The Alternating Knot 8₁₄

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,10,6,11 X₃₉₄₈ X_9,3,10,2 X_7,14,8,15 X_11,16,12,1 X_15,12,16,13 X_13,6,14,7

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, 8, -5, 3, -4, 2, -6, 7, -8, 5, -7, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 10 14 2 16 6 12

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 2 / 4--5 1

Alexander Polynomial: - 2t^-2 + 8t^-1 - 11 + 8t - 2t²

Conway Polynomial: 1 - 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {9₈, 10₁₃₁, ...}

Determinant and Signature: {31, -2}

Jones Polynomial: q^-7 - 3q^-6 + 4q^-5 - 5q^-4 + 6q^-3 - 5q^-2 + 4q^-1 - 2 + q

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-22 - q^-20 - q^-18 + q^-16 - q^-14 + q^-12 + q^-6 - q^-4 + 2q^-2 + q⁴

HOMFLY-PT Polynomial: 1 + z² - a²z² - a²z⁴ - a⁴z² - a⁴z⁴ + a⁶z²

Kauffman Polynomial: 1 - 2z² + z⁴ + az - 3az³ + 2az⁵ - a²z² - a²z⁴ + 2a²z⁶ + 3a³z - 6a³z³ + 3a³z⁵ + a³z⁷ + 3a⁴z² - 7a⁴z⁴ + 5a⁴z⁶ + 3a⁵z - 8a⁵z³ + 4a⁵z⁵ + a⁵z⁷ + a⁶z² - 4a⁶z⁴ + 3a⁶z⁶ + a⁷z - 5a⁷z³ + 3a⁷z⁵ - a⁸z² + a⁸z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 8₁₄. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 3 1

j = 1 1

j = -1 3 1

j = -3 3 2

j = -5 3 2

j = -7 2 3

j = -9 2 3

j = -11 1 2

j = -13 2

j = -15 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-20 - 3q^-19 + 9q^-17 - 10q^-16 - 5q^-15 + 22q^-14 - 16q^-13 - 14q^-12 + 34q^-11 - 18q^-10 - 21q^-9 + 39q^-8 - 15q^-7 - 22q^-6 + 32q^-5 - 8q^-4 - 17q^-3 + 18q^-2 - 2q^-1 - 8 + 6q - 2q³ + q⁴

3 q^-39 - 3q^-38 + 5q^-36 + 4q^-35 - 10q^-34 - 12q^-33 + 17q^-32 + 21q^-31 - 19q^-30 - 38q^-29 + 21q^-28 + 55q^-27 - 16q^-26 - 76q^-25 + 12q^-24 + 92q^-23 - 2q^-22 - 107q^-21 - 8q^-20 + 119q^-19 + 15q^-18 - 123q^-17 - 26q^-16 + 126q^-15 + 29q^-14 - 116q^-13 - 39q^-12 + 108q^-11 + 40q^-10 - 89q^-9 - 43q^-8 + 72q^-7 + 39q^-6 - 49q^-5 - 37q^-4 + 35q^-3 + 26q^-2 - 18q^-1 - 20 + 11q + 11q² - 4q³ - 7q⁴ + 3q⁵ + 2q⁶ - 2q⁸ + q⁹

4 q^-64 - 3q^-63 + 5q^-61 + 4q^-59 - 17q^-58 - 5q^-57 + 17q^-56 + 9q^-55 + 27q^-54 - 50q^-53 - 36q^-52 + 23q^-51 + 34q^-50 + 94q^-49 - 81q^-48 - 100q^-47 - 15q^-46 + 52q^-45 + 218q^-44 - 71q^-43 - 175q^-42 - 108q^-41 + 35q^-40 + 362q^-39 - 12q^-38 - 220q^-37 - 225q^-36 - 21q^-35 + 481q^-34 + 66q^-33 - 228q^-32 - 321q^-31 - 89q^-30 + 548q^-29 + 131q^-28 - 207q^-27 - 375q^-26 - 146q^-25 + 555q^-24 + 172q^-23 - 161q^-22 - 378q^-21 - 189q^-20 + 491q^-19 + 191q^-18 - 87q^-17 - 331q^-16 - 215q^-15 + 368q^-14 + 177q^-13 - 5q^-12 - 235q^-11 - 206q^-10 + 216q^-9 + 126q^-8 + 51q^-7 - 123q^-6 - 155q^-5 + 94q^-4 + 60q^-3 + 56q^-2 - 41q^-1 - 84 + 31q + 14q² + 31q³ - 7q⁴ - 32q⁵ + 11q⁶ - q⁷ + 10q⁸ - 9q¹⁰ + 4q¹¹ - q¹² + 2q¹³ - 2q¹⁵ + q¹⁶

