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| © | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: |
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 KnotPlot |
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The Alternating Knot 813Visit 813's page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!) Visit 813's page at Knotilus! |
 KnotPlot |
| PD Presentation: | X1425 X3,10,4,11 X11,1,12,16 X5,13,6,12 X15,7,16,6 X7,15,8,14 X13,9,14,8 X9,2,10,3 |
| Gauss Code: | {-1, 8, -2, 1, -4, 5, -6, 7, -8, 2, -3, 4, -7, 6, -5, 3} |
| DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: | 4 10 12 14 2 16 8 6 |
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Minimum Braid Representative:
Length is 9, width is 4 Braid index is 4 |
A Morse Link Presentation:
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| 3D Invariants: |
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| Alexander Polynomial: | 2t-2 - 7t-1 + 11 - 7t + 2t2 |
| Conway Polynomial: | 1 + z2 + 2z4 |
| Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: | {...} |
| Determinant and Signature: | {29, 0} |
| Jones Polynomial: | - q-3 + 3q-2 - 4q-1 + 5 - 5q + 5q2 - 3q3 + 2q4 - q5 |
| Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: | {...} |
| A2 (sl(3)) Invariant: | - q-10 + q-8 + q-6 - q-4 + q-2 - 1 + q2 + q4 + q6 + 2q8 - q10 - q16 |
| HOMFLY-PT Polynomial: | - a-4 - a-4z2 + 2a-2 + 2a-2z2 + a-2z4 + z2 + z4 - a2z2 |
| Kauffman Polynomial: | 2a-5z - 3a-5z3 + a-5z5 - a-4 + 5a-4z2 - 6a-4z4 + 2a-4z6 + 4a-3z - 7a-3z3 + a-3z5 + a-3z7 - 2a-2 + 7a-2z2 - 11a-2z4 + 5a-2z6 + 3a-1z - 9a-1z3 + 4a-1z5 + a-1z7 - 2z4 + 3z6 + az - 4az3 + 4az5 - 2a2z2 + 3a2z4 + a3z3 |
| V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: | {1, 1} |
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Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 813. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) |
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| n | Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2)) |
| 2 | q-9 - 3q-8 + q-7 + 7q-6 - 12q-5 + 2q-4 + 17q-3 - 22q-2 + 2q-1 + 26 - 27q - q2 + 28q3 - 24q4 - 5q5 + 24q6 - 15q7 - 6q8 + 15q9 - 6q10 - 5q11 + 6q12 - q13 - 2q14 + q15 |
| 3 | - q-18 + 3q-17 - q-16 - 4q-15 + 9q-13 + q-12 - 19q-11 + q-10 + 27q-9 + 2q-8 - 42q-7 - 2q-6 + 54q-5 + 9q-4 - 69q-3 - 12q-2 + 77q-1 + 20 - 84q - 24q2 + 82q3 + 33q4 - 81q5 - 35q6 + 71q7 + 42q8 - 64q9 - 41q10 + 48q11 + 46q12 - 40q13 - 41q14 + 25q15 + 39q16 - 15q17 - 32q18 + 6q19 + 24q20 + q21 - 17q22 - 3q23 + 9q24 + 4q25 - 5q26 - 2q27 + q28 + 2q29 - q30 |
