The Alternating Knot 8₁₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₄₂₅₁ X_10,8,11,7 X₈₃₉₄ X_2,9,3,10 X_14,6,15,5 X_16,11,1,12 X_12,15,13,16 X_6,14,7,13

Gauss Code: {1, -4, 3, -1, 5, -8, 2, -3, 4, -2, 6, -7, 8, -5, 7, -6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 14 10 2 16 6 12

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

FullyAmphicheiral 2 2 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial: t^-2 - 7t^-1 + 13 - 7t + t²

Conway Polynomial: 1 - 3z² + z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {29, 0}

Jones Polynomial: q^-4 - 2q^-3 + 4q^-2 - 5q^-1 + 5 - 5q + 4q² - 2q³ + q⁴

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-14 + q^-12 - q^-10 + q^-8 - q^-4 + q^-2 - 1 + q² - q⁴ + q⁸ - q¹⁰ + q¹² + q¹⁴

HOMFLY-PT Polynomial: a^-4 - a^-2 - 2a^-2z² + 1 + z² + z⁴ - a² - 2a²z² + a⁴

Kauffman Polynomial: a^-4 - 2a^-4z² + a^-4z⁴ + a^-3z - 3a^-3z³ + 2a^-3z⁵ + a^-2 - 2a^-2z² - a^-2z⁴ + 2a^-2z⁶ - 3a^-1z³ + 2a^-1z⁵ + a^-1z⁷ + 1 - 4z⁴ + 4z⁶ - 3az³ + 2az⁵ + az⁷ + a² - 2a²z² - a²z⁴ + 2a²z⁶ + a³z - 3a³z³ + 2a³z⁵ + a⁴ - 2a⁴z² + a⁴z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-3, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 8₁₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 9 1

j = 7 1

j = 5 3 1

j = 3 2 1

j = 1 3 3

j = -1 3 3

j = -3 1 2

j = -5 1 3

j = -7 1

j = -9 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-12 - 2q^-11 + 6q^-9 - 8q^-8 - 3q^-7 + 18q^-6 - 15q^-5 - 10q^-4 + 30q^-3 - 18q^-2 - 16q^-1 + 35 - 16q - 18q² + 30q³ - 10q⁴ - 15q⁵ + 18q⁶ - 3q⁷ - 8q⁸ + 6q⁹ - 2q¹¹ + q¹²

3 q^-24 - 2q^-23 + 2q^-21 + 3q^-20 - 7q^-19 - 5q^-18 + 11q^-17 + 13q^-16 - 18q^-15 - 22q^-14 + 20q^-13 + 40q^-12 - 26q^-11 - 54q^-10 + 23q^-9 + 73q^-8 - 20q^-7 - 88q^-6 + 15q^-5 + 100q^-4 - 9q^-3 - 108q^-2 + 4q^-1 + 109 + 4q - 108q² - 9q³ + 100q⁴ + 15q⁵ - 88q⁶ - 20q⁷ + 73q⁸ + 23q⁹ - 54q¹⁰ - 26q¹¹ + 40q¹² + 20q¹³ - 22q¹⁴ - 18q¹⁵ + 13q¹⁶ + 11q¹⁷ - 5q¹⁸ - 7q¹⁹ + 3q²⁰ + 2q²¹ - 2q²³ + q²⁴

4 q^-40 - 2q^-39 + 2q^-37 - q^-36 + 4q^-35 - 9q^-34 - q^-33 + 10q^-32 + q^-31 + 13q^-30 - 32q^-29 - 14q^-28 + 25q^-27 + 19q^-26 + 46q^-25 - 72q^-24 - 58q^-23 + 23q^-22 + 54q^-21 + 130q^-20 - 105q^-19 - 134q^-18 - 21q^-17 + 81q^-16 + 255q^-15 - 101q^-14 - 209q^-13 - 104q^-12 + 77q^-11 + 381q^-10 - 64q^-9 - 257q^-8 - 187q^-7 + 52q^-6 + 464q^-5 - 20q^-4 - 267q^-3 - 244q^-2 + 18q^-1 + 493 + 18q - 244q² - 267q³ - 20q⁴ + 464q⁵ + 52q⁶ - 187q⁷ - 257q⁸ - 64q⁹ + 381q¹⁰ + 77q¹¹ - 104q¹² - 209q¹³ - 101q¹⁴ + 255q¹⁵ + 81q¹⁶ - 21q¹⁷ - 134q¹⁸ - 105q¹⁹ + 130q²⁰ + 54q²¹ + 23q²² - 58q²³ - 72q²⁴ + 46q²⁵ + 19q²⁶ + 25q²⁷ - 14q²⁸ - 32q²⁹ + 13q³⁰ + q³¹ + 10q³² - q³³ - 9q³⁴ + 4q³⁵ - q³⁶ + 2q³⁷ - 2q³⁹ + q⁴⁰

