The Alternating Knot 10₈

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₆₂₇ X_7,16,8,17 X_5,13,6,12 X_3,15,4,14 X_13,5,14,4 X_15,3,16,2 X_9,18,10,19 X_11,20,12,1 X_17,8,18,9 X_19,10,20,11

Gauss Code: {-1, 6, -4, 5, -3, 1, -2, 9, -7, 10, -8, 3, -5, 4, -6, 2, -9, 7, -10, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 14 12 16 18 20 4 2 8 10

Minimum Braid Representative:

Length is 11, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 2 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: - 2t^-3 + 5t^-2 - 5t^-1 + 5 - 5t + 5t² - 2t³

Conway Polynomial: 1 - 3z² - 7z⁴ - 2z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {29, -4}

Jones Polynomial: q^-8 - 2q^-7 + 3q^-6 - 4q^-5 + 4q^-4 - 4q^-3 + 4q^-2 - 3q^-1 + 2 - q + q²

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-24 + q^-14 - q^-12 - q^-8 - q^-6 + 1 + q² + q⁴ + q⁶

HOMFLY-PT Polynomial: 3 + 4z² + z⁴ - 3a² - 7a²z² - 5a²z⁴ - a²z⁶ - 3a⁴z² - 4a⁴z⁴ - a⁴z⁶ + a⁶ + 3a⁶z² + a⁶z⁴

Kauffman Polynomial: 3 - 13z² + 16z⁴ - 7z⁶ + z⁸ - 6az³ + 11az⁵ - 6az⁷ + az⁹ + 3a² - 18a²z² + 30a²z⁴ - 17a²z⁶ + 3a²z⁸ - a³z + 5a³z³ - a³z⁵ - 3a³z⁷ + a³z⁹ + 3a⁴z² + a⁴z⁴ - 6a⁴z⁶ + 2a⁴z⁸ + a⁵z + 2a⁵z³ - 8a⁵z⁵ + 3a⁵z⁷ - a⁶ + 5a⁶z² - 10a⁶z⁴ + 4a⁶z⁶ + 2a⁷z - 7a⁷z³ + 4a⁷z⁵ - 2a⁸z² + 3a⁸z⁴ + 2a⁹z³ + a¹⁰z²

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-3, 4}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-4 is the signature of 10₈. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 5 1

j = 3

j = 1 2 1

j = -1 1

j = -3 3 2

j = -5 2 2

j = -7 2 2

j = -9 2 2

j = -11 1 2

j = -13 1 2

j = -15 1

j = -17 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-22 - 2q^-21 + q^-20 + 2q^-19 - 5q^-18 + 4q^-17 + 2q^-16 - 7q^-15 + 5q^-14 + 2q^-13 - 8q^-12 + 6q^-11 + 3q^-10 - 10q^-9 + 7q^-8 + 5q^-7 - 11q^-6 + 5q^-5 + 6q^-4 - 10q^-3 + 3q^-2 + 6q^-1 - 7 + q + 5q² - 4q³ - q⁴ + 3q⁵ - q⁶ - q⁷ + q⁸

3 q^-42 - 2q^-41 + q^-40 + q^-38 - 2q^-37 + q^-36 + q^-35 - q^-34 - 2q^-33 + q^-32 + 3q^-31 - q^-30 - 3q^-29 - q^-28 + 5q^-27 + 3q^-26 - 5q^-25 - 6q^-24 + 6q^-23 + 6q^-22 - 4q^-21 - 7q^-20 + 4q^-19 + 5q^-18 - 3q^-17 - 3q^-16 + 2q^-15 + q^-14 - 3q^-13 + q^-12 + 2q^-11 - q^-10 - 3q^-9 + 3q^-8 + 2q^-7 - q^-6 - 4q^-5 + 4q^-4 + 3q^-3 - 2q^-2 - 6q^-1 + 4 + 5q - q² - 8q³ + q⁴ + 6q⁵ + 3q⁶ - 7q⁷ - 2q⁸ + 3q⁹ + 5q¹⁰ - 3q¹¹ - 3q¹² + 3q¹⁴ - q¹⁶ - q¹⁷ + q¹⁸

