The Alternating Knot 10₃₅

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_7,10,8,11 X₃₉₄₈ X_9,3,10,2 X_5,16,6,17 X_11,1,12,20 X_13,19,14,18 X_17,15,18,14 X_19,13,20,12 X_15,6,16,7

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -5, 10, -2, 3, -4, 2, -6, 9, -7, 8, -10, 5, -8, 7, -9, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 16 10 2 20 18 6 14 12

Minimum Braid Representative:

Length is 11, width is 6
Braid index is 6

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 2 2 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: 2t^-2 - 12t^-1 + 21 - 12t + 2t²

Conway Polynomial: 1 - 4z² + 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {49, 0}

Jones Polynomial: q^-4 - 2q^-3 + 4q^-2 - 6q^-1 + 8 - 8q + 7q² - 6q³ + 4q⁴ - 2q⁵ + q⁶

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {10₂₂, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-14 + q^-12 - q^-10 + q^-8 - 2q^-4 + 2q^-2 + q² - q⁶ + q⁸ - 2q¹⁰ + q¹⁴ - q¹⁶ + q¹⁸ + q²⁰

HOMFLY-PT Polynomial: a^-6 - a^-4 - 2a^-4z² + a^-2z⁴ + 1 + z⁴ - a² - 2a²z² + a⁴

Kauffman Polynomial: - a^-6 + 4a^-6z² - 4a^-6z⁴ + a^-6z⁶ - 2a^-5z + 6a^-5z³ - 7a^-5z⁵ + 2a^-5z⁷ - a^-4 + 3a^-4z² - 5a^-4z⁶ + 2a^-4z⁸ - a^-3z + 5a^-3z³ - 6a^-3z⁵ + a^-3z⁹ - 3a^-2z² + 10a^-2z⁴ - 11a^-2z⁶ + 4a^-2z⁸ + a^-1z - a^-1z⁵ + a^-1z⁹ + 1 - 3z² + 5z⁴ - 3z⁶ + 2z⁸ + az - 2az³ + 2az⁷ + a² - 3a²z² + 2a²z⁶ + a³z - 3a³z³ + 2a³z⁵ + a⁴ - 2a⁴z² + a⁴z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-4, -2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 10₃₅. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6

j = 13 1

j = 11 1

j = 9 3 1

j = 7 3 1

j = 5 4 3

j = 3 4 3

j = 1 4 4

j = -1 3 5

j = -3 1 3

j = -5 1 3

j = -7 1

j = -9 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-12 - 2q^-11 + 5q^-9 - 7q^-8 + q^-7 + 12q^-6 - 19q^-5 + 5q^-4 + 24q^-3 - 36q^-2 + 7q^-1 + 39 - 47q + 3q² + 46q³ - 45q⁴ - 4q⁵ + 44q⁶ - 32q⁷ - 11q⁸ + 34q⁹ - 16q¹⁰ - 13q¹¹ + 19q¹² - 4q¹³ - 8q¹⁴ + 6q¹⁵ - 2q¹⁷ + q¹⁸

3 q^-24 - 2q^-23 + q^-21 + 4q^-20 - 5q^-19 - 3q^-18 + 3q^-17 + 7q^-16 - 6q^-15 - 4q^-14 + 5q^-13 + 3q^-12 - 12q^-11 + 9q^-10 + 16q^-9 - 17q^-8 - 33q^-7 + 31q^-6 + 52q^-5 - 39q^-4 - 77q^-3 + 45q^-2 + 96q^-1 - 38 - 117q + 33q² + 126q³ - 19q⁴ - 130q⁵ + 4q⁶ + 127q⁷ + 12q⁸ - 118q⁹ - 31q¹⁰ + 107q¹¹ + 46q¹² - 88q¹³ - 61q¹⁴ + 68q¹⁵ + 70q¹⁶ - 45q¹⁷ - 73q¹⁸ + 23q¹⁹ + 67q²⁰ - 4q²¹ - 54q²² - 11q²³ + 42q²⁴ + 13q²⁵ - 23q²⁶ - 16q²⁷ + 14q²⁸ + 10q²⁹ - 5q³⁰ - 7q³¹ + 3q³² + 2q³³ - 2q³⁵ + q³⁶

