The Alternating Knot 8₁₆

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₆₂₇₁ X_14,6,15,5 X_16,11,1,12 X_12,7,13,8 X₈₃₉₄ X_4,9,5,10 X_10,15,11,16 X_2,14,3,13

Gauss Code: {1, -8, 5, -6, 2, -1, 4, -5, 6, -7, 3, -4, 8, -2, 7, -3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 8 14 12 4 16 2 10

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 3 / 4 1

Alexander Polynomial: t^-3 - 4t^-2 + 8t^-1 - 9 + 8t - 4t² + t³

Conway Polynomial: 1 + z² + 2z⁴ + z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₅₆, K11n15, K11n56, K11n58, ...}

Determinant and Signature: {35, -2}

Jones Polynomial: - q^-6 + 3q^-5 - 5q^-4 + 6q^-3 - 6q^-2 + 6q^-1 - 4 + 3q - q²

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {10₁₅₆, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-18 + q^-16 - q^-14 + q^-10 - q^-8 + 2q^-6 - q^-4 + 2q^-2 + 1 + q⁴ - q⁶

HOMFLY-PT Polynomial: - 2z² - z⁴ + 2a² + 5a²z² + 4a²z⁴ + a²z⁶ - a⁴ - 2a⁴z² - a⁴z⁴

Kauffman Polynomial: a^-1z - 2a^-1z³ + a^-1z⁵ + 5z² - 8z⁴ + 3z⁶ + 3az - 6az³ - az⁵ + 2az⁷ - 2a² + 10a²z² - 18a²z⁴ + 8a²z⁶ + 4a³z - 10a³z³ + 3a³z⁵ + 2a³z⁷ - a⁴ + 4a⁴z² - 7a⁴z⁴ + 5a⁴z⁶ + 2a⁵z - 5a⁵z³ + 5a⁵z⁵ - a⁶z² + 3a⁶z⁴ + a⁷z³

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {1, -1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 8₁₆. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3

j = 5 1

j = 3 2

j = 1 2 1

j = -1 4 2

j = -3 3 3

j = -5 3 3

j = -7 2 3

j = -9 1 3

j = -11 2

j = -13 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-17 - 3q^-16 + 2q^-15 + 6q^-14 - 15q^-13 + 7q^-12 + 19q^-11 - 32q^-10 + 8q^-9 + 32q^-8 - 41q^-7 + 4q^-6 + 38q^-5 - 37q^-4 - 3q^-3 + 35q^-2 - 25q^-1 - 8 + 24q - 10q² - 8q³ + 10q⁴ - q⁵ - 3q⁶ + q⁷

3 - q^-33 + 3q^-32 - 2q^-31 - 3q^-30 + 3q^-29 + 8q^-28 - 8q^-27 - 19q^-26 + 19q^-25 + 34q^-24 - 28q^-23 - 58q^-22 + 33q^-21 + 88q^-20 - 35q^-19 - 116q^-18 + 31q^-17 + 139q^-16 - 20q^-15 - 155q^-14 + 8q^-13 + 159q^-12 + 8q^-11 - 160q^-10 - 19q^-9 + 147q^-8 + 37q^-7 - 136q^-6 - 46q^-5 + 113q^-4 + 63q^-3 - 96q^-2 - 64q^-1 + 65 + 70q - 43q² - 61q³ + 18q⁴ + 51q⁵ - 3q⁶ - 33q⁷ - 8q⁸ + 20q⁹ + 8q¹⁰ - 8q¹¹ - 5q¹² + q¹³ + 3q¹⁴ - q¹⁵

4 q^-54 - 3q^-53 + 2q^-52 + 3q^-51 - 6q^-50 + 4q^-49 - 7q^-48 + 14q^-47 + 8q^-46 - 35q^-45 + 3q^-44 - 7q^-43 + 67q^-42 + 37q^-41 - 117q^-40 - 55q^-39 - 23q^-38 + 202q^-37 + 153q^-36 - 217q^-35 - 206q^-34 - 130q^-33 + 362q^-32 + 376q^-31 - 239q^-30 - 378q^-29 - 330q^-28 + 437q^-27 + 596q^-26 - 160q^-25 - 454q^-24 - 522q^-23 + 401q^-22 + 706q^-21 - 50q^-20 - 420q^-19 - 625q^-18 + 306q^-17 + 694q^-16 + 48q^-15 - 319q^-14 - 650q^-13 + 182q^-12 + 609q^-11 + 140q^-10 - 182q^-9 - 619q^-8 + 32q^-7 + 466q^-6 + 224q^-5 - 16q^-4 - 526q^-3 - 116q^-2 + 269q^-1 + 250 + 140q - 350q² - 190q³ + 61q⁴ + 175q⁵ + 210q⁶ - 142q⁷ - 146q⁸ - 62q⁹ + 49q¹⁰ + 157q¹¹ - 7q¹² - 47q¹³ - 63q¹⁴ - 22q¹⁵ + 59q¹⁶ + 17q¹⁷ + 5q¹⁸ - 18q¹⁹ - 18q²⁰ + 8q²¹ + 3q²² + 5q²³ - q²⁴ - 3q²⁵ + q²⁶

