The Alternating Knot 8₅

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₆₂₇₁ X₈₄₉₃ X₂₈₃₇ X_14,10,15,9 X_12,5,13,6 X_4,13,5,14 X_16,12,1,11 X_10,16,11,15

Gauss Code: {1, -3, 2, -6, 5, -1, 3, -2, 4, -8, 7, -5, 6, -4, 8, -7}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 8 12 2 14 16 4 10

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 3 / 4--6 1

Alexander Polynomial: - t^-3 + 3t^-2 - 4t^-1 + 5 - 4t + 3t² - t³

Conway Polynomial: 1 - z² - 3z⁴ - z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₄₁, ...}

Determinant and Signature: {21, 4}

Jones Polynomial: 1 - q + 3q² - 3q³ + 3q⁴ - 4q⁵ + 3q⁶ - 2q⁷ + q⁸

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: 1 + q² + 2q⁴ + 2q⁶ - 3q¹² - q¹⁴ - q¹⁶ + q²⁰ + q²⁴

HOMFLY-PT Polynomial: 2a^-6 + 3a^-6z² + a^-6z⁴ - 5a^-4 - 8a^-4z² - 5a^-4z⁴ - a^-4z⁶ + 4a^-2 + 4a^-2z² + a^-2z⁴

Kauffman Polynomial: a^-10z² + 2a^-9z³ - 2a^-8z² + 3a^-8z⁴ + 4a^-7z - 8a^-7z³ + 4a^-7z⁵ - 2a^-6 + 4a^-6z² - 7a^-6z⁴ + 3a^-6z⁶ + 7a^-5z - 10a^-5z³ + a^-5z⁵ + a^-5z⁷ - 5a^-4 + 15a^-4z² - 15a^-4z⁴ + 4a^-4z⁶ + 3a^-3z - 3a^-3z⁵ + a^-3z⁷ - 4a^-2 + 8a^-2z² - 5a^-2z⁴ + a^-2z⁶

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-1, -3}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=4 is the signature of 8₅. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6

j = 17 1

j = 15 1

j = 13 2 1

j = 11 2 1

j = 9 1 2

j = 7 2 2

j = 5 1 1

j = 3 1 3

j = 1

j = -1 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-2 - q^-1 - 1 + 4q - q² - 5q³ + 7q⁴ - 9q⁶ + 8q⁷ + 3q⁸ - 12q⁹ + 7q¹⁰ + 6q¹¹ - 12q¹² + 5q¹³ + 7q¹⁴ - 10q¹⁵ + 3q¹⁶ + 5q¹⁷ - 6q¹⁸ + 2q¹⁹ + q²⁰ - 2q²¹ + q²²

3 q^-6 - q^-5 - q^-4 + 4q^-2 - 4 - 4q + 7q² + 5q³ - 4q⁴ - 11q⁵ + 6q⁶ + 9q⁷ + q⁸ - 14q⁹ + 11q¹¹ + 6q¹² - 13q¹³ - 6q¹⁴ + 9q¹⁵ + 10q¹⁶ - 8q¹⁷ - 12q¹⁸ + 6q¹⁹ + 13q²⁰ - q²¹ - 17q²² + 15q²⁴ + 5q²⁵ - 17q²⁶ - 4q²⁷ + 13q²⁸ + 6q²⁹ - 11q³⁰ - 4q³¹ + 7q³² + 2q³³ - 4q³⁴ + 2q³⁶ - q³⁷ + q⁴⁰ - 2q⁴¹ + q⁴²

4 q^-12 - q^-11 - q^-10 + 5q^-7 - q^-6 - 3q^-5 - 3q^-4 - 5q^-3 + 11q^-2 + 4q^-1 + 1 - 6q - 17q² + 10q³ + 6q⁴ + 12q⁵ + 2q⁶ - 26q⁷ + 3q⁸ - 4q⁹ + 18q¹⁰ + 18q¹¹ - 23q¹² + q¹³ - 21q¹⁴ + 11q¹⁵ + 28q¹⁶ - 14q¹⁷ + 11q¹⁸ - 32q¹⁹ - 4q²⁰ + 27q²¹ - 4q²² + 25q²³ - 36q²⁴ - 17q²⁵ + 20q²⁶ + 3q²⁷ + 40q²⁸ - 37q²⁹ - 30q³⁰ + 12q³¹ + 12q³² + 54q³³ - 38q³⁴ - 44q³⁵ + 4q³⁶ + 21q³⁷ + 65q³⁸ - 33q³⁹ - 55q⁴⁰ - 7q⁴¹ + 21q⁴² + 68q⁴³ - 20q⁴⁴ - 49q⁴⁵ - 15q⁴⁶ + 9q⁴⁷ + 56q⁴⁸ - 7q⁴⁹ - 29q⁵⁰ - 12q⁵¹ - 3q⁵² + 32q⁵³ - 3q⁵⁴ - 10q⁵⁵ - 2q⁵⁶ - 7q⁵⁷ + 14q⁵⁸ - 3q⁵⁹ - 3q⁶⁰ + 2q⁶¹ - 4q⁶² + 5q⁶³ - 2q⁶⁴ + q⁶⁶ - 2q⁶⁷ + q⁶⁸

