The Alternating Knot 7₅

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,10,4,11 X_5,12,6,13 X_7,14,8,1 X_13,6,14,7 X_11,8,12,9 X_9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 7, -2, 1, -3, 5, -4, 6, -7, 2, -6, 3, -5, 4}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 12 14 2 8 6

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 2 2 / 4 1

Alexander Polynomial: 2t^-2 - 4t^-1 + 5 - 4t + 2t²

Conway Polynomial: 1 + 4z² + 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₃₀, ...}

Determinant and Signature: {17, -4}

Jones Polynomial: - q^-9 + 2q^-8 - 3q^-7 + 3q^-6 - 3q^-5 + 3q^-4 - q^-3 + q^-2

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-28 - q^-22 - q^-18 + q^-16 + q^-14 + q^-12 + 2q^-10 + q^-6

HOMFLY-PT Polynomial: 2a⁴ + 3a⁴z² + a⁴z⁴ + 2a⁶z² + a⁶z⁴ - a⁸ - a⁸z²

Kauffman Polynomial: 2a⁴ - 3a⁴z² + a⁴z⁴ - a⁵z - a⁵z³ + a⁵z⁵ - a⁶z⁴ + a⁶z⁶ + a⁷z - 4a⁷z³ + 3a⁷z⁵ - a⁸ + a⁸z² + a⁸z⁶ + a⁹z - 2a⁹z³ + 2a⁹z⁵ - 2a¹⁰z² + 2a¹⁰z⁴ - a¹¹z + a¹¹z³

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {4, -8}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-4 is the signature of 7₅. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -7 r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0

j = -3 1

j = -5 1 1

j = -7 2

j = -9 1 1

j = -11 2 2

j = -13 1 1

j = -15 1 2

j = -17 1

j = -19 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-25 - 2q^-24 + 5q^-22 - 6q^-21 - 2q^-20 + 11q^-19 - 9q^-18 - 4q^-17 + 14q^-16 - 10q^-15 - 5q^-14 + 13q^-13 - 7q^-12 - 5q^-11 + 9q^-10 - 3q^-9 - 3q^-8 + 4q^-7 - q^-5 + q^-4

3 - q^-48 + 2q^-47 - 2q^-45 - 2q^-44 + 5q^-43 + 4q^-42 - 8q^-41 - 8q^-40 + 11q^-39 + 12q^-38 - 12q^-37 - 18q^-36 + 15q^-35 + 22q^-34 - 15q^-33 - 26q^-32 + 16q^-31 + 27q^-30 - 15q^-29 - 28q^-28 + 13q^-27 + 28q^-26 - 12q^-25 - 25q^-24 + 7q^-23 + 24q^-22 - 6q^-21 - 18q^-20 - q^-19 + 18q^-18 - q^-17 - 10q^-16 - 4q^-15 + 9q^-14 + 2q^-13 - 3q^-12 - 3q^-11 + 3q^-10 + q^-9 - q^-7 + q^-6

4 q^-78 - 2q^-77 + 2q^-75 - q^-74 + 3q^-73 - 7q^-72 + 7q^-70 + 9q^-68 - 21q^-67 - 7q^-66 + 15q^-65 + 9q^-64 + 23q^-63 - 40q^-62 - 22q^-61 + 17q^-60 + 22q^-59 + 47q^-58 - 56q^-57 - 42q^-56 + 13q^-55 + 33q^-54 + 69q^-53 - 64q^-52 - 55q^-51 + 7q^-50 + 37q^-49 + 82q^-48 - 64q^-47 - 59q^-46 + 2q^-45 + 34q^-44 + 84q^-43 - 57q^-42 - 54q^-41 - 6q^-40 + 26q^-39 + 79q^-38 - 43q^-37 - 43q^-36 - 13q^-35 + 13q^-34 + 66q^-33 - 22q^-32 - 28q^-31 - 19q^-30 - q^-29 + 48q^-28 - 5q^-27 - 12q^-26 - 17q^-25 - 9q^-24 + 26q^-23 + 2q^-22 - 9q^-20 - 9q^-19 + 10q^-18 + q^-17 + 3q^-16 - 2q^-15 - 4q^-14 + 3q^-13 + q^-11 - q^-9 + q^-8

