The Alternating Knot 8₆

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_9,12,10,13 X_3,11,4,10 X_11,3,12,2 X_5,14,6,15 X_7,16,8,1 X_15,6,16,7 X_13,8,14,9

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -5, 7, -6, 8, -2, 3, -4, 2, -8, 5, -7, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 14 16 12 2 8 6

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 2 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial: - 2t^-2 + 6t^-1 - 7 + 6t - 2t²

Conway Polynomial: 1 - 2z² - 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n20, K11n151, K11n152, ...}

Determinant and Signature: {23, -2}

Jones Polynomial: q^-7 - 2q^-6 + 3q^-5 - 4q^-4 + 4q^-3 - 4q^-2 + 3q^-1 - 1 + q

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-22 + q^-16 - q^-14 - q^-10 - q^-8 - q^-4 + 2q^-2 + 1 + q² + q⁴

HOMFLY-PT Polynomial: 2 + z² - a² - 2a²z² - a²z⁴ - a⁴ - 2a⁴z² - a⁴z⁴ + a⁶ + a⁶z²

Kauffman Polynomial: 2 - 3z² + z⁴ - az - az³ + az⁵ + a² - 2a²z² + a²z⁶ - 3a³z + 5a³z³ - 2a³z⁵ + a³z⁷ - a⁴ + 6a⁴z² - 6a⁴z⁴ + 3a⁴z⁶ - a⁵z + 2a⁵z³ - a⁵z⁵ + a⁵z⁷ - a⁶ + 3a⁶z² - 4a⁶z⁴ + 2a⁶z⁶ + a⁷z - 4a⁷z³ + 2a⁷z⁵ - 2a⁸z² + a⁸z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-2, 3}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 8₆. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 3 1

j = 1

j = -1 3 1

j = -3 2 1

j = -5 2 2

j = -7 2 2

j = -9 1 2

j = -11 1 2

j = -13 1

j = -15 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-20 - 2q^-19 + 5q^-17 - 6q^-16 - 3q^-15 + 12q^-14 - 8q^-13 - 8q^-12 + 19q^-11 - 9q^-10 - 12q^-9 + 21q^-8 - 8q^-7 - 12q^-6 + 17q^-5 - 4q^-4 - 9q^-3 + 9q^-2 - q^-1 - 4 + 3q - q³ + q⁴

3 q^-39 - 2q^-38 + 2q^-36 + 2q^-35 - 5q^-34 - 4q^-33 + 7q^-32 + 9q^-31 - 9q^-30 - 14q^-29 + 7q^-28 + 22q^-27 - 5q^-26 - 29q^-25 + 2q^-24 + 35q^-23 + 4q^-22 - 42q^-21 - 7q^-20 + 44q^-19 + 12q^-18 - 48q^-17 - 13q^-16 + 46q^-15 + 16q^-14 - 44q^-13 - 17q^-12 + 39q^-11 + 18q^-10 - 32q^-9 - 18q^-8 + 25q^-7 + 15q^-6 - 14q^-5 - 16q^-4 + 12q^-3 + 8q^-2 - 3q^-1 - 8 + 4q + 2q² - 3q⁴ + 2q⁵ - q⁸ + q⁹

4 q^-64 - 2q^-63 + 2q^-61 - q^-60 + 3q^-59 - 7q^-58 + 7q^-56 - q^-55 + 10q^-54 - 19q^-53 - 8q^-52 + 12q^-51 + 4q^-50 + 31q^-49 - 29q^-48 - 25q^-47 + 4q^-45 + 70q^-44 - 23q^-43 - 42q^-42 - 30q^-41 - 11q^-40 + 112q^-39 - q^-38 - 46q^-37 - 65q^-36 - 39q^-35 + 146q^-34 + 24q^-33 - 41q^-32 - 91q^-31 - 64q^-30 + 163q^-29 + 41q^-28 - 32q^-27 - 103q^-26 - 79q^-25 + 163q^-24 + 49q^-23 - 21q^-22 - 100q^-21 - 86q^-20 + 142q^-19 + 50q^-18 - 3q^-17 - 84q^-16 - 86q^-15 + 103q^-14 + 42q^-13 + 17q^-12 - 52q^-11 - 74q^-10 + 54q^-9 + 25q^-8 + 28q^-7 - 19q^-6 - 50q^-5 + 20q^-4 + 5q^-3 + 21q^-2 - 23 + 7q - 5q² + 9q³ + 3q⁴ - 8q⁵ + 5q⁶ - 4q⁷ + 2q⁸ + q⁹ - 3q¹⁰ + 3q¹¹ - q¹² - q¹⁵ + q¹⁶

