The Alternating Knot 9₁₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,10,4,11 X_5,16,6,17 X_11,1,12,18 X_17,13,18,12 X_7,14,8,15 X_13,8,14,9 X_15,6,16,7 X_9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 9, -2, 1, -3, 8, -6, 7, -9, 2, -4, 5, -7, 6, -8, 3, -5, 4}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 16 14 2 18 8 6 12

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 5
Braid index is 5

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 2 / 4--6 1

Alexander Polynomial: - 2t^-2 + 9t^-1 - 13 + 9t - 2t²

Conway Polynomial: 1 + z² - 2z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n84, ...}

Determinant and Signature: {35, -2}

Jones Polynomial: - q^-8 + 2q^-7 - 3q^-6 + 5q^-5 - 6q^-4 + 6q^-3 - 5q^-2 + 4q^-1 - 2 + q

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n15, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-26 - q^-24 + q^-22 + q^-18 + 2q^-16 - q^-14 - q^-10 + q^-6 - q^-4 + 2q^-2 + q⁴

HOMFLY-PT Polynomial: 1 + z² - a²z² - a²z⁴ - a⁴ - a⁴z² - a⁴z⁴ + 2a⁶ + 2a⁶z² - a⁸

Kauffman Polynomial: 1 - 2z² + z⁴ - 3az³ + 2az⁵ - 2a²z² - a²z⁴ + 2a²z⁶ - 2a³z + 4a³z³ - 3a³z⁵ + 2a³z⁷ - a⁴ + 3a⁴z² - a⁴z⁴ + a⁴z⁸ - 4a⁵z + 13a⁵z³ - 11a⁵z⁵ + 4a⁵z⁷ - 2a⁶ + 7a⁶z² - 5a⁶z⁴ + a⁶z⁸ - a⁷z + 3a⁷z³ - 5a⁷z⁵ + 2a⁷z⁷ - a⁸ + 4a⁸z² - 6a⁸z⁴ + 2a⁸z⁶ + a⁹z - 3a⁹z³ + a⁹z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {1, -3}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 9₁₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -7 r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 3 1

j = 1 1

j = -1 3 1

j = -3 3 2

j = -5 3 2

j = -7 3 3

j = -9 2 3

j = -11 1 3

j = -13 1 2

j = -15 1

j = -17 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-23 - 2q^-22 + 5q^-20 - 7q^-19 - 2q^-18 + 14q^-17 - 11q^-16 - 9q^-15 + 25q^-14 - 13q^-13 - 19q^-12 + 34q^-11 - 12q^-10 - 25q^-9 + 35q^-8 - 8q^-7 - 23q^-6 + 26q^-5 - 3q^-4 - 16q^-3 + 14q^-2 - 7 + 5q - 2q³ + q⁴

3 - q^-45 + 2q^-44 - 2q^-42 - 2q^-41 + 6q^-40 + 3q^-39 - 9q^-38 - 8q^-37 + 14q^-36 + 13q^-35 - 16q^-34 - 23q^-33 + 16q^-32 + 35q^-31 - 13q^-30 - 44q^-29 + 3q^-28 + 57q^-27 + 5q^-26 - 63q^-25 - 20q^-24 + 71q^-23 + 31q^-22 - 75q^-21 - 41q^-20 + 76q^-19 + 49q^-18 - 74q^-17 - 56q^-16 + 71q^-15 + 56q^-14 - 60q^-13 - 57q^-12 + 51q^-11 + 50q^-10 - 35q^-9 - 46q^-8 + 26q^-7 + 34q^-6 - 13q^-5 - 27q^-4 + 10q^-3 + 15q^-2 - 3q^-1 - 11 + 4q + 5q² - 2q³ - 4q⁴ + 3q⁵ + q⁶ - 2q⁸ + q⁹

4 q^-74 - 2q^-73 + 2q^-71 - q^-70 + 3q^-69 - 8q^-68 + q^-67 + 9q^-66 - 2q^-65 + 8q^-64 - 24q^-63 - 4q^-62 + 24q^-61 + 4q^-60 + 23q^-59 - 51q^-58 - 25q^-57 + 32q^-56 + 17q^-55 + 67q^-54 - 68q^-53 - 60q^-52 + 8q^-51 + 12q^-50 + 136q^-49 - 46q^-48 - 77q^-47 - 49q^-46 - 41q^-45 + 199q^-44 + 12q^-43 - 52q^-42 - 106q^-41 - 133q^-40 + 230q^-39 + 77q^-38 + 6q^-37 - 142q^-36 - 227q^-35 + 235q^-34 + 123q^-33 + 63q^-32 - 155q^-31 - 291q^-30 + 221q^-29 + 147q^-28 + 107q^-27 - 152q^-26 - 320q^-25 + 188q^-24 + 148q^-23 + 136q^-22 - 121q^-21 - 308q^-20 + 128q^-19 + 115q^-18 + 150q^-17 - 61q^-16 - 253q^-15 + 62q^-14 + 52q^-13 + 132q^-12 + 2q^-11 - 164q^-10 + 20q^-9 - 8q^-8 + 83q^-7 + 31q^-6 - 78q^-5 + 14q^-4 - 32q^-3 + 32q^-2 + 24q^-1 - 28 + 18q - 22q² + 7q³ + 7q⁴ - 12q⁵ + 15q⁶ - 7q⁷ + q⁸ - 6q¹⁰ + 6q¹¹ - q¹² + q¹³ - 2q¹⁵ + q¹⁶

