The Non Alternating Knot 9₄₅

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₄₂₅₁ X_10,6,11,5 X₈₃₉₄ X_2,9,3,10 X_7,14,8,15 X_18,15,1,16 X_16,11,17,12 X_12,17,13,18 X_13,6,14,7

Gauss Code: {1, -4, 3, -1, 2, 9, -5, -3, 4, -2, 7, -8, -9, 5, 6, -7, 8, -6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 10 -14 2 16 -6 18 12

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 3 / 4--5 1

Alexander Polynomial: - t^-2 + 6t^-1 - 9 + 6t - t²

Conway Polynomial: 1 + 2z² - z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {23, -2}

Jones Polynomial: - q^-8 + 2q^-7 - 3q^-6 + 4q^-5 - 4q^-4 + 4q^-3 - 3q^-2 + 2q^-1

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-26 - q^-24 + q^-22 + q^-18 + q^-16 - q^-14 - q^-10 + q^-8 + q^-6 + 2q^-2

HOMFLY-PT Polynomial: 2a² + 2a²z² - 2a⁴ - 2a⁴z² - a⁴z⁴ + 2a⁶ + 2a⁶z² - a⁸

Kauffman Polynomial: - 2a² + 3a²z² + a³z³ + a³z⁵ - 2a⁴ + 6a⁴z² - 4a⁴z⁴ + 2a⁴z⁶ - a⁵z³ + a⁵z⁷ - 2a⁶ + 7a⁶z² - 10a⁶z⁴ + 4a⁶z⁶ + 2a⁷z - 5a⁷z³ + a⁷z⁷ - a⁸ + 4a⁸z² - 6a⁸z⁴ + 2a⁸z⁶ + 2a⁹z - 3a⁹z³ + a⁹z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {2, -4}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 9₄₅. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -7 r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0

j = -1 2

j = -3 2 1

j = -5 2 1

j = -7 2 2

j = -9 2 2

j = -11 1 2

j = -13 1 2

j = -15 1

j = -17 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-23 - 2q^-22 - q^-21 + 6q^-20 - 4q^-19 - 6q^-18 + 12q^-17 - 3q^-16 - 13q^-15 + 15q^-14 + q^-13 - 18q^-12 + 15q^-11 + 5q^-10 - 19q^-9 + 12q^-8 + 6q^-7 - 13q^-6 + 6q^-5 + 4q^-4 - 5q^-3 + q^-2 + q^-1

3 - q^-45 + 2q^-44 + q^-43 - 2q^-42 - 5q^-41 + 3q^-40 + 9q^-39 - q^-38 - 14q^-37 - 3q^-36 + 17q^-35 + 11q^-34 - 19q^-33 - 18q^-32 + 16q^-31 + 26q^-30 - 11q^-29 - 34q^-28 + 6q^-27 + 38q^-26 + 3q^-25 - 43q^-24 - 9q^-23 + 45q^-22 + 16q^-21 - 48q^-20 - 20q^-19 + 45q^-18 + 25q^-17 - 43q^-16 - 26q^-15 + 35q^-14 + 28q^-13 - 28q^-12 - 23q^-11 + 17q^-10 + 20q^-9 - 10q^-8 - 12q^-7 + 2q^-6 + 10q^-5 - 3q^-4 - q^-3 - 2q^-2 + 2q^-1

4 q^-74 - 2q^-73 - q^-72 + 2q^-71 + q^-70 + 6q^-69 - 7q^-68 - 7q^-67 + q^-65 + 24q^-64 - 5q^-63 - 15q^-62 - 14q^-61 - 15q^-60 + 44q^-59 + 14q^-58 - q^-57 - 26q^-56 - 57q^-55 + 38q^-54 + 31q^-53 + 41q^-52 - 8q^-51 - 98q^-50 + q^-49 + 18q^-48 + 87q^-47 + 41q^-46 - 113q^-45 - 45q^-44 - 21q^-43 + 115q^-42 + 97q^-41 - 104q^-40 - 83q^-39 - 65q^-38 + 129q^-37 + 141q^-36 - 88q^-35 - 110q^-34 - 99q^-33 + 133q^-32 + 170q^-31 - 67q^-30 - 126q^-29 - 123q^-28 + 123q^-27 + 181q^-26 - 38q^-25 - 118q^-24 - 133q^-23 + 85q^-22 + 162q^-21 - q^-20 - 80q^-19 - 118q^-18 + 33q^-17 + 109q^-16 + 21q^-15 - 28q^-14 - 74q^-13 - 3q^-12 + 47q^-11 + 18q^-10 + q^-9 - 27q^-8 - 8q^-7 + 10q^-6 + 5q^-5 + 4q^-4 - 4q^-3 - 3q^-2 + q^-1 + 1

