The Alternating Knot 8₁₀

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X₃₈₄₉ X_9,15,10,14 X_5,13,6,12 X_13,7,14,6 X_11,1,12,16 X_15,11,16,10 X₇₂₈₃

Gauss Code: {-1, 8, -2, 1, -4, 5, -8, 2, -3, 7, -6, 4, -5, 3, -7, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 12 2 14 16 6 10

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 3 / 4--6 1

Alexander Polynomial: t^-3 - 3t^-2 + 6t^-1 - 7 + 6t - 3t² + t³

Conway Polynomial: 1 + 3z² + 3z⁴ + z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₄₃, K11n106, ...}

Determinant and Signature: {27, 2}

Jones Polynomial: - q^-2 + 2q^-1 - 3 + 5q - 4q² + 5q³ - 4q⁴ + 2q⁵ - q⁶

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-6 - q^-2 + 2q² + q⁴ + 4q⁶ + q⁸ + q¹⁰ - q¹² - 2q¹⁴ - q¹⁸

HOMFLY-PT Polynomial: - 3a^-4 - 3a^-4z² - a^-4z⁴ + 6a^-2 + 9a^-2z² + 5a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - 2 - 3z² - z⁴

Kauffman Polynomial: - a^-7z + a^-7z³ - a^-6z² + 2a^-6z⁴ + 2a^-5z - 3a^-5z³ + 3a^-5z⁵ - 3a^-4 + 6a^-4z² - 5a^-4z⁴ + 3a^-4z⁶ + 6a^-3z - 9a^-3z³ + 3a^-3z⁵ + a^-3z⁷ - 6a^-2 + 12a^-2z² - 13a^-2z⁴ + 5a^-2z⁶ + 5a^-1z - 8a^-1z³ + a^-1z⁵ + a^-1z⁷ - 2 + 5z² - 6z⁴ + 2z⁶ + 2az - 3az³ + az⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {3, 3}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 8₁₀. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5

j = 13 1

j = 11 1

j = 9 3 1

j = 7 2 1

j = 5 2 3

j = 3 3 2

j = 1 1 3

j = -1 1 2

j = -3 1

j = -5 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-7 - 2q^-6 - q^-5 + 6q^-4 - 5q^-3 - 6q^-2 + 14q^-1 - 5 - 14q + 21q² - 2q³ - 21q⁴ + 23q⁵ + 2q⁶ - 24q⁷ + 20q⁸ + 3q⁹ - 19q¹⁰ + 12q¹¹ + 3q¹² - 9q¹³ + 4q¹⁴ + q¹⁵ - 2q¹⁶ + q¹⁷

3 - q^-15 + 2q^-14 + q^-13 - 2q^-12 - 5q^-11 + 4q^-10 + 9q^-9 - 3q^-8 - 16q^-7 + 22q^-5 + 7q^-4 - 28q^-3 - 16q^-2 + 31q^-1 + 25 - 28q - 39q² + 31q³ + 44q⁴ - 20q⁵ - 58q⁶ + 21q⁷ + 59q⁸ - 8q⁹ - 71q¹⁰ + 10q¹¹ + 66q¹² + q¹³ - 69q¹⁴ - 2q¹⁵ + 59q¹⁶ + 8q¹⁷ - 51q¹⁸ - 10q¹⁹ + 40q²⁰ + 8q²¹ - 25q²² - 10q²³ + 17q²⁴ + 5q²⁵ - 8q²⁶ - 3q²⁷ + 5q²⁸ - q³⁰ - q³¹ + 2q³² - q³³

4 q^-26 - 2q^-25 - q^-24 + 2q^-23 + q^-22 + 6q^-21 - 8q^-20 - 7q^-19 + 2q^-18 + 3q^-17 + 25q^-16 - 11q^-15 - 21q^-14 - 12q^-13 - 6q^-12 + 59q^-11 + 6q^-10 - 23q^-9 - 40q^-8 - 47q^-7 + 82q^-6 + 39q^-5 + 11q^-4 - 53q^-3 - 112q^-2 + 69q^-1 + 59 + 74q - 30q² - 171q³ + 28q⁴ + 50q⁵ + 136q⁶ + 17q⁷ - 206q⁸ - 23q⁹ + 24q¹⁰ + 187q¹¹ + 64q¹² - 224q¹³ - 67q¹⁴ - 2q¹⁵ + 220q¹⁶ + 100q¹⁷ - 222q¹⁸ - 100q¹⁹ - 28q²⁰ + 228q²¹ + 127q²² - 195q²³ - 111q²⁴ - 56q²⁵ + 195q²⁶ + 136q²⁷ - 136q²⁸ - 93q²⁹ - 75q³⁰ + 127q³¹ + 111q³² - 67q³³ - 48q³⁴ - 68q³⁵ + 55q³⁶ + 64q³⁷ - 22q³⁸ - 8q³⁹ - 39q⁴⁰ + 15q⁴¹ + 22q⁴² - 9q⁴³ + 7q⁴⁴ - 13q⁴⁵ + 3q⁴⁶ + 5q⁴⁷ - 5q⁴⁸ + 4q⁴⁹ - 3q⁵⁰ + q⁵¹ + q⁵² - 2q⁵³ + q⁵⁴