5 - q^-110 + 2q^-109 - 2q^-107 + q^-106 - q^-104 + 4q^-103 - 8q^-101 - q^-100 + 5q^-99 + 4q^-98 + 9q^-97 - q^-96 - 20q^-95 - 16q^-94 + 7q^-93 + 24q^-92 + 29q^-91 + 9q^-90 - 40q^-89 - 53q^-88 - 19q^-87 + 38q^-86 + 77q^-85 + 53q^-84 - 30q^-83 - 96q^-82 - 89q^-81 - 6q^-80 + 97q^-79 + 130q^-78 + 55q^-77 - 68q^-76 - 150q^-75 - 120q^-74 + 4q^-73 + 141q^-72 + 189q^-71 + 83q^-70 - 95q^-69 - 223q^-68 - 201q^-67 + 250q^-65 + 309q^-64 + 110q^-63 - 212q^-62 - 413q^-61 - 264q^-60 + 171q^-59 + 495q^-58 + 393q^-57 - 82q^-56 - 549q^-55 - 537q^-54 + 2q^-53 + 585q^-52 + 646q^-51 + 84q^-50 - 599q^-49 - 737q^-48 - 161q^-47 + 603q^-46 + 807q^-45 + 225q^-44 - 603q^-43 - 854q^-42 - 274q^-41 + 585q^-40 + 886q^-39 + 328q^-38 - 565q^-37 - 909q^-36 - 359q^-35 + 516q^-34 + 896q^-33 + 422q^-32 - 458q^-31 - 877q^-30 - 451q^-29 + 361q^-28 + 810q^-27 + 501q^-26 - 255q^-25 - 728q^-24 - 502q^-23 + 127q^-22 + 594q^-21 + 508q^-20 - 18q^-19 - 460q^-18 - 444q^-17 - 87q^-16 + 300q^-15 + 393q^-14 + 138q^-13 - 178q^-12 - 279q^-11 - 167q^-10 + 58q^-9 + 204q^-8 + 152q^-7 - 4q^-6 - 104q^-5 - 122q^-4 - 42q^-3 + 55q^-2 + 82q^-1 + 41 - 7q - 49q² - 41q³ + 17q⁵ + 23q⁶ + 18q⁷ - 9q⁸ - 16q⁹ - 5q¹⁰ - 4q¹¹ + q¹² + 13q¹³ + 3q¹⁴ - 5q¹⁵ + q¹⁶ - 4q¹⁷ - 4q¹⁸ + 4q¹⁹ + 2q²⁰ - q²¹ + q²² - 2q²⁴ + q²⁵

