© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
10.141
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    10.142
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   The Non Alternating Knot 10142   

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Acknowledgement

10.142
KnotPlot

PD Presentation: X4251 X10,4,11,3 X11,19,12,18 X5,15,6,14 X17,7,18,6 X7,17,8,16 X15,9,16,8 X13,1,14,20 X19,13,20,12 X2,10,3,9

Gauss Code: {1, -10, 2, -1, -4, 5, -6, 7, 10, -2, -3, 9, -8, 4, -7, 6, -5, 3, -9, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 -14 -16 2 -18 -20 -8 -6 -12

Minimum Braid Representative:


Length is 11, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 3 3 3 / NotAvailable 2

Alexander Polynomial: 2t-3 - 3t-2 + 2t-1 - 1 + 2t - 3t2 + 2t3

Conway Polynomial: 1 + 8z2 + 9z4 + 2z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {15, 6}

Jones Polynomial: q3 - q4 + 2q5 - 2q6 + 3q7 - 2q8 + 2q9 - 2q10

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q10 + q14 + q18 + q20 + 2q22 + 3q24 - q28 - 3q30 - 2q32 - q34 + q38

HOMFLY-PT Polynomial: a-12 - 5a-10 - 5a-10z2 - a-10z4 + 4a-8 + 7a-8z2 + 5a-8z4 + a-8z6 + a-6 + 6a-6z2 + 5a-6z4 + a-6z6

Kauffman Polynomial: 2a-13z + a-12 - a-12z2 + a-12z4 - 4a-11z + 9a-11z3 - 5a-11z5 + a-11z7 + 5a-10 - 17a-10z2 + 15a-10z4 - 6a-10z6 + a-10z8 - 6a-9z + 12a-9z3 - 9a-9z5 + 2a-9z7 + 4a-8 - 10a-8z2 + 9a-8z4 - 5a-8z6 + a-8z8 + 3a-7z3 - 4a-7z5 + a-7z7 - a-6 + 6a-6z2 - 5a-6z4 + a-6z6

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {8, 21}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=6 is the signature of 10142. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6r = 7
j = 21       2
j = 19        
j = 17     22 
j = 15    1   
j = 13   12   
j = 11  11    
j = 9  1     
j = 711      
j = 51       

