The Alternating Knot 8₁₈

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Acknowledgement

KnotPlot

Further views: IGKT
Logo of the International Guild of Knot Tyers
A charity logo in Porto
A laser cut by Tom Longtin

PD Presentation: X₆₂₇₁ X₈₃₉₄ X_16,11,1,12 X_2,14,3,13 X_4,15,5,16 X_10,6,11,5 X_12,7,13,8 X_14,10,15,9

Gauss Code: {1, -4, 2, -5, 6, -1, 7, -2, 8, -6, 3, -7, 4, -8, 5, -3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 8 10 12 14 16 2 4

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

FullyAmphicheiral 2 3 3 / 4 2

Alexander Polynomial: - t^-3 + 5t^-2 - 10t^-1 + 13 - 10t + 5t² - t³

Conway Polynomial: 1 + z² - z⁴ - z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {9₂₄, K11n85, K11n164, ...}

Determinant and Signature: {45, 0}

Jones Polynomial: q^-4 - 4q^-3 + 6q^-2 - 7q^-1 + 9 - 7q + 6q² - 4q³ + q⁴

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-12 - 2q^-10 - q^-6 - q^-4 + 4q^-2 + 1 + 4q² - q⁴ - q⁶ - 2q¹⁰ + q¹²

HOMFLY-PT Polynomial: - a^-2 + a^-2z² + a^-2z⁴ + 3 - z² - 3z⁴ - z⁶ - a² + a²z² + a²z⁴

Kauffman Polynomial: a^-4z⁴ - 4a^-3z³ + 4a^-3z⁵ + a^-2 + 3a^-2z² - 9a^-2z⁴ + 6a^-2z⁶ + a^-1z - 9a^-1z³ + 3a^-1z⁵ + 3a^-1z⁷ + 3 + 6z² - 20z⁴ + 12z⁶ + az - 9az³ + 3az⁵ + 3az⁷ + a² + 3a²z² - 9a²z⁴ + 6a²z⁶ - 4a³z³ + 4a³z⁵ + a⁴z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {1, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 8₁₈. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 9 1

j = 7 3

j = 5 3 1

j = 3 4 3

j = 1 5 3

j = -1 3 5

j = -3 3 4

j = -5 1 3

j = -7 3

j = -9 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-12 - 4q^-11 + 2q^-10 + 13q^-9 - 21q^-8 - 4q^-7 + 41q^-6 - 38q^-5 - 20q^-4 + 69q^-3 - 43q^-2 - 36q^-1 + 81 - 36q - 43q² + 69q³ - 20q⁴ - 38q⁵ + 41q⁶ - 4q⁷ - 21q⁸ + 13q⁹ + 2q¹⁰ - 4q¹¹ + q¹²

3 q^-24 - 4q^-23 + 2q^-22 + 9q^-21 - q^-20 - 24q^-19 - 10q^-18 + 55q^-17 + 27q^-16 - 79q^-15 - 73q^-14 + 108q^-13 + 130q^-12 - 121q^-11 - 199q^-10 + 119q^-9 + 266q^-8 - 105q^-7 - 322q^-6 + 74q^-5 + 374q^-4 - 53q^-3 - 389q^-2 + 10q^-1 + 411 + 10q - 389q² - 53q³ + 374q⁴ + 74q⁵ - 322q⁶ - 105q⁷ + 266q⁸ + 119q⁹ - 199q¹⁰ - 121q¹¹ + 130q¹² + 108q¹³ - 73q¹⁴ - 79q¹⁵ + 27q¹⁶ + 55q¹⁷ - 10q¹⁸ - 24q¹⁹ - q²⁰ + 9q²¹ + 2q²² - 4q²³ + q²⁴

4 q^-40 - 4q^-39 + 2q^-38 + 9q^-37 - 5q^-36 - 4q^-35 - 30q^-34 + 14q^-33 + 66q^-32 + 10q^-31 - 20q^-30 - 173q^-29 - 36q^-28 + 217q^-27 + 184q^-26 + 77q^-25 - 483q^-24 - 344q^-23 + 280q^-22 + 558q^-21 + 530q^-20 - 729q^-19 - 930q^-18 - 11q^-17 + 880q^-16 + 1297q^-15 - 647q^-14 - 1490q^-13 - 605q^-12 + 916q^-11 + 2042q^-10 - 297q^-9 - 1774q^-8 - 1196q^-7 + 714q^-6 + 2508q^-5 + 97q^-4 - 1785q^-3 - 1595q^-2 + 427q^-1 + 2659 + 427q - 1595q² - 1785q³ + 97q⁴ + 2508q⁵ + 714q⁶ - 1196q⁷ - 1774q⁸ - 297q⁹ + 2042q¹⁰ + 916q¹¹ - 605q¹² - 1490q¹³ - 647q¹⁴ + 1297q¹⁵ + 880q¹⁶ - 11q¹⁷ - 930q¹⁸ - 729q¹⁹ + 530q²⁰ + 558q²¹ + 280q²² - 344q²³ - 483q²⁴ + 77q²⁵ + 184q²⁶ + 217q²⁷ - 36q²⁸ - 173q²⁹ - 20q³⁰ + 10q³¹ + 66q³² + 14q³³ - 30q³⁴ - 4q³⁵ - 5q³⁶ + 9q³⁷ + 2q³⁸ - 4q³⁹ + q⁴⁰

