The Alternating Knot 8₇

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,10,4,11 X_11,1,12,16 X_5,13,6,12 X_7,15,8,14 X_13,7,14,6 X_15,9,16,8 X_9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 8, -2, 1, -4, 6, -5, 7, -8, 2, -3, 4, -6, 5, -7, 3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 12 14 2 16 6 8

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 3 2 / 3--6 1

Alexander Polynomial: t^-3 - 3t^-2 + 5t^-1 - 5 + 5t - 3t² + t³

Conway Polynomial: 1 + 2z² + 3z⁴ + z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n24, ...}

Determinant and Signature: {23, 2}

Jones Polynomial: - q^-2 + 2q^-1 - 2 + 4q - 4q² + 4q³ - 3q⁴ + 2q⁵ - q⁶

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-6 + 1 + 2q² + 2q⁶ + q¹⁰ - q¹⁴ - q¹⁸

HOMFLY-PT Polynomial: - 2a^-4 - 3a^-4z² - a^-4z⁴ + 4a^-2 + 8a^-2z² + 5a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - 1 - 3z² - z⁴

Kauffman Polynomial: - a^-7z + a^-7z³ - 2a^-6z² + 2a^-6z⁴ - a^-5z³ + 2a^-5z⁵ - 2a^-4 + 4a^-4z² - 3a^-4z⁴ + 2a^-4z⁶ + 2a^-3z - 2a^-3z³ + a^-3z⁷ - 4a^-2 + 12a^-2z² - 12a^-2z⁴ + 4a^-2z⁶ + 2a^-1z - 3a^-1z³ - a^-1z⁵ + a^-1z⁷ - 1 + 6z² - 7z⁴ + 2z⁶ + az - 3az³ + az⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {2, 2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 8₇. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5

j = 13 1

j = 11 1

j = 9 2 1

j = 7 2 1

j = 5 2 2

j = 3 2 2

j = 1 1 3

j = -1 1 1

j = -3 1

j = -5 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-7 - 2q^-6 - q^-5 + 5q^-4 - 4q^-3 - 4q^-2 + 10q^-1 - 3 - 9q + 14q² - 2q³ - 14q⁴ + 16q⁵ - 16q⁷ + 14q⁸ + q⁹ - 12q¹⁰ + 9q¹¹ + q¹² - 6q¹³ + 4q¹⁴ - 2q¹⁶ + q¹⁷

3 - q^-15 + 2q^-14 + q^-13 - 2q^-12 - 4q^-11 + 3q^-10 + 7q^-9 - 3q^-8 - 11q^-7 + q^-6 + 14q^-5 + 2q^-4 - 15q^-3 - 8q^-2 + 19q^-1 + 10 - 14q - 18q² + 17q³ + 18q⁴ - 10q⁵ - 26q⁶ + 12q⁷ + 26q⁸ - 7q⁹ - 31q¹⁰ + 6q¹¹ + 30q¹² - 2q¹³ - 31q¹⁴ + 2q¹⁵ + 26q¹⁶ + q¹⁷ - 22q¹⁸ - q¹⁹ + 16q²⁰ + q²¹ - 11q²² + 7q²⁴ - q²⁵ - 4q²⁶ + q²⁷ + 3q²⁸ - 2q²⁹ - q³⁰ + 2q³² - q³³

4 q^-26 - 2q^-25 - q^-24 + 2q^-23 + q^-22 + 5q^-21 - 7q^-20 - 5q^-19 + 2q^-18 + 2q^-17 + 18q^-16 - 10q^-15 - 14q^-14 - 4q^-13 - 3q^-12 + 35q^-11 - 4q^-10 - 15q^-9 - 13q^-8 - 21q^-7 + 45q^-6 + 6q^-5 - 2q^-4 - 14q^-3 - 43q^-2 + 40q^-1 + 7 + 20q - q² - 61q³ + 26q⁴ - 4q⁵ + 40q⁶ + 20q⁷ - 72q⁸ + 11q⁹ - 18q¹⁰ + 55q¹¹ + 39q¹² - 79q¹³ - q¹⁴ - 29q¹⁵ + 66q¹⁶ + 53q¹⁷ - 79q¹⁸ - 13q¹⁹ - 37q²⁰ + 70q²¹ + 60q²² - 69q²³ - 17q²⁴ - 43q²⁵ + 56q²⁶ + 58q²⁷ - 46q²⁸ - 10q²⁹ - 44q³⁰ + 32q³¹ + 43q³² - 24q³³ + 5q³⁴ - 33q³⁵ + 10q³⁶ + 21q³⁷ - 12q³⁸ + 14q³⁹ - 17q⁴⁰ + q⁴¹ + 6q⁴² - 8q⁴³ + 12q⁴⁴ - 6q⁴⁵ + q⁴⁷ - 5q⁴⁸ + 5q⁴⁹ - q⁵⁰ + q⁵¹ - 2q⁵³ + q⁵⁴

