The Alternating Knot 8₈

Visit 8₈'s page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!)

Visit 8₈'s page at Knotilus!

Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X₃₈₄₉ X_11,15,12,14 X_5,13,6,12 X_13,7,14,6 X_9,1,10,16 X_15,11,16,10 X₇₂₈₃

Gauss Code: {-1, 8, -2, 1, -4, 5, -8, 2, -6, 7, -3, 4, -5, 3, -7, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 12 2 16 14 6 10

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 2 2 / 4--5 1

Alexander Polynomial: 2t^-2 - 6t^-1 + 9 - 6t + 2t²

Conway Polynomial: 1 + 2z² + 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₂₉, K11n39, K11n45, K11n50, K11n132, ...}

Determinant and Signature: {25, 0}

Jones Polynomial: - q^-3 + 2q^-2 - 3q^-1 + 5 - 4q + 4q² - 3q³ + 2q⁴ - q⁵

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {10₁₂₉, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-10 - q^-4 + 2q^-2 + 1 + 2q² + q⁴ + q⁸ - q¹⁰ - q¹⁶

HOMFLY-PT Polynomial: - a^-4 - a^-4z² + a^-2 + 2a^-2z² + a^-2z⁴ + 2 + 2z² + z⁴ - a² - a²z²

Kauffman Polynomial: 2a^-5z - 3a^-5z³ + a^-5z⁵ - a^-4 + 4a^-4z² - 6a^-4z⁴ + 2a^-4z⁶ + 3a^-3z - 5a^-3z³ + a^-3z⁷ - a^-2 + 5a^-2z² - 9a^-2z⁴ + 4a^-2z⁶ + a^-1z - 3a^-1z³ + a^-1z⁵ + a^-1z⁷ + 2 - z² - z⁴ + 2z⁶ - az + 2az⁵ + a² - 2a²z² + 2a²z⁴ - a³z + a³z³

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {2, 1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 8₈. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5

j = 11 1

j = 9 1

j = 7 2 1

j = 5 2 1

j = 3 2 2

j = 1 3 2

j = -1 1 3

j = -3 1 2

j = -5 1

j = -7 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-9 - 2q^-8 + 4q^-6 - 7q^-5 + 2q^-4 + 10q^-3 - 15q^-2 + 3q^-1 + 17 - 20q + 2q² + 19q³ - 18q⁴ - q⁵ + 17q⁶ - 13q⁷ - 4q⁸ + 12q⁹ - 6q¹⁰ - 4q¹¹ + 6q¹² - q¹³ - 2q¹⁴ + q¹⁵

3 - q^-18 + 2q^-17 - q^-15 - 2q^-14 + 4q^-13 - 6q^-11 + q^-10 + 10q^-9 - 3q^-8 - 17q^-7 + 6q^-6 + 24q^-5 - 6q^-4 - 35q^-3 + 10q^-2 + 38q^-1 - 2 - 49q + 6q² + 46q³ + 3q⁴ - 50q⁵ - 2q⁶ + 43q⁷ + 10q⁸ - 42q⁹ - 12q¹⁰ + 35q¹¹ + 17q¹² - 30q¹³ - 19q¹⁴ + 22q¹⁵ + 21q¹⁶ - 15q¹⁷ - 21q¹⁸ + 9q¹⁹ + 17q²⁰ - 2q²¹ - 14q²² - q²³ + 9q²⁴ + 3q²⁵ - 5q²⁶ - 2q²⁷ + q²⁸ + 2q²⁹ - q³⁰

4 q^-30 - 2q^-29 + q^-27 - q^-26 + 5q^-25 - 6q^-24 + 2q^-23 + 2q^-22 - 7q^-21 + 10q^-20 - 11q^-19 + 11q^-18 + 7q^-17 - 23q^-16 + 8q^-15 - 17q^-14 + 34q^-13 + 24q^-12 - 48q^-11 - 10q^-10 - 34q^-9 + 71q^-8 + 61q^-7 - 70q^-6 - 39q^-5 - 66q^-4 + 102q^-3 + 103q^-2 - 73q^-1 - 56 - 103q + 108q² + 130q³ - 61q⁴ - 56q⁵ - 124q⁶ + 95q⁷ + 131q⁸ - 44q⁹ - 39q¹⁰ - 129q¹¹ + 71q¹² + 116q¹³ - 22q¹⁴ - 16q¹⁵ - 125q¹⁶ + 39q¹⁷ + 91q¹⁸ + 3q¹⁹ + 11q²⁰ - 113q²¹ + 5q²² + 59q²³ + 21q²⁴ + 37q²⁵ - 85q²⁶ - 20q²⁷ + 21q²⁸ + 23q²⁹ + 52q³⁰ - 47q³¹ - 25q³² - 7q³³ + 8q³⁴ + 45q³⁵ - 13q³⁶ - 12q³⁷ - 15q³⁸ - 6q³⁹ + 24q⁴⁰ + q⁴¹ - 7q⁴³ - 7q⁴⁴ + 6q⁴⁵ + q⁴⁶ + 2q⁴⁷ - q⁴⁸ - 2q⁴⁹ + q⁵⁰