5 - q^-110 + 2q^-109 + q^-108 - 2q^-107 - q^-106 - 2q^-105 - 2q^-104 + 5q^-103 + 9q^-102 - 5q^-100 - 10q^-99 - 13q^-98 + q^-97 + 20q^-96 + 23q^-95 + 7q^-94 - 14q^-93 - 36q^-92 - 32q^-91 + 4q^-90 + 41q^-89 + 54q^-88 + 28q^-87 - 28q^-86 - 74q^-85 - 68q^-84 - 9q^-83 + 74q^-82 + 113q^-81 + 60q^-80 - 45q^-79 - 137q^-78 - 132q^-77 - 10q^-76 + 142q^-75 + 194q^-74 + 87q^-73 - 111q^-72 - 244q^-71 - 177q^-70 + 55q^-69 + 274q^-68 + 264q^-67 + 15q^-66 - 272q^-65 - 345q^-64 - 101q^-63 + 264q^-62 + 408q^-61 + 179q^-60 - 237q^-59 - 457q^-58 - 259q^-57 + 213q^-56 + 500q^-55 + 316q^-54 - 182q^-53 - 531q^-52 - 375q^-51 + 164q^-50 + 559q^-49 + 415q^-48 - 140q^-47 - 579q^-46 - 458q^-45 + 125q^-44 + 590q^-43 + 484q^-42 - 90q^-41 - 588q^-40 - 517q^-39 + 58q^-38 + 566q^-37 + 524q^-36 - 2q^-35 - 517q^-34 - 531q^-33 - 49q^-32 + 447q^-31 + 497q^-30 + 109q^-29 - 352q^-28 - 450q^-27 - 143q^-26 + 245q^-25 + 369q^-24 + 167q^-23 - 147q^-22 - 282q^-21 - 152q^-20 + 67q^-19 + 177q^-18 + 138q^-17 - 15q^-16 - 114q^-15 - 83q^-14 - 9q^-13 + 41q^-12 + 61q^-11 + 19q^-10 - 28q^-9 - 20q^-8 - 9q^-7 - 2q^-6 + 15q^-5 + 6q^-4 - 3q^-3 - 3q^-2 - 2 + 2q