5 - q^-80 + 3q^-79 - 2q^-78 - 3q^-77 + 6q^-76 - q^-75 - 5q^-74 + q^-73 - 3q^-72 + 2q^-71 + 22q^-70 + 6q^-69 - 33q^-68 - 41q^-67 - 12q^-66 + 59q^-65 + 109q^-64 + 51q^-63 - 112q^-62 - 243q^-61 - 134q^-60 + 171q^-59 + 428q^-58 + 326q^-57 - 182q^-56 - 696q^-55 - 640q^-54 + 125q^-53 + 975q^-52 + 1060q^-51 + 77q^-50 - 1216q^-49 - 1566q^-48 - 411q^-47 + 1370q^-46 + 2065q^-45 + 837q^-44 - 1369q^-43 - 2501q^-42 - 1311q^-41 + 1252q^-40 + 2809q^-39 + 1752q^-38 - 1048q^-37 - 2962q^-36 - 2109q^-35 + 786q^-34 + 2993q^-33 + 2366q^-32 - 542q^-31 - 2921q^-30 - 2494q^-29 + 297q^-28 + 2779q^-27 + 2567q^-26 - 107q^-25 - 2596q^-24 - 2546q^-23 - 103q^-22 + 2379q^-21 + 2526q^-20 + 276q^-19 - 2123q^-18 - 2443q^-17 - 513q^-16 + 1833q^-15 + 2379q^-14 + 708q^-13 - 1479q^-12 - 2224q^-11 - 975q^-10 + 1089q^-9 + 2062q^-8 + 1152q^-7 - 654q^-6 - 1756q^-5 - 1336q^-4 + 207q^-3 + 1442q^-2 + 1351q^-1 + 200 - 996q - 1299q² - 520q³ + 579q⁴ + 1080q⁵ + 702q⁶ - 159q⁷ - 804q⁸ - 730q⁹ - 135q¹⁰ + 463q¹¹ + 632q¹² + 317q¹³ - 186q¹⁴ - 449q¹⁵ - 338q¹⁶ - 29q¹⁷ + 245q¹⁸ + 292q¹⁹ + 117q²⁰ - 93q²¹ - 178q²² - 124q²³ - 10q²⁴ + 87q²⁵ + 94q²⁶ + 32q²⁷ - 27q²⁸ - 42q²⁹ - 29q³⁰ - 7q³¹ + 21q³² + 16q³³ + 2q³⁴ - 3q³⁵ - 3q³⁶ - 5q³⁷ + q³⁸ + 3q³⁹ - q⁴⁰