5 - q^-45 + 2q^-44 - q^-42 + q^-41 - 2q^-40 - 3q^-39 + 4q^-38 + 2q^-37 - 2q^-36 + 5q^-35 - 3q^-34 - 8q^-33 + 2q^-31 + 4q^-30 + 14q^-29 + 3q^-28 - 16q^-27 - 23q^-26 - 9q^-25 + 18q^-24 + 45q^-23 + 28q^-22 - 25q^-21 - 76q^-20 - 58q^-19 + 31q^-18 + 110q^-17 + 101q^-16 - 21q^-15 - 156q^-14 - 159q^-13 + 7q^-12 + 192q^-11 + 222q^-10 + 33q^-9 - 232q^-8 - 286q^-7 - 60q^-6 + 230q^-5 + 346q^-4 + 122q^-3 - 253q^-2 - 382q^-1 - 141 + 215q + 406q² + 202q³ - 223q⁴ - 411q⁵ - 198q⁶ + 174q⁷ + 403q⁸ + 235q⁹ - 173q¹⁰ - 388q¹¹ - 216q¹² + 129q¹³ + 359q¹⁴ + 237q¹⁵ - 118q¹⁶ - 332q¹⁷ - 218q¹⁸ + 74q¹⁹ + 295q²⁰ + 228q²¹ - 50q²² - 255q²³ - 215q²⁴ + 6q²⁵ + 208q²⁶ + 214q²⁷ + 26q²⁸ - 159q²⁹ - 192q³⁰ - 66q³¹ + 104q³² + 173q³³ + 90q³⁴ - 52q³⁵ - 138q³⁶ - 104q³⁷ + q³⁸ + 97q³⁹ + 107q⁴⁰ + 37q⁴¹ - 56q⁴² - 90q⁴³ - 59q⁴⁴ + 9q⁴⁵ + 70q⁴⁶ + 68q⁴⁷ + 17q⁴⁸ - 37q⁴⁹ - 60q⁵⁰ - 37q⁵¹ + 11q⁵² + 43q⁵³ + 39q⁵⁴ + 11q⁵⁵ - 25q⁵⁶ - 34q⁵⁷ - 15q⁵⁸ + 5q⁵⁹ + 21q⁶⁰ + 20q⁶¹ + 2q⁶² - 13q⁶³ - 10q⁶⁴ - 5q⁶⁵ + 9q⁶⁷ + 5q⁶⁸ - 2q⁶⁹ - 2q⁷⁰ - q⁷¹ - 2q⁷² + q⁷³ + 2q⁷⁴ - q⁷⁵

