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 1049 |
| © | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: |
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 KnotPlot |
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The Alternating Knot 1048Visit 1048's page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!) Visit 1048's page at Knotilus! |
 KnotPlot |
| PD Presentation: | X6271 X8493 X14,6,15,5 X20,15,1,16 X16,9,17,10 X18,11,19,12 X10,17,11,18 X12,19,13,20 X2837 X4,14,5,13 |
| Gauss Code: | {1, -9, 2, -10, 3, -1, 9, -2, 5, -7, 6, -8, 10, -3, 4, -5, 7, -6, 8, -4} |
| DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: | 6 8 14 2 16 18 4 20 10 12 |
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Minimum Braid Representative:
Length is 10, width is 3 Braid index is 3 |
A Morse Link Presentation:
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| 3D Invariants: |
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| Alexander Polynomial: | t-4 - 3t-3 + 6t-2 - 9t-1 + 11 - 9t + 6t2 - 3t3 + t4 |
| Conway Polynomial: | 1 + 4z2 + 8z4 + 5z6 + z8 |
| Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: | {...} |
| Determinant and Signature: | {49, 0} |
| Jones Polynomial: | - q-5 + 2q-4 - 4q-3 + 6q-2 - 7q-1 + 9 - 7q + 6q2 - 4q3 + 2q4 - q5 |
| Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: | {...} |
| A2 (sl(3)) Invariant: | - q-14 - 2q-10 + 4q-2 + 1 + 4q2 - 2q10 - q14 |
| HOMFLY-PT Polynomial: | - 4a-2 - 8a-2z2 - 5a-2z4 - a-2z6 + 9 + 20z2 + 18z4 + 7z6 + z8 - 4a2 - 8a2z2 - 5a2z4 - a2z6 |
| Kauffman Polynomial: | a-5z - 3a-5z3 + a-5z5 + a-4z2 - 5a-4z4 + 2a-4z6 - 3a-3z + 8a-3z3 - 9a-3z5 + 3a-3z7 + 4a-2 - 13a-2z2 + 18a-2z4 - 11a-2z6 + 3a-2z8 - 9a-1z + 21a-1z3 - 11a-1z5 + a-1z7 + a-1z9 + 9 - 27z2 + 37z4 - 20z6 + 5z8 - 7az + 12az3 - 5az5 + az9 + 4a2 - 11a2z2 + 9a2z4 - 5a2z6 + 2a2z8 - a3z3 - 3a3z5 + 2a3z7 + 2a4z2 - 5a4z4 + 2a4z6 + 2a5z - 3a5z3 + a5z5 |
| V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: | {4, 0} |
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Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 1048. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) |
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| n | Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2)) |
| 2 | q-15 - 2q-14 + 5q-12 - 7q-11 - q-10 + 14q-9 - 16q-8 - 5q-7 + 30q-6 - 25q-5 - 15q-4 + 47q-3 - 28q-2 - 26q-1 + 56 - 24q - 30q2 + 48q3 - 14q4 - 27q5 + 31q6 - 3q7 - 19q8 + 14q9 + 2q10 - 9q11 + 4q12 + q13 - 2q14 + q15 |
