The Alternating Knot 10₄₁

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,12,6,13 X_3,11,4,10 X_11,3,12,2 X_9,20,10,1 X_15,19,16,18 X_13,8,14,9 X_17,6,18,7 X_7,16,8,17 X_19,15,20,14

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, 8, -9, 7, -5, 3, -4, 2, -7, 10, -6, 9, -8, 6, -10, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 12 16 20 2 8 18 6 14

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 2 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: t^-3 - 7t^-2 + 17t^-1 - 21 + 17t - 7t² + t³

Conway Polynomial: 1 - 2z² - z⁴ + z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n5, ...}

Determinant and Signature: {71, -2}

Jones Polynomial: q^-7 - 3q^-6 + 6q^-5 - 9q^-4 + 11q^-3 - 12q^-2 + 11q^-1 - 8 + 6q - 3q² + q³

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {10₉₄, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-22 - q^-18 + 2q^-16 - 2q^-14 + q^-10 - 2q^-8 + 2q^-6 - 2q^-4 + 2q^-2 + 1 - q² + 2q⁴ - q⁶ + q¹⁰

HOMFLY-PT Polynomial: a^-2 + a^-2z² - 1 - 4z² - 2z⁴ + 2a² + 4a²z² + 3a²z⁴ + a²z⁶ - 2a⁴ - 4a⁴z² - 2a⁴z⁴ + a⁶ + a⁶z²

Kauffman Polynomial: - a^-2 + 3a^-2z² - 3a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - a^-1z + 7a^-1z³ - 9a^-1z⁵ + 3a^-1z⁷ - 1 + 7z² - 4z⁴ - 5z⁶ + 3z⁸ - 2az + 13az³ - 20az⁵ + 6az⁷ + az⁹ - 2a² + 9a²z² - 8a²z⁴ - 7a²z⁶ + 6a²z⁸ - 2a³z + 10a³z³ - 18a³z⁵ + 8a³z⁷ + a³z⁹ - 2a⁴ + 10a⁴z² - 14a⁴z⁴ + 4a⁴z⁶ + 3a⁴z⁸ + a⁵z³ - 4a⁵z⁵ + 5a⁵z⁷ - a⁶ + 4a⁶z² - 6a⁶z⁴ + 5a⁶z⁶ + a⁷z - 3a⁷z³ + 3a⁷z⁵ - a⁸z² + a⁸z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-2, 2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 10₄₁. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 7 1

j = 5 2

j = 3 4 1

j = 1 4 2

j = -1 7 4

j = -3 6 5

j = -5 5 6

j = -7 4 6

j = -9 2 5

j = -11 1 4

j = -13 2

j = -15 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-20 - 3q^-19 + 2q^-18 + 7q^-17 - 17q^-16 + 8q^-15 + 24q^-14 - 47q^-13 + 18q^-12 + 53q^-11 - 86q^-10 + 22q^-9 + 85q^-8 - 110q^-7 + 12q^-6 + 103q^-5 - 104q^-4 - 6q^-3 + 97q^-2 - 74q^-1 - 19 + 71q - 37q² - 22q³ + 37q⁴ - 10q⁵ - 13q⁶ + 11q⁷ - 3q⁹ + q¹⁰

3 q^-39 - 3q^-38 + 2q^-37 + 3q^-36 - q^-35 - 11q^-34 + 6q^-33 + 20q^-32 - 12q^-31 - 36q^-30 + 24q^-29 + 59q^-28 - 40q^-27 - 97q^-26 + 66q^-25 + 146q^-24 - 91q^-23 - 213q^-22 + 114q^-21 + 293q^-20 - 130q^-19 - 373q^-18 + 124q^-17 + 452q^-16 - 105q^-15 - 510q^-14 + 67q^-13 + 546q^-12 - 19q^-11 - 553q^-10 - 36q^-9 + 535q^-8 + 93q^-7 - 500q^-6 - 137q^-5 + 436q^-4 + 187q^-3 - 375q^-2 - 207q^-1 + 287 + 230q - 214q² - 216q³ + 129q⁴ + 198q⁵ - 67q⁶ - 157q⁷ + 15q⁸ + 117q⁹ + 9q¹⁰ - 71q¹¹ - 22q¹² + 39q¹³ + 20q¹⁴ - 17q¹⁵ - 13q¹⁶ + 6q¹⁷ + 5q¹⁸ - 3q²⁰ + q²¹

4 q^-64 - 3q^-63 + 2q^-62 + 3q^-61 - 5q^-60 + 5q^-59 - 13q^-58 + 12q^-57 + 14q^-56 - 26q^-55 + 16q^-54 - 37q^-53 + 44q^-52 + 41q^-51 - 92q^-50 + 27q^-49 - 63q^-48 + 144q^-47 + 91q^-46 - 266q^-45 - 12q^-44 - 74q^-43 + 409q^-42 + 230q^-41 - 609q^-40 - 235q^-39 - 119q^-38 + 929q^-37 + 600q^-36 - 1057q^-35 - 749q^-34 - 361q^-33 + 1608q^-32 + 1293q^-31 - 1359q^-30 - 1432q^-29 - 916q^-28 + 2127q^-27 + 2135q^-26 - 1285q^-25 - 1940q^-24 - 1656q^-23 + 2217q^-22 + 2774q^-21 - 874q^-20 - 2026q^-19 - 2279q^-18 + 1883q^-17 + 2980q^-16 - 320q^-15 - 1710q^-14 - 2619q^-13 + 1288q^-12 + 2791q^-11 + 235q^-10 - 1157q^-9 - 2665q^-8 + 577q^-7 + 2302q^-6 + 713q^-5 - 475q^-4 - 2422q^-3 - 122q^-2 + 1579q^-1 + 981 + 210q - 1864q² - 604q³ + 746q⁴ + 898q⁵ + 682q⁶ - 1095q⁷ - 692q⁸ + 69q⁹ + 517q¹⁰ + 757q¹¹ - 398q¹² - 445q¹³ - 231q¹⁴ + 119q¹⁵ + 507q¹⁶ - 28q¹⁷ - 141q¹⁸ - 196q¹⁹ - 67q²⁰ + 206q²¹ + 45q²² + 8q²³ - 73q²⁴ - 64q²⁵ + 48q²⁶ + 15q²⁷ + 20q²⁸ - 10q²⁹ - 20q³⁰ + 6q³¹ + 5q³³ - 3q³⁵ + q³⁶

