The Alternating Knot 8₉

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₆₂₇₁ X_14,8,15,7 X_10,3,11,4 X_2,13,3,14 X_12,5,13,6 X_4,11,5,12 X_16,10,1,9 X_8,16,9,15

Gauss Code: {1, -4, 3, -6, 5, -1, 2, -8, 7, -3, 6, -5, 4, -2, 8, -7}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 10 12 14 16 4 2 8

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

FullyAmphicheiral 1 3 2 / 3--6 1

Alexander Polynomial: - t^-3 + 3t^-2 - 5t^-1 + 7 - 5t + 3t² - t³

Conway Polynomial: 1 - 2z² - 3z⁴ - z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₅₅, K11n37, ...}

Determinant and Signature: {25, 0}

Jones Polynomial: q^-4 - 2q^-3 + 3q^-2 - 4q^-1 + 5 - 4q + 3q² - 2q³ + q⁴

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-12 + q^-8 - q^-4 + q^-2 - 1 + q² - q⁴ + q⁸ + q¹²

HOMFLY-PT Polynomial: 2a^-2 + 3a^-2z² + a^-2z⁴ - 3 - 8z² - 5z⁴ - z⁶ + 2a² + 3a²z² + a²z⁴

Kauffman Polynomial: - 2a^-4z² + a^-4z⁴ + a^-3z - 4a^-3z³ + 2a^-3z⁵ - 2a^-2 + 4a^-2z² - 4a^-2z⁴ + 2a^-2z⁶ + a^-1z - a^-1z³ + a^-1z⁷ - 3 + 12z² - 10z⁴ + 4z⁶ + az - az³ + az⁷ - 2a² + 4a²z² - 4a²z⁴ + 2a²z⁶ + a³z - 4a³z³ + 2a³z⁵ - 2a⁴z² + a⁴z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-2, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 8₉. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 9 1

j = 7 1

j = 5 2 1

j = 3 2 1

j = 1 3 2

j = -1 2 3

j = -3 1 2

j = -5 1 2

j = -7 1

j = -9 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-12 - 2q^-11 + 5q^-9 - 6q^-8 - 2q^-7 + 12q^-6 - 10q^-5 - 7q^-4 + 20q^-3 - 12q^-2 - 11q^-1 + 25 - 11q - 12q² + 20q³ - 7q⁴ - 10q⁵ + 12q⁶ - 2q⁷ - 6q⁸ + 5q⁹ - 2q¹¹ + q¹²

3 q^-24 - 2q^-23 + 2q^-21 + 2q^-20 - 5q^-19 - 3q^-18 + 7q^-17 + 7q^-16 - 11q^-15 - 11q^-14 + 12q^-13 + 19q^-12 - 13q^-11 - 27q^-10 + 12q^-9 + 36q^-8 - 10q^-7 - 44q^-6 + 7q^-5 + 51q^-4 - 5q^-3 - 54q^-2 + 59 - 54q² - 5q³ + 51q⁴ + 7q⁵ - 44q⁶ - 10q⁷ + 36q⁸ + 12q⁹ - 27q¹⁰ - 13q¹¹ + 19q¹² + 12q¹³ - 11q¹⁴ - 11q¹⁵ + 7q¹⁶ + 7q¹⁷ - 3q¹⁸ - 5q¹⁹ + 2q²⁰ + 2q²¹ - 2q²³ + q²⁴

4 q^-40 - 2q^-39 + 2q^-37 - q^-36 + 3q^-35 - 7q^-34 + q^-33 + 7q^-32 - 3q^-31 + 8q^-30 - 19q^-29 - 2q^-28 + 17q^-27 + q^-26 + 20q^-25 - 39q^-24 - 16q^-23 + 21q^-22 + 12q^-21 + 53q^-20 - 54q^-19 - 44q^-18 + 4q^-17 + 20q^-16 + 105q^-15 - 53q^-14 - 72q^-13 - 31q^-12 + 15q^-11 + 159q^-10 - 40q^-9 - 89q^-8 - 64q^-7 + q^-6 + 197q^-5 - 25q^-4 - 93q^-3 - 86q^-2 - 13q^-1 + 213 - 13q - 86q² - 93q³ - 25q⁴ + 197q⁵ + q⁶ - 64q⁷ - 89q⁸ - 40q⁹ + 159q¹⁰ + 15q¹¹ - 31q¹² - 72q¹³ - 53q¹⁴ + 105q¹⁵ + 20q¹⁶ + 4q¹⁷ - 44q¹⁸ - 54q¹⁹ + 53q²⁰ + 12q²¹ + 21q²² - 16q²³ - 39q²⁴ + 20q²⁵ + q²⁶ + 17q²⁷ - 2q²⁸ - 19q²⁹ + 8q³⁰ - 3q³¹ + 7q³² + q³³ - 7q³⁴ + 3q³⁵ - q³⁶ + 2q³⁷ - 2q³⁹ + q⁴⁰