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q6 - q7 + 3q9 - 2q10 - 2q11 + 5q12 - q13 - 4q14 + 4q15 - 4q17 + 3q18 + 2q19 - 3q20 + 3q22 - 3q23 - q24 + q25 - q26 + q29
3 q9 - q10 + q12 + 2q13 - 2q14 - 2q15 + q16 + 5q17 - q18 - 4q19 - 2q20 + 5q21 + 2q22 - 2q23 - 4q24 + 2q25 + q26 + 2q27 - q28 - q29 - 4q30 + 3q31 + 4q32 - q33 - 9q34 + 4q35 + 9q36 - 3q37 - 12q38 + 5q39 + 11q40 - 4q41 - 13q42 + 3q43 + 12q44 - 2q45 - 10q46 - 2q47 + 10q48 + 2q49 - 3q50 - 5q51 + 4q52 + 2q53 - 2q55
4 q12 - q13 + q15 + 2q17 - 3q18 - q19 + 2q20 + 6q22 - 4q23 - 4q24 - 2q26 + 10q27 - q28 - 2q29 - q30 - 9q31 + 7q32 + 3q34 + 5q35 - 8q36 + 2q37 - 8q38 - q39 + 12q40 + q41 + 6q42 - 13q43 - 14q44 + 9q45 + 9q46 + 18q47 - 10q48 - 28q49 - q50 + 11q51 + 29q52 - q53 - 36q54 - 9q55 + 12q56 + 34q57 + 6q58 - 41q59 - 14q60 + 13q61 + 37q62 + 9q63 - 45q64 - 19q65 + 15q66 + 39q67 + 12q68 - 42q69 - 22q70 + 8q71 + 36q72 + 19q73 - 30q74 - 20q75 - 4q76 + 23q77 + 19q78 - 11q79 - 11q80 - 9q81 + 5q82 + 10q83 - q84 - q85 - 4q86 - 2q87 + 2q88 + q90
5 q15 - q16 + q18 + q21 - 2q22 - q23 + 2q24 + 2q25 + 2q27 - 3q28 - 4q29 - q30 + 3q31 + 3q32 + 5q33 - 4q35 - 5q36 - 3q37 - q38 + 5q39 + 4q40 + 5q41 + q42 - 3q43 - 8q44 - 5q45 - 3q46 + 3q47 + 9q48 + 12q49 + 2q50 - 5q51 - 14q52 - 15q53 - 4q54 + 14q55 + 20q56 + 17q57 - 3q58 - 24q59 - 27q60 - 13q61 + 16q62 + 38q63 + 27q64 - 6q65 - 36q66 - 42q67 - 13q68 + 36q69 + 53q70 + 24q71 - 24q72 - 59q73 - 44q74 + 17q75 + 63q76 + 53q77 - 5q78 - 63q79 - 66q80 - 2q81 + 66q82 + 72q83 + 8q84 - 65q85 - 79q86 - 12q87 + 71q88 + 81q89 + 11q90 - 71q91 - 85q92 - 12q93 + 75q94 + 86q95 + 15q96 - 76q97 - 90q98 - 19q99 + 74q100 + 92q101 + 26q102 - 64q103 - 89q104 - 37q105 + 51q106 + 83q107 + 41q108 - 33q109 - 63q110 - 45q111 + 11q112 + 48q113 + 37q114 - 23q116 - 27q117 - 13q118 + 10q119 + 14q120 + 10q121 + 2q122 - 5q123 - 7q124 - 3q125 - q126 + 4q127 + 2q128 + 2q129 - 2q132
6 q18 - q19 + q21 - q24 + 2q25 - 2q26 - q27 + 3q28 + q29 + q30 - 3q31 + 3q32 - 4q33 - 4q34 + 3q35 + 2q36 + 5q37 - 2q38 + 7q39 - 5q40 - 8q41 - q42 - 3q43 + 4q44 - 3q45 + 14q46 + 2q47 - q48 + q49 - 7q50 - 4q51 - 16q52 + 6q53 + 8q55 + 15q56 + 8q57 + 7q58 - 17q59 - 8q60 - 22q61 - 11q62 + 4q63 + 13q64 + 32q65 + 14q66 + 14q67 - 16q68 - 28q69 - 33q70 - 29q71 + 14q72 + 23q73 + 49q74 + 37q75 + 12q76 - 29q77 - 68q78 - 43q79 - 32q80 + 28q81 + 69q82 + 80q83 + 38q84 - 41q85 - 62q86 - 104q87 - 50q88 + 30q89 + 102q90 + 110q91 + 37q92 - 12q93 - 126q94 - 127q95 - 52q96 + 65q97 + 135q98 + 110q99 + 70q100 - 100q101 - 167q102 - 129q103 + 5q104 + 126q105 + 154q106 + 145q107 - 60q108 - 182q109 - 180q110 - 43q111 + 110q112 + 178q113 + 193q114 - 33q115 - 190q116 - 208q117 - 68q118 + 103q119 + 192q120 + 211q121 - 25q122 - 197q123 - 220q124 - 73q125 + 106q126 + 203q127 + 216q128 - 29q129 - 205q130 - 230q131 - 76q132 + 111q133 + 215q134 + 228q135 - 20q136 - 204q137 - 245q138 - 101q139 + 87q140 + 211q141 + 247q142 + 27q143 - 161q144 - 234q145 - 138q146 + 16q147 + 151q148 + 227q149 + 83q150 - 60q151 - 156q152 - 131q153 - 58q154 + 42q155 + 136q156 + 88q157 + 27q158 - 45q159 - 63q160 - 65q161 - 28q162 + 33q163 + 38q164 + 37q165 + 14q166 - q167 - 23q168 - 25q169 - 7q170 - q171 + 8q172 + 9q173 + 10q174 + q175 - 3q176 - 4q177 - 4q178 - 2q179 + 2q181 + q183