5 - q^-40 + 2q^-39 + q^-38 - 2q^-37 - q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 5q^-33 + 7q^-32 - 2q^-31 - 6q^-30 - 8q^-29 - 6q^-28 + 7q^-27 + 18q^-26 + 11q^-25 - 7q^-24 - 20q^-23 - 20q^-22 - 4q^-21 + 25q^-20 + 30q^-19 + 11q^-18 - 19q^-17 - 34q^-16 - 25q^-15 + 7q^-14 + 36q^-13 + 32q^-12 + 6q^-11 - 23q^-10 - 37q^-9 - 23q^-8 + 11q^-7 + 28q^-6 + 30q^-5 + 19q^-4 - 14q^-3 - 43q^-2 - 28q^-1 - 12 + 28q + 64q² + 39q³ - 32q⁴ - 64q⁵ - 68q⁶ - 2q⁷ + 93q⁸ + 98q⁹ + 3q¹⁰ - 85q¹¹ - 122q¹² - 39q¹³ + 105q¹⁴ + 145q¹⁵ + 41q¹⁶ - 96q¹⁷ - 163q¹⁸ - 68q¹⁹ + 111q²⁰ + 179q²¹ + 70q²² - 105q²³ - 194q²⁴ - 87q²⁵ + 117q²⁶ + 201q²⁷ + 91q²⁸ - 108q²⁹ - 209q³⁰ - 107q³¹ + 109q³² + 209q³³ + 109q³⁴ - 86q³⁵ - 202q³⁶ - 125q³⁷ + 71q³⁸ + 186q³⁹ + 125q⁴⁰ - 43q⁴¹ - 160q⁴² - 125q⁴³ + 19q⁴⁴ + 127q⁴⁵ + 113q⁴⁶ + 5q⁴⁷ - 93q⁴⁸ - 94q⁴⁹ - 19q⁵⁰ + 58q⁵¹ + 72q⁵² + 27q⁵³ - 31q⁵⁴ - 51q⁵⁵ - 26q⁵⁶ + 12q⁵⁷ + 32q⁵⁸ + 21q⁵⁹ - 17q⁶¹ - 19q⁶² - 3q⁶³ + 11q⁶⁴ + 8q⁶⁵ + 6q⁶⁶ - q⁶⁷ - 10q⁶⁸ - 4q⁶⁹ + 4q⁷⁰ + 3q⁷² + 3q⁷³ - 3q⁷⁴ - 2q⁷⁵ + q⁷⁶ - q⁷⁷ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰

6 q^-57 - 2q^-56 - q^-55 + 2q^-54 + q^-53 + 2q^-52 - 2q^-51 + 3q^-50 - 7q^-49 - 7q^-48 + 5q^-47 + 5q^-46 + 9q^-45 - q^-44 + 10q^-43 - 18q^-42 - 22q^-41 - q^-40 + 6q^-39 + 23q^-38 + 8q^-37 + 37q^-36 - 21q^-35 - 44q^-34 - 24q^-33 - 13q^-32 + 23q^-31 + 13q^-30 + 83q^-29 + 4q^-28 - 39q^-27 - 43q^-26 - 42q^-25 - 7q^-24 - 23q^-23 + 108q^-22 + 34q^-21 + 3q^-20 - 17q^-19 - 32q^-18 - 31q^-17 - 92q^-16 + 73q^-15 + 10q^-14 + 27q^-13 + 37q^-12 + 51q^-11 + 11q^-10 - 128q^-9 + 10q^-8 - 89q^-7 - 26q^-6 + 48q^-5 + 162q^-4 + 127q^-3 - 78q^-2 - 8q^-1 - 210 - 157q - 26q² + 229q³ + 262q⁴ + 47q⁵ + 50q⁶ - 289q⁷ - 310q⁸ - 166q⁹ + 230q¹⁰ + 364q¹¹ + 191q¹² + 159q¹³ - 309q¹⁴ - 437q¹⁵ - 321q¹⁶ + 189q¹⁷ + 424q¹⁸ + 312q¹⁹ + 270q²⁰ - 297q²¹ - 524q²² - 449q²³ + 147q²⁴ + 456q²⁵ + 399q²⁶ + 351q²⁷ - 286q²⁸ - 583q²⁹ - 535q³⁰ + 124q³¹ + 481q³² + 461q³³ + 394q³⁴ - 284q³⁵ - 623q³⁶ - 589q³⁷ + 106q³⁸ + 493q³⁹ + 508q⁴⁰ + 426q⁴¹ - 267q⁴² - 637q⁴³ - 627q⁴⁴ + 58q⁴⁵ + 466q⁴⁶ + 529q⁴⁷ + 465q⁴⁸ - 195q⁴⁹ - 594q⁵⁰ - 635q⁵¹ - 32q⁵² + 366q⁵³ + 487q⁵⁴ + 485q⁵⁵ - 72q⁵⁶ - 463q⁵⁷ - 569q⁵⁸ - 118q⁵⁹ + 206q⁶⁰ + 354q⁶¹ + 436q⁶² + 43q⁶³ - 272q⁶⁴ - 413q⁶⁵ - 141q⁶⁶ + 58q⁶⁷ + 176q⁶⁸ + 312q⁶⁹ + 92q⁷⁰ - 108q⁷¹ - 232q⁷² - 98q⁷³ - 17q⁷⁴ + 43q⁷⁵ + 176q⁷⁶ + 74q⁷⁷ - 22q⁷⁸ - 103q⁷⁹ - 43q⁸⁰ - 28q⁸¹ - 14q⁸² + 86q⁸³ + 40q⁸⁴ + 3q⁸⁵ - 40q⁸⁶ - 12q⁸⁷ - 18q⁸⁸ - 22q⁸⁹ + 39q⁹⁰ + 17q⁹¹ + 7q⁹² - 15q⁹³ - q⁹⁴ - 9q⁹⁵ - 15q⁹⁶ + 16q⁹⁷ + 5q⁹⁸ + 5q⁹⁹ - 5q¹⁰⁰ + 2q¹⁰¹ - 3q¹⁰² - 7q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁶ - q¹⁰⁷ + q¹⁰⁸ - 2q¹¹⁰ + q¹¹¹