6 q^-153 - 2q^-152 + 2q^-150 - q^-149 - 2q^-147 + 5q^-146 - 5q^-145 - q^-144 + 10q^-143 - 3q^-142 - 4q^-141 - 11q^-140 + 11q^-139 - 8q^-138 + q^-137 + 31q^-136 - q^-135 - 12q^-134 - 40q^-133 + 10q^-132 - 20q^-131 + 6q^-130 + 82q^-129 + 28q^-128 - 6q^-127 - 94q^-126 - 19q^-125 - 75q^-124 - 17q^-123 + 152q^-122 + 115q^-121 + 69q^-120 - 120q^-119 - 49q^-118 - 201q^-117 - 138q^-116 + 145q^-115 + 196q^-114 + 223q^-113 - 25q^-112 + 63q^-111 - 281q^-110 - 333q^-109 - 43q^-108 + 83q^-107 + 265q^-106 + 124q^-105 + 412q^-104 - 82q^-103 - 336q^-102 - 283q^-101 - 295q^-100 - 73q^-99 + 6q^-98 + 794q^-97 + 428q^-96 + 121q^-95 - 204q^-94 - 670q^-93 - 773q^-92 - 626q^-91 + 810q^-90 + 938q^-89 + 959q^-88 + 403q^-87 - 652q^-86 - 1485q^-85 - 1635q^-84 + 303q^-83 + 1092q^-82 + 1810q^-81 + 1349q^-80 - 154q^-79 - 1884q^-78 - 2642q^-77 - 500q^-76 + 848q^-75 + 2379q^-74 + 2263q^-73 + 568q^-72 - 1943q^-71 - 3366q^-70 - 1252q^-69 + 435q^-68 + 2635q^-67 + 2904q^-66 + 1206q^-65 - 1836q^-64 - 3764q^-63 - 1770q^-62 + 79q^-61 + 2709q^-60 + 3254q^-59 + 1630q^-58 - 1709q^-57 - 3930q^-56 - 2078q^-55 - 174q^-54 + 2693q^-53 + 3419q^-52 + 1910q^-51 - 1547q^-50 - 3934q^-49 - 2300q^-48 - 430q^-47 + 2535q^-46 + 3457q^-45 + 2177q^-44 - 1212q^-43 - 3703q^-42 - 2475q^-41 - 819q^-40 + 2081q^-39 + 3266q^-38 + 2439q^-37 - 598q^-36 - 3078q^-35 - 2446q^-34 - 1295q^-33 + 1258q^-32 + 2666q^-31 + 2492q^-30 + 171q^-29 - 2038q^-28 - 2006q^-27 - 1581q^-26 + 284q^-25 + 1675q^-24 + 2109q^-23 + 729q^-22 - 893q^-21 - 1200q^-20 - 1420q^-19 - 403q^-18 + 649q^-17 + 1362q^-16 + 801q^-15 - 102q^-14 - 390q^-13 - 904q^-12 - 566q^-11 + 3q^-10 + 622q^-9 + 514q^-8 + 164q^-7 + 74q^-6 - 388q^-5 - 384q^-4 - 185q^-3 + 184q^-2 + 203q^-1 + 123 + 179q - 103q² - 167q³ - 140q⁴ + 30q⁵ + 41q⁶ + 34q⁷ + 128q⁸ - 9q⁹ - 48q¹⁰ - 66q¹¹ + q¹² - 6q¹³ - 8q¹⁴ + 63q¹⁵ + 7q¹⁶ - 5q¹⁷ - 23q¹⁸ + q¹⁹ - 10q²⁰ - 14q²¹ + 23q²² + 4q²³ + 4q²⁴ - 6q²⁵ + 3q²⁶ - 4q²⁷ - 8q²⁸ + 6q²⁹ + 2q³¹ - q³² + q³³ - 2q³⁵ + q³⁶