6 q^-111 - 3q^-110 + 2q^-109 + 3q^-108 - 6q^-107 + q^-106 + 2q^-105 + 11q^-104 - 12q^-103 - 7q^-102 + 11q^-101 - 25q^-100 + 10q^-99 + 33q^-98 + 47q^-97 - 36q^-96 - 71q^-95 - 31q^-94 - 87q^-93 + 70q^-92 + 214q^-91 + 245q^-90 - 59q^-89 - 327q^-88 - 364q^-87 - 438q^-86 + 167q^-85 + 818q^-84 + 1086q^-83 + 324q^-82 - 780q^-81 - 1461q^-80 - 1843q^-79 - 306q^-78 + 1817q^-77 + 3224q^-76 + 2163q^-75 - 538q^-74 - 3174q^-73 - 5023q^-72 - 2639q^-71 + 1989q^-70 + 6230q^-69 + 6070q^-68 + 1838q^-67 - 3938q^-66 - 9081q^-65 - 7147q^-64 - 154q^-63 + 8125q^-62 + 10646q^-61 + 6311q^-60 - 2326q^-59 - 11729q^-58 - 11981q^-57 - 4203q^-56 + 7563q^-55 + 13502q^-54 + 10786q^-53 + 978q^-52 - 11817q^-51 - 14881q^-50 - 8049q^-49 + 5360q^-48 + 13829q^-47 + 13348q^-46 + 4031q^-45 - 10272q^-44 - 15409q^-43 - 10203q^-42 + 3162q^-41 + 12629q^-40 + 13912q^-39 + 5801q^-38 - 8458q^-37 - 14578q^-36 - 10853q^-35 + 1604q^-34 + 11007q^-33 + 13452q^-32 + 6680q^-31 - 6739q^-30 - 13273q^-29 - 10915q^-28 + 208q^-27 + 9159q^-26 + 12667q^-25 + 7473q^-24 - 4648q^-23 - 11566q^-22 - 10910q^-21 - 1652q^-20 + 6665q^-19 + 11491q^-18 + 8461q^-17 - 1759q^-16 - 9014q^-15 - 10546q^-14 - 3965q^-13 + 3213q^-12 + 9327q^-11 + 9049q^-10 + 1663q^-9 - 5297q^-8 - 8981q^-7 - 5808q^-6 - 771q^-5 + 5767q^-4 + 8140q^-3 + 4404q^-2 - 965q^-1 - 5721 - 5842q - 3847q² + 1485q³ + 5241q⁴ + 4974q⁵ + 2325q⁶ - 1651q⁷ - 3646q⁸ - 4476q⁹ - 1657q¹⁰ + 1515q¹¹ + 3147q¹² + 3059q¹³ + 1182q¹⁴ - 659q¹⁵ - 2743q¹⁶ - 2272q¹⁷ - 879q¹⁸ + 654q¹⁹ + 1657q²⁰ + 1609q²¹ + 996q²² - 605q²³ - 1100q²⁴ - 1105q²⁵ - 552q²⁶ + 134q²⁷ + 660q²⁸ + 886q²⁹ + 282q³⁰ - 42q³¹ - 376q³² - 413q³³ - 301q³⁴ - 20q³⁵ + 268q³⁶ + 182q³⁷ + 159q³⁸ + 19q³⁹ - 63q⁴⁰ - 133q⁴¹ - 85q⁴² + 13q⁴³ + 12q⁴⁴ + 47q⁴⁵ + 30q⁴⁶ + 19q⁴⁷ - 19q⁴⁸ - 19q⁴⁹ - 7q⁵¹ + 3q⁵² + 3q⁵³ + 5q⁵⁴ - q⁵⁵ - 3q⁵⁶ + q⁵⁷

