The Alternating Knot 8₁₁

Visit 8₁₁'s page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!)

Visit 8₁₁'s page at Knotilus!

Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,12,6,13 X_3,11,4,10 X_11,3,12,2 X_9,16,10,1 X_15,6,16,7 X_7,14,8,15 X_13,8,14,9

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, 6, -7, 8, -5, 3, -4, 2, -8, 7, -6, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 12 14 16 2 8 6

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 2 / 4--5 1

Alexander Polynomial: - 2t^-2 + 7t^-1 - 9 + 7t - 2t²

Conway Polynomial: 1 - z² - 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₄₇, K11n122, ...}

Determinant and Signature: {27, -2}

Jones Polynomial: q^-7 - 2q^-6 + 3q^-5 - 5q^-4 + 5q^-3 - 4q^-2 + 4q^-1 - 2 + q

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-22 + q^-16 - 2q^-14 - q^-12 - q^-10 + 2q^-6 + 2q^-2 + q⁴

HOMFLY-PT Polynomial: 1 + z² + a² - a²z² - a²z⁴ - 2a⁴ - 2a⁴z² - a⁴z⁴ + a⁶ + a⁶z²

Kauffman Polynomial: 1 - 2z² + z⁴ - 3az³ + 2az⁵ - a² - 2a²z⁴ + 2a²z⁶ + a³z - 2a³z³ + a³z⁵ + a³z⁷ - 2a⁴ + 6a⁴z² - 7a⁴z⁴ + 4a⁴z⁶ + 3a⁵z - 3a⁵z³ + a⁵z⁵ + a⁵z⁷ - a⁶ + 2a⁶z² - 3a⁶z⁴ + 2a⁶z⁶ + 2a⁷z - 4a⁷z³ + 2a⁷z⁵ - 2a⁸z² + a⁸z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-1, 2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 8₁₁. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 3 1

j = 1 1

j = -1 3 1

j = -3 2 2

j = -5 3 2

j = -7 2 2

j = -9 1 3

j = -11 1 2

j = -13 1

j = -15 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-20 - 2q^-19 + 5q^-17 - 7q^-16 - 2q^-15 + 14q^-14 - 12q^-13 - 7q^-12 + 25q^-11 - 16q^-10 - 13q^-9 + 29q^-8 - 15q^-7 - 14q^-6 + 25q^-5 - 9q^-4 - 12q^-3 + 16q^-2 - 3q^-1 - 7 + 6q - 2q³ + q⁴

3 q^-39 - 2q^-38 + 2q^-36 + 2q^-35 - 6q^-34 - 3q^-33 + 9q^-32 + 8q^-31 - 14q^-30 - 14q^-29 + 18q^-28 + 24q^-27 - 20q^-26 - 37q^-25 + 22q^-24 + 47q^-23 - 18q^-22 - 64q^-21 + 20q^-20 + 70q^-19 - 13q^-18 - 78q^-17 + 10q^-16 + 81q^-15 - 7q^-14 - 78q^-13 + 76q^-11 + q^-10 - 63q^-9 - 11q^-8 + 57q^-7 + 11q^-6 - 41q^-5 - 17q^-4 + 33q^-3 + 13q^-2 - 18q^-1 - 14 + 12q + 9q² - 5q³ - 6q⁴ + 3q⁵ + 2q⁶ - 2q⁸ + q⁹

4 q^-64 - 2q^-63 + 2q^-61 - q^-60 + 3q^-59 - 8q^-58 + q^-57 + 9q^-56 - 2q^-55 + 8q^-54 - 24q^-53 - 4q^-52 + 23q^-51 + 6q^-50 + 24q^-49 - 54q^-48 - 27q^-47 + 31q^-46 + 29q^-45 + 70q^-44 - 84q^-43 - 74q^-42 + 12q^-41 + 53q^-40 + 149q^-39 - 93q^-38 - 128q^-37 - 35q^-36 + 60q^-35 + 239q^-34 - 83q^-33 - 169q^-32 - 86q^-31 + 50q^-30 + 303q^-29 - 62q^-28 - 183q^-27 - 124q^-26 + 33q^-25 + 329q^-24 - 38q^-23 - 176q^-22 - 142q^-21 + 12q^-20 + 313q^-19 - 12q^-18 - 141q^-17 - 143q^-16 - 19q^-15 + 263q^-14 + 15q^-13 - 84q^-12 - 124q^-11 - 52q^-10 + 185q^-9 + 32q^-8 - 25q^-7 - 86q^-6 - 66q^-5 + 102q^-4 + 27q^-3 + 12q^-2 - 40q^-1 - 52 + 40q + 11q² + 18q³ - 11q⁴ - 26q⁵ + 13q⁶ + 8q⁸ - q⁹ - 8q¹⁰ + 4q¹¹ - q¹² + 2q¹³ - 2q¹⁵ + q¹⁶