5 q^-60 - 2q^-59 + 2q^-57 - q^-56 + q^-54 - 3q^-53 + 6q^-51 - 5q^-49 - 2q^-48 - 5q^-47 + 2q^-46 + 14q^-45 + 9q^-44 - 7q^-43 - 16q^-42 - 19q^-41 - 3q^-40 + 28q^-39 + 34q^-38 + 12q^-37 - 24q^-36 - 55q^-35 - 37q^-34 + 19q^-33 + 67q^-32 + 70q^-31 + 9q^-30 - 78q^-29 - 110q^-28 - 45q^-27 + 71q^-26 + 147q^-25 + 100q^-24 - 52q^-23 - 182q^-22 - 156q^-21 + 19q^-20 + 204q^-19 + 216q^-18 + 21q^-17 - 217q^-16 - 268q^-15 - 64q^-14 + 221q^-13 + 312q^-12 + 101q^-11 - 218q^-10 - 341q^-9 - 138q^-8 + 211q^-7 + 370q^-6 + 158q^-5 - 206q^-4 - 372q^-3 - 183q^-2 + 188q^-1 + 393 + 188q - 183q² - 372q³ - 206q⁴ + 158q⁵ + 370q⁶ + 211q⁷ - 138q⁸ - 341q⁹ - 218q¹⁰ + 101q¹¹ + 312q¹² + 221q¹³ - 64q¹⁴ - 268q¹⁵ - 217q¹⁶ + 21q¹⁷ + 216q¹⁸ + 204q¹⁹ + 19q²⁰ - 156q²¹ - 182q²² - 52q²³ + 100q²⁴ + 147q²⁵ + 71q²⁶ - 45q²⁷ - 110q²⁸ - 78q²⁹ + 9q³⁰ + 70q³¹ + 67q³² + 19q³³ - 37q³⁴ - 55q³⁵ - 24q³⁶ + 12q³⁷ + 34q³⁸ + 28q³⁹ - 3q⁴⁰ - 19q⁴¹ - 16q⁴² - 7q⁴³ + 9q⁴⁴ + 14q⁴⁵ + 2q⁴⁶ - 5q⁴⁷ - 2q⁴⁸ - 5q⁴⁹ + 6q⁵¹ - 3q⁵³ + q⁵⁴ - q⁵⁶ + 2q⁵⁷ - 2q⁵⁹ + q⁶⁰