7 - q^-77 + 2q^-76 + q^-75 - 2q^-74 - q^-73 - 2q^-72 + 2q^-71 - q^-69 + 7q^-68 + 4q^-67 - 4q^-66 - 5q^-65 - 11q^-64 - q^-63 + 4q^-62 - 2q^-61 + 19q^-60 + 16q^-59 + 2q^-58 - 6q^-57 - 33q^-56 - 20q^-55 - 5q^-54 - 9q^-53 + 33q^-52 + 42q^-51 + 29q^-50 + 25q^-49 - 45q^-48 - 53q^-47 - 37q^-46 - 52q^-45 + 20q^-44 + 49q^-43 + 66q^-42 + 91q^-41 - 4q^-40 - 45q^-39 - 52q^-38 - 108q^-37 - 34q^-36 + 34q^-34 + 128q^-33 + 49q^-32 + 23q^-31 + 14q^-30 - 89q^-29 - 43q^-28 - 60q^-27 - 67q^-26 + 48q^-25 - q^-24 + 35q^-23 + 109q^-22 + 25q^-21 + 86q^-20 + 15q^-19 - 113q^-18 - 75q^-17 - 191q^-16 - 126q^-15 + 60q^-14 + 103q^-13 + 294q^-12 + 264q^-11 + 41q^-10 - 60q^-9 - 363q^-8 - 425q^-7 - 204q^-6 - 24q^-5 + 398q^-4 + 554q^-3 + 370q^-2 + 191q^-1 - 345 - 668q - 582q² - 369q³ + 273q⁴ + 716q⁵ + 719q⁶ + 599q⁷ - 101q⁸ - 728q⁹ - 897q¹⁰ - 808q¹¹ - 38q¹² + 687q¹³ + 966q¹⁴ + 1017q¹⁵ + 259q¹⁶ - 619q¹⁷ - 1075q¹⁸ - 1199q¹⁹ - 412q²⁰ + 539q²¹ + 1087q²² + 1354q²³ + 610q²⁴ - 447q²⁵ - 1145q²⁶ - 1485q²⁷ - 731q²⁸ + 369q²⁹ + 1138q³⁰ + 1589q³¹ + 876q³² - 305q³³ - 1174q³⁴ - 1669q³⁵ - 952q³⁶ + 253q³⁷ + 1174q³⁸ + 1741q³⁹ + 1039q⁴⁰ - 233q⁴¹ - 1203q⁴² - 1784q⁴³ - 1082q⁴⁴ + 200q⁴⁵ + 1215q⁴⁶ + 1838q⁴⁷ + 1136q⁴⁸ - 193q⁴⁹ - 1238q⁵⁰ - 1863q⁵¹ - 1174q⁵² + 155q⁵³ + 1230q⁵⁴ + 1897q⁵⁵ + 1238q⁵⁶ - 113q⁵⁷ - 1218q⁵⁸ - 1903q⁵⁹ - 1276q⁶⁰ + 27q⁶¹ + 1141q⁶² + 1884q⁶³ + 1343q⁶⁴ + 81q⁶⁵ - 1047q⁶⁶ - 1814q⁶⁷ - 1364q⁶⁸ - 205q⁶⁹ + 877q⁷⁰ + 1686q⁷¹ + 1361q⁷² + 333q⁷³ - 682q⁷⁴ - 1498q⁷⁵ - 1292q⁷⁶ - 436q⁷⁷ + 467q⁷⁸ + 1255q⁷⁹ + 1163q⁸⁰ + 491q⁸¹ - 256q⁸² - 979q⁸³ - 990q⁸⁴ - 499q⁸⁵ + 87q⁸⁶ + 721q⁸⁷ + 775q⁸⁸ + 446q⁸⁹ + 35q⁹⁰ - 481q⁹¹ - 566q⁹² - 371q⁹³ - 98q⁹⁴ + 302q⁹⁵ + 387q⁹⁶ + 273q⁹⁷ + 112q⁹⁸ - 177q⁹⁹ - 239q¹⁰⁰ - 182q¹⁰¹ - 110q¹⁰² + 100q¹⁰³ + 145q¹⁰⁴ + 117q¹⁰⁵ + 84q¹⁰⁶ - 65q¹⁰⁷ - 82q¹⁰⁸ - 64q¹⁰⁹ - 59q¹¹⁰ + 36q¹¹¹ + 44q¹¹² + 42q¹¹³ + 50q¹¹⁴ - 33q¹¹⁵ - 35q¹¹⁶ - 19q¹¹⁷ - 26q¹¹⁸ + 19q¹¹⁹ + 11q¹²⁰ + 16q¹²¹ + 32q¹²² - 17q¹²³ - 18q¹²⁴ - 8q¹²⁵ - 13q¹²⁶ + 9q¹²⁷ + 2q¹²⁸ + 6q¹²⁹ + 18q¹³⁰ - 6q¹³¹ - 7q¹³² - 3q¹³³ - 7q¹³⁴ + 4q¹³⁵ - q¹³⁶ + q¹³⁷ + 7q¹³⁸ - q¹³⁹ - 2q¹⁴⁰ - 2q¹⁴² + q¹⁴³ - q¹⁴⁴ + 2q¹⁴⁶ - q¹⁴⁷

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 7]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[11, 1, 12, 16], X[5, 13, 6, 12], > X[7, 15, 8, 14], X[13, 7, 14, 6], X[15, 9, 16, 8], X[9, 2, 10, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 7]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 8, -2, 1, -4, 6, -5, 7, -8, 2, -3, 4, -6, 5, -7, 3]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 7]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 12, 14, 2, 16, 6, 8]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 7]]

Out[5]=
BR[3, {1, 1, 1, 1, -2, 1, -2, -2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 7]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 7]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 7]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 3, 2, {3, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 7]][t]

Out[10]=
-3 3 5 2 3 -5 + t - -- + - + 5 t - 3 t + t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 7]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + 2 z + 3 z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 7], Knot[11, NonAlternating, 24]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 7]], KnotSignature[Knot[8, 7]]}

Out[13]=
{23, 2}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 7]][q]

Out[14]=
-2 2 2 3 4 5 6 -2 - q + - + 4 q - 4 q + 4 q - 3 q + 2 q - q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 7]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 7]][q]

Out[16]=
-6 2 6 10 14 18 1 - q + 2 q + 2 q + q - q - q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 7]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 4 6 2 4 2 3 z 8 z 4 z 5 z z -1 - -- + -- - 3 z - ---- + ---- - z - -- + ---- + -- 4 2 4 2 4 2 2 a a a a a a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 7]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 3 3 2 4 z 2 z 2 z 2 2 z 4 z 12 z z z -1 - -- - -- - -- + --- + --- + a z + 6 z - ---- + ---- + ----- + -- - -- - 4 2 7 3 a 6 4 2 7 5 a a a a a a a a a 3 3 4 4 4 5 5 2 z 3 z 3 4 2 z 3 z 12 z 2 z z 5 > ---- - ---- - 3 a z - 7 z + ---- - ---- - ----- + ---- - -- + a z + 3 a 6 4 2 5 a a a a a a 6 6 7 7 6 2 z 4 z z z > 2 z + ---- + ---- + -- + -- 4 2 3 a a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 7]], Vassiliev[3][Knot[8, 7]]}