5 q^-60 - 4q^-59 + 2q^-58 + 9q^-57 - 5q^-56 - 8q^-55 - 10q^-54 - 6q^-53 + 25q^-52 + 59q^-51 + 15q^-50 - 78q^-49 - 132q^-48 - 88q^-47 + 108q^-46 + 310q^-45 + 309q^-44 - 82q^-43 - 588q^-42 - 694q^-41 - 160q^-40 + 793q^-39 + 1380q^-38 + 769q^-37 - 888q^-36 - 2171q^-35 - 1762q^-34 + 471q^-33 + 2960q^-32 + 3222q^-31 + 409q^-30 - 3440q^-29 - 4844q^-28 - 1921q^-27 + 3420q^-26 + 6480q^-25 + 3843q^-24 - 2833q^-23 - 7798q^-22 - 5983q^-21 + 1728q^-20 + 8665q^-19 + 8083q^-18 - 291q^-17 - 9075q^-16 - 9861q^-15 - 1314q^-14 + 9043q^-13 + 11334q^-12 + 2801q^-11 - 8752q^-10 - 12285q^-9 - 4191q^-8 + 8219q^-7 + 13045q^-6 + 5245q^-5 - 7664q^-4 - 13289q^-3 - 6232q^-2 + 6937q^-1 + 13529 + 6937q - 6232q² - 13289q³ - 7664q⁴ + 5245q⁵ + 13045q⁶ + 8219q⁷ - 4191q⁸ - 12285q⁹ - 8752q¹⁰ + 2801q¹¹ + 11334q¹² + 9043q¹³ - 1314q¹⁴ - 9861q¹⁵ - 9075q¹⁶ - 291q¹⁷ + 8083q¹⁸ + 8665q¹⁹ + 1728q²⁰ - 5983q²¹ - 7798q²² - 2833q²³ + 3843q²⁴ + 6480q²⁵ + 3420q²⁶ - 1921q²⁷ - 4844q²⁸ - 3440q²⁹ + 409q³⁰ + 3222q³¹ + 2960q³² + 471q³³ - 1762q³⁴ - 2171q³⁵ - 888q³⁶ + 769q³⁷ + 1380q³⁸ + 793q³⁹ - 160q⁴⁰ - 694q⁴¹ - 588q⁴² - 82q⁴³ + 309q⁴⁴ + 310q⁴⁵ + 108q⁴⁶ - 88q⁴⁷ - 132q⁴⁸ - 78q⁴⁹ + 15q⁵⁰ + 59q⁵¹ + 25q⁵² - 6q⁵³ - 10q⁵⁴ - 8q⁵⁵ - 5q⁵⁶ + 9q⁵⁷ + 2q⁵⁸ - 4q⁵⁹ + q⁶⁰