5 q^-60 - 2q^-59 + 2q^-57 - q^-56 + 2q^-54 - 5q^-53 - 2q^-52 + 9q^-51 + 3q^-50 - 2q^-49 - 3q^-48 - 18q^-47 - 8q^-46 + 22q^-45 + 32q^-44 + 14q^-43 - 20q^-42 - 63q^-41 - 52q^-40 + 30q^-39 + 99q^-38 + 101q^-37 - q^-36 - 149q^-35 - 185q^-34 - 39q^-33 + 177q^-32 + 285q^-31 + 144q^-30 - 202q^-29 - 411q^-28 - 251q^-27 + 169q^-26 + 520q^-25 + 428q^-24 - 118q^-23 - 632q^-22 - 588q^-21 + 23q^-20 + 695q^-19 + 777q^-18 + 91q^-17 - 748q^-16 - 931q^-15 - 217q^-14 + 766q^-13 + 1064q^-12 + 339q^-11 - 761q^-10 - 1171q^-9 - 444q^-8 + 743q^-7 + 1238q^-6 + 535q^-5 - 705q^-4 - 1286q^-3 - 605q^-2 + 666q^-1 + 1291 + 666q - 605q² - 1286q³ - 705q⁴ + 535q⁵ + 1238q⁶ + 743q⁷ - 444q⁸ - 1171q⁹ - 761q¹⁰ + 339q¹¹ + 1064q¹² + 766q¹³ - 217q¹⁴ - 931q¹⁵ - 748q¹⁶ + 91q¹⁷ + 777q¹⁸ + 695q¹⁹ + 23q²⁰ - 588q²¹ - 632q²² - 118q²³ + 428q²⁴ + 520q²⁵ + 169q²⁶ - 251q²⁷ - 411q²⁸ - 202q²⁹ + 144q³⁰ + 285q³¹ + 177q³² - 39q³³ - 185q³⁴ - 149q³⁵ - q³⁶ + 101q³⁷ + 99q³⁸ + 30q³⁹ - 52q⁴⁰ - 63q⁴¹ - 20q⁴² + 14q⁴³ + 32q⁴⁴ + 22q⁴⁵ - 8q⁴⁶ - 18q⁴⁷ - 3q⁴⁸ - 2q⁴⁹ + 3q⁵⁰ + 9q⁵¹ - 2q⁵² - 5q⁵³ + 2q⁵⁴ - q⁵⁶ + 2q⁵⁷ - 2q⁵⁹ + q⁶⁰

