© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
10.123
10123 		10.125
10125
    10.124
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   The Non Alternating Knot 10124   

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Acknowledgement

10.124
KnotPlot

PD Presentation: X4251 X8493 X9,17,10,16 X5,15,6,14 X15,7,16,6 X11,19,12,18 X13,1,14,20 X17,11,18,10 X19,13,20,12 X2837

Gauss Code: {1, -10, 2, -1, -4, 5, 10, -2, -3, 8, -6, 9, -7, 4, -5, 3, -8, 6, -9, 7}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 -14 2 -16 -18 -20 -6 -10 -12

Minimum Braid Representative:


Length is 10, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 4 4 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: t-4 - t-3 + t-1 - 1 + t - t3 + t4

Conway Polynomial: 1 + 8z2 + 14z4 + 7z6 + z8

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {1, 8}

Jones Polynomial: q4 + q6 - q10

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q14 + q16 + 2q18 + 2q20 + 2q22 + q24 - 2q28 - 2q30 - 2q32 - q34 + q40

HOMFLY-PT Polynomial: 2a-12 + a-12z2 - 8a-10 - 14a-10z2 - 7a-10z4 - a-10z6 + 7a-8 + 21a-8z2 + 21a-8z4 + 8a-8z6 + a-8z8

Kauffman Polynomial: 2a-12 - a-12z2 - 8a-11z + 14a-11z3 - 7a-11z5 + a-11z7 + 8a-10 - 22a-10z2 + 21a-10z4 - 8a-10z6 + a-10z8 - 8a-9z + 14a-9z3 - 7a-9z5 + a-9z7 + 7a-8 - 21a-8z2 + 21a-8z4 - 8a-8z6 + a-8z8

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {8, 20}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=8 is the signature of 10124. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6r = 7
j = 21       1
j = 19     1  
j = 17     11 
j = 15   11   
j = 13    1   
j = 11  1     
j = 91       
j = 71       

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q8 + q11 + q14 - q15 + q17 - q18 - q19 + q20 - q21 - q22 + q23 - q25 + q26 - q28 + q29
3 q12 + q16 + q20 - q22 + q24 - q26 - q30 - q34 + q36 - q38 + q40 - q42 + q44 - q46 + q48 + q52 - q54
4 q16 + q21 + q26 - q29 + q31 - q34 + q36 - q37 - q39 + q41 - q42 - q44 + q46 - q47 + q48 - q49 + q51 - q52 + q53 - q54 + q56 - q57 + q58 - q59 + q61 - q62 + q63 - q64 + q66 - q67 + q68 + q71 - q72 + q73 - q77 + q78 - q80 - q82 + q83 - q87 + q88
5 q20 + q26 + q32 - q36 + q38 - q42 + q44 - q46 - q48 + q50 - q52 - q54 + q56 - q58 + q62 - q64 + q68 - q70 + q74 - q76 + q80 - q82 + q86 + q92 - q104 - q110 + q112 - q116 + q118 - q122 + q124 + q126 - q128
6 q24 + q31 + q38 - q43 + q45 - q50 + q52 - q55 - q57 + q59 - q62 - q64 + q66 - q69 - q71 + q72 + q73 - q76 - q78 + q79 + q80 - q83 - q85 + q86 + q87 - q90 - q92 + q93 + q94 - q97 - q99 + q100 + q101 - q104 - q106 + 2q107 + q108 - q111 - q113 + 2q114 + q115 - q118 - 2q120 + 2q121 + q122 - q125 - 2q127 + q128 + q129 - q132 - 2q134 + q135 + q136 - 2q141 + q142 + q143 - 2q148 + q149 + q150 - 2q155 + q156 + q157 + q160 - 2q162 + q163 + q164 - 2q169 + q170 - q176 + q177
7 q28 + q36 + q44 - q50 + q52 - q58 + q60 - q64 - q66 + q68 - q72 - q74 + q76 - q80 - q82 + 2q84 - q88 - q90 + 2q92 - q96 - q98 + 2q100 - q104 - q106 + 2q108 - q112 - q114 + 2q116 - q120 - q122 + 2q124 + q126 - q128 - q130 + 2q132 + q134 - q136 - q138 + 2q140 - q144 - q146 + 2q148 - 2q152 - q154 + 2q156 - 2q160 - q162 + 2q164 + q166 - 2q168 - q170 + 2q172 + q174 - 2q176 - q178 + 2q180 + q182 - 2q184 - q186 + 2q188 + q190 - 2q192 + 2q196 + q198 - 2q200 + q204 + q206 - 2q208 - q210 + q212 + q214 - 2q216 + q220 + q222 - 2q224 + q228 + q230 - q232