| 4 | q-30 - 3q-29 + q-28 + 4q-27 - 3q-26 + 3q-25 - 12q-24 + 7q-23 + 15q-22 - 12q-21 + 5q-20 - 36q-19 + 22q-18 + 47q-17 - 25q-16 - 8q-15 - 83q-14 + 50q-13 + 109q-12 - 28q-11 - 37q-10 - 161q-9 + 70q-8 + 192q-7 - 4q-6 - 62q-5 - 251q-4 + 65q-3 + 258q-2 + 36q-1 - 59 - 318q + 40q2 + 279q3 + 69q4 - 31q5 - 338q6 + 8q7 + 253q8 + 89q9 + 12q10 - 319q11 - 26q12 + 200q13 + 98q14 + 56q15 - 269q16 - 59q17 + 128q18 + 97q19 + 96q20 - 198q21 - 82q22 + 53q23 + 79q24 + 116q25 - 115q26 - 77q27 - 7q28 + 41q29 + 104q30 - 43q31 - 45q32 - 31q33 + 3q34 + 65q35 - 4q36 - 12q37 - 23q38 - 12q39 + 26q40 + 3q41 + 2q42 - 7q43 - 8q44 + 6q45 + q46 + 2q47 - q48 - 2q49 + q50 |
| 5 | - q-45 + 3q-44 - q-43 - 4q-42 + 3q-41 + 4q-38 - 3q-37 - 10q-36 + 5q-35 + 11q-34 + 5q-33 - 4q-32 - 20q-31 - 17q-30 + 11q-29 + 45q-28 + 37q-27 - 32q-26 - 80q-25 - 59q-24 + 33q-23 + 139q-22 + 123q-21 - 56q-20 - 216q-19 - 184q-18 + 40q-17 + 298q-16 + 302q-15 - 29q-14 - 386q-13 - 408q-12 - 28q-11 + 455q-10 + 545q-9 + 88q-8 - 506q-7 - 649q-6 - 178q-5 + 525q-4 + 754q-3 + 249q-2 - 518q-1 - 805 - 336q + 490q2 + 849q3 + 383q4 - 449q5 - 837q6 - 435q7 + 391q8 + 832q9 + 450q10 - 336q11 - 774q12 - 481q13 + 270q14 + 735q15 + 475q16 - 198q17 - 653q18 - 499q19 + 122q20 + 596q21 + 478q22 - 38q23 - 488q24 - 493q25 - 44q26 + 409q27 + 454q28 + 121q29 - 281q30 - 434q31 - 192q32 + 190q33 + 365q34 + 233q35 - 72q36 - 298q37 - 254q38 - 11q39 + 211q40 + 239q41 + 77q42 - 123q43 - 203q44 - 115q45 + 52q46 + 150q47 + 118q48 + 6q49 - 94q50 - 105q51 - 33q52 + 46q53 + 73q54 + 47q55 - 15q56 - 48q57 - 34q58 - 5q59 + 20q60 + 29q61 + 9q62 - 12q63 - 11q64 - 7q65 - 2q66 + 9q67 + 6q68 - 2q69 - 2q70 - q71 - 2q72 + q73 + 2q74 - q75 |
| 6 | q-63 - 3q-62 + q-61 + 4q-60 - 3q-59 - 3q-57 + 8q-56 - 8q-55 - 2q-54 + 17q-53 - 15q-52 - 5q-51 - 5q-50 + 28q-49 - 10q-48 - 2q-47 + 34q-46 - 54q-45 - 35q-44 - 12q-43 + 94q-42 + 19q-41 + 25q-40 + 57q-39 - 172q-38 - 148q-37 - 63q-36 + 228q-35 + 168q-34 + 167q-33 + 119q-32 - 418q-31 - 463q-30 - 266q-29 + 391q-28 + 506q-27 + 570q-26 + 343q-25 - 739q-24 - 1040q-23 - 775q-22 + 421q-21 + 950q-20 + 1271q-19 + 876q-18 - 928q-17 - 1725q-16 - 1585q-15 + 147q-14 + 1246q-13 + 2056q-12 + 1667q-11 - 802q-10 - 2213q-9 - 2423q-8 - 376q-7 + 1207q-6 + 2600q-5 + 2429q-4 - 420q-3 - 2331q-2 - 2973q-1 - 888 + 906q + 2759q2 + 2891q3 - 11q4 - 2158q5 - 3132q6 - 1193q7 + 542q8 + 2627q9 + 3008q10 + 281q11 - 1861q12 - 3006q13 - 1294q14 + 215q15 + 2343q16 + 2897q17 + 492q18 - 1506q19 - 2725q20 - 1313q21 - 114q22 + 1961q23 + 2671q24 + 720q25 - 1057q26 - 2337q27 - 1325q28 - 504q29 + 1453q30 + 2349q31 + 981q32 - 489q33 - 1807q34 - 1286q35 - 921q36 + 808q37 + 1866q38 + 1165q39 + 124q40 - 1118q41 - 1073q42 - 1213q43 + 118q44 + 1193q45 + 1106q46 + 593q47 - 372q48 - 632q49 - 1201q50 - 405q51 + 454q52 + 750q53 + 718q54 + 195q55 - 94q56 - 852q57 - 565q58 - 98q59 + 264q60 + 491q61 + 390q62 + 283q63 - 373q64 - 387q65 - 283q66 - 77q67 + 146q68 + 265q69 + 346q70 - 42q71 - 118q72 - 188q73 - 148q74 - 60q75 + 70q76 + 207q77 + 48q78 + 25q79 - 50q80 - 71q81 - 80q82 - 21q83 + 72q84 + 22q85 + 35q86 + 5q87 - 9q88 - 35q89 - 22q90 + 16q91 + 12q93 + 6q94 + 5q95 - 9q96 - 8q97 + 4q98 - 2q99 + 2q100 + q101 + 2q102 - q103 - 2q104 + q105 |
