© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: |
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The Alternating Knot 85Visit 85's page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!) |
![]() KnotPlot |
PD Presentation: | X6271 X8493 X2837 X14,10,15,9 X12,5,13,6 X4,13,5,14 X16,12,1,11 X10,16,11,15 |
Gauss Code: | {1, -3, 2, -6, 5, -1, 3, -2, 4, -8, 7, -5, 6, -4, 8, -7} |
DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: | 6 8 12 2 14 16 4 10 |
Minimum Braid Representative:
Length is 8, width is 3 Braid index is 3 |
A Morse Link Presentation:
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3D Invariants: |
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Alexander Polynomial: | - t-3 + 3t-2 - 4t-1 + 5 - 4t + 3t2 - t3 |
Conway Polynomial: | 1 - z2 - 3z4 - z6 |
Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: | {10141, ...} |
Determinant and Signature: | {21, 4} |
Jones Polynomial: | 1 - q + 3q2 - 3q3 + 3q4 - 4q5 + 3q6 - 2q7 + q8 |
Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: | {...} |
A2 (sl(3)) Invariant: | 1 + q2 + 2q4 + 2q6 - 3q12 - q14 - q16 + q20 + q24 |
HOMFLY-PT Polynomial: | 2a-6 + 3a-6z2 + a-6z4 - 5a-4 - 8a-4z2 - 5a-4z4 - a-4z6 + 4a-2 + 4a-2z2 + a-2z4 |
Kauffman Polynomial: | a-10z2 + 2a-9z3 - 2a-8z2 + 3a-8z4 + 4a-7z - 8a-7z3 + 4a-7z5 - 2a-6 + 4a-6z2 - 7a-6z4 + 3a-6z6 + 7a-5z - 10a-5z3 + a-5z5 + a-5z7 - 5a-4 + 15a-4z2 - 15a-4z4 + 4a-4z6 + 3a-3z - 3a-3z5 + a-3z7 - 4a-2 + 8a-2z2 - 5a-2z4 + a-2z6 |
V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: | {-1, -3} |
Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=4 is the signature of 85. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) |
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n | Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2)) |
2 | q-2 - q-1 - 1 + 4q - q2 - 5q3 + 7q4 - 9q6 + 8q7 + 3q8 - 12q9 + 7q10 + 6q11 - 12q12 + 5q13 + 7q14 - 10q15 + 3q16 + 5q17 - 6q18 + 2q19 + q20 - 2q21 + q22 |
3 | q-6 - q-5 - q-4 + 4q-2 - 4 - 4q + 7q2 + 5q3 - 4q4 - 11q5 + 6q6 + 9q7 + q8 - 14q9 + 11q11 + 6q12 - 13q13 - 6q14 + 9q15 + 10q16 - 8q17 - 12q18 + 6q19 + 13q20 - q21 - 17q22 + 15q24 + 5q25 - 17q26 - 4q27 + 13q28 + 6q29 - 11q30 - 4q31 + 7q32 + 2q33 - 4q34 + 2q36 - q37 + q40 - 2q41 + q42 |