4 q^-68 - 2q^-67 + q^-66 - q^-64 + 4q^-63 - 5q^-62 + 3q^-61 - 2q^-60 - 2q^-59 + 7q^-58 - 8q^-57 + 8q^-56 - 3q^-55 - 6q^-54 + 7q^-53 - 8q^-52 + 16q^-51 - 4q^-50 - 13q^-49 + 3q^-48 - 9q^-47 + 29q^-46 - q^-45 - 20q^-44 - 5q^-43 - 14q^-42 + 41q^-41 + 6q^-40 - 22q^-39 - 12q^-38 - 23q^-37 + 46q^-36 + 13q^-35 - 18q^-34 - 10q^-33 - 32q^-32 + 40q^-31 + 13q^-30 - 11q^-29 - q^-28 - 34q^-27 + 32q^-26 + 6q^-25 - 9q^-24 + 9q^-23 - 30q^-22 + 26q^-21 - 9q^-19 + 15q^-18 - 29q^-17 + 21q^-16 - 2q^-15 - 7q^-14 + 20q^-13 - 27q^-12 + 14q^-11 - 5q^-10 - 5q^-9 + 25q^-8 - 22q^-7 + 9q^-6 - 8q^-5 - 8q^-4 + 24q^-3 - 14q^-2 + 10q^-1 - 7 - 12q + 16q² - 10q³ + 13q⁴ - q⁵ - 11q⁶ + 7q⁷ - 12q⁸ + 11q⁹ + 5q¹⁰ - 4q¹¹ + 4q¹² - 15q¹³ + 4q¹⁴ + 5q¹⁵ + 2q¹⁶ + 7q¹⁷ - 11q¹⁸ - 2q¹⁹ + 2q²¹ + 8q²² - 4q²³ - 2q²⁴ - 2q²⁵ - q²⁶ + 4q²⁷ - q³⁰ - q³¹ + q³²

5 q^-100 - 2q^-99 + q^-98 - q^-96 + 2q^-95 + q^-94 - 3q^-93 - 2q^-90 + 4q^-89 + 3q^-88 - 2q^-87 - 2q^-86 - 3q^-85 - 4q^-84 + 6q^-83 + 10q^-82 + q^-81 - 8q^-80 - 13q^-79 - 7q^-78 + 14q^-77 + 23q^-76 + 7q^-75 - 21q^-74 - 31q^-73 - 8q^-72 + 26q^-71 + 40q^-70 + 13q^-69 - 35q^-68 - 51q^-67 - 13q^-66 + 41q^-65 + 59q^-64 + 20q^-63 - 48q^-62 - 71q^-61 - 25q^-60 + 53q^-59 + 82q^-58 + 31q^-57 - 55q^-56 - 89q^-55 - 38q^-54 + 51q^-53 + 94q^-52 + 47q^-51 - 49q^-50 - 92q^-49 - 48q^-48 + 37q^-47 + 86q^-46 + 51q^-45 - 30q^-44 - 79q^-43 - 45q^-42 + 25q^-41 + 67q^-40 + 42q^-39 - 21q^-38 - 63q^-37 - 36q^-36 + 21q^-35 + 57q^-34 + 34q^-33 - 20q^-32 - 55q^-31 - 34q^-30 + 18q^-29 + 52q^-28 + 32q^-27 - 12q^-26 - 45q^-25 - 35q^-24 + 8q^-23 + 39q^-22 + 29q^-21 + q^-20 - 27q^-19 - 30q^-18 - 2q^-17 + 20q^-16 + 18q^-15 + 7q^-14 - 9q^-13 - 17q^-12 - 3q^-11 + 7q^-10 + q^-9 + 4q^-8 + q^-7 - 3q^-6 + 4q^-5 + 3q^-4 - 8q^-3 - 6q^-2 - q^-1 + 4 + 11q + 8q² - 6q³ - 11q⁴ - 10q⁵ - q⁶ + 11q⁷ + 13q⁸ + 2q⁹ - 3q¹⁰ - 11q¹¹ - 11q¹² + 2q¹³ + 8q¹⁴ + 6q¹⁵ + 7q¹⁶ - 9q¹⁸ - 6q¹⁹ - 2q²⁰ - 2q²¹ + 7q²² + 8q²³ + 2q²⁴ - q²⁵ - 5q²⁶ - 9q²⁷ - 2q²⁸ + 4q²⁹ + 5q³⁰ + 7q³¹ + 2q³² - 7q³³ - 5q³⁴ - 3q³⁵ + 5q³⁷ + 6q³⁸ - q³⁹ - 2q⁴⁰ - 2q⁴¹ - 3q⁴² + 3q⁴⁴ + q⁴⁵ - q⁴⁸ - q⁴⁹ + q⁵⁰

