The Alternating Knot 8₁₅

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X₃₈₄₉ X_5,12,6,13 X_13,16,14,1 X_9,14,10,15 X_15,10,16,11 X_11,6,12,7 X₇₂₈₃

Gauss Code: {-1, 8, -2, 1, -3, 7, -8, 2, -5, 6, -7, 3, -4, 5, -6, 4}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 12 2 14 6 16 10

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 2 3 / 4--6 1

Alexander Polynomial: 3t^-2 - 8t^-1 + 11 - 8t + 3t²

Conway Polynomial: 1 + 4z² + 3z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n65, ...}

Determinant and Signature: {33, -4}

Jones Polynomial: q^-10 - 3q^-9 + 4q^-8 - 6q^-7 + 6q^-6 - 5q^-5 + 5q^-4 - 2q^-3 + q^-2

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-32 + q^-30 - 2q^-28 - q^-26 - 2q^-24 - 2q^-22 + q^-20 + 3q^-16 + q^-14 + q^-12 + 2q^-10 - q^-8 + q^-6

HOMFLY-PT Polynomial: a⁴ + 2a⁴z² + a⁴z⁴ + 3a⁶ + 5a⁶z² + 2a⁶z⁴ - 4a⁸ - 3a⁸z² + a¹⁰

Kauffman Polynomial: a⁴ - 2a⁴z² + a⁴z⁴ - 2a⁵z³ + 2a⁵z⁵ - 3a⁶ + 5a⁶z² - 5a⁶z⁴ + 3a⁶z⁶ + 6a⁷z - 11a⁷z³ + 5a⁷z⁵ + a⁷z⁷ - 4a⁸ + 8a⁸z² - 10a⁸z⁴ + 6a⁸z⁶ + 8a⁹z - 14a⁹z³ + 6a⁹z⁵ + a⁹z⁷ - a¹⁰ - 3a¹⁰z⁴ + 3a¹⁰z⁶ + 2a¹¹z - 5a¹¹z³ + 3a¹¹z⁵ - a¹²z² + a¹²z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {4, -7}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-4 is the signature of 8₁₅. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -8 r = -7 r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0

j = -3 1

j = -5 2 1

j = -7 3

j = -9 2 2

j = -11 4 3

j = -13 2 2

j = -15 2 4

j = -17 1 2

j = -19 2

j = -21 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-28 - 3q^-27 + 9q^-25 - 11q^-24 - 4q^-23 + 24q^-22 - 19q^-21 - 14q^-20 + 39q^-19 - 22q^-18 - 23q^-17 + 44q^-16 - 19q^-15 - 25q^-14 + 37q^-13 - 10q^-12 - 20q^-11 + 22q^-10 - 2q^-9 - 10q^-8 + 7q^-7 + q^-6 - 2q^-5 + q^-4

3 q^-54 - 3q^-53 + 5q^-51 + 4q^-50 - 11q^-49 - 11q^-48 + 20q^-47 + 20q^-46 - 25q^-45 - 40q^-44 + 32q^-43 + 60q^-42 - 30q^-41 - 89q^-40 + 30q^-39 + 109q^-38 - 15q^-37 - 136q^-36 + 10q^-35 + 148q^-34 + 5q^-33 - 159q^-32 - 15q^-31 + 160q^-30 + 24q^-29 - 152q^-28 - 37q^-27 + 144q^-26 + 38q^-25 - 118q^-24 - 51q^-23 + 101q^-22 + 45q^-21 - 68q^-20 - 51q^-19 + 52q^-18 + 35q^-17 - 24q^-16 - 31q^-15 + 14q^-14 + 18q^-13 - 3q^-12 - 10q^-11 + 2q^-10 + 3q^-9 + q^-8 - 2q^-7 + q^-6