4 q^-40 - 2q^-39 + q^-37 + 6q^-35 - 9q^-34 - q^-33 + q^-32 - q^-31 + 23q^-30 - 19q^-29 - 4q^-28 - 8q^-27 - 11q^-26 + 56q^-25 - 20q^-24 + 2q^-23 - 33q^-22 - 53q^-21 + 94q^-20 + 6q^-19 + 51q^-18 - 64q^-17 - 162q^-16 + 94q^-15 + 58q^-14 + 185q^-13 - 54q^-12 - 331q^-11 + 5q^-10 + 76q^-9 + 393q^-8 + 53q^-7 - 484q^-6 - 155q^-5 + 7q^-4 + 577q^-3 + 220q^-2 - 537q^-1 - 283 - 128q + 646q² + 359q³ - 491q⁴ - 320q⁵ - 251q⁶ + 604q⁷ + 417q⁸ - 392q⁹ - 276q¹⁰ - 333q¹¹ + 490q¹² + 412q¹³ - 259q¹⁴ - 186q¹⁵ - 385q¹⁶ + 325q¹⁷ + 357q¹⁸ - 103q¹⁹ - 57q²⁰ - 398q²¹ + 133q²² + 247q²³ + 25q²⁴ + 94q²⁵ - 330q²⁶ - 27q²⁷ + 89q²⁸ + 66q²⁹ + 209q³⁰ - 189q³¹ - 87q³² - 46q³³ + 16q³⁴ + 217q³⁵ - 48q³⁶ - 47q³⁷ - 91q³⁸ - 47q³⁹ + 137q⁴⁰ + 15q⁴¹ + 9q⁴² - 56q⁴³ - 57q⁴⁴ + 52q⁴⁵ + 12q⁴⁶ + 23q⁴⁷ - 15q⁴⁸ - 30q⁴⁹ + 14q⁵⁰ + 10q⁵² - q⁵³ - 9q⁵⁴ + 4q⁵⁵ - q⁵⁶ + 2q⁵⁷ - 2q⁵⁹ + q⁶⁰

5 q^-60 - 2q^-59 + q^-57 + 2q^-55 + 2q^-54 - 7q^-53 - 3q^-52 + 4q^-51 + 10q^-49 + 9q^-48 - 17q^-47 - 16q^-46 - 2q^-45 + 3q^-44 + 28q^-43 + 34q^-42 - 20q^-41 - 48q^-40 - 36q^-39 - 4q^-38 + 66q^-37 + 93q^-36 + 10q^-35 - 96q^-34 - 138q^-33 - 63q^-32 + 119q^-31 + 244q^-30 + 129q^-29 - 136q^-28 - 356q^-27 - 288q^-26 + 131q^-25 + 537q^-24 + 484q^-23 - 68q^-22 - 699q^-21 - 808q^-20 - 87q^-19 + 904q^-18 + 1172q^-17 + 334q^-16 - 1013q^-15 - 1613q^-14 - 701q^-13 + 1068q^-12 + 2040q^-11 + 1135q^-10 - 997q^-9 - 2417q^-8 - 1607q^-7 + 843q^-6 + 2667q^-5 + 2062q^-4 - 597q^-3 - 2830q^-2 - 2418q^-1 + 339 + 2832q + 2684q² - 57q³ - 2786q⁴ - 2829q⁵ - 156q⁶ + 2637q⁷ + 2881q⁸ + 356q⁹ - 2471q¹⁰ - 2866q¹¹ - 501q¹² + 2269q¹³ + 2783q¹⁴ + 642q¹⁵ - 2026q¹⁶ - 2679q¹⁷ - 774q¹⁸ + 1763q¹⁹ + 2518q²⁰ + 902q²¹ - 1437q²² - 2322q²³ - 1034q²⁴ + 1094q²⁵ + 2062q²⁶ + 1124q²⁷ - 708q²⁸ - 1751q²⁹ - 1166q³⁰ + 340q³¹ + 1376q³² + 1129q³³ - 4q³⁴ - 976q³⁵ - 1005q³⁶ - 237q³⁷ + 569q³⁸ + 791q³⁹ + 384q⁴⁰ - 213q⁴¹ - 531q⁴² - 408q⁴³ - 44q⁴⁴ + 246q⁴⁵ + 327q⁴⁶ + 208q⁴⁷ - 10q⁴⁸ - 199q⁴⁹ - 237q⁵⁰ - 142q⁵¹ + 22q⁵² + 198q⁵³ + 227q⁵⁴ + 82q⁵⁵ - 104q⁵⁶ - 199q⁵⁷ - 166q⁵⁸ + 5q⁵⁹ + 163q⁶⁰ + 160q⁶¹ + 54q⁶² - 75q⁶³ - 140q⁶⁴ - 79q⁶⁵ + 27q⁶⁶ + 83q⁶⁷ + 73q⁶⁸ + 14q⁶⁹ - 52q⁷⁰ - 49q⁷¹ - 13q⁷² + 11q⁷³ + 30q⁷⁴ + 20q⁷⁵ - 9q⁷⁶ - 16q⁷⁷ - 2q⁷⁸ - 3q⁷⁹ + 3q⁸⁰ + 9q⁸¹ - 2q⁸² - 5q⁸³ + 2q⁸⁴ - q⁸⁶ + 2q⁸⁷ - 2q⁸⁹ + q⁹⁰