6 q^-84 - 4q^-83 + 2q^-82 + 9q^-81 - 5q^-80 - 8q^-79 - 14q^-78 + 14q^-77 + 5q^-76 + 18q^-75 + 64q^-74 - 33q^-73 - 91q^-72 - 142q^-71 - 12q^-70 + 79q^-69 + 240q^-68 + 452q^-67 + 89q^-66 - 372q^-65 - 894q^-64 - 700q^-63 - 286q^-62 + 804q^-61 + 2153q^-60 + 1773q^-59 + 283q^-58 - 2351q^-57 - 3566q^-56 - 3627q^-55 - 523q^-54 + 4727q^-53 + 7138q^-52 + 5812q^-51 - 686q^-50 - 7202q^-49 - 12365q^-48 - 9094q^-47 + 2360q^-46 + 13358q^-45 + 18364q^-44 + 10619q^-43 - 3858q^-42 - 21807q^-41 - 26164q^-40 - 12005q^-39 + 11102q^-38 + 31253q^-37 + 31409q^-36 + 13077q^-35 - 21636q^-34 - 43154q^-33 - 36283q^-32 - 5200q^-31 + 33899q^-30 + 51716q^-29 + 39414q^-28 - 7797q^-27 - 49853q^-26 - 59515q^-25 - 29741q^-24 + 23826q^-23 + 62146q^-22 + 63867q^-21 + 12957q^-20 - 45038q^-19 - 73279q^-18 - 51845q^-17 + 7933q^-16 + 62275q^-15 + 79256q^-14 + 31297q^-13 - 34984q^-12 - 77600q^-11 - 65954q^-10 - 6236q^-9 + 57322q^-8 + 86030q^-7 + 43450q^-6 - 25252q^-5 - 76697q^-4 - 73175q^-3 - 16550q^-2 + 51151q^-1 + 87709 + 51151q - 16550q² - 73175q³ - 76697q⁴ - 25252q⁵ + 43450q⁶ + 86030q⁷ + 57322q⁸ - 6236q⁹ - 65954q¹⁰ - 77600q¹¹ - 34984q¹² + 31297q¹³ + 79256q¹⁴ + 62275q¹⁵ + 7933q¹⁶ - 51845q¹⁷ - 73279q¹⁸ - 45038q¹⁹ + 12957q²⁰ + 63867q²¹ + 62146q²² + 23826q²³ - 29741q²⁴ - 59515q²⁵ - 49853q²⁶ - 7797q²⁷ + 39414q²⁸ + 51716q²⁹ + 33899q³⁰ - 5200q³¹ - 36283q³² - 43154q³³ - 21636q³⁴ + 13077q³⁵ + 31409q³⁶ + 31253q³⁷ + 11102q³⁸ - 12005q³⁹ - 26164q⁴⁰ - 21807q⁴¹ - 3858q⁴² + 10619q⁴³ + 18364q⁴⁴ + 13358q⁴⁵ + 2360q⁴⁶ - 9094q⁴⁷ - 12365q⁴⁸ - 7202q⁴⁹ - 686q⁵⁰ + 5812q⁵¹ + 7138q⁵² + 4727q⁵³ - 523q⁵⁴ - 3627q⁵⁵ - 3566q⁵⁶ - 2351q⁵⁷ + 283q⁵⁸ + 1773q⁵⁹ + 2153q⁶⁰ + 804q⁶¹ - 286q⁶² - 700q⁶³ - 894q⁶⁴ - 372q⁶⁵ + 89q⁶⁶ + 452q⁶⁷ + 240q⁶⁸ + 79q⁶⁹ - 12q⁷⁰ - 142q⁷¹ - 91q⁷² - 33q⁷³ + 64q⁷⁴ + 18q⁷⁵ + 5q⁷⁶ + 14q⁷⁷ - 14q⁷⁸ - 8q⁷⁹ - 5q⁸⁰ + 9q⁸¹ + 2q⁸² - 4q⁸³ + q⁸⁴