Out[19]=
{2, 2}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 7]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 1 q 3 5 5 2 3 q + 2 q + ----- + ----- + ---- + --- + - + 2 q t + 2 q t + 2 q t + 5 3 3 2 2 q t t q t q t q t 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 13 5 > 2 q t + q t + 2 q t + q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 7], 2][q]

Out[21]=
-7 2 -5 5 4 4 10 2 3 4 5 -3 + q - -- - q + -- - -- - -- + -- - 9 q + 14 q - 2 q - 14 q + 16 q - 6 4 3 2 q q q q q 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 > 16 q + 14 q + q - 12 q + 9 q + q - 6 q + 4 q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₇

8₆
8₈

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-7 - 2q^-6 - q^-5 + 5q^-4 - 4q^-3 - 4q^-2 + 10q^-1 - 3 - 9q + 14q² - 2q³ - 14q⁴ + 16q⁵ - 16q⁷ + 14q⁸ + q⁹ - 12q¹⁰ + 9q¹¹ + q¹² - 6q¹³ + 4q¹⁴ - 2q¹⁶ + q¹⁷
3	- q^-15 + 2q^-14 + q^-13 - 2q^-12 - 4q^-11 + 3q^-10 + 7q^-9 - 3q^-8 - 11q^-7 + q^-6 + 14q^-5 + 2q^-4 - 15q^-3 - 8q^-2 + 19q^-1 + 10 - 14q - 18q² + 17q³ + 18q⁴ - 10q⁵ - 26q⁶ + 12q⁷ + 26q⁸ - 7q⁹ - 31q¹⁰ + 6q¹¹ + 30q¹² - 2q¹³ - 31q¹⁴ + 2q¹⁵ + 26q¹⁶ + q¹⁷ - 22q¹⁸ - q¹⁹ + 16q²⁰ + q²¹ - 11q²² + 7q²⁴ - q²⁵ - 4q²⁶ + q²⁷ + 3q²⁸ - 2q²⁹ - q³⁰ + 2q³² - q³³
4	q^-26 - 2q^-25 - q^-24 + 2q^-23 + q^-22 + 5q^-21 - 7q^-20 - 5q^-19 + 2q^-18 + 2q^-17 + 18q^-16 - 10q^-15 - 14q^-14 - 4q^-13 - 3q^-12 + 35q^-11 - 4q^-10 - 15q^-9 - 13q^-8 - 21q^-7 + 45q^-6 + 6q^-5 - 2q^-4 - 14q^-3 - 43q^-2 + 40q^-1 + 7 + 20q - q² - 61q³ + 26q⁴ - 4q⁵ + 40q⁶ + 20q⁷ - 72q⁸ + 11q⁹ - 18q¹⁰ + 55q¹¹ + 39q¹² - 79q¹³ - q¹⁴ - 29q¹⁵ + 66q¹⁶ + 53q¹⁷ - 79q¹⁸ - 13q¹⁹ - 37q²⁰ + 70q²¹ + 60q²² - 69q²³ - 17q²⁴ - 43q²⁵ + 56q²⁶ + 58q²⁷ - 46q²⁸ - 10q²⁹ - 44q³⁰ + 32q³¹ + 43q³² - 24q³³ + 5q³⁴ - 33q³⁵ + 10q³⁶ + 21q³⁷ - 12q³⁸ + 14q³⁹ - 17q⁴⁰ + q⁴¹ + 6q⁴² - 8q⁴³ + 12q⁴⁴ - 6q⁴⁵ + q⁴⁷ - 5q⁴⁸ + 5q⁴⁹ - q⁵⁰ + q⁵¹ - 2q⁵³ + q⁵⁴