4 | q-12 - q-11 - q-10 + 5q-7 - q-6 - 3q-5 - 3q-4 - 5q-3 + 11q-2 + 4q-1 + 1 - 6q - 17q2 + 10q3 + 6q4 + 12q5 + 2q6 - 26q7 + 3q8 - 4q9 + 18q10 + 18q11 - 23q12 + q13 - 21q14 + 11q15 + 28q16 - 14q17 + 11q18 - 32q19 - 4q20 + 27q21 - 4q22 + 25q23 - 36q24 - 17q25 + 20q26 + 3q27 + 40q28 - 37q29 - 30q30 + 12q31 + 12q32 + 54q33 - 38q34 - 44q35 + 4q36 + 21q37 + 65q38 - 33q39 - 55q40 - 7q41 + 21q42 + 68q43 - 20q44 - 49q45 - 15q46 + 9q47 + 56q48 - 7q49 - 29q50 - 12q51 - 3q52 + 32q53 - 3q54 - 10q55 - 2q56 - 7q57 + 14q58 - 3q59 - 3q60 + 2q61 - 4q62 + 5q63 - 2q64 + q66 - 2q67 + q68 |
5 | q-20 - q-19 - q-18 + q-15 + 4q-14 - 4q-12 - 3q-11 - 3q-10 - q-9 + 9q-8 + 8q-7 + q-6 - 5q-5 - 11q-4 - 13q-3 + 4q-2 + 13q-1 + 15 + 9q - 7q2 - 24q3 - 14q4 - 2q5 + 13q6 + 28q7 + 17q8 - 12q9 - 19q10 - 26q11 - 15q12 + 20q13 + 36q14 + 18q15 + 3q16 - 26q17 - 44q18 - 15q19 + 21q20 + 35q21 + 39q22 + 5q23 - 45q24 - 49q25 - 19q26 + 23q27 + 61q28 + 46q29 - 17q30 - 61q31 - 59q32 - 8q33 + 60q34 + 80q35 + 21q36 - 55q37 - 88q38 - 41q39 + 51q40 + 101q41 + 55q42 - 49q43 - 111q44 - 65q45 + 45q46 + 120q47 + 83q48 - 48q49 - 137q50 - 88q51 + 45q52 + 143q53 + 111q54 - 45q55 - 160q56 - 117q57 + 35q58 + 158q59 + 137q60 - 23q61 - 157q62 - 139q63 + 4q64 + 138q65 + 143q66 + 11q67 - 115q68 - 126q69 - 28q70 + 87q71 + 108q72 + 29q73 - 58q74 - 80q75 - 29q76 + 36q77 + 55q78 + 22q79 - 23q80 - 33q81 - 12q82 + 13q83 + 16q84 + 8q85 - 8q86 - 11q87 + q88 + 6q89 + q91 - q92 - 4q93 + 2q94 + 3q95 - 2q96 + q98 - 2q99 + q100 |
6 | q-30 - q-29 - q-28 + q-25 + 5q-23 - q-22 - 4q-21 - 3q-20 - 3q-19 - 2q-17 + 14q-16 + 6q-15 + q-14 - 4q-13 - 9q-12 - 11q-11 - 19q-10 + 15q-9 + 12q-8 + 18q-7 + 13q-6 + 5q-5 - 12q-4 - 44q-3 - 8q-2 - 12q-1 + 15 + 26q + 43q2 + 24q3 - 32q4 - 14q5 - 52q6 - 29q7 - 13q8 + 49q9 + 63q10 + 19q11 + 39q12 - 40q13 - 58q14 - 85q15 - 10q16 + 37q17 + 37q18 + 108q19 + 39q20 - 9q21 - 108q22 - 75q23 - 49q24 - 29q25 + 112q26 + 114q27 + 95q28 - 47q29 - 71q30 - 118q31 - 139q32 + 29q33 + 116q34 + 178q35 + 58q36 + 12q37 - 116q38 - 224q39 - 93q40 + 44q41 + 197q42 + 144q43 + 127q44 - 51q45 - 254q46 - 199q47 - 57q48 + 161q49 + 187q50 + 229q51 + 35q52 - 242q53 - 268q54 - 144q55 + 105q56 + 200q57 + 303q58 + 109q59 - 222q60 - 315q61 - 204q62 + 65q63 + 216q64 + 356q65 + 155q66 - 221q67 - 368q68 - 250q69 + 52q70 + 256q71 + 413q72 + 192q73 - 237q74 - 437q75 - 307q76 + 36q77 + 298q78 + 477q79 + 251q80 - 223q81 - 483q82 - 376q83 - 27q84 + 280q85 + 503q86 + 324q87 - 136q88 - 437q89 - 401q90 - 118q91 + 175q92 + 432q93 + 342q94 - 22q95 - 294q96 - 327q97 - 155q98 + 50q99 + 279q100 + 264q101 + 34q102 - 144q103 - 190q104 - 107q105 - 12q106 + 135q107 + 142q108 + 20q109 - 55q110 - 76q111 - 40q112 - 17q113 + 52q114 + 55q115 - 5q116 - 19q117 - 19q118 - 3q119 - 9q120 + 16q121 + 15q122 - 11q123 - 3q124 - 2q125 + 5q126 - 5q127 + 4q128 + 3q129 - 7q130 + 2q131 + 3q133 - 2q134 + q136 - 2q137 + q138 |