7 q^-112 - 4q^-111 + 2q^-110 + 9q^-109 - 5q^-108 - 8q^-107 - 14q^-106 + 10q^-105 + 25q^-104 - 2q^-103 + 23q^-102 + 16q^-101 - 46q^-100 - 91q^-99 - 120q^-98 + q^-97 + 194q^-96 + 228q^-95 + 305q^-94 + 159q^-93 - 265q^-92 - 667q^-91 - 1062q^-90 - 701q^-89 + 318q^-88 + 1373q^-87 + 2402q^-86 + 2319q^-85 + 673q^-84 - 1836q^-83 - 4899q^-82 - 5994q^-81 - 3738q^-80 + 996q^-79 + 7628q^-78 + 11884q^-77 + 10820q^-76 + 3971q^-75 - 8456q^-74 - 19772q^-73 - 23149q^-72 - 15565q^-71 + 3896q^-70 + 26043q^-69 + 39541q^-68 + 36591q^-67 + 11339q^-66 - 25804q^-65 - 57204q^-64 - 66358q^-63 - 39973q^-62 + 12511q^-61 + 68336q^-60 + 100926q^-59 + 83792q^-58 + 19179q^-57 - 66151q^-56 - 133172q^-55 - 137679q^-54 - 70621q^-53 + 42889q^-52 + 153359q^-51 + 194934q^-50 + 139172q^-49 + 3442q^-48 - 154136q^-47 - 245138q^-46 - 216584q^-45 - 71245q^-44 + 130992q^-43 + 279711q^-42 + 293462q^-41 + 153405q^-40 - 85147q^-39 - 293239q^-38 - 360206q^-37 - 240305q^-36 + 21900q^-35 + 284890q^-34 + 410240q^-33 + 322851q^-32 + 50497q^-31 - 258503q^-30 - 441071q^-29 - 393503q^-28 - 123370q^-27 + 219717q^-26 + 454109q^-25 + 448852q^-24 + 189820q^-23 - 176053q^-22 - 453071q^-21 - 487746q^-20 - 245868q^-19 + 132559q^-18 + 443069q^-17 + 513256q^-16 + 289741q^-15 - 94142q^-14 - 428270q^-13 - 527350q^-12 - 322834q^-11 + 60878q^-10 + 412390q^-9 + 535248q^-8 + 347117q^-7 - 34348q^-6 - 396718q^-5 - 537790q^-4 - 365850q^-3 + 10559q^-2 + 381625q^-1 + 539297 + 381625q + 10559q² - 365850q³ - 537790q⁴ - 396718q⁵ - 34348q⁶ + 347117q⁷ + 535248q⁸ + 412390q⁹ + 60878q¹⁰ - 322834q¹¹ - 527350q¹² - 428270q¹³ - 94142q¹⁴ + 289741q¹⁵ + 513256q¹⁶ + 443069q¹⁷ + 132559q¹⁸ - 245868q¹⁹ - 487746q²⁰ - 453071q²¹ - 176053q²² + 189820q²³ + 448852q²⁴ + 454109q²⁵ + 219717q²⁶ - 123370q²⁷ - 393503q²⁸ - 441071q²⁹ - 258503q³⁰ + 50497q³¹ + 322851q³² + 410240q³³ + 284890q³⁴ + 21900q³⁵ - 240305q³⁶ - 360206q³⁷ - 293239q³⁸ - 85147q³⁹ + 153405q⁴⁰ + 293462q⁴¹ + 279711q⁴² + 130992q⁴³ - 71245q⁴⁴ - 216584q⁴⁵ - 245138q⁴⁶ - 154136q⁴⁷ + 3442q⁴⁸ + 139172q⁴⁹ + 194934q⁵⁰ + 153359q⁵¹ + 42889q⁵² - 70621q⁵³ - 137679q⁵⁴ - 133172q⁵⁵ - 66151q⁵⁶ + 19179q⁵⁷ + 83792q⁵⁸ + 100926q⁵⁹ + 68336q⁶⁰ + 12511q⁶¹ - 39973q⁶² - 66358q⁶³ - 57204q⁶⁴ - 25804q⁶⁵ + 11339q⁶⁶ + 36591q⁶⁷ + 39541q⁶⁸ + 26043q⁶⁹ + 3896q⁷⁰ - 15565q⁷¹ - 23149q⁷² - 19772q⁷³ - 8456q⁷⁴ + 3971q⁷⁵ + 10820q⁷⁶ + 11884q⁷⁷ + 7628q⁷⁸ + 996q⁷⁹ - 3738q⁸⁰ - 5994q⁸¹ - 4899q⁸² - 1836q⁸³ + 673q⁸⁴ + 2319q⁸⁵ + 2402q⁸⁶ + 1373q⁸⁷ + 318q⁸⁸ - 701q⁸⁹ - 1062q⁹⁰ - 667q⁹¹ - 265q⁹² + 159q⁹³ + 305q⁹⁴ + 228q⁹⁵ + 194q⁹⁶ + q⁹⁷ - 120q⁹⁸ - 91q⁹⁹ - 46q¹⁰⁰ + 16q¹⁰¹ + 23q¹⁰² - 2q¹⁰³ + 25q¹⁰⁴ + 10q¹⁰⁵ - 14q¹⁰⁶ - 8q¹⁰⁷ - 5q¹⁰⁸ + 9q¹⁰⁹ + 2q¹¹⁰ - 4q¹¹¹ + q¹¹²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 18]]

Out[2]=
PD[X[6, 2, 7, 1], X[8, 3, 9, 4], X[16, 11, 1, 12], X[2, 14, 3, 13], > X[4, 15, 5, 16], X[10, 6, 11, 5], X[12, 7, 13, 8], X[14, 10, 15, 9]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 18]]

Out[3]=
GaussCode[1, -4, 2, -5, 6, -1, 7, -2, 8, -6, 3, -7, 4, -8, 5, -3]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 18]]

Out[4]=
DTCode[6, 8, 10, 12, 14, 16, 2, 4]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 18]]

Out[5]=
BR[3, {-1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 18]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 18]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 18]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{FullyAmphicheiral, 2, 3, 3, 4, 2}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 18]][t]

Out[10]=
-3 5 10 2 3 13 - t + -- - -- - 10 t + 5 t - t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 18]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + z - z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 18], Knot[9, 24], Knot[11, NonAlternating, 85], > Knot[11, NonAlternating, 164]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 18]], KnotSignature[Knot[8, 18]]}

Out[13]=
{45, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 18]][q]

Out[14]=
-4 4 6 7 2 3 4 9 + q - -- + -- - - - 7 q + 6 q - 4 q + q 3 2 q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 18]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 18]][q]

Out[16]=
-12 2 -6 -4 4 2 4 6 10 12 1 + q - --- - q - q + -- + 4 q - q - q - 2 q + q 10 2 q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 18]][a, z]

Out[17]=
2 4 -2 2 2 z 2 2 4 z 2 4 6 3 - a - a - z + -- + a z - 3 z + -- + a z - z 2 2 a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 18]][a, z]