6 q^-63 - 2q^-62 + q^-60 - q^-59 + 2q^-58 + 5q^-56 - 8q^-55 - 2q^-54 + 4q^-53 - 6q^-52 + 4q^-51 + 4q^-50 + 16q^-49 - 17q^-48 - 7q^-47 + 5q^-46 - 19q^-45 + 4q^-44 + 18q^-43 + 43q^-42 - 25q^-41 - 19q^-40 - 7q^-39 - 56q^-38 + q^-37 + 54q^-36 + 111q^-35 - 11q^-34 - 46q^-33 - 59q^-32 - 157q^-31 - 25q^-30 + 128q^-29 + 264q^-28 + 79q^-27 - 65q^-26 - 181q^-25 - 382q^-24 - 137q^-23 + 212q^-22 + 534q^-21 + 309q^-20 - 328q^-18 - 743q^-17 - 397q^-16 + 210q^-15 + 839q^-14 + 667q^-13 + 213q^-12 - 382q^-11 - 1118q^-10 - 766q^-9 + 62q^-8 + 1029q^-7 + 1000q^-6 + 519q^-5 - 283q^-4 - 1342q^-3 - 1085q^-2 - 174q^-1 + 1047 + 1170q + 768q² - 105q³ - 1374q⁴ - 1237q⁵ - 367q⁶ + 956q⁷ + 1171q⁸ + 880q⁹ + 41q¹⁰ - 1287q¹¹ - 1239q¹² - 464q¹³ + 844q¹⁴ + 1075q¹⁵ + 887q¹⁶ + 133q¹⁷ - 1146q¹⁸ - 1162q¹⁹ - 508q²⁰ + 715q²¹ + 934q²² + 859q²³ + 220q²⁴ - 957q²⁵ - 1050q²⁶ - 557q²⁷ + 534q²⁸ + 750q²⁹ + 827q³⁰ + 340q³¹ - 705q³² - 899q³³ - 615q³⁴ + 292q³⁵ + 508q³⁶ + 759q³⁷ + 472q³⁸ - 390q³⁹ - 682q⁴⁰ - 628q⁴¹ + 35q⁴² + 210q⁴³ + 606q⁴⁴ + 540q⁴⁵ - 69q⁴⁶ - 389q⁴⁷ - 531q⁴⁸ - 146q⁴⁹ - 85q⁵⁰ + 354q⁵¹ + 472q⁵² + 154q⁵³ - 89q⁵⁴ - 313q⁵⁵ - 171q⁵⁶ - 267q⁵⁷ + 82q⁵⁸ + 269q⁵⁹ + 200q⁶⁰ + 100q⁶¹ - 70q⁶² - 54q⁶³ - 267q⁶⁴ - 82q⁶⁵ + 49q⁶⁶ + 100q⁶⁷ + 116q⁶⁸ + 64q⁶⁹ + 78q⁷⁰ - 139q⁷¹ - 90q⁷² - 58q⁷³ - 10q⁷⁴ + 30q⁷⁵ + 60q⁷⁶ + 111q⁷⁷ - 24q⁷⁸ - 21q⁷⁹ - 47q⁸⁰ - 37q⁸¹ - 30q⁸² + 6q⁸³ + 65q⁸⁴ + 9q⁸⁵ + 16q⁸⁶ - 7q⁸⁷ - 13q⁸⁸ - 27q⁸⁹ - 14q⁹⁰ + 18q⁹¹ + 2q⁹² + 11q⁹³ + 4q⁹⁴ + 3q⁹⁵ - 9q⁹⁶ - 7q⁹⁷ + 4q⁹⁸ - 2q⁹⁹ + 2q¹⁰⁰ + q¹⁰¹ + 2q¹⁰² - q¹⁰³ - 2q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

