© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
10.127
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10129
    10.128
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   The Non Alternating Knot 10128   

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Acknowledgement

10.128
KnotPlot

PD Presentation: X4251 X8493 X9,17,10,16 X5,15,6,14 X15,7,16,6 X13,1,14,20 X19,11,20,10 X11,19,12,18 X17,13,18,12 X2837

Gauss Code: {1, -10, 2, -1, -4, 5, 10, -2, -3, 7, -8, 9, -6, 4, -5, 3, -9, 8, -7, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 -14 2 -16 -18 -20 -6 -12 -10

Minimum Braid Representative:


Length is 11, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 3 3 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: 2t-3 - 3t-2 + t-1 + 1 + t - 3t2 + 2t3

Conway Polynomial: 1 + 7z2 + 9z4 + 2z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {11, 6}

Jones Polynomial: q3 - q4 + 2q5 - q6 + 2q7 - 2q8 + q9 - q10

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q10 + q14 + q16 + 2q18 + q20 + q22 + q24 - q26 - q28 - 2q30 - q32 - q34 + q38

HOMFLY-PT Polynomial: a-12 - 4a-10 - 5a-10z2 - a-10z4 + 2a-8 + 6a-8z2 + 5a-8z4 + a-8z6 + 2a-6 + 6a-6z2 + 5a-6z4 + a-6z6

Kauffman Polynomial: a-12 - 6a-11z + 11a-11z3 - 6a-11z5 + a-11z7 + 4a-10 - 11a-10z2 + 12a-10z4 - 6a-10z6 + a-10z8 - 5a-9z + 13a-9z3 - 10a-9z5 + 2a-9z7 + 2a-8 - 5a-8z2 + 7a-8z4 - 5a-8z6 + a-8z8 + a-7z + 2a-7z3 - 4a-7z5 + a-7z7 - 2a-6 + 6a-6z2 - 5a-6z4 + a-6z6

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {7, 17}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=6 is the signature of 10128. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6r = 7
j = 21       1
j = 19        
j = 17     21 
j = 15    11  
j = 13   12   
j = 11  111   
j = 9  1     
j = 711      
j = 51       

