© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
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    7.4
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   The Alternating Knot 74   

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Acknowledgement

7.4
KnotPlot

Further views:   A knot seen at the Castle of Kornik
A knot seen at the Castle of Kornik 		Susan Williams' Medallion
Susan Williams' medallion 		Laser Cut by Tom Longtin
A laser cut by Tom Longtin

PD Presentation: X6271 X12,6,13,5 X14,8,1,7 X8,14,9,13 X2,12,3,11 X10,4,11,3 X4,10,5,9

Gauss Code: {1, -5, 6, -7, 2, -1, 3, -4, 7, -6, 5, -2, 4, -3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 10 12 14 4 2 8

Minimum Braid Representative:


Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 2 1 2 / 3--4 1

Alexander Polynomial: 4t-1 - 7 + 4t

Conway Polynomial: 1 + 4z2

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {92, ...}

Determinant and Signature: {15, 2}

Jones Polynomial: q - 2q2 + 3q3 - 2q4 + 3q5 - 2q6 + q7 - q8

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q2 - q4 + q8 + q10 + 2q12 + q14 + q16 - q20 - q24 - q26

HOMFLY-PT Polynomial: - a-8 + a-6z2 + 2a-4 + 2a-4z2 + a-2z2

Kauffman Polynomial: 4a-9z - 4a-9z3 + a-9z5 - a-8 + 2a-8z2 - 3a-8z4 + a-8z6 + 4a-7z - 8a-7z3 + 3a-7z5 - 3a-6z2 + a-6z6 - 2a-5z3 + 2a-5z5 + 2a-4 - 4a-4z2 + 3a-4z4 + 2a-3z3 + a-2z2

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {4, 8}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 74. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6r = 7
j = 17       1
j = 15        
j = 13     21 
j = 11    1   
j = 9   12   
j = 7  21    
j = 5  1     
j = 312      
j = 11       

