The Alternating Knot 10₅₄

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,10,4,11 X_7,12,8,13 X_11,8,12,9 X_13,19,14,18 X_5,17,6,16 X_17,7,18,6 X_15,1,16,20 X_19,15,20,14 X_9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 10, -2, 1, -6, 7, -3, 4, -10, 2, -4, 3, -5, 9, -8, 6, -7, 5, -9, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 16 12 2 8 18 20 6 14

Minimum Braid Representative:

Length is 11, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2--3 3 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: 2t^-3 - 6t^-2 + 10t^-1 - 11 + 10t - 6t² + 2t³

Conway Polynomial: 1 + 4z² + 6z⁴ + 2z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₂, ...}

Determinant and Signature: {47, 2}

Jones Polynomial: - q^-4 + 2q^-3 - 4q^-2 + 6q^-1 - 6 + 8q - 7q² + 6q³ - 4q⁴ + 2q⁵ - q⁶

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-12 - q^-8 - q^-6 + q^-4 + 3 + 2q² + q⁴ + 2q⁶ - q⁸ + q¹⁰ - q¹² - q¹⁴ - q¹⁸

HOMFLY-PT Polynomial: - 2a^-4 - 3a^-4z² - a^-4z⁴ + 2a^-2 + 5a^-2z² + 4a^-2z⁴ + a^-2z⁶ + 3 + 5z² + 4z⁴ + z⁶ - 2a² - 3a²z² - a²z⁴

Kauffman Polynomial: - a^-7z + a^-7z³ - a^-6z² + 2a^-6z⁴ + a^-5z - 2a^-5z³ + 3a^-5z⁵ - 2a^-4 + 5a^-4z² - 6a^-4z⁴ + 4a^-4z⁶ + a^-3z + 2a^-3z³ - 7a^-3z⁵ + 4a^-3z⁷ - 2a^-2 + 5a^-2z² - 3a^-2z⁴ - 5a^-2z⁶ + 3a^-2z⁸ - 5a^-1z + 17a^-1z³ - 18a^-1z⁵ + 3a^-1z⁷ + a^-1z⁹ + 3 - 7z² + 17z⁴ - 18z⁶ + 5z⁸ - 8az + 20az³ - 13az⁵ + az⁹ + 2a² - 6a²z² + 12a²z⁴ - 9a²z⁶ + 2a²z⁸ - 4a³z + 8a³z³ - 5a³z⁵ + a³z⁷

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {4, 2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 10₅₄. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5

j = 13 1

j = 11 1

j = 9 3 1

j = 7 3 1

j = 5 4 3

j = 3 4 3

j = 1 3 5

j = -1 3 3

j = -3 1 3

j = -5 1 3

j = -7 1

j = -9 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-13 - 2q^-12 - q^-11 + 7q^-10 - 5q^-9 - 9q^-8 + 17q^-7 - 3q^-6 - 22q^-5 + 24q^-4 + 5q^-3 - 33q^-2 + 24q^-1 + 16 - 38q + 18q² + 23q³ - 35q⁴ + 9q⁵ + 23q⁶ - 26q⁷ + 4q⁸ + 14q⁹ - 15q¹⁰ + 4q¹¹ + 5q¹² - 7q¹³ + 3q¹⁴ + q¹⁵ - 2q¹⁶ + q¹⁷

3 - q^-27 + 2q^-26 + q^-25 - 2q^-24 - 6q^-23 + 4q^-22 + 11q^-21 - 20q^-19 - 6q^-18 + 24q^-17 + 21q^-16 - 28q^-15 - 32q^-14 + 19q^-13 + 47q^-12 - 9q^-11 - 54q^-10 - 6q^-9 + 53q^-8 + 23q^-7 - 50q^-6 - 34q^-5 + 35q^-4 + 50q^-3 - 28q^-2 - 48q^-1 + 3 + 64q + 5q² - 55q³ - 34q⁴ + 65q⁵ + 42q⁶ - 50q⁷ - 65q⁸ + 49q⁹ + 66q¹⁰ - 30q¹¹ - 70q¹² + 20q¹³ + 56q¹⁴ - 5q¹⁵ - 44q¹⁶ - q¹⁷ + 27q¹⁸ + 2q¹⁹ - 11q²⁰ - 5q²¹ + 5q²² + q²³ + 2q²⁴ - 2q²⁵ - q²⁶ - q²⁷ + 4q²⁸ - 2q²⁹ - q³¹ + 2q³² - q³³