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q6 - q7 + 3q9 - 2q10 - q11 + 4q12 - 2q13 - q14 + 2q15 - q16 - q19 + q20 - 2q21 + 2q23 - 2q24 + 2q26 - q27 - q28 + q29
3 q9 - q10 + q12 + 2q13 - 2q14 - 2q15 + 2q16 + 4q17 - 2q18 - 3q19 + q20 + 4q21 - 3q22 - q23 + 2q24 + 2q25 - 6q26 + 5q28 + 2q29 - 9q30 - q31 + 9q32 + 3q33 - 12q34 - 3q35 + 12q36 + 3q37 - 13q38 - 3q39 + 14q40 + 2q41 - 12q42 - 3q43 + 12q44 + 3q45 - 9q46 - 4q47 + 7q48 + 3q49 - 3q50 - 4q51 + 2q52 + 2q53 - q55
4 q12 - q13 + q15 + 2q17 - 3q18 - q19 + 2q20 + q21 + 5q22 - 5q23 - 3q24 + q25 + q26 + 7q27 - 5q28 - 3q29 + 2q30 + 5q32 - 7q33 - 4q34 + 6q35 + 4q36 + 4q37 - 10q38 - 10q39 + 7q40 + 8q41 + 8q42 - 7q43 - 17q44 + 2q45 + 8q46 + 13q47 + q48 - 20q49 - 3q50 + 3q51 + 15q52 + 9q53 - 21q54 - 6q55 - q56 + 15q57 + 16q58 - 22q59 - 7q60 - 2q61 + 14q62 + 20q63 - 23q64 - 8q65 - 3q66 + 13q67 + 20q68 - 19q69 - 9q70 - 6q71 + 10q72 + 19q73 - 11q74 - 6q75 - 8q76 + 3q77 + 12q78 - 3q79 + q80 - 6q81 - 2q82 + 4q83 - q84 + 3q85 - q86 - q87 - q89 + q90
5 q15 - q16 + q18 + q21 - 2q22 - q23 + 2q24 + 2q25 + q26 + q27 - 4q28 - 3q29 + 4q31 + 4q32 + 2q33 - 4q34 - 4q35 - 2q36 + 3q37 + 4q38 + q39 - 5q40 - 3q41 + q42 + 6q43 + 5q44 - q45 - 11q46 - 8q47 + 11q49 + 12q50 + 4q51 - 11q52 - 14q53 - 7q54 + 5q55 + 13q56 + 11q57 - q58 - 8q59 - 10q60 - 6q61 + 2q62 + 8q63 + 6q64 + 6q65 - q66 - 8q67 - 10q68 - 8q69 + 5q70 + 16q71 + 14q72 - 17q74 - 24q75 - 4q76 + 21q77 + 27q78 + 9q79 - 19q80 - 35q81 - 11q82 + 23q83 + 36q84 + 14q85 - 22q86 - 40q87 - 14q88 + 24q89 + 40q90 + 14q91 - 25q92 - 40q93 - 14q94 + 25q95 + 41q96 + 14q97 - 27q98 - 40q99 - 15q100 + 24q101 + 41q102 + 17q103 - 22q104 - 38q105 - 19q106 + 15q107 + 33q108 + 22q109 - 7q110 - 25q111 - 22q112 - 2q113 + 16q114 + 18q115 + 8q116 - 6q117 - 13q118 - 10q119 + 7q121 + 7q122 + 4q123 - q124 - 5q125 - 4q126 + q128 + 2q129 + q130 - q132
6 q18 - q19 + q21 - q24 + 2q25 - 2q26 - q27 + 3q28 + q29 + q30 - 2q31 + 2q32 - 5q33 - 3q34 + 4q35 + 3q36 + 4q37 - q38 + 4q39 - 9q40 - 6q41 + 3q42 + q43 + 6q44 + 6q46 - 10q47 - 5q48 + 5q49 + q50 + 6q51 - q52 + 2q53 - 16q54 - 7q55 + 8q56 + 5q57 + 14q58 + 6q59 + 2q60 - 22q61 - 16q62 + q63 - 3q64 + 18q65 + 15q66 + 11q67 - 12q68 - 12q69 - 19q71 + 7q72 + 4q73 + 7q74 - 2q75 + 6q76 + 20q77 - 14q78 + 4q79 - 16q80 - 16q81 - 18q82 + 8q83 + 38q84 + 11q85 + 30q86 - 15q87 - 33q88 - 50q89 - 17q90 + 30q91 + 29q92 + 67q93 + 11q94 - 25q95 - 71q96 - 50q97 - q98 + 28q99 + 94q100 + 41q101 - q102 - 76q103 - 75q104 - 34q105 + 16q106 + 109q107 + 64q108 + 20q109 - 74q110 - 88q111 - 58q112 + 6q113 + 117q114 + 78q115 + 30q116 - 74q117 - 94q118 - 69q119 + 3q120 + 122q121 + 82q122 + 33q123 - 74q124 - 95q125 - 74q126 + 4q127 + 123q128 + 81q129 + 33q130 - 72q131 - 95q132 - 75q133 + 6q134 + 118q135 + 83q136 + 37q137 - 66q138 - 94q139 - 81q140 - q141 + 103q142 + 84q143 + 50q144 - 44q145 - 79q146 - 85q147 - 22q148 + 64q149 + 69q150 + 60q151 - 5q152 - 40q153 - 68q154 - 38q155 + 13q156 + 31q157 + 46q158 + 21q159 + q160 - 30q161 - 26q162 - 13q163 - 2q164 + 15q165 + 15q166 + 13q167 - 3q168 - 4q169 - 8q170 - 7q171 - q172 + 2q173 + 4q174 + q175 + 3q176 - q177 - q178 - q179 - q182 + q183