Out[18]=
2 3 3 -2 2 z 2 3 z 2 2 4 z 9 z 3 3 + a + a + - + a z + 6 z + ---- + 3 a z - ---- - ---- - 9 a z - a 2 3 a a a 4 4 5 5 3 3 4 z 9 z 2 4 4 4 4 z 3 z 5 > 4 a z - 20 z + -- - ---- - 9 a z + a z + ---- + ---- + 3 a z + 4 2 3 a a a a 6 7 3 5 6 6 z 2 6 3 z 7 > 4 a z + 12 z + ---- + 6 a z + ---- + 3 a z 2 a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 18]], Vassiliev[3][Knot[8, 18]]}

Out[19]=
{1, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 18]][q, t]

Out[20]=
5 1 3 1 3 3 4 3 3 - + 5 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 3 q t + 4 q t + q 9 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 18], 2][q]

Out[21]=
-12 4 2 13 21 4 41 38 20 69 43 36 81 + q - --- + --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- - 36 q - 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > 43 q + 69 q - 20 q - 38 q + 41 q - 4 q - 21 q + 13 q + 2 q - 11 12 > 4 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₁₈

8₁₇
8₁₉

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-12 - 4q^-11 + 2q^-10 + 13q^-9 - 21q^-8 - 4q^-7 + 41q^-6 - 38q^-5 - 20q^-4 + 69q^-3 - 43q^-2 - 36q^-1 + 81 - 36q - 43q² + 69q³ - 20q⁴ - 38q⁵ + 41q⁶ - 4q⁷ - 21q⁸ + 13q⁹ + 2q¹⁰ - 4q¹¹ + q¹²
3	q^-24 - 4q^-23 + 2q^-22 + 9q^-21 - q^-20 - 24q^-19 - 10q^-18 + 55q^-17 + 27q^-16 - 79q^-15 - 73q^-14 + 108q^-13 + 130q^-12 - 121q^-11 - 199q^-10 + 119q^-9 + 266q^-8 - 105q^-7 - 322q^-6 + 74q^-5 + 374q^-4 - 53q^-3 - 389q^-2 + 10q^-1 + 411 + 10q - 389q² - 53q³ + 374q⁴ + 74q⁵ - 322q⁶ - 105q⁷ + 266q⁸ + 119q⁹ - 199q¹⁰ - 121q¹¹ + 130q¹² + 108q¹³ - 73q¹⁴ - 79q¹⁵ + 27q¹⁶ + 55q¹⁷ - 10q¹⁸ - 24q¹⁹ - q²⁰ + 9q²¹ + 2q²² - 4q²³ + q²⁴
4	q^-40 - 4q^-39 + 2q^-38 + 9q^-37 - 5q^-36 - 4q^-35 - 30q^-34 + 14q^-33 + 66q^-32 + 10q^-31 - 20q^-30 - 173q^-29 - 36q^-28 + 217q^-27 + 184q^-26 + 77q^-25 - 483q^-24 - 344q^-23 + 280q^-22 + 558q^-21 + 530q^-20 - 729q^-19 - 930q^-18 - 11q^-17 + 880q^-16 + 1297q^-15 - 647q^-14 - 1490q^-13 - 605q^-12 + 916q^-11 + 2042q^-10 - 297q^-9 - 1774q^-8 - 1196q^-7 + 714q^-6 + 2508q^-5 + 97q^-4 - 1785q^-3 - 1595q^-2 + 427q^-1 + 2659 + 427q - 1595q² - 1785q³ + 97q⁴ + 2508q⁵ + 714q⁶ - 1196q⁷ - 1774q⁸ - 297q⁹ + 2042q¹⁰ + 916q¹¹ - 605q¹² - 1490q¹³ - 647q¹⁴ + 1297q¹⁵ + 880q¹⁶ - 11q¹⁷ - 930q¹⁸ - 729q¹⁹ + 530q²⁰ + 558q²¹ + 280q²² - 344q²³ - 483q²⁴ + 77q²⁵ + 184q²⁶ + 217q²⁷ - 36q²⁸ - 173q²⁹ - 20q³⁰ + 10q³¹ + 66q³² + 14q³³ - 30q³⁴ - 4q³⁵ - 5q³⁶ + 9q³⁷ + 2q³⁸ - 4q³⁹ + q⁴⁰