7 - q^-147 + 3q^-146 - 2q^-145 - 3q^-144 + 6q^-143 - q^-142 - 2q^-141 - 8q^-140 + 22q^-138 - 6q^-137 - 8q^-136 + 9q^-135 - 16q^-134 - 15q^-133 - 25q^-132 + 17q^-131 + 99q^-130 + 35q^-129 - 15q^-128 - 53q^-127 - 162q^-126 - 123q^-125 - 63q^-124 + 154q^-123 + 465q^-122 + 370q^-121 + 107q^-120 - 363q^-119 - 921q^-118 - 903q^-117 - 456q^-116 + 559q^-115 + 1843q^-114 + 2093q^-113 + 1305q^-112 - 698q^-111 - 3212q^-110 - 4130q^-109 - 3153q^-108 + 201q^-107 + 4806q^-106 + 7423q^-105 + 6674q^-104 + 1507q^-103 - 6321q^-102 - 11767q^-101 - 12093q^-100 - 5311q^-99 + 6638q^-98 + 16633q^-97 + 19723q^-96 + 11823q^-95 - 4955q^-94 - 21093q^-93 - 28709q^-92 - 21075q^-91 + 298q^-90 + 23751q^-89 + 37962q^-88 + 32625q^-87 + 7529q^-86 - 23700q^-85 - 46094q^-84 - 44973q^-83 - 17896q^-82 + 20314q^-81 + 51610q^-80 + 56667q^-79 + 29826q^-78 - 14044q^-77 - 53989q^-76 - 66212q^-75 - 41513q^-74 + 5813q^-73 + 53060q^-72 + 72699q^-71 + 51715q^-70 + 3119q^-69 - 49674q^-68 - 75993q^-67 - 59471q^-66 - 11370q^-65 + 44850q^-64 + 76462q^-63 + 64426q^-62 + 18181q^-61 - 39541q^-60 - 75019q^-59 - 66976q^-58 - 23142q^-57 + 34715q^-56 + 72462q^-55 + 67545q^-54 + 26397q^-53 - 30530q^-52 - 69481q^-51 - 67044q^-50 - 28413q^-49 + 27181q^-48 + 66514q^-47 + 65879q^-46 + 29684q^-45 - 24173q^-44 - 63577q^-43 - 64672q^-42 - 30840q^-41 + 21301q^-40 + 60622q^-39 + 63392q^-38 + 32218q^-37 - 17878q^-36 - 57325q^-35 - 62288q^-34 - 34098q^-33 + 13846q^-32 + 53343q^-31 + 60871q^-30 + 36527q^-29 - 8627q^-28 - 48383q^-27 - 59199q^-26 - 39239q^-25 + 2550q^-24 + 42097q^-23 + 56398q^-22 + 41971q^-21 + 4638q^-20 - 34421q^-19 - 52503q^-18 - 44047q^-17 - 11993q^-16 + 25329q^-15 + 46617q^-14 + 44807q^-13 + 19379q^-12 - 15197q^-11 - 39112q^-10 - 43600q^-9 - 25363q^-8 + 4823q^-7 + 29561q^-6 + 39865q^-5 + 29521q^-4 + 4988q^-3 - 19117q^-2 - 33687q^-1 - 30600 - 12909q + 8356q² + 25303q³ + 28705q⁴ + 18085q⁵ + 1107q⁶ - 15878q⁷ - 23784q⁸ - 19818q⁹ - 8340q¹⁰ + 6719q¹¹ + 16969q¹² + 18243q¹³ + 12286q¹⁴ + 851q¹⁵ - 9460q¹⁶ - 14181q¹⁷ - 13028q¹⁸ - 5758q¹⁹ + 2904q²⁰ + 8840q²¹ + 10998q²² + 7752q²³ + 1847q²⁴ - 3711q²⁵ - 7578q²⁶ - 7274q²⁷ - 4116q²⁸ - 72q²⁹ + 3816q³⁰ + 5232q³¹ + 4399q³² + 2197q³³ - 954q³⁴ - 2899q³⁵ - 3326q³⁶ - 2595q³⁷ - 694q³⁸ + 879q³⁹ + 1858q⁴⁰ + 2115q⁴¹ + 1236q⁴² + 181q⁴³ - 684q⁴⁴ - 1207q⁴⁵ - 990q⁴⁶ - 577q⁴⁷ - 59q⁴⁸ + 507q⁴⁹ + 605q⁵⁰ + 496q⁵¹ + 231q⁵² - 102q⁵³ - 206q⁵⁴ - 265q⁵⁵ - 236q⁵⁶ - 63q⁵⁷ + 50q⁵⁸ + 117q⁵⁹ + 119q⁶⁰ + 39q⁶¹ + 24q⁶² - 13q⁶³ - 50q⁶⁴ - 35q⁶⁵ - 20q⁶⁶ + 7q⁶⁷ + 17q⁶⁸ + 3q⁶⁹ + 5q⁷⁰ + 7q⁷¹ - 3q⁷² - 3q⁷³ - 5q⁷⁴ + q⁷⁵ + 3q⁷⁶ - q⁷⁷

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 16]]

Out[2]=
PD[X[6, 2, 7, 1], X[14, 6, 15, 5], X[16, 11, 1, 12], X[12, 7, 13, 8], > X[8, 3, 9, 4], X[4, 9, 5, 10], X[10, 15, 11, 16], X[2, 14, 3, 13]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 16]]

Out[3]=
GaussCode[1, -8, 5, -6, 2, -1, 4, -5, 6, -7, 3, -4, 8, -2, 7, -3]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 16]]

Out[4]=
DTCode[6, 8, 14, 12, 4, 16, 2, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 16]]

Out[5]=
BR[3, {-1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, 2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 16]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 16]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 16]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 3, 4, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 16]][t]

Out[10]=
-3 4 8 2 3 -9 + t - -- + - + 8 t - 4 t + t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 16]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + z + 2 z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 16], Knot[10, 156], Knot[11, NonAlternating, 15], > Knot[11, NonAlternating, 56], Knot[11, NonAlternating, 58]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 16]], KnotSignature[Knot[8, 16]]}

Out[13]=
{35, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 16]][q]

Out[14]=
-6 3 5 6 6 6 2 -4 - q + -- - -- + -- - -- + - + 3 q - q 5 4 3 2 q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 16], Knot[10, 156]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 16]][q]

Out[16]=
-18 -16 -14 -10 -8 2 -4 2 4 6 1 - q + q - q + q - q + -- - q + -- + q - q 6 2 q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 16]][a, z]

Out[17]=
2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 4 4 2 6 2 a - a - 2 z + 5 a z - 2 a z - z + 4 a z - a z + a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 16]][a, z]

Out[18]=
2 4 z 3 5 2 2 2 4 2 6 2 -2 a - a + - + 3 a z + 4 a z + 2 a z + 5 z + 10 a z + 4 a z - a z - a 3 2 z 3 3 3 5 3 7 3 4 2 4 4 4 > ---- - 6 a z - 10 a z - 5 a z + a z - 8 z - 18 a z - 7 a z + a 5 6 4 z 5 3 5 5 5 6 2 6 4 6 > 3 a z + -- - a z + 3 a z + 5 a z + 3 z + 8 a z + 5 a z + a 7 3 7 > 2 a z + 2 a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 16]], Vassiliev[3][Knot[8, 16]]}