5 q^-95 - 3q^-94 + 5q^-92 - 3q^-89 - 10q^-88 - 5q^-87 + 17q^-86 + 18q^-85 + 6q^-84 - 13q^-83 - 39q^-82 - 32q^-81 + 16q^-80 + 72q^-79 + 66q^-78 - 5q^-77 - 94q^-76 - 131q^-75 - 46q^-74 + 124q^-73 + 219q^-72 + 117q^-71 - 118q^-70 - 304q^-69 - 258q^-68 + 78q^-67 + 409q^-66 + 408q^-65 + 19q^-64 - 472q^-63 - 607q^-62 - 161q^-61 + 518q^-60 + 788q^-59 + 348q^-58 - 505q^-57 - 981q^-56 - 547q^-55 + 465q^-54 + 1126q^-53 + 758q^-52 - 390q^-51 - 1248q^-50 - 952q^-49 + 304q^-48 + 1334q^-47 + 1113q^-46 - 210q^-45 - 1378q^-44 - 1252q^-43 + 114q^-42 + 1414q^-41 + 1342q^-40 - 37q^-39 - 1385q^-38 - 1420q^-37 - 60q^-36 + 1376q^-35 + 1443q^-34 + 130q^-33 - 1282q^-32 - 1460q^-31 - 234q^-30 + 1203q^-29 + 1429q^-28 + 307q^-27 - 1043q^-26 - 1375q^-25 - 407q^-24 + 890q^-23 + 1267q^-22 + 475q^-21 - 680q^-20 - 1134q^-19 - 534q^-18 + 492q^-17 + 949q^-16 + 540q^-15 - 274q^-14 - 766q^-13 - 525q^-12 + 133q^-11 + 553q^-10 + 452q^-9 + 8q^-8 - 376q^-7 - 378q^-6 - 56q^-5 + 220q^-4 + 266q^-3 + 98q^-2 - 117q^-1 - 183 - 79q + 46q² + 103q³ + 69q⁴ - 18q⁵ - 58q⁶ - 33q⁷ - 3q⁸ + 24q⁹ + 27q¹⁰ - q¹¹ - 15q¹² - 3q¹³ - 4q¹⁴ + q¹⁵ + 9q¹⁶ - q¹⁷ - 5q¹⁸ + 2q¹⁹ - q²¹ + 2q²² - 2q²⁴ + q²⁵