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[10, 124]]
Out[2]=   
PD[X[4, 2, 5, 1], X[8, 4, 9, 3], X[9, 17, 10, 16], X[5, 15, 6, 14], 
 
>   X[15, 7, 16, 6], X[11, 19, 12, 18], X[13, 1, 14, 20], X[17, 11, 18, 10], 
 
>   X[19, 13, 20, 12], X[2, 8, 3, 7]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 124]]
Out[3]=   
GaussCode[1, -10, 2, -1, -4, 5, 10, -2, -3, 8, -6, 9, -7, 4, -5, 3, -8, 6, -9, 
 
>   7]
In[4]:=
DTCode[Knot[10, 124]]
Out[4]=   
DTCode[4, 8, -14, 2, -16, -18, -20, -6, -10, -12]
In[5]:=
br = BR[Knot[10, 124]]
Out[5]=   
BR[3, {1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{3, 10}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 124]]
Out[7]=   
3
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 124]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[10, 124]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 4, 4, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 124]][t]
Out[10]=   
      -4    -3   1        3    4
-1 + t   - t   + - + t - t  + t
                 t
In[11]:=
Conway[Knot[10, 124]][z]
Out[11]=   
       2       4      6    8
1 + 8 z  + 14 z  + 7 z  + z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[10, 124]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 124]], KnotSignature[Knot[10, 124]]}
Out[13]=   
{1, 8}
In[14]:=
Jones[Knot[10, 124]][q]
Out[14]=   
 4    6    10
q  + q  - q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[10, 124]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 124]][q]
Out[16]=   
 14    16      18      20      22    24      28      30      32    34    40
q   + q   + 2 q   + 2 q   + 2 q   + q   - 2 q   - 2 q   - 2 q   - q   + q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 124]][a, z]
Out[17]=   
                  2        2       2      4       4    6       6    8
 2     8    7    z     14 z    21 z    7 z    21 z    z     8 z    z
--- - --- + -- + --- - ----- + ----- - ---- + ----- - --- + ---- + --
 12    10    8    12     10      8      10      8      10     8     8
a     a     a    a      a       a      a       a      a      a     a
In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 124]][a, z]
Out[18]=   
                              2        2       2       3       3       4
 2     8    7    8 z   8 z   z     22 z    21 z    14 z    14 z    21 z
--- + --- + -- - --- - --- - --- - ----- - ----- + ----- + ----- + ----- + 
 12    10    8    11    9     12     10      8       11      9       10
a     a     a    a     a     a      a       a       a       a       a
 
        4      5      5      6      6    7     7    8     8
    21 z    7 z    7 z    8 z    8 z    z     z    z     z
>   ----- - ---- - ---- - ---- - ---- + --- + -- + --- + --
      8      11      9     10      8     11    9    10    8
     a      a       a     a       a     a     a    a     a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 124]], Vassiliev[3][Knot[10, 124]]}
Out[19]=   
{8, 20}
In[20]:=
Kh[Knot[10, 124]][q, t]
Out[20]=   
 7    9    11  2    15  3    13  4    15  4    17  5    19  5    17  6    21  7
q  + q  + q   t  + q   t  + q   t  + q   t  + q   t  + q   t  + q   t  + q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 124], 2][q]
Out[21]=   
 8    11    14    15    17    18    19    20    21    22    23    25    26
q  + q   + q   - q   + q   - q   - q   + q   - q   - q   + q   - q   + q   - 
 
     28    29
>   q   + q

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