© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
10.133
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    10.134
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   The Non Alternating Knot 10134   

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Acknowledgement

10.134
KnotPlot

PD Presentation: X4251 X8493 X9,15,10,14 X5,13,6,12 X13,7,14,6 X11,19,12,18 X15,1,16,20 X19,17,20,16 X17,11,18,10 X2837

Gauss Code: {1, -10, 2, -1, -4, 5, 10, -2, -3, 9, -6, 4, -5, 3, -7, 8, -9, 6, -8, 7}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 -12 2 -14 -18 -6 -20 -10 -16

Minimum Braid Representative:


Length is 11, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 3 3 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: 2t-3 - 4t-2 + 4t-1 - 3 + 4t - 4t2 + 2t3

Conway Polynomial: 1 + 6z2 + 8z4 + 2z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {23, 6}

Jones Polynomial: q3 - q4 + 3q5 - 3q6 + 4q7 - 4q8 + 3q9 - 3q10 + q11

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q10 + 2q14 + q16 + 2q18 + q20 + q24 - 2q26 - q28 - 2q30 - q32 + q38

HOMFLY-PT Polynomial: a-12 - 3a-10 - 4a-10z2 - a-10z4 + 3a-8z2 + 4a-8z4 + a-8z6 + 3a-6 + 7a-6z2 + 5a-6z4 + a-6z6

Kauffman Polynomial: a-14z2 - 2a-13z + 3a-13z3 + a-12 + a-12z2 - a-12z4 + a-12z6 - 8a-11z + 14a-11z3 - 8a-11z5 + 2a-11z7 + 3a-10 - 7a-10z2 + 5a-10z4 - 3a-10z6 + a-10z8 - 4a-9z + 11a-9z3 - 11a-9z5 + 3a-9z7 + a-8z4 - 3a-8z6 + a-8z8 + 2a-7z - 3a-7z5 + a-7z7 - 3a-6 + 7a-6z2 - 5a-6z4 + a-6z6

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {6, 13}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=6 is the signature of 10134. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6r = 7r = 8
j = 23        1
j = 21       2 
j = 19      11 
j = 17     32  
j = 15    11   
j = 13   23    
j = 11  11     
j = 9  2      
j = 711       
j = 51        