6 q^-132 - 3q^-131 + 5q^-129 - 7q^-126 + 4q^-125 - 10q^-124 - 5q^-123 + 26q^-122 + 9q^-121 + 6q^-120 - 25q^-119 - 2q^-118 - 46q^-117 - 28q^-116 + 67q^-115 + 58q^-114 + 59q^-113 - 35q^-112 - 5q^-111 - 169q^-110 - 151q^-109 + 75q^-108 + 155q^-107 + 247q^-106 + 85q^-105 + 91q^-104 - 377q^-103 - 495q^-102 - 156q^-101 + 154q^-100 + 552q^-99 + 505q^-98 + 564q^-97 - 458q^-96 - 1018q^-95 - 834q^-94 - 288q^-93 + 686q^-92 + 1162q^-91 + 1623q^-90 - 12q^-89 - 1365q^-88 - 1851q^-87 - 1373q^-86 + 228q^-85 + 1669q^-84 + 3080q^-83 + 1119q^-82 - 1116q^-81 - 2767q^-80 - 2861q^-79 - 917q^-78 + 1641q^-77 + 4445q^-76 + 2629q^-75 - 237q^-74 - 3204q^-73 - 4253q^-72 - 2391q^-71 + 1087q^-70 + 5343q^-69 + 4022q^-68 + 902q^-67 - 3161q^-66 - 5196q^-65 - 3718q^-64 + 325q^-63 + 5739q^-62 + 4985q^-61 + 1907q^-60 - 2868q^-59 - 5654q^-58 - 4641q^-57 - 364q^-56 + 5772q^-55 + 5496q^-54 + 2625q^-53 - 2486q^-52 - 5734q^-51 - 5177q^-50 - 923q^-49 + 5517q^-48 + 5656q^-47 + 3131q^-46 - 1996q^-45 - 5490q^-44 - 5422q^-43 - 1457q^-42 + 4912q^-41 + 5492q^-40 + 3519q^-39 - 1279q^-38 - 4845q^-37 - 5373q^-36 - 2036q^-35 + 3853q^-34 + 4898q^-33 + 3737q^-32 - 313q^-31 - 3703q^-30 - 4884q^-29 - 2542q^-28 + 2400q^-27 + 3777q^-26 + 3567q^-25 + 676q^-24 - 2180q^-23 - 3841q^-22 - 2673q^-21 + 909q^-20 + 2286q^-19 + 2849q^-18 + 1269q^-17 - 703q^-16 - 2424q^-15 - 2225q^-14 - 107q^-13 + 882q^-12 + 1757q^-11 + 1230q^-10 + 223q^-9 - 1106q^-8 - 1391q^-7 - 420q^-6 + 33q^-5 + 751q^-4 + 767q^-3 + 459q^-2 - 306q^-1 - 616 - 279q - 206q² + 181q³ + 305q⁴ + 310q⁵ - 27q⁶ - 188q⁷ - 77q⁸ - 142q⁹ + 2q¹⁰ + 70q¹¹ + 129q¹² + 8q¹³ - 45q¹⁴ + 7q¹⁵ - 51q¹⁶ - 14q¹⁷ + 5q¹⁸ + 40q¹⁹ - q²⁰ - 13q²¹ + 14q²² - 12q²³ - 4q²⁴ - 3q²⁵ + 11q²⁶ - 2q²⁷ - 6q²⁸ + 6q²⁹ - 2q³⁰ - q³² + 2q³³ - 2q³⁵ + q³⁶