5 q^-95 - 2q^-94 + 2q^-92 - q^-91 + q^-89 - 3q^-88 - q^-87 + 6q^-86 + 2q^-85 - 3q^-84 - 2q^-83 - 8q^-82 - 4q^-81 + 10q^-80 + 15q^-79 + 6q^-78 - 6q^-77 - 21q^-76 - 24q^-75 + 2q^-74 + 26q^-73 + 39q^-72 + 20q^-71 - 26q^-70 - 58q^-69 - 46q^-68 + 8q^-67 + 73q^-66 + 86q^-65 + 18q^-64 - 81q^-63 - 122q^-62 - 61q^-61 + 74q^-60 + 161q^-59 + 111q^-58 - 57q^-57 - 195q^-56 - 159q^-55 + 31q^-54 + 215q^-53 + 212q^-52 + q^-51 - 237q^-50 - 252q^-49 - 25q^-48 + 237q^-47 + 289q^-46 + 57q^-45 - 250q^-44 - 310q^-43 - 73q^-42 + 240q^-41 + 330q^-40 + 93q^-39 - 242q^-38 - 336q^-37 - 103q^-36 + 228q^-35 + 339q^-34 + 118q^-33 - 218q^-32 - 332q^-31 - 127q^-30 + 193q^-29 + 322q^-28 + 139q^-27 - 166q^-26 - 300q^-25 - 148q^-24 + 129q^-23 + 268q^-22 + 156q^-21 - 85q^-20 - 230q^-19 - 158q^-18 + 49q^-17 + 175q^-16 + 144q^-15 + 6q^-14 - 135q^-13 - 133q^-12 - 16q^-11 + 75q^-10 + 97q^-9 + 52q^-8 - 43q^-7 - 80q^-6 - 33q^-5 + 7q^-4 + 39q^-3 + 46q^-2 + 2q^-1 - 27 - 18q - 14q² + 4q³ + 22q⁴ + 7q⁵ - 5q⁶ - 10q⁸ - 4q⁹ + 7q¹⁰ + 2q¹¹ - 2q¹² + 5q¹³ - 3q¹⁴ - 3q¹⁵ + 2q¹⁶ - 2q¹⁸ + 3q¹⁹ - q²¹ - q²⁴ + q²⁵