| 3 | - q-30 + 2q-29 - q-27 - 3q-26 + 4q-25 + 2q-24 - 3q-23 - 5q-22 + 8q-21 + 3q-20 - 10q-19 - 8q-18 + 21q-17 + 10q-16 - 29q-15 - 23q-14 + 40q-13 + 41q-12 - 48q-11 - 62q-10 + 46q-9 + 92q-8 - 47q-7 - 110q-6 + 30q-5 + 138q-4 - 28q-3 - 140q-2 + 4q-1 + 159 - 4q - 143q2 - 19q3 + 143q4 + 24q5 - 120q6 - 42q7 + 104q8 + 48q9 - 75q10 - 57q11 + 51q12 + 55q13 - 27q14 - 49q15 + 9q16 + 39q17 - q18 - 24q19 - 7q20 + 17q21 + 3q22 - 7q23 - 3q24 + 5q25 - q27 - q28 + 2q29 - q30 |
| 4 | q-50 - 2q-49 + q-47 - q-46 + 6q-45 - 6q-44 - 8q-41 + 18q-40 - 9q-39 + 6q-38 + q-37 - 29q-36 + 25q-35 - 17q-34 + 30q-33 + 23q-32 - 56q-31 + 14q-30 - 61q-29 + 56q-28 + 87q-27 - 45q-26 + 9q-25 - 169q-24 + 24q-23 + 157q-22 + 40q-21 + 88q-20 - 294q-19 - 107q-18 + 143q-17 + 151q-16 + 281q-15 - 342q-14 - 274q-13 + 16q-12 + 199q-11 + 509q-10 - 294q-9 - 383q-8 - 140q-7 + 168q-6 + 668q-5 - 210q-4 - 409q-3 - 250q-2 + 105q-1 + 733 - 133q - 380q2 - 306q3 + 32q4 + 706q5 - 46q6 - 292q7 - 328q8 - 72q9 + 594q10 + 51q11 - 138q12 - 294q13 - 191q14 + 394q15 + 106q16 + 42q17 - 182q18 - 252q19 + 167q20 + 72q21 + 149q22 - 36q23 - 204q24 + 15q25 - 10q26 + 136q27 + 49q28 - 99q29 - 19q30 - 55q31 + 64q32 + 49q33 - 28q34 - 40q36 + 17q37 + 19q38 - 9q39 + 9q40 - 14q41 + 3q42 + 5q43 - 5q44 + 4q45 - 3q46 + q47 + q48 - 2q49 + q50 |
| 5 | - q-75 + 2q-74 - q-72 + q-71 - 2q-70 - 4q-69 + 4q-68 + 4q-67 + 5q-65 - 4q-64 - 16q-63 - 2q-62 + 8q-61 + 9q-60 + 20q-59 + 6q-58 - 30q-57 - 30q-56 - 11q-55 + 13q-54 + 55q-53 + 51q-52 - 14q-51 - 70q-50 - 84q-49 - 38q-48 + 82q-47 + 148q-46 + 90q-45 - 47q-44 - 193q-43 - 212q-42 - 18q-41 + 223q-40 + 320q-39 + 173q-38 - 171q-37 - 458q-36 - 377q-35 + 42q-34 + 507q-33 + 627q-32 + 223q-31 - 472q-30 - 874q-29 - 567q-28 + 298q-27 + 1035q-26 + 972q-25 + 29q-24 - 1103q-23 - 1380q-22 - 413q-21 + 1017q-20 + 1695q-19 + 897q-18 - 854q-17 - 1944q-16 - 1283q-15 + 588q-14 + 2046q-13 + 1685q-12 - 357q-11 - 2106q-10 - 1889q-9 + 85q-8 + 2059q-7 + 2132q-6 + 66q-5 - 2044q-4 - 2161q-3 - 256q-2 + 1934q-1 + 2311 + 339q - 1896q2 - 2251q3 - 500q4 + 1733q5 + 2320q6 + 609q7 - 1598q8 - 2209q9 - 783q10 + 1318q11 + 2144q12 + 925q13 - 1027q14 - 1908q15 - 1069q16 + 635q17 + 1648q18 + 1125q19 - 262q20 - 1248q21 - 1111q22 - 101q23 + 845q24 + 967q25 + 350q26 - 403q27 - 742q28 - 493q29 + 49q30 + 458q31 + 483q32 + 203q33 - 161q34 - 384q35 - 331q36 - 53q37 + 221q38 + 318q39 + 198q40 - 52q41 - 261q42 - 229q43 - 49q44 + 135q45 + 206q46 + 113q47 - 60q48 - 138q49 - 104q50 - 10q51 + 82q52 + 84q53 + 16q54 - 26q55 - 48q56 - 31q57 + 14q58 + 27q59 + 9q60 + 2q61 - 5q62 - 16q63 + q64 + 8q65 - q66 + 3q68 - 4q69 - q70 + 3q71 - q72 - q73 + 2q74 - q75 |