7 q^-175 - 3q^-174 + 5q^-172 - 7q^-169 + 4q^-167 - 10q^-166 + 4q^-165 + 17q^-164 + 9q^-163 + 6q^-162 - 25q^-161 - 25q^-160 + 2q^-159 - 31q^-158 + 12q^-157 + 53q^-156 + 53q^-155 + 67q^-154 - 42q^-153 - 92q^-152 - 71q^-151 - 134q^-150 - 28q^-149 + 108q^-148 + 175q^-147 + 308q^-146 + 110q^-145 - 123q^-144 - 244q^-143 - 509q^-142 - 353q^-141 - 45q^-140 + 295q^-139 + 850q^-138 + 772q^-137 + 339q^-136 - 211q^-135 - 1140q^-134 - 1342q^-133 - 977q^-132 - 212q^-131 + 1361q^-130 + 2102q^-129 + 1949q^-128 + 960q^-127 - 1283q^-126 - 2765q^-125 - 3209q^-124 - 2330q^-123 + 685q^-122 + 3337q^-121 + 4701q^-120 + 4126q^-119 + 463q^-118 - 3371q^-117 - 6116q^-116 - 6441q^-115 - 2354q^-114 + 2891q^-113 + 7352q^-112 + 8892q^-111 + 4794q^-110 - 1650q^-109 - 8068q^-108 - 11405q^-107 - 7700q^-106 - 179q^-105 + 8222q^-104 + 13609q^-103 + 10761q^-102 + 2596q^-101 - 7771q^-100 - 15435q^-99 - 13766q^-98 - 5250q^-97 + 6798q^-96 + 16696q^-95 + 16494q^-94 + 8006q^-93 - 5449q^-92 - 17494q^-91 - 18810q^-90 - 10582q^-89 + 3934q^-88 + 17836q^-87 + 20621q^-86 + 12872q^-85 - 2380q^-84 - 17841q^-83 - 21998q^-82 - 14797q^-81 + 962q^-80 + 17653q^-79 + 22936q^-78 + 16274q^-77 + 318q^-76 - 17258q^-75 - 23547q^-74 - 17493q^-73 - 1413q^-72 + 16880q^-71 + 23889q^-70 + 18291q^-69 + 2364q^-68 - 16270q^-67 - 23985q^-66 - 19044q^-65 - 3258q^-64 + 15709q^-63 + 23913q^-62 + 19454q^-61 + 4117q^-60 - 14790q^-59 - 23577q^-58 - 19909q^-57 - 5089q^-56 + 13796q^-55 + 23014q^-54 + 20069q^-53 + 6107q^-52 - 12343q^-51 - 22038q^-50 - 20178q^-49 - 7272q^-48 + 10636q^-47 + 20697q^-46 + 19907q^-45 + 8428q^-44 - 8479q^-43 - 18830q^-42 - 19338q^-41 - 9558q^-40 + 6129q^-39 + 16479q^-38 + 18233q^-37 + 10439q^-36 - 3553q^-35 - 13698q^-34 - 16688q^-33 - 10925q^-32 + 1136q^-31 + 10638q^-30 + 14515q^-29 + 10901q^-28 + 1100q^-27 - 7532q^-26 - 12076q^-25 - 10290q^-24 - 2657q^-23 + 4616q^-22 + 9280q^-21 + 9111q^-20 + 3744q^-19 - 2147q^-18 - 6681q^-17 - 7550q^-16 - 4003q^-15 + 336q^-14 + 4216q^-13 + 5765q^-12 + 3813q^-11 + 847q^-10 - 2342q^-9 - 4081q^-8 - 3130q^-7 - 1355q^-6 + 949q^-5 + 2577q^-4 + 2356q^-3 + 1434q^-2 - 152q^-1 - 1475 - 1538q - 1203q² - 269q³ + 725q⁴ + 925q⁵ + 874q⁶ + 340q⁷ - 289q⁸ - 439q⁹ - 566q¹⁰ - 336q¹¹ + 87q¹² + 214q¹³ + 318q¹⁴ + 199q¹⁵ - 7q¹⁶ - 29q¹⁷ - 164q¹⁸ - 157q¹⁹ - 14q²⁰ + 19q²¹ + 83q²² + 52q²³ + 35q²⁵ - 25q²⁶ - 51q²⁷ - 8q²⁸ - 4q²⁹ + 21q³⁰ + 6q³¹ - 11q³² + 20q³³ + q³⁴ - 12q³⁵ - 2q³⁶ - 3q³⁷ + 7q³⁸ - 7q⁴⁰ + 5q⁴¹ + 2q⁴² - 2q⁴³ - q⁴⁵ + 2q⁴⁶ - 2q⁴⁸ + q⁴⁹

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 14]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[7, 14, 8, 15], X[11, 16, 12, 1], X[15, 12, 16, 13], X[13, 6, 14, 7]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 14]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 8, -5, 3, -4, 2, -6, 7, -8, 5, -7, 6]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 14]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 10, 14, 2, 16, 6, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 14]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, -1, -2, 1, -2, 3, -2, 3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 14]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 14]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 14]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 2, {4, 5}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 14]][t]

Out[10]=
2 8 2 -11 - -- + - + 8 t - 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 14]][z]

Out[11]=
4 1 - 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 14], Knot[9, 8], Knot[10, 131]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 14]], KnotSignature[Knot[8, 14]]}

Out[13]=
{31, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 14]][q]

Out[14]=
-7 3 4 5 6 5 4 -2 + q - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 6 5 4 3 2 q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 14]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 14]][q]

Out[16]=
-22 -20 -18 -16 -14 -12 -6 -4 2 4 q - q - q + q - q + q + q - q + -- + q 2 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 14]][a, z]

Out[17]=
2 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 1 + z - a z - a z + a z - a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 14]][a, z]