| 7 | - q-84 + 3q-83 - q-82 - 4q-81 + 3q-80 + 3q-78 - 5q-77 - 4q-76 + 13q-75 - 5q-74 - 7q-73 + 9q-72 - q-71 + 6q-70 - 16q-69 - 22q-68 + 29q-67 + 5q-65 + 35q-64 - 9q-63 + 4q-62 - 61q-61 - 88q-60 + 30q-59 + 27q-58 + 98q-57 + 153q-56 + 8q-55 - 37q-54 - 209q-53 - 317q-52 - 72q-51 + 75q-50 + 390q-49 + 554q-48 + 203q-47 - 73q-46 - 606q-45 - 954q-44 - 532q-43 + 22q-42 + 966q-41 + 1532q-40 + 973q-39 + 140q-38 - 1257q-37 - 2280q-36 - 1768q-35 - 534q-34 + 1621q-33 + 3215q-32 + 2734q-31 + 1145q-30 - 1758q-29 - 4165q-28 - 4026q-27 - 2107q-26 + 1742q-25 + 5128q-24 + 5393q-23 + 3288q-22 - 1392q-21 - 5852q-20 - 6812q-19 - 4706q-18 + 783q-17 + 6347q-16 + 8055q-15 + 6140q-14 + 92q-13 - 6480q-12 - 9069q-11 - 7507q-10 - 1071q-9 + 6341q-8 + 9702q-7 + 8639q-6 + 2107q-5 - 5946q-4 - 10054q-3 - 9500q-2 - 2978q-1 + 5442 + 10041q + 10026q2 + 3744q3 - 4866q4 - 9891q5 - 10292q6 - 4240q7 + 4354q8 + 9531q9 + 10293q10 + 4617q11 - 3854q12 - 9151q13 - 10186q14 - 4798q15 + 3456q16 + 8672q17 + 9926q18 + 4948q19 - 3010q20 - 8219q21 - 9657q22 - 5016q23 + 2595q24 + 7641q25 + 9302q26 + 5177q27 - 2070q28 - 7071q29 - 8946q30 - 5273q31 + 1474q32 + 6296q33 + 8509q34 + 5502q35 - 752q36 - 5517q37 - 7992q38 - 5607q39 - 40q40 + 4473q41 + 7334q42 + 5790q43 + 894q44 - 3436q45 - 6547q46 - 5715q47 - 1703q48 + 2183q49 + 5550q50 + 5588q51 + 2453q52 - 1027q53 - 4448q54 - 5125q55 - 2947q56 - 168q57 + 3170q58 + 4506q59 + 3246q60 + 1125q61 - 1943q62 - 3609q63 - 3166q64 - 1864q65 + 735q66 + 2603q67 + 2838q68 + 2253q69 + 231q70 - 1563q71 - 2229q72 - 2293q73 - 924q74 + 608q75 + 1489q76 + 2043q77 + 1284q78 + 118q79 - 751q80 - 1559q81 - 1312q82 - 594q83 + 115q84 + 1011q85 + 1112q86 + 768q87 + 315q88 - 482q89 - 781q90 - 731q91 - 521q92 + 101q93 + 423q94 + 538q95 + 551q96 + 141q97 - 149q98 - 335q99 - 442q100 - 201q101 - 33q102 + 122q103 + 300q104 + 211q105 + 102q106 - 25q107 - 170q108 - 121q109 - 101q110 - 57q111 + 69q112 + 82q113 + 85q114 + 45q115 - 32q116 - 22q117 - 35q118 - 48q119 - 5q120 + 10q121 + 28q122 + 25q123 - 6q124 + 3q125 - 2q126 - 14q127 - 6q128 - 4q129 + 6q130 + 8q131 - 2q132 + 2q134 - 2q135 - q136 - 2q137 + q138 + 2q139 - q140 |
Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):
In[1]:= |
<< KnotTheory` |
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)... | |
In[2]:= | PD[Knot[8, 13]] |
