The Alternating Knot 8₄

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₆₂₇₁ X_14,10,15,9 X_10,3,11,4 X_2,13,3,14 X_12,5,13,6 X_16,8,1,7 X_4,11,5,12 X_8,16,9,15

Gauss Code: {1, -4, 3, -7, 5, -1, 6, -8, 2, -3, 7, -5, 4, -2, 8, -6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 10 12 16 14 4 2 8

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 2 2 / 3--5 1

Alexander Polynomial: - 2t^-2 + 5t^-1 - 5 + 5t - 2t²

Conway Polynomial: 1 - 3z² - 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {19, -2}

Jones Polynomial: q^-5 - 2q^-4 + 3q^-3 - 3q^-2 + 3q^-1 - 3 + 2q - q² + q³

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-16 + q^-10 + q^-6 - q^-4 - q^-2 - 1 - q² + q⁴ + q⁶ + q⁸ + q¹⁰

HOMFLY-PT Polynomial: 2a^-2 + a^-2z² - 2 - 3z² - z⁴ - 2a²z² - a²z⁴ + a⁴ + a⁴z²

Kauffman Polynomial: - 2a^-2 + 7a^-2z² - 5a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - a^-1z + 4a^-1z³ - 4a^-1z⁵ + a^-1z⁷ - 2 + 10z² - 11z⁴ + 3z⁶ + az - 3az³ - az⁵ + az⁷ - a²z² - 3a²z⁴ + 2a²z⁶ + 2a³z - 5a³z³ + 3a³z⁵ + a⁴ - 3a⁴z² + 3a⁴z⁴ + 2a⁵z³ + a⁶z²

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-3, 1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 8₄. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 7 1

j = 5

j = 3 2 1

j = 1 1

j = -1 2 2

j = -3 2 2

j = -5 1 1

j = -7 1 2

j = -9 1

j = -11 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-14 - 2q^-13 + q^-12 + 3q^-11 - 6q^-10 + 3q^-9 + 4q^-8 - 9q^-7 + 5q^-6 + 5q^-5 - 10q^-4 + 4q^-3 + 7q^-2 - 9q^-1 + 2 + 7q - 7q² + 5q⁴ - 4q⁵ - q⁶ + 3q⁷ - q⁸ - q⁹ + q¹⁰

3 q^-27 - 2q^-26 + q^-25 + q^-24 - 3q^-22 + q^-21 + 3q^-20 - 2q^-19 - 3q^-18 + 4q^-17 + 2q^-16 - 5q^-15 - 2q^-14 + 8q^-13 + q^-12 - 8q^-11 - 3q^-10 + 9q^-9 + 4q^-8 - 8q^-7 - 5q^-6 + 6q^-5 + 7q^-4 - 5q^-3 - 8q^-2 + 3q^-1 + 9 - 2q - 9q² + q³ + 9q⁴ + q⁵ - 9q⁶ - q⁷ + 7q⁸ + 4q⁹ - 7q¹⁰ - 3q¹¹ + 3q¹² + 5q¹³ - 3q¹⁴ - 3q¹⁵ + 3q¹⁷ - q¹⁹ - q²⁰ + q²¹

4 q^-44 - 2q^-43 + q^-42 + q^-41 - 2q^-40 + 3q^-39 - 5q^-38 + 3q^-37 + q^-36 - 4q^-35 + 9q^-34 - 9q^-33 + 3q^-32 - q^-31 - 6q^-30 + 18q^-29 - 10q^-28 + q^-27 - 8q^-26 - 9q^-25 + 29q^-24 - 6q^-23 - 16q^-21 - 16q^-20 + 35q^-19 - q^-18 + 3q^-17 - 18q^-16 - 21q^-15 + 34q^-14 - 3q^-13 + 8q^-12 - 13q^-11 - 22q^-10 + 29q^-9 - 8q^-8 + 11q^-7 - 7q^-6 - 19q^-5 + 24q^-4 - 13q^-3 + 13q^-2 - q^-1 - 17 + 17q - 15q² + 14q³ + 4q⁴ - 15q⁵ + 10q⁶ - 17q⁷ + 13q⁸ + 9q⁹ - 9q¹⁰ + 5q¹¹ - 18q¹² + 8q¹³ + 10q¹⁴ - q¹⁵ + 5q¹⁶ - 17q¹⁷ + q¹⁸ + 6q¹⁹ + 3q²⁰ + 8q²¹ - 11q²² - 3q²³ + 2q²⁵ + 8q²⁶ - 4q²⁷ - 2q²⁸ - 2q²⁹ - q³⁰ + 4q³¹ - q³⁴ - q³⁵ + q³⁶