6 q^-132 - 2q^-131 + 2q^-129 - q^-128 - 2q^-126 + 5q^-125 - 4q^-124 - 2q^-123 + 8q^-122 - 2q^-121 - 2q^-120 - 9q^-119 + 9q^-118 - 8q^-117 - 3q^-116 + 22q^-115 + 4q^-114 - 24q^-112 + 11q^-111 - 28q^-110 - 19q^-109 + 39q^-108 + 26q^-107 + 28q^-106 - 22q^-105 + 26q^-104 - 68q^-103 - 77q^-102 + 11q^-101 + 33q^-100 + 77q^-99 + 35q^-98 + 118q^-97 - 79q^-96 - 158q^-95 - 100q^-94 - 52q^-93 + 74q^-92 + 116q^-91 + 317q^-90 + 27q^-89 - 172q^-88 - 247q^-87 - 251q^-86 - 70q^-85 + 127q^-84 + 556q^-83 + 256q^-82 - 41q^-81 - 330q^-80 - 486q^-79 - 339q^-78 + 7q^-77 + 735q^-76 + 519q^-75 + 198q^-74 - 303q^-73 - 664q^-72 - 630q^-71 - 192q^-70 + 814q^-69 + 723q^-68 + 440q^-67 - 213q^-66 - 750q^-65 - 852q^-64 - 377q^-63 + 823q^-62 + 837q^-61 + 613q^-60 - 126q^-59 - 770q^-58 - 978q^-57 - 498q^-56 + 802q^-55 + 879q^-54 + 706q^-53 - 64q^-52 - 753q^-51 - 1030q^-50 - 565q^-49 + 757q^-48 + 876q^-47 + 749q^-46 - 8q^-45 - 701q^-44 - 1031q^-43 - 608q^-42 + 664q^-41 + 826q^-40 + 763q^-39 + 75q^-38 - 587q^-37 - 977q^-36 - 643q^-35 + 492q^-34 + 698q^-33 + 738q^-32 + 192q^-31 - 385q^-30 - 832q^-29 - 651q^-28 + 251q^-27 + 472q^-26 + 632q^-25 + 300q^-24 - 126q^-23 - 581q^-22 - 576q^-21 + 18q^-20 + 197q^-19 + 430q^-18 + 318q^-17 + 92q^-16 - 290q^-15 - 399q^-14 - 97q^-13 - 21q^-12 + 193q^-11 + 224q^-10 + 173q^-9 - 69q^-8 - 193q^-7 - 79q^-6 - 100q^-5 + 25q^-4 + 94q^-3 + 131q^-2 + 19q^-1 - 53 - 16q - 75q² - 30q³ + 14q⁴ + 61q⁵ + 19q⁶ - 6q⁷ + 18q⁸ - 32q⁹ - 23q¹⁰ - 7q¹¹ + 21q¹² + 5q¹³ - 3q¹⁴ + 18q¹⁵ - 9q¹⁶ - 9q¹⁷ - 6q¹⁸ + 7q¹⁹ - 4q²¹ + 10q²² - 2q²³ - 2q²⁴ - 3q²⁵ + 2q²⁶ - 3q²⁸ + 4q²⁹ - q³² - q³⁵ + q³⁶

