The Alternating Knot 10₄₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,10,4,11 X_11,1,12,20 X_5,13,6,12 X_15,18,16,19 X_13,9,14,8 X_17,7,18,6 X_7,17,8,16 X_19,14,20,15 X_9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 10, -2, 1, -4, 7, -8, 6, -10, 2, -3, 4, -6, 9, -5, 8, -7, 5, -9, 3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 12 16 2 20 8 18 6 14

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 3 2 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: - t^-3 + 7t^-2 - 19t^-1 + 27 - 19t + 7t² - t³

Conway Polynomial: 1 + z⁴ - z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₇₅, ...}

Determinant and Signature: {81, 0}

Jones Polynomial: - q^-5 + 4q^-4 - 7q^-3 + 10q^-2 - 13q^-1 + 14 - 12q + 10q² - 6q³ + 3q⁴ - q⁵

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-16 + q^-14 + 2q^-12 - 2q^-10 + 2q^-8 - q^-6 - 2q^-4 + 2q^-2 - 2 + 3q² - q⁴ + q⁶ + 3q⁸ - 2q¹⁰ + q¹² - q¹⁶

HOMFLY-PT Polynomial: - a^-4 - a^-4z² + 3a^-2 + 4a^-2z² + 2a^-2z⁴ - 2 - 5z² - 3z⁴ - z⁶ + a² + 3a²z² + 2a²z⁴ - a⁴z²

Kauffman Polynomial: a^-5z - 2a^-5z³ + a^-5z⁵ - a^-4 + 4a^-4z² - 6a^-4z⁴ + 3a^-4z⁶ + a^-3z - 5a^-3z⁵ + 4a^-3z⁷ - 3a^-2 + 9a^-2z² - 11a^-2z⁴ + 2a^-2z⁶ + 3a^-2z⁸ - a^-1z + 10a^-1z³ - 18a^-1z⁵ + 9a^-1z⁷ + a^-1z⁹ - 2 + 9z² - 8z⁴ - 5z⁶ + 7z⁸ - az + 14az³ - 24az⁵ + 11az⁷ + az⁹ - a² + 6a²z² - 10a²z⁴ + 4a²z⁸ + 5a³z³ - 11a³z⁵ + 6a³z⁷ + 2a⁴z² - 7a⁴z⁴ + 4a⁴z⁶ - a⁵z³ + a⁵z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, 1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 10₄₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5

j = 11 1

j = 9 2

j = 7 4 1

j = 5 6 2

j = 3 6 4

j = 1 8 6

j = -1 6 7

j = -3 4 7

j = -5 3 6

j = -7 1 4

j = -9 3

j = -11 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-15 - 4q^-14 + 2q^-13 + 13q^-12 - 23q^-11 - 2q^-10 + 49q^-9 - 53q^-8 - 23q^-7 + 105q^-6 - 77q^-5 - 59q^-4 + 155q^-3 - 82q^-2 - 92q^-1 + 171 - 64q - 102q² + 142q³ - 33q⁴ - 83q⁵ + 87q⁶ - 8q⁷ - 47q⁸ + 36q⁹ + q¹⁰ - 17q¹¹ + 9q¹² + q¹³ - 3q¹⁴ + q¹⁵

3 - q^-30 + 4q^-29 - 2q^-28 - 8q^-27 + 22q^-25 + 8q^-24 - 50q^-23 - 21q^-22 + 80q^-21 + 62q^-20 - 125q^-19 - 123q^-18 + 162q^-17 + 221q^-16 - 194q^-15 - 338q^-14 + 197q^-13 + 478q^-12 - 176q^-11 - 621q^-10 + 130q^-9 + 750q^-8 - 58q^-7 - 861q^-6 - 22q^-5 + 933q^-4 + 111q^-3 - 966q^-2 - 201q^-1 + 965 + 269q - 901q² - 342q³ + 820q⁴ + 372q⁵ - 686q⁶ - 398q⁷ + 556q⁸ + 373q⁹ - 402q¹⁰ - 343q¹¹ + 281q¹² + 276q¹³ - 169q¹⁴ - 213q¹⁵ + 96q¹⁶ + 147q¹⁷ - 48q¹⁸ - 92q¹⁹ + 20q²⁰ + 54q²¹ - 8q²² - 28q²³ + 2q²⁴ + 14q²⁵ - 2q²⁶ - 4q²⁷ - q²⁸ + 3q²⁹ - q³⁰

4 q^-50 - 4q^-49 + 2q^-48 + 8q^-47 - 5q^-46 + q^-45 - 28q^-44 + 10q^-43 + 51q^-42 - 5q^-41 + 7q^-40 - 138q^-39 - 12q^-38 + 180q^-37 + 75q^-36 + 77q^-35 - 428q^-34 - 201q^-33 + 355q^-32 + 370q^-31 + 436q^-30 - 882q^-29 - 791q^-28 + 311q^-27 + 896q^-26 + 1390q^-25 - 1195q^-24 - 1814q^-23 - 344q^-22 + 1333q^-21 + 2990q^-20 - 935q^-19 - 2915q^-18 - 1695q^-17 + 1257q^-16 + 4813q^-15 + 2q^-14 - 3599q^-13 - 3343q^-12 + 567q^-11 + 6272q^-10 + 1273q^-9 - 3651q^-8 - 4735q^-7 - 472q^-6 + 6992q^-5 + 2454q^-4 - 3141q^-3 - 5539q^-2 - 1547q^-1 + 6874 + 3290q - 2202q² - 5610q³ - 2472q⁴ + 5911q⁵ + 3638q⁶ - 964q⁷ - 4903q⁸ - 3068q⁹ + 4275q¹⁰ + 3362q¹¹ + 252q¹² - 3536q¹³ - 3080q¹⁴ + 2420q¹⁵ + 2480q¹⁶ + 1001q¹⁷ - 1952q¹⁸ - 2441q¹⁹ + 962q²⁰ + 1355q²¹ + 1067q²² - 730q²³ - 1479q²⁴ + 220q²⁵ + 487q²⁶ + 698q²⁷ - 135q²⁸ - 675q²⁹ + 21q³⁰ + 79q³¹ + 311q³² + 19q³³ - 238q³⁴ + 10q³⁵ - 17q³⁶ + 101q³⁷ + 19q³⁸ - 70q³⁹ + 12q⁴⁰ - 13q⁴¹ + 24q⁴² + 6q⁴³ - 17q⁴⁴ + 5q⁴⁵ - 3q⁴⁶ + 4q⁴⁷ + q⁴⁸ - 3q⁴⁹ + q⁵⁰