4 q^-88 - 3q^-87 + 5q^-85 + 4q^-83 - 18q^-82 - 4q^-81 + 20q^-80 + 9q^-79 + 23q^-78 - 59q^-77 - 34q^-76 + 39q^-75 + 45q^-74 + 89q^-73 - 117q^-72 - 118q^-71 + 18q^-70 + 101q^-69 + 239q^-68 - 143q^-67 - 246q^-66 - 86q^-65 + 128q^-64 + 449q^-63 - 94q^-62 - 356q^-61 - 251q^-60 + 93q^-59 + 646q^-58 + 6q^-57 - 406q^-56 - 402q^-55 + 19q^-54 + 764q^-53 + 105q^-52 - 394q^-51 - 496q^-50 - 60q^-49 + 788q^-48 + 179q^-47 - 336q^-46 - 522q^-45 - 132q^-44 + 718q^-43 + 226q^-42 - 228q^-41 - 482q^-40 - 200q^-39 + 563q^-38 + 240q^-37 - 89q^-36 - 373q^-35 - 240q^-34 + 350q^-33 + 204q^-32 + 31q^-31 - 221q^-30 - 216q^-29 + 153q^-28 + 120q^-27 + 78q^-26 - 82q^-25 - 133q^-24 + 36q^-23 + 39q^-22 + 57q^-21 - 11q^-20 - 51q^-19 + 4q^-18 + q^-17 + 19q^-16 + 3q^-15 - 11q^-14 + 2q^-13 - 2q^-12 + 3q^-11 + q^-10 - 2q^-9 + q^-8

5 q^-130 - 3q^-129 + 5q^-127 - 3q^-124 - 11q^-123 - 4q^-122 + 20q^-121 + 18q^-120 + 3q^-119 - 20q^-118 - 44q^-117 - 26q^-116 + 36q^-115 + 88q^-114 + 58q^-113 - 41q^-112 - 136q^-111 - 136q^-110 + 12q^-109 + 214q^-108 + 259q^-107 + 42q^-106 - 270q^-105 - 414q^-104 - 200q^-103 + 308q^-102 + 627q^-101 + 396q^-100 - 268q^-99 - 821q^-98 - 706q^-97 + 160q^-96 + 1021q^-95 + 1017q^-94 + 54q^-93 - 1137q^-92 - 1403q^-91 - 299q^-90 + 1211q^-89 + 1703q^-88 + 621q^-87 - 1188q^-86 - 2025q^-85 - 911q^-84 + 1153q^-83 + 2203q^-82 + 1209q^-81 - 1038q^-80 - 2387q^-79 - 1439q^-78 + 941q^-77 + 2454q^-76 + 1631q^-75 - 805q^-74 - 2493q^-73 - 1777q^-72 + 680q^-71 + 2477q^-70 + 1870q^-69 - 542q^-68 - 2389q^-67 - 1944q^-66 + 372q^-65 + 2293q^-64 + 1956q^-63 - 211q^-62 - 2072q^-61 - 1965q^-60 - 8q^-59 + 1874q^-58 + 1883q^-57 + 190q^-56 - 1526q^-55 - 1793q^-54 - 414q^-53 + 1247q^-52 + 1584q^-51 + 542q^-50 - 827q^-49 - 1385q^-48 - 667q^-47 + 551q^-46 + 1077q^-45 + 656q^-44 - 205q^-43 - 805q^-42 - 640q^-41 + 49q^-40 + 510q^-39 + 499q^-38 + 115q^-37 - 294q^-36 - 383q^-35 - 134q^-34 + 127q^-33 + 232q^-32 + 143q^-31 - 40q^-30 - 134q^-29 - 88q^-28 - 12q^-27 + 59q^-26 + 61q^-25 + 13q^-24 - 27q^-23 - 17q^-22 - 15q^-21 + 3q^-20 + 16q^-19 + 4q^-18 - 5q^-17 + q^-16 - 2q^-15 - 2q^-14 + 3q^-13 + q^-12 - 2q^-11 + q^-10