5 q^-95 - 3q^-94 + 2q^-93 + 3q^-92 - 5q^-91 + q^-90 + 3q^-89 - 7q^-88 + 6q^-87 + 10q^-86 - 15q^-85 - 5q^-84 + 11q^-83 - 4q^-82 + 11q^-81 + 5q^-80 - 33q^-79 - 15q^-78 + 40q^-77 + 49q^-76 + 8q^-75 - 73q^-74 - 131q^-73 - 23q^-72 + 195q^-71 + 279q^-70 + 44q^-69 - 378q^-68 - 563q^-67 - 136q^-66 + 667q^-65 + 1045q^-64 + 366q^-63 - 1041q^-62 - 1829q^-61 - 813q^-60 + 1475q^-59 + 2906q^-58 + 1630q^-57 - 1827q^-56 - 4354q^-55 - 2896q^-54 + 2020q^-53 + 6007q^-52 + 4654q^-51 - 1824q^-50 - 7734q^-49 - 6881q^-48 + 1143q^-47 + 9335q^-46 + 9366q^-45 + 49q^-44 - 10492q^-43 - 11907q^-42 - 1751q^-41 + 11134q^-40 + 14226q^-39 + 3685q^-38 - 11104q^-37 - 16046q^-36 - 5751q^-35 + 10522q^-34 + 17257q^-33 + 7641q^-32 - 9471q^-31 - 17800q^-30 - 9242q^-29 + 8139q^-28 + 17727q^-27 + 10462q^-26 - 6620q^-25 - 17182q^-24 - 11311q^-23 + 5044q^-22 + 16226q^-21 + 11872q^-20 - 3440q^-19 - 14968q^-18 - 12163q^-17 + 1751q^-16 + 13474q^-15 + 12281q^-14 - 108q^-13 - 11696q^-12 - 12094q^-11 - 1663q^-10 + 9709q^-9 + 11732q^-8 + 3196q^-7 - 7467q^-6 - 10866q^-5 - 4708q^-4 + 5110q^-3 + 9762q^-2 + 5675q^-1 - 2747 - 8086q - 6309q² + 563q³ + 6272q⁴ + 6215q⁵ + 1215q⁶ - 4183q⁷ - 5669q⁸ - 2444q⁹ + 2290q¹⁰ + 4575q¹¹ + 3036q¹² - 616q¹³ - 3320q¹⁴ - 3034q¹⁵ - 495q¹⁶ + 1963q¹⁷ + 2580q¹⁸ + 1169q¹⁹ - 890q²⁰ - 1893q²¹ - 1294q²² + 98q²³ + 1143q²⁴ + 1162q²⁵ + 309q²⁶ - 557q²⁷ - 822q²⁸ - 440q²⁹ + 156q³⁰ + 488q³¹ + 388q³² + 48q³³ - 231q³⁴ - 274q³⁵ - 98q³⁶ + 81q³⁷ + 136q³⁸ + 98q³⁹ - 3q⁴⁰ - 73q⁴¹ - 57q⁴² - 3q⁴³ + 15q⁴⁴ + 24q⁴⁵ + 20q⁴⁶ - 10q⁴⁷ - 13q⁴⁸ - q⁴⁹ + 5q⁵² - 3q⁵⁴ + q⁵⁵

