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KnotPlot

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KnotPlot

PD Presentation:

X4251 X8493 X9,15,10,14 X5,13,6,12 X13,7,14,6 X11,1,12,16 X15,11,16,10 X2837

Gauss Code:

{1, -8, 2, -1, -4, 5, 8, -2, -3, 7, -6, 4, -5, 3, -7, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code:

4 8 -12 2 -14 -16 -6 -10

Minimum Braid Representative: Length is 8, width is 3 Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index Reversible 3 3 3 / 4 1

Alexander Polynomial:

t-3 - t-2 + 1 - t2 + t3

Conway Polynomial:

1 + 5z2 + 5z4 + z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial:

{...}

Determinant and Signature:

{3, 6}

Jones Polynomial:

q3 + q5 - q8

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial:

{...}

A2 (sl(3)) Invariant:

q10 + q12 + 2q14 + 2q16 + 2q18 - q22 - 2q24 - 2q26 - q28 + q32

HOMFLY-PT Polynomial:

a-10 - 5a-8 - 5a-8z2 - a-8z4 + 5a-6 + 10a-6z2 + 6a-6z4 + a-6z6

Kauffman Polynomial:

- a-10 + 5a-9z - 5a-9z3 + a-9z5 - 5a-8 + 10a-8z2 - 6a-8z4 + a-8z6 + 5a-7z - 5a-7z3 + a-7z5 - 5a-6 + 10a-6z2 - 6a-6z4 + a-6z6

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants:

{5, 10}

Khovanov Homology: (The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=6 is the signature of 819. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

trqj r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 j = 17           1 j = 15           1 j = 13       1 1   j = 11         1   j = 9     1       j = 7 1           j = 5 1

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q6 + q9 + q12 - q13 - q16 - q19 + q20 - q22 + q23
3	q9 + q13 + q17 - q19 + q21 - q22 - q23 + q25 - q26 - q27 + q29 - q31 + q33 - q35 + q37 - q39 + q40 + q41 - q43
4	q12 + q17 + q22 - q25 + q27 - q29 - q30 + q32 - q34 - q35 + q37 - q39 + q42 - q44 + q47 - q49 + q52 - q54 + q55 + q57 - q59 + q60 - 2q64 + q65 - q69 + q70
5	q15 + q21 + q27 - q31 + q33 - q36 - q37 + q39 - q42 - q43 + q45 - q48 - q49 + q50 + q51 - q54 - q55 + q56 + q57 - q60 - q61 + q62 + q63 - q66 - q67 + q68 + q69 + q70 - q72 - q73 + q74 + q75 + q76 - q78 - q79 + q81 + q82 - q83 - q84 - q85 + q87 + q88 - q89 - q90 + q93 + q94 - q95 - q96 + q99 + q100 - q102
6	q18 + q25 + q32 - q37 + q39 - q43 - q44 + q46 - q50 - q51 + q53 - q57 - q58 + 2q60 - q64 - q65 + 2q67 - q71 - q72 + 2q74 - q78 - q79 + 2q81 - q86 + 2q88 - q93 + 2q95 - q98 - q100 + q102 - q105 - q107 + q109 - q112 + q113 - q114 + q116 - q119 + q120 - q121 + q123 - q126 + q127 + q130 - q133 + q134 - q135 - q140 + q141
7	q21 + q29 + q37 - q43 + q45 - q50 - q51 + q53 - q58 - q59 + q61 - q66 - q67 + q69 + q70 - q74 - q75 + q77 + q78 - q82 - q83 + q85 + q86 - q90 - q91 + q93 + q94 - q98 - q99 + q100 + q101 + q102 - q106 - q107 + q108 + q109 + q110 - q114 - q115 + q117 + q118 - q121 - q122 - q123 + q125 + q126 - q129 - q130 - q131 + q133 + q134 + q135 - q137 - q138 - q139 + q141 + q142 + q143 - q145 - q146 - q147 + q149 + q150 + q151 - q153 - q154 + q157 + q158 + q159 - q161 - q162 + q166 + q167 - q168 - q169 - q170 + q174 + q175 - q177 - q178 + q182 + q183 - q185

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 19]]
Out[2]=	PD[X[4, 2, 5, 1], X[8, 4, 9, 3], X[9, 15, 10, 14], X[5, 13, 6, 12], > X[13, 7, 14, 6], X[11, 1, 12, 16], X[15, 11, 16, 10], X[2, 8, 3, 7]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 19]]
Out[3]=	GaussCode[1, -8, 2, -1, -4, 5, 8, -2, -3, 7, -6, 4, -5, 3, -7, 6]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 19]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, -12, 2, -14, -16, -6, -10]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 19]]
Out[5]=	BR[3, {1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 19]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 19]]]
Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 19]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 3, 3, 3, 4, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 19]][t]
Out[10]=	-3 -2 2 3 1 + t - t - t + t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 19]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + 5 z + 5 z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 19]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 19]], KnotSignature[Knot[8, 19]]}
Out[13]=	{3, 6}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 19]][q]
Out[14]=	3 5 8 q + q - q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 19]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 19]][q]
Out[16]=	10 12 14 16 18 22 24 26 28 32 q + q + 2 q + 2 q + 2 q - q - 2 q - 2 q - q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 19]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 6 -10 5 5 5 z 10 z z 6 z z a - -- + -- - ---- + ----- - -- + ---- + -- 8 6 8 6 8 6 6 a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 19]][a, z]
Out[18]=	2 2 3 3 4 4 5 -10 5 5 5 z 5 z 10 z 10 z 5 z 5 z 6 z 6 z z -a - -- - -- + --- + --- + ----- + ----- - ---- - ---- - ---- - ---- + -- + 8 6 9 7 8 6 9 7 8 6 9 a a a a a a a a a a a 5 6 6 z z z > -- + -- + -- 7 8 6 a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 19]], Vassiliev[3][Knot[8, 19]]}
Out[19]=	{5, 10}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 19]][q, t]
Out[20]=	5 7 9 2 13 3 11 4 13 4 15 5 17 5 q + q + q t + q t + q t + q t + q t + q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 19], 2][q]
Out[21]=	6 9 12 13 16 19 20 22 23 q + q + q - q - q - q + q - q + q

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