5 - q^-40 + 2q^-39 + q^-38 - 2q^-37 - q^-36 - 2q^-35 - 2q^-34 + 6q^-33 + 9q^-32 - 2q^-31 - 7q^-30 - 11q^-29 - 11q^-28 + 8q^-27 + 27q^-26 + 20q^-25 - 4q^-24 - 30q^-23 - 44q^-22 - 18q^-21 + 37q^-20 + 66q^-19 + 48q^-18 - 18q^-17 - 84q^-16 - 92q^-15 - 17q^-14 + 81q^-13 + 132q^-12 + 78q^-11 - 55q^-10 - 158q^-9 - 144q^-8 - 6q^-7 + 156q^-6 + 209q^-5 + 92q^-4 - 126q^-3 - 259q^-2 - 179q^-1 + 55 + 274q + 288q² + 30q³ - 283q⁴ - 348q⁵ - 137q⁶ + 235q⁷ + 443q⁸ + 236q⁹ - 215q¹⁰ - 468q¹¹ - 331q¹² + 137q¹³ + 536q¹⁴ + 419q¹⁵ - 123q¹⁶ - 534q¹⁷ - 490q¹⁸ + 45q¹⁹ + 590q²⁰ + 552q²¹ - 39q²² - 576q²³ - 604q²⁴ - 31q²⁵ + 617q²⁶ + 647q²⁷ + 39q²⁸ - 584q²⁹ - 676q³⁰ - 112q³¹ + 584q³² + 694q³³ + 140q³⁴ - 518q³⁵ - 683q³⁶ - 208q³⁷ + 453q³⁸ + 652q³⁹ + 244q⁴⁰ - 354q⁴¹ - 583q⁴² - 273q⁴³ + 243q⁴⁴ + 487q⁴⁵ + 287q⁴⁶ - 150q⁴⁷ - 376q⁴⁸ - 250q⁴⁹ + 52q⁵⁰ + 261q⁵¹ + 217q⁵² - 4q⁵³ - 163q⁵⁴ - 150q⁵⁵ - 30q⁵⁶ + 84q⁵⁷ + 103q⁵⁸ + 28q⁵⁹ - 34q⁶⁰ - 53q⁶¹ - 29q⁶² + 12q⁶³ + 29q⁶⁴ + 11q⁶⁵ - q⁶⁶ - 5q⁶⁷ - 14q⁶⁸ + 8q⁷⁰ - q⁷¹ + 3q⁷³ - 4q⁷⁴ - q⁷⁵ + 3q⁷⁶ - q⁷⁷ - q⁷⁸ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰

6 q^-57 - 2q^-56 - q^-55 + 2q^-54 + q^-53 + 2q^-52 - 2q^-51 + 4q^-50 - 8q^-49 - 9q^-48 + 5q^-47 + 6q^-46 + 12q^-45 + 15q^-43 - 21q^-42 - 33q^-41 - 9q^-40 + 4q^-39 + 32q^-38 + 20q^-37 + 68q^-36 - 16q^-35 - 68q^-34 - 65q^-33 - 52q^-32 + 13q^-31 + 32q^-30 + 183q^-29 + 78q^-28 - 24q^-27 - 109q^-26 - 165q^-25 - 132q^-24 - 91q^-23 + 249q^-22 + 229q^-21 + 190q^-20 + 28q^-19 - 161q^-18 - 323q^-17 - 419q^-16 + 64q^-15 + 205q^-14 + 424q^-13 + 381q^-12 + 173q^-11 - 278q^-10 - 731q^-9 - 361q^-8 - 193q^-7 + 361q^-6 + 680q^-5 + 767q^-4 + 171q^-3 - 704q^-2 - 720q^-1 - 840 - 127q + 624q² + 1296q³ + 865q⁴ - 260q⁵ - 755q⁶ - 1418q⁷ - 844q⁸ + 193q⁹ + 1535q¹⁰ + 1502q¹¹ + 391q¹² - 488q¹³ - 1750q¹⁴ - 1511q¹⁵ - 391q¹⁶ + 1520q¹⁷ + 1934q¹⁸ + 997q¹⁹ - 122q²⁰ - 1882q²¹ - 2001q²² - 901q²³ + 1420q²⁴ + 2191q²⁵ + 1454q²⁶ + 172q²⁷ - 1942q²⁸ - 2334q²⁹ - 1263q³⁰ + 1346q³¹ + 2364q³² + 1780q³³ + 369q³⁴ - 1982q³⁵ - 2570q³⁶ - 1529q³⁷ + 1259q³⁸ + 2470q³⁹ + 2039q⁴⁰ + 568q⁴¹ - 1919q⁴² - 2715q⁴³ - 1785q⁴⁴ + 1026q⁴⁵ + 2411q⁴⁶ + 2225q⁴⁷ + 862q⁴⁸ - 1607q⁴⁹ - 2646q⁵⁰ - 2005q⁵¹ + 560q⁵² + 2031q⁵³ + 2193q⁵⁴ + 1186q⁵⁵ - 998q⁵⁶ - 2199q⁵⁷ - 1998q⁵⁸ - 12q⁵⁹ + 1311q⁶⁰ + 1782q⁶¹ + 1306q⁶² - 293q⁶³ - 1407q⁶⁴ - 1601q⁶⁵ - 390q⁶⁶ + 522q⁶⁷ + 1066q⁶⁸ + 1060q⁶⁹ + 171q⁷⁰ - 607q⁷¹ - 946q⁷² - 401q⁷³ + 23q⁷⁴ + 403q⁷⁵ + 596q⁷⁶ + 254q⁷⁷ - 128q⁷⁸ - 385q⁷⁹ - 200q⁸⁰ - 106q⁸¹ + 54q⁸² + 228q⁸³ + 138q⁸⁴ + 13q⁸⁵ - 106q⁸⁶ - 44q⁸⁷ - 60q⁸⁸ - 30q⁸⁹ + 63q⁹⁰ + 44q⁹¹ + 14q⁹² - 25q⁹³ + 4q⁹⁴ - 17q⁹⁵ - 20q⁹⁶ + 17q⁹⁷ + 9q⁹⁸ + 4q⁹⁹ - 9q¹⁰⁰ + 6q¹⁰¹ - 2q¹⁰² - 8q¹⁰³ + 6q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵ + q¹⁰⁶ - 3q¹⁰⁷ + q¹⁰⁸ + q¹⁰⁹ - 2q¹¹⁰ + q¹¹¹