7 - q^-84 + 2q^-83 - q^-81 + q^-80 - 2q^-79 - 2q^-77 - q^-76 + 8q^-75 - 3q^-73 + 5q^-72 - 6q^-71 - 2q^-70 - 8q^-69 - 5q^-68 + 22q^-67 + 2q^-66 - 3q^-65 + 11q^-64 - 13q^-63 - 8q^-62 - 21q^-61 - 14q^-60 + 44q^-59 + 17q^-58 + 8q^-57 + 18q^-56 - 40q^-55 - 32q^-54 - 47q^-53 - 30q^-52 + 90q^-51 + 74q^-50 + 67q^-49 + 29q^-48 - 121q^-47 - 133q^-46 - 142q^-45 - 61q^-44 + 195q^-43 + 256q^-42 + 261q^-41 + 103q^-40 - 286q^-39 - 424q^-38 - 452q^-37 - 210q^-36 + 369q^-35 + 664q^-34 + 763q^-33 + 396q^-32 - 445q^-31 - 964q^-30 - 1157q^-29 - 695q^-28 + 446q^-27 + 1269q^-26 + 1662q^-25 + 1133q^-24 - 363q^-23 - 1558q^-22 - 2213q^-21 - 1658q^-20 + 142q^-19 + 1751q^-18 + 2766q^-17 + 2267q^-16 + 175q^-15 - 1837q^-14 - 3209q^-13 - 2879q^-12 - 617q^-11 + 1790q^-10 + 3585q^-9 + 3423q^-8 + 1019q^-7 - 1611q^-6 - 3738q^-5 - 3863q^-4 - 1500q^-3 + 1387q^-2 + 3852q^-1 + 4157 + 1787q - 1121q² - 3738q³ - 4318q⁴ - 2110q⁵ + 877q⁶ + 3687q⁷ + 4373q⁸ + 2199q⁹ - 681q¹⁰ - 3478q¹¹ - 4324q¹² - 2338q¹³ + 515q¹⁴ + 3370q¹⁵ + 4257q¹⁶ + 2302q¹⁷ - 411q¹⁸ - 3156q¹⁹ - 4118q²⁰ - 2337q²¹ + 281q²² + 3018q²³ + 4005q²⁴ + 2282q²⁵ - 181q²⁶ - 2785q²⁷ - 3832q²⁸ - 2306q²⁹ + 14q³⁰ + 2578q³¹ + 3675q³² + 2287q³³ + 160q³⁴ - 2271q³⁵ - 3464q³⁶ - 2323q³⁷ - 396q³⁸ + 1952q³⁹ + 3230q⁴⁰ + 2317q⁴¹ + 654q⁴² - 1548q⁴³ - 2934q⁴⁴ - 2318q⁴⁵ - 933q⁴⁶ + 1126q⁴⁷ + 2583q⁴⁸ + 2250q⁴⁹ + 1183q⁵⁰ - 646q⁵¹ - 2160q⁵² - 2132q⁵³ - 1405q⁵⁴ + 190q⁵⁵ + 1700q⁵⁶ + 1903q⁵⁷ + 1527q⁵⁸ + 250q⁵⁹ - 1183q⁶⁰ - 1605q⁶¹ - 1559q⁶² - 599q⁶³ + 685q⁶⁴ + 1226q⁶⁵ + 1448q⁶⁶ + 840q⁶⁷ - 228q⁶⁸ - 794q⁶⁹ - 1232q⁷⁰ - 950q⁷¹ - 134q⁷² + 387q⁷³ + 931q⁷⁴ + 896q⁷⁵ + 361q⁷⁶ - 18q⁷⁷ - 577q⁷⁸ - 750q⁷⁹ - 460q⁸⁰ - 228q⁸¹ + 262q⁸² + 514q⁸³ + 411q⁸⁴ + 366q⁸⁵ - 3q⁸⁶ - 273q⁸⁷ - 293q⁸⁸ - 373q⁸⁹ - 148q⁹⁰ + 67q⁹¹ + 139q⁹² + 296q⁹³ + 195q⁹⁴ + 60q⁹⁵ + 12q⁹⁶ - 180q⁹⁷ - 177q⁹⁸ - 116q⁹⁹ - 89q¹⁰⁰ + 76q¹⁰¹ + 97q¹⁰² + 97q¹⁰³ + 130q¹⁰⁴ + 15q¹⁰⁵ - 40q¹⁰⁶ - 69q¹⁰⁷ - 109q¹⁰⁸ - 32q¹⁰⁹ - 12q¹¹⁰ + 7q¹¹¹ + 77q¹¹² + 49q¹¹³ + 33q¹¹⁴ + 4q¹¹⁵ - 43q¹¹⁶ - 21q¹¹⁷ - 24q¹¹⁸ - 27q¹¹⁹ + 9q¹²⁰ + 16q¹²¹ + 23q¹²² + 18q¹²³ - 9q¹²⁴ - 4q¹²⁶ - 13q¹²⁷ - 4q¹²⁸ - 2q¹²⁹ + 6q¹³⁰ + 7q¹³¹ - 2q¹³² + 2q¹³⁴ - 2q¹³⁵ - q¹³⁶ - 2q¹³⁷ + q¹³⁸ + 2q¹³⁹ - q¹⁴⁰

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 8]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[11, 15, 12, 14], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 7, 14, 6], X[9, 1, 10, 16], X[15, 11, 16, 10], X[7, 2, 8, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 8]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 8, -2, 1, -4, 5, -8, 2, -6, 7, -3, 4, -5, 3, -7, 6]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 8]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 12, 2, 16, 14, 6, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 8]]

Out[5]=
BR[4, {1, 1, 1, 2, -1, -3, 2, -3, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 8]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 8]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 8]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 2, 2, {4, 5}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 8]][t]

Out[10]=
2 6 2 9 + -- - - - 6 t + 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 8]][z]

Out[11]=
2 4 1 + 2 z + 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 8], Knot[10, 129], Knot[11, NonAlternating, 39], > Knot[11, NonAlternating, 45], Knot[11, NonAlternating, 50], > Knot[11, NonAlternating, 132]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 8]], KnotSignature[Knot[8, 8]]}

Out[13]=
{25, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 8]][q]

Out[14]=
-3 2 3 2 3 4 5 5 - q + -- - - - 4 q + 4 q - 3 q + 2 q - q 2 q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 8], Knot[10, 129]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 8]][q]

Out[16]=
-10 -4 2 2 4 8 10 16 1 - q - q + -- + 2 q + q + q - q - q 2 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 8]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 -4 -2 2 2 z 2 z 2 2 4 z 2 - a + a - a + 2 z - -- + ---- - a z + z + -- 4 2 2 a a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 8]][a, z]

