© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
10.156
10156 		10.158
10158
    10.157
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   The Non Alternating Knot 10157   

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Acknowledgement

10.157
KnotPlot

PD Presentation: X1627 X10,4,11,3 X16,11,17,12 X7,15,8,14 X15,9,16,8 X13,1,14,20 X19,13,20,12 X18,6,19,5 X2,10,3,9 X4,18,5,17

Gauss Code: {-1, -9, 2, -10, 8, 1, -4, 5, 9, -2, 3, 7, -6, 4, -5, -3, 10, -8, -7, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 -10 -18 14 -2 -16 20 8 -4 12

Minimum Braid Representative:


Length is 10, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 2 3 3 / NotAvailable 2

Alexander Polynomial: - t-3 + 6t-2 - 11t-1 + 13 - 11t + 6t2 - t3

Conway Polynomial: 1 + 4z2 - z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {49, 4}

Jones Polynomial: 2q2 - 4q3 + 7q4 - 8q5 + 9q6 - 8q7 + 6q8 - 4q9 + q10

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: 2q6 - q8 + 2q10 + 3q16 - q18 + 2q20 - 2q22 - q24 - 2q28 + q30

HOMFLY-PT Polynomial: - a-8 + a-8z2 + a-8z4 - 2a-6z2 - 3a-6z4 - a-6z6 + 2a-4 + 5a-4z2 + 2a-4z4

Kauffman Polynomial: a-12z4 - 4a-11z3 + 4a-11z5 + 2a-10z2 - 8a-10z4 + 6a-10z6 + 4a-9z - 8a-9z3 + 4a-9z7 - a-8 + 7a-8z2 - 15a-8z4 + 8a-8z6 + a-8z8 + 4a-7z - 6a-7z3 - 3a-7z5 + 5a-7z7 - 3a-6z4 + 2a-6z6 + a-6z8 - 2a-5z3 + a-5z5 + a-5z7 + 2a-4 - 5a-4z2 + 3a-4z4

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {4, 8}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=4 is the signature of 10157. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6r = 7r = 8
j = 21        1
j = 19       3 
j = 17      31 
j = 15     53  
j = 13    43   
j = 11   45    
j = 9  34     
j = 7 14      
j = 513       
j = 32        