7 q^-175 - 2q^-174 + 2q^-172 - q^-171 - 2q^-169 + 2q^-168 + 4q^-167 - 5q^-166 + 4q^-164 - 2q^-163 - 8q^-161 - 2q^-160 + 13q^-159 - 5q^-158 + 3q^-157 + 10q^-156 - 2q^-155 + 5q^-154 - 24q^-153 - 19q^-152 + 14q^-151 - 7q^-150 + 12q^-149 + 27q^-148 + 10q^-147 + 34q^-146 - 26q^-145 - 50q^-144 - 10q^-143 - 52q^-142 - 6q^-141 + 31q^-140 + 35q^-139 + 111q^-138 + 43q^-137 - 16q^-136 - 17q^-135 - 144q^-134 - 122q^-133 - 65q^-132 - 34q^-131 + 176q^-130 + 201q^-129 + 181q^-128 + 152q^-127 - 145q^-126 - 269q^-125 - 327q^-124 - 338q^-123 + 25q^-122 + 280q^-121 + 480q^-120 + 596q^-119 + 176q^-118 - 209q^-117 - 583q^-116 - 873q^-115 - 481q^-114 + 17q^-113 + 623q^-112 + 1153q^-111 + 846q^-110 + 265q^-109 - 559q^-108 - 1378q^-107 - 1234q^-106 - 637q^-105 + 383q^-104 + 1539q^-103 + 1615q^-102 + 1059q^-101 - 146q^-100 - 1616q^-99 - 1937q^-98 - 1474q^-97 - 159q^-96 + 1607q^-95 + 2206q^-94 + 1873q^-93 + 474q^-92 - 1567q^-91 - 2400q^-90 - 2190q^-89 - 767q^-88 + 1464q^-87 + 2521q^-86 + 2475q^-85 + 1031q^-84 - 1387q^-83 - 2606q^-82 - 2653q^-81 - 1227q^-80 + 1273q^-79 + 2640q^-78 + 2805q^-77 + 1391q^-76 - 1210q^-75 - 2659q^-74 - 2878q^-73 - 1499q^-72 + 1128q^-71 + 2651q^-70 + 2941q^-69 + 1584q^-68 - 1077q^-67 - 2633q^-66 - 2961q^-65 - 1642q^-64 + 1002q^-63 + 2596q^-62 + 2977q^-61 + 1698q^-60 - 929q^-59 - 2540q^-58 - 2956q^-57 - 1752q^-56 + 813q^-55 + 2444q^-54 + 2931q^-53 + 1813q^-52 - 679q^-51 - 2301q^-50 - 2851q^-49 - 1871q^-48 + 476q^-47 + 2094q^-46 + 2743q^-45 + 1927q^-44 - 250q^-43 - 1826q^-42 - 2551q^-41 - 1953q^-40 - 13q^-39 + 1475q^-38 + 2297q^-37 + 1939q^-36 + 285q^-35 - 1089q^-34 - 1981q^-33 - 1844q^-32 - 504q^-31 + 675q^-30 + 1562q^-29 + 1682q^-28 + 712q^-27 - 293q^-26 - 1179q^-25 - 1441q^-24 - 742q^-23 - 33q^-22 + 720q^-21 + 1136q^-20 + 776q^-19 + 264q^-18 - 409q^-17 - 824q^-16 - 625q^-15 - 366q^-14 + 84q^-13 + 511q^-12 + 512q^-11 + 399q^-10 + 52q^-9 - 286q^-8 - 300q^-7 - 329q^-6 - 168q^-5 + 98q^-4 + 185q^-3 + 253q^-2 + 148q^-1 - 14 - 45q - 152q² - 150q³ - 33q⁴ + 11q⁵ + 88q⁶ + 78q⁷ + 32q⁸ + 45q⁹ - 37q¹⁰ - 70q¹¹ - 27q¹² - 20q¹³ + 18q¹⁴ + 17q¹⁵ + 9q¹⁶ + 41q¹⁷ - 2q¹⁸ - 26q¹⁹ - 8q²⁰ - 11q²¹ + 7q²² - q²³ - 5q²⁴ + 21q²⁵ + 3q²⁶ - 9q²⁷ - 3q²⁸ - 5q²⁹ + 5q³⁰ - q³¹ - 6q³² + 9q³³ + 2q³⁴ - 2q³⁵ - q³⁶ - 3q³⁷ + 2q³⁸ - 3q⁴⁰ + 3q⁴¹ + q⁴² - q⁴⁵ - q⁴⁸ + q⁴⁹

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 6]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[9, 12, 10, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[5, 14, 6, 15], X[7, 16, 8, 1], X[15, 6, 16, 7], X[13, 8, 14, 9]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 6]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -5, 7, -6, 8, -2, 3, -4, 2, -8, 5, -7, 6]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 6]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 14, 16, 12, 2, 8, 6]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 6]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, -1, -1, -2, 1, 3, -2, 3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 6]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 6]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 6]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 2, 2, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 6]][t]

Out[10]=
2 6 2 -7 - -- + - + 6 t - 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 6]][z]

Out[11]=
2 4 1 - 2 z - 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 6], Knot[11, NonAlternating, 20], Knot[11, NonAlternating, 151], > Knot[11, NonAlternating, 152]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 6]], KnotSignature[Knot[8, 6]]}

Out[13]=
{23, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 6]][q]

Out[14]=
-7 2 3 4 4 4 3 -1 + q - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 6 5 4 3 2 q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 6]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 6]][q]

Out[16]=
-22 -16 -14 -10 -8 -4 2 2 4 1 + q + q - q - q - q - q + -- + q + q 2 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 6]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 2 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 2 - a - a + a + z - 2 a z - 2 a z + a z - a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 6]][a, z]