6 q^-132 - 3q^-131 + 2q^-130 + 3q^-129 - 5q^-128 + q^-127 - q^-126 + 9q^-125 - 13q^-124 + 2q^-123 + 21q^-122 - 26q^-121 + 2q^-120 + 3q^-119 + 29q^-118 - 40q^-117 - 10q^-116 + 67q^-115 - 70q^-114 + 12q^-113 + 36q^-112 + 83q^-111 - 132q^-110 - 92q^-109 + 128q^-108 - 142q^-107 + 123q^-106 + 219q^-105 + 249q^-104 - 392q^-103 - 487q^-102 + 10q^-101 - 302q^-100 + 595q^-99 + 1025q^-98 + 891q^-97 - 920q^-96 - 1814q^-95 - 1077q^-94 - 997q^-93 + 1822q^-92 + 3610q^-91 + 3269q^-90 - 1321q^-89 - 5025q^-88 - 5031q^-87 - 3947q^-86 + 3611q^-85 + 9688q^-84 + 10205q^-83 + 543q^-82 - 10274q^-81 - 14492q^-80 - 12899q^-79 + 3455q^-78 + 19731q^-77 + 25188q^-76 + 9323q^-75 - 14530q^-74 - 30078q^-73 - 31958q^-72 - 4180q^-71 + 29880q^-70 + 48458q^-69 + 29527q^-68 - 11158q^-67 - 46714q^-66 - 60527q^-65 - 24051q^-64 + 32174q^-63 + 73183q^-62 + 59611q^-61 + 4988q^-60 - 55055q^-59 - 90038q^-58 - 53732q^-57 + 21109q^-56 + 88627q^-55 + 89805q^-54 + 30992q^-53 - 49394q^-52 - 109059q^-51 - 82953q^-50 - 124q^-49 + 89073q^-48 + 109001q^-47 + 56857q^-46 - 33077q^-45 - 112526q^-44 - 101680q^-43 - 22271q^-42 + 77868q^-41 + 113419q^-40 + 74179q^-39 - 14318q^-38 - 104025q^-37 - 107583q^-36 - 38712q^-35 + 62045q^-34 + 107014q^-33 + 82006q^-32 + 1943q^-31 - 89622q^-30 - 104730q^-29 - 49560q^-28 + 45142q^-27 + 94960q^-26 + 84162q^-25 + 16414q^-24 - 71826q^-23 - 97096q^-22 - 57964q^-21 + 26256q^-20 + 78682q^-19 + 83078q^-18 + 31243q^-17 - 49669q^-16 - 84666q^-15 - 64503q^-14 + 4383q^-13 + 56713q^-12 + 76917q^-11 + 45146q^-10 - 22978q^-9 - 65037q^-8 - 65382q^-7 - 17439q^-6 + 29106q^-5 + 62043q^-4 + 52563q^-3 + 3894q^-2 - 38220q^-1 - 55786 - 32044q + 1043q² + 38313q³ + 47836q⁴ + 22642q⁵ - 10156q⁶ - 35689q⁷ - 33135q⁸ - 18421q⁹ + 12391q¹⁰ + 31357q¹¹ + 26828q¹² + 9494q¹³ - 12620q¹⁴ - 21653q¹⁵ - 23111q¹⁶ - 5657q¹⁷ + 11488q¹⁸ + 18223q¹⁹ + 14993q²⁰ + 3169q²¹ - 6530q²² - 15749q²³ - 10728q²⁴ - 1711q²⁵ + 6133q²⁶ + 9801q²⁷ + 7427q²⁸ + 2853q²⁹ - 5672q³⁰ - 6815q³¹ - 5025q³² - 1036q³³ + 2707q³⁴ + 4486q³⁵ + 4402q³⁶ - 12q³⁷ - 1764q³⁸ - 2865q³⁹ - 2167q⁴⁰ - 733q⁴¹ + 1026q⁴² + 2312q⁴³ + 974q⁴⁴ + 398q⁴⁵ - 608q⁴⁶ - 932q⁴⁷ - 953q⁴⁸ - 255q⁴⁹ + 601q⁵⁰ + 367q⁵¹ + 456q⁵² + 110q⁵³ - 95q⁵⁴ - 367q⁵⁵ - 242q⁵⁶ + 63q⁵⁷ + 9q⁵⁸ + 135q⁵⁹ + 89q⁶⁰ + 62q⁶¹ - 73q⁶² - 68q⁶³ + 4q⁶⁴ - 27q⁶⁵ + 15q⁶⁶ + 15q⁶⁷ + 29q⁶⁸ - 10q⁶⁹ - 13q⁷⁰ + 6q⁷¹ - 7q⁷² + 5q⁷⁵ - 3q⁷⁷ + q⁷⁸