4 q^-46 - 2q^-45 - q^-44 + 2q^-43 + q^-42 + 7q^-41 - 8q^-40 - 9q^-39 + q^-37 + 32q^-36 - 4q^-35 - 21q^-34 - 22q^-33 - 27q^-32 + 64q^-31 + 28q^-30 + 5q^-29 - 37q^-28 - 100q^-27 + 48q^-26 + 43q^-25 + 77q^-24 + 20q^-23 - 150q^-22 - 15q^-21 - 29q^-20 + 110q^-19 + 131q^-18 - 104q^-17 - 28q^-16 - 153q^-15 + 31q^-14 + 188q^-13 + 2q^-12 + 67q^-11 - 222q^-10 - 108q^-9 + 133q^-8 + 70q^-7 + 225q^-6 - 190q^-5 - 225q^-4 + 9q^-3 + 72q^-2 + 371q^-1 - 102 - 295q - 122q² + 41q³ + 487q⁴ + q⁵ - 347q⁶ - 251q⁷ + 6q⁸ + 583q⁹ + 120q¹⁰ - 373q¹¹ - 377q¹² - 63q¹³ + 623q¹⁴ + 252q¹⁵ - 315q¹⁶ - 444q¹⁷ - 171q¹⁸ + 537q¹⁹ + 326q²⁰ - 167q²¹ - 376q²² - 245q²³ + 344q²⁴ + 275q²⁵ - 32q²⁶ - 210q²⁷ - 213q²⁸ + 161q²⁹ + 145q³⁰ + 19q³¹ - 68q³² - 125q³³ + 64q³⁴ + 46q³⁵ + 13q³⁶ - 6q³⁷ - 55q³⁸ + 28q³⁹ + 5q⁴⁰ + 3q⁴¹ + 7q⁴² - 22q⁴³ + 13q⁴⁴ - 2q⁴⁵ + 4q⁴⁷ - 8q⁴⁸ + 5q⁴⁹ - q⁵⁰ + q⁵² - 2q⁵³ + q⁵⁴

5 - q^-70 + 2q^-69 + q^-68 - 2q^-67 - q^-66 - 2q^-65 - 3q^-64 + 6q^-63 + 11q^-62 - 6q^-60 - 12q^-59 - 19q^-58 + 28q^-56 + 32q^-55 + 14q^-54 - 15q^-53 - 55q^-52 - 54q^-51 - 2q^-50 + 57q^-49 + 88q^-48 + 59q^-47 - 29q^-46 - 111q^-45 - 118q^-44 - 46q^-43 + 84q^-42 + 172q^-41 + 133q^-40 + q^-39 - 149q^-38 - 227q^-37 - 136q^-36 + 74q^-35 + 241q^-34 + 257q^-33 + 105q^-32 - 168q^-31 - 346q^-30 - 281q^-29 - 4q^-28 + 300q^-27 + 440q^-26 + 256q^-25 - 158q^-24 - 496q^-23 - 487q^-22 - 111q^-21 + 411q^-20 + 679q^-19 + 425q^-18 - 213q^-17 - 733q^-16 - 731q^-15 - 119q^-14 + 687q^-13 + 981q^-12 + 459q^-11 - 488q^-10 - 1125q^-9 - 851q^-8 + 246q^-7 + 1187q^-6 + 1136q^-5 + 88q^-4 - 1141q^-3 - 1442q^-2 - 373q^-1 + 1082 + 1598q + 683q² - 948q³ - 1818q⁴ - 914q⁵ + 888q⁶ + 1909q⁷ + 1163q⁸ - 776q⁹ - 2108q¹⁰ - 1368q¹¹ + 737q¹² + 2217q¹³ + 1619q¹⁴ - 622q¹⁵ - 2402q¹⁶ - 1854q¹⁷ + 501q¹⁸ + 2456q¹⁹ + 2133q²⁰ - 273q²¹ - 2486q²² - 2325q²³ - 2q²⁴ + 2307q²⁵ + 2471q²⁶ + 332q²⁷ - 2051q²⁸ - 2432q²⁹ - 611q³⁰ + 1624q³¹ + 2261q³² + 824q³³ - 1193q³⁴ - 1937q³⁵ - 892q³⁶ + 771q³⁷ + 1524q³⁸ + 849q³⁹ - 432q⁴⁰ - 1116q⁴¹ - 709q⁴² + 213q⁴³ + 746q⁴⁴ + 520q⁴⁵ - 70q⁴⁶ - 465q⁴⁷ - 356q⁴⁸ + 23q⁴⁹ + 264q⁵⁰ + 211q⁵¹ + 7q⁵² - 145q⁵³ - 119q⁵⁴ + 66q⁵⁶ + 57q⁵⁷ + 13q⁵⁸ - 40q⁵⁹ - 29q⁶⁰ + 7q⁶¹ + 8q⁶² + 7q⁶³ + 9q⁶⁴ - 9q⁶⁵ - 9q⁶⁶ + 9q⁶⁷ - q⁶⁸ - 4q⁶⁹ + 5q⁷⁰ - 2q⁷¹ - 3q⁷² + 5q⁷³ - q⁷⁴ - 2q⁷⁵ + q⁷⁶ - q⁷⁸ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰

6 q^-99 - 2q^-98 - q^-97 + 2q^-96 + q^-95 + 2q^-94 - 2q^-93 + 5q^-92 - 8q^-91 - 11q^-90 + 3q^-89 + 5q^-88 + 14q^-87 + 2q^-86 + 24q^-85 - 14q^-84 - 37q^-83 - 23q^-82 - 15q^-81 + 20q^-80 + 13q^-79 + 98q^-78 + 32q^-77 - 27q^-76 - 61q^-75 - 95q^-74 - 65q^-73 - 76q^-72 + 152q^-71 + 142q^-70 + 133q^-69 + 57q^-68 - 65q^-67 - 178q^-66 - 350q^-65 - 52q^-64 + 18q^-63 + 242q^-62 + 330q^-61 + 328q^-60 + 102q^-59 - 403q^-58 - 340q^-57 - 512q^-56 - 209q^-55 + 131q^-54 + 633q^-53 + 759q^-52 + 269q^-51 + 99q^-50 - 667q^-49 - 890q^-48 - 886q^-47 - 80q^-46 + 690q^-45 + 933q^-44 + 1317q^-43 + 453q^-42 - 442q^-41 - 1546q^-40 - 1461q^-39 - 807q^-38 + 91q^-37 + 1730q^-36 + 2018q^-35 + 1529q^-34 - 350q^-33 - 1640q^-32 - 2439q^-31 - 2245q^-30 - q^-29 + 1982q^-28 + 3337q^-27 + 2278q^-26 + 464q^-25 - 2151q^-24 - 4123q^-23 - 3054q^-22 - 422q^-21 + 3031q^-20 + 4257q^-19 + 3739q^-18 + 495q^-17 - 3804q^-16 - 5340q^-15 - 3892q^-14 + 454q^-13 + 4103q^-12 + 6224q^-11 + 4114q^-10 - 1381q^-9 - 5650q^-8 - 6632q^-7 - 3006q^-6 + 2077q^-5 + 6961q^-4 + 7113q^-3 + 1812q^-2 - 4355q^-1 - 7898 - 5955q - 563q² + 6380q³ + 8900q⁴ + 4544q⁵ - 2609q⁶ - 8143q⁷ - 7915q⁸ - 2727q⁹ + 5532q¹⁰ + 9918q¹¹ + 6443q¹² - 1347q¹³ - 8315q¹⁴ - 9334q¹⁵ - 4175q¹⁶ + 5165q¹⁷ + 10991q¹⁸ + 8026q¹⁹ - 566q²⁰ - 8916q²¹ - 10963q²² - 5607q²³ + 4956q²⁴ + 12321q²⁵ + 10012q²⁶ + 719q²⁷ - 9196q²⁸ - 12726q²⁹ - 7772q³⁰ + 3635q³¹ + 12757q³² + 12044q³³ + 3223q³⁴ - 7669q³⁵ - 13141q³⁶ - 10008q³⁷ + 661q³⁸ + 10773q³⁹ + 12395q⁴⁰ + 5889q⁴¹ - 4152q⁴² - 10831q⁴³ - 10386q⁴⁴ - 2449q⁴⁵ + 6682q⁴⁶ + 9938q⁴⁷ + 6652q⁴⁸ - 584q⁴⁹ - 6606q⁵⁰ - 8100q⁵¹ - 3642q⁵² + 2738q⁵³ + 5911q⁵⁴ + 5048q⁵⁵ + 1109q⁵⁶ - 2817q⁵⁷ - 4658q⁵⁸ - 2788q⁵⁹ + 617q⁶⁰ + 2554q⁶¹ + 2660q⁶² + 1052q⁶³ - 785q⁶⁴ - 2011q⁶⁵ - 1376q⁶⁶ + 48q⁶⁷ + 803q⁶⁸ + 996q⁶⁹ + 491q⁷⁰ - 111q⁷¹ - 699q⁷² - 473q⁷³ + 28q⁷⁴ + 181q⁷⁵ + 278q⁷⁶ + 144q⁷⁷ + 23q⁷⁸ - 226q⁷⁹ - 125q⁸⁰ + 45q⁸¹ + 19q⁸² + 66q⁸³ + 30q⁸⁴ + 31q⁸⁵ - 78q⁸⁶ - 30q⁸⁷ + 30q⁸⁸ - 11q⁸⁹ + 18q⁹⁰ + 3q⁹¹ + 20q⁹² - 28q⁹³ - 6q⁹⁴ + 14q⁹⁵ - 11q⁹⁶ + 8q⁹⁷ - 3q⁹⁸ + 9q⁹⁹ - 8q¹⁰⁰ - q¹⁰¹ + 5q¹⁰² - 6q¹⁰³ + 4q¹⁰⁴ - 2q¹⁰⁵ + 2q¹⁰⁶ - q¹⁰⁷ + q¹⁰⁹ - 2q¹¹⁰ + q¹¹¹