6 q^-84 - 2q^-83 + 2q^-81 - q^-80 - 2q^-78 + 5q^-77 - 4q^-76 - q^-75 + 8q^-74 - 4q^-73 - 4q^-72 - 9q^-71 + 12q^-70 - 5q^-69 + 2q^-68 + 23q^-67 - 5q^-66 - 13q^-65 - 31q^-64 + 15q^-63 - 13q^-62 + 8q^-61 + 60q^-60 + 15q^-59 - 13q^-58 - 68q^-57 - 3q^-56 - 57q^-55 - 9q^-54 + 107q^-53 + 79q^-52 + 42q^-51 - 73q^-50 - 19q^-49 - 163q^-48 - 108q^-47 + 93q^-46 + 146q^-45 + 172q^-44 + 32q^-43 + 60q^-42 - 272q^-41 - 302q^-40 - 68q^-39 + 107q^-38 + 298q^-37 + 249q^-36 + 310q^-35 - 265q^-34 - 491q^-33 - 357q^-32 - 103q^-31 + 302q^-30 + 470q^-29 + 687q^-28 - 100q^-27 - 566q^-26 - 651q^-25 - 416q^-24 + 164q^-23 + 590q^-22 + 1052q^-21 + 143q^-20 - 522q^-19 - 847q^-18 - 696q^-17 - 31q^-16 + 605q^-15 + 1305q^-14 + 348q^-13 - 430q^-12 - 936q^-11 - 867q^-10 - 188q^-9 + 570q^-8 + 1436q^-7 + 466q^-6 - 349q^-5 - 959q^-4 - 941q^-3 - 283q^-2 + 525q^-1 + 1477 + 525q - 283q² - 941q³ - 959q⁴ - 349q⁵ + 466q⁶ + 1436q⁷ + 570q⁸ - 188q⁹ - 867q¹⁰ - 936q¹¹ - 430q¹² + 348q¹³ + 1305q¹⁴ + 605q¹⁵ - 31q¹⁶ - 696q¹⁷ - 847q¹⁸ - 522q¹⁹ + 143q²⁰ + 1052q²¹ + 590q²² + 164q²³ - 416q²⁴ - 651q²⁵ - 566q²⁶ - 100q²⁷ + 687q²⁸ + 470q²⁹ + 302q³⁰ - 103q³¹ - 357q³² - 491q³³ - 265q³⁴ + 310q³⁵ + 249q³⁶ + 298q³⁷ + 107q³⁸ - 68q³⁹ - 302q⁴⁰ - 272q⁴¹ + 60q⁴² + 32q⁴³ + 172q⁴⁴ + 146q⁴⁵ + 93q⁴⁶ - 108q⁴⁷ - 163q⁴⁸ - 19q⁴⁹ - 73q⁵⁰ + 42q⁵¹ + 79q⁵² + 107q⁵³ - 9q⁵⁴ - 57q⁵⁵ - 3q⁵⁶ - 68q⁵⁷ - 13q⁵⁸ + 15q⁵⁹ + 60q⁶⁰ + 8q⁶¹ - 13q⁶² + 15q⁶³ - 31q⁶⁴ - 13q⁶⁵ - 5q⁶⁶ + 23q⁶⁷ + 2q⁶⁸ - 5q⁶⁹ + 12q⁷⁰ - 9q⁷¹ - 4q⁷² - 4q⁷³ + 8q⁷⁴ - q⁷⁵ - 4q⁷⁶ + 5q⁷⁷ - 2q⁷⁸ - q⁸⁰ + 2q⁸¹ - 2q⁸³ + q⁸⁴