7 | q-42 - q-41 - q-40 + q-37 + q-35 + 4q-34 - q-33 - 4q-32 - 3q-31 - 4q-30 + q-29 + q-27 + 13q-26 + 7q-25 + q-24 - 4q-23 - 13q-22 - 8q-21 - 12q-20 - 13q-19 + 14q-18 + 18q-17 + 22q-16 + 21q-15 - 2q-14 - 4q-13 - 23q-12 - 46q-11 - 21q-10 - 11q-9 + 15q-8 + 47q-7 + 35q-6 + 46q-5 + 22q-4 - 36q-3 - 41q-2 - 70q-1 - 60 - 5q + 13q2 + 73q3 + 98q4 + 52q5 + 43q6 - 39q7 - 104q8 - 94q9 - 108q10 - 23q11 + 66q12 + 91q13 + 162q14 + 112q15 + 10q16 - 54q17 - 176q18 - 168q19 - 99q20 - 49q21 + 126q22 + 202q23 + 191q24 + 153q25 - 43q26 - 158q27 - 213q28 - 271q29 - 101q30 + 71q31 + 212q32 + 336q33 + 209q34 + 66q35 - 109q36 - 351q37 - 332q38 - 214q39 - 3q40 + 304q41 + 371q42 + 346q43 + 179q44 - 200q45 - 384q46 - 454q47 - 326q48 + 65q49 + 320q50 + 507q51 + 483q52 + 100q53 - 239q54 - 527q55 - 590q56 - 252q57 + 106q58 + 494q59 + 688q60 + 406q61 + 16q62 - 445q63 - 728q64 - 533q65 - 163q66 + 367q67 + 767q68 + 648q69 + 280q70 - 288q71 - 770q72 - 734q73 - 399q74 + 207q75 + 772q76 + 808q77 + 495q78 - 144q79 - 772q80 - 865q81 - 564q82 + 94q83 + 770q84 + 920q85 + 627q86 - 71q87 - 803q88 - 969q89 - 655q90 + 68q91 + 828q92 + 1031q93 + 707q94 - 79q95 - 900q96 - 1108q97 - 736q98 + 91q99 + 942q100 + 1191q101 + 815q102 - 69q103 - 999q104 - 1286q105 - 888q106 + 24q107 + 988q108 + 1339q109 + 999q110 + 85q111 - 937q112 - 1363q113 - 1082q114 - 211q115 + 807q116 + 1308q117 + 1131q118 + 349q119 - 631q120 - 1177q121 - 1113q122 - 466q123 + 439q124 + 996q125 + 1020q126 + 507q127 - 256q128 - 766q129 - 868q130 - 503q131 + 119q132 + 562q133 + 679q134 + 427q135 - 40q136 - 374q137 - 488q138 - 328q139 + 2q140 + 233q141 + 332q142 + 226q143 - 146q145 - 203q146 - 131q147 + 4q148 + 77q149 + 119q150 + 77q151 - 11q152 - 47q153 - 66q154 - 31q155 + 17q156 + 18q157 + 29q158 + 14q159 - 9q160 - 7q161 - 19q162 - 4q163 + 13q164 + q165 + 2q166 - 3q168 + 5q169 - 6q170 - q171 + 6q172 - 3q173 - q174 + 3q177 - 2q178 + q180 - 2q181 + q182 |
Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):
In[1]:= |
<< KnotTheory` |
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)... | |
In[2]:= | PD[Knot[8, 5]] |
Out[2]= | PD[X[6, 2, 7, 1], X[8, 4, 9, 3], X[2, 8, 3, 7], X[14, 10, 15, 9], > X[12, 5, 13, 6], X[4, 13, 5, 14], X[16, 12, 1, 11], X[10, 16, 11, 15]] |
In[3]:= | GaussCode[Knot[8, 5]] |
Out[3]= | GaussCode[1, -3, 2, -6, 5, -1, 3, -2, 4, -8, 7, -5, 6, -4, 8, -7] |