5 q^-65 - 2q^-64 + q^-63 + q^-62 - 2q^-61 + q^-60 + q^-59 - 3q^-58 + q^-57 + 2q^-56 - q^-55 + 2q^-54 + q^-53 - 6q^-52 - 3q^-51 + 3q^-50 + 7q^-49 + 6q^-48 - 2q^-47 - 14q^-46 - 12q^-45 + 7q^-44 + 20q^-43 + 17q^-42 - 7q^-41 - 29q^-40 - 25q^-39 + 7q^-38 + 36q^-37 + 36q^-36 - 5q^-35 - 45q^-34 - 43q^-33 + 46q^-31 + 54q^-30 + 7q^-29 - 50q^-28 - 58q^-27 - 10q^-26 + 44q^-25 + 60q^-24 + 18q^-23 - 43q^-22 - 57q^-21 - 18q^-20 + 37q^-19 + 52q^-18 + 18q^-17 - 32q^-16 - 47q^-15 - 17q^-14 + 29q^-13 + 40q^-12 + 16q^-11 - 24q^-10 - 37q^-9 - 15q^-8 + 22q^-7 + 31q^-6 + 16q^-5 - 17q^-4 - 29q^-3 - 15q^-2 + 12q^-1 + 23 + 16q - 6q² - 18q³ - 15q⁴ + 12q⁶ + 14q⁷ + 5q⁸ - 5q⁹ - 10q¹⁰ - 9q¹¹ + 6q¹³ + 7q¹⁴ + 8q¹⁵ - 10q¹⁷ - 7q¹⁸ - 5q¹⁹ + q²⁰ + 11q²¹ + 11q²² - 2q²³ - 6q²⁴ - 9q²⁵ - 9q²⁶ + 4q²⁷ + 12q²⁸ + 7q²⁹ + 2q³⁰ - 5q³¹ - 12q³² - 5q³³ + 4q³⁴ + 6q³⁵ + 8q³⁶ + 3q³⁷ - 7q³⁸ - 6q³⁹ - 3q⁴⁰ + 5q⁴² + 6q⁴³ - q⁴⁴ - 2q⁴⁵ - 2q⁴⁶ - 3q⁴⁷ + 3q⁴⁹ + q⁵⁰ - q⁵³ - q⁵⁴ + q⁵⁵