5 q^-20 - q^-19 - q^-18 + q^-15 + 4q^-14 - 4q^-12 - 3q^-11 - 3q^-10 - q^-9 + 9q^-8 + 8q^-7 + q^-6 - 5q^-5 - 11q^-4 - 13q^-3 + 4q^-2 + 13q^-1 + 15 + 9q - 7q² - 24q³ - 14q⁴ - 2q⁵ + 13q⁶ + 28q⁷ + 17q⁸ - 12q⁹ - 19q¹⁰ - 26q¹¹ - 15q¹² + 20q¹³ + 36q¹⁴ + 18q¹⁵ + 3q¹⁶ - 26q¹⁷ - 44q¹⁸ - 15q¹⁹ + 21q²⁰ + 35q²¹ + 39q²² + 5q²³ - 45q²⁴ - 49q²⁵ - 19q²⁶ + 23q²⁷ + 61q²⁸ + 46q²⁹ - 17q³⁰ - 61q³¹ - 59q³² - 8q³³ + 60q³⁴ + 80q³⁵ + 21q³⁶ - 55q³⁷ - 88q³⁸ - 41q³⁹ + 51q⁴⁰ + 101q⁴¹ + 55q⁴² - 49q⁴³ - 111q⁴⁴ - 65q⁴⁵ + 45q⁴⁶ + 120q⁴⁷ + 83q⁴⁸ - 48q⁴⁹ - 137q⁵⁰ - 88q⁵¹ + 45q⁵² + 143q⁵³ + 111q⁵⁴ - 45q⁵⁵ - 160q⁵⁶ - 117q⁵⁷ + 35q⁵⁸ + 158q⁵⁹ + 137q⁶⁰ - 23q⁶¹ - 157q⁶² - 139q⁶³ + 4q⁶⁴ + 138q⁶⁵ + 143q⁶⁶ + 11q⁶⁷ - 115q⁶⁸ - 126q⁶⁹ - 28q⁷⁰ + 87q⁷¹ + 108q⁷² + 29q⁷³ - 58q⁷⁴ - 80q⁷⁵ - 29q⁷⁶ + 36q⁷⁷ + 55q⁷⁸ + 22q⁷⁹ - 23q⁸⁰ - 33q⁸¹ - 12q⁸² + 13q⁸³ + 16q⁸⁴ + 8q⁸⁵ - 8q⁸⁶ - 11q⁸⁷ + q⁸⁸ + 6q⁸⁹ + q⁹¹ - q⁹² - 4q⁹³ + 2q⁹⁴ + 3q⁹⁵ - 2q⁹⁶ + q⁹⁸ - 2q⁹⁹ + q¹⁰⁰