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[10, 142]]
Out[2]=   
PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 4, 11, 3], X[11, 19, 12, 18], X[5, 15, 6, 14], 
 
>   X[17, 7, 18, 6], X[7, 17, 8, 16], X[15, 9, 16, 8], X[13, 1, 14, 20], 
 
>   X[19, 13, 20, 12], X[2, 10, 3, 9]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 142]]
Out[3]=   
GaussCode[1, -10, 2, -1, -4, 5, -6, 7, 10, -2, -3, 9, -8, 4, -7, 6, -5, 3, -9, 
 
>   8]
In[4]:=
DTCode[Knot[10, 142]]
Out[4]=   
DTCode[4, 10, -14, -16, 2, -18, -20, -8, -6, -12]
In[5]:=
br = BR[Knot[10, 142]]
Out[5]=   
BR[4, {1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3, -2, 3}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{4, 11}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 142]]
Out[7]=   
4
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 142]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[10, 142]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 3, 3, 3, NotAvailable, 2}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 142]][t]
Out[10]=   
     2    3    2            2      3
-1 + -- - -- + - + 2 t - 3 t  + 2 t
      3    2   t
     t    t
In[11]:=
Conway[Knot[10, 142]][z]
Out[11]=   
       2      4      6
1 + 8 z  + 9 z  + 2 z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[10, 142]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 142]], KnotSignature[Knot[10, 142]]}
Out[13]=   
{15, 6}
In[14]:=
Jones[Knot[10, 142]][q]
Out[14]=   
 3    4      5      6      7      8      9      10
q  - q  + 2 q  - 2 q  + 3 q  - 2 q  + 2 q  - 2 q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[10, 142]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 142]][q]
Out[16]=   
 10    14    18    20      22      24    28      30      32    34    38
q   + q   + q   + q   + 2 q   + 3 q   - q   - 3 q   - 2 q   - q   + q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 142]][a, z]
Out[17]=   
                           2      2      2    4       4      4    6    6
 -12    5    4     -6   5 z    7 z    6 z    z     5 z    5 z    z    z
a    - --- + -- + a   - ---- + ---- + ---- - --- + ---- + ---- + -- + --
        10    8          10      8      6     10     8      6     8    6
       a     a          a       a      a     a      a      a     a    a
In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 142]][a, z]
Out[18]=   
                                           2        2       2      2      3
 -12    5    4     -6   2 z   4 z   6 z   z     17 z    10 z    6 z    9 z
a    + --- + -- - a   + --- - --- - --- - --- - ----- - ----- + ---- + ---- + 
        10    8          13    11    9     12     10      8       6     11
       a     a          a     a     a     a      a       a       a     a
 
        3      3    4        4      4      4      5      5      5      6
    12 z    3 z    z     15 z    9 z    5 z    5 z    9 z    4 z    6 z
>   ----- + ---- + --- + ----- + ---- - ---- - ---- - ---- - ---- - ---- - 
      9       7     12     10      8      6     11      9      7     10
     a       a     a      a       a      a     a       a      a     a
 
       6    6    7       7    7    8     8
    5 z    z    z     2 z    z    z     z
>   ---- + -- + --- + ---- + -- + --- + --
      8     6    11     9     7    10    8
     a     a    a      a     a    a     a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 142]], Vassiliev[3][Knot[10, 142]]}
Out[19]=   
{8, 21}
In[20]:=
Kh[Knot[10, 142]][q, t]
Out[20]=   
 5    7    7      9  2    11  2    11  3    13  3      13  4    15  4
q  + q  + q  t + q  t  + q   t  + q   t  + q   t  + 2 q   t  + q   t  + 
 
       17  5      17  6      21  7
>   2 q   t  + 2 q   t  + 2 q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 142], 2][q]
Out[21]=   
 6    7      9      10      11      12    13      14      15      17      18
q  - q  + 3 q  - 2 q   - 2 q   + 5 q   - q   - 4 q   + 4 q   - 4 q   + 3 q   + 
 
       19      20      22      23    24    25    26    29
>   2 q   - 3 q   + 3 q   - 3 q   - q   + q   - q   + q

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