7 q^-175 - 3q^-174 + 2q^-173 + 3q^-172 - 5q^-171 + q^-170 - q^-169 + 5q^-168 + 3q^-167 - 17q^-166 + 13q^-165 + 10q^-164 - 19q^-163 + 4q^-162 - 5q^-161 + 18q^-160 + 8q^-159 - 58q^-158 + 38q^-157 + 34q^-156 - 36q^-155 + 24q^-154 - 28q^-153 + 32q^-152 - 3q^-151 - 168q^-150 + 71q^-149 + 107q^-148 + 27q^-147 + 162q^-146 - 66q^-145 - 48q^-144 - 169q^-143 - 530q^-142 + 31q^-141 + 325q^-140 + 505q^-139 + 862q^-138 + 73q^-137 - 426q^-136 - 1089q^-135 - 1911q^-134 - 574q^-133 + 852q^-132 + 2379q^-131 + 3622q^-130 + 1531q^-129 - 1171q^-128 - 4360q^-127 - 6875q^-126 - 3923q^-125 + 1268q^-124 + 7721q^-123 + 12522q^-122 + 8471q^-121 - 548q^-120 - 12382q^-119 - 21548q^-118 - 17000q^-117 - 2489q^-116 + 18291q^-115 + 35373q^-114 + 31648q^-113 + 9734q^-112 - 24540q^-111 - 54676q^-110 - 54708q^-109 - 24306q^-108 + 28709q^-107 + 79332q^-106 + 88736q^-105 + 50119q^-104 - 27646q^-103 - 108038q^-102 - 134545q^-101 - 90360q^-100 + 16367q^-99 + 136538q^-98 + 191585q^-97 + 148231q^-96 + 10073q^-95 - 160059q^-94 - 256327q^-93 - 223315q^-92 - 55721q^-91 + 171536q^-90 + 322316q^-89 + 313046q^-88 + 122682q^-87 - 165017q^-86 - 382051q^-85 - 411023q^-84 - 208698q^-83 + 136688q^-82 + 426833q^-81 + 507937q^-80 + 308775q^-79 - 85577q^-78 - 450571q^-77 - 594816q^-76 - 414116q^-75 + 15962q^-74 + 450056q^-73 + 662652q^-72 + 514775q^-71 + 66032q^-70 - 426152q^-69 - 706850q^-68 - 602189q^-67 - 151130q^-66 + 384010q^-65 + 725758q^-64 + 669613q^-63 + 231138q^-62 - 329990q^-61 - 722203q^-60 - 714860q^-59 - 299629q^-58 + 271792q^-57 + 701339q^-56 + 738647q^-55 + 353345q^-54 - 215267q^-53 - 669088q^-52 - 744700q^-51 - 392270q^-50 + 163718q^-49 + 630766q^-48 + 738229q^-47 + 418986q^-46 - 118240q^-45 - 590117q^-44 - 723423q^-43 - 437224q^-42 + 76868q^-41 + 548224q^-40 + 704227q^-39 + 451185q^-38 - 37239q^-37 - 504643q^-36 - 681906q^-35 - 463670q^-34 - 3979q^-33 + 457319q^-32 + 656253q^-31 + 476008q^-30 + 49238q^-29 - 403628q^-28 - 625688q^-27 - 487955q^-26 - 99047q^-25 + 341870q^-24 + 586987q^-23 + 496546q^-22 + 153051q^-21 - 270228q^-20 - 537948q^-19 - 499106q^-18 - 207640q^-17 + 190604q^-16 + 475838q^-15 + 489935q^-14 + 258719q^-13 - 104271q^-12 - 400552q^-11 - 466762q^-10 - 300224q^-9 + 18020q^-8 + 313588q^-7 + 425090q^-6 + 326287q^-5 + 63541q^-4 - 219039q^-3 - 366700q^-2 - 332406q^-1 - 131266 + 123886q + 292537q² + 315818q³ + 180193q⁴ - 35602q⁵ - 209941q⁶ - 278016q⁷ - 204535q⁸ - 37376q⁹ + 125841q¹⁰ + 223127q¹¹ + 204314q¹² + 89082q¹³ - 49939q¹⁴ - 158894q¹⁵ - 181668q¹⁶ - 116323q¹⁷ - 10861q¹⁸ + 94365q¹⁹ + 143664q²⁰ + 120100q²¹ + 50949q²² - 37985q²³ - 98015q²⁴ - 105251q²⁵ - 70199q²⁶ - 4146q²⁷ + 54279q²⁸ + 79120q²⁹ + 70628q³⁰ + 29217q³¹ - 18218q³² - 49299q³³ - 58918q³⁴ - 38811q³⁵ - 5655q³⁶ + 23044q³⁷ + 40873q³⁸ + 36288q³⁹ + 17772q⁴⁰ - 3654q⁴¹ - 22959q⁴² - 27579q⁴³ - 20157q⁴⁴ - 7103q⁴⁵ + 8893q⁴⁶ + 16829q⁴⁷ + 16620q⁴⁸ + 10960q⁴⁹ - 50q⁵⁰ - 7761q⁵¹ - 10979q⁵² - 10138q⁵³ - 3848q⁵⁴ + 1829q⁵⁵ + 5569q⁵⁶ + 7157q⁵⁷ + 4471q⁵⁸ + 1249q⁵⁹ - 1785q⁶⁰ - 4216q⁶¹ - 3479q⁶² - 1965q⁶³ - 112q⁶⁴ + 1827q⁶⁵ + 1973q⁶⁶ + 1732q⁶⁷ + 908q⁶⁸ - 557q⁶⁹ - 1000q⁷⁰ - 1064q⁷¹ - 756q⁷² + 6q⁷³ + 218q⁷⁴ + 500q⁷⁵ + 605q⁷⁶ + 170q⁷⁷ - 34q⁷⁸ - 229q⁷⁹ - 269q⁸⁰ - 83q⁸¹ - 88q⁸² + 8q⁸³ + 148q⁸⁴ + 89q⁸⁵ + 53q⁸⁶ - 19q⁸⁷ - 57q⁸⁸ + 4q⁸⁹ - 31q⁹⁰ - 27q⁹¹ + 15q⁹² + 15q⁹³ + 20q⁹⁴ - q⁹⁵ - 13q⁹⁶ + 6q⁹⁷ - 7q⁹⁹ + 5q¹⁰² - 3q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 41]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[9, 20, 10, 1], X[15, 19, 16, 18], X[13, 8, 14, 9], X[17, 6, 18, 7], > X[7, 16, 8, 17], X[19, 15, 20, 14]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 41]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 8, -9, 7, -5, 3, -4, 2, -7, 10, -6, 9, -8, 6, -10, > 5]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 41]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 12, 16, 20, 2, 8, 18, 6, 14]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 41]]

Out[5]=
BR[5, {1, -2, 1, -2, -2, 3, -2, -4, 3, -4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 41]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 41]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 41]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 2, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 41]][t]

Out[10]=
-3 7 17 2 3 -21 + t - -- + -- + 17 t - 7 t + t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 41]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 - 2 z - z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 41], Knot[11, NonAlternating, 5]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 41]], KnotSignature[Knot[10, 41]]}

Out[13]=
{71, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 41]][q]

Out[14]=
-7 3 6 9 11 12 11 2 3 -8 + q - -- + -- - -- + -- - -- + -- + 6 q - 3 q + q 6 5 4 3 2 q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 41], Knot[10, 94]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 41]][q]

Out[16]=
-22 -18 2 2 -10 2 2 2 2 2 4 6 10 1 + q - q + --- - --- + q - -- + -- - -- + -- - q + 2 q - q + q 16 14 8 6 4 2 q q q q q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 41]][a, z]

Out[17]=
2 -2 2 4 6 2 z 2 2 4 2 6 2 4 -1 + a + 2 a - 2 a + a - 4 z + -- + 4 a z - 4 a z + a z - 2 z + 2 a 2 4 4 4 2 6 > 3 a z - 2 a z + a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 41]][a, z]

Out[18]=
2 -2 2 4 6 z 3 7 2 3 z -1 - a - 2 a - 2 a - a - - - 2 a z - 2 a z + a z + 7 z + ---- + a 2 a 3 2 2 4 2 6 2 8 2 7 z 3 3 3 5 3 > 9 a z + 10 a z + 4 a z - a z + ---- + 13 a z + 10 a z + a z - a 4 5 7 3 4 3 z 2 4 4 4 6 4 8 4 9 z > 3 a z - 4 z - ---- - 8 a z - 14 a z - 6 a z + a z - ---- - 2 a a 6 5 3 5 5 5 7 5 6 z 2 6 4 6 > 20 a z - 18 a z - 4 a z + 3 a z - 5 z + -- - 7 a z + 4 a z + 2 a 7 6 6 3 z 7 3 7 5 7 8 2 8 4 8 > 5 a z + ---- + 6 a z + 8 a z + 5 a z + 3 z + 6 a z + 3 a z + a 9 3 9 > a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 41]], Vassiliev[3][Knot[10, 41]]}