6 q^-30 - q^-29 - q^-28 + q^-25 + 5q^-23 - q^-22 - 4q^-21 - 3q^-20 - 3q^-19 - 2q^-17 + 14q^-16 + 6q^-15 + q^-14 - 4q^-13 - 9q^-12 - 11q^-11 - 19q^-10 + 15q^-9 + 12q^-8 + 18q^-7 + 13q^-6 + 5q^-5 - 12q^-4 - 44q^-3 - 8q^-2 - 12q^-1 + 15 + 26q + 43q² + 24q³ - 32q⁴ - 14q⁵ - 52q⁶ - 29q⁷ - 13q⁸ + 49q⁹ + 63q¹⁰ + 19q¹¹ + 39q¹² - 40q¹³ - 58q¹⁴ - 85q¹⁵ - 10q¹⁶ + 37q¹⁷ + 37q¹⁸ + 108q¹⁹ + 39q²⁰ - 9q²¹ - 108q²² - 75q²³ - 49q²⁴ - 29q²⁵ + 112q²⁶ + 114q²⁷ + 95q²⁸ - 47q²⁹ - 71q³⁰ - 118q³¹ - 139q³² + 29q³³ + 116q³⁴ + 178q³⁵ + 58q³⁶ + 12q³⁷ - 116q³⁸ - 224q³⁹ - 93q⁴⁰ + 44q⁴¹ + 197q⁴² + 144q⁴³ + 127q⁴⁴ - 51q⁴⁵ - 254q⁴⁶ - 199q⁴⁷ - 57q⁴⁸ + 161q⁴⁹ + 187q⁵⁰ + 229q⁵¹ + 35q⁵² - 242q⁵³ - 268q⁵⁴ - 144q⁵⁵ + 105q⁵⁶ + 200q⁵⁷ + 303q⁵⁸ + 109q⁵⁹ - 222q⁶⁰ - 315q⁶¹ - 204q⁶² + 65q⁶³ + 216q⁶⁴ + 356q⁶⁵ + 155q⁶⁶ - 221q⁶⁷ - 368q⁶⁸ - 250q⁶⁹ + 52q⁷⁰ + 256q⁷¹ + 413q⁷² + 192q⁷³ - 237q⁷⁴ - 437q⁷⁵ - 307q⁷⁶ + 36q⁷⁷ + 298q⁷⁸ + 477q⁷⁹ + 251q⁸⁰ - 223q⁸¹ - 483q⁸² - 376q⁸³ - 27q⁸⁴ + 280q⁸⁵ + 503q⁸⁶ + 324q⁸⁷ - 136q⁸⁸ - 437q⁸⁹ - 401q⁹⁰ - 118q⁹¹ + 175q⁹² + 432q⁹³ + 342q⁹⁴ - 22q⁹⁵ - 294q⁹⁶ - 327q⁹⁷ - 155q⁹⁸ + 50q⁹⁹ + 279q¹⁰⁰ + 264q¹⁰¹ + 34q¹⁰² - 144q¹⁰³ - 190q¹⁰⁴ - 107q¹⁰⁵ - 12q¹⁰⁶ + 135q¹⁰⁷ + 142q¹⁰⁸ + 20q¹⁰⁹ - 55q¹¹⁰ - 76q¹¹¹ - 40q¹¹² - 17q¹¹³ + 52q¹¹⁴ + 55q¹¹⁵ - 5q¹¹⁶ - 19q¹¹⁷ - 19q¹¹⁸ - 3q¹¹⁹ - 9q¹²⁰ + 16q¹²¹ + 15q¹²² - 11q¹²³ - 3q¹²⁴ - 2q¹²⁵ + 5q¹²⁶ - 5q¹²⁷ + 4q¹²⁸ + 3q¹²⁹ - 7q¹³⁰ + 2q¹³¹ + 3q¹³³ - 2q¹³⁴ + q¹³⁶ - 2q¹³⁷ + q¹³⁸