6 q^-84 - 2q^-83 + q^-81 + 2q^-79 - 2q^-78 + 4q^-77 - 9q^-76 + 5q^-74 - 2q^-73 + 10q^-72 - 2q^-71 + 11q^-70 - 31q^-69 - 6q^-68 + 11q^-67 - 6q^-66 + 29q^-65 + 13q^-64 + 33q^-63 - 76q^-62 - 27q^-61 + 5q^-60 - 20q^-59 + 62q^-58 + 59q^-57 + 87q^-56 - 147q^-55 - 73q^-54 - 24q^-53 - 53q^-52 + 121q^-51 + 163q^-50 + 181q^-49 - 262q^-48 - 197q^-47 - 117q^-46 - 94q^-45 + 284q^-44 + 442q^-43 + 375q^-42 - 484q^-41 - 579q^-40 - 474q^-39 - 223q^-38 + 704q^-37 + 1215q^-36 + 984q^-35 - 728q^-34 - 1495q^-33 - 1584q^-32 - 883q^-31 + 1304q^-30 + 2875q^-29 + 2671q^-28 - 416q^-27 - 2838q^-26 - 3925q^-25 - 2894q^-24 + 1360q^-23 + 5217q^-22 + 5925q^-21 + 1384q^-20 - 3691q^-19 - 7105q^-18 - 6647q^-17 - 147q^-16 + 7055q^-15 + 10062q^-14 + 4926q^-13 - 2930q^-12 - 9671q^-11 - 11136q^-10 - 3324q^-9 + 7173q^-8 + 13375q^-7 + 8990q^-6 - 540q^-5 - 10393q^-4 - 14545q^-3 - 6869q^-2 + 5625q^-1 + 14709 + 11893q + 2209q² - 9452q³ - 15934q⁴ - 9333q⁵ + 3582q⁶ + 14349q⁷ + 13030q⁸ + 4177q⁹ - 7912q¹⁰ - 15733q¹¹ - 10414q¹² + 1892q¹³ + 13222q¹⁴ + 12954q¹⁵ + 5315q¹⁶ - 6362q¹⁷ - 14752q¹⁸ - 10720q¹⁹ + 433q²⁰ + 11709q²¹ + 12356q²² + 6227q²³ - 4584q²⁴ - 13248q²⁵ - 10792q²⁶ - 1301q²⁷ + 9566q²⁸ + 11336q²⁹ + 7252q³⁰ - 2188q³¹ - 10960q³² - 10533q³³ - 3394q³⁴ + 6528q³⁵ + 9509q³⁶ + 8017q³⁷ + 696q³⁸ - 7647q³⁹ - 9364q⁴⁰ - 5203q⁴¹ + 2897q⁴² + 6564q⁴³ + 7698q⁴⁴ + 3198q⁴⁵ - 3692q⁴⁶ - 6862q⁴⁷ - 5705q⁴⁸ - 285q⁴⁹ + 2917q⁵⁰ + 5792q⁵¹ + 4179q⁵² - 267q⁵³ - 3511q⁵⁴ - 4397q⁵⁵ - 1803q⁵⁶ - 157q⁵⁷ + 2903q⁵⁸ + 3221q⁵⁹ + 1387q⁶⁰ - 695q⁶¹ - 2050q⁶² - 1367q⁶³ - 1460q⁶⁴ + 531q⁶⁵ + 1289q⁶⁶ + 1126q⁶⁷ + 454q⁶⁸ - 218q⁶⁹ - 79q⁷⁰ - 1049q⁷¹ - 315q⁷² - 79q⁷³ + 151q⁷⁴ + 174q⁷⁵ + 281q⁷⁶ + 653q⁷⁷ - 181q⁷⁸ - 39q⁷⁹ - 304q⁸⁰ - 310q⁸¹ - 336q⁸² - 21q⁸³ + 522q⁸⁴ + 157q⁸⁵ + 284q⁸⁶ - 6q⁸⁷ - 160q⁸⁸ - 378q⁸⁹ - 233q⁹⁰ + 153q⁹¹ + 50q⁹² + 235q⁹³ + 131q⁹⁴ + 53q⁹⁵ - 170q⁹⁶ - 162q⁹⁷ + 6q⁹⁸ - 55q⁹⁹ + 75q¹⁰⁰ + 72q¹⁰¹ + 80q¹⁰² - 38q¹⁰³ - 55q¹⁰⁴ + 7q¹⁰⁵ - 43q¹⁰⁶ + 5q¹⁰⁷ + 14q¹⁰⁸ + 36q¹⁰⁹ - 8q¹¹⁰ - 14q¹¹¹ + 12q¹¹² - 13q¹¹³ - 2q¹¹⁴ - q¹¹⁵ + 11q¹¹⁶ - 3q¹¹⁷ - 6q¹¹⁸ + 6q¹¹⁹ - 2q¹²⁰ - q¹²² + 2q¹²³ - 2q¹²⁵ + q¹²⁶