7 - q^-77 + 2q^-76 + q^-75 - 2q^-74 - q^-73 - 2q^-72 + 2q^-71 - 2q^-69 + 8q^-68 + 6q^-67 - 4q^-66 - 6q^-65 - 14q^-64 - 2q^-63 + 3q^-62 - 5q^-61 + 24q^-60 + 26q^-59 + 10q^-58 - 4q^-57 - 45q^-56 - 34q^-55 - 20q^-54 - 30q^-53 + 38q^-52 + 74q^-51 + 76q^-50 + 71q^-49 - 43q^-48 - 85q^-47 - 106q^-46 - 157q^-45 - 44q^-44 + 61q^-43 + 166q^-42 + 274q^-41 + 144q^-40 + 22q^-39 - 118q^-38 - 357q^-37 - 323q^-36 - 227q^-35 - 4q^-34 + 383q^-33 + 459q^-32 + 467q^-31 + 290q^-30 - 223q^-29 - 504q^-28 - 725q^-27 - 678q^-26 - 108q^-25 + 334q^-24 + 845q^-23 + 1094q^-22 + 618q^-21 + 88q^-20 - 724q^-19 - 1380q^-18 - 1208q^-17 - 763q^-16 + 283q^-15 + 1431q^-14 + 1706q^-13 + 1570q^-12 + 483q^-11 - 1098q^-10 - 1972q^-9 - 2398q^-8 - 1494q^-7 + 400q^-6 + 1904q^-5 + 3042q^-4 + 2585q^-3 + 620q^-2 - 1398q^-1 - 3388 - 3669q - 1862q² + 586q³ + 3415q⁴ + 4495q⁵ + 3117q⁶ + 566q⁷ - 3029q⁸ - 5126q⁹ - 4386q¹⁰ - 1778q¹¹ + 2444q¹² + 5419q¹³ + 5380q¹⁴ + 3085q¹⁵ - 1574q¹⁶ - 5507q¹⁷ - 6306q¹⁸ - 4265q¹⁹ + 766q²⁰ + 5385q²¹ + 6882q²² + 5333q²³ + 177q²⁴ - 5180q²⁵ - 7459q²⁶ - 6211q²⁷ - 870q²⁸ + 4942q²⁹ + 7724q³⁰ + 6945q³¹ + 1607q³² - 4735q³³ - 8097q³⁴ - 7511q³⁵ - 2034q³⁶ + 4565q³⁷ + 8242q³⁸ + 7984q³⁹ + 2528q⁴⁰ - 4474q⁴¹ - 8548q⁴² - 8353q⁴³ - 2770q⁴⁴ + 4390q⁴⁵ + 8661q⁴⁶ + 8713q⁴⁷ + 3157q⁴⁸ - 4321q⁴⁹ - 8916q⁵⁰ - 9030q⁵¹ - 3406q⁵² + 4156q⁵³ + 8943q⁵⁴ + 9349q⁵⁵ + 3885q⁵⁶ - 3863q⁵⁷ - 8990q⁵⁸ - 9623q⁵⁹ - 4308q⁶⁰ + 3378q⁶¹ + 8701q⁶² + 9773q⁶³ + 4922q⁶⁴ - 2654q⁶⁵ - 8236q⁶⁶ - 9753q⁶⁷ - 5432q⁶⁸ + 1744q⁶⁹ + 7380q⁷⁰ + 9406q⁷¹ + 5881q⁷² - 678q⁷³ - 6237q⁷⁴ - 8724q⁷⁵ - 6095q⁷⁶ - 363q⁷⁷ + 4877q⁷⁸ + 7656q⁷⁹ + 5938q⁸⁰ + 1267q⁸¹ - 3356q⁸² - 6312q⁸³ - 5485q⁸⁴ - 1899q⁸⁵ + 2013q⁸⁶ + 4818q⁸⁷ + 4631q⁸⁸ + 2168q⁸⁹ - 825q⁹⁰ - 3343q⁹¹ - 3671q⁹² - 2106q⁹³ + 51q⁹⁴ + 2089q⁹⁵ + 2613q⁹⁶ + 1774q⁹⁷ + 415q⁹⁸ - 1131q⁹⁹ - 1700q¹⁰⁰ - 1333q¹⁰¹ - 550q¹⁰² + 500q¹⁰³ + 980q¹⁰⁴ + 890q¹⁰⁵ + 512q¹⁰⁶ - 162q¹⁰⁷ - 510q¹⁰⁸ - 509q¹⁰⁹ - 378q¹¹⁰ + 2q¹¹¹ + 212q¹¹² + 276q¹¹³ + 261q¹¹⁴ + 25q¹¹⁵ - 95q¹¹⁶ - 116q¹¹⁷ - 131q¹¹⁸ - 34q¹¹⁹ + 8q¹²⁰ + 52q¹²¹ + 96q¹²² + 13q¹²³ - 21q¹²⁴ - 13q¹²⁵ - 29q¹²⁶ - 4q¹²⁷ - 13q¹²⁸ + 3q¹²⁹ + 33q¹³⁰ - 8q¹³² - 2q¹³³ - 5q¹³⁴ + 5q¹³⁵ - 5q¹³⁶ - 3q¹³⁷ + 10q¹³⁸ - q¹³⁹ - 3q¹⁴⁰ - q¹⁴¹ - q¹⁴² + 3q¹⁴³ - q¹⁴⁴ - q¹⁴⁵ + 2q¹⁴⁶ - q¹⁴⁷

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 10]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[9, 15, 10, 14], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 7, 14, 6], X[11, 1, 12, 16], X[15, 11, 16, 10], X[7, 2, 8, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 10]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 8, -2, 1, -4, 5, -8, 2, -3, 7, -6, 4, -5, 3, -7, 6]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 10]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 12, 2, 14, 16, 6, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 10]]

Out[5]=
BR[3, {1, 1, 1, -2, 1, 1, -2, -2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 10]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 10]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 10]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 3, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 10]][t]

Out[10]=
-3 3 6 2 3 -7 + t - -- + - + 6 t - 3 t + t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 10]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + 3 z + 3 z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 10], Knot[10, 143], Knot[11, NonAlternating, 106]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 10]], KnotSignature[Knot[8, 10]]}

Out[13]=
{27, 2}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 10]][q]

Out[14]=
-2 2 2 3 4 5 6 -3 - q + - + 5 q - 4 q + 5 q - 4 q + 2 q - q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 10]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 10]][q]

Out[16]=
-6 -2 2 4 6 8 10 12 14 18 -q - q + 2 q + q + 4 q + q + q - q - 2 q - q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 10]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 4 6 3 6 2 3 z 9 z 4 z 5 z z -2 - -- + -- - 3 z - ---- + ---- - z - -- + ---- + -- 4 2 4 2 4 2 2 a a a a a a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 10]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 3 3 6 z 2 z 6 z 5 z 2 z 6 z 12 z z -2 - -- - -- - -- + --- + --- + --- + 2 a z + 5 z - -- + ---- + ----- + -- - 4 2 7 5 3 a 6 4 2 7 a a a a a a a a a 3 3 3 4 4 4 5 5 3 z 9 z 8 z 3 4 2 z 5 z 13 z 3 z 3 z > ---- - ---- - ---- - 3 a z - 6 z + ---- - ---- - ----- + ---- + ---- + 5 3 a 6 4 2 5 3 a a a a a a a 5 6 6 7 7 z 5 6 3 z 5 z z z > -- + a z + 2 z + ---- + ---- + -- + -- a 4 2 3 a a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 10]], Vassiliev[3][Knot[8, 10]]}