5 q^-95 - 2q^-94 + 2q^-92 - q^-91 + q^-89 - 4q^-88 + 8q^-86 + q^-85 - 5q^-84 - 4q^-83 - 9q^-82 + q^-81 + 20q^-80 + 15q^-79 - 5q^-78 - 23q^-77 - 32q^-76 - 10q^-75 + 39q^-74 + 56q^-73 + 28q^-72 - 38q^-71 - 90q^-70 - 69q^-69 + 29q^-68 + 123q^-67 + 127q^-66 + 6q^-65 - 151q^-64 - 199q^-63 - 67q^-62 + 164q^-61 + 280q^-60 + 145q^-59 - 148q^-58 - 356q^-57 - 255q^-56 + 125q^-55 + 425q^-54 + 347q^-53 - 66q^-52 - 467q^-51 - 471q^-50 + 20q^-49 + 513q^-48 + 533q^-47 + 54q^-46 - 519q^-45 - 624q^-44 - 103q^-43 + 535q^-42 + 660q^-41 + 154q^-40 - 521q^-39 - 700q^-38 - 195q^-37 + 509q^-36 + 720q^-35 + 224q^-34 - 487q^-33 - 710q^-32 - 261q^-31 + 445q^-30 + 713q^-29 + 276q^-28 - 402q^-27 - 664q^-26 - 312q^-25 + 326q^-24 + 640q^-23 + 320q^-22 - 261q^-21 - 549q^-20 - 346q^-19 + 162q^-18 + 495q^-17 + 329q^-16 - 86q^-15 - 373q^-14 - 328q^-13 + 297q^-11 + 279q^-10 + 46q^-9 - 176q^-8 - 238q^-7 - 93q^-6 + 115q^-5 + 170q^-4 + 91q^-3 - 36q^-2 - 116q^-1 - 90 + 9q + 65q² + 62q³ + 18q⁴ - 36q⁵ - 42q⁶ - 12q⁷ + 9q⁸ + 23q⁹ + 15q¹⁰ - 6q¹¹ - 13q¹² - q¹³ - 2q¹⁴ + 2q¹⁵ + 7q¹⁶ - 2q¹⁷ - 4q¹⁸ + 2q¹⁹ - q²¹ + 2q²² - 2q²⁴ + q²⁵