5	q^-60 - 4q^-59 + 2q^-58 + 9q^-57 - 5q^-56 - 8q^-55 - 10q^-54 - 6q^-53 + 25q^-52 + 59q^-51 + 15q^-50 - 78q^-49 - 132q^-48 - 88q^-47 + 108q^-46 + 310q^-45 + 309q^-44 - 82q^-43 - 588q^-42 - 694q^-41 - 160q^-40 + 793q^-39 + 1380q^-38 + 769q^-37 - 888q^-36 - 2171q^-35 - 1762q^-34 + 471q^-33 + 2960q^-32 + 3222q^-31 + 409q^-30 - 3440q^-29 - 4844q^-28 - 1921q^-27 + 3420q^-26 + 6480q^-25 + 3843q^-24 - 2833q^-23 - 7798q^-22 - 5983q^-21 + 1728q^-20 + 8665q^-19 + 8083q^-18 - 291q^-17 - 9075q^-16 - 9861q^-15 - 1314q^-14 + 9043q^-13 + 11334q^-12 + 2801q^-11 - 8752q^-10 - 12285q^-9 - 4191q^-8 + 8219q^-7 + 13045q^-6 + 5245q^-5 - 7664q^-4 - 13289q^-3 - 6232q^-2 + 6937q^-1 + 13529 + 6937q - 6232q² - 13289q³ - 7664q⁴ + 5245q⁵ + 13045q⁶ + 8219q⁷ - 4191q⁸ - 12285q⁹ - 8752q¹⁰ + 2801q¹¹ + 11334q¹² + 9043q¹³ - 1314q¹⁴ - 9861q¹⁵ - 9075q¹⁶ - 291q¹⁷ + 8083q¹⁸ + 8665q¹⁹ + 1728q²⁰ - 5983q²¹ - 7798q²² - 2833q²³ + 3843q²⁴ + 6480q²⁵ + 3420q²⁶ - 1921q²⁷ - 4844q²⁸ - 3440q²⁹ + 409q³⁰ + 3222q³¹ + 2960q³² + 471q³³ - 1762q³⁴ - 2171q³⁵ - 888q³⁶ + 769q³⁷ + 1380q³⁸ + 793q³⁹ - 160q⁴⁰ - 694q⁴¹ - 588q⁴² - 82q⁴³ + 309q⁴⁴ + 310q⁴⁵ + 108q⁴⁶ - 88q⁴⁷ - 132q⁴⁸ - 78q⁴⁹ + 15q⁵⁰ + 59q⁵¹ + 25q⁵² - 6q⁵³ - 10q⁵⁴ - 8q⁵⁵ - 5q⁵⁶ + 9q⁵⁷ + 2q⁵⁸ - 4q⁵⁹ + q⁶⁰
6	q^-84 - 4q^-83 + 2q^-82 + 9q^-81 - 5q^-80 - 8q^-79 - 14q^-78 + 14q^-77 + 5q^-76 + 18q^-75 + 64q^-74 - 33q^-73 - 91q^-72 - 142q^-71 - 12q^-70 + 79q^-69 + 240q^-68 + 452q^-67 + 89q^-66 - 372q^-65 - 894q^-64 - 700q^-63 - 286q^-62 + 804q^-61 + 2153q^-60 + 1773q^-59 + 283q^-58 - 2351q^-57 - 3566q^-56 - 3627q^-55 - 523q^-54 + 4727q^-53 + 7138q^-52 + 5812q^-51 - 686q^-50 - 7202q^-49 - 12365q^-48 - 9094q^-47 + 2360q^-46 + 13358q^-45 + 18364q^-44 + 10619q^-43 - 3858q^-42 - 21807q^-41 - 26164q^-40 - 12005q^-39 + 11102q^-38 + 31253q^-37 + 31409q^-36 + 13077q^-35 - 21636q^-34 - 43154q^-33 - 36283q^-32 - 5200q^-31 + 33899q^-30 + 51716q^-29 + 39414q^-28 - 7797q^-27 - 49853q^-26 - 59515q^-25 - 29741q^-24 + 23826q^-23 + 62146q^-22 + 63867q^-21 + 12957q^-20 - 45038q^-19 - 73279q^-18 - 51845q^-17 + 7933q^-16 + 62275q^-15 + 79256q^-14 + 31297q^-13 - 34984q^-12 - 77600q^-11 - 65954q^-10 - 6236q^-9 + 57322q^-8 + 86030q^-7 + 43450q^-6 - 25252q^-5 - 76697q^-4 - 73175q^-3 - 16550q^-2 + 51151q^-1 + 87709 + 51151q - 16550q² - 73175q³ - 76697q⁴ - 25252q⁵ + 43450q⁶ + 86030q⁷ + 57322q⁸ - 6236q⁹ - 65954q¹⁰ - 77600q¹¹ - 34984q¹² + 31297q¹³ + 79256q¹⁴ + 62275q¹⁵ + 7933q¹⁶ - 51845q¹⁷ - 73279q¹⁸ - 45038q¹⁹ + 12957q²⁰ + 63867q²¹ + 62146q²² + 23826q²³ - 29741q²⁴ - 59515q²⁵ - 49853q²⁶ - 7797q²⁷ + 39414q²⁸ + 51716q²⁹ + 33899q³⁰ - 5200q³¹ - 36283q³² - 43154q³³ - 21636q³⁴ + 13077q³⁵ + 31409q³⁶ + 31253q³⁷ + 11102q³⁸ - 12005q³⁹ - 26164q⁴⁰ - 21807q⁴¹ - 3858q⁴² + 10619q⁴³ + 18364q⁴⁴ + 13358q⁴⁵ + 2360q⁴⁶ - 9094q⁴⁷ - 12365q⁴⁸ - 7202q⁴⁹ - 686q⁵⁰ + 5812q⁵¹ + 7138q⁵² + 4727q⁵³ - 523q⁵⁴ - 3627q⁵⁵ - 3566q⁵⁶ - 2351q⁵⁷ + 283q⁵⁸ + 1773q⁵⁹ + 2153q⁶⁰ + 804q⁶¹ - 286q⁶² - 700q⁶³ - 894q⁶⁴ - 372q⁶⁵ + 89q⁶⁶ + 452q⁶⁷ + 240q⁶⁸ + 79q⁶⁹ - 12q⁷⁰ - 142q⁷¹ - 91q⁷² - 33q⁷³ + 64q⁷⁴ + 18q⁷⁵ + 5q⁷⁶ + 14q⁷⁷ - 14q⁷⁸ - 8q⁷⁹ - 5q⁸⁰ + 9q⁸¹ + 2q⁸² - 4q⁸³ + q⁸⁴