6 q^-84 - 2q^-83 + 2q^-81 - q^-80 - 2q^-78 + 6q^-77 - 6q^-76 - 3q^-75 + 11q^-74 - q^-73 - 2q^-72 - 12q^-71 + 11q^-70 - 16q^-69 - 7q^-68 + 38q^-67 + 16q^-66 + 3q^-65 - 41q^-64 + q^-63 - 68q^-62 - 33q^-61 + 98q^-60 + 93q^-59 + 77q^-58 - 58q^-57 - 37q^-56 - 237q^-55 - 183q^-54 + 124q^-53 + 255q^-52 + 331q^-51 + 93q^-50 + 5q^-49 - 556q^-48 - 604q^-47 - 102q^-46 + 356q^-45 + 782q^-44 + 595q^-43 + 402q^-42 - 827q^-41 - 1294q^-40 - 786q^-39 + 85q^-38 + 1183q^-37 + 1419q^-36 + 1336q^-35 - 712q^-34 - 1957q^-33 - 1851q^-32 - 715q^-31 + 1194q^-30 + 2244q^-29 + 2655q^-28 - 93q^-27 - 2262q^-26 - 2933q^-25 - 1845q^-24 + 746q^-23 + 2752q^-22 + 3943q^-21 + 806q^-20 - 2153q^-19 - 3708q^-18 - 2911q^-17 + 70q^-16 + 2891q^-15 + 4876q^-14 + 1634q^-13 - 1812q^-12 - 4100q^-11 - 3656q^-10 - 556q^-9 + 2791q^-8 + 5381q^-7 + 2212q^-6 - 1428q^-5 - 4191q^-4 - 4055q^-3 - 1036q^-2 + 2568q^-1 + 5533 + 2568q - 1036q² - 4055q³ - 4191q⁴ - 1428q⁵ + 2212q⁶ + 5381q⁷ + 2791q⁸ - 556q⁹ - 3656q¹⁰ - 4100q¹¹ - 1812q¹² + 1634q¹³ + 4876q¹⁴ + 2891q¹⁵ + 70q¹⁶ - 2911q¹⁷ - 3708q¹⁸ - 2153q¹⁹ + 806q²⁰ + 3943q²¹ + 2752q²² + 746q²³ - 1845q²⁴ - 2933q²⁵ - 2262q²⁶ - 93q²⁷ + 2655q²⁸ + 2244q²⁹ + 1194q³⁰ - 715q³¹ - 1851q³² - 1957q³³ - 712q³⁴ + 1336q³⁵ + 1419q³⁶ + 1183q³⁷ + 85q³⁸ - 786q³⁹ - 1294q⁴⁰ - 827q⁴¹ + 402q⁴² + 595q⁴³ + 782q⁴⁴ + 356q⁴⁵ - 102q⁴⁶ - 604q⁴⁷ - 556q⁴⁸ + 5q⁴⁹ + 93q⁵⁰ + 331q⁵¹ + 255q⁵² + 124q⁵³ - 183q⁵⁴ - 237q⁵⁵ - 37q⁵⁶ - 58q⁵⁷ + 77q⁵⁸ + 93q⁵⁹ + 98q⁶⁰ - 33q⁶¹ - 68q⁶² + q⁶³ - 41q⁶⁴ + 3q⁶⁵ + 16q⁶⁶ + 38q⁶⁷ - 7q⁶⁸ - 16q⁶⁹ + 11q⁷⁰ - 12q⁷¹ - 2q⁷² - q⁷³ + 11q⁷⁴ - 3q⁷⁵ - 6q⁷⁶ + 6q⁷⁷ - 2q⁷⁸ - q⁸⁰ + 2q⁸¹ - 2q⁸³ + q⁸⁴