5 - q^-75 + 4q^-74 - 2q^-73 - 8q^-72 + 5q^-71 + 4q^-70 + 5q^-69 + 10q^-68 - 11q^-67 - 42q^-66 - 9q^-65 + 40q^-64 + 59q^-63 + 52q^-62 - 43q^-61 - 157q^-60 - 147q^-59 + 66q^-58 + 297q^-57 + 304q^-56 + 9q^-55 - 466q^-54 - 684q^-53 - 216q^-52 + 709q^-51 + 1213q^-50 + 673q^-49 - 747q^-48 - 2023q^-47 - 1635q^-46 + 616q^-45 + 2946q^-44 + 3072q^-43 + 175q^-42 - 3838q^-41 - 5196q^-40 - 1692q^-39 + 4377q^-38 + 7722q^-37 + 4304q^-36 - 4214q^-35 - 10516q^-34 - 7882q^-33 + 2967q^-32 + 13096q^-31 + 12393q^-30 - 508q^-29 - 15097q^-28 - 17379q^-27 - 3187q^-26 + 16124q^-25 + 22452q^-24 + 7881q^-23 - 16043q^-22 - 27139q^-21 - 13144q^-20 + 14857q^-19 + 31012q^-18 + 18600q^-17 - 12724q^-16 - 33989q^-15 - 23743q^-14 + 9991q^-13 + 35842q^-12 + 28326q^-11 - 6833q^-10 - 36748q^-9 - 32176q^-8 + 3586q^-7 + 36751q^-6 + 35133q^-5 - 297q^-4 - 35844q^-3 - 37344q^-2 - 3005q^-1 + 34306 + 38607q + 6170q² - 31716q³ - 39128q⁴ - 9407q⁵ + 28556q⁶ + 38592q⁷ + 12329q⁸ - 24325q⁹ - 37109q¹⁰ - 15088q¹¹ + 19693q¹² + 34404q¹³ + 17093q¹⁴ - 14368q¹⁵ - 30748q¹⁶ - 18367q¹⁷ + 9281q¹⁸ + 26052q¹⁹ + 18430q²⁰ - 4338q²¹ - 20927q²² - 17499q²³ + 515q²⁴ + 15569q²⁵ + 15418q²⁶ + 2413q²⁷ - 10675q²⁸ - 12778q²⁹ - 3918q³⁰ + 6524q³¹ + 9727q³² + 4446q³³ - 3399q³⁴ - 6891q³⁵ - 4089q³⁶ + 1336q³⁷ + 4448q³⁸ + 3295q³⁹ - 174q⁴⁰ - 2609q⁴¹ - 2369q⁴² - 335q⁴³ + 1390q⁴⁴ + 1525q⁴⁵ + 441q⁴⁶ - 652q⁴⁷ - 895q⁴⁸ - 362q⁴⁹ + 268q⁵⁰ + 472q⁵¹ + 247q⁵² - 94q⁵³ - 246q⁵⁴ - 123q⁵⁵ + 32q⁵⁶ + 92q⁵⁷ + 76q⁵⁸ - 4q⁵⁹ - 61q⁶⁰ - 22q⁶¹ + 15q⁶² + 5q⁶³ + 14q⁶⁴ + 6q⁶⁵ - 19q⁶⁶ - 2q⁶⁷ + 9q⁶⁸ - 2q⁶⁹ + 3q⁷¹ - 4q⁷² - q⁷³ + 3q⁷⁴ - q⁷⁵