7 q^-112 - 2q^-111 + 2q^-109 - q^-108 - 2q^-106 + 2q^-105 + 4q^-104 - 5q^-103 + q^-102 + 4q^-101 - 4q^-100 - 2q^-99 - 8q^-98 + q^-97 + 16q^-96 - 3q^-95 + 5q^-94 + 8q^-93 - 11q^-92 - 6q^-91 - 29q^-90 - 11q^-89 + 32q^-88 + 10q^-87 + 28q^-86 + 27q^-85 - 15q^-84 - 12q^-83 - 71q^-82 - 61q^-81 + 24q^-80 + 16q^-79 + 79q^-78 + 92q^-77 + 27q^-76 + 21q^-75 - 113q^-74 - 156q^-73 - 70q^-72 - 69q^-71 + 85q^-70 + 191q^-69 + 158q^-68 + 185q^-67 - 27q^-66 - 203q^-65 - 227q^-64 - 336q^-63 - 117q^-62 + 140q^-61 + 270q^-60 + 503q^-59 + 329q^-58 + 30q^-57 - 227q^-56 - 661q^-55 - 601q^-54 - 292q^-53 + 72q^-52 + 736q^-51 + 878q^-50 + 659q^-49 + 227q^-48 - 711q^-47 - 1129q^-46 - 1075q^-45 - 631q^-44 + 549q^-43 + 1283q^-42 + 1492q^-41 + 1138q^-40 - 257q^-39 - 1345q^-38 - 1870q^-37 - 1666q^-36 - 122q^-35 + 1287q^-34 + 2159q^-33 + 2185q^-32 + 554q^-31 - 1140q^-30 - 2362q^-29 - 2642q^-28 - 984q^-27 + 942q^-26 + 2477q^-25 + 3009q^-24 + 1367q^-23 - 721q^-22 - 2511q^-21 - 3289q^-20 - 1694q^-19 + 513q^-18 + 2513q^-17 + 3488q^-16 + 1926q^-15 - 347q^-14 - 2473q^-13 - 3596q^-12 - 2106q^-11 + 194q^-10 + 2437q^-9 + 3692q^-8 + 2217q^-7 - 126q^-6 - 2389q^-5 - 3694q^-4 - 2294q^-3 + 13q^-2 + 2343q^-1 + 3751 + 2343q + 13q² - 2294q³ - 3694q⁴ - 2389q⁵ - 126q⁶ + 2217q⁷ + 3692q⁸ + 2437q⁹ + 194q¹⁰ - 2106q¹¹ - 3596q¹² - 2473q¹³ - 347q¹⁴ + 1926q¹⁵ + 3488q¹⁶ + 2513q¹⁷ + 513q¹⁸ - 1694q¹⁹ - 3289q²⁰ - 2511q²¹ - 721q²² + 1367q²³ + 3009q²⁴ + 2477q²⁵ + 942q²⁶ - 984q²⁷ - 2642q²⁸ - 2362q²⁹ - 1140q³⁰ + 554q³¹ + 2185q³² + 2159q³³ + 1287q³⁴ - 122q³⁵ - 1666q³⁶ - 1870q³⁷ - 1345q³⁸ - 257q³⁹ + 1138q⁴⁰ + 1492q⁴¹ + 1283q⁴² + 549q⁴³ - 631q⁴⁴ - 1075q⁴⁵ - 1129q⁴⁶ - 711q⁴⁷ + 227q⁴⁸ + 659q⁴⁹ + 878q⁵⁰ + 736q⁵¹ + 72q⁵² - 292q⁵³ - 601q⁵⁴ - 661q⁵⁵ - 227q⁵⁶ + 30q⁵⁷ + 329q⁵⁸ + 503q⁵⁹ + 270q⁶⁰ + 140q⁶¹ - 117q⁶² - 336q⁶³ - 227q⁶⁴ - 203q⁶⁵ - 27q⁶⁶ + 185q⁶⁷ + 158q⁶⁸ + 191q⁶⁹ + 85q⁷⁰ - 69q⁷¹ - 70q⁷² - 156q⁷³ - 113q⁷⁴ + 21q⁷⁵ + 27q⁷⁶ + 92q⁷⁷ + 79q⁷⁸ + 16q⁷⁹ + 24q⁸⁰ - 61q⁸¹ - 71q⁸² - 12q⁸³ - 15q⁸⁴ + 27q⁸⁵ + 28q⁸⁶ + 10q⁸⁷ + 32q⁸⁸ - 11q⁸⁹ - 29q⁹⁰ - 6q⁹¹ - 11q⁹² + 8q⁹³ + 5q⁹⁴ - 3q⁹⁵ + 16q⁹⁶ + q⁹⁷ - 8q⁹⁸ - 2q⁹⁹ - 4q¹⁰⁰ + 4q¹⁰¹ + q¹⁰² - 5q¹⁰³ + 4q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁵ - 2q¹⁰⁶ - q¹⁰⁸ + 2q¹⁰⁹ - 2q¹¹¹ + q¹¹²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 9]]

Out[2]=
PD[X[6, 2, 7, 1], X[14, 8, 15, 7], X[10, 3, 11, 4], X[2, 13, 3, 14], > X[12, 5, 13, 6], X[4, 11, 5, 12], X[16, 10, 1, 9], X[8, 16, 9, 15]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 9]]

Out[3]=
GaussCode[1, -4, 3, -6, 5, -1, 2, -8, 7, -3, 6, -5, 4, -2, 8, -7]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 9]]

Out[4]=
DTCode[6, 10, 12, 14, 16, 4, 2, 8]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 9]]

Out[5]=
BR[3, {-1, -1, -1, 2, -1, 2, 2, 2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 9]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 9]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 9]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{FullyAmphicheiral, 1, 3, 2, {3, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 9]][t]

Out[10]=
-3 3 5 2 3 7 - t + -- - - - 5 t + 3 t - t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 9]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 - 2 z - 3 z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 9], Knot[10, 155], Knot[11, NonAlternating, 37]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 9]], KnotSignature[Knot[8, 9]]}

Out[13]=
{25, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 9]][q]

Out[14]=
-4 2 3 4 2 3 4 5 + q - -- + -- - - - 4 q + 3 q - 2 q + q 3 2 q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 9]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 9]][q]

Out[16]=
-12 -8 -4 -2 2 4 8 12 -1 + q + q - q + q + q - q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 9]][a, z]