7 - q^-203 + 2q^-202 - 2q^-200 + q^-199 + 2q^-197 - 2q^-196 - 4q^-195 + 6q^-194 - q^-193 - 6q^-192 + 3q^-191 + 2q^-190 + 10q^-189 - 16q^-187 + 6q^-186 - 6q^-185 - 14q^-184 + 8q^-183 + 6q^-182 + 36q^-181 + 18q^-180 - 32q^-179 - 10q^-178 - 35q^-177 - 42q^-176 + 10q^-175 + 11q^-174 + 93q^-173 + 92q^-172 - 19q^-171 - 24q^-170 - 113q^-169 - 134q^-168 - 45q^-167 - 26q^-166 + 166q^-165 + 245q^-164 + 109q^-163 + 65q^-162 - 160q^-161 - 294q^-160 - 217q^-159 - 224q^-158 + 105q^-157 + 358q^-156 + 315q^-155 + 369q^-154 + 30q^-153 - 278q^-152 - 343q^-151 - 546q^-150 - 241q^-149 + 118q^-148 + 232q^-147 + 608q^-146 + 444q^-145 + 163q^-144 + 56q^-143 - 489q^-142 - 520q^-141 - 459q^-140 - 522q^-139 + 107q^-138 + 370q^-137 + 632q^-136 + 1043q^-135 + 529q^-134 + 135q^-133 - 512q^-132 - 1489q^-131 - 1338q^-130 - 999q^-129 - 4q^-128 + 1672q^-127 + 2124q^-126 + 2130q^-125 + 993q^-124 - 1386q^-123 - 2731q^-122 - 3432q^-121 - 2385q^-120 + 657q^-119 + 2962q^-118 + 4596q^-117 + 4038q^-116 + 633q^-115 - 2696q^-114 - 5594q^-113 - 5819q^-112 - 2213q^-111 + 2011q^-110 + 6152q^-109 + 7429q^-108 + 4064q^-107 - 848q^-106 - 6365q^-105 - 8898q^-104 - 5890q^-103 - 463q^-102 + 6175q^-101 + 9957q^-100 + 7609q^-99 + 1963q^-98 - 5738q^-97 - 10777q^-96 - 9083q^-95 - 3337q^-94 + 5150q^-93 + 11255q^-92 + 10267q^-91 + 4590q^-90 - 4511q^-89 - 11530q^-88 - 11181q^-87 - 5618q^-86 + 3922q^-85 + 11667q^-84 + 11827q^-83 + 6397q^-82 - 3415q^-81 - 11681q^-80 - 12276q^-79 - 7008q^-78 + 3005q^-77 + 11682q^-76 + 12593q^-75 + 7427q^-74 - 2689q^-73 - 11617q^-72 - 12798q^-71 - 7775q^-70 + 2363q^-69 + 11532q^-68 + 12985q^-67 + 8099q^-66 - 2057q^-65 - 11373q^-64 - 13063q^-63 - 8434q^-62 + 1579q^-61 + 11041q^-60 + 13141q^-59 + 8840q^-58 - 995q^-57 - 10516q^-56 - 13006q^-55 - 9240q^-54 + 131q^-53 + 9659q^-52 + 12691q^-51 + 9628q^-50 + 875q^-49 - 8469q^-48 - 11991q^-47 - 9850q^-46 - 2041q^-45 + 6913q^-44 + 10930q^-43 + 9801q^-42 + 3157q^-41 - 5108q^-40 - 9411q^-39 - 9366q^-38 - 4138q^-37 + 3201q^-36 + 7619q^-35 + 8508q^-34 + 4701q^-33 - 1417q^-32 - 5570q^-31 - 7247q^-30 - 4912q^-29 - 81q^-28 + 3676q^-27 + 5758q^-26 + 4556q^-25 + 1075q^-24 - 1911q^-23 - 4153q^-22 - 3948q^-21 - 1634q^-20 + 666q^-19 + 2740q^-18 + 3035q^-17 + 1679q^-16 + 211q^-15 - 1532q^-14 - 2163q^-13 - 1499q^-12 - 604q^-11 + 734q^-10 + 1367q^-9 + 1108q^-8 + 719q^-7 - 213q^-6 - 785q^-5 - 751q^-4 - 633q^-3 - 21q^-2 + 394q^-1 + 437 + 497q + 107q² - 190q³ - 232q⁴ - 328q⁵ - 107q⁶ + 56q⁷ + 105q⁸ + 245q⁹ + 87q¹⁰ - 45q¹¹ - 46q¹² - 129q¹³ - 54q¹⁴ - 10q¹⁵ + 2q¹⁶ + 115q¹⁷ + 47q¹⁸ - 13q¹⁹ - 3q²⁰ - 52q²¹ - 17q²² - 15q²³ - 22q²⁴ + 47q²⁵ + 27q²⁶ + q²⁷ + 5q²⁸ - 18q²⁹ - 3q³⁰ - 8q³¹ - 20q³² + 14q³³ + 10q³⁴ + 2q³⁵ + 6q³⁶ - 5q³⁷ + 2q³⁸ - 2q³⁹ - 8q⁴⁰ + 2q⁴¹ + 2q⁴² + 2q⁴⁴ - q⁴⁵ + q⁴⁶ - 2q⁴⁸ + q⁴⁹

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 12]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[5, 16, 6, 17], X[11, 1, 12, 18], > X[17, 13, 18, 12], X[7, 14, 8, 15], X[13, 8, 14, 9], X[15, 6, 16, 7], > X[9, 2, 10, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 12]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 8, -6, 7, -9, 2, -4, 5, -7, 6, -8, 3, -5, 4]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 12]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 16, 14, 2, 18, 8, 6, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 12]]

Out[5]=
BR[5, {-1, -1, 2, -1, -3, 2, -3, -4, 3, -4}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{5, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 12]]

Out[7]=
5

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 12]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 12]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 2, {4, 6}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 12]][t]

Out[10]=
2 9 2 -13 - -- + - + 9 t - 2 t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 12]][z]

Out[11]=
2 4 1 + z - 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 12], Knot[11, NonAlternating, 84]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 12]], KnotSignature[Knot[9, 12]]}

Out[13]=
{35, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 12]][q]

Out[14]=
-8 2 3 5 6 6 5 4 -2 - q + -- - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 12], Knot[11, NonAlternating, 15]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 12]][q]

Out[16]=
-26 -24 -22 -18 2 -14 -10 -6 -4 2 4 -q - q + q + q + --- - q - q + q - q + -- + q 16 2 q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 12]][a, z]

Out[17]=
4 6 8 2 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 1 - a + 2 a - a + z - a z - a z + 2 a z - a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 12]][a, z]