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[10, 128]]
Out[2]=   
PD[X[4, 2, 5, 1], X[8, 4, 9, 3], X[9, 17, 10, 16], X[5, 15, 6, 14], 
 
>   X[15, 7, 16, 6], X[13, 1, 14, 20], X[19, 11, 20, 10], X[11, 19, 12, 18], 
 
>   X[17, 13, 18, 12], X[2, 8, 3, 7]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 128]]
Out[3]=   
GaussCode[1, -10, 2, -1, -4, 5, 10, -2, -3, 7, -8, 9, -6, 4, -5, 3, -9, 8, -7, 
 
>   6]
In[4]:=
DTCode[Knot[10, 128]]
Out[4]=   
DTCode[4, 8, -14, 2, -16, -18, -20, -6, -12, -10]
In[5]:=
br = BR[Knot[10, 128]]
Out[5]=   
BR[4, {1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, -2, 3}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{4, 11}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 128]]
Out[7]=   
4
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 128]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[10, 128]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 3, 3, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 128]][t]
Out[10]=   
    2    3    1          2      3
1 + -- - -- + - + t - 3 t  + 2 t
     3    2   t
    t    t
In[11]:=
Conway[Knot[10, 128]][z]
Out[11]=   
       2      4      6
1 + 7 z  + 9 z  + 2 z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[10, 128]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 128]], KnotSignature[Knot[10, 128]]}
Out[13]=   
{11, 6}
In[14]:=
Jones[Knot[10, 128]][q]
Out[14]=   
 3    4      5    6      7      8    9    10
q  - q  + 2 q  - q  + 2 q  - 2 q  + q  - q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[10, 128]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 128]][q]
Out[16]=   
 10    14    16      18    20    22    24    26    28      30    32    34    38
q   + q   + q   + 2 q   + q   + q   + q   - q   - q   - 2 q   - q   - q   + q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 128]][a, z]
Out[17]=   
                          2      2      2    4       4      4    6    6
 -12    4    2    2    5 z    6 z    6 z    z     5 z    5 z    z    z
a    - --- + -- + -- - ---- + ---- + ---- - --- + ---- + ---- + -- + --
        10    8    6    10      8      6     10     8      6     8    6
       a     a    a    a       a      a     a      a      a     a    a
In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 128]][a, z]
Out[18]=   
                                            2      2      2       3       3
 -12    4    2    2    6 z   5 z   z    11 z    5 z    6 z    11 z    13 z
a    + --- + -- - -- - --- - --- + -- - ----- - ---- + ---- + ----- + ----- + 
        10    8    6    11    9     7     10      8      6      11      9
       a     a    a    a     a     a     a       a      a      a       a
 
       3       4      4      4      5       5      5      6      6    6    7
    2 z    12 z    7 z    5 z    6 z    10 z    4 z    6 z    5 z    z    z
>   ---- + ----- + ---- - ---- - ---- - ----- - ---- - ---- - ---- + -- + --- + 
      7      10      8      6     11      9       7     10      8     6    11
     a      a       a      a     a       a       a     a       a     a    a
 
       7    7    8     8
    2 z    z    z     z
>   ---- + -- + --- + --
      9     7    10    8
     a     a    a     a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 128]], Vassiliev[3][Knot[10, 128]]}
Out[19]=   
{7, 17}
In[20]:=
Kh[Knot[10, 128]][q, t]
Out[20]=   
 5    7    7      9  2    11  2    11  3    13  3    11  4      13  4
q  + q  + q  t + q  t  + q   t  + q   t  + q   t  + q   t  + 2 q   t  + 
 
     15  4    15  5      17  5    17  6    21  7
>   q   t  + q   t  + 2 q   t  + q   t  + q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 128], 2][q]
Out[21]=   
 6    7      9      10    11      12      13    14      15    16    19    20
q  - q  + 3 q  - 2 q   - q   + 4 q   - 2 q   - q   + 2 q   - q   - q   + q   - 
 
       21      23      24      26    27    28    29
>   2 q   + 2 q   - 2 q   + 2 q   - q   - q   + q

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