Out[19]=
{1, -1}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 16]][q, t]

Out[20]=
3 4 1 2 1 3 2 3 3 3 -- + - + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + 3 q 13 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 5 2 5 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 2 t 2 3 2 5 3 > ---- + --- + 2 q t + q t + 2 q t + q t 3 q q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 16], 2][q]

Out[21]=
-17 3 2 6 15 7 19 32 8 32 41 4 38 -8 + q - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + -- + -- - -- + -- + -- - 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 q q q q q q q q q q q q 37 3 35 25 2 3 4 5 6 7 > -- - -- + -- - -- + 24 q - 10 q - 8 q + 10 q - q - 3 q + q 4 3 2 q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₁₆

8₁₅
8₁₇

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-17 - 3q^-16 + 2q^-15 + 6q^-14 - 15q^-13 + 7q^-12 + 19q^-11 - 32q^-10 + 8q^-9 + 32q^-8 - 41q^-7 + 4q^-6 + 38q^-5 - 37q^-4 - 3q^-3 + 35q^-2 - 25q^-1 - 8 + 24q - 10q² - 8q³ + 10q⁴ - q⁵ - 3q⁶ + q⁷
3	- q^-33 + 3q^-32 - 2q^-31 - 3q^-30 + 3q^-29 + 8q^-28 - 8q^-27 - 19q^-26 + 19q^-25 + 34q^-24 - 28q^-23 - 58q^-22 + 33q^-21 + 88q^-20 - 35q^-19 - 116q^-18 + 31q^-17 + 139q^-16 - 20q^-15 - 155q^-14 + 8q^-13 + 159q^-12 + 8q^-11 - 160q^-10 - 19q^-9 + 147q^-8 + 37q^-7 - 136q^-6 - 46q^-5 + 113q^-4 + 63q^-3 - 96q^-2 - 64q^-1 + 65 + 70q - 43q² - 61q³ + 18q⁴ + 51q⁵ - 3q⁶ - 33q⁷ - 8q⁸ + 20q⁹ + 8q¹⁰ - 8q¹¹ - 5q¹² + q¹³ + 3q¹⁴ - q¹⁵
4	q^-54 - 3q^-53 + 2q^-52 + 3q^-51 - 6q^-50 + 4q^-49 - 7q^-48 + 14q^-47 + 8q^-46 - 35q^-45 + 3q^-44 - 7q^-43 + 67q^-42 + 37q^-41 - 117q^-40 - 55q^-39 - 23q^-38 + 202q^-37 + 153q^-36 - 217q^-35 - 206q^-34 - 130q^-33 + 362q^-32 + 376q^-31 - 239q^-30 - 378q^-29 - 330q^-28 + 437q^-27 + 596q^-26 - 160q^-25 - 454q^-24 - 522q^-23 + 401q^-22 + 706q^-21 - 50q^-20 - 420q^-19 - 625q^-18 + 306q^-17 + 694q^-16 + 48q^-15 - 319q^-14 - 650q^-13 + 182q^-12 + 609q^-11 + 140q^-10 - 182q^-9 - 619q^-8 + 32q^-7 + 466q^-6 + 224q^-5 - 16q^-4 - 526q^-3 - 116q^-2 + 269q^-1 + 250 + 140q - 350q² - 190q³ + 61q⁴ + 175q⁵ + 210q⁶ - 142q⁷ - 146q⁸ - 62q⁹ + 49q¹⁰ + 157q¹¹ - 7q¹² - 47q¹³ - 63q¹⁴ - 22q¹⁵ + 59q¹⁶ + 17q¹⁷ + 5q¹⁸ - 18q¹⁹ - 18q²⁰ + 8q²¹ + 3q²² + 5q²³ - q²⁴ - 3q²⁵ + q²⁶