6 q^-153 - 2q^-152 - q^-151 + 2q^-150 + q^-149 + 2q^-148 - 2q^-147 + 4q^-146 - 7q^-145 - 9q^-144 + 3q^-143 + 4q^-142 + 11q^-141 + 2q^-140 + 18q^-139 - 13q^-138 - 27q^-137 - 15q^-136 - 9q^-135 + 15q^-134 + 11q^-133 + 68q^-132 + 14q^-131 - 24q^-130 - 42q^-129 - 60q^-128 - 38q^-127 - 36q^-126 + 110q^-125 + 90q^-124 + 73q^-123 + 17q^-122 - 63q^-121 - 135q^-120 - 209q^-119 + 7q^-118 + 72q^-117 + 199q^-116 + 215q^-115 + 144q^-114 - 74q^-113 - 373q^-112 - 256q^-111 - 203q^-110 + 98q^-109 + 348q^-108 + 515q^-107 + 291q^-106 - 240q^-105 - 415q^-104 - 623q^-103 - 340q^-102 + 132q^-101 + 741q^-100 + 788q^-99 + 247q^-98 - 208q^-97 - 866q^-96 - 901q^-95 - 430q^-94 + 600q^-93 + 1107q^-92 + 848q^-91 + 312q^-90 - 766q^-89 - 1302q^-88 - 1086q^-87 + 183q^-86 + 1134q^-85 + 1317q^-84 + 899q^-83 - 445q^-82 - 1467q^-81 - 1617q^-80 - 282q^-79 + 993q^-78 + 1599q^-77 + 1368q^-76 - 108q^-75 - 1505q^-74 - 1974q^-73 - 640q^-72 + 846q^-71 + 1773q^-70 + 1679q^-69 + 129q^-68 - 1524q^-67 - 2210q^-66 - 874q^-65 + 755q^-64 + 1902q^-63 + 1886q^-62 + 291q^-61 - 1536q^-60 - 2371q^-59 - 1066q^-58 + 654q^-57 + 1969q^-56 + 2046q^-55 + 486q^-54 - 1447q^-53 - 2432q^-52 - 1283q^-51 + 417q^-50 + 1861q^-49 + 2124q^-48 + 778q^-47 - 1126q^-46 - 2262q^-45 - 1459q^-44 + 7q^-43 + 1449q^-42 + 1957q^-41 + 1049q^-40 - 569q^-39 - 1736q^-38 - 1393q^-37 - 406q^-36 + 780q^-35 + 1437q^-34 + 1061q^-33 - 14q^-32 - 969q^-31 - 989q^-30 - 552q^-29 + 164q^-28 + 736q^-27 + 743q^-26 + 241q^-25 - 320q^-24 - 456q^-23 - 385q^-22 - 109q^-21 + 209q^-20 + 329q^-19 + 189q^-18 - 30q^-17 - 105q^-16 - 144q^-15 - 96q^-14 + 12q^-13 + 80q^-12 + 64q^-11 + 12q^-10 - 3q^-9 - 21q^-8 - 29q^-7 - 9q^-6 + 12q^-5 + 9q^-4 + 2q^-3 + q^-2 - 2 - 3q + q² + q³