6 q^-132 - 2q^-131 + 2q^-129 - q^-128 - 2q^-126 + 5q^-125 - 5q^-124 - q^-123 + 10q^-122 - 3q^-121 - 4q^-120 - 11q^-119 + 11q^-118 - 8q^-117 + q^-116 + 31q^-115 - q^-114 - 13q^-113 - 38q^-112 + 11q^-111 - 23q^-110 + 5q^-109 + 82q^-108 + 31q^-107 - 6q^-106 - 87q^-105 - 19q^-104 - 93q^-103 - 26q^-102 + 156q^-101 + 134q^-100 + 88q^-99 - 92q^-98 - 64q^-97 - 280q^-96 - 192q^-95 + 152q^-94 + 278q^-93 + 339q^-92 + 84q^-91 + 14q^-90 - 534q^-89 - 565q^-88 - 95q^-87 + 296q^-86 + 669q^-85 + 511q^-84 + 382q^-83 - 664q^-82 - 1036q^-81 - 629q^-80 + 29q^-79 + 870q^-78 + 1050q^-77 + 1042q^-76 - 526q^-75 - 1392q^-74 - 1275q^-73 - 486q^-72 + 823q^-71 + 1479q^-70 + 1785q^-69 - 180q^-68 - 1526q^-67 - 1804q^-66 - 1038q^-65 + 598q^-64 + 1698q^-63 + 2373q^-62 + 194q^-61 - 1484q^-60 - 2120q^-59 - 1445q^-58 + 341q^-57 + 1749q^-56 + 2720q^-55 + 468q^-54 - 1367q^-53 - 2251q^-52 - 1676q^-51 + 136q^-50 + 1703q^-49 + 2858q^-48 + 652q^-47 - 1213q^-46 - 2252q^-45 - 1784q^-44 - 48q^-43 + 1576q^-42 + 2839q^-41 + 803q^-40 - 982q^-39 - 2120q^-38 - 1812q^-37 - 282q^-36 + 1318q^-35 + 2660q^-34 + 955q^-33 - 618q^-32 - 1805q^-31 - 1736q^-30 - 580q^-29 + 881q^-28 + 2276q^-27 + 1056q^-26 - 143q^-25 - 1280q^-24 - 1487q^-23 - 837q^-22 + 322q^-21 + 1667q^-20 + 995q^-19 + 291q^-18 - 638q^-17 - 1035q^-16 - 895q^-15 - 164q^-14 + 950q^-13 + 715q^-12 + 489q^-11 - 100q^-10 - 493q^-9 - 690q^-8 - 382q^-7 + 360q^-6 + 329q^-5 + 403q^-4 + 154q^-3 - 83q^-2 - 361q^-1 - 319 + 57q + 47q² + 193q³ + 148q⁴ + 79q⁵ - 118q⁶ - 154q⁷ - 6q⁸ - 48q⁹ + 47q¹⁰ + 59q¹¹ + 71q¹² - 22q¹³ - 48q¹⁴ + 9q¹⁵ - 34q¹⁶ + 9q¹⁸ + 29q¹⁹ - 5q²⁰ - 12q²¹ + 12q²² - 10q²³ - 2q²⁴ - 2q²⁵ + 9q²⁶ - 3q²⁷ - 5q²⁸ + 6q²⁹ - 2q³⁰ - q³² + 2q³³ - 2q³⁵ + q³⁶