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 35]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[7, 10, 8, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[5, 16, 6, 17], X[11, 1, 12, 20], X[13, 19, 14, 18], X[17, 15, 18, 14], > X[19, 13, 20, 12], X[15, 6, 16, 7]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 35]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -5, 10, -2, 3, -4, 2, -6, 9, -7, 8, -10, 5, -8, 7, -9, > 6]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 35]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 16, 10, 2, 20, 18, 6, 14, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 35]]

Out[5]=
BR[6, {-1, 2, -1, 2, 3, -2, -4, 3, 5, -4, 5}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{6, 11}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 35]]

Out[7]=
6

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 35]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 35]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 2, 2, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 35]][t]

Out[10]=
2 12 2 21 + -- - -- - 12 t + 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 35]][z]

Out[11]=
2 4 1 - 4 z + 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 35]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 35]], KnotSignature[Knot[10, 35]]}

Out[13]=
{49, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 35]][q]

Out[14]=
-4 2 4 6 2 3 4 5 6 8 + q - -- + -- - - - 8 q + 7 q - 6 q + 4 q - 2 q + q 3 2 q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 22], Knot[10, 35]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 35]][q]

Out[16]=
-14 -12 -10 -8 2 2 2 6 8 10 14 16 18 q + q - q + q - -- + -- + q - q + q - 2 q + q - q + q + 4 2 q q 20 > q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 35]][a, z]

Out[17]=
2 4 -6 -4 2 4 2 z 2 2 4 z 1 + a - a - a + a - ---- - 2 a z + z + -- 4 2 a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 35]][a, z]

Out[18]=
2 2 -6 -4 2 4 2 z z z 3 2 4 z 3 z 1 - a - a + a + a - --- - -- + - + a z + a z - 3 z + ---- + ---- - 5 3 a 6 4 a a a a 2 3 3 4 3 z 2 2 4 2 6 z 5 z 3 3 3 4 4 z > ---- - 3 a z - 2 a z + ---- + ---- - 2 a z - 3 a z + 5 z - ---- + 2 5 3 6 a a a a 4 5 5 5 6 6 6 10 z 4 4 7 z 6 z z 3 5 6 z 5 z 11 z > ----- + a z - ---- - ---- - -- + 2 a z - 3 z + -- - ---- - ----- + 2 5 3 a 6 4 2 a a a a a a 7 8 8 9 9 2 6 2 z 7 8 2 z 4 z z z > 2 a z + ---- + 2 a z + 2 z + ---- + ---- + -- + -- 5 4 2 3 a a a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 35]], Vassiliev[3][Knot[10, 35]]}