Out[18]=
2 4 6 3 5 7 2 2 2 4 2 2 + a - a - a - a z - 3 a z - a z + a z - 3 z - 2 a z + 6 a z + 6 2 8 2 3 3 3 5 3 7 3 4 4 4 > 3 a z - 2 a z - a z + 5 a z + 2 a z - 4 a z + z - 6 a z - 6 4 8 4 5 3 5 5 5 7 5 2 6 4 6 > 4 a z + a z + a z - 2 a z - a z + 2 a z + a z + 3 a z + 6 6 3 7 5 7 > 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 6]], Vassiliev[3][Knot[8, 6]]}

Out[19]=
{-2, 3}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 6]][q, t]

Out[20]=
-3 3 1 1 1 2 1 2 2 2 q + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q t q t q t q t q t q t q t q t 2 2 2 t 3 2 > ----- + ---- + ---- + - + q t 5 2 5 3 q q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 6], 2][q]

Out[21]=
-20 2 5 6 3 12 8 8 19 9 12 21 -4 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 q q q q q q q q q q q 8 12 17 4 9 9 1 3 4 > -- - -- + -- - -- - -- + -- - - + 3 q - q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₆

8₅
8₇

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-20 - 2q^-19 + 5q^-17 - 6q^-16 - 3q^-15 + 12q^-14 - 8q^-13 - 8q^-12 + 19q^-11 - 9q^-10 - 12q^-9 + 21q^-8 - 8q^-7 - 12q^-6 + 17q^-5 - 4q^-4 - 9q^-3 + 9q^-2 - q^-1 - 4 + 3q - q³ + q⁴
3	q^-39 - 2q^-38 + 2q^-36 + 2q^-35 - 5q^-34 - 4q^-33 + 7q^-32 + 9q^-31 - 9q^-30 - 14q^-29 + 7q^-28 + 22q^-27 - 5q^-26 - 29q^-25 + 2q^-24 + 35q^-23 + 4q^-22 - 42q^-21 - 7q^-20 + 44q^-19 + 12q^-18 - 48q^-17 - 13q^-16 + 46q^-15 + 16q^-14 - 44q^-13 - 17q^-12 + 39q^-11 + 18q^-10 - 32q^-9 - 18q^-8 + 25q^-7 + 15q^-6 - 14q^-5 - 16q^-4 + 12q^-3 + 8q^-2 - 3q^-1 - 8 + 4q + 2q² - 3q⁴ + 2q⁵ - q⁸ + q⁹
4	q^-64 - 2q^-63 + 2q^-61 - q^-60 + 3q^-59 - 7q^-58 + 7q^-56 - q^-55 + 10q^-54 - 19q^-53 - 8q^-52 + 12q^-51 + 4q^-50 + 31q^-49 - 29q^-48 - 25q^-47 + 4q^-45 + 70q^-44 - 23q^-43 - 42q^-42 - 30q^-41 - 11q^-40 + 112q^-39 - q^-38 - 46q^-37 - 65q^-36 - 39q^-35 + 146q^-34 + 24q^-33 - 41q^-32 - 91q^-31 - 64q^-30 + 163q^-29 + 41q^-28 - 32q^-27 - 103q^-26 - 79q^-25 + 163q^-24 + 49q^-23 - 21q^-22 - 100q^-21 - 86q^-20 + 142q^-19 + 50q^-18 - 3q^-17 - 84q^-16 - 86q^-15 + 103q^-14 + 42q^-13 + 17q^-12 - 52q^-11 - 74q^-10 + 54q^-9 + 25q^-8 + 28q^-7 - 19q^-6 - 50q^-5 + 20q^-4 + 5q^-3 + 21q^-2 - 23 + 7q - 5q² + 9q³ + 3q⁴ - 8q⁵ + 5q⁶ - 4q⁷ + 2q⁸ + q⁹ - 3q¹⁰ + 3q¹¹ - q¹² - q¹⁵ + q¹⁶