7 q^-175 - 2q^-174 + 2q^-172 - q^-171 - 2q^-169 + 2q^-168 + 4q^-167 - 6q^-166 + q^-165 + 6q^-164 - 3q^-163 - 2q^-162 - 10q^-161 + 16q^-159 - 6q^-158 + 6q^-157 + 14q^-156 - 8q^-155 - 6q^-154 - 37q^-153 - 16q^-152 + 33q^-151 + 7q^-150 + 34q^-149 + 42q^-148 - 6q^-147 - 11q^-146 - 95q^-145 - 85q^-144 + 15q^-143 + 10q^-142 + 106q^-141 + 141q^-140 + 66q^-139 + 40q^-138 - 160q^-137 - 241q^-136 - 145q^-135 - 129q^-134 + 127q^-133 + 318q^-132 + 313q^-131 + 331q^-130 - 35q^-129 - 371q^-128 - 486q^-127 - 624q^-126 - 212q^-125 + 307q^-124 + 647q^-123 + 1007q^-122 + 625q^-121 - 65q^-120 - 703q^-119 - 1437q^-118 - 1198q^-117 - 397q^-116 + 575q^-115 + 1804q^-114 + 1901q^-113 + 1099q^-112 - 203q^-111 - 2036q^-110 - 2633q^-109 - 2001q^-108 - 452q^-107 + 2069q^-106 + 3314q^-105 + 3008q^-104 + 1327q^-103 - 1826q^-102 - 3827q^-101 - 4063q^-100 - 2404q^-99 + 1379q^-98 + 4195q^-97 + 5005q^-96 + 3488q^-95 - 722q^-94 - 4279q^-93 - 5824q^-92 - 4645q^-91 + 4q^-90 + 4289q^-89 + 6445q^-88 + 5551q^-87 + 750q^-86 - 4039q^-85 - 6886q^-84 - 6434q^-83 - 1446q^-82 + 3863q^-81 + 7159q^-80 + 7006q^-79 + 2025q^-78 - 3535q^-77 - 7290q^-76 - 7516q^-75 - 2509q^-74 + 3317q^-73 + 7355q^-72 + 7798q^-71 + 2859q^-70 - 3063q^-69 - 7327q^-68 - 8004q^-67 - 3153q^-66 + 2847q^-65 + 7273q^-64 + 8135q^-63 + 3361q^-62 - 2653q^-61 - 7149q^-60 - 8156q^-59 - 3572q^-58 + 2371q^-57 + 6990q^-56 + 8190q^-55 + 3761q^-54 - 2117q^-53 - 6719q^-52 - 8069q^-51 - 3984q^-50 + 1679q^-49 + 6348q^-48 + 7969q^-47 + 4202q^-46 - 1243q^-45 - 5818q^-44 - 7646q^-43 - 4418q^-42 + 589q^-41 + 5133q^-40 + 7291q^-39 + 4580q^-38 + 20q^-37 - 4276q^-36 - 6631q^-35 - 4660q^-34 - 782q^-33 + 3301q^-32 + 5924q^-31 + 4564q^-30 + 1351q^-29 - 2225q^-28 - 4906q^-27 - 4306q^-26 - 1938q^-25 + 1202q^-24 + 3919q^-23 + 3813q^-22 + 2175q^-21 - 270q^-20 - 2750q^-19 - 3176q^-18 - 2303q^-17 - 448q^-16 + 1790q^-15 + 2424q^-14 + 2070q^-13 + 899q^-12 - 875q^-11 - 1642q^-10 - 1766q^-9 - 1101q^-8 + 282q^-7 + 971q^-6 + 1282q^-5 + 1047q^-4 + 140q^-3 - 427q^-2 - 850q^-1 - 879 - 286q + 81q² + 453q³ + 630q⁴ + 317q⁵ + 102q⁶ - 203q⁷ - 390q⁸ - 230q⁹ - 167q¹⁰ + 25q¹¹ + 224q¹² + 162q¹³ + 134q¹⁴ + 21q¹⁵ - 97q¹⁶ - 55q¹⁷ - 108q¹⁸ - 60q¹⁹ + 46q²⁰ + 34q²¹ + 57q²² + 23q²³ - 14q²⁴ + 15q²⁵ - 27q²⁶ - 35q²⁷ + 4q²⁸ + q²⁹ + 15q³⁰ + 3q³¹ - 9q³² + 17q³³ - q³⁴ - 10q³⁵ - 2q³⁷ + 5q³⁸ - q³⁹ - 6q⁴⁰ + 5q⁴¹ + 2q⁴² - 2q⁴³ - q⁴⁵ + 2q⁴⁶ - 2q⁴⁸ + q⁴⁹

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 11]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[9, 16, 10, 1], X[15, 6, 16, 7], X[7, 14, 8, 15], X[13, 8, 14, 9]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 11]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 6, -7, 8, -5, 3, -4, 2, -8, 7, -6, 5]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 11]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 12, 14, 16, 2, 8, 6]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 11]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, -2, 1, -2, -2, 3, -2, 3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 11]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 11]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 11]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 2, {4, 5}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 11]][t]

Out[10]=
2 7 2 -9 - -- + - + 7 t - 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 11]][z]

Out[11]=
2 4 1 - z - 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 11], Knot[10, 147], Knot[11, NonAlternating, 122]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 11]], KnotSignature[Knot[8, 11]]}

Out[13]=
{27, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 11]][q]

Out[14]=
-7 2 3 5 5 4 4 -2 + q - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 6 5 4 3 2 q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 11]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 11]][q]

Out[16]=
-22 -16 2 -12 -10 2 2 4 q + q - --- - q - q + -- + -- + q 14 6 2 q q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 11]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 2 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 1 + a - 2 a + a + z - a z - 2 a z + a z - a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 11]][a, z]