6 q^-180 - 3q^-179 + 5q^-177 - 7q^-174 + 4q^-173 - 11q^-172 - 4q^-171 + 29q^-170 + 9q^-169 + 3q^-168 - 31q^-167 - 5q^-166 - 47q^-165 - 18q^-164 + 91q^-163 + 69q^-162 + 47q^-161 - 74q^-160 - 47q^-159 - 198q^-158 - 121q^-157 + 183q^-156 + 257q^-155 + 280q^-154 - 17q^-153 - 98q^-152 - 592q^-151 - 552q^-150 + 87q^-149 + 546q^-148 + 898q^-147 + 506q^-146 + 170q^-145 - 1173q^-144 - 1572q^-143 - 716q^-142 + 478q^-141 + 1782q^-140 + 1826q^-139 + 1399q^-138 - 1340q^-137 - 2977q^-136 - 2574q^-135 - 685q^-134 + 2197q^-133 + 3649q^-132 + 3866q^-131 - 317q^-130 - 3915q^-129 - 5044q^-128 - 3121q^-127 + 1386q^-126 + 5054q^-125 + 6946q^-124 + 1937q^-123 - 3682q^-122 - 7120q^-121 - 6075q^-120 - 556q^-119 + 5393q^-118 + 9567q^-117 + 4601q^-116 - 2448q^-115 - 8179q^-114 - 8521q^-113 - 2802q^-112 + 4841q^-111 + 11131q^-110 + 6758q^-109 - 922q^-108 - 8338q^-107 - 9983q^-106 - 4607q^-105 + 3946q^-104 + 11714q^-103 + 8084q^-102 + 381q^-101 - 7983q^-100 - 10582q^-99 - 5800q^-98 + 3029q^-97 + 11598q^-96 + 8747q^-95 + 1444q^-94 - 7282q^-93 - 10565q^-92 - 6597q^-91 + 1999q^-90 + 10872q^-89 + 8961q^-88 + 2500q^-87 - 6082q^-86 - 9954q^-85 - 7176q^-84 + 622q^-83 + 9364q^-82 + 8682q^-81 + 3648q^-80 - 4188q^-79 - 8535q^-78 - 7386q^-77 - 1104q^-76 + 6936q^-75 + 7623q^-74 + 4584q^-73 - 1759q^-72 - 6189q^-71 - 6793q^-70 - 2673q^-69 + 3891q^-68 + 5613q^-67 + 4699q^-66 + 491q^-65 - 3295q^-64 - 5153q^-63 - 3312q^-62 + 1117q^-61 + 3049q^-60 + 3681q^-59 + 1677q^-58 - 790q^-57 - 2904q^-56 - 2719q^-55 - 459q^-54 + 879q^-53 + 2011q^-52 + 1564q^-51 + 496q^-50 - 1020q^-49 - 1468q^-48 - 714q^-47 - 179q^-46 + 644q^-45 + 804q^-44 + 618q^-43 - 113q^-42 - 472q^-41 - 346q^-40 - 301q^-39 + 49q^-38 + 216q^-37 + 299q^-36 + 60q^-35 - 73q^-34 - 60q^-33 - 124q^-32 - 42q^-31 + 17q^-30 + 82q^-29 + 20q^-28 - 4q^-27 + 9q^-26 - 25q^-25 - 14q^-24 - 6q^-23 + 18q^-22 + q^-21 - 4q^-20 + 7q^-19 - 3q^-18 - 2q^-17 - 2q^-16 + 3q^-15 + q^-14 - 2q^-13 + q^-12