Out[18]=
2 2 -4 -2 2 2 z 3 z z 3 2 4 z 5 z 2 2 2 - a - a + a + --- + --- + - - a z - a z - z + ---- + ---- - 2 a z - 5 3 a 4 2 a a a a 3 3 3 4 4 5 5 3 z 5 z 3 z 3 3 4 6 z 9 z 2 4 z z > ---- - ---- - ---- + a z - z - ---- - ---- + 2 a z + -- + -- + 5 3 a 4 2 5 a a a a a a 6 6 7 7 5 6 2 z 4 z z z > 2 a z + 2 z + ---- + ---- + -- + -- 4 2 3 a a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 8]], Vassiliev[3][Knot[8, 8]]}

Out[19]=
{2, 1}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 8]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 2 1 3 3 2 - + 3 q + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 2 q t + 2 q t + 2 q t + q 7 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 11 5 > 2 q t + q t + 2 q t + q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 8], 2][q]

Out[21]=
-9 2 4 7 2 10 15 3 2 3 4 5 17 + q - -- + -- - -- + -- + -- - -- + - - 20 q + 2 q + 19 q - 18 q - q + 8 6 5 4 3 2 q q q q q q q 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > 17 q - 13 q - 4 q + 12 q - 6 q - 4 q + 6 q - q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₈