Out[18]=
4 6 8 3 5 7 9 2 2 2 4 2 1 - a - 2 a - a - 2 a z - 4 a z - a z + a z - 2 z - 2 a z + 3 a z + 6 2 8 2 3 3 3 5 3 7 3 9 3 4 > 7 a z + 4 a z - 3 a z + 4 a z + 13 a z + 3 a z - 3 a z + z - 2 4 4 4 6 4 8 4 5 3 5 5 5 7 5 > a z - a z - 5 a z - 6 a z + 2 a z - 3 a z - 11 a z - 5 a z + 9 5 2 6 8 6 3 7 5 7 7 7 4 8 6 8 > a z + 2 a z + 2 a z + 2 a z + 4 a z + 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 12]], Vassiliev[3][Knot[9, 12]]}

Out[19]=
{1, -3}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 12]][q, t]

Out[20]=
2 3 1 1 1 2 1 3 2 3 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + 3 q 17 7 15 6 13 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 3 2 3 t 3 2 > ----- + ----- + ----- + ---- + ---- + - + q t + q t 7 3 7 2 5 2 5 3 q q t q t q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 12], 2][q]

Out[21]=
-23 2 5 7 2 14 11 9 25 13 19 34 -7 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - 22 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 q q q q q q q q q q q 12 25 35 8 23 26 3 16 14 3 4 > --- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- + 5 q - 2 q + q 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₁₂