7 - q^-203 + 2q^-202 + q^-201 - 2q^-200 - q^-199 - 2q^-198 + 2q^-197 - 2q^-195 + 7q^-194 + 6q^-193 - 2q^-192 - 4q^-191 - 13q^-190 - 4q^-189 - 9q^-187 + 17q^-186 + 23q^-185 + 18q^-184 + 11q^-183 - 26q^-182 - 26q^-181 - 24q^-180 - 47q^-179 - 3q^-178 + 30q^-177 + 56q^-176 + 92q^-175 + 26q^-174 - 2q^-173 - 33q^-172 - 125q^-171 - 111q^-170 - 86q^-169 - 10q^-168 + 145q^-167 + 159q^-166 + 181q^-165 + 158q^-164 - 49q^-163 - 168q^-162 - 310q^-161 - 348q^-160 - 124q^-159 + 48q^-158 + 318q^-157 + 540q^-156 + 421q^-155 + 233q^-154 - 181q^-153 - 637q^-152 - 709q^-151 - 650q^-150 - 180q^-149 + 516q^-148 + 892q^-147 + 1108q^-146 + 745q^-145 - 114q^-144 - 847q^-143 - 1480q^-142 - 1398q^-141 - 531q^-140 + 460q^-139 + 1592q^-138 + 2015q^-137 + 1378q^-136 + 237q^-135 - 1390q^-134 - 2421q^-133 - 2230q^-132 - 1181q^-131 + 799q^-130 + 2515q^-129 + 2971q^-128 + 2259q^-127 + 84q^-126 - 2273q^-125 - 3471q^-124 - 3295q^-123 - 1153q^-122 + 1685q^-121 + 3675q^-120 + 4207q^-119 + 2314q^-118 - 892q^-117 - 3620q^-116 - 4897q^-115 - 3407q^-114 - 29q^-113 + 3312q^-112 + 5383q^-111 + 4399q^-110 + 974q^-109 - 2900q^-108 - 5683q^-107 - 5209q^-106 - 1845q^-105 + 2418q^-104 + 5825q^-103 + 5884q^-102 + 2617q^-101 - 1973q^-100 - 5908q^-99 - 6397q^-98 - 3231q^-97 + 1572q^-96 + 5939q^-95 + 6811q^-94 + 3734q^-93 - 1282q^-92 - 5982q^-91 - 7122q^-90 - 4113q^-89 + 1058q^-88 + 6027q^-87 + 7408q^-86 + 4409q^-85 - 914q^-84 - 6090q^-83 - 7635q^-82 - 4673q^-81 + 773q^-80 + 6152q^-79 + 7873q^-78 + 4927q^-77 - 628q^-76 - 6166q^-75 - 8059q^-74 - 5224q^-73 + 373q^-72 + 6087q^-71 + 8234q^-70 + 5562q^-69 - 27q^-68 - 5857q^-67 - 8262q^-66 - 5911q^-65 - 510q^-64 + 5394q^-63 + 8154q^-62 + 6235q^-61 + 1135q^-60 - 4699q^-59 - 7743q^-58 - 6403q^-57 - 1857q^-56 + 3739q^-55 + 7045q^-54 + 6357q^-53 + 2505q^-52 - 2620q^-51 - 6027q^-50 - 5978q^-49 - 2997q^-48 + 1462q^-47 + 4772q^-46 + 5271q^-45 + 3201q^-44 - 412q^-43 - 3411q^-42 - 4318q^-41 - 3085q^-40 - 366q^-39 + 2149q^-38 + 3207q^-37 + 2644q^-36 + 838q^-35 - 1084q^-34 - 2135q^-33 - 2082q^-32 - 963q^-31 + 400q^-30 + 1241q^-29 + 1385q^-28 + 846q^-27 + 54q^-26 - 589q^-25 - 869q^-24 - 632q^-23 - 147q^-22 + 224q^-21 + 405q^-20 + 369q^-19 + 190q^-18 - 19q^-17 - 199q^-16 - 202q^-15 - 101q^-14 - 11q^-13 + 46q^-12 + 73q^-11 + 65q^-10 + 29q^-9 - 16q^-8 - 34q^-7 - 18q^-6 - 8q^-5 - 2q^-4 + 6q^-3 + 7q^-2 + 6q^-1 + 1 - 3q - 2q² - 2q⁴ + 2q⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 45]]

Out[2]=
PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 6, 11, 5], X[8, 3, 9, 4], X[2, 9, 3, 10], > X[7, 14, 8, 15], X[18, 15, 1, 16], X[16, 11, 17, 12], X[12, 17, 13, 18], > X[13, 6, 14, 7]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 45]]

Out[3]=
GaussCode[1, -4, 3, -1, 2, 9, -5, -3, 4, -2, 7, -8, -9, 5, 6, -7, 8, -6]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 45]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 10, -14, 2, 16, -6, 18, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 45]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, -2, 1, -2, -1, -3, 2, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 45]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 45]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 45]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 3, {4, 5}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 45]][t]

Out[10]=
-2 6 2 -9 - t + - + 6 t - t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 45]][z]

Out[11]=
2 4 1 + 2 z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 45]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 45]], KnotSignature[Knot[9, 45]]}

Out[13]=
{23, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 45]][q]

Out[14]=
-8 2 3 4 4 4 3 2 -q + -- - -- + -- - -- + -- - -- + - 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 45]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 45]][q]

Out[16]=
-26 -24 -22 -18 -16 -14 -10 -8 -6 2 -q - q + q + q + q - q - q + q + q + -- 2 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 45]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 8 2 2 4 2 6 2 4 4 2 a - 2 a + 2 a - a + 2 a z - 2 a z + 2 a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 45]][a, z]

Out[18]=
2 4 6 8 7 9 2 2 4 2 6 2 -2 a - 2 a - 2 a - a + 2 a z + 2 a z + 3 a z + 6 a z + 7 a z + 8 2 3 3 5 3 7 3 9 3 4 4 6 4 > 4 a z + a z - a z - 5 a z - 3 a z - 4 a z - 10 a z - 8 4 3 5 9 5 4 6 6 6 8 6 5 7 7 7 > 6 a z + a z + a z + 2 a z + 4 a z + 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 45]], Vassiliev[3][Knot[9, 45]]}