5	- q^-80 + 3q^-79 - 2q^-78 - 3q^-77 + 6q^-76 - q^-75 - 5q^-74 + q^-73 - 3q^-72 + 2q^-71 + 22q^-70 + 6q^-69 - 33q^-68 - 41q^-67 - 12q^-66 + 59q^-65 + 109q^-64 + 51q^-63 - 112q^-62 - 243q^-61 - 134q^-60 + 171q^-59 + 428q^-58 + 326q^-57 - 182q^-56 - 696q^-55 - 640q^-54 + 125q^-53 + 975q^-52 + 1060q^-51 + 77q^-50 - 1216q^-49 - 1566q^-48 - 411q^-47 + 1370q^-46 + 2065q^-45 + 837q^-44 - 1369q^-43 - 2501q^-42 - 1311q^-41 + 1252q^-40 + 2809q^-39 + 1752q^-38 - 1048q^-37 - 2962q^-36 - 2109q^-35 + 786q^-34 + 2993q^-33 + 2366q^-32 - 542q^-31 - 2921q^-30 - 2494q^-29 + 297q^-28 + 2779q^-27 + 2567q^-26 - 107q^-25 - 2596q^-24 - 2546q^-23 - 103q^-22 + 2379q^-21 + 2526q^-20 + 276q^-19 - 2123q^-18 - 2443q^-17 - 513q^-16 + 1833q^-15 + 2379q^-14 + 708q^-13 - 1479q^-12 - 2224q^-11 - 975q^-10 + 1089q^-9 + 2062q^-8 + 1152q^-7 - 654q^-6 - 1756q^-5 - 1336q^-4 + 207q^-3 + 1442q^-2 + 1351q^-1 + 200 - 996q - 1299q² - 520q³ + 579q⁴ + 1080q⁵ + 702q⁶ - 159q⁷ - 804q⁸ - 730q⁹ - 135q¹⁰ + 463q¹¹ + 632q¹² + 317q¹³ - 186q¹⁴ - 449q¹⁵ - 338q¹⁶ - 29q¹⁷ + 245q¹⁸ + 292q¹⁹ + 117q²⁰ - 93q²¹ - 178q²² - 124q²³ - 10q²⁴ + 87q²⁵ + 94q²⁶ + 32q²⁷ - 27q²⁸ - 42q²⁹ - 29q³⁰ - 7q³¹ + 21q³² + 16q³³ + 2q³⁴ - 3q³⁵ - 3q³⁶ - 5q³⁷ + q³⁸ + 3q³⁹ - q⁴⁰
6	q^-111 - 3q^-110 + 2q^-109 + 3q^-108 - 6q^-107 + q^-106 + 2q^-105 + 11q^-104 - 12q^-103 - 7q^-102 + 11q^-101 - 25q^-100 + 10q^-99 + 33q^-98 + 47q^-97 - 36q^-96 - 71q^-95 - 31q^-94 - 87q^-93 + 70q^-92 + 214q^-91 + 245q^-90 - 59q^-89 - 327q^-88 - 364q^-87 - 438q^-86 + 167q^-85 + 818q^-84 + 1086q^-83 + 324q^-82 - 780q^-81 - 1461q^-80 - 1843q^-79 - 306q^-78 + 1817q^-77 + 3224q^-76 + 2163q^-75 - 538q^-74 - 3174q^-73 - 5023q^-72 - 2639q^-71 + 1989q^-70 + 6230q^-69 + 6070q^-68 + 1838q^-67 - 3938q^-66 - 9081q^-65 - 7147q^-64 - 154q^-63 + 8125q^-62 + 10646q^-61 + 6311q^-60 - 2326q^-59 - 11729q^-58 - 11981q^-57 - 4203q^-56 + 7563q^-55 + 13502q^-54 + 10786q^-53 + 978q^-52 - 11817q^-51 - 14881q^-50 - 8049q^-49 + 5360q^-48 + 13829q^-47 + 13348q^-46 + 4031q^-45 - 10272q^-44 - 15409q^-43 - 10203q^-42 + 3162q^-41 + 12629q^-40 + 13912q^-39 + 5801q^-38 - 8458q^-37 - 14578q^-36 - 10853q^-35 + 1604q^-34 + 11007q^-33 + 13452q^-32 + 6680q^-31 - 6739q^-30 - 13273q^-29 - 10915q^-28 + 208q^-27 + 9159q^-26 + 12667q^-25 + 7473q^-24 - 4648q^-23 - 11566q^-22 - 10910q^-21 - 1652q^-20 + 6665q^-19 + 11491q^-18 + 8461q^-17 - 1759q^-16 - 9014q^-15 - 10546q^-14 - 3965q^-13 + 3213q^-12 + 9327q^-11 + 9049q^-10 + 1663q^-9 - 5297q^-8 - 8981q^-7 - 5808q^-6 - 771q^-5 + 5767q^-4 + 8140q^-3 + 4404q^-2 - 965q^-1 - 5721 - 5842q - 3847q² + 1485q³ + 5241q⁴ + 4974q⁵ + 2325q⁶ - 1651q⁷ - 3646q⁸ - 4476q⁹ - 1657q¹⁰ + 1515q¹¹ + 3147q¹² + 3059q¹³ + 1182q¹⁴ - 659q¹⁵ - 2743q¹⁶ - 2272q¹⁷ - 879q¹⁸ + 654q¹⁹ + 1657q²⁰ + 1609q²¹ + 996q²² - 605q²³ - 1100q²⁴ - 1105q²⁵ - 552q²⁶ + 134q²⁷ + 660q²⁸ + 886q²⁹ + 282q³⁰ - 42q³¹ - 376q³² - 413q³³ - 301q³⁴ - 20q³⁵ + 268q³⁶ + 182q³⁷ + 159q³⁸ + 19q³⁹ - 63q⁴⁰ - 133q⁴¹ - 85q⁴² + 13q⁴³ + 12q⁴⁴ + 47q⁴⁵ + 30q⁴⁶ + 19q⁴⁷ - 19q⁴⁸ - 19q⁴⁹ - 7q⁵¹ + 3q⁵² + 3q⁵³ + 5q⁵⁴ - q⁵⁵ - 3q⁵⁶ + q⁵⁷