7 q^-42 - q^-41 - q^-40 + q^-37 + q^-35 + 4q^-34 - q^-33 - 4q^-32 - 3q^-31 - 4q^-30 + q^-29 + q^-27 + 13q^-26 + 7q^-25 + q^-24 - 4q^-23 - 13q^-22 - 8q^-21 - 12q^-20 - 13q^-19 + 14q^-18 + 18q^-17 + 22q^-16 + 21q^-15 - 2q^-14 - 4q^-13 - 23q^-12 - 46q^-11 - 21q^-10 - 11q^-9 + 15q^-8 + 47q^-7 + 35q^-6 + 46q^-5 + 22q^-4 - 36q^-3 - 41q^-2 - 70q^-1 - 60 - 5q + 13q² + 73q³ + 98q⁴ + 52q⁵ + 43q⁶ - 39q⁷ - 104q⁸ - 94q⁹ - 108q¹⁰ - 23q¹¹ + 66q¹² + 91q¹³ + 162q¹⁴ + 112q¹⁵ + 10q¹⁶ - 54q¹⁷ - 176q¹⁸ - 168q¹⁹ - 99q²⁰ - 49q²¹ + 126q²² + 202q²³ + 191q²⁴ + 153q²⁵ - 43q²⁶ - 158q²⁷ - 213q²⁸ - 271q²⁹ - 101q³⁰ + 71q³¹ + 212q³² + 336q³³ + 209q³⁴ + 66q³⁵ - 109q³⁶ - 351q³⁷ - 332q³⁸ - 214q³⁹ - 3q⁴⁰ + 304q⁴¹ + 371q⁴² + 346q⁴³ + 179q⁴⁴ - 200q⁴⁵ - 384q⁴⁶ - 454q⁴⁷ - 326q⁴⁸ + 65q⁴⁹ + 320q⁵⁰ + 507q⁵¹ + 483q⁵² + 100q⁵³ - 239q⁵⁴ - 527q⁵⁵ - 590q⁵⁶ - 252q⁵⁷ + 106q⁵⁸ + 494q⁵⁹ + 688q⁶⁰ + 406q⁶¹ + 16q⁶² - 445q⁶³ - 728q⁶⁴ - 533q⁶⁵ - 163q⁶⁶ + 367q⁶⁷ + 767q⁶⁸ + 648q⁶⁹ + 280q⁷⁰ - 288q⁷¹ - 770q⁷² - 734q⁷³ - 399q⁷⁴ + 207q⁷⁵ + 772q⁷⁶ + 808q⁷⁷ + 495q⁷⁸ - 144q⁷⁹ - 772q⁸⁰ - 865q⁸¹ - 564q⁸² + 94q⁸³ + 770q⁸⁴ + 920q⁸⁵ + 627q⁸⁶ - 71q⁸⁷ - 803q⁸⁸ - 969q⁸⁹ - 655q⁹⁰ + 68q⁹¹ + 828q⁹² + 1031q⁹³ + 707q⁹⁴ - 79q⁹⁵ - 900q⁹⁶ - 1108q⁹⁷ - 736q⁹⁸ + 91q⁹⁹ + 942q¹⁰⁰ + 1191q¹⁰¹ + 815q¹⁰² - 69q¹⁰³ - 999q¹⁰⁴ - 1286q¹⁰⁵ - 888q¹⁰⁶ + 24q¹⁰⁷ + 988q¹⁰⁸ + 1339q¹⁰⁹ + 999q¹¹⁰ + 85q¹¹¹ - 937q¹¹² - 1363q¹¹³ - 1082q¹¹⁴ - 211q¹¹⁵ + 807q¹¹⁶ + 1308q¹¹⁷ + 1131q¹¹⁸ + 349q¹¹⁹ - 631q¹²⁰ - 1177q¹²¹ - 1113q¹²² - 466q¹²³ + 439q¹²⁴ + 996q¹²⁵ + 1020q¹²⁶ + 507q¹²⁷ - 256q¹²⁸ - 766q¹²⁹ - 868q¹³⁰ - 503q¹³¹ + 119q¹³² + 562q¹³³ + 679q¹³⁴ + 427q¹³⁵ - 40q¹³⁶ - 374q¹³⁷ - 488q¹³⁸ - 328q¹³⁹ + 2q¹⁴⁰ + 233q¹⁴¹ + 332q¹⁴² + 226q¹⁴³ - 146q¹⁴⁵ - 203q¹⁴⁶ - 131q¹⁴⁷ + 4q¹⁴⁸ + 77q¹⁴⁹ + 119q¹⁵⁰ + 77q¹⁵¹ - 11q¹⁵² - 47q¹⁵³ - 66q¹⁵⁴ - 31q¹⁵⁵ + 17q¹⁵⁶ + 18q¹⁵⁷ + 29q¹⁵⁸ + 14q¹⁵⁹ - 9q¹⁶⁰ - 7q¹⁶¹ - 19q¹⁶² - 4q¹⁶³ + 13q¹⁶⁴ + q¹⁶⁵ + 2q¹⁶⁶ - 3q¹⁶⁸ + 5q¹⁶⁹ - 6q¹⁷⁰ - q¹⁷¹ + 6q¹⁷² - 3q¹⁷³ - q¹⁷⁴ + 3q¹⁷⁷ - 2q¹⁷⁸ + q¹⁸⁰ - 2q¹⁸¹ + q¹⁸²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 5]]

Out[2]=
PD[X[6, 2, 7, 1], X[8, 4, 9, 3], X[2, 8, 3, 7], X[14, 10, 15, 9], > X[12, 5, 13, 6], X[4, 13, 5, 14], X[16, 12, 1, 11], X[10, 16, 11, 15]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 5]]

Out[3]=
GaussCode[1, -3, 2, -6, 5, -1, 3, -2, 4, -8, 7, -5, 6, -4, 8, -7]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 5]]

Out[4]=
DTCode[6, 8, 12, 2, 14, 16, 4, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 5]]

Out[5]=
BR[3, {1, 1, 1, -2, 1, 1, 1, -2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 5]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 5]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 5]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 3, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 5]][t]

Out[10]=
-3 3 4 2 3 5 - t + -- - - - 4 t + 3 t - t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 5]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 - z - 3 z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 5], Knot[10, 141]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 5]], KnotSignature[Knot[8, 5]]}

Out[13]=
{21, 4}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 5]][q]

Out[14]=
2 3 4 5 6 7 8 1 - q + 3 q - 3 q + 3 q - 4 q + 3 q - 2 q + q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 5]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 5]][q]

Out[16]=
2 4 6 12 14 16 20 24 1 + q + 2 q + 2 q - 3 q - q - q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 5]][a, z]

Out[17]=
2 2 2 4 4 4 6 2 5 4 3 z 8 z 4 z z 5 z z z -- - -- + -- + ---- - ---- + ---- + -- - ---- + -- - -- 6 4 2 6 4 2 6 4 2 4 a a a a a a a a a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 5]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 2 2 3 -2 5 4 4 z 7 z 3 z z 2 z 4 z 15 z 8 z 2 z -- - -- - -- + --- + --- + --- + --- - ---- + ---- + ----- + ---- + ---- - 6 4 2 7 5 3 10 8 6 4 2 9 a a a a a a a a a a a a 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 8 z 10 z 3 z 7 z 15 z 5 z 4 z z 3 z 3 z > ---- - ----- + ---- - ---- - ----- - ---- + ---- + -- - ---- + ---- + 7 5 8 6 4 2 7 5 3 6 a a a a a a a a a a 6 6 7 7 4 z z z z > ---- + -- + -- + -- 4 2 5 3 a a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 5]], Vassiliev[3][Knot[8, 5]]}