Out[19]=
{-2, 2}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 41]][q, t]

Out[20]=
5 7 1 2 1 4 2 5 4 6 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 5 6 6 4 t 2 3 2 3 3 5 3 > ----- + ---- + ---- + --- + 4 q t + 2 q t + 4 q t + q t + 2 q t + 5 2 5 3 q q t q t q t 7 4 > q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 41], 2][q]

Out[21]=
-20 3 2 7 17 8 24 47 18 53 86 22 -19 + q - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + -- + 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 q q q q q q q q q q q 85 110 12 103 104 6 97 74 2 3 4 > -- - --- + -- + --- - --- - -- + -- - -- + 71 q - 37 q - 22 q + 37 q - 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 5 6 7 9 10 > 10 q - 13 q + 11 q - 3 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₄₁

10₄₀
10₄₂

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-20 - 3q^-19 + 2q^-18 + 7q^-17 - 17q^-16 + 8q^-15 + 24q^-14 - 47q^-13 + 18q^-12 + 53q^-11 - 86q^-10 + 22q^-9 + 85q^-8 - 110q^-7 + 12q^-6 + 103q^-5 - 104q^-4 - 6q^-3 + 97q^-2 - 74q^-1 - 19 + 71q - 37q² - 22q³ + 37q⁴ - 10q⁵ - 13q⁶ + 11q⁷ - 3q⁹ + q¹⁰
3	q^-39 - 3q^-38 + 2q^-37 + 3q^-36 - q^-35 - 11q^-34 + 6q^-33 + 20q^-32 - 12q^-31 - 36q^-30 + 24q^-29 + 59q^-28 - 40q^-27 - 97q^-26 + 66q^-25 + 146q^-24 - 91q^-23 - 213q^-22 + 114q^-21 + 293q^-20 - 130q^-19 - 373q^-18 + 124q^-17 + 452q^-16 - 105q^-15 - 510q^-14 + 67q^-13 + 546q^-12 - 19q^-11 - 553q^-10 - 36q^-9 + 535q^-8 + 93q^-7 - 500q^-6 - 137q^-5 + 436q^-4 + 187q^-3 - 375q^-2 - 207q^-1 + 287 + 230q - 214q² - 216q³ + 129q⁴ + 198q⁵ - 67q⁶ - 157q⁷ + 15q⁸ + 117q⁹ + 9q¹⁰ - 71q¹¹ - 22q¹² + 39q¹³ + 20q¹⁴ - 17q¹⁵ - 13q¹⁶ + 6q¹⁷ + 5q¹⁸ - 3q²⁰ + q²¹
4	q^-64 - 3q^-63 + 2q^-62 + 3q^-61 - 5q^-60 + 5q^-59 - 13q^-58 + 12q^-57 + 14q^-56 - 26q^-55 + 16q^-54 - 37q^-53 + 44q^-52 + 41q^-51 - 92q^-50 + 27q^-49 - 63q^-48 + 144q^-47 + 91q^-46 - 266q^-45 - 12q^-44 - 74q^-43 + 409q^-42 + 230q^-41 - 609q^-40 - 235q^-39 - 119q^-38 + 929q^-37 + 600q^-36 - 1057q^-35 - 749q^-34 - 361q^-33 + 1608q^-32 + 1293q^-31 - 1359q^-30 - 1432q^-29 - 916q^-28 + 2127q^-27 + 2135q^-26 - 1285q^-25 - 1940q^-24 - 1656q^-23 + 2217q^-22 + 2774q^-21 - 874q^-20 - 2026q^-19 - 2279q^-18 + 1883q^-17 + 2980q^-16 - 320q^-15 - 1710q^-14 - 2619q^-13 + 1288q^-12 + 2791q^-11 + 235q^-10 - 1157q^-9 - 2665q^-8 + 577q^-7 + 2302q^-6 + 713q^-5 - 475q^-4 - 2422q^-3 - 122q^-2 + 1579q^-1 + 981 + 210q - 1864q² - 604q³ + 746q⁴ + 898q⁵ + 682q⁶ - 1095q⁷ - 692q⁸ + 69q⁹ + 517q¹⁰ + 757q¹¹ - 398q¹² - 445q¹³ - 231q¹⁴ + 119q¹⁵ + 507q¹⁶ - 28q¹⁷ - 141q¹⁸ - 196q¹⁹ - 67q²⁰ + 206q²¹ + 45q²² + 8q²³ - 73q²⁴ - 64q²⁵ + 48q²⁶ + 15q²⁷ + 20q²⁸ - 10q²⁹ - 20q³⁰ + 6q³¹ + 5q³³ - 3q³⁵ + q³⁶
5	q^-95 - 3q^-94 + 2q^-93 + 3q^-92 - 5q^-91 + q^-90 + 3q^-89 - 7q^-88 + 6q^-87 + 10q^-86 - 15q^-85 - 5q^-84 + 11q^-83 - 4q^-82 + 11q^-81 + 5q^-80 - 33q^-79 - 15q^-78 + 40q^-77 + 49q^-76 + 8q^-75 - 73q^-74 - 131q^-73 - 23q^-72 + 195q^-71 + 279q^-70 + 44q^-69 - 378q^-68 - 563q^-67 - 136q^-66 + 667q^-65 + 1045q^-64 + 366q^-63 - 1041q^-62 - 1829q^-61 - 813q^-60 + 1475q^-59 + 2906q^-58 + 1630q^-57 - 1827q^-56 - 4354q^-55 - 2896q^-54 + 2020q^-53 + 6007q^-52 + 4654q^-51 - 1824q^-50 - 7734q^-49 - 6881q^-48 + 1143q^-47 + 9335q^-46 + 9366q^-45 + 49q^-44 - 10492q^-43 - 11907q^-42 - 1751q^-41 + 11134q^-40 + 14226q^-39 + 3685q^-38 - 11104q^-37 - 16046q^-36 - 5751q^-35 + 10522q^-34 + 17257q^-33 + 7641q^-32 - 9471q^-31 - 17800q^-30 - 9242q^-29 + 8139q^-28 + 17727q^-27 + 10462q^-26 - 6620q^-25 - 17182q^-24 - 11311q^-23 + 5044q^-22 + 16226q^-21 + 11872q^-20 - 3440q^-19 - 14968q^-18 - 12163q^-17 + 1751q^-16 + 13474q^-15 + 12281q^-14 - 108q^-13 - 11696q^-12 - 12094q^-11 - 1663q^-10 + 9709q^-9 + 11732q^-8 + 3196q^-7 - 7467q^-6 - 10866q^-5 - 4708q^-4 + 5110q^-3 + 9762q^-2 + 5675q^-1 - 2747 - 8086q - 6309q² + 563q³ + 6272q⁴ + 6215q⁵ + 1215q⁶ - 4183q⁷ - 5669q⁸ - 2444q⁹ + 2290q¹⁰ + 4575q¹¹ + 3036q¹² - 616q¹³ - 3320q¹⁴ - 3034q¹⁵ - 495q¹⁶ + 1963q¹⁷ + 2580q¹⁸ + 1169q¹⁹ - 890q²⁰ - 1893q²¹ - 1294q²² + 98q²³ + 1143q²⁴ + 1162q²⁵ + 309q²⁶ - 557q²⁷ - 822q²⁸ - 440q²⁹ + 156q³⁰ + 488q³¹ + 388q³² + 48q³³ - 231q³⁴ - 274q³⁵ - 98q³⁶ + 81q³⁷ + 136q³⁸ + 98q³⁹ - 3q⁴⁰ - 73q⁴¹ - 57q⁴² - 3q⁴³ + 15q⁴⁴ + 24q⁴⁵ + 20q⁴⁶ - 10q⁴⁷ - 13q⁴⁸ - q⁴⁹ + 5q⁵² - 3q⁵⁴ + q⁵⁵
6	q^-132 - 3q^-131 + 2q^-130 + 3q^-129 - 5q^-128 + q^-127 - q^-126 + 9q^-125 - 13q^-124 + 2q^-123 + 21q^-122 - 26q^-121 + 2q^-120 + 3q^-119 + 29q^-118 - 40q^-117 - 10q^-116 + 67q^-115 - 70q^-114 + 12q^-113 + 36q^-112 + 83q^-111 - 132q^-110 - 92q^-109 + 128q^-108 - 142q^-107 + 123q^-106 + 219q^-105 + 249q^-104 - 392q^-103 - 487q^-102 + 10q^-101 - 302q^-100 + 595q^-99 + 1025q^-98 + 891q^-97 - 920q^-96 - 1814q^-95 - 1077q^-94 - 997q^-93 + 1822q^-92 + 3610q^-91 + 3269q^-90 - 1321q^-89 - 5025q^-88 - 5031q^-87 - 3947q^-86 + 3611q^-85 + 9688q^-84 + 10205q^-83 + 543q^-82 - 10274q^-81 - 14492q^-80 - 12899q^-79 + 3455q^-78 + 19731q^-77 + 25188q^-76 + 9323q^-75 - 14530q^-74 - 30078q^-73 - 31958q^-72 - 4180q^-71 + 29880q^-70 + 48458q^-69 + 29527q^-68 - 11158q^-67 - 46714q^-66 - 60527q^-65 - 24051q^-64 + 32174q^-63 + 73183q^-62 + 59611q^-61 + 4988q^-60 - 55055q^-59 - 90038q^-58 - 53732q^-57 + 21109q^-56 + 88627q^-55 + 89805q^-54 + 30992q^-53 - 49394q^-52 - 109059q^-51 - 82953q^-50 - 124q^-49 + 89073q^-48 + 109001q^-47 + 56857q^-46 - 33077q^-45 - 112526q^-44 - 101680q^-43 - 22271q^-42 + 77868q^-41 + 113419q^-40 + 74179q^-39 - 14318q^-38 - 104025q^-37 - 107583q^-36 - 38712q^-35 + 62045q^-34 + 107014q^-33 + 82006q^-32 + 1943q^-31 - 89622q^-30 - 104730q^-29 - 49560q^-28 + 45142q^-27 + 94960q^-26 + 84162q^-25 + 16414q^-24 - 71826q^-23 - 97096q^-22 - 57964q^-21 + 26256q^-20 + 78682q^-19 + 83078q^-18 + 31243q^-17 - 49669q^-16 - 84666q^-15 - 64503q^-14 + 4383q^-13 + 56713q^-12 + 76917q^-11 + 45146q^-10 - 22978q^-9 - 65037q^-8 - 65382q^-7 - 17439q^-6 + 29106q^-5 + 62043q^-4 + 52563q^-3 + 3894q^-2 - 38220q^-1 - 55786 - 32044q + 1043q² + 38313q³ + 47836q⁴ + 22642q⁵ - 10156q⁶ - 35689q⁷ - 33135q⁸ - 18421q⁹ + 12391q¹⁰ + 31357q¹¹ + 26828q¹² + 9494q¹³ - 12620q¹⁴ - 21653q¹⁵ - 23111q¹⁶ - 5657q¹⁷ + 11488q¹⁸ + 18223q¹⁹ + 14993q²⁰ + 3169q²¹ - 6530q²² - 15749q²³ - 10728q²⁴ - 1711q²⁵ + 6133q²⁶ + 9801q²⁷ + 7427q²⁸ + 2853q²⁹ - 5672q³⁰ - 6815q³¹ - 5025q³² - 1036q³³ + 2707q³⁴ + 4486q³⁵ + 4402q³⁶ - 12q³⁷ - 1764q³⁸ - 2865q³⁹ - 2167q⁴⁰ - 733q⁴¹ + 1026q⁴² + 2312q⁴³ + 974q⁴⁴ + 398q⁴⁵ - 608q⁴⁶ - 932q⁴⁷ - 953q⁴⁸ - 255q⁴⁹ + 601q⁵⁰ + 367q⁵¹ + 456q⁵² + 110q⁵³ - 95q⁵⁴ - 367q⁵⁵ - 242q⁵⁶ + 63q⁵⁷ + 9q⁵⁸ + 135q⁵⁹ + 89q⁶⁰ + 62q⁶¹ - 73q⁶² - 68q⁶³ + 4q⁶⁴ - 27q⁶⁵ + 15q⁶⁶ + 15q⁶⁷ + 29q⁶⁸ - 10q⁶⁹ - 13q⁷⁰ + 6q⁷¹ - 7q⁷² + 5q⁷⁵ - 3q⁷⁷ + q⁷⁸