In[4]:= | DTCode[Knot[8, 5]] |
Out[4]= | DTCode[6, 8, 12, 2, 14, 16, 4, 10] |
In[5]:= | br = BR[Knot[8, 5]] |
Out[5]= | BR[3, {1, 1, 1, -2, 1, 1, 1, -2}] |
In[6]:= | {First[br], Crossings[br]} |
Out[6]= | {3, 8} |
In[7]:= | BraidIndex[Knot[8, 5]] |
Out[7]= | 3 |
In[8]:= | Show[DrawMorseLink[Knot[8, 5]]] |
![]() | |
Out[8]= | -Graphics- |
In[9]:= | #[Knot[8, 5]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex} |
Out[9]= | {Reversible, 2, 3, 3, {4, 6}, 1} |
In[10]:= | alex = Alexander[Knot[8, 5]][t] |
Out[10]= | -3 3 4 2 3 5 - t + -- - - - 4 t + 3 t - t 2 t t |
In[11]:= | Conway[Knot[8, 5]][z] |
Out[11]= | 2 4 6 1 - z - 3 z - z |
In[12]:= | Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&] |
Out[12]= | {Knot[8, 5], Knot[10, 141]} |
In[13]:= | {KnotDet[Knot[8, 5]], KnotSignature[Knot[8, 5]]} |
Out[13]= | {21, 4} |
In[14]:= | Jones[Knot[8, 5]][q] |
Out[14]= | 2 3 4 5 6 7 8 1 - q + 3 q - 3 q + 3 q - 4 q + 3 q - 2 q + q |
In[15]:= | Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&] |
Out[15]= | {Knot[8, 5]} |
In[16]:= | A2Invariant[Knot[8, 5]][q] |
Out[16]= | 2 4 6 12 14 16 20 24 1 + q + 2 q + 2 q - 3 q - q - q + q + q |
In[17]:= | HOMFLYPT[Knot[8, 5]][a, z] |
Out[17]= | 2 2 2 4 4 4 6 2 5 4 3 z 8 z 4 z z 5 z z z -- - -- + -- + ---- - ---- + ---- + -- - ---- + -- - -- 6 4 2 6 4 2 6 4 2 4 a a a a a a a a a a |
In[18]:= | Kauffman[Knot[8, 5]][a, z] |
Out[18]= | 2 2 2 2 2 3 -2 5 4 4 z 7 z 3 z z 2 z 4 z 15 z 8 z 2 z -- - -- - -- + --- + --- + --- + --- - ---- + ---- + ----- + ---- + ---- - 6 4 2 7 5 3 10 8 6 4 2 9 a a a a a a a a a a a a 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 8 z 10 z 3 z 7 z 15 z 5 z 4 z z 3 z 3 z > ---- - ----- + ---- - ---- - ----- - ---- + ---- + -- - ---- + ---- + 7 5 8 6 4 2 7 5 3 6 a a a a a a a a a a 6 6 7 7 4 z z z z > ---- + -- + -- + -- 4 2 5 3 a a a a |
In[19]:= | {Vassiliev[2][Knot[8, 5]], Vassiliev[3][Knot[8, 5]]} |
Out[19]= | {-1, -3} |
In[20]:= | Kh[Knot[8, 5]][q, t] |
Out[20]= | 3 3 5 1 q 5 7 7 2 9 2 9 3 11 3 3 q + q + ---- + -- + q t + 2 q t + 2 q t + q t + 2 q t + 2 q t + 2 t q t 11 4 13 4 13 5 15 5 17 6 > q t + 2 q t + q t + q t + q t |
In[21]:= | ColouredJones[Knot[8, 5], 2][q] |
Out[21]= | -2 1 2 3 4 6 7 8 9 10 -1 + q - - + 4 q - q - 5 q + 7 q - 9 q + 8 q + 3 q - 12 q + 7 q + q 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > 6 q - 12 q + 5 q + 7 q - 10 q + 3 q + 5 q - 6 q + 2 q + 20 21 22 > q - 2 q + q |
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