5	q^-95 - 2q^-94 + 2q^-92 - q^-91 + q^-89 - 3q^-88 - q^-87 + 6q^-86 + 2q^-85 - 3q^-84 - 2q^-83 - 8q^-82 - 4q^-81 + 10q^-80 + 15q^-79 + 6q^-78 - 6q^-77 - 21q^-76 - 24q^-75 + 2q^-74 + 26q^-73 + 39q^-72 + 20q^-71 - 26q^-70 - 58q^-69 - 46q^-68 + 8q^-67 + 73q^-66 + 86q^-65 + 18q^-64 - 81q^-63 - 122q^-62 - 61q^-61 + 74q^-60 + 161q^-59 + 111q^-58 - 57q^-57 - 195q^-56 - 159q^-55 + 31q^-54 + 215q^-53 + 212q^-52 + q^-51 - 237q^-50 - 252q^-49 - 25q^-48 + 237q^-47 + 289q^-46 + 57q^-45 - 250q^-44 - 310q^-43 - 73q^-42 + 240q^-41 + 330q^-40 + 93q^-39 - 242q^-38 - 336q^-37 - 103q^-36 + 228q^-35 + 339q^-34 + 118q^-33 - 218q^-32 - 332q^-31 - 127q^-30 + 193q^-29 + 322q^-28 + 139q^-27 - 166q^-26 - 300q^-25 - 148q^-24 + 129q^-23 + 268q^-22 + 156q^-21 - 85q^-20 - 230q^-19 - 158q^-18 + 49q^-17 + 175q^-16 + 144q^-15 + 6q^-14 - 135q^-13 - 133q^-12 - 16q^-11 + 75q^-10 + 97q^-9 + 52q^-8 - 43q^-7 - 80q^-6 - 33q^-5 + 7q^-4 + 39q^-3 + 46q^-2 + 2q^-1 - 27 - 18q - 14q² + 4q³ + 22q⁴ + 7q⁵ - 5q⁶ - 10q⁸ - 4q⁹ + 7q¹⁰ + 2q¹¹ - 2q¹² + 5q¹³ - 3q¹⁴ - 3q¹⁵ + 2q¹⁶ - 2q¹⁸ + 3q¹⁹ - q²¹ - q²⁴ + q²⁵
6	q^-132 - 2q^-131 + 2q^-129 - q^-128 - 2q^-126 + 5q^-125 - 4q^-124 - 2q^-123 + 8q^-122 - 2q^-121 - 2q^-120 - 9q^-119 + 9q^-118 - 8q^-117 - 3q^-116 + 22q^-115 + 4q^-114 - 24q^-112 + 11q^-111 - 28q^-110 - 19q^-109 + 39q^-108 + 26q^-107 + 28q^-106 - 22q^-105 + 26q^-104 - 68q^-103 - 77q^-102 + 11q^-101 + 33q^-100 + 77q^-99 + 35q^-98 + 118q^-97 - 79q^-96 - 158q^-95 - 100q^-94 - 52q^-93 + 74q^-92 + 116q^-91 + 317q^-90 + 27q^-89 - 172q^-88 - 247q^-87 - 251q^-86 - 70q^-85 + 127q^-84 + 556q^-83 + 256q^-82 - 41q^-81 - 330q^-80 - 486q^-79 - 339q^-78 + 7q^-77 + 735q^-76 + 519q^-75 + 198q^-74 - 303q^-73 - 664q^-72 - 630q^-71 - 192q^-70 + 814q^-69 + 723q^-68 + 440q^-67 - 213q^-66 - 750q^-65 - 852q^-64 - 377q^-63 + 823q^-62 + 837q^-61 + 613q^-60 - 126q^-59 - 770q^-58 - 978q^-57 - 498q^-56 + 802q^-55 + 879q^-54 + 706q^-53 - 64q^-52 - 753q^-51 - 1030q^-50 - 565q^-49 + 757q^-48 + 876q^-47 + 749q^-46 - 8q^-45 - 701q^-44 - 1031q^-43 - 608q^-42 + 664q^-41 + 826q^-40 + 763q^-39 + 75q^-38 - 587q^-37 - 977q^-36 - 643q^-35 + 492q^-34 + 698q^-33 + 738q^-32 + 192q^-31 - 385q^-30 - 832q^-29 - 651q^-28 + 251q^-27 + 472q^-26 + 632q^-25 + 300q^-24 - 126q^-23 - 581q^-22 - 576q^-21 + 18q^-20 + 197q^-19 + 430q^-18 + 318q^-17 + 92q^-16 - 290q^-15 - 399q^-14 - 97q^-13 - 21q^-12 + 193q^-11 + 224q^-10 + 173q^-9 - 69q^-8 - 193q^-7 - 79q^-6 - 100q^-5 + 25q^-4 + 94q^-3 + 131q^-2 + 19q^-1 - 53 - 16q - 75q² - 30q³ + 14q⁴ + 61q⁵ + 19q⁶ - 6q⁷ + 18q⁸ - 32q⁹ - 23q¹⁰ - 7q¹¹ + 21q¹² + 5q¹³ - 3q¹⁴ + 18q¹⁵ - 9q¹⁶ - 9q¹⁷ - 6q¹⁸ + 7q¹⁹ - 4q²¹ + 10q²² - 2q²³ - 2q²⁴ - 3q²⁵ + 2q²⁶ - 3q²⁸ + 4q²⁹ - q³² - q³⁵ + q³⁶