7	- q^-147 + 3q^-146 - 2q^-145 - 3q^-144 + 6q^-143 - q^-142 - 2q^-141 - 8q^-140 + 22q^-138 - 6q^-137 - 8q^-136 + 9q^-135 - 16q^-134 - 15q^-133 - 25q^-132 + 17q^-131 + 99q^-130 + 35q^-129 - 15q^-128 - 53q^-127 - 162q^-126 - 123q^-125 - 63q^-124 + 154q^-123 + 465q^-122 + 370q^-121 + 107q^-120 - 363q^-119 - 921q^-118 - 903q^-117 - 456q^-116 + 559q^-115 + 1843q^-114 + 2093q^-113 + 1305q^-112 - 698q^-111 - 3212q^-110 - 4130q^-109 - 3153q^-108 + 201q^-107 + 4806q^-106 + 7423q^-105 + 6674q^-104 + 1507q^-103 - 6321q^-102 - 11767q^-101 - 12093q^-100 - 5311q^-99 + 6638q^-98 + 16633q^-97 + 19723q^-96 + 11823q^-95 - 4955q^-94 - 21093q^-93 - 28709q^-92 - 21075q^-91 + 298q^-90 + 23751q^-89 + 37962q^-88 + 32625q^-87 + 7529q^-86 - 23700q^-85 - 46094q^-84 - 44973q^-83 - 17896q^-82 + 20314q^-81 + 51610q^-80 + 56667q^-79 + 29826q^-78 - 14044q^-77 - 53989q^-76 - 66212q^-75 - 41513q^-74 + 5813q^-73 + 53060q^-72 + 72699q^-71 + 51715q^-70 + 3119q^-69 - 49674q^-68 - 75993q^-67 - 59471q^-66 - 11370q^-65 + 44850q^-64 + 76462q^-63 + 64426q^-62 + 18181q^-61 - 39541q^-60 - 75019q^-59 - 66976q^-58 - 23142q^-57 + 34715q^-56 + 72462q^-55 + 67545q^-54 + 26397q^-53 - 30530q^-52 - 69481q^-51 - 67044q^-50 - 28413q^-49 + 27181q^-48 + 66514q^-47 + 65879q^-46 + 29684q^-45 - 24173q^-44 - 63577q^-43 - 64672q^-42 - 30840q^-41 + 21301q^-40 + 60622q^-39 + 63392q^-38 + 32218q^-37 - 17878q^-36 - 57325q^-35 - 62288q^-34 - 34098q^-33 + 13846q^-32 + 53343q^-31 + 60871q^-30 + 36527q^-29 - 8627q^-28 - 48383q^-27 - 59199q^-26 - 39239q^-25 + 2550q^-24 + 42097q^-23 + 56398q^-22 + 41971q^-21 + 4638q^-20 - 34421q^-19 - 52503q^-18 - 44047q^-17 - 11993q^-16 + 25329q^-15 + 46617q^-14 + 44807q^-13 + 19379q^-12 - 15197q^-11 - 39112q^-10 - 43600q^-9 - 25363q^-8 + 4823q^-7 + 29561q^-6 + 39865q^-5 + 29521q^-4 + 4988q^-3 - 19117q^-2 - 33687q^-1 - 30600 - 12909q + 8356q² + 25303q³ + 28705q⁴ + 18085q⁵ + 1107q⁶ - 15878q⁷ - 23784q⁸ - 19818q⁹ - 8340q¹⁰ + 6719q¹¹ + 16969q¹² + 18243q¹³ + 12286q¹⁴ + 851q¹⁵ - 9460q¹⁶ - 14181q¹⁷ - 13028q¹⁸ - 5758q¹⁹ + 2904q²⁰ + 8840q²¹ + 10998q²² + 7752q²³ + 1847q²⁴ - 3711q²⁵ - 7578q²⁶ - 7274q²⁷ - 4116q²⁸ - 72q²⁹ + 3816q³⁰ + 5232q³¹ + 4399q³² + 2197q³³ - 954q³⁴ - 2899q³⁵ - 3326q³⁶ - 2595q³⁷ - 694q³⁸ + 879q³⁹ + 1858q⁴⁰ + 2115q⁴¹ + 1236q⁴² + 181q⁴³ - 684q⁴⁴ - 1207q⁴⁵ - 990q⁴⁶ - 577q⁴⁷ - 59q⁴⁸ + 507q⁴⁹ + 605q⁵⁰ + 496q⁵¹ + 231q⁵² - 102q⁵³ - 206q⁵⁴ - 265q⁵⁵ - 236q⁵⁶ - 63q⁵⁷ + 50q⁵⁸ + 117q⁵⁹ + 119q⁶⁰ + 39q⁶¹ + 24q⁶² - 13q⁶³ - 50q⁶⁴ - 35q⁶⁵ - 20q⁶⁶ + 7q⁶⁷ + 17q⁶⁸ + 3q⁶⁹ + 5q⁷⁰ + 7q⁷¹ - 3q⁷² - 3q⁷³ - 5q⁷⁴ + q⁷⁵ + 3q⁷⁶ - q⁷⁷