Out[19]=
{2, -4}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 45]][q, t]

Out[20]=
-3 2 1 1 1 2 1 2 2 2 q + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + q 17 7 15 6 13 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 q t q t q t q t q t q t q t q t 2 2 2 1 2 > ----- + ----- + ----- + ---- + ---- 7 3 7 2 5 2 5 3 q t q t q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 45], 2][q]

Out[21]=
-23 2 -21 6 4 6 12 3 13 15 -13 18 q - --- - q + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- + q - --- + 22 20 19 18 17 16 15 14 12 q q q q q q q q q 15 5 19 12 6 13 6 4 5 -2 1 > --- + --- - -- + -- + -- - -- + -- + -- - -- + q + - 11 10 9 8 7 6 5 4 3 q q q q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₄₅

9₄₄
9₄₆

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-23 - 2q^-22 - q^-21 + 6q^-20 - 4q^-19 - 6q^-18 + 12q^-17 - 3q^-16 - 13q^-15 + 15q^-14 + q^-13 - 18q^-12 + 15q^-11 + 5q^-10 - 19q^-9 + 12q^-8 + 6q^-7 - 13q^-6 + 6q^-5 + 4q^-4 - 5q^-3 + q^-2 + q^-1
3	- q^-45 + 2q^-44 + q^-43 - 2q^-42 - 5q^-41 + 3q^-40 + 9q^-39 - q^-38 - 14q^-37 - 3q^-36 + 17q^-35 + 11q^-34 - 19q^-33 - 18q^-32 + 16q^-31 + 26q^-30 - 11q^-29 - 34q^-28 + 6q^-27 + 38q^-26 + 3q^-25 - 43q^-24 - 9q^-23 + 45q^-22 + 16q^-21 - 48q^-20 - 20q^-19 + 45q^-18 + 25q^-17 - 43q^-16 - 26q^-15 + 35q^-14 + 28q^-13 - 28q^-12 - 23q^-11 + 17q^-10 + 20q^-9 - 10q^-8 - 12q^-7 + 2q^-6 + 10q^-5 - 3q^-4 - q^-3 - 2q^-2 + 2q^-1
4	q^-74 - 2q^-73 - q^-72 + 2q^-71 + q^-70 + 6q^-69 - 7q^-68 - 7q^-67 + q^-65 + 24q^-64 - 5q^-63 - 15q^-62 - 14q^-61 - 15q^-60 + 44q^-59 + 14q^-58 - q^-57 - 26q^-56 - 57q^-55 + 38q^-54 + 31q^-53 + 41q^-52 - 8q^-51 - 98q^-50 + q^-49 + 18q^-48 + 87q^-47 + 41q^-46 - 113q^-45 - 45q^-44 - 21q^-43 + 115q^-42 + 97q^-41 - 104q^-40 - 83q^-39 - 65q^-38 + 129q^-37 + 141q^-36 - 88q^-35 - 110q^-34 - 99q^-33 + 133q^-32 + 170q^-31 - 67q^-30 - 126q^-29 - 123q^-28 + 123q^-27 + 181q^-26 - 38q^-25 - 118q^-24 - 133q^-23 + 85q^-22 + 162q^-21 - q^-20 - 80q^-19 - 118q^-18 + 33q^-17 + 109q^-16 + 21q^-15 - 28q^-14 - 74q^-13 - 3q^-12 + 47q^-11 + 18q^-10 + q^-9 - 27q^-8 - 8q^-7 + 10q^-6 + 5q^-5 + 4q^-4 - 4q^-3 - 3q^-2 + q^-1 + 1
5	- q^-110 + 2q^-109 + q^-108 - 2q^-107 - q^-106 - 2q^-105 - 2q^-104 + 5q^-103 + 9q^-102 - 5q^-100 - 10q^-99 - 13q^-98 + q^-97 + 20q^-96 + 23q^-95 + 7q^-94 - 14q^-93 - 36q^-92 - 32q^-91 + 4q^-90 + 41q^-89 + 54q^-88 + 28q^-87 - 28q^-86 - 74q^-85 - 68q^-84 - 9q^-83 + 74q^-82 + 113q^-81 + 60q^-80 - 45q^-79 - 137q^-78 - 132q^-77 - 10q^-76 + 142q^-75 + 194q^-74 + 87q^-73 - 111q^-72 - 244q^-71 - 177q^-70 + 