5 - q^-115 + 2q^-114 - 2q^-112 + q^-111 - q^-109 + 3q^-108 + q^-107 - 6q^-106 - 2q^-105 + 2q^-104 + 3q^-103 + 10q^-102 + 3q^-101 - 12q^-100 - 18q^-99 - 7q^-98 + 15q^-97 + 31q^-96 + 20q^-95 - 19q^-94 - 47q^-93 - 37q^-92 + 16q^-91 + 67q^-90 + 58q^-89 - 11q^-88 - 81q^-87 - 83q^-86 - 3q^-85 + 97q^-84 + 110q^-83 + 11q^-82 - 103q^-81 - 130q^-80 - 30q^-79 + 112q^-78 + 148q^-77 + 38q^-76 - 111q^-75 - 159q^-74 - 51q^-73 + 111q^-72 + 167q^-71 + 56q^-70 - 107q^-69 - 168q^-68 - 62q^-67 + 102q^-66 + 166q^-65 + 67q^-64 - 95q^-63 - 162q^-62 - 66q^-61 + 83q^-60 + 152q^-59 + 74q^-58 - 74q^-57 - 142q^-56 - 70q^-55 + 53q^-54 + 125q^-53 + 82q^-52 - 44q^-51 - 110q^-50 - 69q^-49 + 13q^-48 + 87q^-47 + 82q^-46 - 7q^-45 - 69q^-44 - 61q^-43 - 19q^-42 + 40q^-41 + 69q^-40 + 18q^-39 - 27q^-38 - 40q^-37 - 31q^-36 + 5q^-35 + 39q^-34 + 22q^-33 + q^-32 - 15q^-31 - 23q^-30 - 10q^-29 + 14q^-28 + 10q^-27 + 8q^-26 - 9q^-24 - 8q^-23 + 4q^-22 + q^-21 + 3q^-20 + 3q^-19 - 2q^-18 - 3q^-17 + 2q^-16 + q^-13 - q^-11 + q^-10

6 q^-159 - 2q^-158 + 2q^-156 - q^-155 - 2q^-153 + 5q^-152 - 4q^-151 - 2q^-150 + 8q^-149 - 2q^-148 - 2q^-147 - 8q^-146 + 8q^-145 - 10q^-144 - 2q^-143 + 24q^-142 + 6q^-141 - q^-140 - 24q^-139 + 3q^-138 - 37q^-137 - 10q^-136 + 57q^-135 + 40q^-134 + 26q^-133 - 38q^-132 - 19q^-131 - 105q^-130 - 51q^-129 + 86q^-128 + 105q^-127 + 100q^-126 - 16q^-125 - 35q^-124 - 215q^-123 - 142q^-122 + 78q^-121 + 172q^-120 + 212q^-119 + 53q^-118 - 16q^-117 - 325q^-116 - 263q^-115 + 27q^-114 + 208q^-113 + 318q^-112 + 143q^-111 + 34q^-110 - 399q^-109 - 365q^-108 - 39q^-107 + 210q^-106 + 383q^-105 + 213q^-104 + 90q^-103 - 429q^-102 - 422q^-101 - 89q^-100 + 194q^-99 + 405q^-98 + 249q^-97 + 131q^-96 - 428q^-95 - 438q^-94 - 117q^-93 + 174q^-92 + 397q^-91 + 258q^-90 + 155q^-89 - 407q^-88 - 425q^-87 - 131q^-86 + 148q^-85 + 365q^-84 + 256q^-83 + 173q^-82 - 363q^-81 - 390q^-80 - 144q^-79 + 107q^-78 + 307q^-77 + 244q^-76 + 196q^-75 - 287q^-74 - 331q^-73 - 162q^-72 + 44q^-71 + 223q^-70 + 217q^-69 + 220q^-68 - 181q^-67 - 246q^-66 - 168q^-65 - 27q^-64 + 118q^-63 + 165q^-62 + 224q^-61 - 70q^-60 - 140q^-59 - 143q^-58 - 75q^-57 + 17q^-56 + 89q^-55 + 188q^-54 + 7q^-53 - 41q^-52 - 84q^-51 - 76q^-50 - 44q^-49 + 17q^-48 + 116q^-47 + 30q^-46 + 17q^-45 - 23q^-44 - 40q^-43 - 52q^-42 - 20q^-41 + 48q^-40 + 14q^-39 + 26q^-38 + 7q^-37 - 5q^-36 - 29q^-35 - 21q^-34 + 14q^-33 - 2q^-32 + 11q^-31 + 8q^-30 + 6q^-29 - 9q^-28 - 9q^-27 + 5q^-26 - 4q^-25 + 2q^-24 + 2q^-23 + 4q^-22 - 2q^-21 - 3q^-20 + 3q^-19 - q^-18 + q^-15 - q^-13 + q^-12