7	q^-175 - 3q^-174 + 2q^-173 + 3q^-172 - 5q^-171 + q^-170 - q^-169 + 5q^-168 + 3q^-167 - 17q^-166 + 13q^-165 + 10q^-164 - 19q^-163 + 4q^-162 - 5q^-161 + 18q^-160 + 8q^-159 - 58q^-158 + 38q^-157 + 34q^-156 - 36q^-155 + 24q^-154 - 28q^-153 + 32q^-152 - 3q^-151 - 168q^-150 + 71q^-149 + 107q^-148 + 27q^-147 + 162q^-146 - 66q^-145 - 48q^-144 - 169q^-143 - 530q^-142 + 31q^-141 + 325q^-140 + 505q^-139 + 862q^-138 + 73q^-137 - 426q^-136 - 1089q^-135 - 1911q^-134 - 574q^-133 + 852q^-132 + 2379q^-131 + 3622q^-130 + 1531q^-129 - 1171q^-128 - 4360q^-127 - 6875q^-126 - 3923q^-125 + 1268q^-124 + 7721q^-123 + 12522q^-122 + 8471q^-121 - 548q^-120 - 12382q^-119 - 21548q^-118 - 17000q^-117 - 2489q^-116 + 18291q^-115 + 35373q^-114 + 31648q^-113 + 9734q^-112 - 24540q^-111 - 54676q^-110 - 54708q^-109 - 24306q^-108 + 28709q^-107 + 79332q^-106 + 88736q^-105 + 50119q^-104 - 27646q^-103 - 108038q^-102 - 134545q^-101 - 90360q^-100 + 16367q^-99 + 136538q^-98 + 191585q^-97 + 148231q^-96 + 10073q^-95 - 160059q^-94 - 256327q^-93 - 223315q^-92 - 55721q^-91 + 171536q^-90 + 322316q^-89 + 313046q^-88 + 122682q^-87 - 165017q^-86 - 382051q^-85 - 411023q^-84 - 208698q^-83 + 136688q^-82 + 426833q^-81 + 507937q^-80 + 308775q^-79 - 85577q^-78 - 450571q^-77 - 594816q^-76 - 414116q^-75 + 15962q^-74 + 450056q^-73 + 662652q^-72 + 514775q^-71 + 66032q^-70 - 426152q^-69 - 706850q^-68 - 602189q^-67 - 151130q^-66 + 384010q^-65 + 725758q^-64 + 669613q^-63 + 231138q^-62 - 329990q^-61 - 722203q^-60 - 714860q^-59 - 299629q^-58 + 271792q^-57 + 701339q^-56 + 738647q^-55 + 353345q^-54 - 215267q^-53 - 669088q^-52 - 744700q^-51 - 392270q^-50 + 163718q^-49 + 630766q^-48 + 738229q^-47 + 418986q^-46 - 118240q^-45 - 590117q^-44 - 723423q^-43 - 437224q^-42 + 76868q^-41 + 548224q^-40 + 704227q^-39 + 451185q^-38 - 37239q^-37 - 504643q^-36 - 681906q^-35 - 463670q^-34 - 3979q^-33 + 457319q^-32 + 656253q^-31 + 476008q^-30 + 49238q^-29 - 403628q^-28 - 625688q^-27 - 487955q^-26 - 99047q^-25 + 341870q^-24 + 586987q^-23 + 496546q^-22 + 153051q^-21 - 270228q^-20 - 537948q^-19 - 499106q^-18 - 207640q^-17 + 190604q^-16 + 475838q^-15 + 489935q^-14 + 258719q^-13 - 104271q^-12 - 400552q^-11 - 466762q^-10 - 300224q^-9 + 18020q^-8 + 313588q^-7 + 425090q^-6 + 326287q^-5 + 63541q^-4 - 219039q^-3 - 366700q^-2 - 332406q^-1 - 131266 + 123886q + 292537q² + 315818q³ + 180193q⁴ - 35602q⁵ - 209941q⁶ - 278016q⁷ - 204535q⁸ - 37376q⁹ + 125841q¹⁰ + 223127q¹¹ + 204314q¹² + 89082q¹³ - 49939q¹⁴ - 158894q¹⁵ - 181668q¹⁶ - 116323q¹⁷ - 10861q¹⁸ + 94365q¹⁹ + 143664q²⁰ + 120100q²¹ + 50949q²² - 37985q²³ - 98015q²⁴ - 105251q²⁵ - 70199q²⁶ - 4146q²⁷ + 54279q²⁸ + 79120q²⁹ + 70628q³⁰ + 29217q³¹ - 18218q³² - 49299q³³ - 58918q³⁴ - 38811q³⁵ - 5655q³⁶ + 23044q³⁷ + 40873q³⁸ + 36288q³⁹ + 17772q⁴⁰ - 3654q⁴¹ - 22959q⁴² - 27579q⁴³ - 20157q⁴⁴ - 7103q⁴⁵ + 8893q⁴⁶ + 16829q⁴⁷ + 16620q⁴⁸ + 10960q⁴⁹ - 50q⁵⁰ - 7761q⁵¹ - 10979q⁵² - 10138q⁵³ - 3848q⁵⁴ + 1829q⁵⁵ + 5569q⁵⁶ + 7157q⁵⁷ + 4471q⁵⁸ + 1249q⁵⁹ - 1785q⁶⁰ - 4216q⁶¹ - 3479q⁶² - 1965q⁶³ - 112q⁶⁴ + 1827q⁶⁵ + 1973q⁶⁶ + 1732q⁶⁷ + 908q⁶⁸ - 557q⁶⁹ - 1000q⁷⁰ - 1064q⁷¹ - 756q⁷² + 6q⁷³ + 218q⁷⁴ + 500q⁷⁵ + 605q⁷⁶ + 170q⁷⁷ - 34q⁷⁸ - 229q⁷⁹ - 269q⁸⁰ - 83q⁸¹ - 88q⁸² + 8q⁸³ + 148q⁸⁴ + 89q⁸⁵ + 53q⁸⁶ - 19q⁸⁷ - 57q⁸⁸ + 4q⁸⁹ - 31q⁹⁰ - 27q⁹¹ + 15q⁹² + 15q⁹³ + 20q⁹⁴ - q⁹⁵ - 13q⁹⁶ + 6q⁹⁷ - 7q⁹⁹ + 5q¹⁰² - 3q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 