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 54]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[7, 12, 8, 13], X[11, 8, 12, 9], > X[13, 19, 14, 18], X[5, 17, 6, 16], X[17, 7, 18, 6], X[15, 1, 16, 20], > X[19, 15, 20, 14], X[9, 2, 10, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 54]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 10, -2, 1, -6, 7, -3, 4, -10, 2, -4, 3, -5, 9, -8, 6, -7, 5, -9, > 8]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 54]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 16, 12, 2, 8, 18, 20, 6, 14]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 54]]

Out[5]=
BR[4, {1, 1, 1, -2, 1, 1, -2, -3, 2, -3, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 11}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 54]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 54]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 54]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, {2, 3}, 3, 3, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 54]][t]

Out[10]=
2 6 10 2 3 -11 + -- - -- + -- + 10 t - 6 t + 2 t 3 2 t t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 54]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + 4 z + 6 z + 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 12], Knot[10, 54]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 54]], KnotSignature[Knot[10, 54]]}

Out[13]=
{47, 2}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 54]][q]

Out[14]=
-4 2 4 6 2 3 4 5 6 -6 - q + -- - -- + - + 8 q - 7 q + 6 q - 4 q + 2 q - q 3 2 q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 54]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 54]][q]

Out[16]=
-12 -8 -6 -4 2 4 6 8 10 12 14 18 3 - q - q - q + q + 2 q + q + 2 q - q + q - q - q - q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 54]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 4 2 2 2 2 3 z 5 z 2 2 4 z 4 z 2 4 3 - -- + -- - 2 a + 5 z - ---- + ---- - 3 a z + 4 z - -- + ---- - a z + 4 2 4 2 4 2 a a a a a a 6 6 z > z + -- 2 a