6 q^-90 - 2q^-89 + q^-88 + q^-87 - 2q^-86 + q^-85 - q^-84 + 3q^-83 - 5q^-82 + 2q^-81 + 5q^-80 - 5q^-79 + 3q^-78 - 2q^-77 + q^-76 - 11q^-75 + 6q^-74 + 14q^-73 - 6q^-72 + 5q^-71 - 8q^-70 - 7q^-69 - 20q^-68 + 17q^-67 + 32q^-66 - 4q^-65 + 3q^-64 - 25q^-63 - 24q^-62 - 27q^-61 + 39q^-60 + 62q^-59 + 2q^-58 - 5q^-57 - 53q^-56 - 53q^-55 - 34q^-54 + 66q^-53 + 103q^-52 + 19q^-51 - 10q^-50 - 83q^-49 - 93q^-48 - 54q^-47 + 83q^-46 + 143q^-45 + 51q^-44 + 2q^-43 - 101q^-42 - 129q^-41 - 87q^-40 + 77q^-39 + 164q^-38 + 77q^-37 + 27q^-36 - 94q^-35 - 140q^-34 - 110q^-33 + 57q^-32 + 158q^-31 + 78q^-30 + 41q^-29 - 75q^-28 - 123q^-27 - 111q^-26 + 44q^-25 + 138q^-24 + 61q^-23 + 41q^-22 - 61q^-21 - 99q^-20 - 102q^-19 + 40q^-18 + 120q^-17 + 45q^-16 + 40q^-15 - 51q^-14 - 80q^-13 - 98q^-12 + 31q^-11 + 104q^-10 + 38q^-9 + 47q^-8 - 37q^-7 - 63q^-6 - 100q^-5 + 13q^-4 + 83q^-3 + 33q^-2 + 56q^-1 - 16 - 41q - 98q² - 7q³ + 55q⁴ + 21q⁵ + 58q⁶ + 6q⁷ - 11q⁸ - 84q⁹ - 21q¹⁰ + 25q¹¹ + 48q¹³ + 20q¹⁴ + 19q¹⁵ - 57q¹⁶ - 20q¹⁷ + 3q¹⁸ - 22q¹⁹ + 26q²⁰ + 18q²¹ + 37q²² - 27q²³ - 3q²⁴ - q²⁵ - 33q²⁶ + 34q²⁹ - 9q³⁰ + 16q³¹ + 11q³² - 24q³³ - 12q³⁴ - 17q³⁵ + 15q³⁶ - 12q³⁷ + 21q³⁸ + 22q³⁹ - 3q⁴⁰ - 5q⁴¹ - 17q⁴² + q⁴³ - 24q⁴⁴ + 8q⁴⁵ + 17q⁴⁶ + 9q⁴⁷ + 7q⁴⁸ - 3q⁴⁹ + 3q⁵⁰ - 24q⁵¹ - 5q⁵² + 2q⁵³ + 5q⁵⁴ + 7q⁵⁵ + 6q⁵⁶ + 11q⁵⁷ - 12q⁵⁸ - 5q⁵⁹ - 5q⁶⁰ - 2q⁶¹ + 3q⁶³ + 10q⁶⁴ - 2q⁶⁵ - 2q⁶⁷ - 2q⁶⁸ - 3q⁶⁹ - q⁷⁰ + 4q⁷¹ + q⁷³ - q⁷⁶ - q⁷⁷ + q⁷⁸