7 q^-238 - 3q^-237 + 5q^-235 - 7q^-232 + 4q^-230 - 11q^-229 + 5q^-228 + 20q^-227 + 9q^-226 + 3q^-225 - 31q^-224 - 27q^-223 + 3q^-222 - 28q^-221 + 26q^-220 + 72q^-219 + 59q^-218 + 50q^-217 - 85q^-216 - 137q^-215 - 89q^-214 - 117q^-213 + 52q^-212 + 227q^-211 + 268q^-210 + 307q^-209 - 46q^-208 - 375q^-207 - 476q^-206 - 603q^-205 - 166q^-204 + 408q^-203 + 838q^-202 + 1216q^-201 + 639q^-200 - 356q^-199 - 1225q^-198 - 2043q^-197 - 1526q^-196 - 167q^-195 + 1417q^-194 + 3187q^-193 + 3053q^-192 + 1312q^-191 - 1288q^-190 - 4347q^-189 - 5056q^-188 - 3350q^-187 + 204q^-186 + 5202q^-185 + 7634q^-184 + 6422q^-183 + 1885q^-182 - 5371q^-181 - 10095q^-180 - 10336q^-179 - 5489q^-178 + 4278q^-177 + 12281q^-176 + 14864q^-175 + 10239q^-174 - 1746q^-173 - 13373q^-172 - 19357q^-171 - 16171q^-170 - 2311q^-169 + 13290q^-168 + 23332q^-167 + 22422q^-166 + 7629q^-165 - 11572q^-164 - 26344q^-163 - 28722q^-162 - 13734q^-161 + 8765q^-160 + 28072q^-159 + 34166q^-158 + 20059q^-157 - 4784q^-156 - 28555q^-155 - 38856q^-154 - 26035q^-153 + 598q^-152 + 28009q^-151 + 42093q^-150 + 31235q^-149 + 3879q^-148 - 26695q^-147 - 44468q^-146 - 35542q^-145 - 7705q^-144 + 25027q^-143 + 45645q^-142 + 38759q^-141 + 11205q^-140 - 23147q^-139 - 46293q^-138 - 41152q^-137 - 13920q^-136 + 21395q^-135 + 46276q^-134 + 42728q^-133 + 16181q^-132 - 19653q^-131 - 45938q^-130 - 43820q^-129 - 18022q^-128 + 18010q^-127 + 45310q^-126 + 44457q^-125 + 19570q^-124 - 16241q^-123 - 44255q^-122 - 44808q^-121 - 21172q^-120 + 14253q^-119 + 42923q^-118 + 44836q^-117 + 22629q^-116 - 11853q^-115 - 40815q^-114 - 44475q^-113 - 24374q^-112 + 8921q^-111 + 38187q^-110 + 43610q^-109 + 25855q^-108 - 5428q^-107 - 34422q^-106 - 41993q^-105 - 27450q^-104 + 1428q^-103 + 30019q^-102 + 39474q^-101 + 28289q^-100 + 2813q^-99 - 24396q^-98 - 35892q^-97 - 28747q^-96 - 6954q^-95 + 18529q^-94 + 31256q^-93 + 27728q^-92 + 10580q^-91 - 12026q^-90 - 25701q^-89 - 25969q^-88 - 13197q^-87 + 6291q^-86 + 19601q^-85 + 22554q^-84 + 14463q^-83 - 932q^-82 - 13455q^-81 - 18648q^-80 - 14330q^-79 - 2683q^-78 + 7927q^-77 + 13835q^-76 + 12813q^-75 + 5123q^-74 - 3321q^-73 - 9460q^-72 - 10470q^-71 - 5775q^-70 + 195q^-69 + 5418q^-68 + 7594q^-67 + 5479q^-66 + 1649q^-65 - 2506q^-64 - 4961q^-63 - 4283q^-62 - 2251q^-61 + 538q^-60 + 2752q^-59 + 2971q^-58 + 2113q^-57 + 377q^-56 - 1248q^-55 - 1698q^-54 - 1582q^-53 - 720q^-52 + 389q^-51 + 869q^-50 + 972q^-49 + 593q^-48 - 5q^-47 - 273q^-46 - 525q^-45 - 440q^-44 - 100q^-43 + 88q^-42 + 233q^-41 + 199q^-40 + 77q^-39 + 47q^-38 - 76q^-37 - 126q^-36 - 53q^-35 - 13q^-34 + 35q^-33 + 29q^-32 + 4q^-31 + 35q^-30 - 22q^-28 - 12q^-27 - 5q^-26 + 9q^-25 + 3q^-24 - 7q^-23 + 8q^-22 + 3q^-21 - 3q^-20 - 2q^-19 - 2q^-18 + 3q^-17 + q^-16 - 2q^-15 + q^-14

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 15]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[5, 12, 6, 13], X[13, 16, 14, 1], > X[9, 14, 10, 15], X[15, 10, 16, 11], X[11, 6, 12, 7], X[7, 2, 8, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 15]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 8, -2, 1, -3, 7, -8, 2, -5, 6, -7, 3, -4, 5, -6, 4]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 15]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 12, 2, 14, 6, 16, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 15]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, 2, -1, -3, -2, -2, -2, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 15]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 15]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 15]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 2, 3, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 15]][t]

Out[10]=
3 8 2 11 + -- - - - 8 t + 3 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 15]][z]

Out[11]=
2 4 1 + 4 z + 3 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 15], Knot[11, NonAlternating, 65]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 15]], KnotSignature[Knot[8, 15]]}

Out[13]=
{33, -4}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 15]][q]

Out[14]=
-10 3 4 6 6 5 5 2 -2 q - -- + -- - -- + -- - -- + -- - -- + q 9 8 7 6 5 4 3 q q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 15]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 15]][q]

Out[16]=
-32 -30 2 -26 2 2 -20 3 -14 -12 2 -8 q + q - --- - q - --- - --- + q + --- + q + q + --- - q + 28 24 22 16 10 q q q q q -6 > q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 15]][a, z]

Out[17]=
4 6 8 10 4 2 6 2 8 2 4 4 6 4 a + 3 a - 4 a + a + 2 a z + 5 a z - 3 a z + a z + 2 a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 15]][a, z]