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 54]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 2 2 z z z 5 z 3 2 z 5 z 3 - -- - -- + 2 a - -- + -- + -- - --- - 8 a z - 4 a z - 7 z - -- + ---- + 4 2 7 5 3 a 6 4 a a a a a a a 2 3 3 3 3 5 z 2 2 z 2 z 2 z 17 z 3 3 3 4 > ---- - 6 a z + -- - ---- + ---- + ----- + 20 a z + 8 a z + 17 z + 2 7 5 3 a a a a a 4 4 4 5 5 5 2 z 6 z 3 z 2 4 3 z 7 z 18 z 5 3 5 > ---- - ---- - ---- + 12 a z + ---- - ---- - ----- - 13 a z - 5 a z - 6 4 2 5 3 a a a a a a 6 6 7 7 8 6 4 z 5 z 2 6 4 z 3 z 3 7 8 3 z > 18 z + ---- - ---- - 9 a z + ---- + ---- + a z + 5 z + ---- + 4 2 3 a 2 a a a a 9 2 8 z 9 > 2 a z + -- + a z a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 54]], Vassiliev[3][Knot[10, 54]]}

Out[19]=
{4, 2}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 54]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 3 1 3 3 3 3 q 5 q + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 9 5 7 4 5 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t q t q t 3 5 5 2 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 > 3 q t + 4 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + 13 5 > q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 54], 2][q]

Out[21]=
-13 2 -11 7 5 9 17 3 22 24 5 33 24 16 + q - --- - q + --- - -- - -- + -- - -- - -- + -- + -- - -- + -- - 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q 2 3 4 5 6 7 8 9 > 38 q + 18 q + 23 q - 35 q + 9 q + 23 q - 26 q + 4 q + 14 q - 10 11 12 13 14 15 16 17 > 15 q + 4 q + 5 q - 7 q + 3 q + q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₅₄