7 q^-112 - 2q^-111 + 2q^-109 - q^-108 - 2q^-106 + 2q^-105 + 5q^-104 - 7q^-103 - q^-102 + 7q^-101 - q^-100 - 12q^-98 - 2q^-97 + 17q^-96 - 13q^-95 + 3q^-94 + 22q^-93 + 7q^-92 + 7q^-91 - 43q^-90 - 35q^-89 + 10q^-88 - 26q^-87 + 25q^-86 + 81q^-85 + 63q^-84 + 69q^-83 - 77q^-82 - 148q^-81 - 104q^-80 - 156q^-79 + 17q^-78 + 206q^-77 + 282q^-76 + 356q^-75 + 55q^-74 - 268q^-73 - 435q^-72 - 661q^-71 - 340q^-70 + 204q^-69 + 654q^-68 + 1130q^-67 + 788q^-66 + 49q^-65 - 750q^-64 - 1693q^-63 - 1545q^-62 - 598q^-61 + 680q^-60 + 2252q^-59 + 2499q^-58 + 1547q^-57 - 198q^-56 - 2717q^-55 - 3672q^-54 - 2860q^-53 - 655q^-52 + 2844q^-51 + 4768q^-50 + 4537q^-49 + 2104q^-48 - 2562q^-47 - 5828q^-46 - 6373q^-45 - 3891q^-44 + 1784q^-43 + 6441q^-42 + 8212q^-41 + 6132q^-40 - 511q^-39 - 6764q^-38 - 9928q^-37 - 8380q^-36 - 1108q^-35 + 6552q^-34 + 11294q^-33 + 10685q^-32 + 2988q^-31 - 6052q^-30 - 12328q^-29 - 12727q^-28 - 4870q^-27 + 5238q^-26 + 12969q^-25 + 14476q^-24 + 6663q^-23 - 4286q^-22 - 13308q^-21 - 15867q^-20 - 8241q^-19 + 3344q^-18 + 13388q^-17 + 16876q^-16 + 9543q^-15 - 2421q^-14 - 13285q^-13 - 17618q^-12 - 10578q^-11 + 1640q^-10 + 13082q^-9 + 18052q^-8 + 11361q^-7 - 915q^-6 - 12789q^-5 - 18322q^-4 - 11965q^-3 + 311q^-2 + 12426q^-1 + 18379 + 12426q + 311q² - 11965q³ - 18322q⁴ - 12789q⁵ - 915q⁶ + 11361q⁷ + 18052q⁸ + 13082q⁹ + 1640q¹⁰ - 10578q¹¹ - 17618q¹² - 13285q¹³ - 2421q¹⁴ + 9543q¹⁵ + 16876q¹⁶ + 13388q¹⁷ + 3344q¹⁸ - 8241q¹⁹ - 15867q²⁰ - 13308q²¹ - 4286q²² + 6663q²³ + 14476q²⁴ + 12969q²⁵ + 5238q²⁶ - 4870q²⁷ - 12727q²⁸ - 12328q²⁹ - 6052q³⁰ + 2988q³¹ + 10685q³² + 11294q³³ + 6552q³⁴ - 1108q³⁵ - 8380q³⁶ - 9928q³⁷ - 6764q³⁸ - 511q³⁹ + 6132q⁴⁰ + 8212q⁴¹ + 6441q⁴² + 1784q⁴³ - 3891q⁴⁴ - 6373q⁴⁵ - 5828q⁴⁶ - 2562q⁴⁷ + 2104q⁴⁸ + 4537q⁴⁹ + 4768q⁵⁰ + 2844q⁵¹ - 655q⁵² - 2860q⁵³ - 3672q⁵⁴ - 2717q⁵⁵ - 198q⁵⁶ + 1547q⁵⁷ + 2499q⁵⁸ + 2252q⁵⁹ + 680q⁶⁰ - 598q⁶¹ - 1545q⁶² - 1693q⁶³ - 750q⁶⁴ + 49q⁶⁵ + 788q⁶⁶ + 1130q⁶⁷ + 654q⁶⁸ + 204q⁶⁹ - 340q⁷⁰ - 661q⁷¹ - 435q⁷² - 268q⁷³ + 55q⁷⁴ + 356q⁷⁵ + 282q⁷⁶ + 206q⁷⁷ + 17q⁷⁸ - 156q⁷⁹ - 104q⁸⁰ - 148q⁸¹ - 77q⁸² + 69q⁸³ + 63q⁸⁴ + 81q⁸⁵ + 25q⁸⁶ - 26q⁸⁷ + 10q⁸⁸ - 35q⁸⁹ - 43q⁹⁰ + 7q⁹¹ + 7q⁹² + 22q⁹³ + 3q⁹⁴ - 13q⁹⁵ + 17q⁹⁶ - 2q⁹⁷ - 12q⁹⁸ - q¹⁰⁰ + 7q¹⁰¹ - q¹⁰² - 7q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁵ - 2q¹⁰⁶ - q¹⁰⁸ + 2q¹⁰⁹ - 2q¹¹¹ + q¹¹²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 12]]

Out[2]=
PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 8, 11, 7], X[8, 3, 9, 4], X[2, 9, 3, 10], > X[14, 6, 15, 5], X[16, 11, 1, 12], X[12, 15, 13, 16], X[6, 14, 7, 13]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 12]]

Out[3]=
GaussCode[1, -4, 3, -1, 5, -8, 2, -3, 4, -2, 6, -7, 8, -5, 7, -6]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 12]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 14, 10, 2, 16, 6, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 12]]

Out[5]=
BR[5, {-1, 2, -1, -3, 2, 4, -3, 4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 12]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 12]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 12]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{FullyAmphicheiral, 2, 2, 2, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 12]][t]

Out[10]=
-2 7 2 13 + t - - - 7 t + t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 12]][z]

Out[11]=
2 4 1 - 3 z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 12]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 12]], KnotSignature[Knot[8, 12]]}

Out[13]=
{29, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 12]][q]

Out[14]=
-4 2 4 5 2 3 4 5 + q - -- + -- - - - 5 q + 4 q - 2 q + q 3 2 q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 12]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 12]][q]

Out[16]=
-14 -12 -10 -8 -4 -2 2 4 8 10 12 14 -1 + q + q - q + q - q + q + q - q + q - q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 12]][a, z]

Out[17]=
2 -4 -2 2 4 2 2 z 2 2 4 1 + a - a - a + a + z - ---- - 2 a z + z 2 a

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 12]][a, z]