55q^-69 + 274q^-68 + 264q^-67 + 15q^-66 - 272q^-65 - 345q^-64 - 101q^-63 + 264q^-62 + 408q^-61 + 179q^-60 - 237q^-59 - 457q^-58 - 259q^-57 + 213q^-56 + 500q^-55 + 316q^-54 - 182q^-53 - 531q^-52 - 375q^-51 + 164q^-50 + 559q^-49 + 415q^-48 - 140q^-47 - 579q^-46 - 458q^-45 + 125q^-44 + 590q^-43 + 484q^-42 - 90q^-41 - 588q^-40 - 517q^-39 + 58q^-38 + 566q^-37 + 524q^-36 - 2q^-35 - 517q^-34 - 531q^-33 - 49q^-32 + 447q^-31 + 497q^-30 + 109q^-29 - 352q^-28 - 450q^-27 - 143q^-26 + 245q^-25 + 369q^-24 + 167q^-23 - 147q^-22 - 282q^-21 - 152q^-20 + 67q^-19 + 177q^-18 + 138q^-17 - 15q^-16 - 114q^-15 - 83q^-14 - 9q^-13 + 41q^-12 + 61q^-11 + 19q^-10 - 28q^-9 - 20q^-8 - 9q^-7 - 2q^-6 + 15q^-5 + 6q^-4 - 3q^-3 - 3q^-2 - 2 + 2q
6	q^-153 - 2q^-152 - q^-151 + 2q^-150 + q^-149 + 2q^-148 - 2q^-147 + 4q^-146 - 7q^-145 - 9q^-144 + 3q^-143 + 4q^-142 + 11q^-141 + 2q^-140 + 18q^-139 - 13q^-138 - 27q^-137 - 15q^-136 - 9q^-135 + 15q^-134 + 11q^-133 + 68q^-132 + 14q^-131 - 24q^-130 - 42q^-129 - 60q^-128 - 38q^-127 - 36q^-126 + 110q^-125 + 90q^-124 + 73q^-123 + 17q^-122 - 63q^-121 - 135q^-120 - 209q^-119 + 7q^-118 + 72q^-117 + 199q^-116 + 215q^-115 + 144q^-114 - 74q^-113 - 373q^-112 - 256q^-111 - 203q^-110 + 98q^-109 + 348q^-108 + 515q^-107 + 291q^-106 - 240q^-105 - 415q^-104 - 623q^-103 - 340q^-102 + 132q^-101 + 741q^-100 + 788q^-99 + 247q^-98 - 208q^-97 - 866q^-96 - 901q^-95 - 430q^-94 + 600q^-93 + 1107q^-92 + 848q^-91 + 312q^-90 - 766q^-89 - 1302q^-88 - 1086q^-87 + 183q^-86 + 1134q^-85 + 1317q^-84 + 899q^-83 - 445q^-82 - 1467q^-81 - 1617q^-80 - 282q^-79 + 993q^-78 + 1599q^-77 + 1368q^-76 - 108q^-75 - 1505q^-74 - 1974q^-73 - 640q^-72 + 846q^-71 + 1773q^-70 + 1679q^-69 + 129q^-68 - 1524q^-67 - 2210q^-66 - 874q^-65 + 755q^-64 + 1902q^-63 + 1886q^-62 + 291q^-61 - 1536q^-60 - 2371q^-59 - 1066q^-58 + 654q^-57 + 1969q^-56 + 2046q^-55 + 486q^-54 - 1447q^-53 - 2432q^-52 - 1283q^-51 + 417q^-50 + 1861q^-49 + 2124q^-48 + 778q^-47 - 1126q^-46 - 2262q^-45 - 1459q^-44 + 7q^-43 + 1449q^-42 + 1957q^-41 + 1049q^-40 - 569q^-39 - 1736q^-38 - 1393q^-37 - 406q^-36 + 780q^-35 + 1437q^-34 + 1061q^-33 - 14q^-32 - 969q^-31 - 989q^-30 - 552q^-29 + 164q^-28 + 736q^-27 + 743q^-26 + 241q^-25 - 320q^-24 - 456q^-23 - 385q^-22 - 109q^-21 + 209q^-20 + 329q^-19 + 189q^-18 - 30q^-17 - 105q^-16 - 144q^-15 - 96q^-14 + 12q^-13 + 80q^-12 + 64q^-11 + 12q^-10 - 3q^-9 - 21q^-8 - 29q^-7 - 9q^-6 + 12q^-5 + 9q^-4 + 2q^-3 + q^-2 - 2 - 3q + q² + q³