6 q^-138 - 2q^-137 + q^-136 - q^-134 + 2q^-133 - q^-132 + 3q^-131 - 6q^-130 + 2q^-129 - 2q^-127 + 6q^-126 - q^-125 + 5q^-124 - 11q^-123 + 2q^-122 - 3q^-121 - 2q^-120 + 15q^-119 + 3q^-117 - 19q^-116 - q^-115 - 4q^-114 + 5q^-113 + 29q^-112 - 2q^-111 - 6q^-110 - 32q^-109 - 4q^-108 + q^-107 + 19q^-106 + 46q^-105 - 13q^-104 - 22q^-103 - 44q^-102 + 14q^-100 + 32q^-99 + 53q^-98 - 33q^-97 - 40q^-96 - 47q^-95 + 17q^-94 + 34q^-93 + 44q^-92 + 47q^-91 - 65q^-90 - 65q^-89 - 49q^-88 + 45q^-87 + 67q^-86 + 66q^-85 + 43q^-84 - 107q^-83 - 103q^-82 - 68q^-81 + 67q^-80 + 108q^-79 + 104q^-78 + 60q^-77 - 134q^-76 - 143q^-75 - 108q^-74 + 59q^-73 + 126q^-72 + 139q^-71 + 97q^-70 - 120q^-69 - 151q^-68 - 141q^-67 + 26q^-66 + 100q^-65 + 137q^-64 + 126q^-63 - 79q^-62 - 118q^-61 - 141q^-60 + 2q^-59 + 59q^-58 + 105q^-57 + 125q^-56 - 52q^-55 - 82q^-54 - 123q^-53 - q^-52 + 38q^-51 + 84q^-50 + 118q^-49 - 42q^-48 - 70q^-47 - 122q^-46 - 9q^-45 + 31q^-44 + 84q^-43 + 128q^-42 - 21q^-41 - 63q^-40 - 135q^-39 - 34q^-38 + 11q^-37 + 80q^-36 + 142q^-35 + 13q^-34 - 38q^-33 - 137q^-32 - 56q^-31 - 20q^-30 + 54q^-29 + 140q^-28 + 44q^-27 - 2q^-26 - 117q^-25 - 61q^-24 - 47q^-23 + 15q^-22 + 116q^-21 + 60q^-20 + 34q^-19 - 82q^-18 - 48q^-17 - 60q^-16 - 24q^-15 + 77q^-14 + 54q^-13 + 57q^-12 - 43q^-11 - 19q^-10 - 51q^-9 - 47q^-8 + 33q^-7 + 27q^-6 + 54q^-5 - 18q^-4 + 13q^-3 - 21q^-2 - 42q^-1 + 7 - 3q + 30q² - 21q³ + 24q⁴ + 7q⁵ - 17q⁶ + 12q⁷ - 10q⁸ + 10q⁹ - 38q¹⁰ + 9q¹¹ + 8q¹² - 3q¹³ + 26q¹⁴ + 6q¹⁵ + 16q¹⁶ - 39q¹⁷ - 6q¹⁸ - 9q¹⁹ - 14q²⁰ + 20q²¹ + 14q²² + 31q²³ - 18q²⁴ + 2q²⁵ - 12q²⁶ - 25q²⁷ - 2q²⁸ + q²⁹ + 26q³⁰ - 6q³¹ + 18q³² + 4q³³ - 13q³⁴ - 9q³⁵ - 12q³⁶ + 8q³⁷ - 15q³⁸ + 14q³⁹ + 12q⁴⁰ + 4q⁴¹ + 2q⁴² - 5q⁴³ + 3q⁴⁴ - 21q⁴⁵ - q⁴⁶ + 2q⁴⁷ + 5q⁴⁸ + 6q⁴⁹ + 5q⁵⁰ + 10q⁵¹ - 12q⁵² - 4q⁵³ - 5q⁵⁴ - 2q⁵⁵ + 3q⁵⁷ + 10q⁵⁸ - 2q⁵⁹ - 2q⁶¹ - 2q⁶² - 3q⁶³ - q⁶⁴ + 4q⁶⁵ + q⁶⁷ - q⁷⁰ - q⁷¹ + q⁷²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 8]]