Out[2]= | PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[11, 1, 12, 16], X[5, 13, 6, 12], > X[15, 7, 16, 6], X[7, 15, 8, 14], X[13, 9, 14, 8], X[9, 2, 10, 3]] |
In[3]:= | GaussCode[Knot[8, 13]] |
Out[3]= | GaussCode[-1, 8, -2, 1, -4, 5, -6, 7, -8, 2, -3, 4, -7, 6, -5, 3] |
In[4]:= | DTCode[Knot[8, 13]] |
Out[4]= | DTCode[4, 10, 12, 14, 2, 16, 8, 6] |
In[5]:= | br = BR[Knot[8, 13]] |
Out[5]= | BR[4, {-1, -1, 2, -1, 2, 2, 3, -2, 3}] |
In[6]:= | {First[br], Crossings[br]} |
Out[6]= | {4, 9} |
In[7]:= | BraidIndex[Knot[8, 13]] |
Out[7]= | 4 |
In[8]:= | Show[DrawMorseLink[Knot[8, 13]]] |
| |
Out[8]= | -Graphics- |
In[9]:= | #[Knot[8, 13]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex} |
Out[9]= | {Reversible, 1, 2, 2, {4, 5}, 1} |
In[10]:= | alex = Alexander[Knot[8, 13]][t] |
Out[10]= | 2 7 2
11 + -- - - - 7 t + 2 t
2 t
t |
In[11]:= | Conway[Knot[8, 13]][z] |
Out[11]= | 2 4 1 + z + 2 z |
In[12]:= | Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&] |
Out[12]= | {Knot[8, 13]} |
In[13]:= | {KnotDet[Knot[8, 13]], KnotSignature[Knot[8, 13]]} |
Out[13]= | {29, 0} |
In[14]:= | Jones[Knot[8, 13]][q] |
Out[14]= | -3 3 4 2 3 4 5
5 - q + -- - - - 5 q + 5 q - 3 q + 2 q - q
2 q
q |
In[15]:= | Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&] |
Out[15]= | {Knot[8, 13]} |
In[16]:= | A2Invariant[Knot[8, 13]][q] |
Out[16]= | -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 16 -1 - q + q + q - q + q + q + q + q + 2 q - q - q |
In[17]:= | HOMFLYPT[Knot[8, 13]][a, z] |
Out[17]= | 2 2 4
-4 2 2 z 2 z 2 2 4 z
-a + -- + z - -- + ---- - a z + z + --
2 4 2 2
a a a a |
In[18]:= | Kauffman[Knot[8, 13]][a, z] |
Out[18]= | 2 2 3 3
-4 2 2 z 4 z 3 z 5 z 7 z 2 2 3 z 7 z
-a - -- + --- + --- + --- + a z + ---- + ---- - 2 a z - ---- - ---- -
2 5 3 a 4 2 5 3
a a a a a a a
3 4 4 5 5 5
9 z 3 3 3 4 6 z 11 z 2 4 z z 4 z
> ---- - 4 a z + a z - 2 z - ---- - ----- + 3 a z + -- + -- + ---- +
a 4 2 5 3 a
a a a a
6 6 7 7
5 6 2 z 5 z z z
> 4 a z + 3 z + ---- + ---- + -- + --
4 2 3 a
a a a |
In[19]:= | {Vassiliev[2][Knot[8, 13]], Vassiliev[3][Knot[8, 13]]} |
Out[19]= | {1, 1} |
In[20]:= | Kh[Knot[8, 13]][q, t] |
Out[20]= | 3 1 2 1 2 2 3 3 2
- + 3 q + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 3 q t + 2 q t + 2 q t +
q 7 3 5 2 3 2 3 q t
q t q t q t q t
5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 11 5
> 3 q t + q t + 2 q t + q t + q t + q t |
In[21]:= | ColouredJones[Knot[8, 13], 2][q] |
Out[21]= | -9 3 -7 7 12 2 17 22 2 2 3 4
26 + q - -- + q + -- - -- + -- + -- - -- + - - 27 q - q + 28 q - 24 q -
8 6 5 4 3 2 q
q q q q q q
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
> 5 q + 24 q - 15 q - 6 q + 15 q - 6 q - 5 q + 6 q - q - 2 q +
15
> q |
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