7	- q^-203 + 2q^-202 + q^-201 - 2q^-200 - q^-199 - 2q^-198 + 2q^-197 - 2q^-195 + 7q^-194 + 6q^-193 - 2q^-192 - 4q^-191 - 13q^-190 - 4q^-189 - 9q^-187 + 17q^-186 + 23q^-185 + 18q^-184 + 11q^-183 - 26q^-182 - 26q^-181 - 24q^-180 - 47q^-179 - 3q^-178 + 30q^-177 + 56q^-176 + 92q^-175 + 26q^-174 - 2q^-173 - 33q^-172 - 125q^-171 - 111q^-170 - 86q^-169 - 10q^-168 + 145q^-167 + 159q^-166 + 181q^-165 + 158q^-164 - 49q^-163 - 168q^-162 - 310q^-161 - 348q^-160 - 124q^-159 + 48q^-158 + 318q^-157 + 540q^-156 + 421q^-155 + 233q^-154 - 181q^-153 - 637q^-152 - 709q^-151 - 650q^-150 - 180q^-149 + 516q^-148 + 892q^-147 + 1108q^-146 + 745q^-145 - 114q^-144 - 847q^-143 - 1480q^-142 - 1398q^-141 - 531q^-140 + 460q^-139 + 1592q^-138 + 2015q^-137 + 1378q^-136 + 237q^-135 - 1390q^-134 - 2421q^-133 - 2230q^-132 - 1181q^-131 + 799q^-130 + 2515q^-129 + 2971q^-128 + 2259q^-127 + 84q^-126 - 2273q^-125 - 3471q^-124 - 3295q^-123 - 1153q^-122 + 1685q^-121 + 3675q^-120 + 4207q^-119 + 2314q^-118 - 892q^-117 - 3620q^-116 - 4897q^-115 - 3407q^-114 - 29q^-113 + 3312q^-112 + 5383q^-111 + 4399q^-110 + 974q^-109 - 2900q^-108 - 5683q^-107 - 5209q^-106 - 1845q^-105 + 2418q^-104 + 5825q^-103 + 5884q^-102 + 2617q^-101 - 1973q^-100 - 5908q^-99 - 6397q^-98 - 3231q^-97 + 1572q^-96 + 5939q^-95 + 6811q^-94 + 3734q^-93 - 1282q^-92 - 5982q^-91 - 7122q^-90 - 4113q^-89 + 1058q^-88 + 6027q^-87 + 7408q^-86 + 4409q^-85 - 914q^-84 - 6090q^-83 - 7635q^-82 - 4673q^-81 + 773q^-80 + 6152q^-79 + 7873q^-78 + 4927q^-77 - 628q^-76 - 6166q^-75 - 8059q^-74 - 5224q^-73 + 373q^-72 + 6087q^-71 + 8234q^-70 + 5562q^-69 - 27q^-68 - 5857q^-67 - 8262q^-66 - 5911q^-65 - 510q^-64 + 5394q^-63 + 8154q^-62 + 6235q^-61 + 1135q^-60 - 4699q^-59 - 7743q^-58 - 6403q^-57 - 1857q^-56 + 3739q^-55 + 7045q^-54 + 6357q^-53 + 2505q^-52 - 2620q^-51 - 6027q^-50 - 5978q^-49 - 2997q^-48 + 1462q^-47 + 4772q^-46 + 5271q^-45 + 3201q^-44 - 412q^-43 - 3411q^-42 - 4318q^-41 - 3085q^-40 - 366q^-39 + 2149q^-38 + 3207q^-37 + 2644q^-36 + 838q^-35 - 1084q^-34 - 2135q^-33 - 2082q^-32 - 963q^-31 + 400q^-30 + 1241q^-29 + 1385q^-28 + 846q^-27 + 54q^-26 - 589q^-25 - 869q^-24 - 632q^-23 - 147q^-22 + 224q^-21 + 405q^-20 + 369q^-19 + 190q^-18 - 19q^-17 - 199q^-16 - 202q^-15 - 101q^-14 - 11q^-13 + 46q^-12 + 73q^-11 + 65q^-10 + 29q^-9 - 16q^-8 - 34q^-7 - 18q^-6 - 8q^-5 - 2q^-4 + 6q^-3 + 7q^-2 + 6q^-1 + 1 - 3q - 2q² - 2q⁴ + 2q⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 45]]
Out[2]=	PD[X[4, 2, 5, 1], X[10, 6, 11, 5], X[8, 3, 9, 4], X[2, 9, 3, 10], > X[7, 14, 8, 15], X[18, 15, 1, 16], X[16, 11, 17, 12], X[12, 17, 13, 18], > X[13, 6, 14, 7]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 45]]