Out[19]=
{3, 3}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 10]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 2 q 3 5 5 2 3 q + 3 q + ----- + ----- + ---- + --- + - + 2 q t + 2 q t + 3 q t + 5 3 3 2 2 q t t q t q t q t 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 13 5 > 2 q t + q t + 3 q t + q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 10], 2][q]

Out[21]=
-7 2 -5 6 5 6 14 2 3 4 5 -5 + q - -- - q + -- - -- - -- + -- - 14 q + 21 q - 2 q - 21 q + 23 q + 6 4 3 2 q q q q q 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > 2 q - 24 q + 20 q + 3 q - 19 q + 12 q + 3 q - 9 q + 4 q + 15 16 17 > q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₁₀

8₉
8₁₁

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-7 - 2q^-6 - q^-5 + 6q^-4 - 5q^-3 - 6q^-2 + 14q^-1 - 5 - 14q + 21q² - 2q³ - 21q⁴ + 23q⁵ + 2q⁶ - 24q⁷ + 20q⁸ + 3q⁹ - 19q¹⁰ + 12q¹¹ + 3q¹² - 9q¹³ + 4q¹⁴ + q¹⁵ - 2q¹⁶ + q¹⁷
3	- q^-15 + 2q^-14 + q^-13 - 2q^-12 - 5q^-11 + 4q^-10 + 9q^-9 - 3q^-8 - 16q^-7 + 22q^-5 + 7q^-4 - 28q^-3 - 16q^-2 + 31q^-1 + 25 - 28q - 39q² + 31q³ + 44q⁴ - 20q⁵ - 58q⁶ + 21q⁷ + 59q⁸ - 8q⁹ - 71q¹⁰ + 10q¹¹ + 66q¹² + q¹³ - 69q¹⁴ - 2q¹⁵ + 59q¹⁶ + 8q¹⁷ - 51q¹⁸ - 10q¹⁹ + 40q²⁰ + 8q²¹ - 25q²² - 10q²³ + 17q²⁴ + 5q²⁵ - 8q²⁶ - 3q²⁷ + 5q²⁸ - q³⁰ - q³¹ + 2q³² - q³³
4	q^-26 - 2q^-25 - q^-24 + 2q^-23 + q^-22 + 6q^-21 - 8q^-20 - 7q^-19 + 2q^-18 + 3q^-17 + 25q^-16 - 11q^-15 - 21q^-14 - 12q^-13 - 6q^-12 + 59q^-11 + 6q^-10 - 23q^-9 - 40q^-8 - 47q^-7 + 82q^-6 + 39q^-5 + 11q^-4 - 53q^-3 - 112q^-2 + 69q^-1 + 59 + 74q - 30q² - 171q³ + 28q⁴ + 50q⁵ + 136q⁶ + 17q⁷ - 206q⁸ - 23q⁹ + 24q¹⁰ + 187q¹¹ + 64q¹² - 224q¹³ - 67q¹⁴ - 2q¹⁵ + 220q¹⁶ + 100q¹⁷ - 222q¹⁸ - 100q¹⁹ - 28q²⁰ + 228q²¹ + 127q²² - 195q²³ - 111q²⁴ - 56q²⁵ + 195q²⁶ + 136q²⁷ - 136q²⁸ - 93q²⁹ - 75q³⁰ + 127q³¹ + 111q³² - 67q³³ - 48q³⁴ - 68q³⁵ + 55q³⁶ + 64q³⁷ - 22q³⁸ - 8q³⁹ - 39q⁴⁰ + 15q⁴¹ + 22q⁴² - 9q⁴³ + 7q⁴⁴ - 13q⁴⁵ + 3q⁴⁶ + 5q⁴⁷ - 5q⁴⁸ + 4q⁴⁹ - 3q⁵⁰ + q⁵¹ + q⁵² - 2q⁵³ + q⁵⁴