7 - q^-210 + 2q^-209 - 2q^-207 + q^-206 + 2q^-204 - 2q^-203 - 4q^-202 + 5q^-201 - 4q^-199 + 2q^-198 + 8q^-196 + q^-195 - 12q^-194 + 7q^-193 - 4q^-192 - 12q^-191 - 3q^-189 + 26q^-188 + 18q^-187 - 7q^-186 + 11q^-185 - 22q^-184 - 43q^-183 - 22q^-182 - 25q^-181 + 45q^-180 + 74q^-179 + 44q^-178 + 57q^-177 - 41q^-176 - 108q^-175 - 105q^-174 - 115q^-173 + 30q^-172 + 149q^-171 + 173q^-170 + 200q^-169 + 13q^-168 - 177q^-167 - 252q^-166 - 317q^-165 - 89q^-164 + 181q^-163 + 336q^-162 + 457q^-161 + 193q^-160 - 162q^-159 - 406q^-158 - 597q^-157 - 323q^-156 + 109q^-155 + 450q^-154 + 741q^-153 + 472q^-152 - 44q^-151 - 480q^-150 - 859q^-149 - 597q^-148 - 49q^-147 + 471q^-146 + 959q^-145 + 731q^-144 + 128q^-143 - 466q^-142 - 1019q^-141 - 818q^-140 - 211q^-139 + 428q^-138 + 1064q^-137 + 900q^-136 + 270q^-135 - 402q^-134 - 1081q^-133 - 940q^-132 - 321q^-131 + 365q^-130 + 1087q^-129 + 970q^-128 + 355q^-127 - 341q^-126 - 1079q^-125 - 979q^-124 - 376q^-123 + 313q^-122 + 1063q^-121 + 979q^-120 + 390q^-119 - 289q^-118 - 1039q^-117 - 972q^-116 - 398q^-115 + 264q^-114 + 1007q^-113 + 950q^-112 + 408q^-111 - 228q^-110 - 962q^-109 - 934q^-108 - 415q^-107 + 193q^-106 + 899q^-105 + 893q^-104 + 433q^-103 - 127q^-102 - 830q^-101 - 864q^-100 - 439q^-99 + 72q^-98 + 727q^-97 + 791q^-96 + 471q^-95 + 23q^-94 - 628q^-93 - 744q^-92 - 463q^-91 - 84q^-90 + 482q^-89 + 633q^-88 + 483q^-87 + 193q^-86 - 370q^-85 - 558q^-84 - 441q^-83 - 232q^-82 + 214q^-81 + 409q^-80 + 422q^-79 + 307q^-78 - 105q^-77 - 320q^-76 - 341q^-75 - 292q^-74 - 10q^-73 + 168q^-72 + 270q^-71 + 311q^-70 + 71q^-69 - 94q^-68 - 175q^-67 - 239q^-66 - 115q^-65 - 13q^-64 + 97q^-63 + 205q^-62 + 113q^-61 + 38q^-60 - 22q^-59 - 120q^-58 - 102q^-57 - 75q^-56 - 17q^-55 + 82q^-54 + 61q^-53 + 57q^-52 + 45q^-51 - 23q^-50 - 41q^-49 - 53q^-48 - 41q^-47 + 15q^-46 + 7q^-45 + 22q^-44 + 38q^-43 + 10q^-42 - 2q^-41 - 19q^-40 - 22q^-39 + 3q^-38 - 8q^-37 - q^-36 + 13q^-35 + 8q^-34 + 5q^-33 - 4q^-32 - 8q^-31 + 5q^-30 - 4q^-29 - 3q^-28 + 2q^-27 + 2q^-26 + 3q^-25 - q^-24 - 3q^-23 + 3q^-22 - q^-20 + q^-17 - q^-15 + q^-14