Out[17]=
2 4 2 2 2 3 z 2 2 4 z 2 4 6 -3 + -- + 2 a - 8 z + ---- + 3 a z - 5 z + -- + a z - z 2 2 2 a a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 9]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 2 z z 3 2 2 z 4 z 2 2 -3 - -- - 2 a + -- + - + a z + a z + 12 z - ---- + ---- + 4 a z - 2 3 a 4 2 a a a a 3 3 4 4 4 2 4 z z 3 3 3 4 z 4 z 2 4 > 2 a z - ---- - -- - a z - 4 a z - 10 z + -- - ---- - 4 a z + 3 a 4 2 a a a 5 6 7 4 4 2 z 3 5 6 2 z 2 6 z 7 > a z + ---- + 2 a z + 4 z + ---- + 2 a z + -- + a z 3 2 a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 9]], Vassiliev[3][Knot[8, 9]]}

Out[19]=
{-2, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 9]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 2 1 2 2 3 - + 3 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 2 q t + 2 q t + q 9 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > q t + 2 q t + q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 9], 2][q]

Out[21]=
-12 2 5 6 2 12 10 7 20 12 11 2 25 + q - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- - 11 q - 12 q + 11 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q 3 4 5 6 7 8 9 11 12 > 20 q - 7 q - 10 q + 12 q - 2 q - 6 q + 5 q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₉