Out[18]=
3 5 7 2 2 2 4 2 6 2 8 2 1 + a z + 3 a z + 3 a z + a z - 2 z - a z + 3 a z + a z - a z - 3 3 3 5 3 7 3 4 2 4 4 4 6 4 > 3 a z - 6 a z - 8 a z - 5 a z + z - a z - 7 a z - 4 a z + 8 4 5 3 5 5 5 7 5 2 6 4 6 > a z + 2 a z + 3 a z + 4 a z + 3 a z + 2 a z + 5 a z + 6 6 3 7 5 7 > 3 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 14]], Vassiliev[3][Knot[8, 14]]}

Out[19]=
{0, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 14]][q, t]

Out[20]=
2 3 1 2 1 2 2 3 2 3 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 2 3 t 3 2 > ----- + ---- + ---- + - + q t + q t 5 2 5 3 q q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 14], 2][q]

Out[21]=
-20 3 9 10 5 22 16 14 34 18 21 39 -8 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 q q q q q q q q q q q 15 22 32 8 17 18 2 3 4 > -- - -- + -- - -- - -- + -- - - + 6 q - 2 q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₁₄

8₁₃
8₁₅

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-20 - 3q^-19 + 9q^-17 - 10q^-16 - 5q^-15 + 22q^-14 - 16q^-13 - 14q^-12 + 34q^-11 - 18q^-10 - 21q^-9 + 39q^-8 - 15q^-7 - 22q^-6 + 32q^-5 - 8q^-4 - 17q^-3 + 18q^-2 - 2q^-1 - 8 + 6q - 2q³ + q⁴
3	q^-39 - 3q^-38 + 5q^-36 + 4q^-35 - 10q^-34 - 12q^-33 + 17q^-32 + 21q^-31 - 19q^-30 - 38q^-29 + 21q^-28 + 55q^-27 - 16q^-26 - 76q^-25 + 12q^-24 + 92q^-23 - 2q^-22 - 107q^-21 - 8q^-20 + 119q^-19 + 15q^-18 - 123q^-17 - 26q^-16 + 126q^-15 + 29q^-14 - 116q^-13 - 39q^-12 + 108q^-11 + 40q^-10 - 89q^-9 - 43q^-8 + 72q^-7 + 39q^-6 - 49q^-5 - 37q^-4 + 35q^-3 + 26q^-2 - 18q^-1 - 20 + 11q + 11q² - 4q³ - 7q⁴ + 3q⁵ + 2q⁶ - 2q⁸ + q⁹
4	q^-64 - 3q^-63 + 5q^-61 + 4q^-59 - 17q^-58 - 5q^-57 + 17q^-56 + 9q^-55 + 27q^-54 - 50q^-53 - 36q^-52 + 23q^-51 + 34q^-50 + 94q^-49 - 81q^-48 - 100q^-47 - 15q^-46 + 52q^-45 + 218q^-44 - 71q^-43 - 175q^-42 - 108q^-41 + 35q^-40 + 362q^-39 - 12q^-38 - 220q^-37 - 225q^-36 - 21q^-35 + 481q^-34 + 66q^-33 - 228q^-32 - 321q^-31 - 89q^-30 + 548q^-29 + 131q^-28 - 207q^-27 - 375q^-26 - 146q^-25 + 555q^-24 + 172q^-23 - 161q^-22 - 378q^-21 - 189q^-20 + 491q^-19 + 191q^-18 - 87q^-17 - 331q^-16 - 215q^-15 + 368q^-14 + 177q^-13 - 5q^-12 - 235q^-11 - 206q^-10 + 216q^-9 + 126q^-8 + 51q^-7 - 123q^-6 - 155q^-5 + 94q^-4 + 60q^-3 + 56q^-2 - 41q^-1 - 84 + 31q + 14q² + 31q³ - 7q⁴ - 32q⁵ + 11q⁶ - q⁷ + 10q⁸ - 9q¹⁰ + 4q¹¹ - q¹² + 2q¹³ - 2q¹⁵ + q¹⁶