7 q^-119 - 2q^-118 + q^-117 + q^-116 - 2q^-115 + q^-114 - q^-113 + q^-112 + q^-111 - 4q^-110 + 5q^-109 + q^-108 - 4q^-107 + 3q^-106 - 4q^-105 - q^-104 + q^-103 - 4q^-102 + 12q^-101 + 4q^-100 - 6q^-99 + q^-98 - 14q^-97 - 4q^-96 + 5q^-95 + q^-94 + 23q^-93 + 9q^-92 - 14q^-91 - 10q^-90 - 32q^-89 - 2q^-88 + 23q^-87 + 16q^-86 + 40q^-85 + 3q^-84 - 36q^-83 - 39q^-82 - 53q^-81 + 12q^-80 + 62q^-79 + 56q^-78 + 61q^-77 - 19q^-76 - 88q^-75 - 87q^-74 - 79q^-73 + 32q^-72 + 122q^-71 + 123q^-70 + 101q^-69 - 43q^-68 - 154q^-67 - 161q^-66 - 128q^-65 + 37q^-64 + 179q^-63 + 205q^-62 + 171q^-61 - 29q^-60 - 200q^-59 - 239q^-58 - 205q^-57 + 4q^-56 + 196q^-55 + 265q^-54 + 248q^-53 + 25q^-52 - 191q^-51 - 278q^-50 - 270q^-49 - 50q^-48 + 171q^-47 + 268q^-46 + 284q^-45 + 74q^-44 - 151q^-43 - 258q^-42 - 281q^-41 - 77q^-40 + 134q^-39 + 233q^-38 + 267q^-37 + 80q^-36 - 122q^-35 - 214q^-34 - 250q^-33 - 72q^-32 + 118q^-31 + 194q^-30 + 232q^-29 + 63q^-28 - 110q^-27 - 178q^-26 - 223q^-25 - 60q^-24 + 108q^-23 + 166q^-22 + 210q^-21 + 62q^-20 - 94q^-19 - 153q^-18 - 210q^-17 - 68q^-16 + 84q^-15 + 136q^-14 + 201q^-13 + 82q^-12 - 61q^-11 - 120q^-10 - 200q^-9 - 92q^-8 + 41q^-7 + 95q^-6 + 190q^-5 + 108q^-4 - 14q^-3 - 74q^-2 - 180q^-1 - 115 - 9q + 44q² + 163q³ + 123q⁴ + 34q⁵ - 17q⁶ - 143q⁷ - 122q⁸ - 51q⁹ - 13q¹⁰ + 116q¹¹ + 114q¹² + 67q¹³ + 40q¹⁴ - 85q¹⁵ - 102q¹⁶ - 71q¹⁷ - 63q¹⁸ + 55q¹⁹ + 76q²⁰ + 67q²¹ + 81q²² - 20q²³ - 52q²⁴ - 59q²⁵ - 85q²⁶ + 21q²⁸ + 32q²⁹ + 80q³⁰ + 26q³¹ + 3q³² - 15q³³ - 67q³⁴ - 21q³⁵ - 21q³⁶ - 17q³⁷ + 43q³⁸ + 24q³⁹ + 31q⁴⁰ + 28q⁴¹ - 22q⁴² - 5q⁴³ - 23q⁴⁴ - 41q⁴⁵ - 9q⁴⁷ + 14q⁴⁸ + 37q⁴⁹ + 6q⁵⁰ + 24q⁵¹ + 5q⁵² - 26q⁵³ - 9q⁵⁴ - 30q⁵⁵ - 16q⁵⁶ + 10q⁵⁷ + 27q⁵⁹ + 25q⁶⁰ + q⁶¹ + 10q⁶² - 16q⁶³ - 21q⁶⁴ - 10q⁶⁵ - 21q⁶⁶ + 6q⁶⁷ + 16q⁶⁸ + 7q⁶⁹ + 20q⁷⁰ + 7q⁷¹ - 2q⁷² - 4q⁷³ - 22q⁷⁴ - 9q⁷⁵ - 5q⁷⁷ + 10q⁷⁸ + 9q⁷⁹ + 9q⁸⁰ + 9q⁸¹ - 8q⁸² - 6q⁸³ - 3q⁸⁴ - 8q⁸⁵ - 2q⁸⁶ + 4q⁸⁸ + 9q⁸⁹ + q⁹² - 3q⁹³ - 2q⁹⁴ - 3q⁹⁵ - q⁹⁶ + 3q⁹⁷ + q⁹⁸ + q¹⁰⁰ - q¹⁰³ - q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 4]]

Out[2]=
PD[X[6, 2, 7, 1], X[14, 10, 15, 9], X[10, 3, 11, 4], X[2, 13, 3, 14], > X[12, 5, 13, 6], X[16, 8, 1, 7], X[4, 11, 5, 12], X[8, 16, 9, 15]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 4]]

Out[3]=
GaussCode[1, -4, 3, -7, 5, -1, 6, -8, 2, -3, 7, -5, 4, -2, 8, -6]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 4]]

Out[4]=
DTCode[6, 10, 12, 16, 14, 4, 2, 8]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 4]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, -1, 2, -1, 2, 3, -2, 3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 4]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 4]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 4]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 2, 2, {3, 5}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 4]][t]

Out[10]=
2 5 2 -5 - -- + - + 5 t - 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 4]][z]

Out[11]=
2 4 1 - 3 z - 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 4]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 4]], KnotSignature[Knot[8, 4]]}

Out[13]=
{19, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 4]][q]

Out[14]=
-5 2 3 3 3 2 3 -3 + q - -- + -- - -- + - + 2 q - q + q 4 3 2 q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 4]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 4]][q]

Out[16]=
-16 -10 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -1 + q + q + q - q - q - q + q + q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 4]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 2 z 2 2 4 2 4 2 4 -2 + -- + a - 3 z + -- - 2 a z + a z - z - a z 2 2 a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 4]][a, z]

Out[18]=
2 2 4 z 3 2 7 z 2 2 4 2 6 2 -2 - -- + a - - + a z + 2 a z + 10 z + ---- - a z - 3 a z + a z + 2 a 2 a a 3 4 4 z 3 3 3 5 3 4 5 z 2 4 4 4 > ---- - 3 a z - 5 a z + 2 a z - 11 z - ---- - 3 a z + 3 a z - a 2 a 5 6 7 4 z 5 3 5 6 z 2 6 z 7 > ---- - a z + 3 a z + 3 z + -- + 2 a z + -- + a z a 2 a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 4]], Vassiliev[3][Knot[8, 4]]}