Out[19]=
{-4, -2}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 35]][q, t]

Out[20]=
5 1 1 1 3 1 3 3 3 - + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 4 q t + 4 q t + q 9 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t 3 2 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 9 5 11 5 > 3 q t + 4 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + 13 6 > q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 35], 2][q]

Out[21]=
-12 2 5 7 -7 12 19 5 24 36 7 2 39 + q - --- + -- - -- + q + -- - -- + -- + -- - -- + - - 47 q + 3 q + 11 9 8 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > 46 q - 45 q - 4 q + 44 q - 32 q - 11 q + 34 q - 16 q - 13 q + 12 13 14 15 17 18 > 19 q - 4 q - 8 q + 6 q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₃₅

10₃₄
10₃₆

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-12 - 2q^-11 + 5q^-9 - 7q^-8 + q^-7 + 12q^-6 - 19q^-5 + 5q^-4 + 24q^-3 - 36q^-2 + 7q^-1 + 39 - 47q + 3q² + 46q³ - 45q⁴ - 4q⁵ + 44q⁶ - 32q⁷ - 11q⁸ + 34q⁹ - 16q¹⁰ - 13q¹¹ + 19q¹² - 4q¹³ - 8q¹⁴ + 6q¹⁵ - 2q¹⁷ + q¹⁸
3	q^-24 - 2q^-23 + q^-21 + 4q^-20 - 5q^-19 - 3q^-18 + 3q^-17 + 7q^-16 - 6q^-15 - 4q^-14 + 5q^-13 + 3q^-12 - 12q^-11 + 9q^-10 + 16q^-9 - 17q^-8 - 33q^-7 + 31q^-6 + 52q^-5 - 39q^-4 - 77q^-3 + 45q^-2 + 96q^-1 - 38 - 117q + 33q² + 126q³ - 19q⁴ - 130q⁵ + 4q⁶ + 127q⁷ + 12q⁸ - 118q⁹ - 31q¹⁰ + 107q¹¹ + 46q¹² - 88q¹³ - 61q¹⁴ + 68q¹⁵ + 70q¹⁶ - 45q¹⁷ - 73q¹⁸ + 23q¹⁹ + 67q²⁰ - 4q²¹ - 54q²² - 11q²³ + 42q²⁴ + 13q²⁵ - 23q²⁶ - 16q²⁷ + 14q²⁸ + 10q²⁹ - 5q³⁰ - 7q³¹ + 3q³² + 2q³³ - 2q³⁵ + q³⁶
4	q^-40 - 2q^-39 + q^-37 + 6q^-35 - 9q^-34 - q^-33 + q^-32 - q^-31 + 23q^-30 - 19q^-29 - 4q^-28 - 8q^-27 - 11q^-26 + 56q^-25 - 20q^-24 + 2q^-23 - 33q^-22 - 53q^-21 + 94q^-20 + 6q^-19 + 51q^-18 - 64q^-17 - 162q^-16 + 94q^-15 + 58q^-14 + 185q^-13 - 54q^-12 - 331q^-11 + 5q^-10 + 76q^-9 + 393q^-8 + 53q^-7 - 484q^-6 - 155q^-5 + 7q^-4 + 577q^-3 + 220q^-2 - 537q^-1 - 283 - 128q + 646q² + 