5	q^-95 - 3q^-94 + 5q^-92 - 3q^-89 - 10q^-88 - 5q^-87 + 17q^-86 + 18q^-85 + 6q^-84 - 13q^-83 - 39q^-82 - 32q^-81 + 16q^-80 + 72q^-79 + 66q^-78 - 5q^-77 - 94q^-76 - 131q^-75 - 46q^-74 + 124q^-73 + 219q^-72 + 117q^-71 - 118q^-70 - 304q^-69 - 258q^-68 + 78q^-67 + 409q^-66 + 408q^-65 + 19q^-64 - 472q^-63 - 607q^-62 - 161q^-61 + 518q^-60 + 788q^-59 + 348q^-58 - 505q^-57 - 981q^-56 - 547q^-55 + 465q^-54 + 1126q^-53 + 758q^-52 - 390q^-51 - 1248q^-50 - 952q^-49 + 304q^-48 + 1334q^-47 + 1113q^-46 - 210q^-45 - 1378q^-44 - 1252q^-43 + 114q^-42 + 1414q^-41 + 1342q^-40 - 37q^-39 - 1385q^-38 - 1420q^-37 - 60q^-36 + 1376q^-35 + 1443q^-34 + 130q^-33 - 1282q^-32 - 1460q^-31 - 234q^-30 + 1203q^-29 + 1429q^-28 + 307q^-27 - 1043q^-26 - 1375q^-25 - 407q^-24 + 890q^-23 + 1267q^-22 + 475q^-21 - 680q^-20 - 1134q^-19 - 534q^-18 + 492q^-17 + 949q^-16 + 540q^-15 - 274q^-14 - 766q^-13 - 525q^-12 + 133q^-11 + 553q^-10 + 452q^-9 + 8q^-8 - 376q^-7 - 378q^-6 - 56q^-5 + 220q^-4 + 266q^-3 + 98q^-2 - 117q^-1 - 183 - 79q + 46q² + 103q³ + 69q⁴ - 18q⁵ - 58q⁶ - 33q⁷ - 3q⁸ + 24q⁹ + 27q¹⁰ - q¹¹ - 15q¹² - 3q¹³ - 4q¹⁴ + q¹⁵ + 9q¹⁶ - q¹⁷ - 5q¹⁸ + 2q¹⁹ - q²¹ + 2q²² - 2q²⁴ + q²⁵
6	q^-132 - 3q^-131 + 5q^-129 - 7q^-126 + 4q^-125 - 10q^-124 - 5q^-123 + 26q^-122 + 9q^-121 + 6q^-120 - 25q^-119 - 2q^-118 - 46q^-117 - 28q^-116 + 67q^-115 + 58q^-114 + 59q^-113 - 35q^-112 - 5q^-111 - 169q^-110 - 151q^-109 + 75q^-108 + 155q^-107 + 247q^-106 + 85q^-105 + 91q^-104 - 377q^-103 - 495q^-102 - 156q^-101 + 154q^-100 + 552q^-99 + 505q^-98 + 564q^-97 - 458q^-96 - 1018q^-95 - 834q^-94 - 288q^-93 + 686q^-92 + 1162q^-91 + 1623q^-90 - 12q^-89 - 1365q^-88 - 1851q^-87 - 1373q^-86 + 228q^-85 + 1669q^-84 + 3080q^-83 + 1119q^-82 - 1116q^-81 - 2767q^-80 - 2861q^-79 - 917q^-78 + 1641q^-77 + 4445q^-76 + 2629q^-75 - 237q^-74 - 3204q^-73 - 4253q^-72 - 2391q^-71 + 1087q^-70 + 5343q^-69 + 4022q^-68 + 902q^-67 - 3161q^-66 - 5196q^-65 - 3718q^-64 + 325q^-63 + 5739q^-62 + 4985q^-61 + 1907q^-60 - 2868q^-59 - 5654q^-58 - 4641q^-57 - 364q^-56 + 5772q^-55 + 5496q^-54 + 2625q^-53 - 2486q^-52 - 5734q^-51 - 5177q^-50 - 923q^-49 + 5517q^-48 + 5656q^-47 + 3131q^-46 - 1996q^-45 - 5490q^-44 - 5422q^-43 - 1457q^-42 + 4912q^-41 + 5492q^-40 + 3519q^-39 - 1279q^-38 - 4845q^-37 - 5373q^-36 - 2036q^-35 + 3853q^-34 + 4898q^-33 + 3737q^-32 - 313q^-31 - 3703q^-30 - 4884q^-29 - 2542q^-28 + 2400q^-27 + 3777q^-26 + 3567q^-25 + 676q^-24 - 2180q^-23 - 3841q^-22 - 2673q^-21 + 909q^-20 + 2286q^-19 + 2849q^-18 + 1269q^-17 - 703q^-16 - 2424q^-15 - 2225q^-14 - 107q^-13 + 882q^-12 + 1757q^-11 + 1230q^-10 + 223q^-9 - 1106q^-8 - 1391q^-7 - 420q^-6 + 33q^-5 + 751q^-4 + 767q^-3 + 459q^-2 - 306q^-1 - 616 - 279q - 206q² + 181q³ + 305q⁴ + 310q⁵ - 27q⁶ - 188q⁷ - 77q⁸ - 142q⁹ + 2q¹⁰ + 70q¹¹ + 129q¹² + 8q¹³ - 45q¹⁴ + 7q¹⁵ - 51q¹⁶ - 14q¹⁷ + 5q¹⁸ + 40q¹⁹ - q²⁰ - 13q²¹ + 14q²² - 12q²³ - 4q²⁴ - 3q²⁵ + 11q²⁶ - 2q²⁷ - 6q²⁸ + 6q²⁹ - 2q³⁰ - q³² + 2q³³ - 2q³⁵ + q³⁶