Out[18]=
2 4 6 3 5 7 2 4 2 6 2 1 - a - 2 a - a + a z + 3 a z + 2 a z - 2 z + 6 a z + 2 a z - 8 2 3 3 3 5 3 7 3 4 2 4 4 4 > 2 a z - 3 a z - 2 a z - 3 a z - 4 a z + z - 2 a z - 7 a z - 6 4 8 4 5 3 5 5 5 7 5 2 6 4 6 > 3 a z + a z + 2 a z + a z + a z + 2 a z + 2 a z + 4 a z + 6 6 3 7 5 7 > 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 11]], Vassiliev[3][Knot[8, 11]]}

Out[19]=
{-1, 2}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 11]][q, t]

Out[20]=
2 3 1 1 1 2 1 3 2 2 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 2 2 t 3 2 > ----- + ---- + ---- + - + q t + q t 5 2 5 3 q q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 11], 2][q]

Out[21]=
-20 2 5 7 2 14 12 7 25 16 13 29 -7 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 q q q q q q q q q q q 15 14 25 9 12 16 3 3 4 > -- - -- + -- - -- - -- + -- - - + 6 q - 2 q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₁₁

8₁₀
8₁₂

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-20 - 2q^-19 + 5q^-17 - 7q^-16 - 2q^-15 + 14q^-14 - 12q^-13 - 7q^-12 + 25q^-11 - 16q^-10 - 13q^-9 + 29q^-8 - 15q^-7 - 14q^-6 + 25q^-5 - 9q^-4 - 12q^-3 + 16q^-2 - 3q^-1 - 7 + 6q - 2q³ + q⁴
3	q^-39 - 2q^-38 + 2q^-36 + 2q^-35 - 6q^-34 - 3q^-33 + 9q^-32 + 8q^-31 - 14q^-30 - 14q^-29 + 18q^-28 + 24q^-27 - 20q^-26 - 37q^-25 + 22q^-24 + 47q^-23 - 18q^-22 - 64q^-21 + 20q^-20 + 70q^-19 - 13q^-18 - 78q^-17 + 10q^-16 + 81q^-15 - 7q^-14 - 78q^-13 + 76q^-11 + q^-10 - 63q^-9 - 11q^-8 + 57q^-7 + 11q^-6 - 41q^-5 - 17q^-4 + 33q^-3 + 13q^-2 - 18q^-1 - 14 + 12q + 9q² - 5q³ - 6q⁴ + 3q⁵ + 2q⁶ - 2q⁸ + q⁹
4	q^-64 - 2q^-63 + 2q^-61 - q^-60 + 3q^-59 - 8q^-58 + q^-57 + 9q^-56 - 2q^-55 + 8q^-54 - 24q^-53 - 4q^-52 + 23q^-51 + 6q^-50 + 24q^-49 - 54q^-48 - 27q^-47 + 31q^-46 + 29q^-45 + 70q^-44 - 84q^-43 - 74q^-42 + 12q^-41 + 53q^-40 + 149q^-39 - 93q^-38 - 128q^-37 - 35q^-36 + 60q^-35 + 239q^-34 - 83q^-33 - 169q^-32 - 86q^-31 + 50q^-30 + 303q^-29 - 62q^-28 - 183q^-27 - 124q^-26 + 33q^-25 + 329q^-24 - 38q^-23 - 176q^-22 - 142q^-21 + 12q^-20 + 313q^-19 - 12q^-18 - 141q^-17 - 143q^-16 - 19q^-15 + 263q^-14 + 15q^-13 - 84q^-12 - 124q^-11 - 52q^-10 + 185q^-9 + 32q^-8 - 25q^-7 - 86q^-6 - 66q^-5 + 102q^-4 + 27q^-3 + 12q^-2 - 40q^-1 - 52 + 40q + 11q² + 18q³ - 11q⁴ - 26q⁵ + 13q⁶ + 8q⁸ - q⁹ - 8q¹⁰ + 4q¹¹ - q¹² + 2q¹³ - 2q¹⁵ + q¹⁶