5	- q^-40 + 2q^-39 + q^-38 - 2q^-37 - q^-36 - 2q^-35 - 2q^-34 + 6q^-33 + 9q^-32 - 2q^-31 - 7q^-30 - 11q^-29 - 11q^-28 + 8q^-27 + 27q^-26 + 20q^-25 - 4q^-24 - 30q^-23 - 44q^-22 - 18q^-21 + 37q^-20 + 66q^-19 + 48q^-18 - 18q^-17 - 84q^-16 - 92q^-15 - 17q^-14 + 81q^-13 + 132q^-12 + 78q^-11 - 55q^-10 - 158q^-9 - 144q^-8 - 6q^-7 + 156q^-6 + 209q^-5 + 92q^-4 - 126q^-3 - 259q^-2 - 179q^-1 + 55 + 274q + 288q² + 30q³ - 283q⁴ - 348q⁵ - 137q⁶ + 235q⁷ + 443q⁸ + 236q⁹ - 215q¹⁰ - 468q¹¹ - 331q¹² + 137q¹³ + 536q¹⁴ + 419q¹⁵ - 123q¹⁶ - 534q¹⁷ - 490q¹⁸ + 45q¹⁹ + 590q²⁰ + 552q²¹ - 39q²² - 576q²³ - 604q²⁴ - 31q²⁵ + 617q²⁶ + 647q²⁷ + 39q²⁸ - 584q²⁹ - 676q³⁰ - 112q³¹ + 584q³² + 694q³³ + 140q³⁴ - 518q³⁵ - 683q³⁶ - 208q³⁷ + 453q³⁸ + 652q³⁹ + 244q⁴⁰ - 354q⁴¹ - 583q⁴² - 273q⁴³ + 243q⁴⁴ + 487q⁴⁵ + 287q⁴⁶ - 150q⁴⁷ - 376q⁴⁸ - 250q⁴⁹ + 52q⁵⁰ + 261q⁵¹ + 217q⁵² - 4q⁵³ - 163q⁵⁴ - 150q⁵⁵ - 30q⁵⁶ + 84q⁵⁷ + 103q⁵⁸ + 28q⁵⁹ - 34q⁶⁰ - 53q⁶¹ - 29q⁶² + 12q⁶³ + 29q⁶⁴ + 11q⁶⁵ - q⁶⁶ - 5q⁶⁷ - 14q⁶⁸ + 8q⁷⁰ - q⁷¹ + 3q⁷³ - 4q⁷⁴ - q⁷⁵ + 3q⁷⁶ - q⁷⁷ - q⁷⁸ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰
6	q^-57 - 2q^-56 - q^-55 + 2q^-54 + q^-53 + 2q^-52 - 2q^-51 + 4q^-50 - 8q^-49 - 9q^-48 + 5q^-47 + 6q^-46 + 12q^-45 + 15q^-43 - 21q^-42 - 33q^-41 - 9q^-40 + 4q^-39 + 32q^-38 + 20q^-37 + 68q^-36 - 16q^-35 - 68q^-34 - 65q^-33 - 52q^-32 + 13q^-31 + 32q^-30 + 183q^-29 + 78q^-28 - 24q^-27 - 109q^-26 - 165q^-25 - 132q^-24 - 91q^-23 + 249q^-22 + 229q^-21 + 190q^-20 + 28q^-19 - 161q^-18 - 323q^-17 - 419q^-16 + 64q^-15 + 205q^-14 + 424q^-13 + 381q^-12 + 173q^-11 - 278q^-10 - 731q^-9 - 361q^-8 - 193q^-7 + 361q^-6 + 680q^-5 + 767q^-4 + 171q^-3 - 704q^-2 - 720q^-1 - 840 - 127q + 624q² + 1296q³ + 865q⁴ - 260q⁵ - 755q⁶ - 1418q⁷ - 844q⁸ + 193q⁹ + 1535q¹⁰ + 1502q¹¹ + 391q¹² - 488q¹³ - 1750q¹⁴ - 1511q¹⁵ - 391q¹⁶ + 1520q¹⁷ + 1934q¹⁸ + 997q¹⁹ - 122q²⁰ - 1882q²¹ - 2001q²² - 901q²³ + 1420q²⁴ + 2191q²⁵ + 1454q²⁶ + 172q²⁷ - 1942q²⁸ - 2334q²⁹ - 1263q³⁰ + 1346q³¹ + 2364q³² + 1780q³³ + 369q³⁴ - 1982q³⁵ - 2570q³⁶ - 1529q³⁷ + 1259q³⁸ + 2470q³⁹ + 2039q⁴⁰ + 568q⁴¹ - 1919q⁴² - 2715q⁴³ - 1785q⁴⁴ + 1026q⁴⁵ + 2411q⁴⁶ + 2225q⁴⁷ + 862q⁴⁸ - 1607q⁴⁹ - 2646q⁵⁰ - 2005q⁵¹ + 560q⁵² + 2031q⁵³ + 2193q⁵⁴ + 1186q⁵⁵ - 998q⁵⁶ - 2199q⁵⁷ - 1998q⁵⁸ - 12q⁵⁹ + 1311q⁶⁰ + 1782q⁶¹ + 1306q⁶² - 293q⁶³ - 1407q⁶⁴ - 1601q⁶⁵ - 390q⁶⁶ + 522q⁶⁷ + 1066q⁶⁸ + 1060q⁶⁹ + 171q⁷⁰ - 607q⁷¹ - 946q⁷² - 401q⁷³ + 23q⁷⁴ + 403q⁷⁵ + 596q⁷⁶ + 254q⁷⁷ - 128q⁷⁸ - 385q⁷⁹ - 200q⁸⁰ - 106q⁸¹ + 54q⁸² + 228q⁸³ + 138q⁸⁴ + 13q⁸⁵ - 106q⁸⁶ - 44q⁸⁷ - 60q⁸⁸ - 30q⁸⁹ + 63q⁹⁰ + 44q⁹¹ + 14q⁹² - 25q⁹³ + 4q⁹⁴ - 17q⁹⁵ - 20q⁹⁶ + 17q⁹⁷ + 9q⁹⁸ + 4q⁹⁹ - 9q¹⁰⁰ + 6q¹⁰¹ - 2q¹⁰² - 8q¹⁰³ + 6q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵ + q¹⁰⁶ - 3q¹⁰⁷ + q¹⁰⁸ + q¹⁰⁹ - 2q¹¹⁰ + q¹¹¹