Out[2]=
PD[X[1, 6, 2, 7], X[7, 16, 8, 17], X[5, 13, 6, 12], X[3, 15, 4, 14], > X[13, 5, 14, 4], X[15, 3, 16, 2], X[9, 18, 10, 19], X[11, 20, 12, 1], > X[17, 8, 18, 9], X[19, 10, 20, 11]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 8]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 6, -4, 5, -3, 1, -2, 9, -7, 10, -8, 3, -5, 4, -6, 2, -9, 7, -10, > 8]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 8]]

Out[4]=
DTCode[6, 14, 12, 16, 18, 20, 4, 2, 8, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 8]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, -1, -1, -1, 2, -1, 2, 3, -2, 3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 11}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 8]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 8]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 8]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 2, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 8]][t]

Out[10]=
2 5 5 2 3 5 - -- + -- - - - 5 t + 5 t - 2 t 3 2 t t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 8]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 - 3 z - 7 z - 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 8]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 8]], KnotSignature[Knot[10, 8]]}

Out[13]=
{29, -4}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 8]][q]

Out[14]=
-8 2 3 4 4 4 4 3 2 2 + q - -- + -- - -- + -- - -- + -- - - - q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 8]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 8]][q]

Out[16]=
-24 -14 -12 -8 -6 2 4 6 1 + q + q - q - q - q + q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 8]][a, z]

Out[17]=
2 6 2 2 2 4 2 6 2 4 2 4 4 4 3 - 3 a + a + 4 z - 7 a z - 3 a z + 3 a z + z - 5 a z - 4 a z + 6 4 2 6 4 6 > a z - a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 8]][a, z]

Out[18]=
2 6 3 5 7 2 2 2 4 2 6 2 3 + 3 a - a - a z + a z + 2 a z - 13 z - 18 a z + 3 a z + 5 a z - 8 2 10 2 3 3 3 5 3 7 3 9 3 4 > 2 a z + a z - 6 a z + 5 a z + 2 a z - 7 a z + 2 a z + 16 z + 2 4 4 4 6 4 8 4 5 3 5 5 5 > 30 a z + a z - 10 a z + 3 a z + 11 a z - a z - 8 a z + 7 5 6 2 6 4 6 6 6 7 3 7 > 4 a z - 7 z - 17 a z - 6 a z + 4 a z - 6 a z - 3 a z + 5 7 8 2 8 4 8 9 3 9 > 3 a z + z + 3 a z + 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 8]], Vassiliev[3][Knot[10, 8]]}

Out[19]=
{-3, 4}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 8]][q, t]

Out[20]=
2 3 1 1 1 2 1 2 2 2 -- + -- + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + 5 3 17 6 15 5 13 5 13 4 11 4 11 3 9 3 9 2 q q q t q t q t q t q t q t q t q t 2 2 2 2 t t 2 3 5 4 > ----- + ---- + ---- + --- + - + 2 q t + q t + q t 7 2 7 5 3 q q t q t q t q

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 8], 2][q]

Out[21]=
-22 2 -20 2 5 4 2 7 5 2 8 6 -7 + q - --- + q + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + 21 19 18 17 16 15 14 13 12 11 q q q q q q q q q q 3 10 7 5 11 5 6 10 3 6 2 3 4 > --- - -- + -- + -- - -- + -- + -- - -- + -- + - + q + 5 q - 4 q - q + 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q 5 6 7 8 > 3 q - q - q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₈