359q³ - 491q⁴ - 320q⁵ - 251q⁶ + 604q⁷ + 417q⁸ - 392q⁹ - 276q¹⁰ - 333q¹¹ + 490q¹² + 412q¹³ - 259q¹⁴ - 186q¹⁵ - 385q¹⁶ + 325q¹⁷ + 357q¹⁸ - 103q¹⁹ - 57q²⁰ - 398q²¹ + 133q²² + 247q²³ + 25q²⁴ + 94q²⁵ - 330q²⁶ - 27q²⁷ + 89q²⁸ + 66q²⁹ + 209q³⁰ - 189q³¹ - 87q³² - 46q³³ + 16q³⁴ + 217q³⁵ - 48q³⁶ - 47q³⁷ - 91q³⁸ - 47q³⁹ + 137q⁴⁰ + 15q⁴¹ + 9q⁴² - 56q⁴³ - 57q⁴⁴ + 52q⁴⁵ + 12q⁴⁶ + 23q⁴⁷ - 15q⁴⁸ - 30q⁴⁹ + 14q⁵⁰ + 10q⁵² - q⁵³ - 9q⁵⁴ + 4q⁵⁵ - q⁵⁶ + 2q⁵⁷ - 2q⁵⁹ + q⁶⁰
5	q^-60 - 2q^-59 + q^-57 + 2q^-55 + 2q^-54 - 7q^-53 - 3q^-52 + 4q^-51 + 10q^-49 + 9q^-48 - 17q^-47 - 16q^-46 - 2q^-45 + 3q^-44 + 28q^-43 + 34q^-42 - 20q^-41 - 48q^-40 - 36q^-39 - 4q^-38 + 66q^-37 + 93q^-36 + 10q^-35 - 96q^-34 - 138q^-33 - 63q^-32 + 119q^-31 + 244q^-30 + 129q^-29 - 136q^-28 - 356q^-27 - 288q^-26 + 131q^-25 + 537q^-24 + 484q^-23 - 68q^-22 - 699q^-21 - 808q^-20 - 87q^-19 + 904q^-18 + 1172q^-17 + 334q^-16 - 1013q^-15 - 1613q^-14 - 701q^-13 + 1068q^-12 + 2040q^-11 + 1135q^-10 - 997q^-9 - 2417q^-8 - 1607q^-7 + 843q^-6 + 2667q^-5 + 2062q^-4 - 597q^-3 - 2830q^-2 - 2418q^-1 + 339 + 2832q + 2684q² - 57q³ - 2786q⁴ - 2829q⁵ - 156q⁶ + 2637q⁷ + 2881q⁸ + 356q⁹ - 2471q¹⁰ - 2866q¹¹ - 501q¹² + 2269q¹³ + 2783q¹⁴ + 642q¹⁵ - 2026q¹⁶ - 2679q¹⁷ - 774q¹⁸ + 1763q¹⁹ + 2518q²⁰ + 902q²¹ - 1437q²² - 2322q²³ - 1034q²⁴ + 1094q²⁵ + 2062q²⁶ + 1124q²⁷ - 708q²⁸ - 1751q²⁹ - 1166q³⁰ + 340q³¹ + 1376q³² + 1129q³³ - 4q³⁴ - 976q³⁵ - 1005q³⁶ - 237q³⁷ + 569q³⁸ + 791q³⁹ + 384q⁴⁰ - 213q⁴¹ - 531q⁴² - 408q⁴³ - 44q⁴⁴ + 246q⁴⁵ + 327q⁴⁶ + 208q⁴⁷ - 10q⁴⁸ - 199q⁴⁹ - 237q⁵⁰ - 142q⁵¹ + 22q⁵² + 198q⁵³ + 227q⁵⁴ + 82q⁵⁵ - 104q⁵⁶ - 199q⁵⁷ - 166q⁵⁸ + 5q⁵⁹ + 163q⁶⁰ + 160q⁶¹ + 54q⁶² - 75q⁶³ - 140q⁶⁴ - 79q⁶⁵ + 27q⁶⁶ + 83q⁶⁷ + 73q⁶⁸ + 14q⁶⁹ - 52q⁷⁰ - 49q⁷¹ - 13q⁷² + 11q⁷³ + 30q⁷⁴ + 20q⁷⁵ - 9q⁷⁶ - 16q⁷⁷ - 2q⁷⁸ - 3q⁷⁹ + 3q⁸⁰ + 9q⁸¹ - 2q⁸² - 5q⁸³ + 2q⁸⁴ - q⁸⁶ + 2q⁸⁷ - 2q⁸⁹ + q⁹⁰