| 6 | q-105 - 2q-104 + q-102 - q-101 + 2q-100 + 6q-98 - 8q-97 - 4q-96 + 2q-95 - 6q-94 + 6q-93 + 5q-92 + 24q-91 - 16q-90 - 13q-89 - 2q-88 - 24q-87 + q-86 + 11q-85 + 68q-84 - 11q-83 - 15q-82 - 7q-81 - 65q-80 - 36q-79 - q-78 + 138q-77 + 24q-76 + 16q-75 + 7q-74 - 131q-73 - 137q-72 - 73q-71 + 218q-70 + 110q-69 + 136q-68 + 106q-67 - 197q-66 - 349q-65 - 318q-64 + 189q-63 + 198q-62 + 430q-61 + 495q-60 - 43q-59 - 575q-58 - 865q-57 - 273q-56 - 91q-55 + 697q-54 + 1324q-53 + 819q-52 - 209q-51 - 1346q-50 - 1309q-49 - 1421q-48 + 63q-47 + 1976q-46 + 2461q-45 + 1556q-44 - 585q-43 - 2006q-42 - 3716q-41 - 2351q-40 + 1004q-39 + 3659q-38 + 4414q-37 + 2267q-36 - 767q-35 - 5445q-34 - 5926q-33 - 2274q-32 + 2769q-31 + 6590q-30 + 6262q-29 + 2778q-28 - 5052q-27 - 8716q-26 - 6551q-25 - 234q-24 + 6703q-23 + 9374q-22 + 7021q-21 - 2813q-20 - 9540q-19 - 9816q-18 - 3632q-17 + 5239q-16 + 10636q-15 + 10104q-14 - 363q-13 - 8975q-12 - 11344q-11 - 5906q-10 + 3630q-9 + 10656q-8 + 11594q-7 + 1201q-6 - 8178q-5 - 11777q-4 - 6974q-3 + 2594q-2 + 10367q-1 + 12175 + 2073q - 7547q2 - 11869q3 - 7588q4 + 1757q5 + 9958q6 + 12455q7 + 3009q8 - 6577q9 - 11641q10 - 8265q11 + 378q12 + 8854q13 + 12348q14 + 4401q15 - 4578q16 - 10454q17 - 8756q18 - 1798q19 + 6402q20 + 11139q21 + 5789q22 - 1494q23 - 7695q24 - 8164q25 - 4030q26 + 2753q27 + 8225q28 + 6012q29 + 1584q30 - 3712q31 - 5794q32 - 4873q33 - 705q34 + 4125q35 + 4297q36 + 2988q37 - 140q38 - 2296q39 - 3568q40 - 2229q41 + 644q42 + 1459q43 + 2125q44 + 1337q45 + 444q46 - 1177q47 - 1517q48 - 698q49 - 591q50 + 320q51 + 767q52 + 1178q53 + 397q54 - 99q55 - 271q56 - 914q57 - 667q58 - 241q59 + 565q60 + 536q61 + 516q62 + 372q63 - 330q64 - 548q65 - 526q66 - 19q67 + 112q68 + 330q69 + 432q70 + 68q71 - 156q72 - 295q73 - 111q74 - 93q75 + 57q76 + 211q77 + 96q78 + 7q79 - 90q80 - 30q81 - 68q82 - 27q83 + 66q84 + 36q85 + 15q86 - 23q87 + 6q88 - 20q89 - 20q90 + 19q91 + 8q92 + 4q93 - 9q94 + 6q95 - 2q96 - 8q97 + 6q98 + q99 + q100 - 3q101 + q102 + q103 - 2q104 + q105 |
| 7 | - q-140 + 2q-139 - q-137 + q-136 - 2q-135 - 2q-133 - 2q-132 + 8q-131 + 2q-130 - q-129 + 5q-128 - 8q-127 - 4q-126 - 9q-125 - 12q-124 + 21q-123 + 10q-122 + 4q-121 + 18q-120 - 10q-119 - 5q-118 - 26q-117 - 46q-116 + 27q-115 + 18q-114 + 12q-113 + 47q-112 - 4q-111 + 15q-110 - 33q-109 - 99q-108 + 16q-107 + 16q-106 + 20q-105 + 79q-104 - 12q-103 + 34q-102 - 30q-101 - 164q-100 + 8q-99 + 29q-98 + 80q-97 + 178q-96 - 8q-95 + 10q-94 - 122q-93 - 356q-92 - 111q-91 - 5q-90 + 224q-89 + 536q-88 + 302q-87 + 209q-86 - 200q-85 - 809q-84 - 694q-83 - 613q-82 - 39q-81 + 932q-80 + 1181q-79 + 1368q-78 + 703q-77 - 724q-76 - 1505q-75 - 2326q-74 - 1989q-73 - 242q-72 + 1360q-71 + 3284q-70 + 3731q-69 + 2082q-68 - 121q-67 - 3506q-66 - 5650q-65 - 4992q-64 - 2556q-63 + 2498q-62 + 6977q-61 + 8299q-60 + 6782q-59 + 624q-58 - 6715q-57 - 11427q-56 - 12248q-55 - 5889q-54 + 4179q-53 + 13049q-52 + 17871q-51 + 13144q-50 + 1252q-49 - 