Out[19]=
{-3, 1}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 4]][q, t]

Out[20]=
2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 t -- + - + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + ---- + --- + q t + 3 q 11 4 9 3 7 3 7 2 5 2 5 3 q q q t q t q t q t q t q t q t 3 2 3 3 7 4 > 2 q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 4], 2][q]

Out[21]=
-14 2 -12 3 6 3 4 9 5 5 10 4 7 9 2 + q - --- + q + --- - --- + -- + -- - -- + -- + -- - -- + -- + -- - - + 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 2 4 5 6 7 8 9 10 > 7 q - 7 q + 5 q - 4 q - q + 3 q - q - q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₄

8₃
8₅

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-14 - 2q^-13 + q^-12 + 3q^-11 - 6q^-10 + 3q^-9 + 4q^-8 - 9q^-7 + 5q^-6 + 5q^-5 - 10q^-4 + 4q^-3 + 7q^-2 - 9q^-1 + 2 + 7q - 7q² + 5q⁴ - 4q⁵ - q⁶ + 3q⁷ - q⁸ - q⁹ + q¹⁰
3	q^-27 - 2q^-26 + q^-25 + q^-24 - 3q^-22 + q^-21 + 3q^-20 - 2q^-19 - 3q^-18 + 4q^-17 + 2q^-16 - 5q^-15 - 2q^-14 + 8q^-13 + q^-12 - 8q^-11 - 3q^-10 + 9q^-9 + 4q^-8 - 8q^-7 - 5q^-6 + 6q^-5 + 7q^-4 - 5q^-3 - 8q^-2 + 3q^-1 + 9 - 2q - 9q² + q³ + 9q⁴ + q⁵ - 9q⁶ - q⁷ + 7q⁸ + 4q⁹ - 7q¹⁰ - 3q¹¹ + 3q¹² + 5q¹³ - 3q¹⁴ - 3q¹⁵ + 3q¹⁷ - q¹⁹ - q²⁰ + q²¹
4	q^-44 - 2q^-43 + q^-42 + q^-41 - 2q^-40 + 3q^-39 - 5q^-38 + 3q^-37 + q^-36 - 4q^-35 + 9q^-34 - 9q^-33 + 3q^-32 - q^-31 - 6q^-30 + 18q^-29 - 10q^-28 + q^-27 - 8q^-26 - 9q^-25 + 29q^-24 - 6q^-23 - 16q^-21 - 16q^-20 + 35q^-19 - q^-18 + 3q^-17 - 18q^-16 - 21q^-15 + 34q^-14 - 3q^-13 + 8q^-12 - 13q^-11 - 22q^-10 + 29q^-9 - 8q^-8 + 11q^-7 - 7q^-6 - 19q^-5 + 24q^-4 - 13q^-3 + 13q^-2 - q^-1 - 17 + 17q - 15q² + 14q³ + 4q⁴ - 15q⁵ + 10q⁶ - 17q⁷ + 13q⁸ + 9q⁹ - 9q¹⁰ + 5q¹¹ - 18q¹² + 8q¹³ + 10q¹⁴ - q¹⁵ + 5q¹⁶ - 17q¹⁷ + q¹⁸ + 6q¹⁹ + 3q²⁰ + 8q²¹ - 11q²² - 3q²³ + 2q²⁵ + 8q²⁶ - 4q²⁷ - 2q²⁸ - 2q²⁹ - q³⁰ + 4q³¹ - q³⁴ - q³⁵ + q³⁶
5	q^-65 - 2q^-64 + q^-63 + q^-62 - 2q^-61 + q^-60 + q^-59 - 3q^-58 + q^-57 + 2q^-56 - q^-55 + 2q^-54 + q^-53 - 6q^-52 - 3q^-51 + 3q^-50 + 7q^-49 + 6q^-48 - 2q^-47 - 14q^-46 - 12q^-45 + 7q^-44 + 20q^-43 + 17q^-42 - 7q^-41 - 29q^-40 - 25q^-39 + 7q^-38 + 36q^-37 + 36q^-36 - 5q^-35 - 45q^-34 - 43q^-33 + 46q^-31 + 54q^-30 + 7q^-29 - 50q^-28 - 58q^-27 - 10q^-26 + 44q^-25 + 