10₇
10₉

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-22 - 2q^-21 + q^-20 + 2q^-19 - 5q^-18 + 4q^-17 + 2q^-16 - 7q^-15 + 5q^-14 + 2q^-13 - 8q^-12 + 6q^-11 + 3q^-10 - 10q^-9 + 7q^-8 + 5q^-7 - 11q^-6 + 5q^-5 + 6q^-4 - 10q^-3 + 3q^-2 + 6q^-1 - 7 + q + 5q² - 4q³ - q⁴ + 3q⁵ - q⁶ - q⁷ + q⁸
3	q^-42 - 2q^-41 + q^-40 + q^-38 - 2q^-37 + q^-36 + q^-35 - q^-34 - 2q^-33 + q^-32 + 3q^-31 - q^-30 - 3q^-29 - q^-28 + 5q^-27 + 3q^-26 - 5q^-25 - 6q^-24 + 6q^-23 + 6q^-22 - 4q^-21 - 7q^-20 + 4q^-19 + 5q^-18 - 3q^-17 - 3q^-16 + 2q^-15 + q^-14 - 3q^-13 + q^-12 + 2q^-11 - q^-10 - 3q^-9 + 3q^-8 + 2q^-7 - q^-6 - 4q^-5 + 4q^-4 + 3q^-3 - 2q^-2 - 6q^-1 + 4 + 5q - q² - 8q³ + q⁴ + 6q⁵ + 3q⁶ - 7q⁷ - 2q⁸ + 3q⁹ + 5q¹⁰ - 3q¹¹ - 3q¹² + 3q¹⁴ - q¹⁶ - q¹⁷ + q¹⁸
4	q^-68 - 2q^-67 + q^-66 - q^-64 + 4q^-63 - 5q^-62 + 3q^-61 - 2q^-60 - 2q^-59 + 7q^-58 - 8q^-57 + 8q^-56 - 3q^-55 - 6q^-54 + 7q^-53 - 8q^-52 + 16q^-51 - 4q^-50 - 13q^-49 + 3q^-48 - 9q^-47 + 29q^-46 - q^-45 - 20q^-44 - 5q^-43 - 14q^-42 + 41q^-41 + 6q^-40 - 22q^-39 - 12q^-38 - 23q^-37 + 46q^-36 + 13q^-35 - 18q^-34 - 10q^-33 - 32q^-32 + 40q^-31 + 13q^-30 - 11q^-29 - q^-28 - 34q^-27 + 32q^-26 + 6q^-25 - 9q^-24 + 9q^-23 - 30q^-22 + 26q^-21 - 9q^-19 + 15q^-18 - 29q^-17 + 21q^-16 - 2q^-15 - 7q^-14 + 20q^-13 - 27q^-12 + 14q^-11 - 5q^-10 - 5q^-9 + 25q^-8 - 22q^-7 + 9q^-6 - 8q^-5 - 8q^-4 + 24q^-3 - 14q^-2 + 10q^-1 - 7 - 12q + 16q² - 10q³ + 13q⁴ - q⁵ - 11q⁶ + 7q⁷ - 12q⁸ + 11q⁹ + 5q¹⁰ - 4q¹¹ + 4q¹² - 15q¹³ + 4q¹⁴ + 5q¹⁵ + 2q¹⁶ + 7q¹⁷ - 11q¹⁸ - 2q¹⁹ + 2q²¹ + 8q²² - 4q²³ - 2q²⁴ - 2q²⁵ - q²⁶ + 4q²⁷ - q³⁰ - q³¹ + q³²
5	q^-100 - 2q^-99 + q^-98 - q^-96 + 2q^-95 + q^-94 - 3q^-93 - 2q^-90 + 4q^-89 + 3q^-88 - 2q^-87 - 2q^-86 - 3q^-85 - 4q^-84 + 6q^-83 + 10q^-82 + q^-81 - 8q^-80 - 13q^-79 - 7q^-78 + 14q^-77 + 23q^-76 + 7q^-75 - 21q^-74 - 31q^-73 - 8q^-72 + 26q^-71 + 40q^-70 + 13q^-69 - 35q^-68 - 51q^-67 - 13q^-66 + 41q^-65 + 59q^-64 + 20q^-63 - 48q^-62 - 71q^-61 - 25q^-60 + 53q^-59 + 82q^-58 + 31q^-57 - 55q^-56 - 89q^-55 - 38q^-54 + 51q^-53 + 94q^-52 + 47q^-51 - 49q^-50 - 92q^-49 - 48q^-48 + 37q^-47 + 86q^-46 + 51q^-45 - 30q^-44 - 79q^-43 - 45q^-42 + 25q^-41 + 67q^-40 + 42q^-39 - 21q^-38 - 63q^-37 - 36q^-36 + 21q^-35 + 57q^-34 + 34q^-33 - 20q^-32 - 55q^-31 - 34q^-30 + 18q^-29 + 52q^-28 + 32q^-27 - 12q^-26 - 45q^-25 - 35q^-24 + 8q^-23 + 39q^-22 + 29q^-21 + q^-20 - 27q^-19 - 30q^-18 - 2q^-17 + 20q^-16 + 18q^-15 + 7q^-14 - 9q^-13 - 17q^-12 - 3q^-11 + 7q^-10 + q^-9 + 4q^-8 + q^-7 - 3q^-6 + 4q^-5 + 3q^-4 - 8q^-3 - 6q^-2 - q^-1 + 4 + 11q + 8q² - 6q³ - 11q⁴ - 10q⁵ - q⁶ + 11q⁷ + 13q⁸ + 2q⁹ - 3q¹⁰ - 11q¹¹ - 11q¹² + 2q¹³ + 8q¹⁴ + 6q¹⁵ + 7q¹⁶ - 9q¹⁸ - 6q¹⁹ - 2q²⁰ - 2q²¹ + 7q²² + 8q²³ + 2q²⁴ - q²⁵ - 5q²⁶ - 9q²⁷ - 2q²⁸ + 4q²⁹ + 5q³⁰ + 7q³¹ + 2q³² - 7q³³ - 5q³⁴ - 3q³⁵ + 5q³⁷ + 6q³⁸ - q³⁹ - 2q⁴⁰ - 2q⁴¹ - 3q⁴² + 3q⁴⁴ + q⁴⁵ - q⁴⁸ - q⁴⁹ + q⁵⁰