Out[19]=
{-1, -3}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 5]][q, t]

Out[20]=
3 3 5 1 q 5 7 7 2 9 2 9 3 11 3 3 q + q + ---- + -- + q t + 2 q t + 2 q t + q t + 2 q t + 2 q t + 2 t q t 11 4 13 4 13 5 15 5 17 6 > q t + 2 q t + q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 5], 2][q]

Out[21]=
-2 1 2 3 4 6 7 8 9 10 -1 + q - - + 4 q - q - 5 q + 7 q - 9 q + 8 q + 3 q - 12 q + 7 q + q 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > 6 q - 12 q + 5 q + 7 q - 10 q + 3 q + 5 q - 6 q + 2 q + 20 21 22 > q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₅

8₄
8₆

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-2 - q^-1 - 1 + 4q - q² - 5q³ + 7q⁴ - 9q⁶ + 8q⁷ + 3q⁸ - 12q⁹ + 7q¹⁰ + 6q¹¹ - 12q¹² + 5q¹³ + 7q¹⁴ - 10q¹⁵ + 3q¹⁶ + 5q¹⁷ - 6q¹⁸ + 2q¹⁹ + q²⁰ - 2q²¹ + q²²
3	q^-6 - q^-5 - q^-4 + 4q^-2 - 4 - 4q + 7q² + 5q³ - 4q⁴ - 11q⁵ + 6q⁶ + 9q⁷ + q⁸ - 14q⁹ + 11q¹¹ + 6q¹² - 13q¹³ - 6q¹⁴ + 9q¹⁵ + 10q¹⁶ - 8q¹⁷ - 12q¹⁸ + 6q¹⁹ + 13q²⁰ - q²¹ - 17q²² + 15q²⁴ + 5q²⁵ - 17q²⁶ - 4q²⁷ + 13q²⁸ + 6q²⁹ - 11q³⁰ - 4q³¹ + 7q³² + 2q³³ - 4q³⁴ + 2q³⁶ - q³⁷ + q⁴⁰ - 2q⁴¹ + q⁴²
4	q^-12 - q^-11 - q^-10 + 5q^-7 - q^-6 - 3q^-5 - 3q^-4 - 5q^-3 + 11q^-2 + 4q^-1 + 1 - 6q - 17q² + 10q³ + 6q⁴ + 12q⁵ + 2q⁶ - 26q⁷ + 3q⁸ - 4q⁹ + 18q¹⁰ + 18q¹¹ - 23q¹² + q¹³ - 21q¹⁴ + 11q¹⁵ + 28q¹⁶ - 14q¹⁷ + 11q¹⁸ - 32q¹⁹ - 4q²⁰ + 27q²¹ - 4q²² + 25q²³ - 36q²⁴ - 17q²⁵ + 20q²⁶ + 3q²⁷ + 40q²⁸ - 37q²⁹ - 30q³⁰ + 12q³¹ + 12q³² + 54q³³ - 38q³⁴ - 44q³⁵ + 4q³⁶ + 21q³⁷ + 65q³⁸ - 33q³⁹ - 55q⁴⁰ - 7q⁴¹ + 21q⁴² + 68q⁴³ - 20q⁴⁴ - 49q⁴⁵ - 15q⁴⁶ + 9q⁴⁷ + 56q⁴⁸ - 7q⁴⁹ - 29q⁵⁰ - 12q⁵¹ - 3q⁵² + 32q⁵³ - 3q⁵⁴ - 10q⁵⁵ - 2q⁵⁶ - 7q⁵⁷ + 14q⁵⁸ - 3q⁵⁹ - 3q⁶⁰ + 2q⁶¹ - 4q⁶² + 5q⁶³ - 2q⁶⁴ + q⁶⁶ - 2q⁶⁷ + q⁶⁸
5	q^-20 - q^-19 - q^-18 + q^-15 + 4q^-14 - 4q^-12 - 3q^-11 - 3q^-10 - q^-9 + 9q^-8 + 8q^-7 + q^-6 - 5q^-5 - 11q^-4 - 13q^-3 + 4q^-2 + 13q^-1 + 15 + 9q - 7q² - 24q³ - 14q⁴ - 2q⁵ + 13q⁶ + 28q⁷ + 17q⁸ - 12q⁹ - 19q¹⁰ - 26q¹¹ - 15q¹² + 20q¹³ + 36q¹⁴ + 18q¹⁵ + 3q¹⁶ - 26q¹⁷ - 44q¹⁸ - 15q¹⁹ + 21q²⁰ + 35q²¹ + 39q²² + 5q²³ - 45q²⁴ - 49q²⁵ - 19q²⁶ + 23q²⁷ + 61q²⁸ + 46q²⁹ - 17q³⁰ - 61q³¹ - 59q³² - 8q³³ + 60q³⁴ + 80q³⁵ + 21q³⁶ - 55q³⁷ - 88q³⁸ - 41q³⁹ + 51q⁴⁰ + 101q⁴¹ + 55q⁴² - 49q⁴³ - 111q⁴⁴ - 65q⁴⁵ + 45q⁴⁶ + 120q⁴⁷ + 83q⁴⁸ - 48q⁴⁹ - 137q⁵⁰ - 88q⁵¹ + 45q⁵² + 143q⁵³ + 111q⁵⁴ - 45q⁵⁵ - 160q⁵⁶ - 117q⁵⁷ + 35q⁵⁸ + 158q⁵⁹ + 137q⁶⁰ - 23q⁶¹ - 157q⁶² - 139q⁶³ + 4q⁶⁴ + 138q⁶⁵ + 143q⁶⁶ + 11q⁶⁷ - 115q⁶⁸ - 126q⁶⁹ - 28q⁷⁰ + 87q⁷¹ + 108q⁷² + 29q⁷³ - 58q⁷⁴ - 80q⁷⁵ - 29q⁷⁶ + 36q⁷⁷ + 55q⁷⁸ + 22q⁷⁹ - 23q⁸⁰ - 33q⁸¹ - 12q⁸² + 13q⁸³ + 16q⁸⁴ + 8q⁸⁵ - 8q⁸⁶ - 11q⁸⁷ + q⁸⁸ + 6q⁸⁹ + q⁹¹ - q⁹² - 4q⁹³ + 2q⁹⁴ + 3q⁹⁵ - 2q⁹⁶ + q⁹⁸ - 2q⁹⁹ + q¹⁰⁰
6	q^-30 - q^-29 - q^-28 + q^-25 + 5q^-23 - q^-22 - 4q^-21 - 3q^-20 - 3q^-19 - 2q^-17 + 14q^-16 + 6q^-15 + q^-14 - 4q^-13 - 9q^-12 - 11q^-11 - 19q^-10 + 15q^-9 + 12q^-8 + 18q^-7 + 13q^-6 + 5q^-5 - 12q^-4 - 44q^-3 - 8q^-2 - 12q^-1 + 15 + 26q + 43q² + 24q³ - 32q⁴ - 14q⁵ - 52q⁶ - 29q⁷ - 13q⁸ + 49q⁹ + 63q¹⁰ + 19q¹¹ + 39q¹² - 40q¹³ - 58q¹⁴ - 85q¹⁵ - 10q¹⁶ + 37q¹⁷ + 37q¹⁸ + 108q¹⁹ + 39q²⁰ - 9q²¹ - 108q²² - 75q²³ - 49q²⁴ - 29q²⁵ + 112q²⁶ + 114q²⁷ + 95q²⁸ - 47q²⁹ - 71q³⁰ - 118q³¹ - 139q³² + 29q³³ + 116q³⁴ + 178q³⁵ + 58q³⁶ + 12q³⁷ - 116q³⁸ - 224q³⁹ - 93q⁴⁰ + 44q⁴¹ + 197q⁴² + 144q⁴³ + 127q⁴⁴ - 51q⁴⁵ - 254q⁴⁶ - 199q⁴⁷ - 57q⁴⁸ + 161q⁴⁹ + 187q⁵⁰ + 229q⁵¹ + 35q⁵² - 242q⁵³ - 268q⁵⁴ - 144q⁵⁵ + 105q⁵⁶ + 200q⁵⁷ + 303q⁵⁸ + 109q⁵⁹ - 222q⁶⁰ - 315q⁶¹ - 204q⁶² + 65q⁶³ + 216q⁶⁴ + 356q⁶⁵ + 155q⁶⁶ - 221q⁶⁷ - 368q⁶⁸ - 250q⁶⁹ + 52q⁷⁰ + 256q⁷¹ + 413q⁷² + 192q⁷³ - 237q⁷⁴ - 437q⁷⁵ - 307q⁷⁶ + 36q⁷⁷ + 298q⁷⁸ + 477q⁷⁹ + 251q⁸⁰ - 223q⁸¹ - 483q⁸² - 376q⁸³ - 27q⁸⁴ + 280q⁸⁵ + 503q⁸⁶ + 324q⁸⁷ - 136q⁸⁸ - 437q⁸⁹ - 401q⁹⁰ - 118q⁹¹ + 175q⁹² + 432q⁹³ + 342q⁹⁴ - 22q⁹⁵ - 294q⁹⁶ - 327q⁹⁷ - 155q⁹⁸ + 50q⁹⁹ + 279q¹⁰⁰ + 264q¹⁰¹ + 34q¹⁰² - 144q¹⁰³ - 190q¹⁰⁴ - 107q¹⁰⁵ - 12q¹⁰⁶ + 135q¹⁰⁷ + 142q¹⁰⁸ + 20q¹⁰⁹ - 55q¹¹⁰ - 76q¹¹¹ - 40q¹¹² - 17q¹¹³ + 52q¹¹⁴ + 55q¹¹⁵ - 5q¹¹⁶ - 19q¹¹⁷ - 19q¹¹⁸ - 3q¹¹⁹ - 9q¹²⁰ + 16q¹²¹ + 15q¹²² - 11q¹²³ - 3q¹²⁴ - 2q¹²⁵ + 5q¹²⁶ - 5q¹²⁷ + 4q¹²⁸ + 3q¹²⁹ - 7q¹³⁰ + 2q¹³¹ + 3q¹³³ - 2q¹³⁴ + q¹³⁶ - 2q¹³⁷ + q¹³⁸
7	q^-42 - q^-41 - q^-40 + q^-37 + q^-35 + 4q^-34 - q^-33 - 4q^-32 - 3q^-31 - 4q^-30 + q^-29 + q^-27 + 13q^-26 + 7q^-25 + q^-24 - 4q^-23 - 13q^-22 - 8q^-21 - 12q^-20 - 13q^-19 + 14q^-18 + 18q^-17 + 22q^-16 + 21q^-15 - 2q^-14 - 4q^-13 - 23q^-12 - 46q^-11 - 21q^-10 - 11q^-9 + 15q^-8 + 47q^-7 + 35q^-6 + 46q^-5 + 22q^-4 - 36q^-3 - 41q^-2 - 70q^-1 - 60 - 5q + 13q² + 73q³ + 98q⁴ + 52q⁵ + 43q⁶ - 39q⁷ - 104q⁸ - 94q⁹ - 108q¹⁰ - 