60q^-24 + 18q^-23 - 43q^-22 - 57q^-21 - 18q^-20 + 37q^-19 + 52q^-18 + 18q^-17 - 32q^-16 - 47q^-15 - 17q^-14 + 29q^-13 + 40q^-12 + 16q^-11 - 24q^-10 - 37q^-9 - 15q^-8 + 22q^-7 + 31q^-6 + 16q^-5 - 17q^-4 - 29q^-3 - 15q^-2 + 12q^-1 + 23 + 16q - 6q² - 18q³ - 15q⁴ + 12q⁶ + 14q⁷ + 5q⁸ - 5q⁹ - 10q¹⁰ - 9q¹¹ + 6q¹³ + 7q¹⁴ + 8q¹⁵ - 10q¹⁷ - 7q¹⁸ - 5q¹⁹ + q²⁰ + 11q²¹ + 11q²² - 2q²³ - 6q²⁴ - 9q²⁵ - 9q²⁶ + 4q²⁷ + 12q²⁸ + 7q²⁹ + 2q³⁰ - 5q³¹ - 12q³² - 5q³³ + 4q³⁴ + 6q³⁵ + 8q³⁶ + 3q³⁷ - 7q³⁸ - 6q³⁹ - 3q⁴⁰ + 5q⁴² + 6q⁴³ - q⁴⁴ - 2q⁴⁵ - 2q⁴⁶ - 3q⁴⁷ + 3q⁴⁹ + q⁵⁰ - q⁵³ - q⁵⁴ + q⁵⁵
6	q^-90 - 2q^-89 + q^-88 + q^-87 - 2q^-86 + q^-85 - q^-84 + 3q^-83 - 5q^-82 + 2q^-81 + 5q^-80 - 5q^-79 + 3q^-78 - 2q^-77 + q^-76 - 11q^-75 + 6q^-74 + 14q^-73 - 6q^-72 + 5q^-71 - 8q^-70 - 7q^-69 - 20q^-68 + 17q^-67 + 32q^-66 - 4q^-65 + 3q^-64 - 25q^-63 - 24q^-62 - 27q^-61 + 39q^-60 + 62q^-59 + 2q^-58 - 5q^-57 - 53q^-56 - 53q^-55 - 34q^-54 + 66q^-53 + 103q^-52 + 19q^-51 - 10q^-50 - 83q^-49 - 93q^-48 - 54q^-47 + 83q^-46 + 143q^-45 + 51q^-44 + 2q^-43 - 101q^-42 - 129q^-41 - 87q^-40 + 77q^-39 + 164q^-38 + 77q^-37 + 27q^-36 - 94q^-35 - 140q^-34 - 110q^-33 + 57q^-32 + 158q^-31 + 78q^-30 + 41q^-29 - 75q^-28 - 123q^-27 - 111q^-26 + 44q^-25 + 138q^-24 + 61q^-23 + 41q^-22 - 61q^-21 - 99q^-20 - 102q^-19 + 40q^-18 + 120q^-17 + 45q^-16 + 40q^-15 - 51q^-14 - 80q^-13 - 98q^-12 + 31q^-11 + 104q^-10 + 38q^-9 + 47q^-8 - 37q^-7 - 63q^-6 - 100q^-5 + 13q^-4 + 83q^-3 + 33q^-2 + 56q^-1 - 16 - 41q - 98q² - 7q³ + 55q⁴ + 21q⁵ + 58q⁶ + 6q⁷ - 11q⁸ - 84q⁹ - 21q¹⁰ + 25q¹¹ + 48q¹³ + 20q¹⁴ + 19q¹⁵ - 57q¹⁶ - 20q¹⁷ + 3q¹⁸ - 22q¹⁹ + 26q²⁰ + 18q²¹ + 37q²² - 27q²³ - 3q²⁴ - q²⁵ - 33q²⁶ + 34q²⁹ - 9q³⁰ + 16q³¹ + 11q³² - 24q³³ - 12q³⁴ - 17q³⁵ + 15q³⁶ - 12q³⁷ + 21q³⁸ + 22q³⁹ - 3q⁴⁰ - 5q⁴¹ - 17q⁴² + q⁴³ - 24q⁴⁴ + 8q⁴⁵ + 17q⁴⁶ + 9q⁴⁷ + 7q⁴⁸ - 3q⁴⁹ + 3q⁵⁰ - 24q⁵¹ - 5q⁵² + 2q⁵³ + 5q⁵⁴ + 7q⁵⁵ + 6q⁵⁶ + 11q⁵⁷ - 12q⁵⁸ - 5q⁵⁹ - 5q⁶⁰ - 2q⁶¹ + 3q⁶³ + 10q⁶⁴ - 2q⁶⁵ - 2q⁶⁷ - 2q⁶⁸ - 3q⁶⁹ - q⁷⁰ + 4q⁷¹ + q⁷³ - q⁷⁶ - q⁷⁷ + q⁷⁸