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 16]]
Out[2]=	PD[X[6, 2, 7, 1], X[14, 6, 15, 5], X[16, 11, 1, 12], X[12, 7, 13, 8], > X[8, 3, 9, 4], X[4, 9, 5, 10], X[10, 15, 11, 16], X[2, 14, 3, 13]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 16]]
Out[3]=	GaussCode[1, -8, 5, -6, 2, -1, 4, -5, 6, -7, 3, -4, 8, -2, 7, -3]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 16]]
Out[4]=	DTCode[6, 8, 14, 12, 4, 16, 2, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 16]]
Out[5]=	BR[3, {-1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 16]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 16]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 16]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 3, 4, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 16]][t]
Out[10]=	-3 4 8 2 3 -9 + t - -- + - + 8 t - 4 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 16]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + z + 2 z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 16], Knot[10, 156], Knot[11, NonAlternating, 15], > Knot[11, NonAlternating, 56], Knot[11, NonAlternating, 58]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 16]], KnotSignature[Knot[8, 16]]}
Out[13]=	{35, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 16]][q]
Out[14]=	-6 3 5 6 6 6 2 -4 - q + -- - -- + -- - -- + - + 3 q - q 5 4 3 2 q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 16], Knot[10, 156]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 16]][q]
Out[16]=	-18 -16 -14 -10 -8 2 -4 2 4 6 1 - q + q - q + q - q + -- - q + -- + q - q 6 2 q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 16]][a, z]
Out[17]=	2 4 2 2 2 4 2 4 2 4 4 4 2 6 2 a - a - 2 z + 5 a z - 2 a z - z + 4 a z - a z + a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 16]][a, z]
Out[18]=	2 4 z 3 5 2 2 2 4 2 6 2 -2 a - a + - + 3 a z + 4 a z + 2 a z + 5 z + 10 a z + 4 a z - a z - a 3 2 z 3 3 3 5 3 7 3 4 2 4 4 4 > ---- - 6 a z - 10 a z - 5 a z + a z - 8 z - 18 a z - 7 a z + a 5 6 4 z 5 3 5 5 5 6 2 6 4 6 > 3 a z + -- - a z + 3 a z + 5 a z + 3 z + 8 a z + 5 a z + a 7 3 7 > 2 a z + 2 a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 16]], Vassiliev[3][Knot[8, 16]]}
Out[19]=	{1, -1}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 16]][q, t]
Out[20]=	3 4 1 2 1 3 2 3 3 3 -- + - + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + 3 q 13 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 5 2 5 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 2 t 2 3 2 5 3 > ---- + --- + 2 q t + q t + 2 q t + q t 3 q q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 16], 2][q]
Out[21]=	-17 3 2 6 15 7 19 32 8 32 41 4 38 -8 + q - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + -- + -- - -- + -- + -- - 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 q q q q q q q q q q q q 37 3 35 25 2 3 4 5 6 7 > -- - -- + -- - -- + 24 q - 10 q - 8 q + 10 q - q - 3 q + q 4 3 2 q q q q

The Alternating Knot 816

The Alternating Knot 8₁₆