23q¹¹ + 66q¹² + 91q¹³ + 162q¹⁴ + 112q¹⁵ + 10q¹⁶ - 54q¹⁷ - 176q¹⁸ - 168q¹⁹ - 99q²⁰ - 49q²¹ + 126q²² + 202q²³ + 191q²⁴ + 153q²⁵ - 43q²⁶ - 158q²⁷ - 213q²⁸ - 271q²⁹ - 101q³⁰ + 71q³¹ + 212q³² + 336q³³ + 209q³⁴ + 66q³⁵ - 109q³⁶ - 351q³⁷ - 332q³⁸ - 214q³⁹ - 3q⁴⁰ + 304q⁴¹ + 371q⁴² + 346q⁴³ + 179q⁴⁴ - 200q⁴⁵ - 384q⁴⁶ - 454q⁴⁷ - 326q⁴⁸ + 65q⁴⁹ + 320q⁵⁰ + 507q⁵¹ + 483q⁵² + 100q⁵³ - 239q⁵⁴ - 527q⁵⁵ - 590q⁵⁶ - 252q⁵⁷ + 106q⁵⁸ + 494q⁵⁹ + 688q⁶⁰ + 406q⁶¹ + 16q⁶² - 445q⁶³ - 728q⁶⁴ - 533q⁶⁵ - 163q⁶⁶ + 367q⁶⁷ + 767q⁶⁸ + 648q⁶⁹ + 280q⁷⁰ - 288q⁷¹ - 770q⁷² - 734q⁷³ - 399q⁷⁴ + 207q⁷⁵ + 772q⁷⁶ + 808q⁷⁷ + 495q⁷⁸ - 144q⁷⁹ - 772q⁸⁰ - 865q⁸¹ - 564q⁸² + 94q⁸³ + 770q⁸⁴ + 920q⁸⁵ + 627q⁸⁶ - 71q⁸⁷ - 803q⁸⁸ - 969q⁸⁹ - 655q⁹⁰ + 68q⁹¹ + 828q⁹² + 1031q⁹³ + 707q⁹⁴ - 79q⁹⁵ - 900q⁹⁶ - 1108q⁹⁷ - 736q⁹⁸ + 91q⁹⁹ + 942q¹⁰⁰ + 1191q¹⁰¹ + 815q¹⁰² - 69q¹⁰³ - 999q¹⁰⁴ - 1286q¹⁰⁵ - 888q¹⁰⁶ + 24q¹⁰⁷ + 988q¹⁰⁸ + 1339q¹⁰⁹ + 999q¹¹⁰ + 85q¹¹¹ - 937q¹¹² - 1363q¹¹³ - 1082q¹¹⁴ - 211q¹¹⁵ + 807q¹¹⁶ + 1308q¹¹⁷ + 1131q¹¹⁸ + 349q¹¹⁹ - 631q¹²⁰ - 1177q¹²¹ - 1113q¹²² - 466q¹²³ + 439q¹²⁴ + 996q¹²⁵ + 1020q¹²⁶ + 507q¹²⁷ - 256q¹²⁸ - 766q¹²⁹ - 868q¹³⁰ - 503q¹³¹ + 119q¹³² + 562q¹³³ + 679q¹³⁴ + 427q¹³⁵ - 40q¹³⁶ - 374q¹³⁷ - 488q¹³⁸ - 328q¹³⁹ + 2q¹⁴⁰ + 233q¹⁴¹ + 332q¹⁴² + 226q¹⁴³ - 146q¹⁴⁵ - 203q¹⁴⁶ - 131q¹⁴⁷ + 4q¹⁴⁸ + 77q¹⁴⁹ + 119q¹⁵⁰ + 77q¹⁵¹ - 11q¹⁵² - 47q¹⁵³ - 66q¹⁵⁴ - 31q¹⁵⁵ + 17q¹⁵⁶ + 18q¹⁵⁷ + 29q¹⁵⁸ + 14q¹⁵⁹ - 9q¹⁶⁰ - 7q¹⁶¹ - 19q¹⁶² - 4q¹⁶³ + 13q¹⁶⁴ + q¹⁶⁵ + 2q¹⁶⁶ - 3q¹⁶⁸ + 5q¹⁶⁹ - 6q¹⁷⁰ - q¹⁷¹ + 6q¹⁷² - 3q¹⁷³ - q¹⁷⁴ + 3q¹⁷⁷ - 2q¹⁷⁸ + q¹⁸⁰ - 2q¹⁸¹ + q¹⁸²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 5]]
Out[2]=	PD[X[6, 2, 7, 1], X[8, 4, 9, 3], X[2, 8, 3, 7], X[14, 10, 15, 9], > X[12, 5, 13, 6], X[4, 13, 5, 14], X[16, 12, 1, 11], X[10, 16, 11, 15]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 5]]
Out[3]=	GaussCode[1, -3, 2, -6, 5, -1, 3, -2, 4, -8, 7, -5, 6, -4, 8, -7]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 5]]
Out[4]=	DTCode[6, 8, 12, 2, 14, 16, 4, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 5]]
Out[5]=	BR[3, {1, 1, 1, -2, 1, 1, 1, -2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 5]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 5]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 5]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 3, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 5]][t]