12248q-48 - 22652q-47 - 21429q-46 - 9186q-45 + 8488q-44 + 25272q-43 + 29386q-42 + 18893q-41 - 1708q-40 - 25090q-39 - 36015q-38 - 29046q-37 - 7075q-36 + 22061q-35 + 40149q-34 + 38327q-33 + 16973q-32 - 16736q-31 - 41831q-30 - 45825q-29 - 26394q-28 + 10162q-27 + 41114q-26 + 51036q-25 + 34612q-24 - 3416q-23 - 39011q-22 - 54014q-21 - 40824q-20 - 2630q-19 + 36057q-18 + 55326q-17 + 45276q-16 + 7352q-15 - 33341q-14 - 55467q-13 - 47832q-12 - 10821q-11 + 30840q-10 + 55178q-9 + 49578q-8 + 13058q-7 - 29332q-6 - 54737q-5 - 50289q-4 - 14603q-3 + 27899q-2 + 54457q-1 + 51271 + 15814q - 27166q2 - 54289q3 - 51798q4 - 17175q5 + 25786q6 + 54019q7 + 52980q8 + 19016q9 - 24259q10 - 53399q11 - 53812q12 - 21480q13 + 21366q14 + 51883q15 + 54826q16 + 24703q17 - 17473q18 - 49189q19 - 54978q20 - 28330q21 + 11958q22 + 44726q23 + 54193q24 + 32074q25 - 5362q26 - 38441q27 - 51586q28 - 35127q29 - 2078q30 + 30303q31 + 47008q32 + 36757q33 + 9319q34 - 20861q35 - 40119q36 - 36280q37 - 15545q38 + 11041q39 + 31503q40 + 33263q41 + 19532q42 - 1941q43 - 21771q44 - 27868q45 - 20874q46 - 5240q47 + 12334q48 + 20798q49 + 19270q50 + 9591q51 - 4249q52 - 13089q53 - 15404q54 - 11012q55 - 1433q56 + 6218q57 + 10291q58 + 9705q59 + 4263q60 - 943q61 - 5112q62 - 6860q63 - 4695q64 - 1978q65 + 1124q66 + 3448q67 + 3296q68 + 2838q69 + 1375q70 - 599q71 - 1363q72 - 2218q73 - 2133q74 - 1102q75 - 482q76 + 921q77 + 1815q78 + 1716q79 + 1515q80 + 249q81 - 921q82 - 1439q83 - 1804q84 - 988q85 + 97q86 + 813q87 + 1506q88 + 1187q89 + 444q90 - 230q91 - 1017q92 - 977q93 - 589q94 - 178q95 + 501q96 + 685q97 + 559q98 + 291q99 - 225q100 - 363q101 - 337q102 - 302q103 + 13q104 + 167q105 + 237q106 + 220q107 - 7q108 - 65q109 - 83q110 - 127q111 - 38q112 + 57q114 + 93q115 + 2q116 - 14q117 - 8q118 - 30q119 - 6q120 - 15q121 + 6q122 + 33q123 - 2q124 - 7q125 - 2q126 - 5q127 + 5q128 - 5q129 - 3q130 + 10q131 - q132 - 3q133 - q134 - q135 + 3q136 - q137 - q138 + 2q139 - q140 |
Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):
In[1]:= |
<< KnotTheory` |
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)... | |
In[2]:= | PD[Knot[10, 48]] |
Out[2]= | PD[X[6, 2, 7, 1], X[8, 4, 9, 3], X[14, 6, 15, 5], X[20, 15, 1, 16], > X[16, 9, 17, 10], X[18, 11, 19, 12], X[10, 17, 11, 18], X[12, 19, 13, 20], > X[2, 8, 3, 7], X[4, 14, 5, 13]] |
In[3]:= | GaussCode[Knot[10, 48]] |
Out[3]= | GaussCode[1, -9, 2, -10, 3, -1, 9, -2, 5, -7, 6, -8, 10, -3, 4, -5, 7, -6, 8, > -4] |
In[4]:= | DTCode[Knot[10, 48]] |
Out[4]= | DTCode[6, 8, 14, 2, 16, 18, 4, 20, 10, 12] |
In[5]:= | br = BR[Knot[10, 48]] |
Out[5]= | BR[3, {-1, -1, -1, -1, 2, 2, -1, 2, 2, 2}] |
In[6]:= | {First[br], Crossings[br]} |
Out[6]= | {3, 10} |