7	q^-175 - 3q^-174 + 5q^-172 - 7q^-169 + 4q^-167 - 10q^-166 + 4q^-165 + 17q^-164 + 9q^-163 + 6q^-162 - 25q^-161 - 25q^-160 + 2q^-159 - 31q^-158 + 12q^-157 + 53q^-156 + 53q^-155 + 67q^-154 - 42q^-153 - 92q^-152 - 71q^-151 - 134q^-150 - 28q^-149 + 108q^-148 + 175q^-147 + 308q^-146 + 110q^-145 - 123q^-144 - 244q^-143 - 509q^-142 - 353q^-141 - 45q^-140 + 295q^-139 + 850q^-138 + 772q^-137 + 339q^-136 - 211q^-135 - 1140q^-134 - 1342q^-133 - 977q^-132 - 212q^-131 + 1361q^-130 + 2102q^-129 + 1949q^-128 + 960q^-127 - 1283q^-126 - 2765q^-125 - 3209q^-124 - 2330q^-123 + 685q^-122 + 3337q^-121 + 4701q^-120 + 4126q^-119 + 463q^-118 - 3371q^-117 - 6116q^-116 - 6441q^-115 - 2354q^-114 + 2891q^-113 + 7352q^-112 + 8892q^-111 + 4794q^-110 - 1650q^-109 - 8068q^-108 - 11405q^-107 - 7700q^-106 - 179q^-105 + 8222q^-104 + 13609q^-103 + 10761q^-102 + 2596q^-101 - 7771q^-100 - 15435q^-99 - 13766q^-98 - 5250q^-97 + 6798q^-96 + 16696q^-95 + 16494q^-94 + 8006q^-93 - 5449q^-92 - 17494q^-91 - 18810q^-90 - 10582q^-89 + 3934q^-88 + 17836q^-87 + 20621q^-86 + 12872q^-85 - 2380q^-84 - 17841q^-83 - 21998q^-82 - 14797q^-81 + 962q^-80 + 17653q^-79 + 22936q^-78 + 16274q^-77 + 318q^-76 - 17258q^-75 - 23547q^-74 - 17493q^-73 - 1413q^-72 + 16880q^-71 + 23889q^-70 + 18291q^-69 + 2364q^-68 - 16270q^-67 - 23985q^-66 - 19044q^-65 - 3258q^-64 + 15709q^-63 + 23913q^-62 + 19454q^-61 + 4117q^-60 - 14790q^-59 - 23577q^-58 - 19909q^-57 - 5089q^-56 + 13796q^-55 + 23014q^-54 + 20069q^-53 + 6107q^-52 - 12343q^-51 - 22038q^-50 - 20178q^-49 - 7272q^-48 + 10636q^-47 + 20697q^-46 + 19907q^-45 + 8428q^-44 - 8479q^-43 - 18830q^-42 - 19338q^-41 - 9558q^-40 + 6129q^-39 + 16479q^-38 + 18233q^-37 + 10439q^-36 - 3553q^-35 - 13698q^-34 - 16688q^-33 - 10925q^-32 + 1136q^-31 + 10638q^-30 + 14515q^-29 + 10901q^-28 + 1100q^-27 - 7532q^-26 - 12076q^-25 - 10290q^-24 - 2657q^-23 + 4616q^-22 + 9280q^-21 + 9111q^-20 + 3744q^-19 - 2147q^-18 - 6681q^-17 - 7550q^-16 - 4003q^-15 + 336q^-14 + 4216q^-13 + 5765q^-12 + 3813q^-11 + 847q^-10 - 2342q^-9 - 4081q^-8 - 3130q^-7 - 1355q^-6 + 949q^-5 + 2577q^-4 + 2356q^-3 + 1434q^-2 - 152q^-1 - 1475 - 1538q - 1203q² - 269q³ + 725q⁴ + 925q⁵ + 874q⁶ + 340q⁷ - 289q⁸ - 439q⁹ - 566q¹⁰ - 336q¹¹ + 87q¹² + 214q¹³ + 318q¹⁴ + 199q¹⁵ - 7q¹⁶ - 29q¹⁷ - 164q¹⁸ - 157q¹⁹ - 14q²⁰ + 19q²¹ + 83q²² + 52q²³ + 35q²⁵ - 25q²⁶ - 51q²⁷ - 8q²⁸ - 4q²⁹ + 21q³⁰ + 6q³¹ - 11q³² + 20q³³ + q³⁴ - 12q³⁵ - 2q³⁶ - 3q³⁷ + 7q³⁸ - 7q⁴⁰ + 5q⁴¹ + 2q⁴² - 2q⁴³ - q⁴⁵ + 2q⁴⁶ - 2q⁴⁸ + q⁴⁹