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[7, 5]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[5, 12, 6, 13], X[7, 14, 8, 1], > X[13, 6, 14, 7], X[11, 8, 12, 9], X[9, 2, 10, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[7, 5]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 7, -2, 1, -3, 5, -4, 6, -7, 2, -6, 3, -5, 4]

In[4]:=
DTCode[Knot[7, 5]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 12, 14, 2, 8, 6]

In[5]:=
br = BR[Knot[7, 5]]

Out[5]=
BR[3, {-1, -1, -1, -1, -2, 1, -2, -2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[7, 5]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[7, 5]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[7, 5]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 2, 2, 4, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[7, 5]][t]

Out[10]=
2 4 2 5 + -- - - - 4 t + 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[7, 5]][z]

Out[11]=
2 4 1 + 4 z + 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[7, 5], Knot[10, 130]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[7, 5]], KnotSignature[Knot[7, 5]]}

Out[13]=
{17, -4}

In[14]:=
Jones[Knot[7, 5]][q]

Out[14]=
-9 2 3 3 3 3 -3 -2 -q + -- - -- + -- - -- + -- - q + q 8 7 6 5 4 q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[7, 5]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[7, 5]][q]

Out[16]=
-28 -22 -18 -16 -14 -12 2 -6 -q - q - q + q + q + q + --- + q 10 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[7, 5]][a, z]

Out[17]=
4 8 4 2 6 2 8 2 4 4 6 4 2 a - a + 3 a z + 2 a z - a z + a z + a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[7, 5]][a, z]

Out[18]=
4 8 5 7 9 11 4 2 8 2 10 2 5 3 2 a - a - a z + a z + a z - a z - 3 a z + a z - 2 a z - a z - 7 3 9 3 11 3 4 4 6 4 10 4 5 5 7 5 > 4 a z - 2 a z + a z + a z - a z + 2 a z + a z + 3 a z + 9 5 6 6 8 6 > 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[7, 5]], Vassiliev[3][Knot[7, 5]]}

Out[19]=
{4, -8}

In[20]:=
Kh[Knot[7, 5]][q, t]

Out[20]=
-5 -3 1 1 1 2 1 1 2 q + q + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + 19 7 17 6 15 6 15 5 13 5 13 4 11 4 q t q t q t q t q t q t q t 2 1 1 2 1 > ------ + ----- + ----- + ----- + ---- 11 3 9 3 9 2 7 2 5 q t q t q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[7, 5], 2][q]

Out[21]=
-25 2 5 6 2 11 9 4 14 10 5 13 7 q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - 24 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 q q q q q q q q q q q q 5 9 3 3 4 -5 -4 > --- + --- - -- - -- + -- - q + q 11 10 9 8 7 q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 7₅