5	- q^-40 + 2q^-39 + q^-38 - 2q^-37 - q^-36 - 2q^-35 - q^-34 + 5q^-33 + 7q^-32 - 2q^-31 - 6q^-30 - 8q^-29 - 6q^-28 + 7q^-27 + 18q^-26 + 11q^-25 - 7q^-24 - 20q^-23 - 20q^-22 - 4q^-21 + 25q^-20 + 30q^-19 + 11q^-18 - 19q^-17 - 34q^-16 - 25q^-15 + 7q^-14 + 36q^-13 + 32q^-12 + 6q^-11 - 23q^-10 - 37q^-9 - 23q^-8 + 11q^-7 + 28q^-6 + 30q^-5 + 19q^-4 - 14q^-3 - 43q^-2 - 28q^-1 - 12 + 28q + 64q² + 39q³ - 32q⁴ - 64q⁵ - 68q⁶ - 2q⁷ + 93q⁸ + 98q⁹ + 3q¹⁰ - 85q¹¹ - 122q¹² - 39q¹³ + 105q¹⁴ + 145q¹⁵ + 41q¹⁶ - 96q¹⁷ - 163q¹⁸ - 68q¹⁹ + 111q²⁰ + 179q²¹ + 70q²² - 105q²³ - 194q²⁴ - 87q²⁵ + 117q²⁶ + 201q²⁷ + 91q²⁸ - 108q²⁹ - 209q³⁰ - 107q³¹ + 109q³² + 209q³³ + 109q³⁴ - 86q³⁵ - 202q³⁶ - 125q³⁷ + 71q³⁸ + 186q³⁹ + 125q⁴⁰ - 43q⁴¹ - 160q⁴² - 125q⁴³ + 19q⁴⁴ + 127q⁴⁵ + 113q⁴⁶ + 5q⁴⁷ - 93q⁴⁸ - 94q⁴⁹ - 19q⁵⁰ + 58q⁵¹ + 72q⁵² + 27q⁵³ - 31q⁵⁴ - 51q⁵⁵ - 26q⁵⁶ + 12q⁵⁷ + 32q⁵⁸ + 21q⁵⁹ - 17q⁶¹ - 19q⁶² - 3q⁶³ + 11q⁶⁴ + 8q⁶⁵ + 6q⁶⁶ - q⁶⁷ - 10q⁶⁸ - 4q⁶⁹ + 4q⁷⁰ + 3q⁷² + 3q⁷³ - 3q⁷⁴ - 2q⁷⁵ + q⁷⁶ - q⁷⁷ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰
6	q^-57 - 2q^-56 - q^-55 + 2q^-54 + q^-53 + 2q^-52 - 2q^-51 + 3q^-50 - 7q^-49 - 7q^-48 + 5q^-47 + 5q^-46 + 9q^-45 - q^-44 + 10q^-43 - 18q^-42 - 22q^-41 - q^-40 + 6q^-39 + 23q^-38 + 8q^-37 + 37q^-36 - 21q^-35 - 44q^-34 - 24q^-33 - 13q^-32 + 23q^-31 + 13q^-30 + 83q^-29 + 4q^-28 - 39q^-27 - 43q^-26 - 42q^-25 - 7q^-24 - 23q^-23 + 108q^-22 + 34q^-21 + 3q^-20 - 17q^-19 - 32q^-18 - 31q^-17 - 92q^-16 + 73q^-15 + 10q^-14 + 27q^-13 + 37q^-12 + 51q^-11 + 11q^-10 - 128q^-9 + 10q^-8 - 89q^-7 - 26q^-6 + 48q^-5 + 162q^-4 + 127q^-3 - 78q^-2 - 8q^-1 - 210 - 157q - 26q² + 229q³ + 262q⁴ + 47q⁵ + 50q⁶ - 289q⁷ - 310q⁸ - 166q⁹ + 230q¹⁰ + 364q¹¹ + 191q¹² + 159q¹³ - 309q¹⁴ - 437q¹⁵ - 321q¹⁶ + 189q¹⁷ + 424q¹⁸ + 312q¹⁹ + 270q²⁰ - 297q²¹ - 524q²² - 449q²³ + 147q²⁴ + 456q²⁵ + 399q²⁶ + 351q²⁷ - 286q²⁸ - 583q²⁹ - 535q³⁰ + 124q³¹ + 481q³² + 461q³³ + 394q³⁴ - 284q³⁵ - 623q³⁶ - 589q³⁷ + 106q³⁸ + 493q³⁹ + 508q⁴⁰ + 426q⁴¹ - 267q⁴² - 637q⁴³ - 627q⁴⁴ + 58q⁴⁵ + 466q⁴⁶ + 529q⁴⁷ + 465q⁴⁸ - 195q⁴⁹ - 594q⁵⁰ - 635q⁵¹ - 32q⁵² + 366q⁵³ + 487q⁵⁴ + 485q⁵⁵ - 72q⁵⁶ - 463q⁵⁷ - 569q⁵⁸ - 118q⁵⁹ + 206q⁶⁰ + 354q⁶¹ + 436q⁶² + 43q⁶³ - 272q⁶⁴ - 413q⁶⁵ - 141q⁶⁶ + 58q⁶⁷ + 176q⁶⁸ + 312q⁶⁹ + 92q⁷⁰ - 108q⁷¹ - 232q⁷² - 98q⁷³ - 17q⁷⁴ + 43q⁷⁵ + 176q⁷⁶ + 74q⁷⁷ - 22q⁷⁸ - 103q⁷⁹ - 43q⁸⁰ - 28q⁸¹ - 14q⁸² + 86q⁸³ + 40q⁸⁴ + 3q⁸⁵ - 40q⁸⁶ - 12q⁸⁷ - 18q⁸⁸ - 22q⁸⁹ + 39q⁹⁰ + 17q⁹¹ + 7q⁹² - 15q⁹³ - q⁹⁴ - 9q⁹⁵ - 15q⁹⁶ + 16q⁹⁷ + 5q⁹⁸ + 5q⁹⁹ - 5q¹⁰⁰ + 2q¹⁰¹ - 3q¹⁰² - 7q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁶ - q¹⁰⁷ + q¹⁰⁸ - 2q¹¹⁰ + q¹¹¹