8₇
8₉

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-9 - 2q^-8 + 4q^-6 - 7q^-5 + 2q^-4 + 10q^-3 - 15q^-2 + 3q^-1 + 17 - 20q + 2q² + 19q³ - 18q⁴ - q⁵ + 17q⁶ - 13q⁷ - 4q⁸ + 12q⁹ - 6q¹⁰ - 4q¹¹ + 6q¹² - q¹³ - 2q¹⁴ + q¹⁵
3	- q^-18 + 2q^-17 - q^-15 - 2q^-14 + 4q^-13 - 6q^-11 + q^-10 + 10q^-9 - 3q^-8 - 17q^-7 + 6q^-6 + 24q^-5 - 6q^-4 - 35q^-3 + 10q^-2 + 38q^-1 - 2 - 49q + 6q² + 46q³ + 3q⁴ - 50q⁵ - 2q⁶ + 43q⁷ + 10q⁸ - 42q⁹ - 12q¹⁰ + 35q¹¹ + 17q¹² - 30q¹³ - 19q¹⁴ + 22q¹⁵ + 21q¹⁶ - 15q¹⁷ - 21q¹⁸ + 9q¹⁹ + 17q²⁰ - 2q²¹ - 14q²² - q²³ + 9q²⁴ + 3q²⁵ - 5q²⁶ - 2q²⁷ + q²⁸ + 2q²⁹ - q³⁰
4	q^-30 - 2q^-29 + q^-27 - q^-26 + 5q^-25 - 6q^-24 + 2q^-23 + 2q^-22 - 7q^-21 + 10q^-20 - 11q^-19 + 11q^-18 + 7q^-17 - 23q^-16 + 8q^-15 - 17q^-14 + 34q^-13 + 24q^-12 - 48q^-11 - 10q^-10 - 34q^-9 + 71q^-8 + 61q^-7 - 70q^-6 - 39q^-5 - 66q^-4 + 102q^-3 + 103q^-2 - 73q^-1 - 56 - 103q + 108q² + 130q³ - 61q⁴ - 56q⁵ - 124q⁶ + 95q⁷ + 131q⁸ - 44q⁹ - 39q¹⁰ - 129q¹¹ + 71q¹² + 116q¹³ - 22q¹⁴ - 16q¹⁵ - 125q¹⁶ + 39q¹⁷ + 91q¹⁸ + 3q¹⁹ + 11q²⁰ - 113q²¹ + 5q²² + 59q²³ + 21q²⁴ + 37q²⁵ - 85q²⁶ - 20q²⁷ + 21q²⁸ + 23q²⁹ + 52q³⁰ - 47q³¹ - 25q³² - 7q³³ + 8q³⁴ + 45q³⁵ - 13q³⁶ - 12q³⁷ - 15q³⁸ - 6q³⁹ + 24q⁴⁰ + q⁴¹ - 7q⁴³ - 7q⁴⁴ + 6q⁴⁵ + q⁴⁶ + 2q⁴⁷ - q⁴⁸ - 2q⁴⁹ + q⁵⁰
5	- q^-45 + 2q^-44 - q^-42 + q^-41 - 2q^-40 - 3q^-39 + 4q^-38 + 2q^-37 - 2q^-36 + 5q^-35 - 3q^-34 - 8q^-33 + 2q^-31 + 4q^-30 + 14q^-29 + 3q^-28 - 16q^-27 - 23q^-26 - 9q^-25 + 18q^-24 + 45q^-23 + 28q^-22 - 25q^-21 - 76q^-20 - 58q^-19 + 31q^-18 + 110q^-17 + 101q^-16 - 21q^-15 - 156q^-14 - 159q^-13 + 7q^-12 + 192q^-11 + 222q^-10 + 33q^-9 - 232q^-8 - 286q^-7 - 60q^-6 + 230q^-5 + 346q^-4 + 122q^-3 - 253q^-2 - 382q^-1 - 141 + 215q + 406q² + 202q³ - 223q⁴ - 411q⁵ - 198q⁶ + 174q⁷ + 403q⁸ + 235q⁹ - 173q¹⁰ - 388q¹¹ - 216q¹² + 129q¹³ + 359q¹⁴ + 237q¹⁵ - 118q¹⁶ - 332q¹⁷ - 218q¹⁸ + 74q¹⁹ + 295q²⁰ + 228q²¹ - 50q²² - 255q²³ - 215q²⁴ + 6q²⁵ + 208q²⁶ + 214q²⁷ + 26q²⁸ - 159q²⁹ - 192q³⁰ - 66q³¹ + 104q³² + 173q³³ + 90q³⁴ - 52q³⁵ - 138q³⁶ - 104q³⁷ + q³⁸ + 97q³⁹ + 107q⁴⁰ + 37q⁴¹ - 56q⁴² - 90q⁴³ - 59q⁴⁴ + 9q⁴⁵ + 70q⁴⁶ + 68q⁴⁷ + 17q⁴⁸ - 37q⁴⁹ - 60q⁵⁰ - 37q⁵¹ + 11q⁵² + 43q⁵³ + 39q⁵⁴ + 11q⁵⁵ - 25q⁵⁶ - 34q⁵⁷ - 15q⁵⁸ + 5q⁵⁹ + 21q⁶⁰ + 20q⁶¹ + 2q⁶² - 13q⁶³ - 10q⁶⁴ - 5q⁶⁵ + 9q⁶⁷ + 5q⁶⁸ - 2q⁶⁹ - 2q⁷⁰ - q⁷¹ - 2q⁷² + q⁷³ + 2q⁷⁴ - q⁷⁵
6	q^-63 - 2q^-62 + q^-60 - q^-59 + 2q^-58 + 5q^-56 - 8q^-55 - 2q^-54 + 4q^-53 - 6q^-52 + 4q^-51 + 4q^-50 + 16q^-49 - 17q^-48 - 7q^-47 + 5q^-46 - 19q^-45 + 4q^-44 + 18q^-43 + 43q^-42 - 25q^-41 - 19q^-40 - 7q^-39 - 56q^-38 + q^-37 + 54q^-36 + 111q^-35 - 11q^-34 - 46q^-33 - 59q^-32 - 157q^-31 - 25q^-30 + 128q^-29 + 264q^-28 + 79q^-27 - 65q^-26 - 181q^-25 - 382q^-24 - 137q^-23 + 212q^-22 + 534q^-21 + 309q^-20 - 328q^-18 - 743q^-17 - 397q^-16 + 210q^-15 + 839q^-14 + 667q^-13 + 213q^-12 - 382q^-11 - 1118q^-10 - 766q^-9 + 62q^-8 + 1029q^-7 + 1000q^-6 + 519q^-5 - 283q^-4 - 1342q^-3 - 1085q^-2 - 174q^-1 + 1047 + 1170q + 768q² - 105q³ - 1374q⁴ - 1237q⁵ - 367q⁶ + 956q⁷ + 1171q⁸ + 880q⁹ + 41q¹⁰ - 1287q¹¹ - 