7₄
7₆

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-25 - 2q^-24 + 5q^-22 - 6q^-21 - 2q^-20 + 11q^-19 - 9q^-18 - 4q^-17 + 14q^-16 - 10q^-15 - 5q^-14 + 13q^-13 - 7q^-12 - 5q^-11 + 9q^-10 - 3q^-9 - 3q^-8 + 4q^-7 - q^-5 + q^-4
3	- q^-48 + 2q^-47 - 2q^-45 - 2q^-44 + 5q^-43 + 4q^-42 - 8q^-41 - 8q^-40 + 11q^-39 + 12q^-38 - 12q^-37 - 18q^-36 + 15q^-35 + 22q^-34 - 15q^-33 - 26q^-32 + 16q^-31 + 27q^-30 - 15q^-29 - 28q^-28 + 13q^-27 + 28q^-26 - 12q^-25 - 25q^-24 + 7q^-23 + 24q^-22 - 6q^-21 - 18q^-20 - q^-19 + 18q^-18 - q^-17 - 10q^-16 - 4q^-15 + 9q^-14 + 2q^-13 - 3q^-12 - 3q^-11 + 3q^-10 + q^-9 - q^-7 + q^-6
4	q^-78 - 2q^-77 + 2q^-75 - q^-74 + 3q^-73 - 7q^-72 + 7q^-70 + 9q^-68 - 21q^-67 - 7q^-66 + 15q^-65 + 9q^-64 + 23q^-63 - 40q^-62 - 22q^-61 + 17q^-60 + 22q^-59 + 47q^-58 - 56q^-57 - 42q^-56 + 13q^-55 + 33q^-54 + 69q^-53 - 64q^-52 - 55q^-51 + 7q^-50 + 37q^-49 + 82q^-48 - 64q^-47 - 59q^-46 + 2q^-45 + 34q^-44 + 84q^-43 - 57q^-42 - 54q^-41 - 6q^-40 + 26q^-39 + 79q^-38 - 43q^-37 - 43q^-36 - 13q^-35 + 13q^-34 + 66q^-33 - 22q^-32 - 28q^-31 - 19q^-30 - q^-29 + 48q^-28 - 5q^-27 - 12q^-26 - 17q^-25 - 9q^-24 + 26q^-23 + 2q^-22 - 9q^-20 - 9q^-19 + 10q^-18 + q^-17 + 3q^-16 - 2q^-15 - 4q^-14 + 3q^-13 + q^-11 - q^-9 + q^-8
5	- q^-115 + 2q^-114 - 2q^-112 + q^-111 - q^-109 + 3q^-108 + q^-107 - 6q^-106 - 2q^-105 + 2q^-104 + 3q^-103 + 10q^-102 + 3q^-101 - 12q^-100 - 18q^-99 - 7q^-98 + 15q^-97 + 31q^-96 + 20q^-95 - 19q^-94 - 47q^-93 - 37q^-92 + 16q^-91 + 67q^-90 + 58q^-89 - 11q^-88 - 81q^-87 - 83q^-86 - 3q^-85 + 97q^-84 + 110q^-83 + 11q^-82 - 103q^-81 - 130q^-80 - 30q^-79 + 112q^-78 + 148q^-77 + 38q^-76 - 111q^-75 - 159q^-74 - 51q^-73 + 111q^-72 + 167q^-71 + 56q^-70 - 107q^-69 - 168q^-68 - 62q^-67 + 102q^-66 + 166q^-65 + 67q^-64 - 95q^-63 - 162q^-62 - 66q^-61 + 83q^-60 + 152q^-59 + 74q^-58 - 74q^-57 - 142q^-56 - 70q^-55 + 53q^-54 + 125q^-53 + 82q^-52 - 44q^-51 - 110q^-50 - 69q^-49 + 13q^-48 + 87q^-47 + 82q^-46 - 7q^-45 - 69q^-44 - 61q^-43 - 19q^-42 + 40q^-41 + 69q^-40 + 18q^-39 - 27q^-38 - 40q^-37 - 31q^-36 + 5q^-35 + 39q^-34 + 22q^-33 + q^-32 - 15q^-31 - 23q^-30 - 10q^-29 + 14q^-28 + 10q^-27 + 8q^-26 - 9q^-24 - 8q^-23 + 4q^-22 + q^-21 + 3q^-20 + 3q^-19 - 2q^-18 - 3q^-17 + 2q^-16 + q^-13 - q^-11 + q^-10
6	q^-159 - 2q^-158 + 2q^-156 - q^-155 - 2q^-153 + 5q^-152 - 4q^-151 - 2q^-150 + 8q^-149 - 2q^-148 - 2q^-147 - 8q^-146 + 8q^-145 - 10q^-144 - 2q^-143 + 24q^-142 + 6q^-141 - q^-140 - 24q^-139 + 3q^-138 - 37q^-137 - 10q^-136 + 57q^-135 + 40q^-134 + 26q^-133 - 38q^-132 - 19q^-131 - 105q^-130 - 51q^-129 + 86q^-128 + 105q^-127 + 100q^-126 - 16q^-125 - 35q^-124 - 215q^-123 - 142q^-122 + 78q^-121 + 172q^-120 + 212q^-119 + 53q^-118 - 16q^-117 - 325q^-116 - 263q^-115 + 27q^-114 + 208q^-113 + 318q^-112 + 143q^-111 + 34q^-110 - 399q^-109 - 365q^-108 - 39q^-107 + 210q^-106 + 383q^-105 + 213q^-104 + 90q^-103 - 429q^-102 - 422q^-101 - 89q^-100 + 194q^-99 + 405q^-98 + 249q^-97 + 131q^-96 - 428q^-95 - 438q^-94 - 117q^-93 + 174q^-92 + 397q^-91 + 258q^-90 + 155q^-89 - 407q^-88 - 425q^-87 - 131q^-86 + 148q^-85 + 365q^-84 + 256q^-83 + 173q^-82 - 363q^-81 - 390q^-80 - 144q^-79 + 107q^-78 + 307q^-77 + 244q^-76 + 196q^-75 - 287q^-74 - 331q^-73 - 162q^-72 + 44q^-71 + 223q^-70 + 217q^-69 + 220q^-68 - 181q^-67 - 246q^-66 - 168q^-65 - 27q^-64 + 118q^-63 + 165q^-62 + 224q^-61 - 70q^-60 - 140q^-59 - 143q^-58 - 75q^-57 + 17q^-56 + 89q^-55 + 188q^-54 + 7q^-53 - 41q^-52 - 84q^-51 - 76q^-50 - 44q^-49 + 17q^-48 + 116q^-47 + 30q^-46 + 17q^-45 - 23q^-44 - 40q^-43 - 52q^-42 - 20q^-41 + 48q^-40 + 14q^-39 + 26q^-38 + 7q^-37 - 5q^-36 - 29q^-35 - 21q^-34 + 14q^-33 - 2q^-32 + 11q^-31 + 8q^-30 + 6q^-29 - 9q^-28 - 9q^-27 + 5q^-26 - 4q^-25 + 2q^-24 + 2q^-23 + 4q^-22 - 2q^-21 - 3q^-20 + 3q^-19 - q^-18 + q^-15 - q^-13 + q^-12
7	- q^-210 + 2q^-209 - 2q^-207 + q^-206 + 2q^-204 - 2q^-203 - 4q^-202 + 5q^-201 - 4q^-199 + 2q^-198 + 8q^-196 + q^-195 - 12q^-194 + 7q^-193 - 4q^-192 - 12q^-191 - 3q^-189 + 26q^-188 + 18q^-187 - 7q^-186 + 11q^-185 - 22q^-184 - 43q^-183 - 22q^-182 - 25q^-181 + 45q^-180 + 74q^-179 + 44q^-178 + 57q^-177 - 41q^-176 - 108q^-175 - 105q^-174 - 115q^-173 + 30q^-172 + 149q^-171 + 173q^-170 + 200q^-169 + 13q^-168 - 177q^-167 - 252q^-166 - 317q^-165 - 89q^-164 + 181q^-163 + 336q^-162 + 457q^-161 + 193q^-160 - 162q^-159 - 406q^-158 - 597q^-157 - 323q^-156 + 109q^-155 + 450q^-154 + 741q^-153 + 472q^-152 - 44q^-151 - 480q^-150 - 859q^-149 - 597q^-148 - 49q^-147 + 471q^-146 + 959q^-145 + 731q^-144 + 128q^-143 - 466q^-142 - 1019q^-141 - 818q^-140 - 211q^-139 + 428q^-138 + 1064q^-137 + 900q^-136 + 270q^-135 - 402q^-134 - 1081q^-133 - 940q^-132 - 321q^-131 + 365q^-130 + 1087q^-129 + 970q^-128 + 355q^-127 - 341q^-126 - 1079q^-125 - 979q^-124 - 376q^-123 + 313q^-122 + 1063q^-121 + 979q^-120 + 390q^-119 - 289q^-118 - 1039q^-117 - 972q^-116 - 398q^-115 + 264q^-114 + 1007q^-113 + 950q^-112 + 408q^-111 - 228q^-110 - 962q^-109 - 934q^-108 - 415q^-107 + 193q^-106 + 899q^-105 + 893q^-104 + 433q^-103 - 127q^-102 - 830q^-101 - 864q^-100 - 439q^-99 + 72q^-98 + 727q^-97 + 791q^-96 + 471q^-95 + 23q^-94 - 628q^-93 - 744q^-92 - 463q^-91 - 84q^-90 + 482q^-89 + 633q^-88 + 483q^-87 + 193q^-86 - 370q^-85 - 558q^-84 - 441q^-83 - 232q^-82 + 214q^-81 + 409q^-80 + 422q^-79 + 307q^-78 - 105q^-77 - 320q^-76 - 341q^-75 - 292q^-74 - 10q^-73 + 168q^-72 + 270q^-71 + 311q^-70 + 71q^-69 - 94q^-68 - 175q^-67 - 239q^-66 - 115q^-65 - 13q^-64 + 97q^-63 + 205q^-62 + 113q^-61 + 38q^-60 - 22q^-59 - 120q^-58 - 102q^-57 - 75q^-56 - 17q^-55 + 82q^-54 + 61q^-53 + 57q^-52 + 45q^-51 - 23q^-50 - 41q^-49 - 53q^-48 - 41q^-47 + 15q^-46 + 7q^-45 + 22q^-44 + 38q^-43 + 10q^-42 - 2q^-41 - 19q^-40 - 22q^-39 + 3q^-38 - 8q^-37 - q^-36 + 13q^-35 + 8q^-34 + 5q^-33 - 4q^-32 - 8q^-31 + 5q^-30 - 4q^-29 - 3q^-28 + 2q^-27 + 2q^-26 + 3q^-25 - q^-24 - 3q^-23 + 3q^-22 - q^-20 + q^-17 - q^-15 + q^-14