7	q^-175 - 2q^-174 + 2q^-172 - q^-171 - 2q^-169 + 2q^-168 + 4q^-167 - 5q^-166 + 4q^-164 - 2q^-163 - 8q^-161 - 2q^-160 + 13q^-159 - 5q^-158 + 3q^-157 + 10q^-156 - 2q^-155 + 5q^-154 - 24q^-153 - 19q^-152 + 14q^-151 - 7q^-150 + 12q^-149 + 27q^-148 + 10q^-147 + 34q^-146 - 26q^-145 - 50q^-144 - 10q^-143 - 52q^-142 - 6q^-141 + 31q^-140 + 35q^-139 + 111q^-138 + 43q^-137 - 16q^-136 - 17q^-135 - 144q^-134 - 122q^-133 - 65q^-132 - 34q^-131 + 176q^-130 + 201q^-129 + 181q^-128 + 152q^-127 - 145q^-126 - 269q^-125 - 327q^-124 - 338q^-123 + 25q^-122 + 280q^-121 + 480q^-120 + 596q^-119 + 176q^-118 - 209q^-117 - 583q^-116 - 873q^-115 - 481q^-114 + 17q^-113 + 623q^-112 + 1153q^-111 + 846q^-110 + 265q^-109 - 559q^-108 - 1378q^-107 - 1234q^-106 - 637q^-105 + 383q^-104 + 1539q^-103 + 1615q^-102 + 1059q^-101 - 146q^-100 - 1616q^-99 - 1937q^-98 - 1474q^-97 - 159q^-96 + 1607q^-95 + 2206q^-94 + 1873q^-93 + 474q^-92 - 1567q^-91 - 2400q^-90 - 2190q^-89 - 767q^-88 + 1464q^-87 + 2521q^-86 + 2475q^-85 + 1031q^-84 - 1387q^-83 - 2606q^-82 - 2653q^-81 - 1227q^-80 + 1273q^-79 + 2640q^-78 + 2805q^-77 + 1391q^-76 - 1210q^-75 - 2659q^-74 - 2878q^-73 - 1499q^-72 + 1128q^-71 + 2651q^-70 + 2941q^-69 + 1584q^-68 - 1077q^-67 - 2633q^-66 - 2961q^-65 - 1642q^-64 + 1002q^-63 + 2596q^-62 + 2977q^-61 + 1698q^-60 - 929q^-59 - 2540q^-58 - 2956q^-57 - 1752q^-56 + 813q^-55 + 2444q^-54 + 2931q^-53 + 1813q^-52 - 679q^-51 - 2301q^-50 - 2851q^-49 - 1871q^-48 + 476q^-47 + 2094q^-46 + 2743q^-45 + 1927q^-44 - 250q^-43 - 1826q^-42 - 2551q^-41 - 1953q^-40 - 13q^-39 + 1475q^-38 + 2297q^-37 + 1939q^-36 + 285q^-35 - 1089q^-34 - 1981q^-33 - 1844q^-32 - 504q^-31 + 675q^-30 + 1562q^-29 + 1682q^-28 + 712q^-27 - 293q^-26 - 1179q^-25 - 1441q^-24 - 742q^-23 - 33q^-22 + 720q^-21 + 1136q^-20 + 776q^-19 + 264q^-18 - 409q^-17 - 824q^-16 - 625q^-15 - 366q^-14 + 84q^-13 + 511q^-12 + 512q^-11 + 399q^-10 + 52q^-9 - 286q^-8 - 300q^-7 - 329q^-6 - 168q^-5 + 98q^-4 + 185q^-3 + 253q^-2 + 148q^-1 - 14 - 45q - 152q² - 150q³ - 33q⁴ + 11q⁵ + 88q⁶ + 78q⁷ + 32q⁸ + 45q⁹ - 37q¹⁰ - 70q¹¹ - 27q¹² - 20q¹³ + 18q¹⁴ + 17q¹⁵ + 9q¹⁶ + 41q¹⁷ - 2q¹⁸ - 26q¹⁹ - 8q²⁰ - 11q²¹ + 7q²² - q²³ - 5q²⁴ + 21q²⁵ + 3q²⁶ - 9q²⁷ - 3q²⁸ - 5q²⁹ + 5q³⁰ - q³¹ - 6q³² + 9q³³ + 2q³⁴ - 2q³⁵ - q³⁶ - 3q³⁷ + 2q³⁸ - 3q⁴⁰ + 3q⁴¹ + q⁴² - q⁴⁵ - q⁴⁸ + q⁴⁹