7	q^-112 - 4q^-111 + 2q^-110 + 9q^-109 - 5q^-108 - 8q^-107 - 14q^-106 + 10q^-105 + 25q^-104 - 2q^-103 + 23q^-102 + 16q^-101 - 46q^-100 - 91q^-99 - 120q^-98 + q^-97 + 194q^-96 + 228q^-95 + 305q^-94 + 159q^-93 - 265q^-92 - 667q^-91 - 1062q^-90 - 701q^-89 + 318q^-88 + 1373q^-87 + 2402q^-86 + 2319q^-85 + 673q^-84 - 1836q^-83 - 4899q^-82 - 5994q^-81 - 3738q^-80 + 996q^-79 + 7628q^-78 + 11884q^-77 + 10820q^-76 + 3971q^-75 - 8456q^-74 - 19772q^-73 - 23149q^-72 - 15565q^-71 + 3896q^-70 + 26043q^-69 + 39541q^-68 + 36591q^-67 + 11339q^-66 - 25804q^-65 - 57204q^-64 - 66358q^-63 - 39973q^-62 + 12511q^-61 + 68336q^-60 + 100926q^-59 + 83792q^-58 + 19179q^-57 - 66151q^-56 - 133172q^-55 - 137679q^-54 - 70621q^-53 + 42889q^-52 + 153359q^-51 + 194934q^-50 + 139172q^-49 + 3442q^-48 - 154136q^-47 - 245138q^-46 - 216584q^-45 - 71245q^-44 + 130992q^-43 + 279711q^-42 + 293462q^-41 + 153405q^-40 - 85147q^-39 - 293239q^-38 - 360206q^-37 - 240305q^-36 + 21900q^-35 + 284890q^-34 + 410240q^-33 + 322851q^-32 + 50497q^-31 - 258503q^-30 - 441071q^-29 - 393503q^-28 - 123370q^-27 + 219717q^-26 + 454109q^-25 + 448852q^-24 + 189820q^-23 - 176053q^-22 - 453071q^-21 - 487746q^-20 - 245868q^-19 + 132559q^-18 + 443069q^-17 + 513256q^-16 + 289741q^-15 - 94142q^-14 - 428270q^-13 - 527350q^-12 - 322834q^-11 + 60878q^-10 + 412390q^-9 + 535248q^-8 + 347117q^-7 - 34348q^-6 - 396718q^-5 - 537790q^-4 - 365850q^-3 + 10559q^-2 + 381625q^-1 + 539297 + 381625q + 10559q² - 365850q³ - 537790q⁴ - 396718q⁵ - 34348q⁶ + 347117q⁷ + 535248q⁸ + 412390q⁹ + 60878q¹⁰ - 322834q¹¹ - 527350q¹² - 428270q¹³ - 94142q¹⁴ + 289741q¹⁵ + 513256q¹⁶ + 443069q¹⁷ + 132559q¹⁸ - 245868q¹⁹ - 487746q²⁰ - 453071q²¹ - 176053q²² + 189820q²³ + 448852q²⁴ + 454109q²⁵ + 219717q²⁶ - 123370q²⁷ - 393503q²⁸ - 441071q²⁹ - 258503q³⁰ + 50497q³¹ + 322851q³² + 410240q³³ + 284890q³⁴ + 21900q³⁵ - 240305q³⁶ - 360206q³⁷ - 293239q³⁸ - 85147q³⁹ + 153405q⁴⁰ + 293462q⁴¹ + 279711q⁴² + 130992q⁴³ - 71245q⁴⁴ - 216584q⁴⁵ - 245138q⁴⁶ - 154136q⁴⁷ + 3442q⁴⁸ + 139172q⁴⁹ + 194934q⁵⁰ + 153359q⁵¹ + 42889q⁵² - 70621q⁵³ - 137679q⁵⁴ - 133172q⁵⁵ - 66151q⁵⁶ + 19179q⁵⁷ + 83792q⁵⁸ + 100926q⁵⁹ + 68336q⁶⁰ + 12511q⁶¹ - 39973q⁶² - 66358q⁶³ - 57204q⁶⁴ - 25804q⁶⁵ + 11339q⁶⁶ + 36591q⁶⁷ + 39541q⁶⁸ + 26043q⁶⁹ + 3896q⁷⁰ - 15565q⁷¹ - 23149q⁷² - 19772q⁷³ - 8456q⁷⁴ + 3971q⁷⁵ + 10820q⁷⁶ + 11884q⁷⁷ + 7628q⁷⁸ + 996q⁷⁹ - 3738q⁸⁰ - 5994q⁸¹ - 4899q⁸² - 1836q⁸³ + 673q⁸⁴ + 2319q⁸⁵ + 2402q⁸⁶ + 1373q⁸⁷ + 318q⁸⁸ - 701q⁸⁹ - 1062q⁹⁰ - 667q⁹¹ - 265q⁹² + 159q⁹³ + 305q⁹⁴ + 228q⁹⁵ + 194q⁹⁶ + q⁹⁷ - 120q⁹⁸ - 91q⁹⁹ - 46q¹⁰⁰ + 16q¹⁰¹ + 23q¹⁰² - 2q¹⁰³ + 25q¹⁰⁴ + 10q¹⁰⁵ - 14q¹⁰⁶ - 8q¹⁰⁷ - 5q¹⁰⁸ + 9q¹⁰⁹ + 2q¹¹⁰ - 4q¹¹¹ + q¹¹²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 18]]