Out[18]=
2 2 3 -4 -2 2 4 z 3 2 z 2 z 2 2 4 2 3 z 1 + a + a + a + a + -- + a z - ---- - ---- - 2 a z - 2 a z - ---- - 3 4 2 3 a a a a 3 4 4 5 5 3 z 3 3 3 4 z z 2 4 4 4 2 z 2 z > ---- - 3 a z - 3 a z - 4 z + -- - -- - a z + a z + ---- + ---- + a 4 2 3 a a a a 6 7 5 3 5 6 2 z 2 6 z 7 > 2 a z + 2 a z + 4 z + ---- + 2 a z + -- + a z 2 a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 12]], Vassiliev[3][Knot[8, 12]]}

Out[19]=
{-3, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 12]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 3 1 2 3 3 - + 3 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 3 q t + 2 q t + q 9 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > q t + 3 q t + q t + q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 12], 2][q]

Out[21]=
-12 2 6 8 3 18 15 10 30 18 16 2 35 + q - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- - 16 q - 18 q + 11 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q 3 4 5 6 7 8 9 11 12 > 30 q - 10 q - 15 q + 18 q - 3 q - 8 q + 6 q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₁₂

8₁₁
8₁₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-12 - 2q^-11 + 6q^-9 - 8q^-8 - 3q^-7 + 18q^-6 - 15q^-5 - 10q^-4 + 30q^-3 - 18q^-2 - 16q^-1 + 35 - 16q - 18q² + 30q³ - 10q⁴ - 15q⁵ + 18q⁶ - 3q⁷ - 8q⁸ + 6q⁹ - 2q¹¹ + q¹²
3	q^-24 - 2q^-23 + 2q^-21 + 3q^-20 - 7q^-19 - 5q^-18 + 11q^-17 + 13q^-16 - 18q^-15 - 22q^-14 + 20q^-13 + 40q^-12 - 26q^-11 - 54q^-10 + 23q^-9 + 73q^-8 - 20q^-7 - 88q^-6 + 15q^-5 + 100q^-4 - 9q^-3 - 108q^-2 + 4q^-1 + 109 + 4q - 108q² - 9q³ + 100q⁴ + 15q⁵ - 88q⁶ - 20q⁷ + 73q⁸ + 23q⁹ - 54q¹⁰ - 26q¹¹ + 40q¹² + 20q¹³ - 22q¹⁴ - 18q¹⁵ + 13q¹⁶ + 11q¹⁷ - 5q¹⁸ - 7q¹⁹ + 3q²⁰ + 2q²¹ - 2q²³ + q²⁴
4	q^-40 - 2q^-39 + 2q^-37 - q^-36 + 4q^-35 - 9q^-34 - q^-33 + 10q^-32 + q^-31 + 13q^-30 - 32q^-29 - 14q^-28 + 25q^-27 + 19q^-26 + 46q^-25 - 72q^-24 - 58q^-23 + 23q^-22 + 54q^-21 + 130q^-20 - 105q^-19 - 134q^-18 - 21q^-17 + 81q^-16 + 255q^-15 - 101q^-14 - 209q^-13 - 104q^-12 + 77q^-11 + 381q^-10 - 64q^-9 - 257q^-8 - 187q^-7 + 52q^-6 + 464q^-5 - 20q^-4 - 267q^-3 - 244q^-2 + 18q^-1 + 493 + 18q - 244q² - 267q³ - 20q⁴ + 464q⁵ + 52q⁶ - 187q⁷ - 257q⁸ - 64q⁹ + 381q¹⁰ + 77q¹¹ - 104q¹² - 209q¹³ - 101q¹⁴ + 255q¹⁵ + 81q¹⁶ - 21q¹⁷ - 134q¹⁸ - 105q¹⁹ + 130q²⁰ + 54q²¹ + 23q²² - 58q²³ - 72q²⁴ + 46q²⁵ + 19q²⁶ + 25q²⁷ - 14q²⁸ - 32q²⁹ + 13q³⁰ + q³¹ + 10q³² - q³³ - 9q³⁴ + 4q³⁵ - q³⁶ + 2q³⁷ - 2q³⁹ + q⁴⁰