8₈
8₁₀

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-12 - 2q^-11 + 5q^-9 - 6q^-8 - 2q^-7 + 12q^-6 - 10q^-5 - 7q^-4 + 20q^-3 - 12q^-2 - 11q^-1 + 25 - 11q - 12q² + 20q³ - 7q⁴ - 10q⁵ + 12q⁶ - 2q⁷ - 6q⁸ + 5q⁹ - 2q¹¹ + q¹²
3	q^-24 - 2q^-23 + 2q^-21 + 2q^-20 - 5q^-19 - 3q^-18 + 7q^-17 + 7q^-16 - 11q^-15 - 11q^-14 + 12q^-13 + 19q^-12 - 13q^-11 - 27q^-10 + 12q^-9 + 36q^-8 - 10q^-7 - 44q^-6 + 7q^-5 + 51q^-4 - 5q^-3 - 54q^-2 + 59 - 54q² - 5q³ + 51q⁴ + 7q⁵ - 44q⁶ - 10q⁷ + 36q⁸ + 12q⁹ - 27q¹⁰ - 13q¹¹ + 19q¹² + 12q¹³ - 11q¹⁴ - 11q¹⁵ + 7q¹⁶ + 7q¹⁷ - 3q¹⁸ - 5q¹⁹ + 2q²⁰ + 2q²¹ - 2q²³ + q²⁴
4	q^-40 - 2q^-39 + 2q^-37 - q^-36 + 3q^-35 - 7q^-34 + q^-33 + 7q^-32 - 3q^-31 + 8q^-30 - 19q^-29 - 2q^-28 + 17q^-27 + q^-26 + 20q^-25 - 39q^-24 - 16q^-23 + 21q^-22 + 12q^-21 + 53q^-20 - 54q^-19 - 44q^-18 + 4q^-17 + 20q^-16 + 105q^-15 - 53q^-14 - 72q^-13 - 31q^-12 + 15q^-11 + 159q^-10 - 40q^-9 - 89q^-8 - 64q^-7 + q^-6 + 197q^-5 - 25q^-4 - 93q^-3 - 86q^-2 - 13q^-1 + 213 - 13q - 86q² - 93q³ - 25q⁴ + 197q⁵ + q⁶ - 64q⁷ - 89q⁸ - 40q⁹ + 159q¹⁰ + 15q¹¹ - 31q¹² - 72q¹³ - 53q¹⁴ + 105q¹⁵ + 20q¹⁶ + 4q¹⁷ - 44q¹⁸ - 54q¹⁹ + 53q²⁰ + 12q²¹ + 21q²² - 16q²³ - 39q²⁴ + 20q²⁵ + q²⁶ + 17q²⁷ - 2q²⁸ - 19q²⁹ + 8q³⁰ - 3q³¹ + 7q³² + q³³ - 7q³⁴ + 3q³⁵ - q³⁶ + 2q³⁷ - 2q³⁹ + q⁴⁰
5	q^-60 - 2q^-59 + 2q^-57 - q^-56 + q^-54 - 3q^-53 + 6q^-51 - 5q^-49 - 2q^-48 - 5q^-47 + 2q^-46 + 14q^-45 + 9q^-44 - 7q^-43 - 16q^-42 - 19q^-41 - 3q^-40 + 28q^-39 + 34q^-38 + 12q^-37 - 24q^-36 - 55q^-35 - 37q^-34 + 19q^-33 + 67q^-32 + 70q^-31 + 9q^-30 - 78q^-29 - 110q^-28 - 45q^-27 + 71q^-26 + 147q^-25 + 100q^-24 - 52q^-23 - 182q^-22 - 156q^-21 + 19q^-20 + 204q^-19 + 216q^-18 + 21q^-17 - 217q^-16 - 268q^-15 - 64q^-14 + 221q^-13 + 312q^-12 + 101q^-11 - 218q^-10 - 341q^-9 - 138q^-8 + 211q^-7 + 370q^-6 + 158q^-5 - 206q^-4 - 372q^-3 - 183q^-2 + 188q^-1 + 393 + 188q - 183q² - 372q³ - 206q⁴ + 158q⁵ + 370q⁶ + 211q⁷ - 138q⁸ - 341q⁹ - 218q¹⁰ + 101q¹¹ + 312q¹² + 221q¹³ - 64q¹⁴ - 268q¹⁵ - 217q¹⁶ + 21q¹⁷ + 216q¹⁸ + 204q¹⁹ + 19q²⁰ - 156q²¹ - 182q²² - 52q²³ + 100q²⁴ + 147q²⁵ + 71q²⁶ - 45q²⁷ - 110q²⁸ - 78q²⁹ + 9q³⁰ + 70q³¹ + 67q³² + 19q³³ - 37q³⁴ - 55q³⁵ - 24q³⁶ + 12q³⁷ + 34q³⁸ + 28q³⁹ - 3q⁴⁰ - 19q⁴¹ - 16q⁴² - 7q⁴³ + 9q⁴⁴ + 14q⁴⁵ + 2q⁴⁶ - 5q⁴⁷ - 2q⁴⁸ - 5q⁴⁹ + 6q⁵¹ - 3q⁵³ + q⁵⁴ - q⁵⁶ + 2q⁵⁷ - 2q⁵⁹ + q⁶⁰
6	q^-84 - 2q^-83 + 2q^-81 - q^-80 - 2q^-78 + 5q^-77 - 4q^-76 - q^-75 + 8q^-74 - 4q^-73 - 4q^-72 - 9q^-71 + 12q^-70 - 5q^-69 + 2q^-68 + 23q^-67 - 5q^-66 - 13q^-65 - 31q^-64 + 15q^-63 - 13q^-62 + 8q^-61 + 60q^-60 + 15q^-59 - 13q^-58 - 68q^-57 - 3q^-56 - 57q^-55 - 9q^-54 + 107q^-53 + 79q^-52 + 42q^-51 - 73q^-50 - 19q^-49 - 163q^-48 - 108q^-47 + 93q^-46 + 146q^-45 + 172q^-44 + 32q^-43 + 60q^-42 - 272q^-41 - 302q^-40 - 68q^-39 + 107q^-38 + 298q^-37 + 249q^-36 + 310q^-35 - 265q^-34 - 491q^-33 - 357q^-32 - 103q^-31 + 302q^-30 + 470q^-29 + 687q^-28 - 100q^-27 - 566q^-26 - 651q^-25 - 416q^-24 + 164q^-23 + 590q^-22 + 1052q^-21 + 143q^-20 - 522q^-19 - 847q^-18 - 696q^-17 - 31q^-16 + 605q^-15 + 1305q^-14 + 348q^-13 - 430q^-12 - 936q^-11 - 867q^-10 - 188q^-9 + 570q^-8 + 1436q^-7 + 466q^-6 - 349q^-5 - 959q^-4 - 941q^-3 - 283q^-2 + 525q^-1 + 1477 + 525q - 283q² - 941q³ - 959q⁴ - 349q⁵ + 466q⁶ + 1436q⁷ + 570q⁸ - 188q⁹ - 867q¹⁰ - 936q¹¹ - 430q¹² + 348q¹³ + 1305q¹⁴ + 605q¹⁵ - 31q¹⁶ - 696q¹⁷ - 847q¹⁸ - 522q¹⁹ + 143q²⁰ + 1052q²¹ + 590q²² + 164q²³ - 416q²⁴ - 651q²⁵ - 566q²⁶ - 100q²⁷ + 687q²⁸ + 470q²⁹ + 302q³⁰ - 103q³¹ - 357q³² - 491q³³ - 265q³⁴ + 310q³⁵ + 249q³⁶ + 298q³⁷ + 107q³⁸ - 68q³⁹ - 302q⁴⁰ - 272q⁴¹ + 60q⁴² + 32q⁴³ + 172q⁴⁴ + 146q⁴⁵ + 93q⁴⁶ - 108q⁴⁷ - 163q⁴⁸ - 19q⁴⁹ - 73q⁵⁰ + 42q⁵¹ + 79q⁵² + 107q⁵³ - 9q⁵⁴ - 57q⁵⁵ - 3q⁵⁶ - 68q⁵⁷ - 13q⁵⁸ + 15q⁵⁹ + 60q⁶⁰ + 8q⁶¹ - 13q⁶² + 15q⁶³ - 31q⁶⁴ - 13q⁶⁵ - 5q⁶⁶ + 23q⁶⁷ + 2q⁶⁸ - 5q⁶⁹ + 12q⁷⁰ - 9q⁷¹ - 4q⁷² - 4q⁷³ + 8q⁷⁴ - q⁷⁵ - 4q⁷⁶ + 5q⁷⁷ - 2q⁷⁸ - q⁸⁰ + 2q⁸¹ - 2q⁸³ + q⁸⁴
7	q^-112 - 2q^-111 + 2q^-109 - q^-108 - 2q^-106 + 2q^-105 + 4q^-104 - 5q^-103 + q^-102 + 4q^-101 - 4q^-100 - 2q^-99 - 8q^-98 + q^-97 + 16q^-96 - 3q^-95 + 5q^-94 + 8q^-93 - 11q^-92 - 6q^-91 - 29q^-90 - 11q^-89 + 32q^-88 + 10q^-87 + 28q^-86 + 27q^-85 - 15q^-84 - 12q^-83 - 71q^-82 - 61q^-81 + 24q^-80 + 16q^-79 + 79q^-78 + 92q^-77 + 27q^-76 + 21q^-75 - 113q^-74 - 156q^-73 - 70q^-72 - 69q^-71 + 85q^-70 + 191q^-69 + 158q^-68 + 185q^-67 - 27q^-66 - 203q^-65 - 227q^-64 - 336q^-63 - 117q^-62 + 140q^-61 + 270q^-60 + 503q^-59 + 329q^-58 + 30q^-57 - 227q^-56 - 661q^-55 - 601q^-54 - 292q^-53 + 72q^-52 + 736q^-51 + 878q^-50 + 659q^-49 + 227q^-48 - 711q^-47 - 1129q^-46 - 1075q^-45 - 631q^-44 + 549q^-43 + 1283q^-42 + 1492q^-41 + 1138q^-40 - 257q^-39 - 1345q^-38 - 1870q^-37 - 1666q^-36 - 122q^-35 + 1287q^-34 + 2159q^-33 + 2185q^-32 + 554q^-31 - 1140q^-30 - 2362q^-29 - 2642q^-28 - 984q^-27 + 942q^-26 + 2477q^-25 + 3009q^-24 + 1367q^-23 - 721q^-22 - 2511q^-21 - 3289q^-20 - 1694q^-19 + 513q^-18 + 2513q^-17 + 3488q^-16 + 1926q^-15 - 347q^-14 - 2473q^-13 - 3596q^-12 - 2106q^-11 + 194q^-10 + 2437q^-9 + 3692q^-8 + 2217q^-7 - 126q^-6 - 2389q^-5 - 3694q^-4 - 2294q^-3 + 13q^-2 + 2343q^-1 + 3751 + 2343q + 13q² - 2294q³ - 3694q⁴ - 2389q⁵ - 126q⁶ + 2217q⁷ + 3692q⁸ + 2437q⁹ + 194q¹⁰ - 2106q¹¹ - 3596q¹² - 2473q¹³ - 347q¹⁴ + 1926q¹⁵ + 3488q¹⁶ + 2513q¹⁷ + 513q¹⁸ - 1694q¹⁹ - 3289q²⁰ - 2511q²¹ - 721q²² + 1367q²³ + 3009q²⁴ + 2477q²⁵ + 942q²⁶ - 984q²⁷ - 2642q²⁸ - 2362q²⁹ - 1140q³⁰ + 554q³¹ + 2185q³² + 2159q³³ + 1287q³⁴ - 122q³⁵ - 1666q³⁶ - 1870q³⁷ - 1345q³⁸ - 257q³⁹ + 1138q⁴⁰ + 1492q⁴¹ + 1283q⁴² + 549q⁴³ - 631q⁴⁴ - 1075q⁴⁵ - 1129q⁴⁶ - 711q⁴⁷ + 227q⁴⁸ + 659q⁴⁹ + 878q⁵⁰ + 736q⁵¹ + 72q⁵² - 292q⁵³ - 601q⁵⁴ - 661q⁵⁵ - 227q⁵⁶ + 30q⁵⁷ + 329q⁵⁸ + 503q⁵⁹ + 270q⁶⁰ + 140q⁶¹ - 117q⁶² - 336q⁶³ - 227q⁶⁴ - 203q⁶⁵ - 27q⁶⁶ + 185q⁶⁷ + 158q⁶⁸ + 191q⁶⁹ + 85q⁷⁰ - 69q⁷¹ - 70q⁷² - 156q⁷³ - 113q⁷⁴ + 21q⁷⁵ + 27q⁷⁶ + 92q⁷⁷ + 79q⁷⁸ + 16q⁷⁹ + 24q⁸⁰ - 61q⁸¹ - 71q⁸² - 12q⁸³ - 15q⁸⁴ + 27q⁸⁵ + 28q⁸⁶ + 10q⁸⁷ + 32q⁸⁸ - 11q⁸⁹ - 29q⁹⁰ - 6q⁹¹ - 11q⁹² + 8q⁹³ + 5q⁹⁴ - 3q⁹⁵ + 16q⁹⁶ + q⁹⁷ - 8q⁹⁸ - 2q⁹⁹ - 4q¹⁰⁰ + 4q¹⁰¹ + q¹⁰² - 5q¹⁰³ + 4q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁵ - 2q¹⁰⁶ - q¹⁰⁸ + 2q¹⁰⁹ - 2q¹¹¹ + q¹¹²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 9]]