7	q^-119 - 2q^-118 + q^-117 + q^-116 - 2q^-115 + q^-114 - q^-113 + q^-112 + q^-111 - 4q^-110 + 5q^-109 + q^-108 - 4q^-107 + 3q^-106 - 4q^-105 - q^-104 + q^-103 - 4q^-102 + 12q^-101 + 4q^-100 - 6q^-99 + q^-98 - 14q^-97 - 4q^-96 + 5q^-95 + q^-94 + 23q^-93 + 9q^-92 - 14q^-91 - 10q^-90 - 32q^-89 - 2q^-88 + 23q^-87 + 16q^-86 + 40q^-85 + 3q^-84 - 36q^-83 - 39q^-82 - 53q^-81 + 12q^-80 + 62q^-79 + 56q^-78 + 61q^-77 - 19q^-76 - 88q^-75 - 87q^-74 - 79q^-73 + 32q^-72 + 122q^-71 + 123q^-70 + 101q^-69 - 43q^-68 - 154q^-67 - 161q^-66 - 128q^-65 + 37q^-64 + 179q^-63 + 205q^-62 + 171q^-61 - 29q^-60 - 200q^-59 - 239q^-58 - 205q^-57 + 4q^-56 + 196q^-55 + 265q^-54 + 248q^-53 + 25q^-52 - 191q^-51 - 278q^-50 - 270q^-49 - 50q^-48 + 171q^-47 + 268q^-46 + 284q^-45 + 74q^-44 - 151q^-43 - 258q^-42 - 281q^-41 - 77q^-40 + 134q^-39 + 233q^-38 + 267q^-37 + 80q^-36 - 122q^-35 - 214q^-34 - 250q^-33 - 72q^-32 + 118q^-31 + 194q^-30 + 232q^-29 + 63q^-28 - 110q^-27 - 178q^-26 - 223q^-25 - 60q^-24 + 108q^-23 + 166q^-22 + 210q^-21 + 62q^-20 - 94q^-19 - 153q^-18 - 210q^-17 - 68q^-16 + 84q^-15 + 136q^-14 + 201q^-13 + 82q^-12 - 61q^-11 - 120q^-10 - 200q^-9 - 92q^-8 + 41q^-7 + 95q^-6 + 190q^-5 + 108q^-4 - 14q^-3 - 74q^-2 - 180q^-1 - 115 - 9q + 44q² + 163q³ + 123q⁴ + 34q⁵ - 17q⁶ - 143q⁷ - 122q⁸ - 51q⁹ - 13q¹⁰ + 116q¹¹ + 114q¹² + 67q¹³ + 40q¹⁴ - 85q¹⁵ - 102q¹⁶ - 71q¹⁷ - 63q¹⁸ + 55q¹⁹ + 76q²⁰ + 67q²¹ + 81q²² - 20q²³ - 52q²⁴ - 59q²⁵ - 85q²⁶ + 21q²⁸ + 32q²⁹ + 80q³⁰ + 26q³¹ + 3q³² - 15q³³ - 67q³⁴ - 21q³⁵ - 21q³⁶ - 17q³⁷ + 43q³⁸ + 24q³⁹ + 31q⁴⁰ + 28q⁴¹ - 22q⁴² - 5q⁴³ - 23q⁴⁴ - 41q⁴⁵ - 9q⁴⁷ + 14q⁴⁸ + 37q⁴⁹ + 6q⁵⁰ + 24q⁵¹ + 5q⁵² - 26q⁵³ - 9q⁵⁴ - 30q⁵⁵ - 16q⁵⁶ + 10q⁵⁷ + 27q⁵⁹ + 25q⁶⁰ + q⁶¹ + 10q⁶² - 16q⁶³ - 21q⁶⁴ - 10q⁶⁵ - 21q⁶⁶ + 6q⁶⁷ + 16q⁶⁸ + 7q⁶⁹ + 20q⁷⁰ + 7q⁷¹ - 2q⁷² - 4q⁷³ - 22q⁷⁴ - 9q⁷⁵ - 5q⁷⁷ + 10q⁷⁸ + 9q⁷⁹ + 9q⁸⁰ + 9q⁸¹ - 8q⁸² - 6q⁸³ - 3q⁸⁴ - 8q⁸⁵ - 2q⁸⁶ + 4q⁸⁸ + 9q⁸⁹ + q⁹² - 3q⁹³ - 2q⁹⁴ - 3q⁹⁵ - q⁹⁶ + 3q⁹⁷ + q⁹⁸ + q¹⁰⁰ - q¹⁰³ - q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 4]]
Out[2]=	PD[X[6, 2, 7, 1], X[14, 10, 15, 9], X[10, 3, 11, 4], X[2, 13, 3, 14], > X[12, 5, 13, 6], X[16, 8, 1, 7], X[4, 11, 5, 12], X[8, 16, 9, 15]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 4]]
Out[3]=	GaussCode[1, -4, 3, -7, 5, -1, 6, -8, 2, -3, 7, -5, 4, -2, 8, -6]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 4]]