1239q¹² - 464q¹³ + 844q¹⁴ + 1075q¹⁵ + 887q¹⁶ + 133q¹⁷ - 1146q¹⁸ - 1162q¹⁹ - 508q²⁰ + 715q²¹ + 934q²² + 859q²³ + 220q²⁴ - 957q²⁵ - 1050q²⁶ - 557q²⁷ + 534q²⁸ + 750q²⁹ + 827q³⁰ + 340q³¹ - 705q³² - 899q³³ - 615q³⁴ + 292q³⁵ + 508q³⁶ + 759q³⁷ + 472q³⁸ - 390q³⁹ - 682q⁴⁰ - 628q⁴¹ + 35q⁴² + 210q⁴³ + 606q⁴⁴ + 540q⁴⁵ - 69q⁴⁶ - 389q⁴⁷ - 531q⁴⁸ - 146q⁴⁹ - 85q⁵⁰ + 354q⁵¹ + 472q⁵² + 154q⁵³ - 89q⁵⁴ - 313q⁵⁵ - 171q⁵⁶ - 267q⁵⁷ + 82q⁵⁸ + 269q⁵⁹ + 200q⁶⁰ + 100q⁶¹ - 70q⁶² - 54q⁶³ - 267q⁶⁴ - 82q⁶⁵ + 49q⁶⁶ + 100q⁶⁷ + 116q⁶⁸ + 64q⁶⁹ + 78q⁷⁰ - 139q⁷¹ - 90q⁷² - 58q⁷³ - 10q⁷⁴ + 30q⁷⁵ + 60q⁷⁶ + 111q⁷⁷ - 24q⁷⁸ - 21q⁷⁹ - 47q⁸⁰ - 37q⁸¹ - 30q⁸² + 6q⁸³ + 65q⁸⁴ + 9q⁸⁵ + 16q⁸⁶ - 7q⁸⁷ - 13q⁸⁸ - 27q⁸⁹ - 14q⁹⁰ + 18q⁹¹ + 2q⁹² + 11q⁹³ + 4q⁹⁴ + 3q⁹⁵ - 9q⁹⁶ - 7q⁹⁷ + 4q⁹⁸ - 2q⁹⁹ + 2q¹⁰⁰ + q¹⁰¹ + 2q¹⁰² - q¹⁰³ - 2q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵
7	- q^-84 + 2q^-83 - q^-81 + q^-80 - 2q^-79 - 2q^-77 - q^-76 + 8q^-75 - 3q^-73 + 5q^-72 - 6q^-71 - 2q^-70 - 8q^-69 - 5q^-68 + 22q^-67 + 2q^-66 - 3q^-65 + 11q^-64 - 13q^-63 - 8q^-62 - 21q^-61 - 14q^-60 + 44q^-59 + 17q^-58 + 8q^-57 + 18q^-56 - 40q^-55 - 32q^-54 - 47q^-53 - 30q^-52 + 90q^-51 + 74q^-50 + 67q^-49 + 29q^-48 - 121q^-47 - 133q^-46 - 142q^-45 - 61q^-44 + 195q^-43 + 256q^-42 + 261q^-41 + 103q^-40 - 286q^-39 - 424q^-38 - 452q^-37 - 210q^-36 + 369q^-35 + 664q^-34 + 763q^-33 + 396q^-32 - 445q^-31 - 964q^-30 - 1157q^-29 - 695q^-28 + 446q^-27 + 1269q^-26 + 1662q^-25 + 1133q^-24 - 363q^-23 - 1558q^-22 - 2213q^-21 - 1658q^-20 + 142q^-19 + 1751q^-18 + 2766q^-17 + 2267q^-16 + 175q^-15 - 1837q^-14 - 3209q^-13 - 2879q^-12 - 617q^-11 + 1790q^-10 + 3585q^-9 + 3423q^-8 + 1019q^-7 - 1611q^-6 - 3738q^-5 - 3863q^-4 - 1500q^-3 + 1387q^-2 + 3852q^-1 + 4157 + 1787q - 1121q² - 3738q³ - 4318q⁴ - 2110q⁵ + 877q⁶ + 3687q⁷ + 4373q⁸ + 2199q⁹ - 681q¹⁰ - 3478q¹¹ - 4324q¹² - 2338q¹³ + 515q¹⁴ + 3370q¹⁵ + 4257q¹⁶ + 2302q¹⁷ - 411q¹⁸ - 3156q¹⁹ - 4118q²⁰ - 2337q²¹ + 281q²² + 3018q²³ + 4005q²⁴ + 2282q²⁵ - 181q²⁶ - 2785q²⁷ - 3832q²⁸ - 2306q²⁹ + 14q³⁰ + 2578q³¹ + 3675q³² + 2287q³³ + 160q³⁴ - 2271q³⁵ - 3464q³⁶ - 2323q³⁷ - 396q³⁸ + 1952q³⁹ + 3230q⁴⁰ + 2317q⁴¹ + 654q⁴² - 1548q⁴³ - 2934q⁴⁴ - 2318q⁴⁵ - 933q⁴⁶ + 1126q⁴⁷ + 2583q⁴⁸ + 2250q⁴⁹ + 1183q⁵⁰ - 646q⁵¹ - 2160q⁵² - 2132q⁵³ - 1405q⁵⁴ + 190q⁵⁵ + 1700q⁵⁶ + 1903q⁵⁷ + 1527q⁵⁸ + 250q⁵⁹ - 1183q⁶⁰ - 1605q⁶¹ - 1559q⁶² - 599q⁶³ + 685q⁶⁴ + 1226q⁶⁵ + 1448q⁶⁶ + 840q⁶⁷ - 228q⁶⁸ - 794q⁶⁹ - 1232q⁷⁰ - 950q⁷¹ - 134q⁷² + 387q⁷³ + 931q⁷⁴ + 896q⁷⁵ + 361q⁷⁶ - 18q⁷⁷ - 577q⁷⁸ - 750q⁷⁹ - 460q⁸⁰ - 228q⁸¹ + 262q⁸² + 514q⁸³ + 411q⁸⁴ + 366q⁸⁵ - 3q⁸⁶ - 273q⁸⁷ - 293q⁸⁸ - 373q⁸⁹ - 148q⁹⁰ + 67q⁹¹ + 139q⁹² + 296q⁹³ + 195q⁹⁴ + 60q⁹⁵ + 12q⁹⁶ - 180q⁹⁷ - 177q⁹⁸ - 116q⁹⁹ - 89q¹⁰⁰ + 76q¹⁰¹ + 97q¹⁰² + 97q¹⁰³ + 130q¹⁰⁴ + 15q¹⁰⁵ - 40q¹⁰⁶ - 69q¹⁰⁷ - 109q¹⁰⁸ - 32q¹⁰⁹ - 12q¹¹⁰ + 7q¹¹¹ + 77q¹¹² + 49q¹¹³ + 33q¹¹⁴ + 4q¹¹⁵ - 43q¹¹⁶ - 21q¹¹⁷ - 24q¹¹⁸ - 27q¹¹⁹ + 9q¹²⁰ + 16q¹²¹ + 23q¹²² + 18q¹²³ - 9q¹²⁴ - 4q¹²⁶ - 13q¹²⁷ - 4q¹²⁸ - 2q¹²⁹ + 6q¹³⁰ + 7q¹³¹ - 2q¹³² + 2q¹³⁴ - 2q¹³⁵ - q¹³⁶ - 2q¹³⁷ + q¹³⁸ + 2q¹³⁹ - q¹⁴⁰