6	q^-84 - 2q^-83 + q^-81 + 2q^-79 - 2q^-78 + 4q^-77 - 9q^-76 + 5q^-74 - 2q^-73 + 10q^-72 - 2q^-71 + 11q^-70 - 31q^-69 - 6q^-68 + 11q^-67 - 6q^-66 + 29q^-65 + 13q^-64 + 33q^-63 - 76q^-62 - 27q^-61 + 5q^-60 - 20q^-59 + 62q^-58 + 59q^-57 + 87q^-56 - 147q^-55 - 73q^-54 - 24q^-53 - 53q^-52 + 121q^-51 + 163q^-50 + 181q^-49 - 262q^-48 - 197q^-47 - 117q^-46 - 94q^-45 + 284q^-44 + 442q^-43 + 375q^-42 - 484q^-41 - 579q^-40 - 474q^-39 - 223q^-38 + 704q^-37 + 1215q^-36 + 984q^-35 - 728q^-34 - 1495q^-33 - 1584q^-32 - 883q^-31 + 1304q^-30 + 2875q^-29 + 2671q^-28 - 416q^-27 - 2838q^-26 - 3925q^-25 - 2894q^-24 + 1360q^-23 + 5217q^-22 + 5925q^-21 + 1384q^-20 - 3691q^-19 - 7105q^-18 - 6647q^-17 - 147q^-16 + 7055q^-15 + 10062q^-14 + 4926q^-13 - 2930q^-12 - 9671q^-11 - 11136q^-10 - 3324q^-9 + 7173q^-8 + 13375q^-7 + 8990q^-6 - 540q^-5 - 10393q^-4 - 14545q^-3 - 6869q^-2 + 5625q^-1 + 14709 + 11893q + 2209q² - 9452q³ - 15934q⁴ - 9333q⁵ + 3582q⁶ + 14349q⁷ + 13030q⁸ + 4177q⁹ - 7912q¹⁰ - 15733q¹¹ - 10414q¹² + 1892q¹³ + 13222q¹⁴ + 12954q¹⁵ + 5315q¹⁶ - 6362q¹⁷ - 14752q¹⁸ - 10720q¹⁹ + 433q²⁰ + 11709q²¹ + 12356q²² + 6227q²³ - 4584q²⁴ - 13248q²⁵ - 10792q²⁶ - 1301q²⁷ + 9566q²⁸ + 11336q²⁹ + 7252q³⁰ - 2188q³¹ - 10960q³² - 10533q³³ - 3394q³⁴ + 6528q³⁵ + 9509q³⁶ + 8017q³⁷ + 696q³⁸ - 7647q³⁹ - 9364q⁴⁰ - 5203q⁴¹ + 2897q⁴² + 6564q⁴³ + 7698q⁴⁴ + 3198q⁴⁵ - 3692q⁴⁶ - 6862q⁴⁷ - 5705q⁴⁸ - 285q⁴⁹ + 2917q⁵⁰ + 5792q⁵¹ + 4179q⁵² - 267q⁵³ - 3511q⁵⁴ - 4397q⁵⁵ - 1803q⁵⁶ - 157q⁵⁷ + 2903q⁵⁸ + 3221q⁵⁹ + 1387q⁶⁰ - 695q⁶¹ - 2050q⁶² - 1367q⁶³ - 1460q⁶⁴ + 531q⁶⁵ + 1289q⁶⁶ + 1126q⁶⁷ + 454q⁶⁸ - 218q⁶⁹ - 79q⁷⁰ - 1049q⁷¹ - 315q⁷² - 79q⁷³ + 151q⁷⁴ + 174q⁷⁵ + 281q⁷⁶ + 653q⁷⁷ - 181q⁷⁸ - 39q⁷⁹ - 304q⁸⁰ - 310q⁸¹ - 336q⁸² - 21q⁸³ + 522q⁸⁴ + 157q⁸⁵ + 284q⁸⁶ - 6q⁸⁷ - 160q⁸⁸ - 378q⁸⁹ - 233q⁹⁰ + 153q⁹¹ + 50q⁹² + 235q⁹³ + 131q⁹⁴ + 53q⁹⁵ - 170q⁹⁶ - 162q⁹⁷ + 6q⁹⁸ - 55q⁹⁹ + 75q¹⁰⁰ + 72q¹⁰¹ + 80q¹⁰² - 38q¹⁰³ - 55q¹⁰⁴ + 7q¹⁰⁵ - 43q¹⁰⁶ + 5q¹⁰⁷ + 14q¹⁰⁸ + 36q¹⁰⁹ - 8q¹¹⁰ - 14q¹¹¹ + 12q¹¹² - 13q¹¹³ - 2q¹¹⁴ - q¹¹⁵ + 11q¹¹⁶ - 3q¹¹⁷ - 6q¹¹⁸ + 6q¹¹⁹ - 2q¹²⁰ - q¹²² + 2q¹²³ - 2q¹²⁵ + q¹²⁶