Out[3]=	GaussCode[1, -4, 3, -1, 2, 9, -5, -3, 4, -2, 7, -8, -9, 5, 6, -7, 8, -6]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 45]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 10, -14, 2, 16, -6, 18, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 45]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, -2, 1, -2, -1, -3, 2, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 45]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 45]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 45]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 3, {4, 5}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 45]][t]
Out[10]=	-2 6 2 -9 - t + - + 6 t - t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 45]][z]
Out[11]=	2 4 1 + 2 z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 45]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 45]], KnotSignature[Knot[9, 45]]}
Out[13]=	{23, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 45]][q]
Out[14]=	-8 2 3 4 4 4 3 2 -q + -- - -- + -- - -- + -- - -- + - 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 45]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 45]][q]
Out[16]=	-26 -24 -22 -18 -16 -14 -10 -8 -6 2 -q - q + q + q + q - q - q + q + q + -- 2 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 45]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 8 2 2 4 2 6 2 4 4 2 a - 2 a + 2 a - a + 2 a z - 2 a z + 2 a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 45]][a, z]
Out[18]=	2 4 6 8 7 9 2 2 4 2 6 2 -2 a - 2 a - 2 a - a + 2 a z + 2 a z + 3 a z + 6 a z + 7 a z + 8 2 3 3 5 3 7 3 9 3 4 4 6 4 > 4 a z + a z - a z - 5 a z - 3 a z - 4 a z - 10 a z - 8 4 3 5 9 5 4 6 6 6 8 6 5 7 7 7 > 6 a z + a z + a z + 2 a z + 4 a z + 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 45]], Vassiliev[3][Knot[9, 45]]}
Out[19]=	{2, -4}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 45]][q, t]
Out[20]=	-3 2 1 1 1 2 1 2 2 2 q + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + q 17 7 15 6 13 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 q t q t q t q t q t q t q t q t 2 2 2 1 2 > ----- + ----- + ----- + ---- + ---- 7 3 7 2 5 2 5 3 q t q t q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 45], 2][q]
Out[21]=	-23 2 -21 6 4 6 12 3 13 15 -13 18 q - --- - q + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- + q - --- + 22 20 19 18 17 16 15 14 12 q q q q q q q q q 15 5 19 12 6 13 6 4 5 -2 1 > --- + --- - -- + -- + -- - -- + -- + -- - -- + q + - 11 10 9 8 7 6 5 4 3 q q q q q q q q q q

The Non Alternating Knot 945

The Non Alternating Knot 9₄₅