5	q^-60 - 2q^-59 + 2q^-57 - q^-56 + 2q^-54 - 5q^-53 - 2q^-52 + 9q^-51 + 3q^-50 - 2q^-49 - 3q^-48 - 18q^-47 - 8q^-46 + 22q^-45 + 32q^-44 + 14q^-43 - 20q^-42 - 63q^-41 - 52q^-40 + 30q^-39 + 99q^-38 + 101q^-37 - q^-36 - 149q^-35 - 185q^-34 - 39q^-33 + 177q^-32 + 285q^-31 + 144q^-30 - 202q^-29 - 411q^-28 - 251q^-27 + 169q^-26 + 520q^-25 + 428q^-24 - 118q^-23 - 632q^-22 - 588q^-21 + 23q^-20 + 695q^-19 + 777q^-18 + 91q^-17 - 748q^-16 - 931q^-15 - 217q^-14 + 766q^-13 + 1064q^-12 + 339q^-11 - 761q^-10 - 1171q^-9 - 444q^-8 + 743q^-7 + 1238q^-6 + 535q^-5 - 705q^-4 - 1286q^-3 - 605q^-2 + 666q^-1 + 1291 + 666q - 605q² - 1286q³ - 705q⁴ + 535q⁵ + 1238q⁶ + 743q⁷ - 444q⁸ - 1171q⁹ - 761q¹⁰ + 339q¹¹ + 1064q¹² + 766q¹³ - 217q¹⁴ - 931q¹⁵ - 748q¹⁶ + 91q¹⁷ + 777q¹⁸ + 695q¹⁹ + 23q²⁰ - 588q²¹ - 632q²² - 118q²³ + 428q²⁴ + 520q²⁵ + 169q²⁶ - 251q²⁷ - 411q²⁸ - 202q²⁹ + 144q³⁰ + 285q³¹ + 177q³² - 39q³³ - 185q³⁴ - 149q³⁵ - q³⁶ + 101q³⁷ + 99q³⁸ + 30q³⁹ - 52q⁴⁰ - 63q⁴¹ - 20q⁴² + 14q⁴³ + 32q⁴⁴ + 22q⁴⁵ - 8q⁴⁶ - 18q⁴⁷ - 3q⁴⁸ - 2q⁴⁹ + 3q⁵⁰ + 9q⁵¹ - 2q⁵² - 5q⁵³ + 2q⁵⁴ - q⁵⁶ + 2q⁵⁷ - 2q⁵⁹ + q⁶⁰
6	q^-84 - 2q^-83 + 2q^-81 - q^-80 - 2q^-78 + 6q^-77 - 6q^-76 - 3q^-75 + 11q^-74 - q^-73 - 2q^-72 - 12q^-71 + 11q^-70 - 16q^-69 - 7q^-68 + 38q^-67 + 16q^-66 + 3q^-65 - 41q^-64 + q^-63 - 68q^-62 - 33q^-61 + 98q^-60 + 93q^-59 + 77q^-58 - 58q^-57 - 37q^-56 - 237q^-55 - 183q^-54 + 124q^-53 + 255q^-52 + 331q^-51 + 93q^-50 + 5q^-49 - 556q^-48 - 604q^-47 - 102q^-46 + 356q^-45 + 782q^-44 + 595q^-43 + 402q^-42 - 827q^-41 - 1294q^-40 - 786q^-39 + 85q^-38 + 1183q^-37 + 1419q^-36 + 1336q^-35 - 712q^-34 - 1957q^-33 - 1851q^-32 - 715q^-31 + 1194q^-30 + 2244q^-29 + 2655q^-28 - 93q^-27 - 2262q^-26 - 2933q^-25 - 1845q^-24 + 746q^-23 + 2752q^-22 + 3943q^-21 + 806q^-20 - 2153q^-19 - 3708q^-18 - 2911q^-17 + 70q^-16 + 2891q^-15 + 4876q^-14 + 1634q^-13 - 1812q^-12 - 4100q^-11 - 3656q^-10 - 556q^-9 + 2791q^-8 + 5381q^-7 + 2212q^-6 - 1428q^-5 - 4191q^-4 - 4055q^-3 - 1036q^-2 + 2568q^-1 + 5533 + 2568q - 1036q² - 4055q³ - 4191q⁴ - 1428q⁵ + 2212q⁶ + 5381q⁷ + 2791q⁸ - 556q⁹ - 3656q¹⁰ - 4100q¹¹ - 1812q¹² + 1634q¹³ + 4876q¹⁴ + 2891q¹⁵ + 70q¹⁶ - 2911q¹⁷ - 3708q¹⁸ - 2153q¹⁹ + 806q²⁰ + 3943q²¹ + 2752q²² + 746q²³ - 1845q²⁴ - 2933q²⁵ - 2262q²⁶ - 93q²⁷ + 2655q²⁸ + 2244q²⁹ + 1194q³⁰ - 715q³¹ - 1851q³² - 1957q³³ - 712q³⁴ + 1336q³⁵ + 1419q³⁶ + 1183q³⁷ + 85q³⁸ - 786q³⁹ - 1294q⁴⁰ - 827q⁴¹ + 402q⁴² + 595q⁴³ + 782q⁴⁴ + 356q⁴⁵ - 102q⁴⁶ - 604q⁴⁷ - 556q⁴⁸ + 5q⁴⁹ + 93q⁵⁰ + 331q⁵¹ + 255q⁵² + 124q⁵³ - 183q⁵⁴ - 237q⁵⁵ - 37q⁵⁶ - 58q⁵⁷ + 77q⁵⁸ + 93q⁵⁹ + 98q⁶⁰ - 33q⁶¹ - 68q⁶² + q⁶³ - 41q⁶⁴ + 3q⁶⁵ + 16q⁶⁶ + 38q⁶⁷ - 7q⁶⁸ - 16q⁶⁹ + 11q⁷⁰ - 12q⁷¹ - 2q⁷² - q⁷³ + 11q⁷⁴ - 3q⁷⁵ - 6q⁷⁶ + 6q⁷⁷ - 2q⁷⁸ - q⁸⁰ + 2q⁸¹ - 2q⁸³ + q⁸⁴