Out[2]=	PD[X[6, 2, 7, 1], X[8, 3, 9, 4], X[16, 11, 1, 12], X[2, 14, 3, 13], > X[4, 15, 5, 16], X[10, 6, 11, 5], X[12, 7, 13, 8], X[14, 10, 15, 9]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 18]]
Out[3]=	GaussCode[1, -4, 2, -5, 6, -1, 7, -2, 8, -6, 3, -7, 4, -8, 5, -3]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 18]]
Out[4]=	DTCode[6, 8, 10, 12, 14, 16, 2, 4]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 18]]
Out[5]=	BR[3, {-1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 18]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 18]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 18]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{FullyAmphicheiral, 2, 3, 3, 4, 2}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 18]][t]
Out[10]=	-3 5 10 2 3 13 - t + -- - -- - 10 t + 5 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 18]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + z - z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 18], Knot[9, 24], Knot[11, NonAlternating, 85], > Knot[11, NonAlternating, 164]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 18]], KnotSignature[Knot[8, 18]]}
Out[13]=	{45, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 18]][q]
Out[14]=	-4 4 6 7 2 3 4 9 + q - -- + -- - - - 7 q + 6 q - 4 q + q 3 2 q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 18]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 18]][q]
Out[16]=	-12 2 -6 -4 4 2 4 6 10 12 1 + q - --- - q - q + -- + 4 q - q - q - 2 q + q 10 2 q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 18]][a, z]
Out[17]=	2 4 -2 2 2 z 2 2 4 z 2 4 6 3 - a - a - z + -- + a z - 3 z + -- + a z - z 2 2 a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 18]][a, z]
Out[18]=	2 3 3 -2 2 z 2 3 z 2 2 4 z 9 z 3 3 + a + a + - + a z + 6 z + ---- + 3 a z - ---- - ---- - 9 a z - a 2 3 a a a 4 4 5 5 3 3 4 z 9 z 2 4 4 4 4 z 3 z 5 > 4 a z - 20 z + -- - ---- - 9 a z + a z + ---- + ---- + 3 a z + 4 2 3 a a a a 6 7 3 5 6 6 z 2 6 3 z 7 > 4 a z + 12 z + ---- + 6 a z + ---- + 3 a z 2 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 18]], Vassiliev[3][Knot[8, 18]]}
Out[19]=	{1, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 18]][q, t]
Out[20]=	5 1 3 1 3 3 4 3 3 - + 5 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 3 q t + 4 q t + q 9 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t 3 2 5 2 5 3 7 3 9 4 > 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 18], 2][q]
Out[21]=	-12 4 2 13 21 4 41 38 20 69 43 36 81 + q - --- + --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- - 36 q - 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > 43 q + 69 q - 20 q - 38 q + 41 q - 4 q - 21 q + 13 q + 2 q - 11 12 > 4 q + q

The Alternating Knot 818

The Alternating Knot 8₁₈