In[7]:= | BraidIndex[Knot[10, 48]] |
Out[7]= | 3 |
In[8]:= | Show[DrawMorseLink[Knot[10, 48]]] |
| |
Out[8]= | -Graphics- |
In[9]:= | #[Knot[10, 48]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex} |
Out[9]= | {Reversible, 2, 4, 3, NotAvailable, 1} |
In[10]:= | alex = Alexander[Knot[10, 48]][t] |
Out[10]= | -4 3 6 9 2 3 4
11 + t - -- + -- - - - 9 t + 6 t - 3 t + t
3 2 t
t t |
In[11]:= | Conway[Knot[10, 48]][z] |
Out[11]= | 2 4 6 8 1 + 4 z + 8 z + 5 z + z |
In[12]:= | Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&] |
Out[12]= | {Knot[10, 48]} |
In[13]:= | {KnotDet[Knot[10, 48]], KnotSignature[Knot[10, 48]]} |
Out[13]= | {49, 0} |
In[14]:= | Jones[Knot[10, 48]][q] |
Out[14]= | -5 2 4 6 7 2 3 4 5
9 - q + -- - -- + -- - - - 7 q + 6 q - 4 q + 2 q - q
4 3 2 q
q q q |
In[15]:= | Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&] |
Out[15]= | {Knot[10, 48]} |
In[16]:= | A2Invariant[Knot[10, 48]][q] |
Out[16]= | -14 2 4 2 10 14
1 - q - --- + -- + 4 q - 2 q - q
10 2
q q |
In[17]:= | HOMFLYPT[Knot[10, 48]][a, z] |
Out[17]= | 2 4 6
4 2 2 8 z 2 2 4 5 z 2 4 6 z
9 - -- - 4 a + 20 z - ---- - 8 a z + 18 z - ---- - 5 a z + 7 z - -- -
2 2 2 2
a a a a
2 6 8
> a z + z |
In[18]:= | Kauffman[Knot[10, 48]][a, z] |
Out[18]= | 2 2
4 2 z 3 z 9 z 5 2 z 13 z
9 + -- + 4 a + -- - --- - --- - 7 a z + 2 a z - 27 z + -- - ----- -
2 5 3 a 4 2
a a a a a
3 3 3
2 2 4 2 3 z 8 z 21 z 3 3 3 5 3
> 11 a z + 2 a z - ---- + ---- + ----- + 12 a z - a z - 3 a z +
5 3 a
a a
4 4 5 5 5
4 5 z 18 z 2 4 4 4 z 9 z 11 z 5
> 37 z - ---- + ----- + 9 a z - 5 a z + -- - ---- - ----- - 5 a z -
4 2 5 3 a
a a a a
6 6 7 7
3 5 5 5 6 2 z 11 z 2 6 4 6 3 z z
> 3 a z + a z - 20 z + ---- - ----- - 5 a z + 2 a z + ---- + -- +
4 2 3 a
a a a
8 9
3 7 8 3 z 2 8 z 9
> 2 a z + 5 z + ---- + 2 a z + -- + a z
2 a
a |
In[19]:= | {Vassiliev[2][Knot[10, 48]], Vassiliev[3][Knot[10, 48]]} |
Out[19]= | {4, 0} |
In[20]:= | Kh[Knot[10, 48]][q, t] |
Out[20]= | 5 1 1 1 3 1 3 3 4 3
- + 5 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- +
q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t
q t q t q t q t q t q t q t q t
3 3 2 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4
> 3 q t + 4 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t +
11 5
> q t |
In[21]:= | ColouredJones[Knot[10, 48], 2][q] |
Out[21]= | -15 2 5 7 -10 14 16 5 30 25 15 47 28
56 + q - --- + --- - --- - q + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- -
14 12 11 9 8 7 6 5 4 3 2
q q q q q q q q q q q
26 2 3 4 5 6 7 8 9
> -- - 24 q - 30 q + 48 q - 14 q - 27 q + 31 q - 3 q - 19 q + 14 q +
q
10 11 12 13 14 15
> 2 q - 9 q + 4 q + q - 2 q + q |
| Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 1048 |
|
