591q29 + 7664q30 + 6283q31 + 1143q32 - 5715q33 - 7713q34 - 6307q35 + 1237q36 + 8653q37 + 8681q38 + 3405q39 - 5116q40 - 8795q41 - 8580q42 - 408q43 + 8556q44 + 9955q45 + 5144q46 - 4092q47 - 8855q48 - 9805q49 - 1723q50 + 7867q51 + 10254q52 + 6131q53 - 3070q54 - 8327q55 - 10192q56 - 2632q57 + 6889q58 + 9940q59 + 6618q60 - 2014q61 - 7406q62 - 10060q63 - 3414q64 + 5537q65 + 9134q66 + 6860q67 - 679q68 - 5964q69 - 9459q70 - 4237q71 + 3621q72 + 7686q73 + 6803q74 + 959q75 - 3863q76 - 8170q77 - 4876q78 + 1273q79 + 5471q80 + 6087q81 + 2457q82 - 1336q83 - 6017q84 - 4793q85 - 882q86 + 2782q87 + 4451q88 + 3095q89 + 884q90 - 3328q91 - 3651q92 - 2012q93 + 419q94 + 2241q95 + 2517q96 + 1961q97 - 973q98 - 1854q99 - 1808q100 - 797q101 + 356q102 + 1220q103 + 1722q104 + 251q105 - 338q106 - 869q107 - 797q108 - 498q109 + 139q110 + 870q111 + 379q112 + 287q113 - 103q114 - 296q115 - 465q116 - 239q117 + 225q118 + 106q119 + 245q120 + 127q121 + 32q122 - 189q123 - 169q124 + 18q125 - 47q126 + 74q127 + 73q128 + 78q129 - 40q130 - 56q131 + 9q132 - 42q133 + 4q134 + 14q135 + 36q136 - 8q137 - 14q138 + 12q139 - 13q140 - 2q141 - q142 + 11q143 - 3q144 - 6q145 + 6q146 - 2q147 - q149 + 2q150 - 2q152 + q153

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 15]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[7, 10, 8, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[13, 17, 14, 16], X[5, 15, 6, 14], X[15, 7, 16, 6], X[11, 1, 12, 18], > X[17, 13, 18, 12]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 15]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -6, 7, -2, 3, -4, 2, -8, 9, -5, 6, -7, 5, -9, 8]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 15]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 14, 10, 2, 18, 16, 6, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 15]]
Out[5]=	BR[5, {1, 1, 1, 2, -1, -3, 2, 4, -3, 4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 15]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 15]]]
Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 15]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 2, {4, 5}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 15]][t]
Out[10]=	2 10 2 -15 - -- + -- + 10 t - 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 15]][z]
Out[11]=	2 4 1 + 2 z - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 15], Knot[10, 165], Knot[11, NonAlternating, 63], > Knot[11, NonAlternating, 101]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 15]], KnotSignature[Knot[9, 15]]}
Out[13]=	{39, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 15]][q]
Out[14]=	1 2 3 4 5 6 7 8 -2 + - + 4 q - 6 q + 7 q - 6 q + 6 q - 4 q + 2 q - q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 15]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 15]][q]
Out[16]=	-4 2 4 12 16 20 22 24 26 q + 2 q - 2 q + 2 q + 2 q - q + q - q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 15]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 -8 -6 -4 -2 2 2 z z z z 1 - a + a + a - a + z + ---- - -- - -- - -- 6 2 4 2 a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 15]][a, z]
Out[18]=	2 2 -8 -6 -4 -2 2 z z z z z 2 3 z 2 z 1 - a - a + a + a + --- + -- - -- + -- + - - 2 z + ---- + ---- - 9 7 5 3 a 8 6 a a a a a a 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 2 z 3 z 3 z z 5 z 3 z 4 5 z 4 z z 3 z > ---- - ---- - ---- - -- + ---- - ---- + z - ---- - ---- + -- - ---- - 4 2 9 7 5 a 8 6 9 7 a a a a a a a a a 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 7 z z 2 z 2 z z z 2 z 2 z 4 z 2 z z z > ---- - -- + ---- + ---- + -- + -- + ---- + ---- + ---- + ---- + -- + -- 5 3 a 8 6 4 2 7 5 3 6 4 a a a a a a a a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 15]], Vassiliev[3][Knot[9, 15]]}
Out[19]=	{2, 5}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 15]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 q 3 5 5 2 7 2 7 3 3 q + 2 q + ----- + --- + - + 4 q t + 2 q t + 3 q t + 4 q t + 3 q t + 3 2 q t t q t 9 3 9 4 11 4 11 5 13 5 13 6 15 6 17 7 > 3 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 15], 2][q]
Out[21]=	-4 2 5 2 3 4 5 6 7 8 -8 + q - -- + - + q + 16 q - 21 q - q + 33 q - 33 q - 7 q + 45 q - 3 q q 9 10 11 12 13 14 15 16 > 36 q - 12 q + 45 q - 28 q - 15 q + 35 q - 15 q - 14 q + 17 18 19 20 22 23 > 19 q - 4 q - 8 q + 6 q - 2 q + q

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