9₁₁
9₁₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-23 - 2q^-22 + 5q^-20 - 7q^-19 - 2q^-18 + 14q^-17 - 11q^-16 - 9q^-15 + 25q^-14 - 13q^-13 - 19q^-12 + 34q^-11 - 12q^-10 - 25q^-9 + 35q^-8 - 8q^-7 - 23q^-6 + 26q^-5 - 3q^-4 - 16q^-3 + 14q^-2 - 7 + 5q - 2q³ + q⁴
3	- q^-45 + 2q^-44 - 2q^-42 - 2q^-41 + 6q^-40 + 3q^-39 - 9q^-38 - 8q^-37 + 14q^-36 + 13q^-35 - 16q^-34 - 23q^-33 + 16q^-32 + 35q^-31 - 13q^-30 - 44q^-29 + 3q^-28 + 57q^-27 + 5q^-26 - 63q^-25 - 20q^-24 + 71q^-23 + 31q^-22 - 75q^-21 - 41q^-20 + 76q^-19 + 49q^-18 - 74q^-17 - 56q^-16 + 71q^-15 + 56q^-14 - 60q^-13 - 57q^-12 + 51q^-11 + 50q^-10 - 35q^-9 - 46q^-8 + 26q^-7 + 34q^-6 - 13q^-5 - 27q^-4 + 10q^-3 + 15q^-2 - 3q^-1 - 11 + 4q + 5q² - 2q³ - 4q⁴ + 3q⁵ + q⁶ - 2q⁸ + q⁹
4	q^-74 - 2q^-73 + 2q^-71 - q^-70 + 3q^-69 - 8q^-68 + q^-67 + 9q^-66 - 2q^-65 + 8q^-64 - 24q^-63 - 4q^-62 + 24q^-61 + 4q^-60 + 23q^-59 - 51q^-58 - 25q^-57 + 32q^-56 + 17q^-55 + 67q^-54 - 68q^-53 - 60q^-52 + 8q^-51 + 12q^-50 + 136q^-49 - 46q^-48 - 77q^-47 - 49q^-46 - 41q^-45 + 199q^-44 + 12q^-43 - 52q^-42 - 106q^-41 - 133q^-40 + 230q^-39 + 77q^-38 + 6q^-37 - 142q^-36 - 227q^-35 + 235q^-34 + 123q^-33 + 63q^-32 - 155q^-31 - 291q^-30 + 221q^-29 + 147q^-28 + 107q^-27 - 152q^-26 - 320q^-25 + 188q^-24 + 148q^-23 + 136q^-22 - 121q^-21 - 308q^-20 + 128q^-19 + 115q^-18 + 150q^-17 - 61q^-16 - 253q^-15 + 62q^-14 + 52q^-13 + 132q^-12 + 2q^-11 - 164q^-10 + 20q^-9 - 8q^-8 + 83q^-7 + 31q^-6 - 78q^-5 + 14q^-4 - 32q^-3 + 32q^-2 + 24q^-1 - 28 + 18q - 22q² + 7q³ + 7q⁴ - 12q⁵ + 15q⁶ - 7q⁷ + q⁸ - 6q¹⁰ + 6q¹¹ - q¹² + q¹³ - 2q¹⁵ + q¹⁶
5	- q^-110 + 2q^-109 - 2q^-107 + q^-106 - q^-104 + 4q^-103 - 8q^-101 - q^-100 + 5q^-99 + 4q^-98 + 9q^-97 - q^-96 - 20q^-95 - 16q^-94 + 7q^-93 + 24q^-92 + 29q^-91 + 9q^-90 - 40q^-89 - 53q^-88 - 19q^-87 + 38q^-86 + 77q^-85 + 53q^-84 - 30q^-83 - 96q^-82 - 89q^-81 - 6q^-80 + 97q^-79 + 130q^-78 + 55q^-77 - 68q^-76 - 150q^-75 - 120q^-74 + 4q^-73 + 141q^-72 + 189q^-71 + 83q^-70 - 95q^-69 - 223q^-68 - 201q^-67 + 250q^-65 + 309q^-64 + 110q^-63 - 212q^-62 - 413q^-61 - 264q^-60 + 171q^-59 + 495q^-58 + 393q^-57 - 82q^-56 - 549q^-55 - 537q^-54 + 2q^-53 + 585q^-52 + 646q^-51 + 84q^-50 - 599q^-49 - 737q^-48 - 161q^-47 + 603q^-46 + 807q^-45 + 225q^-44 - 603q^-43 - 854q^-42 - 274q^-41 + 585q^-40 + 886q^-39 + 328q^-38 - 565q^-37 - 909q^-36 - 359q^-35 + 516q^-34 + 896q^-33 + 422q^-32 - 458q^-31 - 877q^-30 - 451q^-29 + 361q^-28 + 810q^-27 + 501q^-26 - 255q^-25 - 728q^-24 - 502q^-23 + 127q^-22 + 594q^-21 + 508q^-20 - 18q^-19 - 460q^-18 - 444q^-17 - 87q^-16 + 300q^-15 + 393q^-14 + 138q^-13 - 178q^-12 - 279q^-11 - 167q^-10 + 58q^-9 + 204q^-8 + 152q^-7 - 4q^-6 - 104q^-5 - 122q^-4 - 42q^-3 + 55q^-2 + 82q^-1 + 41 - 7q - 49q² - 41q³ + 17q⁵ + 23q⁶ + 18q⁷ - 9q⁸ - 16q⁹ - 5q¹⁰ - 4q¹¹ + q¹² + 13q¹³ + 3q¹⁴ - 5q¹⁵ + q¹⁶ - 4q¹⁷ - 4q¹⁸ + 4q¹⁹ + 2q²⁰ - q²¹ + q²² - 2q²⁴ + q²⁵
6	q^-153 - 2q^-152 + 2q^-150 - q^-149 - 2q^-147 + 5q^-146 - 5q^-145 - q^-144 + 10q^-143 - 3q^-142 - 4q^-141 - 11q^-140 + 11q^-139 - 8q^-138 + q^-137 + 31q^-136 - q^-135 - 12q^-134 - 40q^-133 + 10q^-132 - 20q^-131 + 6q^-130 + 82q^-129 + 28q^-128 - 6q^-127 - 94q^-126 - 19q^-125 - 75q^-124 - 17q^-123 + 152q^-122 + 115q^-121 + 69q^-120 - 120q^-119 - 49q^-118 - 201q^-117 - 138q^-116 + 145q^-115 + 196q^-114 + 223q^-113 - 25q^-112 + 63q^-111 - 281q^-110 - 333q^-109 - 43q^-108 + 83q^-107 + 265q^-106 + 124q^-105 + 412q^-104 - 82q^-103 - 336q^-102 - 283q^-101 - 295q^-100 - 73q^-99 + 6q^-98 + 794q^-97 + 428q^-96 + 121q^-95 - 204q^-94 - 670q^-93 - 773q^-92 - 626q^-91 + 810q^-90 + 938q^-89 + 959q^-88 + 403q^-87 - 652q^-86 - 1485q^-85 - 1635q^-84 + 303q^-83 + 1092q^-82 + 1810q^-81 + 1349q^-80 - 154q^-79 - 1884q^-78 - 2642q^-77 - 500q^-76 + 848q^-75 + 2379q^-74 + 2263q^-73 + 568q^-72 - 1943q^-71 - 3366q^-70 - 1252q^-69 + 435q^-68 + 2635q^-67 + 2904q^-66 + 1206q^-65 - 1836q^-64 - 3764q^-63 - 1770q^-62 + 79q^-61 + 2709q^-60 + 3254q^-59 + 1630q^-58 - 1709q^-57 - 3930q^-56 - 2078q^-55 - 174q^-54 + 2693q^-53 + 3419q^-52 + 1910q^-51 - 1547q^-50 - 3934q^-49 - 2300q^-48 - 430q^-47 + 2535q^-46 + 3457q^-45 + 2177q^-44 - 1212q^-43 - 3703q^-42 - 2475q^-41 - 819q^-40 + 2081q^-39 + 3266q^-38 + 2439q^-37 - 598q^-36 - 3078q^-35 - 2446q^-34 - 1295q^-33 + 1258q^-32 + 2666q^-31 + 2492q^-30 + 171q^-29 - 2038q^-28 - 2006q^-27 - 1581q^-26 + 284q^-25 + 1675q^-24 + 2109q^-23 + 729q^-22 - 893q^-21 - 1200q^-20 - 1420q^-19 - 403q^-18 + 649q^-17 + 1362q^-16 + 801q^-15 - 102q^-14 - 390q^-13 - 904q^-12 - 566q^-11 + 3q^-10 + 622q^-9 + 514q^-8 + 164q^-7 + 74q^-6 - 388q^-5 - 384q^-4 - 185q^-3 + 184q^-2 + 203q^-1 + 123 + 179q - 103q² - 167q³ - 140q⁴ + 30q⁵ + 41q⁶ + 34q⁷ + 128q⁸ - 9q⁹ - 48q¹⁰ - 66q¹¹ + q¹² - 6q¹³ - 8q¹⁴ + 63q¹⁵ + 7q¹⁶ - 5q¹⁷ - 23q¹⁸ + q¹⁹ - 10q²⁰ - 14q²¹ + 23q²² + 4q²³ + 4q²⁴ - 6q²⁵ + 3q²⁶ - 4q²⁷ - 8q²⁸ + 6q²⁹ + 2q³¹ - q³² + q³³ - 2q³⁵ + q³⁶
7	- q^-203 + 2q^-202 - 2q^-200 + q^-199 + 2q^-197 - 2q^-196 - 4q^-195 + 6q^-194 - q^-193 - 6q^-192 + 3q^-191 + 2q^-190 + 10q^-189 - 16q^-187 + 6q^-186 - 6q^-185 - 14q^-184 + 8q^-183 + 6q^-182 + 36q^-181 + 18q^-180 - 32q^-179 - 10q^-178 - 35q^-177 - 42q^-176 + 10q^-175 + 11q^-174 + 93q^-173 + 92q^-172 - 19q^-171 - 24q^-170 - 113q^-169 - 134q^-168 - 45q^-167 - 26q^-166 + 166q^-165 + 245q^-164 + 109q^-163 + 65q^-162 - 160q^-161 - 294q^-160 - 217q^-159 - 224q^-158 + 105q^-157 + 358q^-156 + 315q^-155 + 369q^-154 + 30q^-153 - 278q^-152 - 343q^-151 - 546q^-150 - 241q^-149 + 118q^-148 + 232q^-147 + 608q^-146 + 444q^-145 + 163q^-144 + 56q^-143 - 489q^-142 - 520q^-141 - 459q^-140 - 522q^-139 + 107q^-138 + 370q^-137 + 632q^-136 + 1043q^-135 + 529q^-134 + 135q^-133 - 512q^-132 - 1489q^-131 - 1338q^-130 - 999q^-129 - 4q^-128 + 1672q^-127 + 2124q^-126 + 2130q^-125 + 993q^-124 - 1386q^-123 - 2731q^-122 - 3432q^-121 - 2385q^-120 + 657q^-119 + 2962q^-118 + 4596q^-117 + 4038q^-116 + 633q^-115 - 2696q^-114 - 5594q^-113 - 5819q^-112 - 2213q^-111 + 2011q^-110 + 6152q^-109 + 7429q^-108 + 4064q^-107 - 848q^-106 - 6365q^-105 - 8898q^-104 - 5890q^-103 - 463q^-102 + 6175q^-101 + 9957q^-100 + 7609q^-99 + 1963q^-98 - 5738q^-97 - 10777q^-96 - 9083q^-95 - 3337q^-94 + 5150q^-93 + 11255q^-92 + 10267q^-91 + 4590q^-90 - 4511q^-89 - 11530q^-88 - 11181q^-87 - 5618q^-86 + 3922q^-85 + 11667q^-84 + 11827q^-83 + 6397q^-82 - 3415q^-81 - 11681q^-80 - 12276q^-79 - 7008q^-78 + 3005q^-77 + 11682q^-76 + 12593q^-75 + 7427q^-74 - 2689q^-73 - 11617q^-72 - 12798q^-71 - 7775q^-70 + 2363q^-69 + 11532q^-68 + 12985q^-67 + 8099q^-66 - 2057q^-65 - 11373q^-64 - 13063q^-63 - 8434q^-62 + 1579q^-61 + 11041q^-60 + 13141q^-59 + 8840q^-58 - 995q^-57 - 10516q^-56 - 13006q^-55 - 9240q^-54 + 131q^-53 + 9659q^-52 + 12691q^-51 + 9628q^-50 + 875q^-49 - 8469q^-48 - 11991q^-47 - 9850q^-46 - 2041q^-45 + 6913q^-44 + 10930q^-43 + 9801q^-42 + 3157q^-41 - 5108q^-40 - 9411q^-39 - 9366q^-38 - 4138q^-37 + 3201q^-36 + 7619q^-35 + 8508q^-34 + 4701q^-33 - 1417q^-32 - 5570q^-31 - 7247q^-30 - 4912q^-29 - 81q^-28 + 3676q^-27 + 5758q^-26 + 4556q^-25 + 1075q^-24 - 1911q^-23 - 4153q^-22 - 3948q^-21 - 1634q^-20 + 666q^-19 + 2740q^-18 + 3035q^-17 + 1679q^-16 + 211q^-15 - 1532q^-14 - 2163q^-13 - 1499q^-12 - 604q^-11 + 734q^-10 + 1367q^-9 + 1108q^-8 + 719q^-7 - 213q^-6 - 785q^-5 - 751q^-4 - 633q^-3 - 21q^-2 + 394q^-1 + 437 + 497q + 107q² - 190q³ - 232q⁴ - 328q⁵ - 107q⁶ + 56q⁷ + 105q⁸ + 245q⁹ + 87q¹⁰ - 45q¹¹ - 46q¹² - 129q¹³ - 54q¹⁴ - 10q¹⁵ + 2q¹⁶ + 115q¹⁷ + 47q¹⁸ - 13q¹⁹ - 3q²⁰ - 52q²¹ - 17q²² - 15q²³ - 22q²⁴ + 47q²⁵ + 27q²⁶ + q²⁷ + 5q²⁸ - 18q²⁹ - 3q³⁰ - 8q³¹ - 20q³² + 14q³³ + 10q³⁴ + 2q³⁵ + 6q³⁶ - 5q³⁷ + 2q³⁸ - 2q³⁹ - 8q⁴⁰ + 2q⁴¹ + 2q⁴² + 2q⁴⁴ - q⁴⁵ + q⁴⁶ - 2q⁴⁸ + q⁴⁹