Out[18]=
4 6 8 10 7 9 11 4 2 6 2 a - 3 a - 4 a - a + 6 a z + 8 a z + 2 a z - 2 a z + 5 a z + 8 2 12 2 5 3 7 3 9 3 11 3 4 4 > 8 a z - a z - 2 a z - 11 a z - 14 a z - 5 a z + a z - 6 4 8 4 10 4 12 4 5 5 7 5 9 5 > 5 a z - 10 a z - 3 a z + a z + 2 a z + 5 a z + 6 a z + 11 5 6 6 8 6 10 6 7 7 9 7 > 3 a z + 3 a z + 6 a z + 3 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 15]], Vassiliev[3][Knot[8, 15]]}

Out[19]=
{4, -7}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 15]][q, t]

Out[20]=
-5 -3 1 2 1 2 2 4 2 q + q + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + 21 8 19 7 17 7 17 6 15 6 15 5 13 5 q t q t q t q t q t q t q t 2 4 3 2 2 3 2 > ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ---- 13 4 11 4 11 3 9 3 9 2 7 2 5 q t q t q t q t q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 15], 2][q]

Out[21]=
-28 3 9 11 4 24 19 14 39 22 23 44 19 q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - 27 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 q q q q q q q q q q q q 25 37 10 20 22 2 10 7 -6 2 -4 > --- + --- - --- - --- + --- - -- - -- + -- + q - -- + q 14 13 12 11 10 9 8 7 5 q q q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₁₅