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q3 + 2q4 - 8q5 + 3q6 + 19q7 - 26q8 - 7q9 + 51q10 - 41q11 - 28q12 + 79q13 - 43q14 - 47q15 + 88q16 - 33q17 - 53q18 + 72q19 - 15q20 - 43q21 + 40q22 - 21q24 + 12q25 + 2q26 - 4q27 + q28
3 2q4 - 2q6 - 12q7 + 10q8 + 24q9 + 3q10 - 56q11 - 22q12 + 84q13 + 69q14 - 112q15 - 127q16 + 116q17 + 209q18 - 116q19 - 277q20 + 84q21 + 350q22 - 52q23 - 398q24 + 4q25 + 441q26 + 32q27 - 452q28 - 80q29 + 454q30 + 112q31 - 427q32 - 148q33 + 384q34 + 172q35 - 320q36 - 180q37 + 239q38 + 180q39 - 166q40 - 152q41 + 93q42 + 120q43 - 46q44 - 76q45 + 12q46 + 48q47 - 6q48 - 20q49 - q50 + 8q51 + 2q52 - 4q53 + q54
4 q4 + 2q5 - 8q7 - 6q8 - 5q9 + 26q10 + 42q11 - 16q12 - 51q13 - 107q14 + 24q15 + 193q16 + 118q17 - 25q18 - 397q19 - 224q20 + 301q21 + 482q22 + 357q23 - 666q24 - 798q25 + 35q26 + 822q27 + 1159q28 - 569q29 - 1408q30 - 651q31 + 815q32 + 2050q33 - 79q34 - 1728q35 - 1448q36 + 468q37 + 2696q38 + 527q39 - 1729q40 - 2064q41 + 8q42 + 3000q43 + 1034q44 - 1523q45 - 2416q46 - 434q47 + 2981q48 + 1399q49 - 1143q50 - 2482q51 - 857q52 + 2587q53 + 1597q54 - 555q55 - 2184q56 - 1204q57 + 1803q58 + 1491q59 + 94q60 - 1492q61 - 1256q62 + 867q63 + 1014q64 + 470q65 - 676q66 - 910q67 + 212q68 + 425q69 + 418q70 - 144q71 - 427q72 - 6q73 + 77q74 + 190q75 + 10q76 - 128q77 - 8q78 - 7q79 + 49q80 + 12q81 - 26q82 - 5q84 + 8q85 + 2q86 - 4q87 + q88
5 2q4 + 2q6 - 4q7 - 12q8 - 12q9 + 12q10 + 20q11 + 50q12 + 40q13 - 56q14 - 132q15 - 119q16 - 20q17 + 208q18 + 392q19 + 206q20 - 244q21 - 645q22 - 692q23 - 31q24 + 968q25 + 1392q26 + 644q27 - 931q28 - 2228q29 - 1811q30 + 472q31 + 2912q32 + 3312q33 + 731q34 - 3196q35 - 4995q36 - 2520q37 + 2752q38 + 6480q39 + 4886q40 - 1616q41 - 7553q42 - 7304q43 - 277q44 + 7944q45 + 9739q46 + 2536q47 - 7766q48 - 11680q49 - 4999q50 + 6968q51 + 13278q52 + 7328q53 - 5929q54 - 14260q55 - 9438q56 + 4676q57 + 14932q58 + 11160q59 - 3474q60 - 15168q61 - 12593q62 + 2264q63 + 15268q64 + 13668q65 - 1153q66 - 15012q67 - 14562q68 - 36q69 + 14605q70 + 15184q71 + 1245q72 - 13752q73 - 15570q74 - 2640q75 + 12534q76 + 15596q77 + 4067q78 - 10780q79 - 15120q80 - 5472q81 + 8554q82 + 14056q83 + 6636q84 - 6064q85 - 12315q86 - 7288q87 + 3465q88 + 10060q89 + 7330q90 - 1220q91 - 7500q92 - 6636q93 - 525q94 + 5012q95 + 5463q96 + 1456q97 - 2845q98 - 4008q99 - 1790q100 + 1328q101 + 2631q102 + 1536q103 - 360q104 - 1484q105 - 1179q106 - 32q107 + 758q108 + 692q109 + 160q110 - 296q111 - 396q112 - 144q113 + 129q114 + 176q115 + 78q116 - 36q117 - 68q118 - 48q119 + 7q120 + 40q121 + 13q122 - 8q123 - 6q124 - 4q125 - 5q126 + 8q127 + 2q128 - 4q129 + q130
6 q3 + 2q4 - 6q7 - 8q8 - 16q9 - 5q10 + 26q11 + 52q12 + 56q13 + 24q14 - 24q15 - 174q16 - 227q17 - 152q18 + 116q19 + 384q20 + 554q21 + 572q22 - 117q23 - 879q24 - 1458q25 - 1102q26 - 85q27 + 1525q28 + 3116q29 + 2537q30 + 352q31 - 3104q32 - 5090q33 - 5035q34 - 1188q35 + 5334q36 + 9085q37 + 8362q38 + 1217q39 - 7415q40 - 14847q41 - 13298q42 - 1437q43 + 12529q44 + 21868q45 + 17447q46 + 2516q47 - 19813q48 - 31324q49 - 22563q50 + 1116q51 + 28729q52 + 39725q53 + 28632q54 - 7905q55 - 41435q56 - 49863q57 - 27130q58 + 17637q59 + 53494q60 + 60674q61 + 20663q62 - 33761q63 - 68737q64 - 60604q65 - 9097q66 + 50703q67 + 84565q68 + 53631q69 - 12199q70 - 72738q71 - 86366q72 - 39273q73 + 36077q74 + 95107q75 + 79493q76 + 12007q77 - 66484q78 - 100371q79 - 63132q80 + 19181q81 + 96289q82 + 95245q83 + 31280q84 - 57406q85 - 106041q86 - 78860q87 + 5215q88 + 93541q89 + 104011q90 + 45298q91 - 48452q92 - 107403q93 - 89700q94 - 7037q95 + 88039q96 + 108943q97 + 57754q98 - 37053q99 - 104362q100 - 98220q101 - 21737q102 + 76099q103 + 108799q104 + 70654q105 - 18737q106 - 92216q107 - 101865q108 - 40029q109 + 53183q110 + 97693q111 + 79713q112 + 6293q113 - 66512q114 - 93295q115 - 55373q116 + 21409q117 + 71323q118 + 75833q119 + 28728q120 - 31478q121 - 68439q122 - 56897q123 - 7024q124 + 36015q125 + 55289q126 + 36190q127 - 1507q128 - 35477q129 - 41613q130 - 19168q131 + 7321q132 + 27751q133 + 26952q134 + 11363q135 - 10039q136 - 20327q137 - 15172q138 - 4772q139 + 7851q140 + 12440q141 + 9607q142 + 492q143 - 5907q144 - 6522q145 - 4664q146 + 245q147 + 3305q148 + 4165q149 + 1514q150 - 738q151 - 1498q152 - 1858q153 - 635q154 + 375q155 + 1136q156 + 532q157 + 44q158 - 122q159 - 432q160 - 233q161 - 33q162 + 242q163 + 82q164 + 18q165 + 22q166 - 72q167 - 42q168 - 23q169 + 54q170 + 4q171 - 7q172 + 12q173 - 10q174 - 4q175 - 5q176 + 8q177 + 2q178 - 4q179 + q180