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 6]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[9, 12, 10, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[5, 14, 6, 15], X[7, 16, 8, 1], X[15, 6, 16, 7], X[13, 8, 14, 9]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 6]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -5, 7, -6, 8, -2, 3, -4, 2, -8, 5, -7, 6]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 6]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 14, 16, 12, 2, 8, 6]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 6]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, -1, -1, -2, 1, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 6]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 6]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 6]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 6]][t]
Out[10]=	2 6 2 -7 - -- + - + 6 t - 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 6]][z]
Out[11]=	2 4 1 - 2 z - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 6], Knot[11, NonAlternating, 20], Knot[11, NonAlternating, 151], > Knot[11, NonAlternating, 152]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 6]], KnotSignature[Knot[8, 6]]}
Out[13]=	{23, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 6]][q]
Out[14]=	-7 2 3 4 4 4 3 -1 + q - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 6 5 4 3 2 q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 6]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 6]][q]
Out[16]=	-22 -16 -14 -10 -8 -4 2 2 4 1 + q + q - q - q - q - q + -- + q + q 2 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 6]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 2 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 2 - a - a + a + z - 2 a z - 2 a z + a z - a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 6]][a, z]
Out[18]=	2 4 6 3 5 7 2 2 2 4 2 2 + a - a - a - a z - 3 a z - a z + a z - 3 z - 2 a z + 6 a z + 6 2 8 2 3 3 3 5 3 7 3 4 4 4 > 3 a z - 2 a z - a z + 5 a z + 2 a z - 4 a z + z - 6 a z - 6 4 8 4 5 3 5 5 5 7 5 2 6 4 6 > 4 a z + a z + a z - 2 a z - a z + 2 a z + a z + 3 a z + 6 6 3 7 5 7 > 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 6]], Vassiliev[3][Knot[8, 6]]}
Out[19]=	{-2, 3}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 6]][q, t]
Out[20]=	-3 3 1 1 1 2 1 2 2 2 q + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q t q t q t q t q t q t q t q t 2 2 2 t 3 2 > ----- + ---- + ---- + - + q t 5 2 5 3 q q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 6], 2][q]
Out[21]=	-20 2 5 6 3 12 8 8 19 9 12 21 -4 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 q q q q q q q q q q q 8 12 17 4 9 9 1 3 4 > -- - -- + -- - -- - -- + -- - - + 3 q - q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

The Alternating Knot 86

The Alternating Knot 8₆