8₁₄
8₁₆

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-28 - 3q^-27 + 9q^-25 - 11q^-24 - 4q^-23 + 24q^-22 - 19q^-21 - 14q^-20 + 39q^-19 - 22q^-18 - 23q^-17 + 44q^-16 - 19q^-15 - 25q^-14 + 37q^-13 - 10q^-12 - 20q^-11 + 22q^-10 - 2q^-9 - 10q^-8 + 7q^-7 + q^-6 - 2q^-5 + q^-4
3	q^-54 - 3q^-53 + 5q^-51 + 4q^-50 - 11q^-49 - 11q^-48 + 20q^-47 + 20q^-46 - 25q^-45 - 40q^-44 + 32q^-43 + 60q^-42 - 30q^-41 - 89q^-40 + 30q^-39 + 109q^-38 - 15q^-37 - 136q^-36 + 10q^-35 + 148q^-34 + 5q^-33 - 159q^-32 - 15q^-31 + 160q^-30 + 24q^-29 - 152q^-28 - 37q^-27 + 144q^-26 + 38q^-25 - 118q^-24 - 51q^-23 + 101q^-22 + 45q^-21 - 68q^-20 - 51q^-19 + 52q^-18 + 35q^-17 - 24q^-16 - 31q^-15 + 14q^-14 + 18q^-13 - 3q^-12 - 10q^-11 + 2q^-10 + 3q^-9 + q^-8 - 2q^-7 + q^-6
4	q^-88 - 3q^-87 + 5q^-85 + 4q^-83 - 18q^-82 - 4q^-81 + 20q^-80 + 9q^-79 + 23q^-78 - 59q^-77 - 34q^-76 + 39q^-75 + 45q^-74 + 89q^-73 - 117q^-72 - 118q^-71 + 18q^-70 + 101q^-69 + 239q^-68 - 143q^-67 - 246q^-66 - 86q^-65 + 128q^-64 + 449q^-63 - 94q^-62 - 356q^-61 - 251q^-60 + 93q^-59 + 646q^-58 + 6q^-57 - 406q^-56 - 402q^-55 + 19q^-54 + 764q^-53 + 105q^-52 - 394q^-51 - 496q^-50 - 60q^-49 + 788q^-48 + 179q^-47 - 336q^-46 - 522q^-45 - 132q^-44 + 718q^-43 + 226q^-42 - 228q^-41 - 482q^-40 - 200q^-39 + 563q^-38 + 240q^-37 - 89q^-36 - 373q^-35 - 240q^-34 + 350q^-33 + 204q^-32 + 31q^-31 - 221q^-30 - 216q^-29 + 153q^-28 + 120q^-27 + 78q^-26 - 82q^-25 - 133q^-24 + 36q^-23 + 39q^-22 + 57q^-21 - 11q^-20 - 51q^-19 + 4q^-18 + q^-17 + 19q^-16 + 3q^-15 - 11q^-14 + 2q^-13 - 2q^-12 + 3q^-11 + q^-10 - 2q^-9 + q^-8
5	q^-130 - 3q^-129 + 5q^-127 - 3q^-124 - 11q^-123 - 4q^-122 + 20q^-121 + 18q^-120 + 3q^-119 - 20q^-118 - 44q^-117 - 26q^-116 + 36q^-115 + 88q^-114 + 58q^-113 - 41q^-112 - 136q^-111 - 136q^-110 + 12q^-109 + 214q^-108 + 259q^-107 + 42q^-106 - 270q^-105 - 414q^-104 - 200q^-103 + 308q^-102 + 627q^-101 + 396q^-100 - 268q^-99 - 821q^-98 - 706q^-97 + 160q^-96 + 1021q^-95 + 1017q^-94 + 54q^-93 - 1137q^-92 - 1403q^-91 - 299q^-90 + 1211q^-89 + 1703q^-88 + 621q^-87 - 1188q^-86 - 2025q^-85 - 911q^-84 + 1153q^-83 + 2203q^-82 + 1209q^-81 - 1038q^-80 - 2387q^-79 - 1439q^-78 + 941q^-77 + 2454q^-76 + 1631q^-75 - 805q^-74 - 2493q^-73 - 1777q^-72 + 680q^-71 + 2477q^-70 + 1870q^-69 - 542q^-68 - 2389q^-67 - 1944q^-66 + 372q^-65 + 2293q^-64 + 1956q^-63 - 211q^-62 - 2072q^-61 - 1965q^-60 - 8q^-59 + 1874q^-58 + 1883q^-57 + 190q^-56 - 1526q^-55 - 1793q^-54 - 414q^-53 + 1247q^-52 + 1584q^-51 + 542q^-50 - 827q^-49 - 1385q^-48 - 667q^-47 + 551q^-46 + 1077q^-45 + 656q^-44 - 205q^-43 - 805q^-42 - 640q^-41 + 49q^-40 + 510q^-39 + 499q^-38 + 115q^-37 - 294q^-36 - 383q^-35 - 134q^-34 + 127q^-33 + 232q^-32 + 143q^-31 - 40q^-30 - 134q^-29 - 88q^-28 - 12q^-27 + 59q^-26 + 61q^-25 + 13q^-24 - 27q^-23 - 17q^-22 - 15q^-21 + 3q^-20 + 16q^-19 + 4q^-18 - 5q^-17 + q^-16 - 2q^-15 - 2q^-14 + 3q^-13 + q^-12 - 2q^-11 + q^-10
6	q^-180 - 3q^-179 + 5q^-177 - 7q^-174 + 4q^-173 - 11q^-172 - 4q^-171 + 29q^-170 + 9q^-169 + 3q^-168 - 31q^-167 - 5q^-166 - 47q^-165 - 18q^-164 + 91q^-163 + 69q^-162 + 47q^-161 - 74q^-160 - 47q^-159 - 198q^-158 - 121q^-157 + 183q^-156 + 257q^-155 + 280q^-154 - 17q^-153 - 98q^-152 - 592q^-151 - 552q^-150 + 87q^-149 + 546q^-148 + 898q^-147 + 506q^-146 + 170q^-145 - 1173q^-144 - 1572q^-143 - 716q^-142 + 478q^-141 + 1782q^-140 + 1826q^-139 + 1399q^-138 - 1340q^-137 - 2977q^-136 - 2574q^-135 - 685q^-134 + 2197q^-133 + 3649q^-132 + 3866q^-131 - 317q^-130 - 3915q^-129 - 5044q^-128 - 3121q^-127 + 1386q^-126 + 5054q^-125 + 6946q^-124 + 1937q^-123 - 3682q^-122 - 7120q^-121 - 6075q^-120 - 556q^-119 + 5393q^-118 + 9567q^-117 + 4601q^-116 - 2448q^-115 - 8179q^-114 - 8521q^-113 - 2802q^-112 + 4841q^-111 + 11131q^-110 + 6758q^-109 - 922q^-108 - 8338q^-107 - 9983q^-106 - 4607q^-105 + 3946q^-104 + 11714q^-103 + 8084q^-102 + 381q^-101 - 7983q^-100 - 10582q^-99 - 5800q^-98 + 3029q^-97 + 11598q^-96 + 8747q^-95 + 1444q^-94 - 7282q^-93 - 10565q^-92 - 6597q^-91 + 1999q^-90 + 10872q^-89 + 8961q^-88 + 2500q^-87 - 6082q^-86 - 9954q^-85 - 7176q^-84 + 622q^-83 + 9364q^-82 + 8682q^-81 + 3648q^-80 - 4188q^-79 - 8535q^-78 - 7386q^-77 - 1104q^-76 + 6936q^-75 + 7623q^-74 + 4584q^-73 - 1759q^-72 - 6189q^-71 - 6793q^-70 - 2673q^-69 + 3891q^-68 + 5613q^-67 + 4699q^-66 + 491q^-65 - 3295q^-64 - 5153q^-63 - 3312q^-62 + 1117q^-61 + 3049q^-60 + 3681q^-59 + 1677q^-58 - 790q^-57 - 2904q^-56 - 2719q^-55 - 459q^-54 + 879q^-53 + 2011q^-52 + 1564q^-51 + 496q^-50 - 1020q^-49 - 1468q^-48 - 714q^-47 - 179q^-46 + 644q^-45 + 804q^-44 + 618q^-43 - 113q^-42 - 472q^-41 - 346q^-40 - 301q^-39 + 49q^-38 + 216q^-37 + 299q^-36 + 60q^-35 - 73q^-34 - 60q^-33 - 124q^-32 - 42q^-31 + 17q^-30 + 82q^-29 + 20q^-28 - 4q^-27 + 9q^-26 - 25q^-25 - 14q^-24 - 6q^-23 + 18q^-22 + q^-21 - 4q^-20 + 7q^-19 - 3q^-18 - 2q^-17 - 2q^-16 + 3q^-15 + q^-14 - 2q^-13 + q^-12
7	q^-238 - 3q^-237 + 5q^-235 - 7q^-232 + 4q^-230 - 11q^-229 + 5q^-228 + 20q^-227 + 9q^-226 + 3q^-225 - 31q^-224 - 27q^-223 + 3q^-222 - 28q^-221 + 26q^-220 + 72q^-219 + 59q^-218 + 50q^-217 - 85q^-216 - 137q^-215 - 89q^-214 - 117q^-213 + 52q^-212 + 227q^-211 + 268q^-210 + 307q^-209 - 46q^-208 - 375q^-207 - 476q^-206 - 603q^-205 - 166q^-204 + 408q^-203 + 838q^-202 + 1216q^-201 + 639q^-200 - 356q^-199 - 1225q^-198 - 2043q^-197 - 1526q^-196 - 167q^-195 + 1417q^-194 + 3187q^-193 + 3053q^-192 + 1312q^-191 - 1288q^-190 - 4347q^-189 - 5056q^-188 - 3350q^-187 + 204q^-186 + 5202q^-185 + 7634q^-184 + 6422q^-183 + 1885q^-182 - 5371q^-181 - 10095q^-180 - 10336q^-179 - 5489q^-178 + 4278q^-177 + 12281q^-176 + 14864q^-175 + 10239q^-174 - 1746q^-173 - 13373q^-172 - 19357q^-171 - 16171q^-170 - 2311q^-169 + 13290q^-168 + 23332q^-167 + 22422q^-166 + 7629q^-165 - 11572q^-164 - 26344q^-163 - 28722q^-162 - 13734q^-161 + 8765q^-160 + 28072q^-159 + 34166q^-158 + 20059q^-157 - 4784q^-156 - 28555q^-155 - 38856q^-154 - 26035q^-153 + 598q^-152 + 28009q^-151 + 42093q^-150 + 31235q^-149 + 3879q^-148 - 26695q^-147 - 44468q^-146 - 35542q^-145 - 7705q^-144 + 25027q^-143 + 45645q^-142 + 38759q^-141 + 11205q^-140 - 23147q^-139 - 46293q^-138 - 41152q^-137 - 13920q^-136 + 21395q^-135 + 46276q^-134 + 42728q^-133 + 16181q^-132 - 19653q^-131 - 45938q^-130 - 43820q^-129 - 18022q^-128 + 18010q^-127 + 45310q^-126 + 44457q^-125 + 19570q^-124 - 16241q^-123 - 44255q^-122 - 44808q^-121 - 21172q^-120 + 14253q^-119 + 42923q^-118 + 44836q^-117 + 22629q^-116 - 11853q^-115 - 40815q^-114 - 44475q^-113 - 24374q^-112 + 8921q^-111 + 38187q^-110 + 43610q^-109 + 25855q^-108 - 5428q^-107 - 34422q^-106 - 41993q^-105 - 27450q^-104 + 1428q^-103 + 30019q^-102 + 39474q^-101 + 28289q^-100 + 2813q^-99 - 24396q^-98 - 35892q^-97 - 28747q^-96 - 6954q^-95 + 18529q^-94 + 31256q^-93 + 27728q^-92 + 10580q^-91 - 12026q^-90 - 25701q^-89 - 25969q^-88 - 13197q^-87 + 6291q^-86 + 19601q^-85 + 22554q^-84 + 14463q^-83 - 932q^-82 - 13455q^-81 - 18648q^-80 - 14330q^-79 - 2683q^-78 + 7927q^-77 + 13835q^-76 + 12813q^-75 + 5123q^-74 - 3321q^-73 - 9460q^-72 - 10470q^-71 - 5775q^-70 + 195q^-69 + 5418q^-68 + 7594q^-67 + 5479q^-66 + 1649q^-65 - 2506q^-64 - 4961q^-63 - 4283q^-62 - 2251q^-61 + 538q^-60 + 2752q^-59 + 2971q^-58 + 2113q^-57 + 377q^-56 - 1248q^-55 - 1698q^-54 - 1582q^-53 - 720q^-52 + 389q^-51 + 869q^-50 + 972q^-49 + 593q^-48 - 5q^-47 - 273q^-46 - 525q^-45 - 440q^-44 - 100q^-43 + 88q^-42 + 233q^-41 + 199q^-40 + 77q^-39 + 47q^-38 - 76q^-37 - 126q^-36 - 53q^-35 - 13q^-34 + 35q^-33 + 29q^-32 + 4q^-31 + 35q^-30 - 22q^-28 - 12q^-27 - 5q^-26 + 9q^-25 + 3q^-24 - 7q^-23 + 8q^-22 + 3q^-21 - 3q^-20 - 2q^-19 - 2q^-18 + 3q^-17 + q^-16 - 2q^-15 + q^-14