10₅₃
10₅₅

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-13 - 2q^-12 - q^-11 + 7q^-10 - 5q^-9 - 9q^-8 + 17q^-7 - 3q^-6 - 22q^-5 + 24q^-4 + 5q^-3 - 33q^-2 + 24q^-1 + 16 - 38q + 18q² + 23q³ - 35q⁴ + 9q⁵ + 23q⁶ - 26q⁷ + 4q⁸ + 14q⁹ - 15q¹⁰ + 4q¹¹ + 5q¹² - 7q¹³ + 3q¹⁴ + q¹⁵ - 2q¹⁶ + q¹⁷
3	- q^-27 + 2q^-26 + q^-25 - 2q^-24 - 6q^-23 + 4q^-22 + 11q^-21 - 20q^-19 - 6q^-18 + 24q^-17 + 21q^-16 - 28q^-15 - 32q^-14 + 19q^-13 + 47q^-12 - 9q^-11 - 54q^-10 - 6q^-9 + 53q^-8 + 23q^-7 - 50q^-6 - 34q^-5 + 35q^-4 + 50q^-3 - 28q^-2 - 48q^-1 + 3 + 64q + 5q² - 55q³ - 34q⁴ + 65q⁵ + 42q⁶ - 50q⁷ - 65q⁸ + 49q⁹ + 66q¹⁰ - 30q¹¹ - 70q¹² + 20q¹³ + 56q¹⁴ - 5q¹⁵ - 44q¹⁶ - q¹⁷ + 27q¹⁸ + 2q¹⁹ - 11q²⁰ - 5q²¹ + 5q²² + q²³ + 2q²⁴ - 2q²⁵ - q²⁶ - q²⁷ + 4q²⁸ - 2q²⁹ - q³¹ + 2q³² - q³³
4	q^-46 - 2q^-45 - q^-44 + 2q^-43 + q^-42 + 7q^-41 - 8q^-40 - 9q^-39 + q^-37 + 32q^-36 - 4q^-35 - 21q^-34 - 22q^-33 - 27q^-32 + 64q^-31 + 28q^-30 + 5q^-29 - 37q^-28 - 100q^-27 + 48q^-26 + 43q^-25 + 77q^-24 + 20q^-23 - 150q^-22 - 15q^-21 - 29q^-20 + 110q^-19 + 131q^-18 - 104q^-17 - 28q^-16 - 153q^-15 + 31q^-14 + 188q^-13 + 2q^-12 + 67q^-11 - 222q^-10 - 108q^-9 + 133q^-8 + 70q^-7 + 225q^-6 - 190q^-5 - 225q^-4 + 9q^-3 + 72q^-2 + 371q^-1 - 102 - 295q - 122q² + 41q³ + 487q⁴ + q⁵ - 347q⁶ - 251q⁷ + 6q⁸ + 583q⁹ + 120q¹⁰ - 373q¹¹ - 377q¹² - 63q¹³ + 623q¹⁴ + 252q¹⁵ - 315q¹⁶ - 444q¹⁷ - 171q¹⁸ + 537q¹⁹ + 326q²⁰ - 167q²¹ - 376q²² - 245q²³ + 344q²⁴ + 275q²⁵ - 32q²⁶ - 210q²⁷ - 213q²⁸ + 161q²⁹ + 145q³⁰ + 19q³¹ - 68q³² - 125q³³ + 64q³⁴ + 46q³⁵ + 13q³⁶ - 6q³⁷ - 55q³⁸ + 28q³⁹ + 5q⁴⁰ + 3q⁴¹ + 7q⁴² - 22q⁴³ + 13q⁴⁴ - 2q⁴⁵ + 4q⁴⁷ - 8q⁴⁸ + 5q⁴⁹ - q⁵⁰ + q⁵² - 2q⁵³ + q⁵⁴
5	- q^-70 + 2q^-69 + q^-68 - 2q^-67 - q^-66 - 2q^-65 - 3q^-64 + 6q^-63 + 11q^-62 - 6q^-60 - 12q^-59 - 19q^-58 + 28q^-56 + 32q^-55 + 14q^-54 - 15q^-53 - 55q^-52 - 54q^-51 - 2q^-50 + 57q^-49 + 88q^-48 + 59q^-47 - 29q^-46 - 111q^-45 - 118q^-44 - 46q^-43 + 84q^-42 + 172q^-41 + 133q^-40 + q^-39 - 149q^-38 - 227q^-37 - 136q^-36 + 74q^-35 + 241q^-34 + 257q^-33 + 105q^-32 - 168q^-31 - 346q^-30 - 281q^-29 - 4q^-28 + 300q^-27 + 440q^-26 + 256q^-25 - 158q^-24 - 496q^-23 - 487q^-22 - 111q^-21 + 411q^-20 + 679q^-19 + 425q^-18 - 213q^-17 - 733q^-16 - 731q^-15 - 119q^-14 + 687q^-13 + 981q^-12 + 459q^-11 - 488q^-10 - 1125q^-9 - 851q^-8 + 246q^-7 + 1187q^-6 + 1136q^-5 + 88q^-4 - 1141q^-3 - 1442q^-2 - 373q^-1 + 1082 + 1598q + 683q² - 948q³ - 1818q⁴ - 914q⁵ + 888q⁶ + 1909q⁷ + 1163q⁸ - 776q⁹ - 2108q¹⁰ - 1368q¹¹ + 737q¹² + 2217q¹³ + 1619q¹⁴ - 622q¹⁵ - 2402q¹⁶ - 1854q¹⁷ + 501q¹⁸ + 2456q¹⁹ + 2133q²⁰ - 273q²¹ - 2486q²² - 2325q²³ - 2q²⁴ + 2307q²⁵ + 2471q²⁶ + 332q²⁷ - 2051q²⁸ - 2432q²⁹ - 611q³⁰ + 1624q³¹ + 2261q³² + 824q³³ - 1193q³⁴ - 1937q³⁵ - 892q³⁶ + 771q³⁷ + 1524q³⁸ + 849q³⁹ - 432q⁴⁰ - 1116q⁴¹ - 709q⁴² + 213q⁴³ + 746q⁴⁴ + 520q⁴⁵ - 70q⁴⁶ - 465q⁴⁷ - 356q⁴⁸ + 23q⁴⁹ + 264q⁵⁰ + 211q⁵¹ + 7q⁵² - 145q⁵³ - 119q⁵⁴ + 66q⁵⁶ + 57q⁵⁷ + 13q⁵⁸ - 40q⁵⁹ - 29q⁶⁰ + 7q⁶¹ + 8q⁶² + 7q⁶³ + 9q⁶⁴ - 9q⁶⁵ - 9q⁶⁶ + 9q⁶⁷ - q⁶⁸ - 4q⁶⁹ + 5q⁷⁰ - 2q⁷¹ - 3q⁷² + 5q⁷³ - q⁷⁴ - 2q⁷⁵ + q⁷⁶ - q⁷⁸ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰
6	q^-99 - 2q^-98 - q^-97 + 2q^-96 + q^-95 + 2q^-94 - 2q^-93 + 5q^-92 - 8q^-91 - 11q^-90 + 3q^-89 + 5q^-88 + 14q^-87 + 2q^-86 + 24q^-85 - 14q^-84 - 37q^-83 - 23q^-82 - 15q^-81 + 20q^-80 + 13q^-79 + 98q^-78 + 32q^-77 - 27q^-76 - 61q^-75 - 95q^-74 - 65q^-73 - 76q^-72 + 152q^-71 + 142q^-70 + 133q^-69 + 57q^-68 - 65q^-67 - 178q^-66 - 350q^-65 - 52q^-64 + 18q^-63 + 242q^-62 + 330q^-61 + 328q^-60 + 102q^-59 - 403q^-58 - 340q^-57 - 512q^-56 - 209q^-55 + 131q^-54 + 633q^-53 + 759q^-52 + 269q^-51 + 99q^-50 - 667q^-49 - 890q^-48 - 886q^-47 - 80q^-46 + 690q^-45 + 933q^-44 + 1317q^-43 + 453q^-42 - 442q^-41 - 1546q^-40 - 1461q^-39 - 807q^-38 + 91q^-37 + 1730q^-36 + 2018q^-35 + 1529q^-34 - 350q^-33 - 1640q^-32 - 2439q^-31 - 2245q^-30 - q^-29 + 1982q^-28 + 3337q^-27 + 2278q^-26 + 464q^-25 - 2151q^-24 - 4123q^-23 - 3054q^-22 - 422q^-21 + 3031q^-20 + 4257q^-19 + 3739q^-18 + 495q^-17 - 3804q^-16 - 5340q^-15 - 3892q^-14 + 454q^-13 + 4103q^-12 + 6224q^-11 + 4114q^-10 - 1381q^-9 - 5650q^-8 - 6632q^-7 - 3006q^-6 + 2077q^-5 + 6961q^-4 + 7113q^-3 + 1812q^-2 - 4355q^-1 - 7898 - 5955q - 563q² + 6380q³ + 8900q⁴ + 4544q⁵ - 2609q⁶ - 8143q⁷ - 7915q⁸ - 2727q⁹ + 5532q¹⁰ + 9918q¹¹ + 6443q¹² - 1347q¹³ - 8315q¹⁴ - 9334q¹⁵ - 4175q¹⁶ + 5165q¹⁷ + 10991q¹⁸ + 8026q¹⁹ - 566q²⁰ - 8916q²¹ - 10963q²² - 5607q²³ + 4956q²⁴ + 12321q²⁵ + 10012q²⁶ + 719q²⁷ - 9196q²⁸ - 12726q²⁹ - 7772q³⁰ + 3635q³¹ + 12757q³² + 12044q³³ + 3223q³⁴ - 7669q³⁵ - 13141q³⁶ - 10008q³⁷ + 661q³⁸ + 10773q³⁹ + 12395q⁴⁰ + 5889q⁴¹ - 4152q⁴² - 10831q⁴³ - 10386q⁴⁴ - 2449q⁴⁵ + 6682q⁴⁶ + 9938q⁴⁷ + 6652q⁴⁸ - 584q⁴⁹ - 6606q⁵⁰ - 8100q⁵¹ - 3642q⁵² + 2738q⁵³ + 5911q⁵⁴ + 5048q⁵⁵ + 1109q⁵⁶ - 2817q⁵⁷ - 4658q⁵⁸ - 2788q⁵⁹ + 617q⁶⁰ + 2554q⁶¹ + 2660q⁶² + 1052q⁶³ - 785q⁶⁴ - 2011q⁶⁵ - 1376q⁶⁶ + 48q⁶⁷ + 803q⁶⁸ + 996q⁶⁹ + 491q⁷⁰ - 111q⁷¹ - 699q⁷² - 473q⁷³ + 28q⁷⁴ + 181q⁷⁵ + 278q⁷⁶ + 144q⁷⁷ + 23q⁷⁸ - 226q⁷⁹ - 125q⁸⁰ + 45q⁸¹ + 19q⁸² + 66q⁸³ + 30q⁸⁴ + 31q⁸⁵ - 78q⁸⁶ - 30q⁸⁷ + 30q⁸⁸ - 11q⁸⁹ + 18q⁹⁰ + 3q⁹¹ + 20q⁹² - 28q⁹³ - 6q⁹⁴ + 14q⁹⁵ - 11q⁹⁶ + 8q⁹⁷ - 3q⁹⁸ + 9q⁹⁹ - 8q¹⁰⁰ - q¹⁰¹ + 5q¹⁰² - 6q¹⁰³ + 4q¹⁰⁴ - 2q¹⁰⁵ + 2q¹⁰⁶ - q¹⁰⁷ + q¹⁰⁹ - 2q¹¹⁰ + q¹¹¹