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 12]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[5, 16, 6, 17], X[11, 1, 12, 18], > X[17, 13, 18, 12], X[7, 14, 8, 15], X[13, 8, 14, 9], X[15, 6, 16, 7], > X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 12]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 9, -2, 1, -3, 8, -6, 7, -9, 2, -4, 5, -7, 6, -8, 3, -5, 4]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 12]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 16, 14, 2, 18, 8, 6, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 12]]
Out[5]=	BR[5, {-1, -1, 2, -1, -3, 2, -3, -4, 3, -4}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{5, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 12]]
Out[7]=	5
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 12]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 12]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 2, {4, 6}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 12]][t]
Out[10]=	2 9 2 -13 - -- + - + 9 t - 2 t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 12]][z]
Out[11]=	2 4 1 + z - 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 12], Knot[11, NonAlternating, 84]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 12]], KnotSignature[Knot[9, 12]]}
Out[13]=	{35, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 12]][q]
Out[14]=	-8 2 3 5 6 6 5 4 -2 - q + -- - -- + -- - -- + -- - -- + - + q 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 12], Knot[11, NonAlternating, 15]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 12]][q]
Out[16]=	-26 -24 -22 -18 2 -14 -10 -6 -4 2 4 -q - q + q + q + --- - q - q + q - q + -- + q 16 2 q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 12]][a, z]
Out[17]=	4 6 8 2 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 1 - a + 2 a - a + z - a z - a z + 2 a z - a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 12]][a, z]
Out[18]=	4 6 8 3 5 7 9 2 2 2 4 2 1 - a - 2 a - a - 2 a z - 4 a z - a z + a z - 2 z - 2 a z + 3 a z + 6 2 8 2 3 3 3 5 3 7 3 9 3 4 > 7 a z + 4 a z - 3 a z + 4 a z + 13 a z + 3 a z - 3 a z + z - 2 4 4 4 6 4 8 4 5 3 5 5 5 7 5 > a z - a z - 5 a z - 6 a z + 2 a z - 3 a z - 11 a z - 5 a z + 9 5 2 6 8 6 3 7 5 7 7 7 4 8 6 8 > a z + 2 a z + 2 a z + 2 a z + 4 a z + 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 12]], Vassiliev[3][Knot[9, 12]]}
Out[19]=	{1, -3}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 12]][q, t]
Out[20]=	2 3 1 1 1 2 1 3 2 3 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + 3 q 17 7 15 6 13 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 q q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 3 2 3 t 3 2 > ----- + ----- + ----- + ---- + ---- + - + q t + q t 7 3 7 2 5 2 5 3 q q t q t q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 12], 2][q]
Out[21]=	-23 2 5 7 2 14 11 9 25 13 19 34 -7 + q - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - 22 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 q q q q q q q q q q q 12 25 35 8 23 26 3 16 14 3 4 > --- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- + 5 q - 2 q + q 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q

The Alternating Knot 912

The Alternating Knot 9₁₂