7	- q^-77 + 2q^-76 + q^-75 - 2q^-74 - q^-73 - 2q^-72 + 2q^-71 - 2q^-69 + 8q^-68 + 6q^-67 - 4q^-66 - 6q^-65 - 14q^-64 - 2q^-63 + 3q^-62 - 5q^-61 + 24q^-60 + 26q^-59 + 10q^-58 - 4q^-57 - 45q^-56 - 34q^-55 - 20q^-54 - 30q^-53 + 38q^-52 + 74q^-51 + 76q^-50 + 71q^-49 - 43q^-48 - 85q^-47 - 106q^-46 - 157q^-45 - 44q^-44 + 61q^-43 + 166q^-42 + 274q^-41 + 144q^-40 + 22q^-39 - 118q^-38 - 357q^-37 - 323q^-36 - 227q^-35 - 4q^-34 + 383q^-33 + 459q^-32 + 467q^-31 + 290q^-30 - 223q^-29 - 504q^-28 - 725q^-27 - 678q^-26 - 108q^-25 + 334q^-24 + 845q^-23 + 1094q^-22 + 618q^-21 + 88q^-20 - 724q^-19 - 1380q^-18 - 1208q^-17 - 763q^-16 + 283q^-15 + 1431q^-14 + 1706q^-13 + 1570q^-12 + 483q^-11 - 1098q^-10 - 1972q^-9 - 2398q^-8 - 1494q^-7 + 400q^-6 + 1904q^-5 + 3042q^-4 + 2585q^-3 + 620q^-2 - 1398q^-1 - 3388 - 3669q - 1862q² + 586q³ + 3415q⁴ + 4495q⁵ + 3117q⁶ + 566q⁷ - 3029q⁸ - 5126q⁹ - 4386q¹⁰ - 1778q¹¹ + 2444q¹² + 5419q¹³ + 5380q¹⁴ + 3085q¹⁵ - 1574q¹⁶ - 5507q¹⁷ - 6306q¹⁸ - 4265q¹⁹ + 766q²⁰ + 5385q²¹ + 6882q²² + 5333q²³ + 177q²⁴ - 5180q²⁵ - 7459q²⁶ - 6211q²⁷ - 870q²⁸ + 4942q²⁹ + 7724q³⁰ + 6945q³¹ + 1607q³² - 4735q³³ - 8097q³⁴ - 7511q³⁵ - 2034q³⁶ + 4565q³⁷ + 8242q³⁸ + 7984q³⁹ + 2528q⁴⁰ - 4474q⁴¹ - 8548q⁴² - 8353q⁴³ - 2770q⁴⁴ + 4390q⁴⁵ + 8661q⁴⁶ + 8713q⁴⁷ + 3157q⁴⁸ - 4321q⁴⁹ - 8916q⁵⁰ - 9030q⁵¹ - 3406q⁵² + 4156q⁵³ + 8943q⁵⁴ + 9349q⁵⁵ + 3885q⁵⁶ - 3863q⁵⁷ - 8990q⁵⁸ - 9623q⁵⁹ - 4308q⁶⁰ + 3378q⁶¹ + 8701q⁶² + 9773q⁶³ + 4922q⁶⁴ - 2654q⁶⁵ - 8236q⁶⁶ - 9753q⁶⁷ - 5432q⁶⁸ + 1744q⁶⁹ + 7380q⁷⁰ + 9406q⁷¹ + 5881q⁷² - 678q⁷³ - 6237q⁷⁴ - 8724q⁷⁵ - 6095q⁷⁶ - 363q⁷⁷ + 4877q⁷⁸ + 7656q⁷⁹ + 5938q⁸⁰ + 1267q⁸¹ - 3356q⁸² - 6312q⁸³ - 5485q⁸⁴ - 1899q⁸⁵ + 2013q⁸⁶ + 4818q⁸⁷ + 4631q⁸⁸ + 2168q⁸⁹ - 825q⁹⁰ - 3343q⁹¹ - 3671q⁹² - 2106q⁹³ + 51q⁹⁴ + 2089q⁹⁵ + 2613q⁹⁶ + 1774q⁹⁷ + 415q⁹⁸ - 1131q⁹⁹ - 1700q¹⁰⁰ - 1333q¹⁰¹ - 550q¹⁰² + 500q¹⁰³ + 980q¹⁰⁴ + 890q¹⁰⁵ + 512q¹⁰⁶ - 162q¹⁰⁷ - 510q¹⁰⁸ - 509q¹⁰⁹ - 378q¹¹⁰ + 2q¹¹¹ + 212q¹¹² + 276q¹¹³ + 261q¹¹⁴ + 25q¹¹⁵ - 95q¹¹⁶ - 116q¹¹⁷ - 131q¹¹⁸ - 34q¹¹⁹ + 8q¹²⁰ + 52q¹²¹ + 96q¹²² + 13q¹²³ - 21q¹²⁴ - 13q¹²⁵ - 29q¹²⁶ - 4q¹²⁷ - 13q¹²⁸ + 3q¹²⁹ + 33q¹³⁰ - 8q¹³² - 2q¹³³ - 5q¹³⁴ + 5q¹³⁵ - 5q¹³⁶ - 3q¹³⁷ + 10q¹³⁸ - q¹³⁹ - 3q¹⁴⁰ - q¹⁴¹ - q¹⁴² + 3q¹⁴³ - q¹⁴⁴ - q¹⁴⁵ + 2q¹⁴⁶ - q¹⁴⁷