6	q^-138 - 2q^-137 + q^-136 - q^-134 + 2q^-133 - q^-132 + 3q^-131 - 6q^-130 + 2q^-129 - 2q^-127 + 6q^-126 - q^-125 + 5q^-124 - 11q^-123 + 2q^-122 - 3q^-121 - 2q^-120 + 15q^-119 + 3q^-117 - 19q^-116 - q^-115 - 4q^-114 + 5q^-113 + 29q^-112 - 2q^-111 - 6q^-110 - 32q^-109 - 4q^-108 + q^-107 + 19q^-106 + 46q^-105 - 13q^-104 - 22q^-103 - 44q^-102 + 14q^-100 + 32q^-99 + 53q^-98 - 33q^-97 - 40q^-96 - 47q^-95 + 17q^-94 + 34q^-93 + 44q^-92 + 47q^-91 - 65q^-90 - 65q^-89 - 49q^-88 + 45q^-87 + 67q^-86 + 66q^-85 + 43q^-84 - 107q^-83 - 103q^-82 - 68q^-81 + 67q^-80 + 108q^-79 + 104q^-78 + 60q^-77 - 134q^-76 - 143q^-75 - 108q^-74 + 59q^-73 + 126q^-72 + 139q^-71 + 97q^-70 - 120q^-69 - 151q^-68 - 141q^-67 + 26q^-66 + 100q^-65 + 137q^-64 + 126q^-63 - 79q^-62 - 118q^-61 - 141q^-60 + 2q^-59 + 59q^-58 + 105q^-57 + 125q^-56 - 52q^-55 - 82q^-54 - 123q^-53 - q^-52 + 38q^-51 + 84q^-50 + 118q^-49 - 42q^-48 - 70q^-47 - 122q^-46 - 9q^-45 + 31q^-44 + 84q^-43 + 128q^-42 - 21q^-41 - 63q^-40 - 135q^-39 - 34q^-38 + 11q^-37 + 80q^-36 + 142q^-35 + 13q^-34 - 38q^-33 - 137q^-32 - 56q^-31 - 20q^-30 + 54q^-29 + 140q^-28 + 44q^-27 - 2q^-26 - 117q^-25 - 61q^-24 - 47q^-23 + 15q^-22 + 116q^-21 + 60q^-20 + 34q^-19 - 82q^-18 - 48q^-17 - 60q^-16 - 24q^-15 + 77q^-14 + 54q^-13 + 57q^-12 - 43q^-11 - 19q^-10 - 51q^-9 - 47q^-8 + 33q^-7 + 27q^-6 + 54q^-5 - 18q^-4 + 13q^-3 - 21q^-2 - 42q^-1 + 7 - 3q + 30q² - 21q³ + 24q⁴ + 7q⁵ - 17q⁶ + 12q⁷ - 10q⁸ + 10q⁹ - 38q¹⁰ + 9q¹¹ + 8q¹² - 3q¹³ + 26q¹⁴ + 6q¹⁵ + 16q¹⁶ - 39q¹⁷ - 6q¹⁸ - 9q¹⁹ - 14q²⁰ + 20q²¹ + 14q²² + 31q²³ - 18q²⁴ + 2q²⁵ - 12q²⁶ - 25q²⁷ - 2q²⁸ + q²⁹ + 26q³⁰ - 6q³¹ + 18q³² + 4q³³ - 13q³⁴ - 9q³⁵ - 12q³⁶ + 8q³⁷ - 15q³⁸ + 14q³⁹ + 12q⁴⁰ + 4q⁴¹ + 2q⁴² - 5q⁴³ + 3q⁴⁴ - 21q⁴⁵ - q⁴⁶ + 2q⁴⁷ + 5q⁴⁸ + 6q⁴⁹ + 5q⁵⁰ + 10q⁵¹ - 12q⁵² - 4q⁵³ - 5q⁵⁴ - 2q⁵⁵ + 3q⁵⁷ + 10q⁵⁸ - 2q⁵⁹ - 2q⁶¹ - 2q⁶² - 3q⁶³ - q⁶⁴ + 4q⁶⁵ + q⁶⁷ - q⁷⁰ - q⁷¹ + q⁷²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 8]]
Out[2]=	PD[X[1, 6, 2, 7], X[7, 16, 8, 17], X[5, 13, 6, 12], X[3, 15, 4, 14], > X[13, 5, 14, 4], X[15, 3, 16, 2], X[9, 18, 10, 19], X[11, 20, 12, 1], > X[17, 8, 18, 9], X[19, 10, 20, 11]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 8]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 6, -4, 5, -3, 1, -2, 9, -7, 10, -8, 3, -5, 4, -6, 2, -9, 7, -10, > 8]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 8]]