5	q^-95 - 2q^-94 + 2q^-92 - q^-91 + q^-89 - 4q^-88 + 8q^-86 + q^-85 - 5q^-84 - 4q^-83 - 9q^-82 + q^-81 + 20q^-80 + 15q^-79 - 5q^-78 - 23q^-77 - 32q^-76 - 10q^-75 + 39q^-74 + 56q^-73 + 28q^-72 - 38q^-71 - 90q^-70 - 69q^-69 + 29q^-68 + 123q^-67 + 127q^-66 + 6q^-65 - 151q^-64 - 199q^-63 - 67q^-62 + 164q^-61 + 280q^-60 + 145q^-59 - 148q^-58 - 356q^-57 - 255q^-56 + 125q^-55 + 425q^-54 + 347q^-53 - 66q^-52 - 467q^-51 - 471q^-50 + 20q^-49 + 513q^-48 + 533q^-47 + 54q^-46 - 519q^-45 - 624q^-44 - 103q^-43 + 535q^-42 + 660q^-41 + 154q^-40 - 521q^-39 - 700q^-38 - 195q^-37 + 509q^-36 + 720q^-35 + 224q^-34 - 487q^-33 - 710q^-32 - 261q^-31 + 445q^-30 + 713q^-29 + 276q^-28 - 402q^-27 - 664q^-26 - 312q^-25 + 326q^-24 + 640q^-23 + 320q^-22 - 261q^-21 - 549q^-20 - 346q^-19 + 162q^-18 + 495q^-17 + 329q^-16 - 86q^-15 - 373q^-14 - 328q^-13 + 297q^-11 + 279q^-10 + 46q^-9 - 176q^-8 - 238q^-7 - 93q^-6 + 115q^-5 + 170q^-4 + 91q^-3 - 36q^-2 - 116q^-1 - 90 + 9q + 65q² + 62q³ + 18q⁴ - 36q⁵ - 42q⁶ - 12q⁷ + 9q⁸ + 23q⁹ + 15q¹⁰ - 6q¹¹ - 13q¹² - q¹³ - 2q¹⁴ + 2q¹⁵ + 7q¹⁶ - 2q¹⁷ - 4q¹⁸ + 2q¹⁹ - q²¹ + 2q²² - 2q²⁴ + q²⁵
6	q^-132 - 2q^-131 + 2q^-129 - q^-128 - 2q^-126 + 5q^-125 - 5q^-124 - q^-123 + 10q^-122 - 3q^-121 - 4q^-120 - 11q^-119 + 11q^-118 - 8q^-117 + q^-116 + 31q^-115 - q^-114 - 13q^-113 - 38q^-112 + 11q^-111 - 23q^-110 + 5q^-109 + 82q^-108 + 31q^-107 - 6q^-106 - 87q^-105 - 19q^-104 - 93q^-103 - 26q^-102 + 156q^-101 + 134q^-100 + 88q^-99 - 92q^-98 - 64q^-97 - 280q^-96 - 192q^-95 + 152q^-94 + 278q^-93 + 339q^-92 + 84q^-91 + 14q^-90 - 534q^-89 - 565q^-88 - 95q^-87 + 296q^-86 + 669q^-85 + 511q^-84 + 382q^-83 - 664q^-82 - 1036q^-81 - 629q^-80 + 29q^-79 + 870q^-78 + 1050q^-77 + 1042q^-76 - 526q^-75 - 1392q^-74 - 1275q^-73 - 486q^-72 + 823q^-71 + 1479q^-70 + 1785q^-69 - 180q^-68 - 1526q^-67 - 1804q^-66 - 1038q^-65 + 598q^-64 + 1698q^-63 + 2373q^-62 + 194q^-61 - 1484q^-60 - 2120q^-59 - 1445q^-58 + 341q^-57 + 1749q^-56 + 2720q^-55 + 468q^-54 - 1367q^-53 - 2251q^-52 - 1676q^-51 + 136q^-50 + 1703q^-49 + 2858q^-48 + 652q^-47 - 1213q^-46 - 2252q^-45 - 1784q^-44 - 48q^-43 + 1576q^-42 + 2839q^-41 + 803q^-40 - 982q^-39 - 2120q^-38 - 1812q^-37 - 282q^-36 + 1318q^-35 + 2660q^-34 + 955q^-33 - 618q^-32 - 1805q^-31 - 1736q^-30 - 580q^-29 + 881q^-28 + 2276q^-27 + 1056q^-26 - 143q^-25 - 1280q^-24 - 1487q^-23 - 837q^-22 + 322q^-21 + 1667q^-20 + 995q^-19 + 291q^-18 - 638q^-17 - 1035q^-16 - 895q^-15 - 164q^-14 + 950q^-13 + 715q^-12 + 489q^-11 - 100q^-10 - 493q^-9 - 690q^-8 - 382q^-7 + 360q^-6 + 329q^-5 + 403q^-4 + 154q^-3 - 83q^-2 - 361q^-1 - 319 + 57q + 47q² + 193q³ + 148q⁴ + 79q⁵ - 118q⁶ - 154q⁷ - 6q⁸ - 48q⁹ + 47q¹⁰ + 59q¹¹ + 71q¹² - 22q¹³ - 48q¹⁴ + 9q¹⁵ - 34q¹⁶ + 9q¹⁸ + 29q¹⁹ - 5q²⁰ - 12q²¹ + 12q²² - 10q²³ - 2q²⁴ - 2q²⁵ + 9q²⁶ - 3q²⁷ - 5q²⁸ + 6q²⁹ - 2q³⁰ - q³² + 2q³³ - 2q³⁵ + q³⁶