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[10, 157]]
Out[2]=   
PD[X[1, 6, 2, 7], X[10, 4, 11, 3], X[16, 11, 17, 12], X[7, 15, 8, 14], 
 
>   X[15, 9, 16, 8], X[13, 1, 14, 20], X[19, 13, 20, 12], X[18, 6, 19, 5], 
 
>   X[2, 10, 3, 9], X[4, 18, 5, 17]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 157]]
Out[3]=   
GaussCode[-1, -9, 2, -10, 8, 1, -4, 5, 9, -2, 3, 7, -6, 4, -5, -3, 10, -8, -7, 
 
>   6]
In[4]:=
DTCode[Knot[10, 157]]
Out[4]=   
DTCode[6, -10, -18, 14, -2, -16, 20, 8, -4, 12]
In[5]:=
br = BR[Knot[10, 157]]
Out[5]=   
BR[3, {1, 1, 1, 2, 2, -1, 2, -1, 2, 2}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{3, 10}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 157]]
Out[7]=   
3
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 157]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[10, 157]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 2, 3, 3, NotAvailable, 2}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 157]][t]
Out[10]=   
      -3   6    11             2    3
13 - t   + -- - -- - 11 t + 6 t  - t
            2   t
           t
In[11]:=
Conway[Knot[10, 157]][z]
Out[11]=   
       2    6
1 + 4 z  - z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[10, 157]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 157]], KnotSignature[Knot[10, 157]]}
Out[13]=   
{49, 4}
In[14]:=
Jones[Knot[10, 157]][q]
Out[14]=   
   2      3      4      5      6      7      8      9    10
2 q  - 4 q  + 7 q  - 8 q  + 9 q  - 8 q  + 6 q  - 4 q  + q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[10, 157]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 157]][q]
Out[16]=   
   6    8      10      16    18      20      22    24      28    30
2 q  - q  + 2 q   + 3 q   - q   + 2 q   - 2 q   - q   - 2 q   + q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 157]][a, z]
Out[17]=   
             2      2      2    4      4      4    6
  -8   2    z    2 z    5 z    z    3 z    2 z    z
-a   + -- + -- - ---- + ---- + -- - ---- + ---- - --
        4    8     6      4     8     6      4     6
       a    a     a      a     a     a      a     a
In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 157]][a, z]
Out[18]=   
                           2      2      2      3      3      3      3    4
  -8   2    4 z   4 z   2 z    7 z    5 z    4 z    8 z    6 z    2 z    z
-a   + -- + --- + --- + ---- + ---- - ---- - ---- - ---- - ---- - ---- + --- - 
        4    9     7     10      8      4     11      9      7      5     12
       a    a     a     a       a      a     a       a      a      a     a
 
       4       4      4      4      5      5    5      6      6      6      7
    8 z    15 z    3 z    3 z    4 z    3 z    z    6 z    8 z    2 z    4 z
>   ---- - ----- - ---- + ---- + ---- - ---- + -- + ---- + ---- + ---- + ---- + 
     10      8       6      4     11      7     5    10      8      6      9
    a       a       a      a     a       a     a    a       a      a      a
 
       7    7    8    8
    5 z    z    z    z
>   ---- + -- + -- + --
      7     5    8    6
     a     a    a    a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 157]], Vassiliev[3][Knot[10, 157]]}
Out[19]=   
{4, 8}
In[20]:=
Kh[Knot[10, 157]][q, t]
Out[20]=   
   3    5      5      7        7  2      9  2      9  3      11  3      11  4
2 q  + q  + 3 q  t + q  t + 4 q  t  + 3 q  t  + 4 q  t  + 4 q   t  + 5 q   t  + 
 
       13  4      13  5      15  5      15  6      17  6    17  7      19  7
>   4 q   t  + 3 q   t  + 5 q   t  + 3 q   t  + 3 q   t  + q   t  + 3 q   t  + 
 
     21  8
>   q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 157], 2][q]
Out[21]=   
 3      4      5      6       7       8      9       10       11       12
q  + 2 q  - 8 q  + 3 q  + 19 q  - 26 q  - 7 q  + 51 q   - 41 q   - 28 q   + 
 
        13       14       15       16       17       18       19       20
>   79 q   - 43 q   - 47 q   + 88 q   - 33 q   - 53 q   + 72 q   - 15 q   - 
 
        21       22       24       25      26      27    28
>   43 q   + 40 q   - 21 q   + 12 q   + 2 q   - 4 q   + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10157
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