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q6 - q7 + 4q9 - 3q10 - 3q11 + 9q12 - 3q13 - 8q14 + 10q15 - 12q17 + 9q18 + 4q19 - 13q20 + 6q21 + 7q22 - 11q23 + 3q24 + 6q25 - 6q26 + q27 + 2q28 - q29
3 q9 - q10 + q12 + 3q13 - 3q14 - 3q15 + 2q16 + 9q17 - 3q18 - 9q19 - 3q20 + 15q21 + 3q22 - 10q23 - 12q24 + 10q25 + 10q26 - q27 - 15q28 - 2q29 + 9q30 + 11q31 - 10q32 - 13q33 + 3q34 + 21q35 - q36 - 24q37 - 2q38 + 27q39 + 6q40 - 30q41 - 7q42 + 27q43 + 13q44 - 27q45 - 11q46 + 17q47 + 15q48 - 13q49 - 10q50 + 3q51 + 10q52 - q53 - 5q54 - q55 + q56 + 2q57 - q58
4 q12 - q13 + q15 + 3q17 - 4q18 - 2q19 + 3q20 + q21 + 10q22 - 8q23 - 9q24 + 24q27 - 4q28 - 12q29 - 9q30 - 16q31 + 31q32 + 5q33 + 2q34 - 4q35 - 35q36 + 16q37 - 4q38 + 18q39 + 26q40 - 31q41 - 2q42 - 36q43 + 8q44 + 58q45 + 2q46 + q47 - 71q48 - 27q49 + 71q50 + 41q51 + 22q52 - 93q53 - 66q54 + 70q55 + 72q56 + 42q57 - 105q58 - 95q59 + 67q60 + 95q61 + 54q62 - 110q63 - 116q64 + 60q65 + 111q66 + 65q67 - 104q68 - 126q69 + 39q70 + 105q71 + 77q72 - 71q73 - 117q74 + 6q75 + 70q76 + 74q77 - 24q78 - 78q79 - 15q80 + 23q81 + 47q82 + 6q83 - 32q84 - 12q85 - q86 + 15q87 + 8q88 - 6q89 - 3q90 - 3q91 + 2q92 + 2q93 - q94
5 q15 - q16 + q18 + 2q21 - 3q22 - 2q23 + 3q24 + 3q25 + q26 + 4q27 - 7q28 - 9q29 - q30 + 8q31 + 9q32 + 13q33 - 5q34 - 18q35 - 16q36 - 3q37 + 10q38 + 28q39 + 14q40 - 6q41 - 19q42 - 24q43 - 19q44 + 15q45 + 21q46 + 21q47 + 18q48 - 2q49 - 35q50 - 31q51 - 25q52 + q53 + 49q54 + 67q55 + 24q56 - 31q57 - 87q58 - 88q59 + q60 + 102q61 + 128q62 + 61q63 - 81q64 - 180q65 - 120q66 + 49q67 + 192q68 + 191q69 + 11q70 - 210q71 - 240q72 - 66q73 + 186q74 + 293q75 + 130q76 - 176q77 - 322q78 - 179q79 + 145q80 + 350q81 + 228q82 - 130q83 - 368q84 - 261q85 + 112q86 + 385q87 + 291q88 - 100q89 - 404q90 - 314q91 + 94q92 + 414q93 + 335q94 - 76q95 - 424q96 - 360q97 + 60q98 + 414q99 + 375q100 - 17q101 - 397q102 - 387q103 - 17q104 + 342q105 + 378q106 + 74q107 - 284q108 - 349q109 - 99q110 + 196q111 + 288q112 + 133q113 - 123q114 - 225q115 - 117q116 + 53q117 + 144q118 + 105q119 - 12q120 - 86q121 - 70q122 - 7q123 + 39q124 + 40q125 + 12q126 - 13q127 - 22q128 - 7q129 + 6q130 + 5q131 + 4q132 - 3q134 - q135 + q136
6 q18 - q19 + q21 - q24 + 3q25 - 3q26 - 2q27 + 4q28 + 2q29 + 2q30 - 4q31 + 5q32 - 8q33 - 9q34 + 5q35 + 7q36 + 12q37 - 2q38 + 13q39 - 16q40 - 25q41 - 7q42 + 22q44 + 7q45 + 42q46 - 3q47 - 27q48 - 26q49 - 30q50 - 2q51 - 15q52 + 62q53 + 28q54 + 19q55 + 6q56 - 23q57 - 27q58 - 84q59 + 8q60 - 13q61 + 33q62 + 65q63 + 73q64 + 62q65 - 70q66 - 46q67 - 134q68 - 96q69 - 18q70 + 110q71 + 214q72 + 111q73 + 89q74 - 128q75 - 247q76 - 272q77 - 94q78 + 181q79 + 266q80 + 377q81 + 153q82 - 157q83 - 452q84 - 439q85 - 132q86 + 147q87 + 545q88 + 547q89 + 213q90 - 339q91 - 646q92 - 533q93 - 237q94 + 427q95 + 798q96 + 656q97 + 13q98 - 595q99 - 802q100 - 681q101 + 108q102 + 832q103 + 985q104 + 411q105 - 386q106 - 898q107 - 1029q108 - 234q109 + 749q110 + 1173q111 + 720q112 - 176q113 - 909q114 - 1247q115 - 485q116 + 670q117 + 1280q118 + 912q119 - 49q120 - 923q121 - 1379q122 - 627q123 + 647q124 + 1365q125 + 1032q126 + 11q127 - 962q128 - 1483q129 - 729q130 + 630q131 + 1437q132 + 1157q133 + 105q134 - 955q135 - 1568q136 - 881q137 + 497q138 + 1408q139 + 1279q140 + 320q141 - 763q142 - 1516q143 - 1046q144 + 177q145 + 1131q146 + 1238q147 + 570q148 - 351q149 - 1173q150 - 1024q151 - 183q152 + 618q153 + 896q154 + 622q155 + 67q156 - 618q157 - 706q158 - 324q159 + 146q160 + 406q161 + 406q162 + 224q163 - 171q164 - 296q165 - 211q166 - 45q167 + 75q168 + 138q169 + 144q170 - 3q171 - 58q172 - 61q173 - 32q174 - 15q175 + 13q176 + 41q177 + 5q178 + q179 - 4q180 - q181 - 9q182 - 5q183 + 7q184 - 2q185 + q186 + q187 + 2q188 - q189 - 2q190 + q191