Out[2]=	PD[X[6, 2, 7, 1], X[14, 8, 15, 7], X[10, 3, 11, 4], X[2, 13, 3, 14], > X[12, 5, 13, 6], X[4, 11, 5, 12], X[16, 10, 1, 9], X[8, 16, 9, 15]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 9]]
Out[3]=	GaussCode[1, -4, 3, -6, 5, -1, 2, -8, 7, -3, 6, -5, 4, -2, 8, -7]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 9]]
Out[4]=	DTCode[6, 10, 12, 14, 16, 4, 2, 8]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 9]]
Out[5]=	BR[3, {-1, -1, -1, 2, -1, 2, 2, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 9]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 9]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 9]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{FullyAmphicheiral, 1, 3, 2, {3, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 9]][t]
Out[10]=	-3 3 5 2 3 7 - t + -- - - - 5 t + 3 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 9]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 - 2 z - 3 z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 9], Knot[10, 155], Knot[11, NonAlternating, 37]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 9]], KnotSignature[Knot[8, 9]]}
Out[13]=	{25, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 9]][q]
Out[14]=	-4 2 3 4 2 3 4 5 + q - -- + -- - - - 4 q + 3 q - 2 q + q 3 2 q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 9]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 9]][q]
Out[16]=	-12 -8 -4 -2 2 4 8 12 -1 + q + q - q + q + q - q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 9]][a, z]
Out[17]=	2 4 2 2 2 3 z 2 2 4 z 2 4 6 -3 + -- + 2 a - 8 z + ---- + 3 a z - 5 z + -- + a z - z 2 2 2 a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 9]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 z z 3 2 2 z 4 z 2 2 -3 - -- - 2 a + -- + - + a z + a z + 12 z - ---- + ---- + 4 a z - 2 3 a 4 2 a a a a 3 3 4 4 4 2 4 z z 3 3 3 4 z 4 z 2 4 > 2 a z - ---- - -- - a z - 4 a z - 10 z + -- - ---- - 4 a z + 3 a 4 2 a a a 5 6 7 4 4 2 z 3 5 6 2 z 2 6 z 7 > a z + ---- + 2 a z + 4 z + ---- + 2 a z + -- + a z 3 2 a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 9]], Vassiliev[3][Knot[8, 9]]}
Out[19]=	{-2, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 9]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 2 1 2 2 3 - + 3 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 2 q t + 2 q t + q 9 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > q t + 2 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 9], 2][q]
Out[21]=	-12 2 5 6 2 12 10 7 20 12 11 2 25 + q - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- - 11 q - 12 q + 11 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q 3 4 5 6 7 8 9 11 12 > 20 q - 7 q - 10 q + 12 q - 2 q - 6 q + 5 q - 2 q + q

The Alternating Knot 89

The Alternating Knot 8₉