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 15]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[5, 12, 6, 13], X[13, 16, 14, 1], > X[9, 14, 10, 15], X[15, 10, 16, 11], X[11, 6, 12, 7], X[7, 2, 8, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 15]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 8, -2, 1, -3, 7, -8, 2, -5, 6, -7, 3, -4, 5, -6, 4]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 15]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 12, 2, 14, 6, 16, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 15]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, 2, -1, -3, -2, -2, -2, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 15]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 15]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 15]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 3, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 15]][t]
Out[10]=	3 8 2 11 + -- - - - 8 t + 3 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 15]][z]
Out[11]=	2 4 1 + 4 z + 3 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 15], Knot[11, NonAlternating, 65]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 15]], KnotSignature[Knot[8, 15]]}
Out[13]=	{33, -4}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 15]][q]
Out[14]=	-10 3 4 6 6 5 5 2 -2 q - -- + -- - -- + -- - -- + -- - -- + q 9 8 7 6 5 4 3 q q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 15]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 15]][q]
Out[16]=	-32 -30 2 -26 2 2 -20 3 -14 -12 2 -8 q + q - --- - q - --- - --- + q + --- + q + q + --- - q + 28 24 22 16 10 q q q q q -6 > q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 15]][a, z]
Out[17]=	4 6 8 10 4 2 6 2 8 2 4 4 6 4 a + 3 a - 4 a + a + 2 a z + 5 a z - 3 a z + a z + 2 a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 15]][a, z]
Out[18]=	4 6 8 10 7 9 11 4 2 6 2 a - 3 a - 4 a - a + 6 a z + 8 a z + 2 a z - 2 a z + 5 a z + 8 2 12 2 5 3 7 3 9 3 11 3 4 4 > 8 a z - a z - 2 a z - 11 a z - 14 a z - 5 a z + a z - 6 4 8 4 10 4 12 4 5 5 7 5 9 5 > 5 a z - 10 a z - 3 a z + a z + 2 a z + 5 a z + 6 a z + 11 5 6 6 8 6 10 6 7 7 9 7 > 3 a z + 3 a z + 6 a z + 3 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 15]], Vassiliev[3][Knot[8, 15]]}
Out[19]=	{4, -7}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 15]][q, t]
Out[20]=	-5 -3 1 2 1 2 2 4 2 q + q + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + 21 8 19 7 17 7 17 6 15 6 15 5 13 5 q t q t q t q t q t q t q t 2 4 3 2 2 3 2 > ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ---- 13 4 11 4 11 3 9 3 9 2 7 2 5 q t q t q t q t q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 15], 2][q]
Out[21]=	-28 3 9 11 4 24 19 14 39 22 23 44 19 q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - 27 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 q q q q q q q q q q q q 25 37 10 20 22 2 10 7 -6 2 -4 > --- + --- - --- - --- + --- - -- - -- + -- + q - -- + q 14 13 12 11 10 9 8 7 5 q q q q q q q q q

The Alternating Knot 815

The Alternating Knot 8₁₅