6 q^-105 - 4q^-104 + 2q^-103 + 8q^-102 - 5q^-101 - 4q^-100 - 10q^-99 + 13q^-98 - 9q^-97 + 2q^-96 + 56q^-95 - 21q^-94 - 34q^-93 - 70q^-92 + 25q^-91 - 11q^-90 + 38q^-89 + 245q^-88 + 3q^-87 - 128q^-86 - 345q^-85 - 75q^-84 - 135q^-83 + 171q^-82 + 912q^-81 + 411q^-80 - 105q^-79 - 1118q^-78 - 816q^-77 - 1059q^-76 + 73q^-75 + 2525q^-74 + 2351q^-73 + 1254q^-72 - 1956q^-71 - 2949q^-70 - 4827q^-69 - 2360q^-68 + 4257q^-67 + 7283q^-66 + 7282q^-65 + 502q^-64 - 5111q^-63 - 13760q^-62 - 12270q^-61 + 829q^-60 + 13322q^-59 + 21341q^-58 + 13729q^-57 + 233q^-56 - 25159q^-55 - 34183q^-54 - 17987q^-53 + 10400q^-52 + 39656q^-51 + 43531q^-50 + 25938q^-49 - 26233q^-48 - 63031q^-47 - 58887q^-46 - 16736q^-45 + 46746q^-44 + 83485q^-43 + 78817q^-42 + 89q^-41 - 80950q^-40 - 113579q^-39 - 74446q^-38 + 24490q^-37 + 113814q^-36 + 148227q^-35 + 59047q^-34 - 69449q^-33 - 160412q^-32 - 149949q^-31 - 30797q^-30 + 116148q^-29 + 210884q^-28 + 136032q^-27 - 26187q^-26 - 181014q^-25 - 219323q^-24 - 103404q^-23 + 88868q^-22 + 248492q^-21 + 207469q^-20 + 33490q^-19 - 173522q^-18 - 265266q^-17 - 171321q^-16 + 45577q^-15 + 258526q^-14 + 257811q^-13 + 90808q^-12 - 148659q^-11 - 285311q^-10 - 221687q^-9 + 851q^-8 + 248726q^-7 + 285172q^-6 + 136678q^-5 - 116420q^-4 - 285199q^-3 - 253840q^-2 - 40151q^-1 + 225157 + 293833q + 172140q² - 78381q³ - 268101q⁴ - 271004q⁵ - 79907q⁶ + 186735q⁷ + 284430q⁸ + 199336q⁹ - 31288q¹⁰ - 230869q¹¹ - 271255q¹² - 118981q¹³ + 130253q¹⁴ + 251697q¹⁵ + 213252q¹⁶ + 22996q¹⁷ - 170374q¹⁸ - 246790q¹⁹ - 148641q²⁰ + 60606q²¹ + 192258q²² + 202829q²³ + 71254q²⁴ - 94056q²⁵ - 193435q²⁶ - 154179q²⁷ - 4531q²⁸ + 115410q²⁹ + 162497q³⁰ + 95027q³¹ - 22705q³² - 121598q³³ - 128648q³⁴ - 43908q³⁵ + 43737q³⁶ + 103029q³⁷ + 86415q³⁸ + 21699q³⁹ - 54530q⁴⁰ - 83078q⁴¹ - 49786q⁴² - 1478q⁴³ + 47214q⁴⁴ + 56719q⁴⁵ + 33120q⁴⁶ - 11906q⁴⁷ - 39308q⁴⁸ - 33986q⁴⁹ - 16249q⁵⁰ + 12367q⁵¹ + 26411q⁵² + 24111q⁵³ + 4104q⁵⁴ - 12243q⁵⁵ - 15336q⁵⁶ - 13020q⁵⁷ - 883q⁵⁸ + 8038q⁵⁹ + 11604q⁶⁰ + 4993q⁶¹ - 1677q⁶² - 4255q⁶³ - 6126q⁶⁴ - 2506q⁶⁵ + 1120q⁶⁶ + 3991q⁶⁷ + 2247q⁶⁸ + 400q⁶⁹ - 386q⁷⁰ - 1957q⁷¹ - 1234q⁷² - 247q⁷³ + 1074q⁷⁴ + 558q⁷⁵ + 226q⁷⁶ + 246q⁷⁷ - 452q⁷⁸ - 357q⁷⁹ - 188q⁸⁰ + 278q⁸¹ + 58q⁸² + 12q⁸³ + 142q⁸⁴ - 82q⁸⁵ - 70q⁸⁶ - 60q⁸⁷ + 86q⁸⁸ - 10q⁸⁹ - 24q⁹⁰ + 43q⁹¹ - 15q⁹² - 8q⁹³ - 16q⁹⁴ + 26q⁹⁵ - 3q⁹⁶ - 13q⁹⁷ + 10q⁹⁸ - 3q⁹⁹ - 3q¹⁰¹ + 4q¹⁰² + q¹⁰³ - 3q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