Out[10]=	-3 3 4 2 3 5 - t + -- - - - 4 t + 3 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 5]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 - z - 3 z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 5], Knot[10, 141]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 5]], KnotSignature[Knot[8, 5]]}
Out[13]=	{21, 4}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 5]][q]
Out[14]=	2 3 4 5 6 7 8 1 - q + 3 q - 3 q + 3 q - 4 q + 3 q - 2 q + q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 5]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 5]][q]
Out[16]=	2 4 6 12 14 16 20 24 1 + q + 2 q + 2 q - 3 q - q - q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 5]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 4 4 4 6 2 5 4 3 z 8 z 4 z z 5 z z z -- - -- + -- + ---- - ---- + ---- + -- - ---- + -- - -- 6 4 2 6 4 2 6 4 2 4 a a a a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 5]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 2 3 -2 5 4 4 z 7 z 3 z z 2 z 4 z 15 z 8 z 2 z -- - -- - -- + --- + --- + --- + --- - ---- + ---- + ----- + ---- + ---- - 6 4 2 7 5 3 10 8 6 4 2 9 a a a a a a a a a a a a 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 8 z 10 z 3 z 7 z 15 z 5 z 4 z z 3 z 3 z > ---- - ----- + ---- - ---- - ----- - ---- + ---- + -- - ---- + ---- + 7 5 8 6 4 2 7 5 3 6 a a a a a a a a a a 6 6 7 7 4 z z z z > ---- + -- + -- + -- 4 2 5 3 a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 5]], Vassiliev[3][Knot[8, 5]]}
Out[19]=	{-1, -3}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 5]][q, t]
Out[20]=	3 3 5 1 q 5 7 7 2 9 2 9 3 11 3 3 q + q + ---- + -- + q t + 2 q t + 2 q t + q t + 2 q t + 2 q t + 2 t q t 11 4 13 4 13 5 15 5 17 6 > q t + 2 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 5], 2][q]
Out[21]=	-2 1 2 3 4 6 7 8 9 10 -1 + q - - + 4 q - q - 5 q + 7 q - 9 q + 8 q + 3 q - 12 q + 7 q + q 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > 6 q - 12 q + 5 q + 7 q - 10 q + 3 q + 5 q - 6 q + 2 q + 20 21 22 > q - 2 q + q

The Alternating Knot 85

The Alternating Knot 8₅