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q2 - 2q3 + q4 + 4q5 - 6q6 + 2q7 + 6q8 - 9q9 + 3q10 + 7q11 - 8q12 + q13 + 7q14 - 7q15 - q16 + 5q17 - 4q18 - q19 + 3q20 - q21 - q22 + q23
3 q3 - 2q4 + q5 + 2q6 - 4q8 + q9 + 6q10 - 2q11 - 8q12 + 5q13 + 9q14 - 4q15 - 13q16 + 7q17 + 11q18 - 3q19 - 15q20 + 6q21 + 11q22 - q23 - 13q24 + q25 + 10q26 + 2q27 - 11q28 - 3q29 + 9q30 + 3q31 - 7q32 - 5q33 + 7q34 + 4q35 - 3q36 - 5q37 + 3q38 + 3q39 - 3q41 + q43 + q44 - q45
4 q4 - 2q5 + q6 + 2q7 - 2q8 + 2q9 - 5q10 + 4q11 + 4q12 - 7q13 + 5q14 - 8q15 + 10q16 + 6q17 - 16q18 + 4q19 - 9q20 + 20q21 + 10q22 - 25q23 - 11q25 + 26q26 + 16q27 - 28q28 - 3q29 - 14q30 + 26q31 + 18q32 - 25q33 - q34 - 19q35 + 23q36 + 17q37 - 19q38 + 2q39 - 21q40 + 17q41 + 15q42 - 12q43 + 5q44 - 23q45 + 10q46 + 15q47 - 5q48 + 6q49 - 22q50 + 4q51 + 12q52 + 2q53 + 7q54 - 18q55 - 2q56 + 6q57 + 4q58 + 9q59 - 11q60 - 4q61 + 2q63 + 8q64 - 4q65 - 2q66 - 2q67 - q68 + 4q69 - q72 - q73 + q74
5 q5 - 2q6 + q7 + 2q8 - 2q9 + q11 - 2q12 + 2q13 + 2q14 - 3q15 - 2q16 + 4q17 + 2q18 + 2q19 - 5q20 - 7q21 - 3q22 + 11q23 + 13q24 + 3q25 - 14q26 - 21q27 - 7q28 + 21q29 + 27q30 + 12q31 - 20q32 - 40q33 - 16q34 + 25q35 + 38q36 + 24q37 - 18q38 - 50q39 - 26q40 + 24q41 + 39q42 + 30q43 - 11q44 - 49q45 - 29q46 + 19q47 + 33q48 + 29q49 - 7q50 - 40q51 - 25q52 + 12q53 + 25q54 + 25q55 - 2q56 - 30q57 - 21q58 + 4q59 + 20q60 + 20q61 + 4q62 - 19q63 - 19q64 - 4q65 + 12q66 + 16q67 + 11q68 - 7q69 - 15q70 - 14q71 + 3q72 + 11q73 + 15q74 + 7q75 - 9q76 - 18q77 - 6q78 + 2q79 + 12q80 + 15q81 + q82 - 13q83 - 11q84 - 6q85 + 4q86 + 14q87 + 8q88 - 3q89 - 7q90 - 9q91 - 4q92 + 7q93 + 7q94 + 3q95 - 5q97 - 6q98 + q99 + 2q100 + 2q101 + 3q102 - 3q104 - q105 + q108 + q109 - q110
6 q6 - 2q7 + q8 + 2q9 - 2q10 - q12 + 4q13 - 4q14 + 6q16 - 7q17 + q18 + 2q19 + 9q20 - 9q21 - 5q22 + 6q23 - 14q24 + 7q25 + 14q26 + 22q27 - 20q28 - 20q29 - 2q30 - 26q31 + 21q32 + 38q33 + 43q34 - 29q35 - 44q36 - 22q37 - 47q38 + 33q39 + 70q40 + 74q41 - 25q42 - 64q43 - 46q44 - 78q45 + 31q46 + 91q47 + 106q48 - 8q49 - 68q50 - 61q51 - 105q52 + 19q53 + 91q54 + 124q55 + 7q56 - 60q57 - 58q58 - 115q59 + 9q60 + 81q61 + 122q62 + 9q63 - 50q64 - 46q65 - 108q66 + 4q67 + 69q68 + 110q69 + 2q70 - 40q71 - 34q72 - 96q73 + 2q74 + 56q75 + 98q76 - 4q77 - 25q78 - 23q79 - 86q80 - 4q81 + 38q82 + 88q83 - 2q84 - 9q85 - 11q86 - 76q87 - 16q88 + 17q89 + 74q90 + 2q91 + 8q92 + 5q93 - 61q94 - 25q95 - 7q96 + 52q97 + q98 + 23q99 + 23q100 - 38q101 - 26q102 - 25q103 + 25q104 - 9q105 + 27q106 + 35q107 - 12q108 - 14q109 - 29q110 + 3q111 - 23q112 + 17q113 + 33q114 + 8q115 + 3q116 - 17q117 - 3q118 - 32q119 + 18q121 + 13q122 + 12q123 + 4q125 - 26q126 - 9q127 + q128 + 5q129 + 8q130 + 7q131 + 12q132 - 12q133 - 6q134 - 5q135 - 2q136 + 3q138 + 10q139 - 2q140 - 2q142 - 2q143 - 3q144 - q145 + 4q146 + q148 - q151 - q152 + q153
7 q7 - 2q8 + q9 + 2q10 - 2q11 - q13 + 2q14 + 2q15 - 6q16 + 4q17 + 2q18 - 4q19 + 2q20 + 4q22 + 2q23 - 14q24 + 2q25 + q26 - q27 + 15q28 + 4q29 + 5q30 - 3q31 - 34q32 - 10q33 - q34 + 13q35 + 48q36 + 18q37 + 4q38 - 21q39 - 75q40 - 37q41 - 5q42 + 43q43 + 103q44 + 53q45 + 10q46 - 52q47 - 138q48 - 83q49 - 21q50 + 69q51 + 167q52 + 113q53 + 39q54 - 72q55 - 200q56 - 142q57 - 59q58 + 67q59 + 213q60 + 173q61 + 93q62 - 60q63 - 233q64 - 187q65 - 107q66 + 40q67 + 220q68 + 204q69 + 138q70 - 30q71 - 229q72 - 202q73 - 133q74 + 14q75 + 204q76 + 199q77 + 151q78 - 7q79 - 212q80 - 188q81 - 129q82 + 3q83 + 185q84 + 179q85 + 137q86 - 3q87 - 194q88 - 165q89 - 110q90 - 2q91 + 169q92 + 157q93 + 118q94 + q95 - 174q96 - 143q97 - 99q98 - 10q99 + 150q100 + 136q101 + 108q102 + 15q103 - 144q104 - 124q105 - 96q106 - 29q107 + 120q108 + 112q109 + 105q110 + 41q111 - 104q112 - 101q113 - 97q114 - 55q115 + 79q116 + 81q117 + 99q118 + 70q119 - 58q120 - 69q121 - 88q122 - 77q123 + 34q124 + 41q125 + 79q126 + 86q127 - 10q128 - 25q129 - 65q130 - 80q131 - 5q132 - 3q133 + 40q134 + 78q135 + 25q136 + 18q137 - 26q138 - 61q139 - 22q140 - 37q141 - 6q142 + 47q143 + 29q144 + 44q145 + 14q146 - 23q147 - 12q148 - 45q149 - 36q150 + 7q151 + 5q152 + 37q153 + 34q154 + 9q155 + 14q156 - 24q157 - 36q158 - 15q159 - 22q160 + 9q161 + 22q162 + 17q163 + 31q164 + 3q165 - 15q166 - 10q167 - 25q168 - 12q169 - q170 + 3q171 + 24q172 + 13q173 + 2q174 + 5q175 - 10q176 - 10q177 - 10q178 - 10q179 + 8q180 + 7q181 + 3q182 + 8q183 + 2q184 - 4q186 - 9q187 - q190 + 3q191 + 2q192 + 3q193 + q194 - 3q195 - q196 - q198 + q201 + q202 - q203