Out[4]=	DTCode[6, 14, 12, 16, 18, 20, 4, 2, 8, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 8]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, -1, -1, -1, 2, -1, 2, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 11}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 8]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 8]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 8]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 2, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 8]][t]
Out[10]=	2 5 5 2 3 5 - -- + -- - - - 5 t + 5 t - 2 t 3 2 t t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 8]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 - 3 z - 7 z - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 8]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 8]], KnotSignature[Knot[10, 8]]}
Out[13]=	{29, -4}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 8]][q]
Out[14]=	-8 2 3 4 4 4 4 3 2 2 + q - -- + -- - -- + -- - -- + -- - - - q + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 8]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 8]][q]
Out[16]=	-24 -14 -12 -8 -6 2 4 6 1 + q + q - q - q - q + q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 8]][a, z]
Out[17]=	2 6 2 2 2 4 2 6 2 4 2 4 4 4 3 - 3 a + a + 4 z - 7 a z - 3 a z + 3 a z + z - 5 a z - 4 a z + 6 4 2 6 4 6 > a z - a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 8]][a, z]
Out[18]=	2 6 3 5 7 2 2 2 4 2 6 2 3 + 3 a - a - a z + a z + 2 a z - 13 z - 18 a z + 3 a z + 5 a z - 8 2 10 2 3 3 3 5 3 7 3 9 3 4 > 2 a z + a z - 6 a z + 5 a z + 2 a z - 7 a z + 2 a z + 16 z + 2 4 4 4 6 4 8 4 5 3 5 5 5 > 30 a z + a z - 10 a z + 3 a z + 11 a z - a z - 8 a z + 7 5 6 2 6 4 6 6 6 7 3 7 > 4 a z - 7 z - 17 a z - 6 a z + 4 a z - 6 a z - 3 a z + 5 7 8 2 8 4 8 9 3 9 > 3 a z + z + 3 a z + 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 8]], Vassiliev[3][Knot[10, 8]]}
Out[19]=	{-3, 4}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 8]][q, t]
Out[20]=	2 3 1 1 1 2 1 2 2 2 -- + -- + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + 5 3 17 6 15 5 13 5 13 4 11 4 11 3 9 3 9 2 q q q t q t q t q t q t q t q t q t 2 2 2 2 t t 2 3 5 4 > ----- + ---- + ---- + --- + - + 2 q t + q t + q t 7 2 7 5 3 q q t q t q t q
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 8], 2][q]
Out[21]=	-22 2 -20 2 5 4 2 7 5 2 8 6 -7 + q - --- + q + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + 21 19 18 17 16 15 14 13 12 11 q q q q q q q q q q 3 10 7 5 11 5 6 10 3 6 2 3 4 > --- - -- + -- + -- - -- + -- + -- - -- + -- + - + q + 5 q - 4 q - q + 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q 5 6 7 8 > 3 q - q - q + q

The Alternating Knot 108

The Alternating Knot 10₈