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 14]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[7, 14, 8, 15], X[11, 16, 12, 1], X[15, 12, 16, 13], X[13, 6, 14, 7]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 14]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 8, -5, 3, -4, 2, -6, 7, -8, 5, -7, 6]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 14]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 10, 14, 2, 16, 6, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 14]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, -1, -2, 1, -2, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 14]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 14]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 14]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 2, {4, 5}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 14]][t]
Out[10]=	2 8 2 -11 - -- + - + 8 t - 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 14]][z]
Out[11]=	4 1 - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 14], Knot[9, 8], Knot[10, 131]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 14]], KnotSignature[Knot[8, 14]]}
Out[13]=	{31, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 14]][q]
Out[14]=	-7 3 4 5 6 5 4 -2 + q - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 6 5 4 3 2 q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 14]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 14]][q]
Out[16]=	-22 -20 -18 -16 -14 -12 -6 -4 2 4 q - q - q + q - q + q + q - q + -- + q 2 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 14]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 1 + z - a z - a z + a z - a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 14]][a, z]
Out[18]=	3 5 7 2 2 2 4 2 6 2 8 2 1 + a z + 3 a z + 3 a z + a z - 2 z - a z + 3 a z + a z - a z - 3 3 3 5 3 7 3 4 2 4 4 4 6 4 > 3 a z - 6 a z - 8 a z - 5 a z + z - a z - 7 a z - 4 a z + 8 4 5 3 5 5 5 7 5 2 6 4 6 > a z + 2 a z + 3 a z + 4 a z + 3 a z + 2 a z + 5 a z + 6 6 3 7 5 7 > 3 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 14]], Vassiliev[3][Knot[8, 14]]}
Out[19]=	{0, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 14]][q, t]
Out[20]=	2 3 1 2 1 2 2 3 2 3 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 2 3 t 3 2 > ----- + ---- + ---- + - + q t + q t 5 2 5 3 q q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 14], 2][q]
Out[21]=	-20 3 9 10 5 22 16 14 34 18 21 39 -8 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 q q q q q q q q q q q 15 22 32 8 17 18 2 3 4 > -- - -- + -- - -- - -- + -- - - + 6 q - 2 q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

The Alternating Knot 814

The Alternating Knot 8₁₄