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 8]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[11, 15, 12, 14], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 7, 14, 6], X[9, 1, 10, 16], X[15, 11, 16, 10], X[7, 2, 8, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 8]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 8, -2, 1, -4, 5, -8, 2, -6, 7, -3, 4, -5, 3, -7, 6]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 8]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 12, 2, 16, 14, 6, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 8]]
Out[5]=	BR[4, {1, 1, 1, 2, -1, -3, 2, -3, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 8]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 8]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 8]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 2, {4, 5}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 8]][t]
Out[10]=	2 6 2 9 + -- - - - 6 t + 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 8]][z]
Out[11]=	2 4 1 + 2 z + 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 8], Knot[10, 129], Knot[11, NonAlternating, 39], > Knot[11, NonAlternating, 45], Knot[11, NonAlternating, 50], > Knot[11, NonAlternating, 132]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 8]], KnotSignature[Knot[8, 8]]}
Out[13]=	{25, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 8]][q]
Out[14]=	-3 2 3 2 3 4 5 5 - q + -- - - - 4 q + 4 q - 3 q + 2 q - q 2 q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 8], Knot[10, 129]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 8]][q]
Out[16]=	-10 -4 2 2 4 8 10 16 1 - q - q + -- + 2 q + q + q - q - q 2 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 8]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 -4 -2 2 2 z 2 z 2 2 4 z 2 - a + a - a + 2 z - -- + ---- - a z + z + -- 4 2 2 a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 8]][a, z]
Out[18]=	2 2 -4 -2 2 2 z 3 z z 3 2 4 z 5 z 2 2 2 - a - a + a + --- + --- + - - a z - a z - z + ---- + ---- - 2 a z - 5 3 a 4 2 a a a a 3 3 3 4 4 5 5 3 z 5 z 3 z 3 3 4 6 z 9 z 2 4 z z > ---- - ---- - ---- + a z - z - ---- - ---- + 2 a z + -- + -- + 5 3 a 4 2 5 a a a a a a 6 6 7 7 5 6 2 z 4 z z z > 2 a z + 2 z + ---- + ---- + -- + -- 4 2 3 a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 8]], Vassiliev[3][Knot[8, 8]]}
Out[19]=	{2, 1}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 8]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 2 1 3 3 2 - + 3 q + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 2 q t + 2 q t + 2 q t + q 7 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 11 5 > 2 q t + q t + 2 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 8], 2][q]
Out[21]=	-9 2 4 7 2 10 15 3 2 3 4 5 17 + q - -- + -- - -- + -- + -- - -- + - - 20 q + 2 q + 19 q - 18 q - q + 8 6 5 4 3 2 q q q q q q q 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > 17 q - 13 q - 4 q + 12 q - 6 q - 4 q + 6 q - q - 2 q + q

The Alternating Knot 88

The Alternating Knot 8₈