7 - q^-140 + 4q^-139 - 2q^-138 - 8q^-137 + 5q^-136 + 4q^-135 + 10q^-134 - 8q^-133 - 14q^-132 + 18q^-131 - 16q^-130 - 26q^-129 + 15q^-128 + 28q^-127 + 66q^-126 - 84q^-124 + 2q^-123 - 86q^-122 - 93q^-121 + 50q^-120 + 104q^-119 + 342q^-118 + 168q^-117 - 196q^-116 - 192q^-115 - 511q^-114 - 489q^-113 - 12q^-112 + 311q^-111 + 1253q^-110 + 1254q^-109 + 206q^-108 - 475q^-107 - 2048q^-106 - 2493q^-105 - 1432q^-104 - 87q^-103 + 3349q^-102 + 5180q^-101 + 3948q^-100 + 1471q^-99 - 4379q^-98 - 8679q^-97 - 8804q^-96 - 6076q^-95 + 3750q^-94 + 13498q^-93 + 17365q^-92 + 15060q^-91 + 333q^-90 - 17206q^-89 - 28858q^-88 - 31391q^-87 - 12917q^-86 + 16682q^-85 + 43145q^-84 + 56669q^-83 + 37019q^-82 - 6172q^-81 - 54219q^-80 - 90031q^-79 - 78691q^-78 - 22760q^-77 + 56006q^-76 + 128257q^-75 + 138478q^-74 + 76965q^-73 - 36153q^-72 - 161283q^-71 - 215248q^-70 - 163584q^-69 - 16501q^-68 + 176997q^-67 + 299690q^-66 + 282537q^-65 + 113143q^-64 - 158524q^-63 - 378044q^-62 - 428329q^-61 - 258616q^-60 + 91177q^-59 + 431464q^-58 + 587036q^-57 + 450853q^-56 + 35159q^-55 - 441543q^-54 - 739167q^-53 - 677958q^-52 - 222568q^-51 + 393030q^-50 + 863573q^-49 + 921634q^-48 + 463105q^-47 - 279709q^-46 - 941446q^-45 - 1158720q^-44 - 740119q^-43 + 104171q^-42 + 960514q^-41 + 1367720q^-40 + 1031950q^-39 + 121088q^-38 - 918421q^-37 - 1531842q^-36 - 1314951q^-35 - 376909q^-34 + 820823q^-33 + 1641511q^-32 + 1569865q^-31 + 642729q^-30 - 681338q^-29 - 1697143q^-28 - 1782938q^-27 - 897664q^-26 + 516567q^-25 + 1703789q^-24 + 1948019q^-23 + 1128311q^-22 - 342493q^-21 - 1673538q^-20 - 2066590q^-19 - 1325047q^-18 + 173080q^-17 + 1617049q^-16 + 2143372q^-15 + 1486754q^-14 - 15206q^-13 - 1544878q^-12 - 2187595q^-11 - 1616309q^-10 - 127526q^-9 + 1463840q^-8 + 2205824q^-7 + 1718961q^-6 + 258317q^-5 - 1374811q^-4 - 2204147q^-3 - 1802949q^-2 - 381868q^-1 + 1277658 + 2183982q + 1870844q² + 504543q³ - 1164334q⁴ - 2143080q⁵ - 1927208q⁶ - 631895q⁷ + 1031400q⁸ + 2076303q⁹ + 1966588q¹⁰ + 765068q¹¹ - 870106q¹² - 1975202q¹³ - 1985471q¹⁴ - 902127q¹⁵ + 680777q¹⁶ + 1833493q¹⁷ + 1971461q¹⁸ + 1034026q¹⁹ - 463543q²⁰ - 1645792q²¹ - 1916400q²² - 1149070q²³ + 230043q²⁴ + 1413656q²⁵ + 1809274q²⁶ + 1231458q²⁷ + 6973q²⁸ - 1144652q²⁹ - 1649021q³⁰ - 1266872q³¹ - 225537q³² + 854364q³³ + 1436582q³⁴ + 1245076q³⁵ + 408420q³⁶ - 563742q³⁷ - 1187158q³⁸ - 1163497q³⁹ - 535701q⁴⁰ + 296158q⁴¹ + 916785q⁴² + 1028201q⁴³ + 601272q⁴⁴ - 72082q⁴⁵ - 651727q⁴⁶ - 854811q⁴⁷ - 602378q⁴⁸ - 93172q⁴⁹ + 411680q⁵⁰ + 662844q⁵¹ + 551107q⁵² + 195751q⁵³ - 215963q⁵⁴ - 475372q⁵⁵ - 462581q⁵⁶ - 239009q⁵⁷ + 72475q⁵⁸ + 309554q⁵⁹ + 357199q⁶⁰ + 236472q⁶¹ + 18404q⁶² - 178244q⁶³ - 252925q⁶⁴ - 203636q⁶⁵ - 64195q⁶⁶ + 84805q⁶⁷ + 162762q⁶⁸ + 157054q⁶⁹ + 77235q⁷⁰ - 26432q⁷¹ - 93765q⁷² - 109765q⁷³ - 70303q⁷⁴ - 3985q⁷⁵ + 46745q⁷⁶ + 69469q⁷⁷ + 54408q⁷⁸ + 15834q⁷⁹ - 18405q⁸⁰ - 39863q⁸¹ - 37372q⁸² - 16927q⁸³ + 3910q⁸⁴ + 20467q⁸⁵ + 23059q⁸⁶ + 13363q⁸⁷ + 2078q⁸⁸ - 9112q⁸⁹ - 12907q⁹⁰ - 8987q⁹¹ - 3579q⁹² + 3479q⁹³ + 6668q⁹⁴ + 5152q⁹⁵ + 2958q⁹⁶ - 857q⁹⁷ - 2958q⁹⁸ - 2711q⁹⁹ - 2189q¹⁰⁰ + 17q¹⁰¹ + 1409q¹⁰² + 1212q¹⁰³ + 1122q¹⁰⁴ + 176q¹⁰⁵ - 399q¹⁰⁶ - 431q¹⁰⁷ - 760q¹⁰⁸ - 187q¹⁰⁹ + 265q¹¹⁰ + 169q¹¹¹ + 258q¹¹² + 38q¹¹³ - 9q¹¹⁴ + 37q¹¹⁵ - 197q¹¹⁶ - 77q¹¹⁷ + 66q¹¹⁸ + 13q¹¹⁹ + 44q¹²⁰ - 26q¹²¹ + 53q¹²³ - 42q¹²⁴ - 21q¹²⁵ + 16q¹²⁶ + 2q¹²⁷ + 10q¹²⁸ - 16q¹²⁹ - 4q¹³⁰ + 18q¹³¹ - 6q¹³² - 5q¹³³ + 3q¹³⁴ + 3q¹³⁶ - 4q¹³⁷ - q¹³⁸ + 3q¹³⁹ - q¹⁴⁰

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 42]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[11, 1, 12, 20], X[5, 13, 6, 12], > X[15, 18, 16, 19], X[13, 9, 14, 8], X[17, 7, 18, 6], X[7, 17, 8, 16], > X[19, 14, 20, 15], X[9, 2, 10, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 42]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 10, -2, 1, -4, 7, -8, 6, -10, 2, -3, 4, -6, 9, -5, 8, -7, 5, -9, > 3]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 42]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 12, 16, 2, 20, 8, 18, 6, 14]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 42]]

Out[5]=
BR[5, {-1, -1, 2, -1, 2, -3, 2, 4, -3, 4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 42]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 42]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 42]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 3, 2, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 42]][t]

Out[10]=
-3 7 19 2 3 27 - t + -- - -- - 19 t + 7 t - t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 42]][z]

Out[11]=
4 6 1 + z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 42], Knot[10, 75]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 42]], KnotSignature[Knot[10, 42]]}

Out[13]=
{81, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 42]][q]

Out[14]=
-5 4 7 10 13 2 3 4 5 14 - q + -- - -- + -- - -- - 12 q + 10 q - 6 q + 3 q - q 4 3 2 q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 42]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 42]][q]

Out[16]=
-16 -14 2 2 2 -6 2 2 2 4 6 8 -2 - q + q + --- - --- + -- - q - -- + -- + 3 q - q + q + 3 q - 12 10 8 4 2 q q q q q 10 12 16 > 2 q + q - q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 42]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 -4 3 2 2 z 4 z 2 2 4 2 4 2 z -2 - a + -- + a - 5 z - -- + ---- + 3 a z - a z - 3 z + ---- + 2 4 2 2 a a a a 2 4 6 > 2 a z - z

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 42]][a, z]

Out[18]=
2 2 -4 3 2 z z z 2 4 z 9 z 2 2 -2 - a - -- - a + -- + -- - - - a z + 9 z + ---- + ---- + 6 a z + 2 5 3 a 4 2 a a a a a 3 3 4 4 4 2 2 z 10 z 3 3 3 5 3 4 6 z 11 z > 2 a z - ---- + ----- + 14 a z + 5 a z - a z - 8 z - ---- - ----- - 5 a 4 2 a a a 5 5 5 2 4 4 4 z 5 z 18 z 5 3 5 5 5 > 10 a z - 7 a z + -- - ---- - ----- - 24 a z - 11 a z + a z - 5 3 a a a 6 6 7 7 6 3 z 2 z 4 6 4 z 9 z 7 3 7 8 > 5 z + ---- + ---- + 4 a z + ---- + ---- + 11 a z + 6 a z + 7 z + 4 2 3 a a a a 8 9 3 z 2 8 z 9 > ---- + 4 a z + -- + a z 2 a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 42]], Vassiliev[3][Knot[10, 42]]}