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[7, 4]]
Out[2]=   
PD[X[6, 2, 7, 1], X[12, 6, 13, 5], X[14, 8, 1, 7], X[8, 14, 9, 13], 
 
>   X[2, 12, 3, 11], X[10, 4, 11, 3], X[4, 10, 5, 9]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[7, 4]]
Out[3]=   
GaussCode[1, -5, 6, -7, 2, -1, 3, -4, 7, -6, 5, -2, 4, -3]
In[4]:=
DTCode[Knot[7, 4]]
Out[4]=   
DTCode[6, 10, 12, 14, 4, 2, 8]
In[5]:=
br = BR[Knot[7, 4]]
Out[5]=   
BR[4, {1, 1, 2, -1, 2, 2, 3, -2, 3}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{4, 9}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[7, 4]]
Out[7]=   
4
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[7, 4]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[7, 4]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 2, 1, 2, {3, 4}, 1}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[7, 4]][t]
Out[10]=   
     4
-7 + - + 4 t
     t
In[11]:=
Conway[Knot[7, 4]][z]
Out[11]=   
       2
1 + 4 z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[7, 4], Knot[9, 2]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[7, 4]], KnotSignature[Knot[7, 4]]}
Out[13]=   
{15, 2}
In[14]:=
Jones[Knot[7, 4]][q]
Out[14]=   
       2      3      4      5      6    7    8
q - 2 q  + 3 q  - 2 q  + 3 q  - 2 q  + q  - q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[7, 4]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[7, 4]][q]
Out[16]=   
 2    4    8    10      12    14    16    20    24    26
q  - q  + q  + q   + 2 q   + q   + q   - q   - q   - q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[7, 4]][a, z]
Out[17]=   
             2      2    2
  -8   2    z    2 z    z
-a   + -- + -- + ---- + --
        4    6     4     2
       a    a     a     a
In[18]:=
Kauffman[Knot[7, 4]][a, z]
Out[18]=   
                           2      2      2    2      3      3      3      3
  -8   2    4 z   4 z   2 z    3 z    4 z    z    4 z    8 z    2 z    2 z
-a   + -- + --- + --- + ---- - ---- - ---- + -- - ---- - ---- - ---- + ---- - 
        4    9     7      8      6      4     2     9      7      5      3
       a    a     a      a      a      a     a     a      a      a      a
 
       4      4    5      5      5    6    6
    3 z    3 z    z    3 z    2 z    z    z
>   ---- + ---- + -- + ---- + ---- + -- + --
      8      4     9     7      5     8    6
     a      a     a     a      a     a    a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[7, 4]], Vassiliev[3][Knot[7, 4]]}
Out[19]=   
{4, 8}
In[20]:=
Kh[Knot[7, 4]][q, t]
Out[20]=   
     3      3      5  2      7  2    7  3    9  3      9  4    11  4
q + q  + 2 q  t + q  t  + 2 q  t  + q  t  + q  t  + 2 q  t  + q   t  + 
 
       13  5    13  6    17  7
>   2 q   t  + q   t  + q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[7, 4], 2][q]
Out[21]=   
 2      3    4      5      6      7      8      9      10      11      12
q  - 2 q  + q  + 4 q  - 6 q  + 2 q  + 6 q  - 9 q  + 3 q   + 7 q   - 8 q   + 
 
     13      14      15    16      17      18    19      20    21    22    23
>   q   + 7 q   - 7 q   - q   + 5 q   - 4 q   - q   + 3 q   - q   - q   + q

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