7	q^-175 - 2q^-174 + 2q^-172 - q^-171 - 2q^-169 + 2q^-168 + 4q^-167 - 6q^-166 + q^-165 + 6q^-164 - 3q^-163 - 2q^-162 - 10q^-161 + 16q^-159 - 6q^-158 + 6q^-157 + 14q^-156 - 8q^-155 - 6q^-154 - 37q^-153 - 16q^-152 + 33q^-151 + 7q^-150 + 34q^-149 + 42q^-148 - 6q^-147 - 11q^-146 - 95q^-145 - 85q^-144 + 15q^-143 + 10q^-142 + 106q^-141 + 141q^-140 + 66q^-139 + 40q^-138 - 160q^-137 - 241q^-136 - 145q^-135 - 129q^-134 + 127q^-133 + 318q^-132 + 313q^-131 + 331q^-130 - 35q^-129 - 371q^-128 - 486q^-127 - 624q^-126 - 212q^-125 + 307q^-124 + 647q^-123 + 1007q^-122 + 625q^-121 - 65q^-120 - 703q^-119 - 1437q^-118 - 1198q^-117 - 397q^-116 + 575q^-115 + 1804q^-114 + 1901q^-113 + 1099q^-112 - 203q^-111 - 2036q^-110 - 2633q^-109 - 2001q^-108 - 452q^-107 + 2069q^-106 + 3314q^-105 + 3008q^-104 + 1327q^-103 - 1826q^-102 - 3827q^-101 - 4063q^-100 - 2404q^-99 + 1379q^-98 + 4195q^-97 + 5005q^-96 + 3488q^-95 - 722q^-94 - 4279q^-93 - 5824q^-92 - 4645q^-91 + 4q^-90 + 4289q^-89 + 6445q^-88 + 5551q^-87 + 750q^-86 - 4039q^-85 - 6886q^-84 - 6434q^-83 - 1446q^-82 + 3863q^-81 + 7159q^-80 + 7006q^-79 + 2025q^-78 - 3535q^-77 - 7290q^-76 - 7516q^-75 - 2509q^-74 + 3317q^-73 + 7355q^-72 + 7798q^-71 + 2859q^-70 - 3063q^-69 - 7327q^-68 - 8004q^-67 - 3153q^-66 + 2847q^-65 + 7273q^-64 + 8135q^-63 + 3361q^-62 - 2653q^-61 - 7149q^-60 - 8156q^-59 - 3572q^-58 + 2371q^-57 + 6990q^-56 + 8190q^-55 + 3761q^-54 - 2117q^-53 - 6719q^-52 - 8069q^-51 - 3984q^-50 + 1679q^-49 + 6348q^-48 + 7969q^-47 + 4202q^-46 - 1243q^-45 - 5818q^-44 - 7646q^-43 - 4418q^-42 + 589q^-41 + 5133q^-40 + 7291q^-39 + 4580q^-38 + 20q^-37 - 4276q^-36 - 6631q^-35 - 4660q^-34 - 782q^-33 + 3301q^-32 + 5924q^-31 + 4564q^-30 + 1351q^-29 - 2225q^-28 - 4906q^-27 - 4306q^-26 - 1938q^-25 + 1202q^-24 + 3919q^-23 + 3813q^-22 + 2175q^-21 - 270q^-20 - 2750q^-19 - 3176q^-18 - 2303q^-17 - 448q^-16 + 1790q^-15 + 2424q^-14 + 2070q^-13 + 899q^-12 - 875q^-11 - 1642q^-10 - 1766q^-9 - 1101q^-8 + 282q^-7 + 971q^-6 + 1282q^-5 + 1047q^-4 + 140q^-3 - 427q^-2 - 850q^-1 - 879 - 286q + 81q² + 453q³ + 630q⁴ + 317q⁵ + 102q⁶ - 203q⁷ - 390q⁸ - 230q⁹ - 167q¹⁰ + 25q¹¹ + 224q¹² + 162q¹³ + 134q¹⁴ + 21q¹⁵ - 97q¹⁶ - 55q¹⁷ - 108q¹⁸ - 60q¹⁹ + 46q²⁰ + 34q²¹ + 57q²² + 23q²³ - 14q²⁴ + 15q²⁵ - 27q²⁶ - 35q²⁷ + 4q²⁸ + q²⁹ + 15q³⁰ + 3q³¹ - 9q³² + 17q³³ - q³⁴ - 10q³⁵ - 2q³⁷ + 5q³⁸ - q³⁹ - 6q⁴⁰ + 5q⁴¹ + 2q⁴² - 2q⁴³ - q⁴⁵ + 2q⁴⁶ - 2q⁴⁸ + q⁴⁹