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[10, 134]]
Out[2]=   
PD[X[4, 2, 5, 1], X[8, 4, 9, 3], X[9, 15, 10, 14], X[5, 13, 6, 12], 
 
>   X[13, 7, 14, 6], X[11, 19, 12, 18], X[15, 1, 16, 20], X[19, 17, 20, 16], 
 
>   X[17, 11, 18, 10], X[2, 8, 3, 7]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 134]]
Out[3]=   
GaussCode[1, -10, 2, -1, -4, 5, 10, -2, -3, 9, -6, 4, -5, 3, -7, 8, -9, 6, -8, 
 
>   7]
In[4]:=
DTCode[Knot[10, 134]]
Out[4]=   
DTCode[4, 8, -12, 2, -14, -18, -6, -20, -10, -16]
In[5]:=
br = BR[Knot[10, 134]]
Out[5]=   
BR[4, {1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, -2, 3, 3}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{4, 11}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 134]]
Out[7]=   
4
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 134]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[10, 134]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 3, 3, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 134]][t]
Out[10]=   
     2    4    4            2      3
-3 + -- - -- + - + 4 t - 4 t  + 2 t
      3    2   t
     t    t
In[11]:=
Conway[Knot[10, 134]][z]
Out[11]=   
       2      4      6
1 + 6 z  + 8 z  + 2 z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[10, 134]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 134]], KnotSignature[Knot[10, 134]]}
Out[13]=   
{23, 6}
In[14]:=
Jones[Knot[10, 134]][q]
Out[14]=   
 3    4      5      6      7      8      9      10    11
q  - q  + 3 q  - 3 q  + 4 q  - 4 q  + 3 q  - 3 q   + q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[10, 134]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 134]][q]
Out[16]=   
 10      14    16      18    20    24      26    28      30    32    38
q   + 2 q   + q   + 2 q   + q   + q   - 2 q   - q   - 2 q   - q   + q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 134]][a, z]
Out[17]=   
                     2      2      2    4       4      4    6    6
 -12    3    3    4 z    3 z    7 z    z     4 z    5 z    z    z
a    - --- + -- - ---- + ---- + ---- - --- + ---- + ---- + -- + --
        10    6    10      8      6     10     8      6     8    6
       a     a    a       a      a     a      a      a     a    a
In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 134]][a, z]
Out[18]=   
                                           2     2       2      2      3
 -12    3    3    2 z   8 z   4 z   2 z   z     z     7 z    7 z    3 z
a    + --- - -- - --- - --- - --- + --- + --- + --- - ---- + ---- + ---- + 
        10    6    13    11    9     7     14    12    10      6     13
       a     a    a     a     a     a     a     a     a       a     a
 
        3       3    4       4    4      4      5       5      5    6       6
    14 z    11 z    z     5 z    z    5 z    8 z    11 z    3 z    z     3 z
>   ----- + ----- - --- + ---- + -- - ---- - ---- - ----- - ---- + --- - ---- - 
      11      9      12    10     8     6     11      9       7     12    10
     a       a      a     a      a     a     a       a       a     a     a
 
       6    6      7      7    7    8     8
    3 z    z    2 z    3 z    z    z     z
>   ---- + -- + ---- + ---- + -- + --- + --
      8     6    11      9     7    10    8
     a     a    a       a     a    a     a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 134]], Vassiliev[3][Knot[10, 134]]}
Out[19]=   
{6, 13}
In[20]:=
Kh[Knot[10, 134]][q, t]
Out[20]=   
 5    7    7        9  2    11  2    11  3      13  3      13  4    15  4
q  + q  + q  t + 2 q  t  + q   t  + q   t  + 2 q   t  + 3 q   t  + q   t  + 
 
     15  5      17  5      17  6    19  6    19  7      21  7    23  8
>   q   t  + 3 q   t  + 2 q   t  + q   t  + q   t  + 2 q   t  + q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 134], 2][q]
Out[21]=   
 6    7      9      10      11      12      13      14       15       17
q  - q  + 4 q  - 3 q   - 3 q   + 9 q   - 3 q   - 8 q   + 10 q   - 12 q   + 
 
       18      19       20      21      22       23      24      25      26
>   9 q   + 4 q   - 13 q   + 6 q   + 7 q   - 11 q   + 3 q   + 6 q   - 6 q   + 
 
     27      28    29
>   q   + 2 q   - q

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