7	- q^-77 + 2q^-76 + q^-75 - 2q^-74 - q^-73 - 2q^-72 + 2q^-71 - q^-69 + 7q^-68 + 4q^-67 - 4q^-66 - 5q^-65 - 11q^-64 - q^-63 + 4q^-62 - 2q^-61 + 19q^-60 + 16q^-59 + 2q^-58 - 6q^-57 - 33q^-56 - 20q^-55 - 5q^-54 - 9q^-53 + 33q^-52 + 42q^-51 + 29q^-50 + 25q^-49 - 45q^-48 - 53q^-47 - 37q^-46 - 52q^-45 + 20q^-44 + 49q^-43 + 66q^-42 + 91q^-41 - 4q^-40 - 45q^-39 - 52q^-38 - 108q^-37 - 34q^-36 + 34q^-34 + 128q^-33 + 49q^-32 + 23q^-31 + 14q^-30 - 89q^-29 - 43q^-28 - 60q^-27 - 67q^-26 + 48q^-25 - q^-24 + 35q^-23 + 109q^-22 + 25q^-21 + 86q^-20 + 15q^-19 - 113q^-18 - 75q^-17 - 191q^-16 - 126q^-15 + 60q^-14 + 103q^-13 + 294q^-12 + 264q^-11 + 41q^-10 - 60q^-9 - 363q^-8 - 425q^-7 - 204q^-6 - 24q^-5 + 398q^-4 + 554q^-3 + 370q^-2 + 191q^-1 - 345 - 668q - 582q² - 369q³ + 273q⁴ + 716q⁵ + 719q⁶ + 599q⁷ - 101q⁸ - 728q⁹ - 897q¹⁰ - 808q¹¹ - 38q¹² + 687q¹³ + 966q¹⁴ + 1017q¹⁵ + 259q¹⁶ - 619q¹⁷ - 1075q¹⁸ - 1199q¹⁹ - 412q²⁰ + 539q²¹ + 1087q²² + 1354q²³ + 610q²⁴ - 447q²⁵ - 1145q²⁶ - 1485q²⁷ - 731q²⁸ + 369q²⁹ + 1138q³⁰ + 1589q³¹ + 876q³² - 305q³³ - 1174q³⁴ - 1669q³⁵ - 952q³⁶ + 253q³⁷ + 1174q³⁸ + 1741q³⁹ + 1039q⁴⁰ - 233q⁴¹ - 1203q⁴² - 1784q⁴³ - 1082q⁴⁴ + 200q⁴⁵ + 1215q⁴⁶ + 1838q⁴⁷ + 1136q⁴⁸ - 193q⁴⁹ - 1238q⁵⁰ - 1863q⁵¹ - 1174q⁵² + 155q⁵³ + 1230q⁵⁴ + 1897q⁵⁵ + 1238q⁵⁶ - 113q⁵⁷ - 1218q⁵⁸ - 1903q⁵⁹ - 1276q⁶⁰ + 27q⁶¹ + 1141q⁶² + 1884q⁶³ + 1343q⁶⁴ + 81q⁶⁵ - 1047q⁶⁶ - 1814q⁶⁷ - 1364q⁶⁸ - 205q⁶⁹ + 877q⁷⁰ + 1686q⁷¹ + 1361q⁷² + 333q⁷³ - 682q⁷⁴ - 1498q⁷⁵ - 1292q⁷⁶ - 436q⁷⁷ + 467q⁷⁸ + 1255q⁷⁹ + 1163q⁸⁰ + 491q⁸¹ - 256q⁸² - 979q⁸³ - 990q⁸⁴ - 499q⁸⁵ + 87q⁸⁶ + 721q⁸⁷ + 775q⁸⁸ + 446q⁸⁹ + 35q⁹⁰ - 481q⁹¹ - 566q⁹² - 371q⁹³ - 98q⁹⁴ + 302q⁹⁵ + 387q⁹⁶ + 273q⁹⁷ + 112q⁹⁸ - 177q⁹⁹ - 239q¹⁰⁰ - 182q¹⁰¹ - 110q¹⁰² + 100q¹⁰³ + 145q¹⁰⁴ + 117q¹⁰⁵ + 84q¹⁰⁶ - 65q¹⁰⁷ - 82q¹⁰⁸ - 64q¹⁰⁹ - 59q¹¹⁰ + 36q¹¹¹ + 44q¹¹² + 42q¹¹³ + 50q¹¹⁴ - 33q¹¹⁵ - 35q¹¹⁶ - 19q¹¹⁷ - 26q¹¹⁸ + 19q¹¹⁹ + 11q¹²⁰ + 16q¹²¹ + 32q¹²² - 17q¹²³ - 18q¹²⁴ - 8q¹²⁵ - 13q¹²⁶ + 9q¹²⁷ + 2q¹²⁸ + 6q¹²⁹ + 18q¹³⁰ - 6q¹³¹ - 7q¹³² - 3q¹³³ - 7q¹³⁴ + 4q¹³⁵ - q¹³⁶ + q¹³⁷ + 7q¹³⁸ - q¹³⁹ - 2q¹⁴⁰ - 2q¹⁴² + q¹⁴³ - q¹⁴⁴ + 2q¹⁴⁶ - q¹⁴⁷