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 54]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[7, 12, 8, 13], X[11, 8, 12, 9], > X[13, 19, 14, 18], X[5, 17, 6, 16], X[17, 7, 18, 6], X[15, 1, 16, 20], > X[19, 15, 20, 14], X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 54]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 10, -2, 1, -6, 7, -3, 4, -10, 2, -4, 3, -5, 9, -8, 6, -7, 5, -9, > 8]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 54]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 16, 12, 2, 8, 18, 20, 6, 14]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 54]]
Out[5]=	BR[4, {1, 1, 1, -2, 1, 1, -2, -3, 2, -3, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 11}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 54]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 54]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 54]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, {2, 3}, 3, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 54]][t]
Out[10]=	2 6 10 2 3 -11 + -- - -- + -- + 10 t - 6 t + 2 t 3 2 t t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 54]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + 4 z + 6 z + 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 12], Knot[10, 54]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 54]], KnotSignature[Knot[10, 54]]}
Out[13]=	{47, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 54]][q]
Out[14]=	-4 2 4 6 2 3 4 5 6 -6 - q + -- - -- + - + 8 q - 7 q + 6 q - 4 q + 2 q - q 3 2 q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 54]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 54]][q]
Out[16]=	-12 -8 -6 -4 2 4 6 8 10 12 14 18 3 - q - q - q + q + 2 q + q + 2 q - q + q - q - q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 54]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 2 2 2 2 3 z 5 z 2 2 4 z 4 z 2 4 3 - -- + -- - 2 a + 5 z - ---- + ---- - 3 a z + 4 z - -- + ---- - a z + 4 2 4 2 4 2 a a a a a a 6 6 z > z + -- 2 a
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 54]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 2 z z z 5 z 3 2 z 5 z 3 - -- - -- + 2 a - -- + -- + -- - --- - 8 a z - 4 a z - 7 z - -- + ---- + 4 2 7 5 3 a 6 4 a a a a a a a 2 3 3 3 3 5 z 2 2 z 2 z 2 z 17 z 3 3 3 4 > ---- - 6 a z + -- - ---- + ---- + ----- + 20 a z + 8 a z + 17 z + 2 7 5 3 a a a a a 4 4 4 5 5 5 2 z 6 z 3 z 2 4 3 z 7 z 18 z 5 3 5 > ---- - ---- - ---- + 12 a z + ---- - ---- - ----- - 13 a z - 5 a z - 6 4 2 5 3 a a a a a a 6 6 7 7 8 6 4 z 5 z 2 6 4 z 3 z 3 7 8 3 z > 18 z + ---- - ---- - 9 a z + ---- + ---- + a z + 5 z + ---- + 4 2 3 a 2 a a a a 9 2 8 z 9 > 2 a z + -- + a z a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 54]], Vassiliev[3][Knot[10, 54]]}
Out[19]=	{4, 2}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 54]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 3 1 3 3 3 3 q 5 q + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 9 5 7 4 5 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t q t q t 3 5 5 2 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 > 3 q t + 4 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + 13 5 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 54], 2][q]
Out[21]=	-13 2 -11 7 5 9 17 3 22 24 5 33 24 16 + q - --- - q + --- - -- - -- + -- - -- - -- + -- + -- - -- + -- - 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q 2 3 4 5 6 7 8 9 > 38 q + 18 q + 23 q - 35 q + 9 q + 23 q - 26 q + 4 q + 14 q - 10 11 12 13 14 15 16 17 > 15 q + 4 q + 5 q - 7 q + 3 q + q - 2 q + q

The Alternating Knot 1054

The Alternating Knot 10₅₄