7	q^-112 - 2q^-111 + 2q^-109 - q^-108 - 2q^-106 + 2q^-105 + 5q^-104 - 7q^-103 - q^-102 + 7q^-101 - q^-100 - 12q^-98 - 2q^-97 + 17q^-96 - 13q^-95 + 3q^-94 + 22q^-93 + 7q^-92 + 7q^-91 - 43q^-90 - 35q^-89 + 10q^-88 - 26q^-87 + 25q^-86 + 81q^-85 + 63q^-84 + 69q^-83 - 77q^-82 - 148q^-81 - 104q^-80 - 156q^-79 + 17q^-78 + 206q^-77 + 282q^-76 + 356q^-75 + 55q^-74 - 268q^-73 - 435q^-72 - 661q^-71 - 340q^-70 + 204q^-69 + 654q^-68 + 1130q^-67 + 788q^-66 + 49q^-65 - 750q^-64 - 1693q^-63 - 1545q^-62 - 598q^-61 + 680q^-60 + 2252q^-59 + 2499q^-58 + 1547q^-57 - 198q^-56 - 2717q^-55 - 3672q^-54 - 2860q^-53 - 655q^-52 + 2844q^-51 + 4768q^-50 + 4537q^-49 + 2104q^-48 - 2562q^-47 - 5828q^-46 - 6373q^-45 - 3891q^-44 + 1784q^-43 + 6441q^-42 + 8212q^-41 + 6132q^-40 - 511q^-39 - 6764q^-38 - 9928q^-37 - 8380q^-36 - 1108q^-35 + 6552q^-34 + 11294q^-33 + 10685q^-32 + 2988q^-31 - 6052q^-30 - 12328q^-29 - 12727q^-28 - 4870q^-27 + 5238q^-26 + 12969q^-25 + 14476q^-24 + 6663q^-23 - 4286q^-22 - 13308q^-21 - 15867q^-20 - 8241q^-19 + 3344q^-18 + 13388q^-17 + 16876q^-16 + 9543q^-15 - 2421q^-14 - 13285q^-13 - 17618q^-12 - 10578q^-11 + 1640q^-10 + 13082q^-9 + 18052q^-8 + 11361q^-7 - 915q^-6 - 12789q^-5 - 18322q^-4 - 11965q^-3 + 311q^-2 + 12426q^-1 + 18379 + 12426q + 311q² - 11965q³ - 18322q⁴ - 12789q⁵ - 915q⁶ + 11361q⁷ + 18052q⁸ + 13082q⁹ + 1640q¹⁰ - 10578q¹¹ - 17618q¹² - 13285q¹³ - 2421q¹⁴ + 9543q¹⁵ + 16876q¹⁶ + 13388q¹⁷ + 3344q¹⁸ - 8241q¹⁹ - 15867q²⁰ - 13308q²¹ - 4286q²² + 6663q²³ + 14476q²⁴ + 12969q²⁵ + 5238q²⁶ - 4870q²⁷ - 12727q²⁸ - 12328q²⁹ - 6052q³⁰ + 2988q³¹ + 10685q³² + 11294q³³ + 6552q³⁴ - 1108q³⁵ - 8380q³⁶ - 9928q³⁷ - 6764q³⁸ - 511q³⁹ + 6132q⁴⁰ + 8212q⁴¹ + 6441q⁴² + 1784q⁴³ - 3891q⁴⁴ - 6373q⁴⁵ - 5828q⁴⁶ - 2562q⁴⁷ + 2104q⁴⁸ + 4537q⁴⁹ + 4768q⁵⁰ + 2844q⁵¹ - 655q⁵² - 2860q⁵³ - 3672q⁵⁴ - 2717q⁵⁵ - 198q⁵⁶ + 1547q⁵⁷ + 2499q⁵⁸ + 2252q⁵⁹ + 680q⁶⁰ - 598q⁶¹ - 1545q⁶² - 1693q⁶³ - 750q⁶⁴ + 49q⁶⁵ + 788q⁶⁶ + 1130q⁶⁷ + 654q⁶⁸ + 204q⁶⁹ - 340q⁷⁰ - 661q⁷¹ - 435q⁷² - 268q⁷³ + 55q⁷⁴ + 356q⁷⁵ + 282q⁷⁶ + 206q⁷⁷ + 17q⁷⁸ - 156q⁷⁹ - 104q⁸⁰ - 148q⁸¹ - 77q⁸² + 69q⁸³ + 63q⁸⁴ + 81q⁸⁵ + 25q⁸⁶ - 26q⁸⁷ + 10q⁸⁸ - 35q⁸⁹ - 43q⁹⁰ + 7q⁹¹ + 7q⁹² + 22q⁹³ + 3q⁹⁴ - 13q⁹⁵ + 17q⁹⁶ - 2q⁹⁷ - 12q⁹⁸ - q¹⁰⁰ + 7q¹⁰¹ - q¹⁰² - 7q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁵ - 2q¹⁰⁶ - q¹⁰⁸ + 2q¹⁰⁹ - 2q¹¹¹ + q¹¹²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 12]]
Out[2]=	PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 8, 11, 7], X[8, 3, 9, 4], X[2, 9, 3, 10], > X[14, 6, 15, 5], X[16, 11, 1, 12], X[12, 15, 13, 16], X[6, 14, 7, 13]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 12]]