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 10]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[9, 15, 10, 14], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 7, 14, 6], X[11, 1, 12, 16], X[15, 11, 16, 10], X[7, 2, 8, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 10]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 8, -2, 1, -4, 5, -8, 2, -3, 7, -6, 4, -5, 3, -7, 6]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 10]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 12, 2, 14, 16, 6, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 10]]
Out[5]=	BR[3, {1, 1, 1, -2, 1, 1, -2, -2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 10]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 10]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 10]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 3, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 10]][t]
Out[10]=	-3 3 6 2 3 -7 + t - -- + - + 6 t - 3 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 10]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + 3 z + 3 z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 10], Knot[10, 143], Knot[11, NonAlternating, 106]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 10]], KnotSignature[Knot[8, 10]]}
Out[13]=	{27, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 10]][q]
Out[14]=	-2 2 2 3 4 5 6 -3 - q + - + 5 q - 4 q + 5 q - 4 q + 2 q - q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 10]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 10]][q]
Out[16]=	-6 -2 2 4 6 8 10 12 14 18 -q - q + 2 q + q + 4 q + q + q - q - 2 q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 10]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 6 3 6 2 3 z 9 z 4 z 5 z z -2 - -- + -- - 3 z - ---- + ---- - z - -- + ---- + -- 4 2 4 2 4 2 2 a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 10]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 3 3 6 z 2 z 6 z 5 z 2 z 6 z 12 z z -2 - -- - -- - -- + --- + --- + --- + 2 a z + 5 z - -- + ---- + ----- + -- - 4 2 7 5 3 a 6 4 2 7 a a a a a a a a a 3 3 3 4 4 4 5 5 3 z 9 z 8 z 3 4 2 z 5 z 13 z 3 z 3 z > ---- - ---- - ---- - 3 a z - 6 z + ---- - ---- - ----- + ---- + ---- + 5 3 a 6 4 2 5 3 a a a a a a a 5 6 6 7 7 z 5 6 3 z 5 z z z > -- + a z + 2 z + ---- + ---- + -- + -- a 4 2 3 a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 10]], Vassiliev[3][Knot[8, 10]]}
Out[19]=	{3, 3}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 10]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 2 q 3 5 5 2 3 q + 3 q + ----- + ----- + ---- + --- + - + 2 q t + 2 q t + 3 q t + 5 3 3 2 2 q t t q t q t q t 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 13 5 > 2 q t + q t + 3 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 10], 2][q]
Out[21]=	-7 2 -5 6 5 6 14 2 3 4 5 -5 + q - -- - q + -- - -- - -- + -- - 14 q + 21 q - 2 q - 21 q + 23 q + 6 4 3 2 q q q q q 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > 2 q - 24 q + 20 q + 3 q - 19 q + 12 q + 3 q - 9 q + 4 q + 15 16 17 > q - 2 q + q

The Alternating Knot 810

The Alternating Knot 8₁₀