41]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[9, 20, 10, 1], X[15, 19, 16, 18], X[13, 8, 14, 9], X[17, 6, 18, 7], > X[7, 16, 8, 17], X[19, 15, 20, 14]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 41]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 8, -9, 7, -5, 3, -4, 2, -7, 10, -6, 9, -8, 6, -10, > 5]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 41]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 16, 20, 2, 8, 18, 6, 14]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 41]]
Out[5]=	BR[5, {1, -2, 1, -2, -2, 3, -2, -4, 3, -4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 41]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 41]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 41]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 2, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 41]][t]
Out[10]=	-3 7 17 2 3 -21 + t - -- + -- + 17 t - 7 t + t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 41]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 - 2 z - z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 41], Knot[11, NonAlternating, 5]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 41]], KnotSignature[Knot[10, 41]]}
Out[13]=	{71, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 41]][q]
Out[14]=	-7 3 6 9 11 12 11 2 3 -8 + q - -- + -- - -- + -- - -- + -- + 6 q - 3 q + q 6 5 4 3 2 q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 41], Knot[10, 94]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 41]][q]
Out[16]=	-22 -18 2 2 -10 2 2 2 2 2 4 6 10 1 + q - q + --- - --- + q - -- + -- - -- + -- - q + 2 q - q + q 16 14 8 6 4 2 q q q q q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 41]][a, z]
Out[17]=	2 -2 2 4 6 2 z 2 2 4 2 6 2 4 -1 + a + 2 a - 2 a + a - 4 z + -- + 4 a z - 4 a z + a z - 2 z + 2 a 2 4 4 4 2 6 > 3 a z - 2 a z + a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 41]][a, z]
Out[18]=	2 -2 2 4 6 z 3 7 2 3 z -1 - a - 2 a - 2 a - a - - - 2 a z - 2 a z + a z + 7 z + ---- + a 2 a 3 2 2 4 2 6 2 8 2 7 z 3 3 3 5 3 > 9 a z + 10 a z + 4 a z - a z + ---- + 13 a z + 10 a z + a z - a 4 5 7 3 4 3 z 2 4 4 4 6 4 8 4 9 z > 3 a z - 4 z - ---- - 8 a z - 14 a z - 6 a z + a z - ---- - 2 a a 6 5 3 5 5 5 7 5 6 z 2 6 4 6 > 20 a z - 18 a z - 4 a z + 3 a z - 5 z + -- - 7 a z + 4 a z + 2 a 7 6 6 3 z 7 3 7 5 7 8 2 8 4 8 > 5 a z + ---- + 6 a z + 8 a z + 5 a z + 3 z + 6 a z + 3 a z + a 9 3 9 > a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 41]], Vassiliev[3][Knot[10, 41]]}
Out[19]=	{-2, 2}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 41]][q, t]
Out[20]=	5 7 1 2 1 4 2 5 4 6 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 5 6 6 4 t 2 3 2 3 3 5 3 > ----- + ---- + ---- + --- + 4 q t + 2 q t + 4 q t + q t + 2 q t + 5 2 5 3 q q t q t q t 7 4 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 41], 2][q]
Out[21]=	-20 3 2 7 17 8 24 47 18 53 86 22 -19 + q - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + -- + 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 q q q q q q q q q q q 85 110 12 103 104 6 97 74 2 3 4 > -- - --- + -- + --- - --- - -- + -- - -- + 71 q - 37 q - 22 q + 37 q - 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 5 6 7 9 10 > 10 q - 13 q + 11 q - 3 q + q

The Alternating Knot 1041

The Alternating Knot 10₄₁