Out[3]=	GaussCode[1, -4, 3, -1, 5, -8, 2, -3, 4, -2, 6, -7, 8, -5, 7, -6]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 12]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 14, 10, 2, 16, 6, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 12]]
Out[5]=	BR[5, {-1, 2, -1, -3, 2, 4, -3, 4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 12]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 12]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 12]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{FullyAmphicheiral, 2, 2, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 12]][t]
Out[10]=	-2 7 2 13 + t - - - 7 t + t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 12]][z]
Out[11]=	2 4 1 - 3 z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 12]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 12]], KnotSignature[Knot[8, 12]]}
Out[13]=	{29, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 12]][q]
Out[14]=	-4 2 4 5 2 3 4 5 + q - -- + -- - - - 5 q + 4 q - 2 q + q 3 2 q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 12]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 12]][q]
Out[16]=	-14 -12 -10 -8 -4 -2 2 4 8 10 12 14 -1 + q + q - q + q - q + q + q - q + q - q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 12]][a, z]
Out[17]=	2 -4 -2 2 4 2 2 z 2 2 4 1 + a - a - a + a + z - ---- - 2 a z + z 2 a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 12]][a, z]
Out[18]=	2 2 3 -4 -2 2 4 z 3 2 z 2 z 2 2 4 2 3 z 1 + a + a + a + a + -- + a z - ---- - ---- - 2 a z - 2 a z - ---- - 3 4 2 3 a a a a 3 4 4 5 5 3 z 3 3 3 4 z z 2 4 4 4 2 z 2 z > ---- - 3 a z - 3 a z - 4 z + -- - -- - a z + a z + ---- + ---- + a 4 2 3 a a a a 6 7 5 3 5 6 2 z 2 6 z 7 > 2 a z + 2 a z + 4 z + ---- + 2 a z + -- + a z 2 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 12]], Vassiliev[3][Knot[8, 12]]}
Out[19]=	{-3, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 12]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 3 1 2 3 3 - + 3 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 3 q t + 2 q t + q 9 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > q t + 3 q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 12], 2][q]
Out[21]=	-12 2 6 8 3 18 15 10 30 18 16 2 35 + q - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- - 16 q - 18 q + 11 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q 3 4 5 6 7 8 9 11 12 > 30 q - 10 q - 15 q + 18 q - 3 q - 8 q + 6 q - 2 q + q

The Alternating Knot 812

The Alternating Knot 8₁₂