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 35]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[7, 10, 8, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[5, 16, 6, 17], X[11, 1, 12, 20], X[13, 19, 14, 18], X[17, 15, 18, 14], > X[19, 13, 20, 12], X[15, 6, 16, 7]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 35]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -5, 10, -2, 3, -4, 2, -6, 9, -7, 8, -10, 5, -8, 7, -9, > 6]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 35]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 16, 10, 2, 20, 18, 6, 14, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 35]]
Out[5]=	BR[6, {-1, 2, -1, 2, 3, -2, -4, 3, 5, -4, 5}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{6, 11}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 35]]
Out[7]=	6
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 35]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 35]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 2, 2, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 35]][t]
Out[10]=	2 12 2 21 + -- - -- - 12 t + 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 35]][z]
Out[11]=	2 4 1 - 4 z + 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 35]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 35]], KnotSignature[Knot[10, 35]]}
Out[13]=	{49, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 35]][q]
Out[14]=	-4 2 4 6 2 3 4 5 6 8 + q - -- + -- - - - 8 q + 7 q - 6 q + 4 q - 2 q + q 3 2 q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 22], Knot[10, 35]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 35]][q]
Out[16]=	-14 -12 -10 -8 2 2 2 6 8 10 14 16 18 q + q - q + q - -- + -- + q - q + q - 2 q + q - q + q + 4 2 q q 20 > q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 35]][a, z]
Out[17]=	2 4 -6 -4 2 4 2 z 2 2 4 z 1 + a - a - a + a - ---- - 2 a z + z + -- 4 2 a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 35]][a, z]
Out[18]=	2 2 -6 -4 2 4 2 z z z 3 2 4 z 3 z 1 - a - a + a + a - --- - -- + - + a z + a z - 3 z + ---- + ---- - 5 3 a 6 4 a a a a 2 3 3 4 3 z 2 2 4 2 6 z 5 z 3 3 3 4 4 z > ---- - 3 a z - 2 a z + ---- + ---- - 2 a z - 3 a z + 5 z - ---- + 2 5 3 6 a a a a 4 5 5 5 6 6 6 10 z 4 4 7 z 6 z z 3 5 6 z 5 z 11 z > ----- + a z - ---- - ---- - -- + 2 a z - 3 z + -- - ---- - ----- + 2 5 3 a 6 4 2 a a a a a a 7 8 8 9 9 2 6 2 z 7 8 2 z 4 z z z > 2 a z + ---- + 2 a z + 2 z + ---- + ---- + -- + -- 5 4 2 3 a a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 35]], Vassiliev[3][Knot[10, 35]]}
Out[19]=	{-4, -2}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 35]][q, t]
Out[20]=	5 1 1 1 3 1 3 3 3 - + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + 4 q t + 4 q t + q 9 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t 3 2 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 9 5 11 5 > 3 q t + 4 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + 13 6 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 35], 2][q]
Out[21]=	-12 2 5 7 -7 12 19 5 24 36 7 2 39 + q - --- + -- - -- + q + -- - -- + -- + -- - -- + - - 47 q + 3 q + 11 9 8 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > 46 q - 45 q - 4 q + 44 q - 32 q - 11 q + 34 q - 16 q - 13 q + 12 13 14 15 17 18 > 19 q - 4 q - 8 q + 6 q - 2 q + q

The Alternating Knot 1035

The Alternating Knot 10₃₅