Out[4]=	DTCode[6, 10, 12, 16, 14, 4, 2, 8]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 4]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, -1, 2, -1, 2, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 4]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 4]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 4]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 2, {3, 5}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 4]][t]
Out[10]=	2 5 2 -5 - -- + - + 5 t - 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 4]][z]
Out[11]=	2 4 1 - 3 z - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 4]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 4]], KnotSignature[Knot[8, 4]]}
Out[13]=	{19, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 4]][q]
Out[14]=	-5 2 3 3 3 2 3 -3 + q - -- + -- - -- + - + 2 q - q + q 4 3 2 q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 4]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 4]][q]
Out[16]=	-16 -10 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -1 + q + q + q - q - q - q + q + q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 4]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 2 z 2 2 4 2 4 2 4 -2 + -- + a - 3 z + -- - 2 a z + a z - z - a z 2 2 a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 4]][a, z]
Out[18]=	2 2 4 z 3 2 7 z 2 2 4 2 6 2 -2 - -- + a - - + a z + 2 a z + 10 z + ---- - a z - 3 a z + a z + 2 a 2 a a 3 4 4 z 3 3 3 5 3 4 5 z 2 4 4 4 > ---- - 3 a z - 5 a z + 2 a z - 11 z - ---- - 3 a z + 3 a z - a 2 a 5 6 7 4 z 5 3 5 6 z 2 6 z 7 > ---- - a z + 3 a z + 3 z + -- + 2 a z + -- + a z a 2 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 4]], Vassiliev[3][Knot[8, 4]]}
Out[19]=	{-3, 1}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 4]][q, t]
Out[20]=	2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 t -- + - + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + ---- + --- + q t + 3 q 11 4 9 3 7 3 7 2 5 2 5 3 q q q t q t q t q t q t q t q t 3 2 3 3 7 4 > 2 q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 4], 2][q]
Out[21]=	-14 2 -12 3 6 3 4 9 5 5 10 4 7 9 2 + q - --- + q + --- - --- + -- + -- - -- + -- + -- - -- + -- + -- - - + 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 2 4 5 6 7 8 9 10 > 7 q - 7 q + 5 q - 4 q - q + 3 q - q - q + q

The Alternating Knot 84

The Alternating Knot 8₄