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 11]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[9, 16, 10, 1], X[15, 6, 16, 7], X[7, 14, 8, 15], X[13, 8, 14, 9]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 11]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 6, -7, 8, -5, 3, -4, 2, -8, 7, -6, 5]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 11]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 14, 16, 2, 8, 6]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 11]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, -2, 1, -2, -2, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 11]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 11]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 11]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 2, {4, 5}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 11]][t]
Out[10]=	2 7 2 -9 - -- + - + 7 t - 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 11]][z]
Out[11]=	2 4 1 - z - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 11], Knot[10, 147], Knot[11, NonAlternating, 122]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 11]], KnotSignature[Knot[8, 11]]}
Out[13]=	{27, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 11]][q]
Out[14]=	-7 2 3 5 5 4 4 -2 + q - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 6 5 4 3 2 q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 11]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 11]][q]
Out[16]=	-22 -16 2 -12 -10 2 2 4 q + q - --- - q - q + -- + -- + q 14 6 2 q q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 11]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 2 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 1 + a - 2 a + a + z - a z - 2 a z + a z - a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 11]][a, z]
Out[18]=	2 4 6 3 5 7 2 4 2 6 2 1 - a - 2 a - a + a z + 3 a z + 2 a z - 2 z + 6 a z + 2 a z - 8 2 3 3 3 5 3 7 3 4 2 4 4 4 > 2 a z - 3 a z - 2 a z - 3 a z - 4 a z + z - 2 a z - 7 a z - 6 4 8 4 5 3 5 5 5 7 5 2 6 4 6 > 3 a z + a z + 2 a z + a z + a z + 2 a z + 2 a z + 4 a z + 6 6 3 7 5 7 > 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 11]], Vassiliev[3][Knot[8, 11]]}
Out[19]=	{-1, 2}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 11]][q, t]
Out[20]=	2 3 1 1 1 2 1 3 2 2 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 2 2 t 3 2 > ----- + ---- + ---- + - + q t + q t 5 2 5 3 q q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 11], 2][q]
Out[21]=	-20 2 5 7 2 14 12 7 25 16 13 29 -7 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 q q q q q q q q q q q 15 14 25 9 12 16 3 3 4 > -- - -- + -- - -- - -- + -- - - + 6 q - 2 q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

The Alternating Knot 811

The Alternating Knot 8₁₁