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 7]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[11, 1, 12, 16], X[5, 13, 6, 12], > X[7, 15, 8, 14], X[13, 7, 14, 6], X[15, 9, 16, 8], X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 7]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 8, -2, 1, -4, 6, -5, 7, -8, 2, -3, 4, -6, 5, -7, 3]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 7]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 14, 2, 16, 6, 8]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 7]]
Out[5]=	BR[3, {1, 1, 1, 1, -2, 1, -2, -2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 7]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 7]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 7]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 3, 2, {3, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 7]][t]
Out[10]=	-3 3 5 2 3 -5 + t - -- + - + 5 t - 3 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 7]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + 2 z + 3 z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 7], Knot[11, NonAlternating, 24]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 7]], KnotSignature[Knot[8, 7]]}
Out[13]=	{23, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 7]][q]
Out[14]=	-2 2 2 3 4 5 6 -2 - q + - + 4 q - 4 q + 4 q - 3 q + 2 q - q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 7]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 7]][q]
Out[16]=	-6 2 6 10 14 18 1 - q + 2 q + 2 q + q - q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 7]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 6 2 4 2 3 z 8 z 4 z 5 z z -1 - -- + -- - 3 z - ---- + ---- - z - -- + ---- + -- 4 2 4 2 4 2 2 a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 7]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 3 3 2 4 z 2 z 2 z 2 2 z 4 z 12 z z z -1 - -- - -- - -- + --- + --- + a z + 6 z - ---- + ---- + ----- + -- - -- - 4 2 7 3 a 6 4 2 7 5 a a a a a a a a a 3 3 4 4 4 5 5 2 z 3 z 3 4 2 z 3 z 12 z 2 z z 5 > ---- - ---- - 3 a z - 7 z + ---- - ---- - ----- + ---- - -- + a z + 3 a 6 4 2 5 a a a a a a 6 6 7 7 6 2 z 4 z z z > 2 z + ---- + ---- + -- + -- 4 2 3 a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 7]], Vassiliev[3][Knot[8, 7]]}
Out[19]=	{2, 2}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 7]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 1 q 3 5 5 2 3 q + 2 q + ----- + ----- + ---- + --- + - + 2 q t + 2 q t + 2 q t + 5 3 3 2 2 q t t q t q t q t 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 13 5 > 2 q t + q t + 2 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 7], 2][q]
Out[21]=	-7 2 -5 5 4 4 10 2 3 4 5 -3 + q - -- - q + -- - -- - -- + -- - 9 q + 14 q - 2 q - 14 q + 16 q - 6 4 3 2 q q q q q 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 > 16 q + 14 q + q - 12 q + 9 q + q - 6 q + 4 q - 2 q + q

The Alternating Knot 87

The Alternating Knot 8₇