Out[19]=
{0, 1}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 42]][q, t]

Out[20]=
7 1 3 1 4 3 6 4 7 6 - + 8 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 > 6 q t + 6 q t + 4 q t + 6 q t + 2 q t + 4 q t + q t + 2 q t + 11 5 > q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 42], 2][q]

Out[21]=
-15 4 2 13 23 2 49 53 23 105 77 59 155 171 + q - --- + --- + --- - --- - --- + -- - -- - -- + --- - -- - -- + --- - 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 q q q q q q q q q q q q 82 92 2 3 4 5 6 7 8 > -- - -- - 64 q - 102 q + 142 q - 33 q - 83 q + 87 q - 8 q - 47 q + 2 q q 9 10 11 12 13 14 15 > 36 q + q - 17 q + 9 q + q - 3 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₄₂

10₄₁
10₄₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-15 - 4q^-14 + 2q^-13 + 13q^-12 - 23q^-11 - 2q^-10 + 49q^-9 - 53q^-8 - 23q^-7 + 105q^-6 - 77q^-5 - 59q^-4 + 155q^-3 - 82q^-2 - 92q^-1 + 171 - 64q - 102q² + 142q³ - 33q⁴ - 83q⁵ + 87q⁶ - 8q⁷ - 47q⁸ + 36q⁹ + q¹⁰ - 17q¹¹ + 9q¹² + q¹³ - 3q¹⁴ + q¹⁵
3	- q^-30 + 4q^-29 - 2q^-28 - 8q^-27 + 22q^-25 + 8q^-24 - 50q^-23 - 21q^-22 + 80q^-21 + 62q^-20 - 125q^-19 - 123q^-18 + 162q^-17 + 221q^-16 - 194q^-15 - 338q^-14 + 197q^-13 + 478q^-12 - 176q^-11 - 621q^-10 + 130q^-9 + 750q^-8 - 58q^-7 - 861q^-6 - 22q^-5 + 933q^-4 + 111q^-3 - 966q^-2 - 201q^-1 + 965 + 269q - 901q² - 342q³ + 820q⁴ + 372q⁵ - 686q⁶ - 398q⁷ + 556q⁸ + 373q⁹ - 402q¹⁰ - 343q¹¹ + 281q¹² + 276q¹³ - 169q¹⁴ - 213q¹⁵ + 96q¹⁶ + 147q¹⁷ - 48q¹⁸ - 92q¹⁹ + 20q²⁰ + 54q²¹ - 8q²² - 28q²³ + 2q²⁴ + 14q²⁵ - 2q²⁶ - 4q²⁷ - q²⁸ + 3q²⁹ - q³⁰
4	q^-50 - 4q^-49 + 2q^-48 + 8q^-47 - 5q^-46 + q^-45 - 28q^-44 + 10q^-43 + 51q^-42 - 5q^-41 + 7q^-40 - 138q^-39 - 12q^-38 + 180q^-37 + 75q^-36 + 77q^-35 - 428q^-34 - 201q^-33 + 355q^-32 + 370q^-31 + 436q^-30 - 882q^-29 - 791q^-28 + 311q^-27 + 896q^-26 + 1390q^-25 - 1195q^-24 - 1814q^-23 - 344q^-22 + 1333q^-21 + 2990q^-20 - 935q^-19 - 2915q^-18 - 1695q^-17 + 1257q^-16 + 4813q^-15 + 2q^-14 - 3599q^-13 - 3343q^-12 + 567q^-11 + 6272q^-10 + 1273q^-9 - 3651q^-8 - 4735q^-7 - 472q^-6 + 6992q^-5 + 2454q^-4 - 3141q^-3 - 5539q^-2 - 1547q^-1 + 6874 + 3290q - 2202q² - 5610q³ - 2472q⁴ + 5911q⁵ + 3638q⁶ - 964q⁷ - 4903q⁸ - 3068q⁹ + 4275q¹⁰ + 3362q¹¹ + 252q¹² - 3536q¹³ - 3080q¹⁴ + 2420q¹⁵ + 2480q¹⁶ + 1001q¹⁷ - 1952q¹⁸ - 2441q¹⁹ + 962q²⁰ + 1355q²¹ + 1067q²² - 730q²³ - 1479q²⁴ + 220q²⁵ + 487q²⁶ + 698q²⁷ - 135q²⁸ - 675q²⁹ + 21q³⁰ + 79q³¹ + 311q³² + 19q³³ - 238q³⁴ + 10q³⁵ - 17q³⁶ + 101q³⁷ + 19q³⁸ - 70q³⁹ + 12q⁴⁰ - 13q⁴¹ + 24q⁴² + 6q⁴³ - 17q⁴⁴ + 5q⁴⁵ - 3q⁴⁶ + 4q⁴⁷ + q⁴⁸ - 3q⁴⁹ + q⁵⁰
5	- q^-75 + 4q^-74 - 2q^-73 - 8q^-72 + 5q^-71 + 4q^-70 + 5q^-69 + 10q^-68 - 11q^-67 - 42q^-66 - 9q^-65 + 40q^-64 + 59q^-63 + 52q^-62 - 43q^-61 - 157q^-60 - 147q^-59 + 66q^-58 + 297q^-57 + 304q^-56 + 9q^-55 - 466q^-54 - 684q^-53 - 216q^-52 + 709q^-51 + 1213q^-50 + 673q^-49 - 747q^-48 - 2023q^-47 - 1635q^-46 + 616q^-45 + 2946q^-44 + 3072q^-43 + 175q^-42 - 3838q^-41 - 5196q^-40 - 1692q^-39 + 4377q^-38 + 7722q^-37 + 4304q^-36 - 4214q^-35 - 10516q^-34 - 7882q^-33 + 2967q^-32 + 13096q^-31 + 12393q^-30 - 508q^-29 - 15097q^-28 - 17379q^-27 - 3187q^-26 + 16124q^-25 + 22452q^-24 + 7881q^-23 - 16043q^-22 - 27139q^-21 - 13144q^-20 + 14857q^-19 + 31012q^-18 + 18600q^-17 - 12724q^-16 - 33989q^-15 - 23743q^-14 + 9991q^-13 + 35842q^-12 + 28326q^-11 - 6833q^-10 - 36748q^-9 - 32176q^-8 + 3586q^-7 + 36751q^-6 + 35133q^-5 - 297q^-4 - 35844q^-3 - 37344q^-2 - 3005q^-1 + 34306 + 38607q + 6170q² - 31716q³ - 39128q⁴ - 9407q⁵ + 28556q⁶ + 38592q⁷ + 12329q⁸ - 24325q⁹ - 37109q¹⁰ - 15088q¹¹ + 19693q¹² + 34404q¹³ + 17093q¹⁴ - 14368q¹⁵ - 30748q¹⁶ - 18367q¹⁷ + 9281q¹⁸ + 26052q¹⁹ + 18430q²⁰ - 4338q²¹ - 20927q²² - 17499q²³ + 515q²⁴ + 15569q²⁵ + 15418q²⁶ + 2413q²⁷ - 10675q²⁸ - 12778q²⁹ - 3918q³⁰ + 6524q³¹ + 9727q³² + 4446q³³ - 3399q³⁴ - 6891q³⁵ - 4089q³⁶ + 1336q³⁷ + 4448q³⁸ + 3295q³⁹ - 174q⁴⁰ - 2609q⁴¹ - 2369q⁴² - 335q⁴³ + 1390q⁴⁴ + 1525q⁴⁵ + 441q⁴⁶ - 652q⁴⁷ - 895q⁴⁸ - 362q⁴⁹ + 268q⁵⁰ + 472q⁵¹ + 247q⁵² - 94q⁵³ - 246q⁵⁴ - 123q⁵⁵ + 32q⁵⁶ + 92q⁵⁷ + 76q⁵⁸ - 4q⁵⁹ - 61q⁶⁰ - 22q⁶¹ + 15q⁶² + 5q⁶³ + 14q⁶⁴ + 6q⁶⁵ - 19q⁶⁶ - 2q⁶⁷ + 9q⁶⁸ - 2q⁶⁹ + 3q⁷¹ - 4q⁷² - q⁷³ + 3q⁷⁴ - q⁷⁵
6	q^-105 - 4q^-104 + 2q^-103 + 8q^-102 - 5q^-101 - 4q^-100 - 10q^-99 + 13q^-98 - 9q^-97 + 2q^-96 + 56q^-95 - 21q^-94 - 34q^-93 - 70q^-92 + 25q^-91 - 11q^-90 + 38q^-89 + 245q^-88 + 3q^-87 - 128q^-86 - 345q^-85 - 75q^-84 - 135q^-83 + 171q^-82 + 912q^-81 + 411q^-80 - 105q^-79 - 1118q^-78 - 816q^-77 - 1059q^-76 + 73q^-75 + 2525q^-74 + 2351q^-73 + 1254q^-72 - 1956q^-71 - 2949q^-70 - 4827q^-69 - 2360q^-68 + 4257q^-67 + 7283q^-66 + 7282q^-65 + 502q^-64 - 5111q^-63 - 13760q^-62 - 12270q^-61 + 829q^-60 + 13322q^-59 + 21341q^-58 + 13729q^-57 + 233q^-56 - 25159q^-55 - 34183q^-54 - 17987q^-53 + 10400q^-52 + 39656q^-51 + 43531q^-50 + 25938q^-49 - 26233q^-48 - 63031q^-47 - 58887q^-46 - 16736q^-45 + 46746q^-44 + 83485q^-43 + 78817q^-42 + 89q^-41 - 80950q^-40 - 113579q^-39 - 74446q^-38 + 24490q^-37 + 113814q^-36 + 148227q^-35 + 59047q^-34 - 69449q^-33 - 160412q^-32 - 149949q^-31 - 30797q^-30 + 116148q^-29 + 210884q^-28 + 136032q^-27 - 26187q^-26 - 181014q^-25 - 219323q^-24 - 103404q^-23 + 88868q^-22 + 248492q^-21 + 207469q^-20 + 33490q^-19 - 173522q^-18 - 265266q^-17 - 171321q^-16 + 45577q^-15 + 258526q^-14 + 257811q^-13 + 90808q^-12 - 148659q^-11 - 285311q^-10 - 221687q^-9 + 851q^-8 + 248726q^-7 + 285172q^-6 + 136678q^-5 - 116420q^-4 - 285199q^-3 - 253840q^-2 - 40151q^-1 + 225157 + 293833q + 172140q² - 78381q³ - 268101q⁴ - 271004q⁵ - 79907q⁶ + 186735q⁷ + 284430q⁸ + 199336q⁹ - 31288q¹⁰ - 230869q¹¹ - 271255q¹² - 118981q¹³ + 130253q¹⁴ + 251697q¹⁵ + 213252q¹⁶ + 22996q¹⁷ - 170374q¹⁸ - 246790q¹⁹ - 148641q²⁰ + 60606q²¹ + 192258q²² + 202829q²³ + 71254q²⁴ - 94056q²⁵ - 193435q²⁶ - 154179q²⁷ - 4531q²⁸ + 115410q²⁹ + 162497q³⁰ + 95027q³¹ - 22705q³² - 121598q³³ - 128648q³⁴ - 43908q³⁵ + 43737q³⁶ + 103029q³⁷ + 86415q³⁸ + 21699q³⁹ - 54530q⁴⁰ - 83078q⁴¹ - 49786q⁴² - 1478q⁴³ + 47214q⁴⁴ + 56719q⁴⁵ + 33120q⁴⁶ - 11906q⁴⁷ - 39308q⁴⁸ - 33986q⁴⁹ - 16249q⁵⁰ + 12367q⁵¹ + 26411q⁵² + 24111q⁵³ + 4104q⁵⁴ - 12243q⁵⁵ - 15336q⁵⁶ - 13020q⁵⁷ - 883q⁵⁸ + 8038q⁵⁹ + 11604q⁶⁰ + 4993q⁶¹ - 1677q⁶² - 4255q⁶³ - 6126q⁶⁴ - 2506q⁶⁵ + 1120q⁶⁶ + 3991q⁶⁷ + 2247q⁶⁸ + 400q⁶⁹ - 386q⁷⁰ - 1957q⁷¹ - 1234q⁷² - 247q⁷³ + 1074q⁷⁴ + 558q⁷⁵ + 226q⁷⁶ + 246q⁷⁷ - 452q⁷⁸ - 357q⁷⁹ - 188q⁸⁰ + 278q⁸¹ + 58q⁸² + 12q⁸³ + 142q⁸⁴ - 82q⁸⁵ - 70q⁸⁶ - 60q⁸⁷ + 86q⁸⁸ - 10q⁸⁹ - 24q⁹⁰ + 43q⁹¹ - 15q⁹² - 8q⁹³ - 16q⁹⁴ + 26q⁹⁵ - 3q⁹⁶ - 13q⁹⁷ + 10q⁹⁸ - 3q⁹⁹ - 3q¹⁰¹ + 4q¹⁰² + q¹⁰³ - 3q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵
7	- q^-140 + 4q^-139 - 2q^-138 - 8q^-137 + 5q^-136 + 4q^-135 + 10q^-134 - 8q^-133 - 14q^-132 + 18q^-131 - 16q^-130 - 26q^-129 + 15q^-128 + 28q^-127 + 66q^-126 - 84q^-124 + 2q^-123 - 86q^-122 - 93q^-121 + 50q^-120 + 104q^-119 + 342q^-118 + 168q^-117 - 196q^-116 - 192q^-115 - 511q^-114 - 489q^-113 - 12q^-112 + 311q^-111 + 1253q^-110 + 1254q^-109 + 206q^-108 - 475q^-107 - 2048q^-106 - 2493q^-105 - 1432q^-104 - 87q^-103 + 3349q^-102 + 5180q^-101 + 3948q^-100 + 1471q^-99 - 4379q^-98 - 8679q^-97 - 8804q^-96 - 6076q^-95 + 3750q^-94 + 13498q^-93 + 17365q^-92 + 15060q^-91 + 333q^-90 - 17206q^-89 - 28858q^-88 - 31391q^-87 - 12917q^-86 + 16682q^-85 + 43145q^-84 + 56669q^-83 + 37019q^-82 - 6172q^-81 - 54219q^-80 - 90031q^-79 - 78691q^-78 - 22760q^-77 + 56006q^-76 + 128257q^-75 + 138478q^-74 + 76965q^-73 - 36153q^-72 - 161283q^-71 - 215248q^-70 - 163584q^-69 - 16501q^-68 + 176997q^-67 + 299690q^-66 + 282537q^-65 + 113143q^-64 - 158524q^-63 - 378044q^-62 - 428329q^-61 - 258616q^-60 + 91177q^-59 + 431464q^-58 + 587036q^-57 + 450853q^-56 + 35159q^-55 - 441543q^-54 - 739167q^-53 - 677958q^-52 - 222568q^-51 + 393030q^-50 + 863573q^-49 + 921634q^-48 + 463105q^-47 - 279709q^-46 - 941446q^-45 - 1158720q^-44 - 740119q^-43 + 104171q^-42 + 960514q^-41 + 1367720q^-40 + 1031950q^-39 + 121088q^-38 - 918421q^-37 - 1531842q^-36 - 1314951q^-35 - 376909q^-34 + 820823q^-33 + 1641511q^-32 + 1569865q^-31 + 642729q^-30 - 681338q^-29 - 1697143q^-28 - 1782938q^-27 - 897664q^-26 + 516567q^-25 + 1703789q^-24 + 1948019q^-23 + 1128311q^-22 - 342493q^-21 - 1673538q^-20 - 2066590q^-19 - 1325047q^-18 + 173080q^-17 + 1617049q^-16 + 2143372q^-15 + 1486754q^-14 - 15206q^-13 - 1544878q^-12 - 2187595q^-11 - 1616309q^-10 - 127526q^-9 + 1463840q^-8 + 2205824q^-7 + 1718961q^-6 + 258317q^-5 - 1374811q^-4 - 2204147q^-3 - 1802949q^-2 - 381868q^-1 + 1277658 + 2183982q + 1870844q² + 504543q³ - 1164334q⁴ - 2143080q⁵ - 1927208q⁶ - 631895q⁷ + 1031400q⁸ + 2076303q⁹ + 1966588q¹⁰ + 765068q¹¹ - 870106q¹² - 1975202q¹³ - 1985471q¹⁴ - 902127q¹⁵ + 680777q¹⁶ + 1833493q¹⁷ + 1971461q¹⁸ + 1034026q¹⁹ - 463543q²⁰ - 1645792q²¹ - 1916400q²² - 1149070q²³ + 230043q²⁴ + 1413656q²⁵ + 1809274q²⁶ + 1231458q²⁷ + 6973q²⁸ - 1144652q²⁹ - 1649021q³⁰ - 1266872q³¹ - 225537q³² + 854364q³³ + 1436582q³⁴ + 1245076q³⁵ + 408420q³⁶ - 563742q³⁷ - 1187158q³⁸ - 1163497q³⁹ - 535701q⁴⁰ + 296158q⁴¹ + 916785q⁴² + 1028201q⁴³ + 601272q⁴⁴ - 72082q⁴⁵ - 651727q⁴⁶ - 854811q⁴⁷ - 602378q⁴⁸ - 93172q⁴⁹ + 411680q⁵⁰ + 662844q⁵¹ + 551107q⁵² + 195751q⁵³ - 215963q⁵⁴ - 475372q⁵⁵ - 462581q⁵⁶ - 239009q⁵⁷ + 72475q⁵⁸ + 309554q⁵⁹ + 357199q⁶⁰ + 236472q⁶¹ + 18404q⁶² - 178244q⁶³ - 252925q⁶⁴ - 203636q⁶⁵ - 64195q⁶⁶ + 84805q⁶⁷ + 162762q⁶⁸ + 157054q⁶⁹ + 77235q⁷⁰ - 26432q⁷¹ - 93765q⁷² - 109765q⁷³ - 70303q⁷⁴ - 3985q⁷⁵ + 46745q⁷⁶ + 69469q⁷⁷ + 54408q⁷⁸ + 15834q⁷⁹ - 18405q⁸⁰ - 39863q⁸¹ - 37372q⁸² - 16927q⁸³ + 3910q⁸⁴ + 20467q⁸⁵ + 23059q⁸⁶ + 13363q⁸⁷ + 2078q⁸⁸ - 9112q⁸⁹ - 12907q⁹⁰ - 8987q⁹¹ - 3579q⁹² + 3479q⁹³ + 6668q⁹⁴ + 5152q⁹⁵ + 2958q⁹⁶ - 857q⁹⁷ - 2958q⁹⁸ - 2711q⁹⁹ - 2189q¹⁰⁰ + 17q¹⁰¹ + 1409q¹⁰² + 1212q¹⁰³ + 1122q¹⁰⁴ + 176q¹⁰⁵ - 399q¹⁰⁶ - 431q¹⁰⁷ - 760q¹⁰⁸ - 187q¹⁰⁹ + 265q¹¹⁰ + 169q¹¹¹ + 258q¹¹² + 38q¹¹³ - 9q¹¹⁴ + 37q¹¹⁵ - 197q¹¹⁶ - 77q¹¹⁷ + 66q¹¹⁸ + 13q¹¹⁹ + 44q¹²⁰ - 26q¹²¹ + 53q¹²³ - 42q¹²⁴ - 21q¹²⁵ + 16q¹²⁶ + 2q¹²⁷ + 10q¹²⁸ - 16q¹²⁹ - 4q¹³⁰ + 18q¹³¹ - 6q¹³² - 5q¹³³ + 3q¹³⁴ + 3q¹³⁶ - 4q¹³⁷ - q¹³⁸ + 3q¹³⁹ - q¹⁴⁰