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[7, 5]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[5, 12, 6, 13], X[7, 14, 8, 1], > X[13, 6, 14, 7], X[11, 8, 12, 9], X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[7, 5]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 7, -2, 1, -3, 5, -4, 6, -7, 2, -6, 3, -5, 4]
In[4]:=	DTCode[Knot[7, 5]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 14, 2, 8, 6]
In[5]:=	br = BR[Knot[7, 5]]
Out[5]=	BR[3, {-1, -1, -1, -1, -2, 1, -2, -2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[7, 5]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[7, 5]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[7, 5]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 2, 4, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[7, 5]][t]
Out[10]=	2 4 2 5 + -- - - - 4 t + 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[7, 5]][z]
Out[11]=	2 4 1 + 4 z + 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[7, 5], Knot[10, 130]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[7, 5]], KnotSignature[Knot[7, 5]]}
Out[13]=	{17, -4}
In[14]:=	Jones[Knot[7, 5]][q]
Out[14]=	-9 2 3 3 3 3 -3 -2 -q + -- - -- + -- - -- + -- - q + q 8 7 6 5 4 q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[7, 5]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[7, 5]][q]
Out[16]=	-28 -22 -18 -16 -14 -12 2 -6 -q - q - q + q + q + q + --- + q 10 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[7, 5]][a, z]
Out[17]=	4 8 4 2 6 2 8 2 4 4 6 4 2 a - a + 3 a z + 2 a z - a z + a z + a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[7, 5]][a, z]
Out[18]=	4 8 5 7 9 11 4 2 8 2 10 2 5 3 2 a - a - a z + a z + a z - a z - 3 a z + a z - 2 a z - a z - 7 3 9 3 11 3 4 4 6 4 10 4 5 5 7 5 > 4 a z - 2 a z + a z + a z - a z + 2 a z + a z + 3 a z + 9 5 6 6 8 6 > 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[7, 5]], Vassiliev[3][Knot[7, 5]]}
Out[19]=	{4, -8}
In[20]:=	Kh[Knot[7, 5]][q, t]
Out[20]=	-5 -3 1 1 1 2 1 1 2 q + q + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + 19 7 17 6 15 6 15 5 13 5 13 4 11 4 q t q t q t q t q t q t q t 2 1 1 2 1 > ------ + ----- + ----- + ----- + ---- 11 3 9 3 9 2 7 2 5 q t q t q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[7, 5], 2][q]
Out[21]=	-25 2 5 6 2 11 9 4 14 10 5 13 7 q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - 24 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 q q q q q q q q q q q q 5 9 3 3 4 -5 -4 > --- + --- - -- - -- + -- - q + q 11 10 9 8 7 q q q q q

The Alternating Knot 75

The Alternating Knot 7₅