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 42]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[11, 1, 12, 20], X[5, 13, 6, 12], > X[15, 18, 16, 19], X[13, 9, 14, 8], X[17, 7, 18, 6], X[7, 17, 8, 16], > X[19, 14, 20, 15], X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 42]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 10, -2, 1, -4, 7, -8, 6, -10, 2, -3, 4, -6, 9, -5, 8, -7, 5, -9, > 3]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 42]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 16, 2, 20, 8, 18, 6, 14]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 42]]
Out[5]=	BR[5, {-1, -1, 2, -1, 2, -3, 2, 4, -3, 4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 42]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 42]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 42]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 3, 2, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 42]][t]
Out[10]=	-3 7 19 2 3 27 - t + -- - -- - 19 t + 7 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 42]][z]
Out[11]=	4 6 1 + z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 42], Knot[10, 75]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 42]], KnotSignature[Knot[10, 42]]}
Out[13]=	{81, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 42]][q]
Out[14]=	-5 4 7 10 13 2 3 4 5 14 - q + -- - -- + -- - -- - 12 q + 10 q - 6 q + 3 q - q 4 3 2 q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 42]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 42]][q]
Out[16]=	-16 -14 2 2 2 -6 2 2 2 4 6 8 -2 - q + q + --- - --- + -- - q - -- + -- + 3 q - q + q + 3 q - 12 10 8 4 2 q q q q q 10 12 16 > 2 q + q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 42]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 -4 3 2 2 z 4 z 2 2 4 2 4 2 z -2 - a + -- + a - 5 z - -- + ---- + 3 a z - a z - 3 z + ---- + 2 4 2 2 a a a a 2 4 6 > 2 a z - z
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 42]][a, z]
Out[18]=	2 2 -4 3 2 z z z 2 4 z 9 z 2 2 -2 - a - -- - a + -- + -- - - - a z + 9 z + ---- + ---- + 6 a z + 2 5 3 a 4 2 a a a a a 3 3 4 4 4 2 2 z 10 z 3 3 3 5 3 4 6 z 11 z > 2 a z - ---- + ----- + 14 a z + 5 a z - a z - 8 z - ---- - ----- - 5 a 4 2 a a a 5 5 5 2 4 4 4 z 5 z 18 z 5 3 5 5 5 > 10 a z - 7 a z + -- - ---- - ----- - 24 a z - 11 a z + a z - 5 3 a a a 6 6 7 7 6 3 z 2 z 4 6 4 z 9 z 7 3 7 8 > 5 z + ---- + ---- + 4 a z + ---- + ---- + 11 a z + 6 a z + 7 z + 4 2 3 a a a a 8 9 3 z 2 8 z 9 > ---- + 4 a z + -- + a z 2 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 42]], Vassiliev[3][Knot[10, 42]]}
Out[19]=	{0, 1}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 42]][q, t]
Out[20]=	7 1 3 1 4 3 6 4 7 6 - + 8 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 > 6 q t + 6 q t + 4 q t + 6 q t + 2 q t + 4 q t + q t + 2 q t + 11 5 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 42], 2][q]
Out[21]=	-15 4 2 13 23 2 49 53 23 105 77 59 155 171 + q - --- + --- + --- - --- - --- + -- - -- - -- + --- - -- - -- + --- - 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 q q q q q q q q q q q q 82 92 2 3 4 5 6 7 8 > -- - -- - 64 q - 102 q + 142 q - 33 q - 83 q + 87 q - 8 q - 47 q + 2 q q 9 10 11 12 13 14 15 > 36 q + q - 17 q + 9 q + q - 3 q + q

The Alternating Knot 1042

The Alternating Knot 10₄₂